Az integrálok megoldása a feladat fény, de csak a választott. Ez a cikk azok számára szól, akik meg akarják tanulni megérteni az integrálokat, de nem tud semmit róluk, vagy csaknem semmi. Integrál ... Miért van szükség? Hogyan kell kiszámítani? Mi egy bizonyos és határozatlan integrál?

Ha az Ön által ismert egyetlen integrált alkalmazás, hogy egy horgolt egy integrált ikon formájában, valami hasznos a nehezen elérhető helyeken, majd szívesen! Ismerje meg, hogyan oldja meg a legegyszerűbb és más integrálokat, és miért nem lehetetlen a matematikában.

Tanulmányozzuk a koncepciót « integrál »

Az integráció az ókori Egyiptomban ismert. Természetesen nem modern videó, de még mindig. Azóta a matematika sok könyvet írt erről a témáról. Különösen megkülönböztetett Újonc és Leibnits De a dolgok lényege nem változott.

Hogyan lehet megérteni az integrálokat a semmiből? Egyáltalán nem! A téma megértéséhez még mindig szüksége lesz a matematikai elemzés alapjainak alapvető ismerete. Információk a szükséges és az integrálok megértéséhez, már blogunkban már rendelkezünk.

Bizonytalan integrált

Legyen valamiféle funkciója f (x) .

Bizonytalan integrált funkció f (x) Ezt a funkciót hívják F (x) , amelynek származéka egyenlő a funkcióval f (x) .

Más szavakkal, az integrált ellentétes vagy primitív származékos. By the way, arról, hogyan kell olvasni a cikkünkben.

Prediktív létezik az összes folyamatos funkcióhoz. Emellett az állandó jelet gyakran az elsődleges hozzáadásra adjuk, mivel a származékok az állandó egybeesik. Az integráció megtalálásának folyamatát integrációnak nevezik.

Egyszerű példa:

Ahhoz, hogy a primitív elemi funkciókat folyamatosan kiszámítsák, kényelmes az asztalhoz vezetni, és használhatja a kész értékeket.

Teljes asztali integrálok a diákok számára

Bizonyos integrált

Az integrál koncepciójával foglalkozunk, végtelenül kis értékekkel foglalkozunk. A szerves segít kiszámítani a szám az a szám, a tömeg az inhomogén test alatt haladt az egyenetlen mozgás útját és még sok más. Emlékeztetni kell arra, hogy az integrált végtelenül nagyszámú Végtelenül kis kifejezések.

Például képzeljük el egy bizonyos funkció ütemezését.

Hogyan találhat olyan területet, amelyek korlátozzák a funkció grafikonját? Az integrált segítségével! A Curvilinear trapéziumot megosztjuk, korlátozott a koordináta tengelyei és a funkció grafikonja, végtelenül kis szegmensek. Így az ábra vékony oszlopokra osztható. Az oszlopok területének összege lesz a trapéz területe. De ne feledje, hogy egy ilyen számítás példaértékű eredményt ad. Azonban a kisebbek a szegmensek már lesznek, annál pontosabb lesz a számítás. Ha olyan mértékben csökkentjük őket, hogy a hossza nullára törekszik, a szegmensek mennyisége az ábra területére törekszik. Ez egy konkrét integrált, amelyet a következőképpen írunk:

Az A és B pontokat integrációs határértékeknek nevezik.

« Integrál »

Mellesleg! Az olvasóink számára most 10% kedvezmény van

A bábuk integrálásainak kiszámítására vonatkozó szabályok

Bizonytalan integrált tulajdonságai

Hogyan lehet megoldani egy határozatlan integrált? Itt nem fogjuk megvizsgálni a tulajdonságokat bizonyos integráltamely hasznos lesz a példák megoldása során.

