Komplex függvény szorzatának deriváltja. Két függvény szorzatának származéka. A származék geometriai és fizikai jelentése

VAL VEL referenciaanyagok a "származék" témában. Alapiskolai szint.
Elméleti információk matematikából tanulóknak, tanároknak és oktatóknak. Segíteni az órák lebonyolításában.

Meghatározás: egy függvény deriváltja egy pontban a függvény növekménye és a változó növekménye arányának határa, azaz

Az alapvető matematikai függvények származéktáblázata:

Származékos számítási szabályok

Az összeg származéka bármely két kifejezés egyenlő e kifejezések deriváltjainak összegével (az összeg deriváltja egyenlő a származékok összegével)

A különbség származéka bármely két kifejezés egyenlő e tagok származékainak különbségével (a különbség deriváltja egyenlő a származékok különbségével).

A mű származéka két tényező egyenlő az első tényező deriváltjának a másodikkal, plusz az első tényező szorzatával a második deriváltjával (a faktorok deriváltjainak összegével).
A matektanár megjegyzése: amikor én rövid mondatok Emlékeztetem a tanulót a szorzat deriváltjának kiszámítására vonatkozó szabályra, ezt mondom: az első tényező deriváltja a második plusszal cserélj ütéseket!

A hányadosból származik két kifejezés egyenlő a faktorok deriváltjai különbségének és a nevező négyzetének a hányadosával.

Egy szám és egy függvény szorzatának származéka... Ha meg akarja találni egy szám szorzatát egy literális kifejezéssel (függvénnyel), meg kell szoroznia ezt a számot a szó szerinti kifejezés származékával.

Egy összetett függvény származéka:

Egy komplex függvény deriváltjának kiszámításához meg kell találni a külső függvény deriváltját, és meg kell szorozni a belső függvény deriváltjával.

Észrevételei és visszajelzései a származékos oldalról:
Alexander S.
Az asztal nagyon szükséges volt. Az egyik legnépszerűbb az interneten. Köszönöm szépen a magyarázatokat és a szabályokat. Legalább még egy példa nekik, és általában jó lenne. Köszönöm mégegyszer.

Kolpakov A.N., matematika tanár: Rendben, igyekszem a lehető leghamarabb néhány példát hozzáadni az oldalhoz.

Virtuális matematikai kézikönyv.
Kolpakov Alekszandr Nikolajevics, matematika tanár.

Ha követjük a definíciót, akkor egy függvény deriváltja egy pontban a Δ függvény növekményének a határa. y a Δ argumentum növekedéséhez x:

Úgy tűnik, minden világos. De próbáljon meg számolni ezzel a képlettel, mondjuk egy függvény deriváltjával f(x) = x 2 + (2x+ 3) e x Bűn x... Ha mindent definíció szerint csinálsz, akkor pár oldalas számítás után csak elalszol. Ezért vannak egyszerűbb és hatékonyabb módszerek.

Először is megjegyezzük, hogy az úgynevezett elemi függvények megkülönböztethetők a függvények sokféleségétől. Ez relatív egyszerű kifejezések, melynek deriváltjait már régóta kiszámolták és bevitték a táblázatba. Az ilyen függvényeket elég könnyű megjegyezni – származékaikkal együtt.

Elemi függvények származékai

Az elemi funkciók az alábbiakban felsoroltak. Ezeknek a függvényeknek a származékait fejből kell tudni. Sőt, memorizálásuk egyáltalán nem nehéz – ezért elemiek.

Tehát az elemi függvények származékai:

Név	Funkció	Derivált
Állandó	f(x) = C, C ∈ R	0 (igen, nulla!)
Racionális osztályzat	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = bűn x	kötözősaláta x
Koszinusz	f(x) = cos x	- bűn x(mínusz szinusz)
Tangens	f(x) = tg x	1 / cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	- 1 / bűn 2 x
Természetes logaritmus	f(x) = ln x	1/x
Önkényes logaritmus	f(x) = napló a x	1/(x Ln a)
Exponenciális függvény	f(x) = e x	e x(nem változott semmi)

Ha az elemi függvényt megszorozzuk egy tetszőleges állandóval, akkor az új függvény deriváltja is könnyen kiszámítható:

(C · f)’ = C · f ’.

