Funkciók egy szegmensen. Egy függvény folytonossága egy szakaszon. A szegmensen folytonos függvények tulajdonságai. Együtt keresi a függvény legkisebb és legnagyobb értékét

Az alábbi képek azt mutatják, hogy a függvény hol érheti el a legkisebb és legnagyobb értékét. A bal oldali ábrán a legkisebb és legnagyobb értékek a függvény lokális minimumának és maximumának pontjain vannak rögzítve. A jobb oldali ábrán - a vonalszakasz végén.

Ha a funkció y = f(x) folyamatos a szegmensen [ a, b], akkor eléri ezt a szegmenst a legkisebb és legmagasabb értékeket ... Ez, mint már említettük, mindkét esetben megtörténhet szélsőséges pontok, vagy a szegmens végén. Ezért megtalálni a legkisebb és maximális függvényértékek folyamatos a szakaszon [ a, b], összességében ki kell számítania az értékeit kritikus pontokés a szegmens végén, majd válassza ki közülük a legkisebbet és a legnagyobbat.

Legyen például meg kell határozni legnagyobb érték funkciókat f(x) a szegmensen [ a, b]. Ehhez keresse meg az összes kritikus pontját a [ a, b] .

Kritikus pont pontnak nevezzük, ahol függvény definiált, és ő derivált vagy nulla, vagy nem létezik. Ezután ki kell számítania a függvény értékeit a kritikus pontokon. És végül össze kell hasonlítani a függvény értékeit a kritikus pontokon és a szegmens végén ( f(a) és f(b)). E számok közül a legnagyobb lesz a függvény legnagyobb értéke a szegmensen [a, b] .

A megtalálás problémái legkisebb függvényértékek .

Együtt keresi a függvény legkisebb és legnagyobb értékét

1. példa Keresse meg egy függvény legkisebb és legnagyobb értékét a szegmensen [-1, 2] .

Megoldás. Keresse meg ennek a függvénynek a deriváltját. Tegyük egyenlővé a derivált nullával () és kapjunk két kritikus pontot: és. Egy függvény legkisebb és legnagyobb értékének megkereséséhez egy adott szegmens elegendő az értékeit a szakasz végén és a ponton kiszámítani, mivel a pont nem tartozik a szakaszhoz [-1, 2]. Ezek a függvényértékek a következők:,,. Ebből következik, hogy legkisebb érték funkciókat(az alábbi grafikonon pirossal van jelölve), -7-tel egyenlő, a szegmens jobb végén - a pontban - érjük el, és a legnagyobb(a grafikonon is piros), egyenlő 9, - in kritikus pont.

Ha egy függvény folytonos valamilyen intervallumban, és ez az intervallum nem szegmens (de pl. intervallum; az intervallum és a szakasz közötti különbség: az intervallum határpontjai nem szerepelnek az intervallumban, és a határ a szegmens pontjai benne vannak a szegmensben), akkor a függvény értékei között nem feltétlenül a legkisebb és a legnagyobb. Így például az alábbi ábrán látható függvény folyamatos] -∞, + ∞ [és nincs legnagyobb értéke.

Azonban bármely intervallumra (zárt, nyitott vagy végtelen) igaz a folytonos függvények következő tulajdonsága.

A számítások során végzett önellenőrzéshez használhatja online származékkalkulátor .

4. példa Keresse meg egy függvény legkisebb és legnagyobb értékét a szegmensen [-1, 3] .

Megoldás. Ennek a függvénynek a deriváltját a hányados származékaként találjuk:

.

A deriváltot nullával egyenlővé tesszük, ami egy kritikus pontot ad:. A [-1, 3] szegmenshez tartozik. Ahhoz, hogy egy adott szegmensen egy függvény legkisebb és legnagyobb értékét megtaláljuk, az értékeit a szegmens végén és a talált kritikus ponton találjuk meg:

Összehasonlítjuk ezeket az értékeket. Következtetés: egyenlő -5/13, az és pontban a legnagyobb érték pontban egyenlő 1-gyel.

Továbbra is közösen keressük a függvény legkisebb és legnagyobb értékét

Vannak olyan tanárok, akik egy függvény legkisebb és legnagyobb értékének megtalálása témájában nem adnak a tanulóknak bonyolultabb példákat megoldani az imént tárgyaltaknál, vagyis azokat, amelyekben a függvény polinom vagy tört, amelyek számlálója és nevezője polinomok. De nem korlátozzuk magunkat az ilyen példákra, hiszen a tanárok között vannak olyanok, akik szeretik a tanulókat teljes értékű gondolkodásra késztetni (származékok táblázata). Ezért a logaritmus és a trigonometrikus függvény kerül felhasználásra.