• Az integrált származéka megegyezik az integrand funkcióval:

• A konstans az integrál jeléből készülhet:

• Az összegből származó integrált az integrálok mennyiségével egyenlő. Szintén különbséget is:

Egy adott integráció tulajdonságai

• Linearitás:

• Az integrált jel megváltozik, ha az integrációs határértékeket cseréljük:

• -Ért bármi Pontok a., b. és tól től:

Már megtudtuk, hogy egy bizonyos integrált az összeg határértéke. De hogyan lehet egy adott értéket megoldani a példa megoldásakor? Ehhez van egy Newton-Leibnic képlet:

Példák az integrálok megoldására

Az alábbiakban egy határozatlan integrál és példa a megoldással. Javasoljuk, hogy önállóan megértsük a megoldás finomságait, és ha valami érthetetlen, kérdéseket tegyen fel a megjegyzésekben.

Az anyag biztosítása érdekében olvassa el a videót arról, hogy az integrálok hogyan oldódnak meg a gyakorlatban. Ne kétségbeesés, ha az integrál nem adódik azonnal. Lépjen kapcsolatba a diákok számára a diákok számára, és a zárt felületen lévő bármilyen hármas vagy görbületi integrált erők lesznek.

Ez a számológép lehetővé teszi egy speciális integrált online megoldását. Valójában, egy specifikus integrált kiszámítása - Ez az alapítvány, amely megegyezik a funkció ütemtervével. A megoldáshoz az integrációs határok és az integrálható funkció beállítása szükséges. Miután az integráció, a rendszer megtalálja a primitív függvény egy adott funkció kiszámítja annak értékeit a pontokon az integrációs határokat, meg fogja találni a különbséget, ami megoldást jelenthet egy adott integrál. A határozatlan integrált megoldáshoz hasonló online számológépet kell használnia, amely a honlapunkon található a linken - egy határozatlan integrál megoldására.

Megengedjük számítsa ki a konkrét integrált online Gyorsan és megbízhatóan. Mindig kapsz egy helyes döntést. Ráadásul a táblázat integrálok esetén a válasz klasszikus formában lesz, azaz jól ismert állandók, például a "PI", "kiállító", stb. Minden számítás teljesen ingyenes, és nem igényel regisztrációt. A specifikus integrált velünk való megoldása Ön enyhíti magát a munkaerő-intenzív és összetett számítástechnikából, vagy megoldja az integrált magát - ellenőrizheti a kapott megoldást.

Minden fejezetben egy független megoldás feladata lesz, amelyhez láthatja a válaszokat.

Egy bizonyos integrált és formula fogalma Newton Laborice

Meghatározott integrált tól től folyamatos működés f.(x.) a végső szegmensen [ a., b.] (ahol) valamilyen primitív növekedése ezen a szegmensen. (Általánosságban elmondható, hogy a megértés észrevehetően könnyebb lesz, ha megismétli a határozatlan integrált témát) Ez felvételt használ

Amint az az alábbi ábrákon látható (a primitív funkció növelése), egy bizonyos integrált lehet pozitív és negatív (A felső határon alapuló primitív érték és értéke közötti különbségként számítva, azaz az alsó határértékben, azaz hogyan F.(b.) - F.(a.)).

Számok a. és b. az alsó és felső integrációs határértékek, valamint a szegmens [ a., b.] - Integrációs szegmens.

Így, ha F.(x.) - valamilyen primitív funkció f.(x.), aztán a meghatározás szerint,

(38)

Az egyenlőség (38) hívják newton Labau képlet . Különbség F.(b.) – F.(a.) Röviden írja le ezt:

Ezért a Formula Newton Laborice-t rögzítik, és így:

(39)

Bizonyítjuk, hogy egy bizonyos integrált nem függ attól, hogy egy primitív integrált függvényt vigye ki, amikor kiszámítja. Legyen F.(x.) és f ( h.) - önkényes primitív integrált funkció. Mivel ez az elsődleges és ugyanaz a funkció, akkor különböznek az állandó kifejezésen: f ( h.) = F.(x.) + C.. ebből kifolyólag

Így megállapították, hogy a szegmensen [ a., b.] Az összes primitív funkció növelése f.(x.) egyeznek meg.

