Valós szám n-edik gyökének fogalma. lecke „A valós szám n-edik gyökének fogalma. Négyzetgyök, aritmetikai négyzetgyök

Gratulálunk: ma a gyökereket elemezzük - a 8. osztály egyik legelgondolkodtatóbb témáját. :)

Sokan összezavarodnak a gyökerekkel kapcsolatban, nem azért, mert bonyolultak (ami bonyolult - néhány definíció és még néhány tulajdonság), hanem azért, mert a legtöbb iskolai tankönyvben a gyökerek olyan vadon keresztül vannak meghatározva, hogy csak maguk a tankönyvek szerzői. meg tudja érteni ezt a firkálást. És akkor is csak egy üveg jó whiskyvel. :)

Ezért most megadom a gyökér leghelyesebb és legkompetensebb meghatározását - az egyetlent, amelyet valóban emlékeznie kell. És csak ezután fogom elmagyarázni: miért van szükség erre, és hogyan kell alkalmazni a gyakorlatban.

De először emlékezz egyet fontos pont, amelyről sok tankönyv-összeállító valamiért „elfelejti”:

A gyökök lehetnek páros fokúak (kedvenc $\sqrt(a)$, valamint bármilyen $\sqrt(a)$ és páros $\sqrt(a)$) és páratlan fokos (bármely $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ stb.). A páratlan fok gyökének meghatározása pedig némileg eltér a párostól.

Valószínűleg itt, ebben a kibaszott „kicsit más” rejtve van a gyökerekkel kapcsolatos hibák és félreértések 95%-a. Tehát egyszer s mindenkorra tisztázzuk a terminológiát:

Meghatározás. Még gyökér n a $a$ számból bármely nem negatív olyan $b$ szám, hogy $((b)^(n))=a$. És ugyanabból az $a$ számból származó páratlan fok gyöke általában bármely $b$ szám, amelyre ugyanaz az egyenlőség vonatkozik: $((b)^(n))=a$.

Mindenesetre a gyökér jelölése a következő:

\(a)\]

Az ilyen jelölésben szereplő $n$ számot gyökérkitevőnek, az $a$ számot pedig gyökkifejezésnek nevezzük. Konkrétan $n=2$-ért megkapjuk a "kedvencünket" Négyzetgyök(egyébként ez a páros fok gyöke), $n=3$ esetén pedig - köbös (páratlan fok), ami szintén gyakran megtalálható a feladatokban és egyenletekben.

Példák. Klasszikus példák a négyzetgyökökre:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(igazítás)\]

Egyébként $\sqrt(0)=0$ és $\sqrt(1)=1$. Ez teljesen logikus, mivel $((0)^(2))=0$ és $((1)^(2))=1$.

A köbös gyökerek is gyakoriak - ne félj tőlük:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(igazítás)\]

Nos, néhány "egzotikus példa":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(igazítás)\]

Ha nem érti, mi a különbség a páros és a páratlan fok között, olvassa el újra a definíciót. Ez nagyon fontos!

Addig is figyelembe vesszük a gyökök egy kellemetlen tulajdonságát, ami miatt külön definíciót kellett bevezetnünk a páros és a páratlan kitevőkre.

Egyáltalán miért van szükségünk gyökerekre?

A definíció elolvasása után sok diák megkérdezi: „Mit szívtak a matematikusok, amikor ezt kitalálták?” És tényleg: miért van szükségünk ezekre a gyökerekre?

A kérdés megválaszolásához térjünk vissza egy pillanatra elemi osztályok. Ne feledjük: azokban a távoli időkben, amikor zöldebbek voltak a fák és finomabbak a gombócok, a fő gondunk az volt, hogy helyesen szorozzuk be a számokat. Nos, valami az "öt az öt - huszonöt" szellemében, ennyi. De végül is a számokat nem párban, hanem hármasban, négyesben és általában egész halmazban szorozhatja:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Azonban nem ez a lényeg. A trükk más: a matematikusok lusta emberek, ezért tíz ötös szorzását így kellett leírniuk:

Így jöttek a diplomák. Miért nem írja fel a faktorok számát felső indexként a hosszú karakterlánc helyett? Mint ez:

Nagyon kényelmes! Minden számítás többszörösére csökken, és nem költhet egy csomó pergamen füzetet arra, hogy leírjon néhány 5 183 . Az ilyen bejegyzést egy szám fokának nevezték, egy csomó tulajdonságot találtak benne, de a boldogság rövid életűnek bizonyult.

Egy grandiózus pia után, amelyet éppen a fokozatok „felfedezése” kapcsán szerveztek meg, néhány különösen megkövült matematikus hirtelen megkérdezte: „Mi van akkor, ha ismerjük egy szám fokszámát, de magát a számot nem?” Valóban, ha tudjuk, hogy például egy bizonyos $b$ szám 243-at ad az 5. hatványnak, akkor hogyan lehet kitalálni, hogy maga a $b$ mekkora számmal egyenlő?