Általában az állandók a derivált előjelén kívülre helyezhetők. Például:

(2x 3) '= 2 · ( x 3) '= 2 3 x 2 = 6x 2 .

Nyilvánvalóan az elemi függvények összeadhatók, szorozhatók, oszthatók - és még sok más. Így új funkciók jelennek meg, amelyek már nem különösebben elemiek, de bizonyos szabályok szerint differenciálhatók is. Ezeket a szabályokat az alábbiakban tárgyaljuk.

Az összeg és a különbözet ​​származéka

Legyen függvények f(x) és g(x), amelynek származékait ismerjük. Vegyük például a fentebb tárgyalt elemi függvényeket. Ezután megtalálhatja ezen függvények összegének és különbségének deriváltját:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Tehát két függvény összegének (különbségének) deriváltja egyenlő a deriváltak összegével (különbségével). Több kifejezés is lehet. Például, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Szigorúan véve az algebrában nincs a "kivonás" fogalma. Létezik a „negatív elem” fogalma. Ezért a különbség f − gösszegként átírható f+ (-1) g, és akkor már csak egy képlet marad - az összeg deriváltja.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkció f(x) Két elemi függvény összege, tehát:

f ’(x) = (x 2 + bűn x)’ = (x 2) '+ (bűn x)’ = 2x+ cos x;

Hasonlóan indokoljuk a függvényt g(x). Csak már három tag van (az algebra szempontjából):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Válasz:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Egy mű származéka

A matematika logikai tudomány, ezért sokan úgy gondolják, hogy ha az összeg deriváltja egyenlő a származékok összegével, akkor a szorzat deriváltja sztrájk"> egyenlő a származékok szorzatával. De tessék! A szorzat deriváltját egy teljesen más képlettel számítjuk ki. Nevezetesen:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

A képlet egyszerű, de gyakran figyelmen kívül hagyják. És nem csak iskolások, hanem diákok is. Az eredmény helytelenül megoldott problémák.

Feladat. Keresse meg a függvények származékait: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x- 7) e x .

Funkció f(x) két elemi függvény szorzata, tehát minden egyszerű:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) 'cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (- sin x) = x 2 (3 cos x − x Bűn x)

A funkció g(x) az első tényező egy kicsit bonyolultabb, de az általános séma ettől nem változik. Nyilvánvalóan a függvény első tényezője g(x) egy polinom, deriváltja pedig az összeg deriváltja. Nekünk van:

g ’(x) = ((x 2 + 7x- 7) e x)’ = (x 2 + 7x- 7) ' e x + (x 2 + 7x- 7) ( e x)’ = (2x+ 7) e x + (x 2 + 7x- 7) e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) e x .

Válasz:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x Bűn x);
g ’(x) = x(x+ 9) e x .

Vegye figyelembe, hogy az utolsó lépésben a származékot faktorizálják. Formálisan erre nincs szükség, azonban a legtöbb derivált nem önmagában számít, hanem a függvény vizsgálata érdekében. Ez azt jelenti, hogy a továbbiakban a derivált nullával egyenlő lesz, előjelei tisztázódnak stb. Ilyen esetekben jobb, ha faktorizált kifejezést használunk.

Ha két funkció van f(x) és g(x), és g(x) ≠ 0 a számunkra érdekes halmazon, meg tudjuk határozni új funkció h(x) = f(x)/g(x). Egy ilyen függvényhez származékot is találhat:

Nem gyenge, mi? Honnan jött a mínusz? Miért g 2? De így! Ez az egyik legtöbb összetett képletek- üveg nélkül nem lehet rájönni. Ezért jobb, ha tanulmányozzuk konkrét példák.

Feladat. Keresse meg a függvények származékait:

Minden tört számlálója és nevezője elemi függvényeket tartalmaz, így csak a hányados derivált képletére van szükségünk:

Hagyomány szerint a számláló faktorokba való beszámítása nagyban leegyszerűsíti a választ:

Egy összetett függvény nem feltétlenül fél kilométer hosszú képlet. Például elég a függvényt venni f(x) = bűn xés cserélje ki a változót x mondjuk tovább x 2 + ln x... Ki fog derülni f(x) = bűn ( x 2 + ln x) Egy összetett függvény. Ennek is van származéka, de a fent tárgyalt szabályok szerint nem fog működni.