Így a specifikus integrált kiszámításához minden primitív integrand funkciót kell találni, azaz Először is, találhat egy bizonytalan integrált. Állandó TÓL TŐL a későbbi számításokból kizárták. Ezután a képletet a Newton - Leibnia képletére alkalmazzuk: a felső határértéket a primitív függvénybe helyettesítjük. b. , ezután - az alsó határérték értéke a. És a különbséget kiszámítják F (b) - f (a) . A kapott szám és egy specifikus integrált..

-Ért a. = b. Definíció szerint elfogadott

1. példa.

Döntés. Először találjon meg határozatlan integrálját:

Newton képletének elsődleges alkalmazására

(mert TÓL TŐL \u003d 0), Get

Azonban, amikor egy specifikus integrált kiszámításakor jobb, ha nem találunk külön primitíveket, hanem azonnal írni az integrált formában (39).

2. példa.Kiszámít egy bizonyos integrált

Döntés. A képlet használata

Keressen egy konkrét integrált magát, majd nézze meg a döntést

Egy adott integráció tulajdonságai

Tétel 2.Egy specifikus integrált értéke nem függ az integrációs változó megnevezésétől.

(40)

Legyen F.(x.) - Pred-Like f.(x.). -Ért f.(t.) Ugyanez a funkció ugyanaz a funkció. F.(t.), amelyben csak egyébként független változó jelzi. Ennélfogva,

A (39) képlet alapján az utolsó egyenlőség az integrálok egyenlőségét jelenti

3. tétel.Állandó szorzót lehet tenni egy bizonyos integrált jele.

(41)

Tétel 4.A végső függvények algebrai mennyiségének bizonyos integrálja megegyezik az ilyen funkciókból származó egyes integrálok algebrai mennyiségével..

(42)

5. tétel.Ha az integrációs szegmens részekre oszlik, akkor egy bizonyos integrált a szegmensben megegyezik az egyes integrálok összegével. Ha egy

(43)

Tétel 6.Amikor az integrált határértékek permutálhatók, az egyes integrált abszolút értéke nem változik, de csak a jel változik.

(44)

Tétel 7.(Átlagos tétel). A specifikus integrál egyenlő az integráció integrációjának hosszúságának az integrandi funkció értékének egy bizonyos pontján belül.

(45)

Tétel 8.Ha a felső integrációs határ nagyobb, mint az alacsonyabb, és az integrált függvény nem negatív (pozitív), akkor egy bizonyos integrált nem negatív (pozitív), azaz. Ha egy

Tétel 9.Ha az integráció felső határa nagyobb, mint az alsó és a funkció, a folyamatos, majd az egyenlőtlenség

annyira integrálhatsz.

(46)

Egy adott integráció tulajdonságai lehetővé teszik, hogy egyszerűsítse az integrálok közvetlen kiszámítását.

5. példa.Kiszámít egy bizonyos integrált

A 4-es és 3-as tételek használatával, és ha első kézből - táblázatos integrálok (7) és (6) vannak, megszerezzük

Meghatározott integrált változó felső határértékkel

Legyen f.(x.) - folyamatos szegmensen [ a., b.] Funkció, és F.(x.) - A primitív. Fontolja meg a konkrét integrált

(47)

És körülötte t. Az integrációs változó azt jelzi, hogy ne keverje össze a felső kötéssel. Amikor megváltozik h.a definiálható integrált (47) változik, vagyis Ez a felső integrációs korlát függvénye. h.amit rámutatunk F.(h.), vagyis

(48)

Bizonyítjuk, hogy a funkció F.(h.) elsődleges f.(x.) = f.(t.). Valóban, differenciálva F.(h.), kapunk

mint F.(x.) - Pred-Like f.(x.), de F.(a.) - Állandó összeg.

Funkció F.(h.) - Az egyik végtelen primitív f.(x.), nevezetesen, mikor x. = a.nulla. Ez az állítás akkor érhető el, ha az egyenlőségben (48) megtörtént x. = a.és használja az előző bekezdés tételét.