Ez a probléma sokkal globálisabbnak bizonyult, mint amilyennek első pillantásra tűnhet. Mert kiderült, hogy a „kész” diplomák többségénél nincsenek ilyen „kezdeti” számok. Ítéld meg magad:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Jobbra b=4\cdot 4\cdot 4\Jobbra b=4. \\ \end(igazítás)\]

Mi van, ha $((b)^(3))=50 $? Kiderült, hogy meg kell találni egy bizonyos számot, amelyet háromszor megszorozva 50-et kapunk. De mi ez a szám? Egyértelműen nagyobb, mint 3, mert 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. I.e. ez a szám valahol három és négy között van, de mi egyenlő - ÁBRA meg fogja érteni.

Pontosan ez az oka annak, hogy a matematikusok $n$-edik gyököket találtak ki. Ezért vezették be a radikális $\sqrt(*)$ ikont. Ugyanazon szám jelölésére $b$, amely a megadott hatványon egy korábban ismert értéket ad

\[\sqrt[n](a)=b\Jobbra ((b)^(n))=a\]

Nem vitatom: gyakran ezek a gyökerek könnyen mérlegelhetők – több ilyen példát láttunk fent. De ennek ellenére a legtöbb esetben, ha egy tetszőleges számra gondolsz, majd megpróbálod kiszedni belőle egy tetszőleges fokozat gyökerét, akkor kegyetlen balhé lesz.

Mi van ott! Még a legegyszerűbb és legismertebb $\sqrt(2)$ sem ábrázolható a megszokott formában - egész számként vagy törtként. És ha ezt a számot beüti egy számológépbe, ezt fogja látni:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Amint látja, a tizedesvessző után végtelen számsor következik, amely nem engedelmeskedik semmilyen logikának. Természetesen ezt a számot kerekítheti, hogy gyorsan összehasonlíthassa más számokkal. Például:

\[\sqrt(2)=1,4142...\kb 1,4 \lt 1,5\]

Vagy itt van egy másik példa:

\[\sqrt(3)=1,73205...\kb. 1,7 \gt 1,5\]

De mindezek a kerekítések először is meglehetősen durvaak; másodszor pedig hozzávetőleges értékekkel is tudni kell dolgozni, különben egy rakás nem nyilvánvaló hibát elkaphat (egyébként a profilvizsgán feltétlenül ellenőrzik az összehasonlítás és a kerekítés készségét).

Ezért a komoly matematikában nem nélkülözhetjük a gyököket - ezek ugyanazok a valós számok $\mathbb(R)$ halmazának egyenlő képviselői, valamint a számunkra régóta ismert törtek és egész számok.

A gyökér $\frac(p)(q)$ törtrészeként való ábrázolásának lehetetlensége azt jelenti, hogy ez a gyök nem racionális szám. Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük, és nem lehet pontosan ábrázolni, csak egy gyök segítségével, vagy más, kifejezetten erre a célra kialakított konstrukcióval (logaritmus, fok, határérték stb.). De erről majd máskor.

Vegyünk néhány példát, ahol az összes számítás után az irracionális számok továbbra is megmaradnak a válaszban.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\kb. 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]

Természetesen a gyök megjelenése alapján szinte lehetetlen kitalálni, hogy mely számok jönnek a tizedesvessző után. Számológéppel azonban lehet számolni, de a legfejlettebb dátumkalkulátor is csak az irracionális szám első néhány számjegyét adja meg. Ezért sokkal helyesebb a válaszokat $\sqrt(5)$ és $\sqrt(-2)$ formában írni.

Erre találták ki. Hogy könnyebb legyen leírni a válaszokat.

Miért van szükség két definícióra?

A figyelmes olvasó valószínűleg már észrevette, hogy a példákban szereplő összes négyzetgyök pozitív számokból származik. Hát be végső megoldás nulláról. De a kockagyökereket nyugodtan kivonják abszolút bármilyen számból - még pozitívakból is, még negatívakból is.

Miért történik ez? Vessen egy pillantást a $y=((x)^(2))$ függvény grafikonjára:

Menetrend másodfokú függvény két gyökeret ad: pozitív és negatív

Próbáljuk meg kiszámítani a $\sqrt(4)$-t ezzel a grafikonnal. Ehhez a grafikonon egy $y=4$ vízszintes vonalat húzunk (pirossal jelölve), amely két pontban metszi a parabolát: $((x)_(1))=2$ és $((x) )_(2)) =-2$. Ez teljesen logikus, hiszen

Minden világos az első számmal - ez pozitív, ezért ez a gyökér:

De akkor mi a teendő a második ponttal? A 4-nek két gyökere van egyszerre? Hiszen ha a −2 számot négyzetre emeljük, akkor 4-et is kapunk. Miért nem írunk akkor $\sqrt(4)=-2$? És miért néznek a tanárok az ilyen lemezeket úgy, mintha meg akarnának enni? :)

Ez az a baj, hogy ha nem szabsz ki semmit további feltételek, akkor a négynek két négyzetgyöke lesz – pozitív és negatív. És bármely pozitív számnak kettő is lesz belőle. De a negatív számoknak egyáltalán nem lesz gyökere - ez ugyanabból a grafikonból látható, mivel a parabola soha nem esik a tengely alá y, azaz nem vesz fel negatív értékeket.