Hogyan legyen? Ilyen esetekben a változócsere és a komplex függvény deriváltjának képlete segít:

f ’(x) = f ’(t) · t', ha x helyettesíti t(x).

Ennek a képletnek a megértésével általában még szomorúbb a helyzet, mint a hányados származékával. Ezért érdemes konkrét példákkal is kifejteni, az egyes lépések részletes leírásával.

Feladat. Keresse meg a függvények származékait: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = bűn ( x 2 + ln x)

Vegye figyelembe, hogy ha a függvényben f(x) a 2 kifejezés helyett x+3 könnyű lesz x, akkor kapunk egy elemi függvényt f(x) = e x... Ezért behelyettesítést végzünk: legyen 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t... Egy komplex függvény deriváltját keressük a következő képlettel:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

És most - figyelem! Fordított cserét végzünk: t = 2x+ 3. Kapjuk:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Most foglalkozzunk a funkcióval g(x). Nyilvánvalóan cserélni kell x 2 + ln x = t... Nekünk van:

g ’(x) = g ’(t) · t’= (Bűn t)’ · t’= Cos t · t ’

Fordított csere: t = x 2 + ln x... Azután:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x) '= Cos ( x 2 + ln x) (2 x + 1/x).

Ez minden! Amint az utolsó kifejezésből látható, az egész probléma a származtatott összeg kiszámítására redukálódott.

Válasz:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) Cos ( x 2 + ln x).

Az órákon nagyon gyakran használom a „stroke” szót a „származék” kifejezés helyett. Például az összeg prímje egyenlő a vonások összegével. Így világosabb? Hát az jó.

Így a derivált kiszámítása éppen ezektől az ütésektől való megszabaduláshoz vezet a fent tárgyalt szabályok szerint. Utolsó példaként térjünk vissza a racionális kitevővel rendelkező kitevő deriváltjához:

(x n)’ = n · x n − 1

Kevesen tudják, mi a szerepe n lehet, hogy törtszám is. Például a gyökér az x 0.5. De mi van akkor, ha valami díszes a gyökérben? Ez ismét egy összetett funkciónak bizonyul – az ilyen konstrukciók szeretnek engedni vezérlés működikés vizsgák.

Feladat. Keresse meg egy függvény deriváltját:

Először is írjuk át a gyököt hatványként racionális kitevővel:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Most csinálunk egy cserét: hagyjuk x 2 + 8x − 7 = t... A származékot a következő képlettel találjuk meg:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5) " t'= 0,5 t−0,5 t ’.

Fordított cserét végzünk: t = x 2 + 8x- 7. Nálunk:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x- 7) -0,5 x 2 + 8x- 7) '= 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Végül vissza a gyökerekhez:

Nagyon könnyű megjegyezni.

Nos, ne menjünk messzire, azonnal figyelembe vesszük az inverz függvényt. Melyik függvény inverze exponenciális függvény? Logaritmus:

Esetünkben az alap egy szám:

Egy ilyen logaritmust (vagyis egy bázissal rendelkező logaritmust) "természetesnek" nevezünk, és erre egy speciális jelölést használunk: írjon helyette.

Mi egyenlő? Természetesen, .

A természetes logaritmus deriváltja is nagyon egyszerű:

Példák:

1. Keresse meg a függvény deriváltját!
2. Mi a függvény deriváltja?

Válaszok: A kitevő és a természetes logaritmus a derivált szempontjából egyedülállóan egyszerű függvények. Az exponenciális és logaritmikus függvények bármely más bázissal eltérő deriválttal fognak rendelkezni, amelyet később, a differenciálás szabályainak áttekintése után elemezünk.

Differenciálási szabályok

Minek a szabályai? Megint egy új kifejezés, megint?!...

Különbségtétel a származék megtalálásának folyamata.