8. példa Keresse meg egy függvény legkisebb és legnagyobb értékét a szegmensen .

Megoldás. Keresse meg ennek a függvénynek a deriváltját: származékos munka :

A deriváltot nullával egyenlővé tesszük, ami egy kritikus pontot ad:. A szegmenshez tartozik. Ahhoz, hogy egy adott szegmensen egy függvény legkisebb és legnagyobb értékét megtaláljuk, az értékeit a szegmens végén és a talált kritikus ponton találjuk meg:

Minden tevékenység eredménye: függvény eléri a legkisebb értékét pontban egyenlő 0-val és az és pontban a legnagyobb érték egyenlő e², azon a ponton.

A számítások során végzett önellenőrzéshez használhatja online származékkalkulátor .

9. példa Keresse meg egy függvény legkisebb és legnagyobb értékét a szegmensen .

Megoldás. Keresse meg ennek a függvénynek a deriváltját:

A derivált nullával való egyenlővé tétele:

Az egyetlen kritikus pont a vonalszakaszhoz tartozik. Ahhoz, hogy egy adott szegmensen egy függvény legkisebb és legnagyobb értékét megtaláljuk, az értékeit a szegmens végén és a talált kritikus ponton találjuk meg:

Következtetés: függvény eléri a legkisebb értékét egyenlő a pontban és a legnagyobb érték, egyenlő, azon a ponton.

Alkalmazott extrém problémákban a függvény legkisebb (legnagyobb) értékeinek megtalálása általában a minimum (maximum) megtalálására redukálódik. De nem maguk a minimumok vagy maximumok érdekesek nagyobb gyakorlati szempontból, hanem az érvelés azon értékei, amelyeknél ezeket elérjük. Az alkalmazott problémák megoldása során további nehézség adódik - a vizsgált jelenséget vagy folyamatot leíró függvények összeállítása.

10. példa. Egy 4 férőhelyes, négyzetes talpú paralelepipedon alakú, felül nyitott tartályt bádoggal kell kihalászni. Mekkora legyen a tartály, hogy a lehető legkevesebb anyagot fedje le?

Megoldás. Hadd x- az alap oldala, h- tartály magassága, S- burkolat nélküli felülete, V- a térfogata. A tartály felületét a képlet fejezi ki, pl. két változó függvénye. Kifejezni S egy változó függvényében azt a tényt fogjuk használni, hogy honnan. A talált kifejezés behelyettesítése h a képletbe S:

Vizsgáljuk meg ezt a függvényt egy szélsőségre. Mindenhol definiálható és differenciálható] 0, + ∞ [, és

.

Egyenlítse a derivált nullával () és keresse meg a kritikus pontot. Ezenkívül a derivált nem létezik, de ez az érték nem szerepel a definíciós tartományban, ezért nem lehet szélsőpont. Tehát ez az egyetlen kritikus pont. Ellenőrizzük a szélsőség jelenlétét a második elégséges kritérium segítségével. Keressük a második származékot. Ha a második derivált nagyobb, mint nulla (). Ezért at, a függvény eléri a minimumot ... Ettől kezdve A minimum ennek a függvénynek az egyetlen szélső értéke, egyben a legkisebb értéke is... Tehát a tartály aljának oldalának 2 m-nek és magasságának kell lennie.

A számítások során végzett önellenőrzéshez használhatja

Az intervallumon folytonos függvények fő tételeinek meghatározása és megfogalmazása. Ezek a következők: az első Weierstrass-tétel egy intervallumon lévő folytonos függvény korlátosságáról; a második Weierstrass-tétel egy folytonos függvény maximumáról és minimumáról; Bolzano - Cauchy-tétel a köztes értékről.

Tartalom

Lásd még: Egy függvény folytonossága egy pontban - tulajdonságok és tételek

Definíciók és tételek

Egy szakaszon folytonos függvény definíciója
Egy függvényt folytonosnak nevezünk egy szakaszon (for), ha egy nyitott intervallum (for) minden pontjában folytonos, az a és b pontban pedig a jobb és a bal oldalon folytonos.

Weierstrass első tétele a folytonos függvény intervallumon való korlátosságáról

Ha egy függvény folytonos egy szakaszon, akkor erre a szakaszra korlátos.
Bizonyíték

A maximum (minimum) elérhetőségének meghatározása
A függvény akkor éri el a maximumát (minimumát) a halmazon, ha van argumentum, amelyre
mindenkinek .