Hasonló probléma jelentkezik minden páros kitevővel rendelkező gyökérnél:

1. Szigorúan véve minden pozitív számnak két gyöke lesz páros kitevővel $n$;
2. Negatív számokból a páros $n$ gyökér egyáltalán nem kerül kivonásra.

Éppen ezért a páros gyök $n$ definíciója kifejezetten előírja, hogy a válasznak nem negatív számnak kell lennie. Így megszabadulunk a kétértelműségtől.

De páratlan $n$ esetén nincs ilyen probléma. Ennek megtekintéséhez nézzük meg a $y=((x)^(3))$ függvény grafikonját:

A köbös parabola tetszőleges értéket vesz fel, így a kockagyök tetszőleges számból vehető

Ebből a grafikonból két következtetés vonható le:

1. A köbös parabola ágai a szokásostól eltérően mindkét irányban a végtelenbe mennek - felfelé és lefelé egyaránt. Ezért bármilyen magasságban húzunk egy vízszintes vonalat, ez a vonal mindenképpen metszi a grafikonunkat. Ezért a kockagyök mindig vehető, abszolút bármilyen számból;
2. Ezenkívül egy ilyen kereszteződés mindig egyedi lesz, így nem kell azon gondolkodnia, hogy melyik számot tekintse „helyes” gyökérnek, és melyiket pontozza. Éppen ezért a gyökök meghatározása a páratlan fokra egyszerűbb, mint a párosra (nincs nem negativitás követelménye).

Kár, hogy ezeket az egyszerű dolgokat a legtöbb tankönyv nem magyarázza el. Ehelyett az agyunk szárnyalni kezd mindenféle számtani gyökérrel és azok tulajdonságaival.

Igen, nem vitatom: mi az aritmetikai gyök - azt is tudni kell. És erről részletesen egy külön leckében fogok beszélni. Ma erről is lesz szó, mert enélkül hiányos lenne minden reflexió a $n$-edik multiplicitás gyökereiről.

De először világosan meg kell értened a fentebb megadott definíciót. Ellenkező esetben a kifejezések bősége miatt olyan kavarodás kezdődik a fejedben, hogy a végén már egyáltalán nem értesz semmit.

És csak annyit kell értened, hogy mi a különbség a páros és a páratlan számok között. Ezért ismét összegyűjtünk mindent, amit valóban tudnia kell a gyökerekről:

1. Páros gyök csak nem negatív számból létezik, és maga is mindig nem negatív szám. Negatív számok esetén az ilyen gyök definiálatlan.
2. De a páratlan fok gyöke bármely számból létezik, és maga is tetszőleges szám lehet: pozitív számoknál pozitív, negatív számoknál pedig, amint azt a sapka utal, negatív.

Ez bonyolult? Nem, nem nehéz. Egyértelmű? Igen, ez nyilvánvaló! Ezért most egy kicsit gyakoroljuk a számításokat.

Alapvető tulajdonságok és korlátozások

A gyökereknek sok furcsa tulajdonsága és korlátja van – erről később. külön leckét. Ezért most csak a legfontosabb "chipet" fogjuk figyelembe venni, amely csak az egyenletes kitevővel rendelkező gyökerekre vonatkozik. Ezt a tulajdonságot egy képlet formájában írjuk le:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\jobbra|\]

Vagyis ha egy számot páros hatványra emelünk, majd ebből kivonjuk az azonos fokú gyökét, akkor nem az eredeti számot, hanem a modulusát kapjuk. Ez egy egyszerű tétel, amelyet könnyű bizonyítani (elegendő külön figyelembe venni a nem negatív $x$-okat, majd külön figyelembe venni a negatívakat). A tanárok állandóan beszélnek róla, mindenben megadják iskolai tankönyv. De amint az irracionális egyenletek (vagyis a gyökjelet tartalmazó egyenletek) megoldására kerül sor, a tanulók együtt elfelejtik ezt a képletet.

A probléma részletes megértéséhez felejtsük el az összes képletet egy percre, és próbáljunk meg két számot előre számolni:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Ez nagyon egyszerű példák. Az első példát a legtöbb ember meg fogja oldani, de a másodiknál ​​sokan ragaszkodnak. Minden ilyen szar problémamentes megoldásához mindig vegye figyelembe az eljárást:

1. Először a számot a negyedik hatványra emeljük. Nos, ez valahogy könnyű. Új számot kapunk, amely még a szorzótáblában is megtalálható;
2. És most ebből az új számból ki kell vonni a negyedik fokozat gyökerét. Azok. nincs gyökerek és fokozatok „redukciója” – ezek egymás után következő műveletek.