Bizonyos integrálok kiszámítása az alkatrészek és a változó cseréjének módosításával

ahol, definíció szerint, F.(x.) - Pred-Like f.(x.). Ha az integratív kifejezésekben cserélje ki a változót

ezután a (16) képlet szerint rögzítheti

Ebben a kifejezésben

pred-szerű funkció

Valójában annak származékossága szerint a komplex funkció differenciálódási szabályai egyenrangú

Legyen α és β a változó értékei t. amelyben a funkció

az értékeket ennek megfelelően veszi figyelembe a.és b..

De a Newton Labnac formula szerint a különbség F.(b.) – F.(a.) van

>> >> >> Integrációs módszerek

Alapvető integrációs módszerek

Meghatározása az integrál, meghatározott és határozatlan, szerves asztal, Newton-laboratóriumi képletű, az integráció a részek, példák számítási integrálok.

Bizonytalan integrált

Legyen u \u003d f (x) és v \u003d g (x) funkciók, amelyek folyamatosak. Ezután a munka,

d (UV)) \u003d UDV + VDU vagy UDV \u003d D (UV) - VDU.

A D (UV) kifejezés esetében az első, nyilvánvalóan UV lesz, így a képlet:

∫ UDV \u003d UV - ∫ VDU (8.4.)

Ez a képlet a szabályt fejezi ki integráció az alkatrészekben. Ez eredményezi az UDV \u003d UV "DX expresszió integrálását a VDU \u003d VU" DX expressziójának integrálásához.

Legyen például megtalálni a ∫xcosx DX-t. Tedd u \u003d x, dv \u003d cosxdx, így a du \u003d dx, v \u003d sinx. Azután

∫xcosxdx \u003d ∫x d (sin x) \u003d x sin x - ∫sin x dx \u003d x sin x + cosx + c.

Az alkatrészek integrációs szabályának korlátozottabb hatályú, mint a változó cseréje. De vannak teljes osztályok integrálok, például ∫x k ln m xDX, ∫x k sinbxdx, ∫ xk cosbxdx, ∫x K e ax és mások, amelyeket kiszámításra integráció részein.

Bizonyos integrált

Integrációs módszerekA konkrét integrált fogalmát a következőképpen növelik. Hagyja, hogy az F (x) függvény meghatározza a szegmenst. Megszakítjuk a [A, B] szegmenst az A \u003d X 0 pontok n részeire< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x I - X I-1. Az F (ξ i) δ x i formanyomtatvány összegét integrált összegnek nevezik, és a λ \u003d maxΔx i → 0-nál, ha létezik és véges, hívott Bizonyos integráltf (X) függvények A-tól B-ig, és jelzik:

F (ξ i) Δx i (8.5).

Az f (x) funkció ebben az esetben hívják integrálható a vágásraaz A és B számokat hívják alsó és felső integrált határ.

Integrációs módszerek A következő tulajdonságokkal rendelkezik:

Az utolsó tulajdonságot hívják Az átlagos jelentése.

Legyen f (x) folyamatos. Ezután határozatlan integrál van ezen a szegmensen

∫f (x) dx \u003d f (x) + c

És megtörténik formula Newton Labitsa, Kötelezve a konkrét integrált bizonytalanságot:

F (b) - f (a). (8.6)

Geometriai értelmezés: a Curvilinear trapézium területe, a Y \u003d F (x), egyenes X \u003d A és X \u003d B és az oxi tengely szegmense.

Érvénytelen integrálok

A végtelen határértékekkel és az integrált integrálokat a nemes (korlátlan) funkciókból immunitásnak nevezik. Összeférhetetlen integrálok Ezek olyan integrálok, amelyek a következőképpen meghatározva vannak:

(8.7)

Ha ez a határérték létezik és véges, úgynevezett konvergáló hiányos integrál az F (x) az [a, + ∞) értékre, és az F (x) függvényt végtelen intervallumba integrálták [A, + ∞) . Ellenkező esetben az integrált azt mondják, hogy nem létezik vagy eltér.