A felső (alsó) lap elérhetőségének meghatározása
A függvény akkor éri el a felső (alsó) korlátját a halmazon, ha van argumentum, amely mellett
.

Könnyen belátható, hogy ezek a meghatározások egyenértékűek. Én Kövér,
, azután .
Ha akkor.

A maximum (minimum) és a felső (alsó) él között az a különbség, hogy a maximum (minimum) egy halmazhoz (jelen esetben a függvényértékek halmazához) tartozik, a felső (alsó) él pedig nem feltétlenül ebbe tartozik. készlet. Például legyen egy függvény adott egy nyitott intervallumon. Ezen az intervallumon a függvénynek van egy felső és egy alsó éle:
.
De nincs maximuma és minimuma. Valójában bármelyik esetén mindig megadhat olyan számokat és a függvényértékeket, amelyeknek a függvényértékei nagyobbak és kisebbek:
.
Egy szegmensen a függvénynek van felső és alsó éle, valamint maximuma és minimuma:
.
Ezenkívül a felső (alsó) él egyenlő lehet a plusz (mínusz) végtelennel:, és a maximum (minimum) nem lehet végtelen szám.

Minden halmaznak, amelyben összehasonlítási műveletek vannak meghatározva, van felső és alsó korlátja.

Weierstrass második tétele a folytonos függvény maximumáról és minimumáról

Egy szegmensen lévő folytonos függvény eléri rajta a felső és alsó határát, vagy ami megegyezik, a szegmensen eléri maximumát és minimumát.
Bizonyíték

Ez a tétel azt jelenti, hogy vannak olyan pontok, amelyek a szegmenshez tartoznak: a függvény értékei, amelyekben megegyeznek az alsó és a felső lappal:
.
Mivel a felső és alsó felület meghatározása alapján:
nál nél ,
nál nél ,
és mivel, akkor ezek a függvény minimuma és maximuma a szegmensen.

A második Bolzano - Cauchy-tétel a köztes értékről

Legyen a függvény folytonos egy szakaszon. És legyen C egy tetszőleges szám a függvény értékei között a szegmens végén: és. Aztán van egy pont, amiért
.
folyamatos egy szakaszon. Engedd el . Ezután a függvény átveszi a szegmens összes értékét és csak ezeket az értékeket:
nál nél .

Referenciák:
O.I. Démonok. Előadások a matematikai elemzésről. 1. rész Moszkva, 2004.
CM. Nikolszkij. A matematikai elemzés menete. 1. kötet Moszkva, 1983.

Lásd még:

Meghatározás

Legyen az "y = f (x)" függvény definiálva valamilyen intervallumon, amely tartalmazza az "ainR" pontot. Az "a" pontot hívják helyi maximum pontja"f" függvény, ha van "epszilon" - az "a" pont környéke, amely bármely x-re = ​​a" ebből az "f (x") szomszédból

Ha az `f (x)> f (a)` egyenlőtlenség fennáll, akkor az `a` meghívásra kerül pontja a helyi minimumnak"f" függvény.

A lokális maximum és lokális minimum pontjait pontoknak nevezzük helyi extrémum.

5.1. tétel (Fermat)

Ha az "a" pont az y = f (x) függvény lokális szélsőpontja, és az "f" függvénynek ezen a ponton van deriváltja, akkor "f ^" (a) = 0'.

Fizikai jelentés: egydimenziós, visszatéréssel járó mozgásnál a maximális távolság pontján legyen megállás. Geometriai jelentés: a lokális szélsőpont érintője vízszintes.

Megjegyzés.

Fermat tételéből az következik, hogy ha egy függvénynek van szélső értéke az `a` pontban, akkor ezen a ponton a függvény deriváltja vagy nulla, vagy nem létezik. Például az `y = | x |` függvénynek minimuma van az `x = 0' pontban, és a derivált ezen a ponton nem létezik (lásd a 4.2. példát). Meghívásra kerülnek azok a pontok, ahol a függvény definiálva van, és a derivált nullával egyenlő vagy nem létezik kritikai.

Tehát, ha a függvénynek vannak szélsőséges pontjai, akkor azok a kritikus pontok közé tartoznak (a kritikus pontok "gyanúsak" a szélsőségre nézve). Ahhoz, hogy olyan feltételeket fogalmazzunk meg, amelyek biztosítják az extrémum jelenlétét egy kritikus ponton, a következő fogalomra van szükségünk.

Emlékezzünk vissza, hogy az intervallum egy intervallum (véges vagy végtelen), egy félintervallum vagy egy számegyenes szakasza.