Foglalkozzunk az első kifejezéssel: $\sqrt(((3)^(4)))$. Nyilvánvalóan először ki kell számítania a gyökér alatti kifejezést:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Ezután kivonjuk a 81-es szám negyedik gyökerét:

Most tegyük ugyanezt a második kifejezéssel. Először a −3 számot emeljük a negyedik hatványra, amelyhez meg kell szoroznunk önmagával 4-szer:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ bal (-3 \jobb)=81\]

Pozitív számot kaptunk, mivel a termékben összesen 4 db mínusz van, és ezek mind kioltják egymást (elvégre a mínusz a mínuszhoz pluszt ad). Ezután ismét bontsa ki a gyökeret:

Ezt a sort elvileg nem lehetne megírni, mert nem hinném, hogy ugyanaz lesz a válasz. Azok. ugyanazon páros teljesítmény páros gyöke "égeti" a mínuszokat, és ebben az értelemben az eredmény megkülönböztethetetlen a szokásos modultól:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\jobbra|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \jobbra|=3. \\ \end(igazítás)\]

Ezek a számítások jól illeszkednek a páros fok gyökének meghatározásához: az eredmény mindig nem negatív, és a gyökjel is mindig nem negatív szám. Ellenkező esetben a gyökér nincs meghatározva.

Megjegyzés a műveletek sorrendjéhez

1. A $\sqrt(((a)^(2)))$ jelölés azt jelenti, hogy először négyzetre tesszük az $a$ számot, majd vesszük a kapott érték négyzetgyökét. Ezért biztosak lehetünk benne, hogy a gyökérjel alatt mindig egy nem negatív szám ül, hiszen $((a)^(2))\ge 0$ amúgy is;
2. De a $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ jelölés éppen ellenkezőleg, azt jelenti, hogy egy bizonyos $a$ számból először kivonjuk a gyökért, és csak azután négyzetesre vesszük az eredményt. Ezért az $a$ szám semmi esetre sem lehet negatív – ez a definícióba ágyazott kötelező követelmény.

Így semmi esetre sem szabad meggondolatlanul redukálni a gyökereket és a fokozatokat, ezzel állítólag "leegyszerűsítve" az eredeti kifejezést. Mert ha a gyök alatt negatív szám van, és a kitevője páros, akkor sok problémát kapunk.

Mindezek a problémák azonban csak a páros mutatók esetében relevánsak.

Mínusz jel eltávolítása a gyökérjel alól

Természetesen a páratlan kitevővel rendelkező gyököknek is megvan a saját jellemzőjük, ami elvileg nem létezik a párosoknál. Ugyanis:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Röviden: a páratlan fok gyökereinek jele alól kivehetsz egy mínuszt. Ez egy nagyon hasznos tulajdonság, amely lehetővé teszi az összes mínusz "kidobását":

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(igazítás)\]

Ez az egyszerű tulajdonság nagyban leegyszerűsíti számos számítást. Most már nem kell aggódnia: mi van, ha egy negatív kifejezés a gyökér alá kerül, és a gyökér foka párosnak bizonyul? Elég csak „kidobni” az összes mínuszt a gyökereken kívül, ami után egymás szaporodhatnak, feloszthatók és általában sok gyanús dolgot csinálhatnak, ami a „klasszikus” gyökerek esetében garantáltan elvezet bennünket egy hiba.

És itt egy másik meghatározás lép színre – az, amellyel a legtöbb iskola elkezdi az irracionális kifejezések tanulmányozását. És ami nélkül érvelésünk hiányos lenne. Találkozik!

számtani gyök

Tegyük fel egy pillanatra, hogy a gyökjel alatt csak pozitív számok, vagy szélsőséges esetben nulla lehet. Pontozzuk a páros / páratlan mutatókat, pontozzuk az összes fent megadott definíciót - csak nem negatív számokkal dolgozunk. Akkor mit?

És akkor megkapjuk az aritmetikai gyökeret - részben metszi a "szabványos" definícióinkat, de mégis eltér tőlük.

Meghatározás. Egy nemnegatív $a$ szám $n$-edik fokának aritmetikai gyöke egy $b$ nemnegatív szám, így $((b)^(n))=a$.

Amint látja, minket már nem érdekel a paritás. Ehelyett egy új megszorítás jelent meg: a gyök kifejezés mostantól mindig nem negatív, és maga a gyök is nem negatív.

Hogy jobban megértsük, miben tér el az aritmetikai gyök a szokásostól, vessünk egy pillantást a számunkra már ismert négyzet- és köbparabola grafikonokra:

Keresési terület számtani gyök- nem negatív számok

Mint látható, ezentúl csak azokra a grafikondarabokra vagyunk kíváncsiak, amelyek az első koordinátanegyedben találhatók - ahol a $x$ és $y$ koordináták pozitívak (vagy legalább nulla). Többé nem kell a mutatót nézni, hogy megértsük, jogunk van-e negatív szám gyökerezésére vagy sem. Mert a negatív számokat már elvileg nem veszik figyelembe.