Ez minden. Hogyan nevezhetnénk másként ezt a folyamatot egy szóval? Nem levezetés... A matematika differenciálját a függvény azonos növekményének nevezzük. Ez a kifejezés a latin differentia - differencia szóból származik. Itt.

Mindezen szabályok származtatása során két függvényt fogunk használni, például, és. A növekményeikhez képletekre is szükségünk van:

Összesen 5 szabály van.

A konstans a derivált előjelen kívülre kerül.

Ha valamilyen állandó szám (konstans), akkor.

Nyilvánvalóan ez a szabály a különbségre is érvényes:.

Bizonyítsuk be. Hagyjuk, vagy könnyebben.

Példák.

Keresse meg a függvények származékait:

1. azon a ponton;
2. azon a ponton;
3. azon a ponton;
4. azon a ponton.

Megoldások:

1. (a derivált minden pontban ugyanaz, mivel ez lineáris függvény, emlékezik?);

Egy mű származéka

Itt minden a régi: bevezetünk egy új funkciót, és megtaláljuk a növekményét:

Derivált:

Példák:

1. Keresse meg az és függvények deriváltjait;
2. Keresse meg a függvény deriváltját a pontban.

Megoldások:

Az exponenciális függvény deriváltja

Most már elegendő tudása ahhoz, hogy megtanulja, hogyan kell megtalálni bármely exponenciális függvény deriváltját, nem csak a kitevőt (elfelejtette, mi az?).

Szóval, hol van egy szám.

A függvény deriváltját már ismerjük, ezért próbáljuk meg a függvényünket egy új gyökbe önteni:

Erre fogjuk használni egyszerű szabály:. Azután:

Nos, sikerült. Most próbálja meg megtalálni a származékot, és ne felejtse el, hogy ez a függvény trükkös.

Megtörtént?

Itt ellenőrizd magad:

A képlet nagyon hasonlónak bizonyult a kitevő deriváltjához: ahogy volt, úgy marad, csak egy szorzó jelent meg, ami csak egy szám, de nem változó.

Példák:
Keresse meg a függvények származékait:

Válaszok:

Ez csak egy szám, amit számológép nélkül nem lehet kiszámolni, vagyis nem lehet többre írni egyszerű alak... Ezért a válaszban ebben a formában hagyjuk.

Figyeljük meg, hogy itt két függvény hányadosa van, ezért a megfelelő differenciálási szabályt alkalmazzuk:

Ebben a példában két függvény szorzata:

Logaritmikus függvény deriváltja

Itt is hasonló: már ismeri a természetes logaritmus deriváltját:

Ezért például egy tetszőleges logaritmus megkereséséhez más alappal:

Ezt a logaritmust az alaphoz kell hoznia. Hogyan változtatja meg a logaritmus alapját? Remélem emlékszel erre a képletre:

Csak most ahelyett, hogy ezt írjuk:

A nevező csak egy állandó (állandó szám, változó nélkül). A származék nagyon egyszerű:

Származékai exponenciális és logaritmikus függvények szinte nem fordulnak elő a vizsgán, de nem lesz felesleges ismerni őket.

Komplex függvény származéka.

Mi az a "komplex függvény"? Nem, ez nem logaritmus és nem arctangens. Ezeket a függvényeket nehéz lehet megérteni (bár ha a logaritmus nehéznek tűnik, olvassa el a "Logaritmusok" témakört, és minden elmúlik), de a matematika szempontjából a "nehéz" szó nem azt jelenti, hogy "nehéz".

Képzeljünk el egy kis futószalagot: két ember ül és valamilyen tárggyal valamilyen műveletet végez. Például az első egy csokoládét csomagol egy csomagolóanyagba, a második pedig egy szalaggal köti össze. Kiderült, hogy egy ilyen összetett tárgy: egy csokoládé szalaggal becsomagolva és átkötve. Egy tábla csokoládé elfogyasztásához fordított sorrendben kell végrehajtania a fordított lépéseket.