Meghatározás

Legyen az "y = f (x)" függvény az "I" intervallumon definiálva.

1) "y = f (x)" függvény növekszik

2) "y = f (x)" függvény csökken az 'I'-n, ha van, x, yinI, 'x f (y) `.

Ha a függvény 'I'-vel növekszik vagy csökken, akkor azt mondják, hogy a függvény monoton az "I" intervallumon.

Monotonitási feltételek... Legyen az "y = f (x)" függvény definiálva az "I" intervallumon, melynek végei" a", "b" vannak, differenciálható" (a, b) "és folytonos a végein, ha az "I"-hez tartoznak . Azután

1) ha "f ^" (x)> 0 az "(a, b)"-nél, akkor a függvény növekszik az "I"-n;

2) ha "f ^" (x)<0` на `(a, b)`, то функция убывает на `I`.

Extrém feltételek... Legyen az "y = f (x)" függvény az "(ab)" intervallumon definiálva, folytonos az "x_0" pontban az (a, b)" pontban, és differenciálható az "(a, x_0) uu (x_0, b) pontban" `. Azután

1) ha "f ^" (x)> 0 "(a; x_0)" és "f ^" (x)<0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального максимума функции `f`;

2) ha "f ^" (x)<0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)>0` az "(x_0; b)"-on, akkor az "x_0" az f" függvény helyi minimumának pontja.

5.1. példa

Vizsgálja meg az "y = x ^ 3-3x" függvényt a definíciós tartomány monotonitása és szélsőségei szempontjából.

Ez a függvény az `R'-n van definiálva, és minden pontban differenciálható (lásd a 4.2. Tétel következményét), sőt,` y ^ "= 3 (x ^ 2-1)". Mivel az "y ^"<0` при `x in(-1,1)`; `y^">0` ha `x in (-oo, -1) uu (1, + oo)`, akkor a függvény növekszik a `(-oo, -1]` és `` sugarakon. Az extrémum feltétellel `x = -1` - egy helyi maximum pontja, az `x = 1` pedig egy helyi minimum pontja. Mivel` y ^ "= 0` csak azoknál a pontoknál, ahol" x = 1" és "x = -1", akkor Fermat tétele szerint a függvénynek nincs más szélsőpontja...

Tekintsünk egy fontos problémaosztályt, amely a derivált fogalmát használja - a függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásának problémáját egy szegmensen.

5.2. példa

Keresse meg az `y = x ^ 3-3x` függvény legnagyobb és legkisebb értékét a szegmensen: a)` [-2; 0] `; b) ``.

a) Az 5.1 példából az következik, hogy a függvény `(-oo, -1]-vel növekszik és `[-1,1]-vel csökken. Tehát `y (-1)> = y (x)` minden ` x in [-2; 0] `és` y_ "naib" = y (-1) = 2` – a függvény legnagyobb értéke a [-2; 0] szegmensben. A legkisebb érték megtalálásához hasonlítsa össze a függvény értékei a végén Mivel y (-2) = - 2, és y (0) = 0, akkor y_" naim "= - 2" a függvény legkisebb értéke a szegmens" [-2; 0] ".

b) Mivel a sugáron `y_" naim "= y (1) = - 2`,` y_ "naib" = y (3) = 18`.

Megjegyzés

Vegye figyelembe, hogy egy szegmensen folytonos függvénynek mindig a legnagyobb és a legkisebb értéke van.

5.3. példa

Keresse meg az `y = x ^ 3-12 | x + 1 |` függvény legnagyobb és legkisebb értékét a `[-4; 3]` szegmensen.

Figyeljük meg, hogy a függvény az egész számegyenesen folytonos. Jelöljük: "f_1 (x) = x ^ 3 + 12 (x + 1)", "f_2 (x) = x ^ 3-12 (x + 1)". Ezután "y = f_1 (x)" a "-4" értékhez<=x<=-1` и `y=f_2(x)` при `-1<=x<=3`. Находим `f_1^"(x)=3x^2+12`, `f_2^"(x)=3x^2-12`. Уравнение `f_1^"(x)=0` не имеет действительных корней, а уравнение `f_2^"(x)=0` имеет два действительных корня `x_1=-2`, `x_2=2`, из которых интервалу `(-1;3)` принадлежит только точка `x_2`. В точке `x=-1` функция определена, но не имеет производной (можно, например, провести рассуждения, аналогичные рассуждениям примера 4.2). Итак, имеется две критические точки: `x=-1` и `x=2`. Производная `y^"(x)=f_1^"(x)>0" - "(-4; -1)", "y ^" (x) = f_2 ^ "(x)<0` на `(-1;2)` и `y^"(x)=f_2^"(x)>0" - "(2; 3)". Írjuk be az összes tanulmányt a táblázatba:

`y_" naib "= - 1"; "y_" naim "= - 100".