Ugyanígy határozzák meg ugyanúgy (-∞, B) és (-∞, + ∞) érthetetlen integrálokat:

Meghatározzuk a korlátlan függvények integrált fogalmát. Ha f (x) folyamatos a szegmens összes értékéhez, kivéve a C pontot, amelyben f (x) végtelen rés van Nem kompatibilis integrált II nemzetség f (x) az A-tól B-ig terjedő tartományban Az összeget hívják:

ha ezek a határértékek léteznek és végesek. Kijelölés:

Példák az integrálok kiszámítására

3.30. Példa. Kiszámítja a ∫dx / (x + 2).

Döntés. Jelentése t \u003d x + 2, majd dx \u003d dt, ∫dx / (x + 2) \u003d ∫dt / t \u003d ln | t | + C \u003d LN | x + 2 | + C.

3.31. Példa.. Keresse meg ∫ tgxdx.

Döntés. ∫ tgxdx \u003d ∫sinx / cosxdx \u003d - ∫dcosx / cosx. Legyen t \u003d cosx, akkor ∫ tgxdx \u003d -∫ dt / t \u003d - ln | t | + C \u003d -LN | COSX | + C.

Példa3.32 . Keresse meg ∫dx / sinx

Példa3.33. Megtalálni .

Döntés. \u003d.

.

Példa3.34 . Keresse meg a ∫ARCTGXDX-t.

Döntés. Az alkatrészekbe integrálunk. Jelentése u \u003d arctgx, dv \u003d dx. Akkor du \u003d dx / (x 2 +1), v \u003d x, ahonnan ∫arctgxdx \u003d xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) \u003d xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + c; mint
∫xdx / (x 2 +1) \u003d 1/2 ∫D (x 2 +1) / (x 2 +1) \u003d 1/2 ln (x 2 +1) + c.

Példa3.35 . Számítsa ki a ∫lnxdx-t.

Döntés. Az integrációs képlet alkalmazásával az alábbiakban kapunk:
U \u003d lnx, dv \u003d dx, du \u003d 1 / x dx, v \u003d x. Majd ∫lnxdx \u003d xlnx - ∫x 1 / x dx \u003d
\u003d Xlnx - ∫dx + c \u003d xlnx - x + C.

Példa3.36 . Számítsa ki a ∫E x sinxdx-t.

Döntés. Alkalmazza az integrációs képlet részét. U \u003d e x, dv \u003d sinxdx, majd du \u003d e x dx, v \u003d ∫sinxdx \u003d - cosx → ∫ e x sinxdx \u003d - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫E x cosxdx az alkatrészekbe is integrálódik: u \u003d e x, dv \u003d cosxdx, du \u003d e x dx, v \u003d sinx. Nekünk van:
∫ e x cosxdx \u003d e x sinx - ∫ e x sinxdx. Kapott ∫e x sinxdx \u003d - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, ahonnan 2∫e x sinx dx \u003d - e x cosx + e x sinx + s

Példa 3.37. Számítsa ki J \u003d ∫COS (LNX) DX / X.

Megoldás. Tehát dx / x \u003d dlnx, majd j \u003d ∫cos (lnx) d (lnx). Az LNX-t t cserébe t, az integrált J \u003d ∫ CostDt \u003d Sint + C \u003d Sin (LNX) + C.

Példa 3.38 . Számítsa ki J \u003d.

Döntés. Tekintettel arra, hogy \u003d d (lnx), előállítjuk az LNX \u003d T helyettesítést. Ezután J \u003d. .

Példa 3.39 . Számítsa ki J \u003d. .

Döntés. Nekünk van: . ebből kifolyólag =

A legtöbb alkalmazott feladatban kiszámolja a konkrét integrált pontos értékét, ráadásul, ráadásul nem mindig lehetséges. Gyakran elég ahhoz, hogy megismerjük egy bizonyos mértékű integrált értéket bizonyos pontossággal, például egy ezred pontossággal.