Felteheti a kérdést: „Nos, miért van szükségünk ilyen kasztrált meghatározásra?” Vagy: "Miért nem boldogulunk a fent megadott standard definícióval?"

Nos, csak egy tulajdonságot adok meg, ami miatt az új definíció megfelelővé válik. Például a hatványozási szabály:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Figyelem: a gyökkifejezést tetszőleges hatványra emelhetjük, és ugyanakkor a gyökkitevőt is megszorozhatjuk ugyanazzal a hatvánnyal - és az eredmény ugyanannyi lesz! Íme néhány példa:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Nos, mi a baj ezzel? Miért nem tudtuk megtenni korábban? Íme, miért. Tekintsünk egy egyszerű kifejezést: a $\sqrt(-2)$ egy olyan szám, amely a mi klasszikus értelemben teljesen normális, de az aritmetikai gyök szempontjából abszolút elfogadhatatlan. Próbáljuk meg átalakítani:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Mint látható, az első esetben a mínuszt vettük ki a gyök alól (minden jogunk van, mert a mutató páratlan), a második esetben a fenti képletet használtuk. Azok. a matematika szempontjából minden a szabályok szerint történik.

WTF?! Hogyan lehet ugyanaz a szám pozitív és negatív is? Semmiképpen. Csak hát a pozitív számokra és nullára remekül működő hatványozási képlet negatív számok esetén kezd teljes eretnekséget adni.

Itt, hogy megszabaduljanak az ilyen kétértelműségtől, számtani gyököket találtak ki. Külön nagy leckét szentelnek nekik, ahol részletesen megvizsgáljuk minden tulajdonságukat. Tehát most nem foglalkozunk velük – a lecke amúgy is túl hosszúnak bizonyult.

Algebrai gyök: azoknak, akik többet szeretnének tudni

Sokáig gondolkodtam: ezt a témát külön bekezdésbe tenni vagy sem. Végül úgy döntöttem, elmegyek innen. Ezt az anyagot azoknak szól, akik még jobban szeretnék megérteni a gyökereket - már nem az átlagos „iskolai”, hanem az olimpiához közeli szinten.

Tehát: a számból származó $n$-edik fok gyökének "klasszikus" definíciója és a páros és páratlan mutatókra való felosztása mellett létezik egy "felnőttebb" definíció is, amely nem függ a paritástól, ill. egyáltalán egyéb finomságok. Ezt algebrai gyökérnek nevezzük.

Meghatározás. Bármely $a$ algebrai $n$-edik gyöke a $b$ összes szám halmaza úgy, hogy $((b)^(n))=a$. Az ilyen gyökerekre nincs jól bevált jelölés, ezért csak tegyünk egy kötőjelet a tetejére:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \jobbra. \jobbra\) \]

Az alapvető különbség az óra elején adott standard definícióhoz képest, hogy az algebrai gyök nem egy konkrét szám, hanem egy halmaz. És mivel valós számokkal dolgozunk, ez a halmaz csak három típusból áll:

1. Üres készlet. Akkor fordul elő, amikor meg kell találni egy páros fokú algebrai gyökét egy negatív számból;
2. Egyetlen elemből álló készlet. A páratlan hatványok minden gyökere, valamint a nullától származó páros hatványok gyökere ebbe a kategóriába tartozik;
3. Végül a halmaz két számot tartalmazhat – ugyanazt a $((x)_(1))$ és $((x)_(2))=-((x)_(1))$, amelyet a diagram másodfokú függvény. Ennek megfelelően egy ilyen igazítás csak akkor lehetséges, ha egy pozitív számból egy páros fok gyökét vonjuk ki.

Az utolsó eset részletesebb vizsgálatot érdemel. Nézzünk meg néhány példát, hogy megértsük a különbséget.

Példa. Kifejezések kiszámítása:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Megoldás. Az első kifejezés egyszerű:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Ez két szám, amely a halmaz részét képezi. Mert mindegyik négyzetes négyzetet ad.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Itt csak egy számból álló halmazt látunk. Ez teljesen logikus, mivel a gyökér kitevője páratlan.

Végül az utolsó kifejezés:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Van egy üres készletünk. Mert nincs ilyen valós szám, amelyet a negyedik (vagyis páros!) Hatványra emelve negatív számot kapunk −16.

Végső megjegyzés. Figyelem: nem véletlenül jegyeztem meg mindenhol, hogy valós számokkal dolgozunk. Mert van több komplex számok- ott teljesen ki lehet számolni $\sqrt(-16)$, és még sok más furcsaság.

Azonban a modern iskolai tanfolyam A matematikában szinte soha nem találunk komplex számokat. A legtöbb tankönyvből kimaradtak, mert tisztviselőink szerint a téma "túl nehezen érthető".

Ez minden. A következő leckében megvizsgáljuk a gyökök összes kulcsfontosságú tulajdonságát, és végül megtanuljuk, hogyan lehet egyszerűsíteni az irracionális kifejezéseket. :)

Az egyenletet grafikusan oldjuk meg (x a hatodik hatvány egyenlő eggyel), ehhez a következő függvénygrafikonokat készítjük egy koordinátarendszerben: (x egyenlő x hatodik hatványával)

Amint látjuk, két A és C pontban metszik egymást, ahol a metszéspontok abszcisszái az egyenlet gyökei, azaz. .(2. ábra)

Két egyenlet megoldásából azt látjuk, hogy mindegyiknek két gyöke van, és ezek a számok egymással ellentétesek.

Ebben a két egyenletben a gyökereket meglehetősen könnyű megtalálni.

Tekintsük a 7-es egyenletet (x a hatodik hatványhoz hét) ( 3. ábra)

Ugyanabban a koordinátarendszerben építjük fel a függvény és y \u003d 7 grafikonjait

A rajzból látható, hogy az egyenletnek két gyöke van x egy és x kettő, de ezek pontos értékét nem lehet megadni, csak közelítőket: az x tengelyen helyezkednek el, egy gyök kissé a -1 ponttól balra, a második pedig kissé jobbra az 1. ponttól.

A hasonló helyzetek megoldása érdekében a matematikusok bevezették új szimbólum, a hatodik gyökér. És ezzel a szimbólummal a gyökerek adott egyenletígy írható: (x one a hét hatodik gyöke, x kettő mínusz hét hatodik gyöke).

Tekintsük a páratlan fokú egyenletek megoldását

és (4. ábra)

A rajzokból látható, hogy mindegyik egyenletnek egy gyöke van, de az első egyenletben a gyök az egész szám kettő, a másodikban pedig lehetetlen megadni a pontos értéket, ezért bevezetjük a jelölést. (hat ötödik gyöke).

A vizsgált példák alapján megállapítjuk és meghatározzuk:

1. Egyenlet (x en hatványához egyenlő a-val), ahol n (en) bármely természetes páros szám, és két gyökere van:

(a n-edik gyöke és a mínusz n-edik gyöke)

2. Az egyenlet (x en hatványa egyenlő a-val), ahol n (en) bármely természetes páratlan szám, és (a nagyobb, mint nulla) egy gyöke van: (a szám n-edik fokának gyöke)

3. Az egyenletnek (en hatványának x értéke nulla) egyetlen gyöke van x=0 (x nulla).

Meghatározás: Egy a (n = 2,3,34,5 ...) nemnegatív szám n-edik (n-edik) fokának gyöke egy nemnegatív szám, amelyet n (en) hatványára emelve az eredmény. az a számban.

Ez a szám azt jelenti (n-edik fok gyöke az a) számból. Az a számot gyökszámnak nevezzük, az n számot (en) pedig a gyökjelző.

(Egy speciális esetet tanultál a 8. osztály algebrájában, amikor n = 2: írnak (a négyzetgyök)).

Emlékezned kell, ha

(ha a nemnegatív szám, akkor n az természetes szám, nagyobb, mint egy, akkor az a szám n-edik fokának gyöke nemnegatív szám, és ha az a szám n-edik fokának gyökét n-edik hatványra emeljük, akkor az a számot kapjuk, a gyökérszám).

Más szavakkal, a meghatározást a következőképpen lehet átfogalmazni:

(az a szám n-edik fokának gyöke a b szám, melynek n-edik foka egyenlő a-val).

A kifejezés alatt kivonás a gyökérből megérteni egy nem negatív szám gyökerének megtalálását. Más szavakkal, végre kell hajtania a fordított műveletet, és a megfelelő teljesítményre kell emelnie. Tekintsünk egy táblázatot:

Vigyázat, az n-edik fok gyökének meghatározása szerint a táblázatban csak a pozitív számok szerepelnek.

Tekintsük az 1. példát: Számítsuk ki

a) (a hatvannégy hatodik gyöke kettő, mivel a kettő pozitív szám, a kettő pedig a hatodik hatványhoz hatvannégy).

(a nullapont kétszáztizenhat ezrelék harmadfokú gyöke nulla pont hat tized, mivel a talált szám pozitív, a harmadik fokban pedig a gyökérszámot adja)

Mivel =

d) Az n-edik fok gyökének meghatározása szerint két egyenlőséget írunk: és

Ezért olyan számot kell találnunk, amely a negyedik hatványhoz 55, de a negyedik hatványhoz tartozó kettő tizenhat, ami kisebb, mint 55,

A három-negyedik hatvány pedig nyolcvanegy, ami több mint 55, . Ez azt jelenti, hogy nem lehet pontos értéket megadni, ezért a közelítő egyenlőség jelét használjuk századokig.

Egy negatív szám gyökének kivonásához használja a második definíciót:

Definíció: Egy negatív a szám (n=3,5,7,…) páratlan n fokának gyöke egy negatív m szám, amelyet n hatványára emelve az a számot kapjuk.

az a számot gyökszámnak nevezzük, az n számot (en) pedig a gyökjelző.

A páratlan gyökérnek két tulajdonsága van:

(Ha egy- negatív szám,n- egynél nagyobb természetes páratlan szám, akkor az a számból az n-edik fokú gyöke negatív szám, és ha az a számból az n-edik fokú gyökét az n-edik hatványra emeljük, akkor az a számot kapjuk. , vagyis a gyökérszám).

Egy szám n-edik fokú gyökének definícióit és tulajdonságait elemezve arra a következtetésre jutunk:

A páros gyök csak nem negatív gyökkifejezés esetén értelmes (vagyis definiált);

A páratlan gyök értelmes minden radikális kifejezéshez

Téma: Gyökerek és fokozatok. koncepció gyökér n-edik fokkal egy valós számtól."

Az óra céljai:

oktatási: a természetes fok számtani gyökének tanulmányozása, beleértve a páratlan fokot is; Tanuld meg a számtani gyököket kiszámítani.

nevelési: a tanulók órán végzett munkájának intenzívebbé tétele, a tantárgy iránti érdeklődés felkeltése;

fejlesztése: az értelmi képességek fejlesztése, az ismeretek új helyzetekbe való átadásának képessége.

Az óra típusa:új anyagok tanulása.

Módszer: magyarázó és szemléletes.

Felszerelés: számítógép, interaktív tábla, bemutató.

Az órák alatt

1. Szervezeti rész

Üdvözlet. Az osztály felkészültsége a leckére. Házi feladat ellenőrzése.

2. Motiváció tanulási tevékenységek, a téma üzenete és az óra céljának kitűzése.

Ma a „Gyökerek és fokozatok” témát fogjuk tanulmányozni. A gyökér fogalma n-edik fokozat valós számból. Szeretném felhívni a figyelmet a szavakra Anatole France (1844-1924) , amely leckénk epigráfja lesz. Gyökereket tartalmazó kifejezésekkel fogunk dolgozni. Bővíti tudását a gyökerekről. Az óra végén egy kis önálló munkát végzünk, hogy ellenőrizzük, hogyan tudod önállóan alkalmazni a tudást ebben a témában.

„A tanulás csak szórakoztató lehet…

A tudás megemésztéséhez előszeretettel kell befogadnia azt.”

Új anyag magyarázata.

1. definíció.gyökérnegy nem negatív szám hatványa a(n=2,3,4,5...) egy nem negatív szám, amelyet n hatványára emelve az a számot kapjuk.

Megnevezése: - az n-edik fok gyökere.

Az n számot a számtani gyök fokának nevezzük.

Ha n=2, akkor a gyök foka nincs feltüntetve, hanem ki van írva

A másodfokú gyökerét négyzetgyöknek, a harmadik fok gyökét köbgyöknek nevezzük.

A hatványozás és a gyökérkivonás ugyanaz a függőség:

A gyökerek alapvető tulajdonságai

A vizsgált anyag összevonása:

1063 sz. szóban,

№ 1067 – 1069,

No. 1070-1071 (a, b)

No. 1072-1073 (a, b)

No. 1076 (a, c)

No. 1078 (a, b)

No. 1079 (a, c)

Önálló munkavégzés:

1.opció

No. 1070-1071 (c)

No. 1072-1073 (g)

2. lehetőség

No. 1070-1071 (g)

No. 1072-1073 (c)

Házi feladat: No. 1076 (d), No. 1078 (c), No. 1079 (b)

Összegezve a tanulságot:

A mai órán az n-edik fokú számtani gyök fogalmát tanulmányoztuk és példák megoldásával rögzítettük.

Leckét értékelni.

Irodalom

1.A.G. Mordkovich. Algebra és a matematikai elemzés kezdete. 10-11 évfolyam. 2 órakor Diák tankönyv oktatási intézmények(alapszint).- M: Mnemosyne, 2012

2. Aleksandrova L.A. Az algebra és az elemzés kezdetei. 11 sejt Önálló munkavégzés: oktatási intézmények pótléka / alatt. szerk. Mordkovich A.G.–M.: Mnemozina, 2014

3. T.I. Kuporova. Az algebra és az elemzés kezdetei. 11 cella: Óratervek a Mordkovich A.G. tankönyv szerint - Volgograd: Tanár, 2008.

4. Rurukin A. N. Pourochnye fejlődése az algebrában és az elemzés kezdetei: 11. évfolyam. – M.: VAKO, 2014.

5. Nechaev M.P. Leckék az "Algebra - 11" tanfolyamon. - M.: 5 a tudásért, 2007

dia 1

Szovjetszk város 10. számú líceuma Kalinyingrádi régió Tatyana Nikolaevna Razygraeva matematikatanár A valós szám n-edik fokának gyökerének fogalma.

2. dia

Melyik görbe az y = x² függvény grafikonja? Melyik görbe az y = x⁴ függvény grafikonja? Tekintsük az x⁴ = 1 egyenletet. Ábrázoljuk az y = x⁴ és y = 1 függvényeket. Válasz: x = 1, x = -1. Hasonlóan: x⁴ = 16. Válasz: x = 2, x = -2. Hasonlóképpen: x⁴ = 5. y = 5 Válasz:

3. dia

Tekintsük az x⁵ = 1 egyenletet. Rajzoljuk fel az y = x⁵ és y = 1 függvények grafikonjait. Hasonlóan: x⁵ = 7. Válasz: x = 1. Válasz: Tekintsük az egyenletet: ahol a > 0, n N, n >1. Ha n páros, akkor az egyenletnek két gyöke van: Ha n páratlan, akkor egy gyöke:

4. dia

1. definíció: Egy nemnegatív a szám n-edik gyöke (n = 2,3,4,5,…) egy nemnegatív szám, amelyet n hatványára emelve az a számot kapjuk. Ezt a számot a következőkkel jelöljük: a n - gyökérkifejezés - gyökérindex A gyökérkeresés műveletét nem negatív számból gyökérkivonásnak nevezzük. Ha a 0, n = 2,3,4,5,…, akkor

5. dia

A gyökér kinyerésének művelete a megfelelő hatványra emelés fordítottja. 5² \u003d 25 10³ \u003d 1000 0,3⁴ \u003d 0,0081 25 \u003d 5 3 4 Néha az a kifejezést radikálisnak nevezik a latin radix szóból - "gyökér". n A szimbólum egy stilizált r betű. Hatványozás Gyökér kivonása

6. dia

1. példa: Számítsa ki: a) 49; b) 0,125; c) 0; d) 17 3 7 4 Megoldás: a) 49 = 7, mivel 7 > 0 és 7² = 49; 3 b) 0,125 = 0,5, mivel 0,5 > 0 és 0,5³ = 0,125; c) 0; d) 17 ≈ 2,03 4 2. definíció: Egy a negatív szám n páratlan fokának gyöke (n = 3,5,…) egy negatív szám, amelyet n hatványára emelve az a számot kapjuk.

7. dia

Tehát Következtetés: A páros fok gyöke csak egy nem negatív gyök kifejezés esetén van értelme (vagyis definiálva); a páratlan gyök értelmes bármilyen radikális kifejezéshez. 2. példa: Oldja meg az egyenleteket: Ha a< 0, n = 3,5,7,…, то

A gyökér kinyerésének műveletének sikeres gyakorlati használatához meg kell ismerkednie ennek a műveletnek a tulajdonságaival.
Minden tulajdonság csak a gyökérjelek alatt található változók nem negatív értékére van megfogalmazva és bizonyított.

1. tétel. Két nem negatív lapkakészlet szorzatának N-edik gyöke (n=2, 3, 4,...) egyenlő a termékkel gyökerei az n-edik fokok ezekből a számokból:

Megjegyzés:

1. Az 1. Tétel érvényben marad arra az esetre, ha a gyökkifejezés kettőnél több nemnegatív szám szorzata.

2. tétel.Ha, és n 1-nél nagyobb természetes szám, akkor az egyenlőség

Rövid(bár pontatlan) a gyakorlatban kényelmesebben használható megfogalmazás: a tört gyöke megegyezik a gyökerek töredékével.

Az 1. tétel lehetővé teszi m szorzását csak azonos fokú gyökerek , azaz csak a gyökerek ugyanaz a mutató.

Tétel 3. Ha ,k természetes szám, n pedig 1-nél nagyobb természetes szám, akkor az egyenlőség

Más szóval, gyökeret ereszteni természetes fokozat, elég a radikális kifejezést erre a hatalomra emelni.
Ez az 1. Tétel következménye. Valóban, például k = 3 esetén azt kapjuk

Tétel 4. Ha ,k, n 1-nél nagyobb természetes számok, akkor az egyenlőség

Más szóval, ahhoz, hogy egy gyökérből kinyerjünk egy gyökeret, elég megszorozni a gyökök kitevőit.
Például,

Légy óvatos! Megtudtuk, hogy a gyökökön négy művelet hajtható végre: szorzás, osztás, hatványozás és a gyökér (a gyökérből) kivonása. De mi a helyzet a gyökök összeadásával és kivonásával? Semmiképpen.
Például az Indeed helyett nem lehet írni, de ez nyilvánvaló

Tétel 5. Ha a gyök és a gyökkifejezés mutatóit ugyanazzal a természetes számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor a gyök értéke nem fog változni, pl.

Példák problémamegoldásra

1. példa Kiszámítja

Megoldás. A gyökök első tulajdonságát felhasználva (1. tétel) a következőket kapjuk:

2. példa Kiszámítja
Megoldás. Megfordítható vegyes szám nem megfelelő törtbe.
A gyökök második tulajdonságának használata ( 2. tétel ), kapunk:

3. példa Kiszámítja:

Megoldás. Az algebra bármely képletét, amint azt jól tudod, nemcsak "balról jobbra", hanem "jobbról balra" is használják. Tehát a gyökök első tulajdonsága azt jelenti, hogy ábrázolható, és fordítva, helyettesíthető kifejezéssel. Ugyanez vonatkozik a gyökök második tulajdonságára is. Ezt szem előtt tartva végezzük el a számításokat.