Meghatározás... Ha a funkció f(x) a [ szegmensen van meghatározva a, b], folytonos az intervallum minden pontjában ( a, b), azon a ponton a folyamatos a jobb oldalon, a pontban b folytonos a bal oldalon, akkor azt mondjuk, hogy a függvény f(x) folyamatos a szegmensen [a, b].

Más szóval, a funkció f(x) folyamatos a [ szegmensen a, b], ha három feltétel teljesül:

1) "x 0 Î( a, b): f(x) = f(x 0);

2) f(x) = f(a);

3) f(x) = f(b).

Az intervallumon folytonos függvényeknél vegyünk figyelembe néhány tulajdonságot, amelyeket a következő tételek formájában fogalmazunk meg, bizonyítások nélkül.

1. tétel... Ha a funkció f(x) folyamatos a [ szegmensen a, b], akkor eléri a legalacsonyabb és legmagasabb értékét ebben a szegmensben.

Ez a tétel kimondja (1.15. ábra), hogy a [ szakaszon a, b] van egy ilyen pont x 1 azt f(x 1) £ f(x) bármilyen x tól től [ a, b] és hogy van értelme x 2 (x 2 Î [ a, b]) oly módon, hogy " xÎ[ a, b] (f(x 2) ³ f(x)).

Jelentése f(x 1) a legnagyobb egy adott függvényhez a [ a, b], a f(x 2) - a legkisebb. Jelöljük: f(x 1) = M, f(x 2) =m... Mivel azért f(x) az egyenlőtlenség fennáll: " xÎ[ a, b] m£ f(x) £ M, akkor az 1. Tételből a következő következményt kapjuk.

Következmény... Ha a funkció f(x) folytonos egy szakaszon, akkor erre a szakaszra korlátozódik.

2. tétel... Ha a funkció f(x) folyamatos a [ szegmensen a, b] és a szegmens végén különböző előjelű értékeket vesz fel, akkor van egy ilyen belső pont x 0 szegmens [ a, b], amelyben a függvény 0 lesz, azaz $ x 0 Î ( a, b) (f(x 0) = 0).

Ez a tétel kimondja, hogy a függvény grafikonja y = f(x) folyamatos a szegmensen [ a, b], keresztezi a tengelyt Ökör legalább egyszer, ha az értékeket f(a) és f(b) ellentétes előjelűek. Tehát (1.16. ábra) f(a) > 0, f(b) < 0 и функция f(x) pontokon eltűnik x 1 , x 2 , x 3 .

3. tétel... Hagyja a függvényt f(x) folyamatos a [ szegmensen a, b], f(a) = A, f(b) = Bés A¹ B... (1.17. ábra). Aztán bármilyen számra C számok közé zárva Aés B, van egy ilyen belső pont x 0 szegmens [ a, b], mit f(x 0) = C.

Következmény... Ha a funkció f(x) folyamatos a [ szegmensen a, b], m- a legkisebb érték f(x), M- a függvény legmagasabb értéke f(x) a szegmensen [ a, b], akkor a függvény (legalább egyszer) bármilyen értéket felvesz m között kötöttek més M, és ezért a szegmens [ m, M] a függvény összes értékének halmaza f(x) a szegmensen [ a, b].

Vegye figyelembe, hogy ha a függvény folytonos a ( a, b) vagy a szegmensben [ a, b] szakadási pontok, akkor az 1., 2., 3. tétel megszűnik igaznak lenni egy ilyen függvényre.

Végezetül vegyünk egy tételt egy inverz függvény létezéséről.

Emlékezzünk vissza, hogy egy intervallum alatt egy szakaszt, egy intervallumot vagy egy félintervallumot értünk, véges vagy végtelen.

4. tétel... Hadd f(x) folyamatos az intervallumon x, növeli (vagy csökkenti) a xés számos jelentése van Y... Aztán a funkcióhoz y = f(x) van egy inverz függvény x= j(y) az intervallumon meghatározott Y, folyamatos és növekvő (vagy csökkenő) által Y többféle jelentéssel x.

Megjegyzés... Hagyja a függvényt x= j(y) a függvény inverze f(x). Mivel az érvelést általában a x, és a funkción keresztül y, akkor az inverz függvényt a formába írjuk y =j(x).

1. példa... Funkció y = x 2 (1.8. ábra, a) a készüléken x= }