Készítsünk egy hasonló matematikai csővezetéket: először megkeressük egy szám koszinuszát, majd a kapott számot négyzetre emeljük. Tehát kapunk egy számot (szelet csokoládé), megkeresem a koszinuszát (csomagolóanyag), majd te négyzetre teszed, amim van (szalaggal átkötöd). Mi történt? Funkció. Ez egy példa egy összetett függvényre: amikor az érték meghatározásához az első műveletet közvetlenül a változóval hajtjuk végre, majd egy másik második műveletet az első eredményével.

Más szavakkal, a komplex függvény olyan függvény, amelynek argumentuma egy másik függvény: .

Példánkra pl.

Ugyanezeket a műveleteket megtehetjük fordított sorrendben is: először négyzetre teszünk, majd megkeresem a kapott szám koszinuszát:. Könnyű kitalálni, hogy az eredmény szinte mindig más lesz. Az összetett függvények fontos jellemzője: ha megváltoztatjuk a műveletek sorrendjét, a függvény megváltozik.

Második példa: (ugyanaz). ...

Azt a műveletet, amelyet utoljára csinálunk, hívják "Külső" funkció, illetve az elsőként végrehajtott intézkedés - ill "Belső" funkció(ezek informális elnevezések, csak az anyag egyszerű nyelvezetű magyarázatára használom).

Próbáld meg eldönteni, hogy melyik funkció külső és melyik belső:

Válaszok: A belső és külső függvények szétválasztása nagyon hasonló a változók megváltoztatásához: például egy függvényben

1. Mi az első lépés? Először kiszámoljuk a szinust, és csak ezután emeljük kockává. Ez azt jelenti, hogy ez egy belső funkció, de külső.
   Az eredeti funkció pedig az összetételük:.
2. Belső:; külső:.
   Vizsga: .
3. Belső:; külső:.
   Vizsga: .
4. Belső:; külső:.
   Vizsga: .
5. Belső:; külső:.
   Vizsga: .

változókat változtatunk és függvényt kapunk.

Nos, most kibontjuk a csokoládét – keress egy származékot. Az eljárás mindig az ellenkezője: először megkeressük a külső függvény deriváltját, majd az eredményt megszorozzuk a belső függvény deriváltjával. Az eredeti példához képest így néz ki:

Egy másik példa:

Tehát végül fogalmazzunk meg egy hivatalos szabályt:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

Minden egyszerűnek tűnik, igaz?

Nézzük példákkal:

Megoldások:

1) Belső:;

Külső:;

2) Belső:;

(Csak most ne próbáld levágni! A koszinusz alól nem lehet semmit kivenni, emlékszel?)

3) Belső:;

Külső:;

Azonnal világos, hogy ez egy háromszintű komplex függvény: elvégre ez már önmagában is egy komplex függvény, és abból is kivonjuk a gyökeret, vagyis végrehajtjuk a harmadik műveletet (egy csokit teszünk bele egy csomagolóanyagot, és tedd egy szalagos aktatáskába). De nincs okunk félni: mindenesetre a megszokott sorrendben "pakoljuk ki" ezt a funkciót: a végétől.

Vagyis először megkülönböztetjük a gyökér, majd a koszinusz, és csak azután a zárójelben lévő kifejezést. És akkor mindezt megszorozzuk.

Ilyen esetekben célszerű a lépéseket számozni. Vagyis képzeljük el, mit tudunk. Milyen sorrendben hajtjuk végre a műveleteket a kifejezés értékének kiszámításához? Vegyünk egy példát:

Minél később hajtják végre a műveletet, annál „külsőbb” lesz a megfelelő funkció. A műveletek sorrendje - mint korábban:

Itt a fészkelés általában 4 szintű. Határozzuk meg a cselekvési irányt.

1. Radikális kifejezés. ...

2. Gyökér. ...

3. Sinus. ...

4. Négyzet. ...

5. Mindent összerakva:

DERIVÁLT. RÖVIDEN A FŐRŐL

Függvény származéka- a függvény növekményének aránya az argumentum növekményéhez képest, az argumentum végtelenül kicsi növekményével:

Alapvető származékok:

A megkülönböztetés szabályai:

A konstans a derivált előjelen kívülre kerül:

Az összeg származéka:

A mű származéka:

A hányados származéka:

Egy összetett függvény származéka:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

1. Meghatározzuk a "belső" függvényt, megtaláljuk a származékát.
2. Meghatározzuk a "külső" függvényt, megtaláljuk a származékát.
3. Az első és a második pont eredményét megszorozzuk.

Mi a derivált függvény - ez egy matematikai alapfogalom, az elemzésben egyenrangú az integrálokkal. Ez a funkció egy adott pontban a függvény adott pontban való változási sebességének karakterisztikáját adja meg.
Az olyan fogalmak, mint a differenciálás és az integráció, az elsőt a derivált keresésének műveleteként fejtik meg, a második pedig éppen ellenkezőleg, visszaállítja a függvényt az adott deriváltból kiindulva.
A derivált számítások a differenciálszámítások fontos részét képezik.
Szemléltető példaként rajzoljuk meg a deriváltot a koordinátasíkra.

az y = f (x) függvényben rögzítjük azt az M pontot, amelynél (x0; f (X0)) és N f (x0 +? x) mindegyik abszcisszához van egy növekmény x alakban. A növekmény olyan folyamat, amikor az abszcissza megváltozik, majd az ordináta is megváltozik. A következőként van jelölve:?
Keresse meg egy szög érintőjét az MPN háromszögben az M és N pontok segítségével.

tg? = NP / MP =? У /? X.

X mikor megy 0-ra. A metsző МN egyre közelebb kerül a МТ érintőhöz és a szöghez? akarat?. Ezért tg? tg? maximális értéke.

tg? = lim from?x-0 tg? = lim from?x-0?y /?x

Származékos táblázat

Ha mindegyik megfogalmazását kiejti származékos képletek... A táblázat könnyebben megjegyezhető lesz.
1) Egy állandó érték deriváltja 0.
2) X prímmel egyenlő eggyel.
3) Ha van egy állandó tényező, egyszerűen kimozdítjuk a deriváltnál.
4) A származtatott fok meghatározásához meg kell szorozni az adott kitevő kitevőjét az azonos bázisú kitevővel, amelyben a kitevő 1-gyel kisebb.
5) A gyökér keresése egyenlő 1 osztva ezen gyökök 2-vel.
6) Egy X-el osztott deriváltja egyenlő egy osztva X-el négyzetesen, mínusz előjellel.
7) P szinusz egyenlő koszinusz
8) P koszinusz egyenlő a mínusz előjelű szinuszossal.
9) P érintő egyenlő egy osztva a koszinusz négyzetével.
10) A p kotangens egyenlő egy mínuszjellel, osztva a szinusz négyzetével.

A megkülönböztetésben vannak olyan szabályok is, amelyeket hangosan kimondva is könnyebb megtanulni.

1) Nagyon leegyszerűsítve: n. A tagok összege egyenlő.
2) A szorzás deriváltja megegyezik az első érték szorzatával a másodikkal, hozzáadva önmagához a második érték szorzatát az elsővel.
3) Az osztási derivált egyenlő az első érték szorzatával a másodikkal, levonva magából a második érték szorzatát az elsővel. A második érték négyzetével való osztás törtrésze.
4) A megfogalmazás a harmadik képlet speciális esete.

A derivált megtalálásának műveletét differenciálásnak nevezzük.

A legegyszerűbb (és nem túl egyszerű) függvények deriváltjainak megtalálásának problémáinak megoldása eredményeként úgy, hogy a deriváltot a növekmény és az argumentum növekmény arányának határaként definiáljuk, egy derivált táblázatot és pontosan meghatározott differenciálási szabályokat. megjelent. A származékok keresése terén az elsők Isaac Newton (1643-1727) és Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) voltak.

Ezért korunkban ahhoz, hogy bármely függvény deriváltját megtaláljuk, nem szükséges kiszámítani a függvény növekményének az argumentum növekményéhez viszonyított arányának fent említett határát, hanem csak a származékok táblázata és a differenciálás szabályai. A derivált megtalálására a következő algoritmus alkalmas.

A származék megtalálásához, szüksége van egy kifejezésre a stroke jel alá szétszerelni az egyszerű funkciókatés meghatározza, hogy milyen lépéseket (termék, összeg, hányados) ezek a funkciók össze vannak kapcsolva. Továbbá az elemi függvények származékait a deriválttáblázatban, a szorzat deriváltjainak képleteit, az összeget és a hányadost pedig a differenciálási szabályokban találjuk. A származéktáblázatot és a differenciálás szabályait az első két példa után adjuk meg.

1. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. A differenciálás szabályaiból megtudjuk, hogy a függvények összegének deriváltja a függvények deriváltjainak összege, azaz.

A derivált táblázatból megtudjuk, hogy az "x" deriváltja egyenlő eggyel, a szinusz deriváltja pedig egyenlő a koszinusszal. Ezeket az értékeket behelyettesítjük a deriváltak összegébe, és megkeressük a probléma feltételéhez szükséges deriváltot:

2. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Az összeg deriváltjaként megkülönböztetjük, amelyben a második állandó tényezővel rendelkező tag a derivált előjelén kívülre vehető:

Ha továbbra is kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy mi honnan származik, akkor ezek általában világosabbá válnak a származéktáblázat és a legegyszerűbb differenciálási szabályok megismerése után. Most megyünk hozzájuk.

Egyszerű függvények származéktáblázata

1. Állandó (szám) származéka. Bármely szám (1, 2, 5, 200 ...), amely a függvénykifejezésben szerepel. Mindig nulla. Ezt nagyon fontos megjegyezni, mivel nagyon gyakran van rá szükség.
2. A független változó származéka. Leggyakrabban "x". Mindig egyenlő eggyel. Ezt is fontos sokáig emlékezni.
3. Származékos végzettség. A feladatok megoldása során a nem négyzetgyököket fokossá kell alakítani.
4. Változó deriváltja -1 hatványára
5. Származék négyzetgyök
6. A szinusz származéka
7. A koszinusz származéka
8. Az érintő származéka
9. A kotangens származéka
10. Az arcszinusz deriváltja
11. Az arccosine származéka
12. Az arctangens származéka
13. Az ívkotangens deriváltja
14. A természetes logaritmus deriváltja
15. A logaritmikus függvény deriváltja
16. A kitevő származéka
17. Az exponenciális függvény deriváltja

Differenciálási szabályok

1. Az összeg vagy a különbözet ​​származéka
2. A mű származéka
2a. Egy kifejezés származéka szorozva egy állandó tényezővel
3. A hányados származéka
4. Komplex függvény deriváltja

1. szabályHa funkciókat

egy ponton differenciálható, akkor ugyanabban a pontban a függvények

ráadásul

azok. a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő e függvények deriváltjainak algebrai összegével.

Következmény. Ha két differenciálható függvény konstans taggal különbözik, akkor deriváltjaik egyenlőek, azaz

2. szabályHa funkciókat

egy bizonyos ponton differenciálható, akkor ugyanazon a ponton a termékük is differenciálható

ráadásul

azok. két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatainak összegével a másik függvény deriváltjával.

Következmény 1. A konstans tényező a derivált előjelén kívülre helyezhető:

Következmény 2. Több differenciálható függvény szorzatának deriváltja egyenlő az egyes tényezők deriváltjának az összes többi szorzatának összegével.

Például három tényezőre:

3. szabályHa funkciókat

egy bizonyos ponton megkülönböztethető és , akkor ezen a ponton differenciálható és hányadosuku / v, és

azok. két függvény hányadosának deriváltja egyenlő azzal a törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja, valamint a számláló és a nevező származéka szorzatának különbsége, nevezője pedig a nevező négyzete. az előző számláló.

Hol mit kell keresni más oldalakon

A szorzat deriváltjának és a hányadosnak valós feladatokban való megtalálásakor mindig több differenciálási szabályt kell egyszerre alkalmazni, ezért több példa ezekre a származékokra – a cikkben"Egy mű és egy bizonyos funkció származéka".

Megjegyzés. Ne keverjük össze a konstanst (vagyis egy számot) összegzőként és állandó tényezőként! Egy tag esetén a deriváltja egyenlő nullával, állandó tényező esetén pedig kikerül a származékok előjeléből. Ez tipikus hiba, ami a származékok tanulmányozásának kezdeti szakaszában jelentkezik, de mivel már több egy- vagy kétkomponensű példa is megoldott, az átlaghallgató már nem követi el ezt a hibát.

És ha egy mű vagy egy adott megkülönböztetésekor van egy kifejezés u"v, amiben u- egy szám, például 2 vagy 5, azaz egy állandó, akkor ennek a számnak a deriváltja nulla lesz, és ezért a teljes tag nulla lesz (ezt az esetet a 10. példában elemezzük).

Egy másik gyakori hiba az összetett függvény deriváltjának mechanikus megoldása egy egyszerű függvény deriváltjaként. Így komplex függvény deriváltja külön cikket szentelünk. De először megtanuljuk megtalálni az egyszerű függvények származékait.

Útközben nem nélkülözheti a kifejezéstranszformációkat. Ehhez előfordulhat, hogy új ablakban kell megnyitnia az oktatóanyagokat Erőkkel és gyökerekkel rendelkező cselekvésekés Műveletek törtekkel .

Ha megoldásokat keres a hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek származékaira, vagyis amikor egy függvény így néz ki , majd kövesse a Törtösszeg származéka hatványokkal és gyökökkel című leckét.

Ha olyan feladatod van, mint pl , majd az "Egyszerű trigonometrikus függvények származékai" leckét.

Lépésről lépésre példák – hogyan találjuk meg a származékot

3. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meghatározzuk a függvénykifejezés részeit: az egész kifejezés reprezentálja a szorzatot, faktorai pedig összegek, amelyek közül a másodikban az egyik tag konstans tényezőt tartalmaz. Alkalmazzuk a szorzatdifferenciálás szabályát: két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatainak összegével a másik függvény deriváltjával:

Ezután alkalmazzuk az összeg differenciálására vonatkozó szabályt: a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak algebrai összegével. Esetünkben minden összegben a második tag mínusz előjellel. Minden összegben látunk egy független változót, amelynek deriváltja eggyel, és egy állandót (számot), amelynek deriváltja nulla. Tehát az "x" számunkra egy, a mínusz 5 pedig nullává válik. A második kifejezésben az "x"-t megszorozzuk 2-vel, így kettőt megszorozunk ugyanazzal az egységgel, mint az "x" deriváltja. A származékok következő értékeit kapjuk:

A talált deriváltokat behelyettesítjük a szorzatok összegébe, és megkapjuk a probléma feltétele által megkívánt teljes függvény deriváltját:

És ellenőrizheti a probléma megoldását a derivált esetében.

4. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meg kell találnunk a hányados deriváltját. A hányados differenciálására a képletet alkalmazzuk: két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, melynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja és a számláló szorzata és a számláló deriváltja közötti különbség. nevező, a nevező pedig az előző számláló négyzete. Kapunk:

A 2. példában már megtaláltuk a számlálóban szereplő tényezők deriváltját. Ne felejtsük el, hogy az aktuális példában a számláló második tényezőjének számító szorzatot mínusz előjellel vesszük:

Ha olyan problémákra keres megoldást, amelyekben meg kell találnia egy függvény deriváltját, ahol gyökök és hatványok folytonos halmaza van, mint pl. akkor üdv az órán "A hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegének származéka" .

Ha többet szeretne megtudni a szinuszok, koszinuszok, érintők és mások származékairól trigonometrikus függvények, vagyis amikor a függvény úgy néz ki , akkor a leckéd "Egyszerű trigonometrikus függvények származékai" .

5. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy szorzatot látunk, melynek egyik tényezője a független változó négyzetgyöke, amelynek deriváltját a derivált táblázatban ismerkedtünk meg. A szorzat differenciálási szabálya és a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értéke szerint a következőket kapjuk:

A derivált probléma megoldását ellenőrizheti származékos kalkulátor online .

6. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben azt a hányadost látjuk, amelynek osztaléka a független változó négyzetgyöke. A 4. példában megismételt és alkalmazott hányados differenciálási szabálya és a négyzetgyök derivált táblázati értéke szerint a következőt kapjuk:

A számlálóban lévő tört eltávolításához szorozza meg a számlálót és a nevezőt ezzel.