Ahhoz, hogy megtalálja egy hozzávetőleges értéke egy meghatározott egybeépített a szükséges pontossággal, a numerikus integrálást használunk, például a Simpson módszer (parabola módszer), a módszer a trapéz vagy téglalap módszerrel. Bizonyos esetekben azonban konkrét integrált kiszámítható pontosan.

Ebben a cikkben a Newton-Leibnic képlet felhasználására összpontosítunk, hogy kiszámítsuk a specifikus integrált pontos értékét, részletes megoldást mutatunk be a jellemző példák részletes megoldására. Továbbá meg fogjuk érteni a példákat a változó cseréjével egy specifikus integrált és a konkrét integrált értékének megtalálásával az alkatrészek integrálásakor.

Navigációs oldal.

Formula Newton Labitsa.

Tegyük fel, hogy a Y \u003d F (x) függvény folyamatos a szegmensen, és az F (x) az egyik primitív funkció a szegmensen, akkor igaz :.

A Formula Newton Labnica-t hívják az integrált kalkulus fő képlete.

A Newton-labs formula bizonyításához szükségünk lesz a változó felső határértékű integrált koncepcióra.

Ha az Y \u003d F (x) függvény folyamatos a szegmensen, akkor az argumentumhoz a nézet integrálja a felső határ funkciója. Ezt a funkciót jelöli , és ez a funkció folyamatos és tisztességes egyenlőség .

Valójában megírjuk az argumentum növekményének növekedését, és felhasználjuk az ötödik tulajdonságot egy adott integrált és a tizedik tulajdonságok következménye:

hol.

Átírja az egyenlőséget az űrlapon . Ha emlékszel, és átmegy a határig, akkor kapunk. Ez az, hogy az egyik primitív funkciója y \u003d f (x) a szegmensen. Így az összes primitív f (x) készlet meg lehet írni ahol c jelentése önkényes állandó.

Az f (a) kiszámítása egy adott integrált első tulajdonságával: , ennélfogva, . Ezt az eredményt az F (b) kiszámításakor használjuk: azaz . Ez az egyenlőség biztosítja a programot a Formula Newton Labnica-hoz.

A funkció növekménye a . Ezzel a kijelöléssel a Formula Newton Laborice az űrlapot fogja venni .

Alkalmazásához az Newton formula, ez elég ahhoz, hogy tudjuk, az egyik az első alakú y \u003d f (x) az integrált függvény az y \u003d f (x) a szegmens, és kiszámítja a növekménye ez a primitív ebben a szegmensben. A cikk lebontja a primitív megtalálás fő módjait. Számos példát adunk ki bizonyos integrálok kiszámítására a Newton-Leibnia formula tisztázására.

Példa.

A Newton-Labend Formula konkrét integrált értékének kiszámítása.

Döntés.

Meg kell kezdeni, megjegyezzük, hogy az integrand funkció folyamatos a szegmensen, ezért integrálva van rá. (Az integrálható funkciókról beszéltünk a funkciók szakaszában, amelyre specifikus integrált).

Az egyértelműség példáját elemezzük.

Példa.

Kiszámítja az adott integrál értékét .

Döntés.

Az integrand funkció folyamatos az intercom szegmensen, ezért egy specifikus integrált létezik.

Jelöli . X \u003d 9-en, van, és x \u003d 18 van, azaz. A képletben kapott eredményeket helyettesítjük :

A bizonytalan integrálok táblázatából látható, hogy az egyik primitív funkció egy funkció, ezért Newton labnteri formája szerint van

Lehetséges képlet nélkül .

Ha a változó helyreállításának módja határozatlan integrált Aztán eljutunk az eredményhez .

Így a Newton laboratóriumi képlete szerint kiszámítunk egy specifikus integrál:

Amint láthatja, az eredmények egybeesnek.

Integráció az alkatrészekbe egy adott integráció kiszámításakor.

Funkció A folytonosságának köszönhetően a szegmensre integrálódik.

Legyen u (x) \u003d x, és , azután , de . A képlet szerint Kap

Ez a példa másképp megoldható.

Sok primitív funkciót találunk Integráció az alkatrészekben, és alkalmazza a Newton-Leibnic képletet: