Annak érdekében, hogy három bármely helynyire van, egyetlen sík végezhető el, szükség van arra, hogy ezek a pontok ne legyenek egy egyenes vonalon.

Tekintsük a pontok M 1 (x 1, y 1, Z 1), m 2 (x 2, y 2, z 2), m 3 (x 3, y 3, z 3) a teljes decartular koordinátarendszer.

Annak érdekében, hogy egy síkban M (X, Y, Z) egy síkban m 1, m 2, m 3 ponttal van szükség, hogy a vektorok rekesz.

(
) = 0

Ilyen módon

A gép egyenlete három ponton áthalad:

A sík egyenletét két ponton és a vektoron, a Collinear síkon.

Hagyja, hogy az m 1 (x 1, y 1, z), m 2 (x 2, y2, z 2) és vektor
.

Készítsük el a sík egyenletét az M 1 és M 2 pontok adatain keresztül, és az M (X, Y, Z) a vektorral párhuzamosan .

Vektorok
és vektor
kell rekeszt, vagyis

(
) = 0

Síkegyenlet:

A sík egyenletét egy ponton és két vektorban,

collinear sík.

Hagyja, hogy két változatot adják meg
és
, Collinear síkok. Ezután egy tetszőleges pont M (X, Y, Z) a síkhoz tartozó, vektorok
kell rekesznek.

Síkegyenlet:

A sík egyenlete a ponton és a normál vektor .

Tétel. Ha a helyet m ponti pont 0 (H. 0 , U. 0 , z. 0 ), akkor a sík egyenlete az M ponton áthalad 0 Merőleges a normál vektorra (A., B., C.) Úgy néz ki:

A.(x. – x. 0 ) + B.(y. – y. 0 ) + C.(z. – z. 0 ) = 0.

Bizonyíték. A síkhoz tartozó M (X, Y, Z) tetszőleges ponthoz tartozik egy vektorhoz. Mivel vektor - Vektor Normál, akkor merőleges a gépre, következésképpen merőleges és a vektor
. Ezután a skaláris darab

= 0

Így kapjuk meg a sík egyenletét

A tétel bizonyítható.

A sík egyenlete szegmensekben.

Ha az általános egyenletben ah + v / CZ + D \u003d 0 megoszthatja mindkét részét (-D)

,

helyettesít
, A sík egyenletét kapjuk szegmensekben:

Az A, B, C számok a sík metszéspontja, illetve az X, Y, Z tengelyekkel.

A sík egyenlete vektoros formában.

hol

- RADIUS - A jelenlegi M (X, Y, Z),

Egyetlen vektor, amelynek iránya merőleges, a koordináták kezdetétől csökkenti a síkot.

,  és  - a vektor által képzett szögek x, y, z tengelyekkel.

p a merőleges hossza.

A koordinátáknál ez az egyenlet úgy néz ki:

xcos + ycos + zcos - p \u003d 0.

Távolság a ponttól a síkig.

A távolság egy tetszőleges pont m 0 (x 0, y 0, z 0) a síkhoz AH + W + CZ + D \u003d 0:

Példa. Find az egyenlet a sík, tudva, hogy a P pont (4; -3, 12) az alap, a függőleges, csökkentette a eredetét a koordináták ezen a síkon.

Így a \u003d 4/13; B \u003d -3/13; C \u003d 12/13, használjuk a képletet:

A (X - X 0 ) + B (y - y 0 ) + C (z - z 0 ) = 0.

Példa. Keresse meg a két ponton áthaladó sík egyenletét (2; 0; -1) és

Q (1; -1; 3) merőleges a 3x + 2au - z + 5 \u003d 0 síkra merőleges.

Vektor normál a sík 3x + 2y - z + 5 \u003d 0
a kívánt síkot.

Kapunk:

Példa. Keresse meg az A (2, -1, 4) pontokon áthaladó sík egyenletét

A (3, 2, -1) merőleges a síkra merőleges h. + w. + 2z. – 3 = 0.

A sík kívánt egyenlete: a x. + B. y. + C. z. + D \u003d 0, vektor normál erre a síkra (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) a síkhoz tartozik. A vágynak merőleges sík, amely a vágyra merőleges, normál vektorral rendelkezik (1, 1, 2). Mivel Az A és B pontok mindkét síkhoz tartoznak, és a sík kölcsönösen merőleges, akkor

Így a normál vektor (11, -7, -2). Mivel Az A pont a kívánt síkhoz tartozik, koordinátái meg kell felelniük a sík egyenletét, azaz 112 + 71 - 24 + d \u003d 0; D \u003d -21.

Összesen megkapjuk a sík egyenletét: 11 x. - 7y. – 2z. – 21 = 0.

Példa. Keresse meg a sík egyenletét, tudva, hogy a P (4, -3, 12) pont a merőleges alapja, csökkentve a koordináták eredetétől ezen a síkon.

Megtaláljuk a normál vektor koordinátáit
\u003d (4, -3, 12). A sík kívánt egyenlete: 4 x. – 3y. + 12z. + D \u003d 0. A D koefficiens megkereséséhez helyettesítjük a P-os koordináta-egyenletet:

16 + 9 + 144 + d \u003d 0

Összesen megkapjuk a kívánt egyenletet: 4 x. – 3y. + 12z. – 169 = 0

Példa. A piramis csúcsainak koordinátái A 1 (1; 0; 3), a 2 (2; -1; 3), a 3 (2; 1; 1),

Keresse meg a borda hosszát és 1 A 2-et.

Keresse meg az A1 A 2 és a 1 A 4 bordák közötti szöget.

Keresse meg az 1 A 4-es éle és az 1 A 2 A 3-as arc közötti szöget.

Először megtaláljuk a normál arcot az arcra 1 A 2 A 3 mint a vektoros művészeti vektorok
és
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Keresse meg a normál vektor és a vektor közötti szöget
.

-4 – 4 = -8.

A kívánt szög  a vektor és a sík között egyenlő  \u003d 90 0 - .

Keresse meg az arc területét 1 A 2 A 3-at.

Keresse meg a piramis hangerejét.

Keresse meg a sík egyenletét egy 1 A 2 A 3-at.

Három ponton áthaladó sík egyenletének képletét használjuk.

2x + 2Y + 2Z - 8 \u003d 0

x + y + z - 4 \u003d 0;

Számítógépes verzió használata esetén A magasabb matematika folyamata"Olyan programot futtathat, amely megoldja a fenti példát a piramis csúcsok bármilyen koordinátáira.

A program elindításához kattintson duplán az ikonra:

A megnyíló programablakban adja meg a piramis csúcsainak koordinátáit, és nyomja meg. Így minden elem megoldás váltakozhat.

Megjegyzés: A program elindításához, telepíteni kell a Maple ( Waterloo Maple Inc.) bármely változata, kezdve Maplev Release 4 a számítógépen.

Különböző módon állíthatja be (egy ponton és vektorral, két ponttal és vektorral, három ponttal stb.). Figyelembe véve, hogy a sík egyenlete eltérő típusú lehet. Emellett bizonyos feltételek mellett a sík párhuzamos lehet, merőleges metszésre, stb. Vegyük ezt és beszélj erről a cikkről. Megtanuljuk, hogy általános síkegyenletet készítsünk, és nem csak.

Normál formanyomtatvány

Tegyük fel, hogy van egy R3 tér, amelynek négyszögletes XYZ koordináta rendszere van. Állítsa be az α vektort, amely felszabadul kiindulópont O. A vektor vége után α, elvégezzük a PL síkot, amely merőleges lesz rá.

Jelentése p önkényes pont q \u003d (x, y, z). RADIUS-VENDÉG POINT Q Feliratkozás az r betűre. Ebben az esetben az α vektor hossza egyenlő p \u003d iαi és ʋ \u003d (cosα, cosp, cos y).

Ez egy olyan vektor, amely félrevezető, valamint a vektor α. α, β és γ azok a szögek, amelyek a vektor ʋ között vannak kialakítva, és az X, Y, Z tengelyei pozitív iránya. Az qεp bármely pontjának vetülete a vektorban ʋ olyan állandó érték, amely p: (p, ʋ) \u003d p (p, ʋ) \u003d p (p≥0).

A megadott egyenlet értelme, ha p \u003d 0. Az egyetlen, a P sík ebben az esetben átlépi az O (α \u003d 0) pontot, amely a koordináták kezdete, és a ʋ egységvektor ʋ, amely az O pontból felszabadul, merőleges lesz az iránya ellenére, Ami azt jelenti, hogy a vektort a jel előtti pontosság határozza meg. Az előző egyenlet az N síkunk egyenlete, vektor formában kifejezve. De a koordinátáknál a megjelenése ilyen lesz:

R itt nagyobb vagy egyenlő. Megtaláltuk a síkegyenletet a térben normál formában.

Általános egyenlet

Ha a koordináták egyenlete, hogy megszorozzák a nem nulla számot, akkor az egyenértékű egyenletet kapjuk, amely meghatározza a síkot. Ez a fajta lesz:

Itt a, B, C az a számok, amelyek egyidejűleg különböznek a nullától. Ezt az egyenletet az általános formanyomtatvány egyenletének nevezik.

A repülőgépek egyenletei. Magánügyek

B. egyenlet tábornok módosítható további feltételek. Tekintsük néhányat.

Tegyük fel, hogy az A együttható 0. Ez azt jelenti, hogy ez a sík párhuzamos a megadott tengelyhez. Ebben az esetben az egyenlet nézete megváltozik: WU + CZ + D \u003d 0.

Az egyenlet típusához hasonlóan a következő feltételek mellett változik:

• Először is, ha B \u003d 0, az egyenlet az AH + CZ + D \u003d 0-ra változik, ami az ou tengelyhez párhuzamot jelez.
• Másodszor, ha c \u003d 0, akkor az egyenletet ah + w + d \u003d 0-ra alakítják át, amely a megadott Oz tengellyel párhuzamosan beszél.
• Harmadszor, ha d \u003d 0, az egyenlet úgy néz ki, mint ah + v / CZ \u003d 0, ami azt jelenti, hogy a sík keresztezi az O (a koordináták eredete).
• Negyedszer, ha A \u003d B \u003d 0, az egyenlet CZ + D \u003d 0-ra változik, ami párhuzamosan bizonyul az oxi-val.
• Ötödször, ha B \u003d C \u003d 0, az egyenlet az AH + D \u003d 0, és ez azt jelenti, hogy az OYZ síkja párhuzamos.
• Hatodik, ha A \u003d C \u003d 0, akkor az egyenlet megszerzi a WU + D \u003d 0 nézetét, vagyis az Oxz-vel párhuzamosan jelentkezik.

Nézd meg a szegmensek egyenletét

Abban az esetben, ha az A, B, C, D számok eltérnek a nullától, a (0) egyenlet formája lehet a következők:

x / a + y / b + z / s \u003d 1,

amelyben a \u003d -d / a, b \u003d -d / b, c \u003d -d / s.

A végén érdemes megjegyezni, hogy ez a sík átlépi a tengelyen OH-t egy olyan ponton, amely koordinátákkal (A, 0,0), OU-(0, B, 0) és OZ - (0, B, 0) és OZ - (0,0, C).

Figyelembe véve az X / A + Y / B + Z / S \u003d 1 egyenletet, nem nehéz vizuálisan bemutatni a sík elhelyezését a megadott koordinátarendszerhez képest.

A normál vektor koordinátái

Normál vektor n a p síkhoz van koordináták, amelyek együtthatók Általános egyenlet Ez a sík, azaz n (A, B, C).

A normál N koordinátáinak meghatározása érdekében elég tudni a megadott sík általános egyenletét.

Ha a szegmensek egyenletét használja, amely az X / A + Y / B + Z / S \u003d 1 formanyomtatvány, mint az általános egyenlet használatával, a megadott sík bármely normál vektorának koordinátái lehetségesek: (1 / A + 1 / B + 1 / from).

Érdemes megjegyezni ezt normál vektor Segít megoldani a különböző feladatok megoldását. A legelterjedtebb feladatok magukban foglalják a repülőgépek merőleges jellegét vagy párhuzamosságát, feladatokat a repülőgépek és a repülőgépek közötti szögek közötti szögek megtalálására.

Nézd meg a sík egyenletét a pont és a normál vektor koordinátái szerint

A meghatározott síkra merőleges nulla vektort normál (normál) nevezik egy adott síkhoz.

Tegyük fel, hogy a koordináta térben (téglalap alakú koordinátarendszer) Oxyz-t kapunk:

• m5 pont koordinátákkal (xₒ, uₒ, zₒ);
• nulla vektor n \u003d a * i + in * j + s * k.

Meg kell tenni a sík egyenletét, amely áthalad az Mₒ ponton, amely merőleges normál N.

Az űrben válassza ki az önkényes pontot, és jelölje meg m (x y, z). Hagyja, hogy az M (X, Y, Z) sugarú vektor r \u003d x * i + y * j + z * k, és a sugár-vektor pont mₒ (xₒ, u, zₒ) - rₒ \u003d xₒ * I + U * J + Zₒ * K. Az M pont egy adott síkhoz tartozik, ha a vektor MₒM merőleges a Vektorra N. Skaláris termék segítségével írjuk le az ortogonalitás állapotát:

[Mₒm, n] \u003d 0.

Mivel Mₒm \u003d R-Rₒ, a gép vektor egyenlete így néz ki:

Ez az egyenletnek van egy másik formája. Ebből a célból a skaláris termék tulajdonságait használják, és az egyenlet bal oldala átalakul. \u003d -. Ha C-ként jelöli, akkor a következő egyenletet kapja meg: - C \u003d 0 vagy \u003d C, amely kifejezi a vetületek állandóságát a síkhoz tartozó sugárvektorok normál vektorában.

Most kaphatja meg a koordináta nézetét a síkunk vektor egyenletének rekordjára \u003d 0. Mivel R-R1 \u003d (X-Xₒ) * I + (Y-Uₒ) * J + (Z-Zₒ) * K, és n \u003d a * i + in * j + c * k, van:

Kiderül, van egy síkegyenlet, amely a normál N-re merőleges ponton áthalad:

A * (X-Xₒ) + B * (U-) C * (z - zₒ) \u003d 0.

Nézd meg a sík egyenletét a két pont és vektor koordinátái szerint, Collinear sík

Két tetszőleges pontot fogunk meghatározni M '(X', U ', Z') és M "(X", Y, Z "), valamint az A (A ', A", A ‴) vektor.

Most képesek leszünk egy adott sík egyenletét elkészíteni, amely átmegy az M 'és M "pontokon, valamint bármely M pontot koordinátákkal (X, Y, Z) párhuzamos a megadott a.

Ugyanakkor a vektorok m'm \u003d (xx 'y,', zz ') és m "m \u003d (x" -h'; y "-u '; z" -z') kelléknek kell lennie Vektor A \u003d (A ', A ", A ‴), ami azt jelenti, hogy (m'm, m" m, a) \u003d 0.

Tehát a térben lévő sík egyenlete így fog kinézni:

Nézd meg a gép egyenletét három pontot

Tegyük fel, hogy három pontunk van: (x ', y', z '), (x', y, z "), (x ‴, ‴, z ‴), amelyek nem tartoznak egy egyenes vonalhoz. Meg kell írni a sík egyenletét, amely a megadott három ponton áthalad. A geometria elmélete azt állítja, hogy ez a fajta sík valóban létezik, ez csak ez az egyetlen és egyedülálló. Mivel ez a sík keresztezi az (X "pontot, a ', Z') pontot, az egyenletének nézete a következő:

Itt A, B, nem nulla egyszerre. A megadott síkban két további pontot keresztez: (x ", y, z") és (x ‴, ‴, z ‴). E tekintetben ezt a fajta állapotot végre kell hajtani:

Most elkészíthetünk egy homogén rendszert ismeretlen U, V, W:

Miénkben x, y eset vagy z tetszőleges pontot végez, amely megfelel az (1) egyenletnek. Figyelembe véve az (1) egyenletet és a rendszert (2) és (3), a fenti ábrán feltüntetett egyenletek rendszere kielégíti az N (A, B, C) vektort, amely nem triviális. Ezért ennek a rendszernek a meghatározója nulla.

Az (1) egyenlet, amit sikerült, ez a sík egyenlete. 3 pont után pontosan áthalad, és könnyen ellenőrizhető. Ehhez az első sorban lévő elemeken az azonosítónkat bontsa le. A determináns meglévő tulajdonságaiból következik, hogy a síkunk egyidejűleg három kezdetben meghatározott pontot (X ', U', Z '), (X ‴, ‴, Z ‴) keresztez. Ez az, hogy eldöntöttük az előttünk álló feladat.

Kétre szerelt szög a repülőgépek között

A kétre szerelt szög térbeli geometriai alakkét fél sík alkotja, amely egy egyenes vonalból származik. Más szóval, ez része a térben, amelyet ezekkel a fél-síkok korlátoznak.

Tegyük fel, hogy két repülőgépünk van a következő egyenletekkel:

Tudjuk, hogy az N \u003d (A, B, C) és N1 \u003d (A¹, V1, C1) vektorok merőlegesek a megadott síkok szerint. Ebben a tekintetben az N és N¹ vektorok közötti φ szög egyenlő a sarok (két ember), amely ezen síkok között található. A Scalar termék az űrlapon van:

Nn¹ \u003d | n || n¹ | cos φ,

ez azért van, mert

cosφ \u003d nn¹ / | n || n¹ | \u003d (AA¹ + robbanásveszélyes + SS1) / ((√ (a ² + C²)) * (√ (A¹) ² + (V) ² + (С¹) ²) .

Elég, ha úgy ítéli meg, hogy 0≤φ≤π.

Tény, hogy két sík, amely metszi, két szög (két ember): φ 1 és Φ 2. Az összeg egyenlő π (φ 1 + φ 2 \u003d π). Ami a kosárukat illeti, abszolút értékeik egyenlőek, de különböznek a jelek, azaz cos φ 1 \u003d -cos φ 2. Ha a (0) egyenletben az A, és C számonkénti, -A-ban, -in és -s, akkor az egyenlet, amelyet kapunk, ugyanazt a síkot, az egyetlen, a φ szöget a cos φ \u003d Nn 1 / egyenlet | n || n 1 | lesz helyettesítve π-φ.

Equáció merőleges sík

A merőleges anyagot a síknak nevezzük, amely között a szög 90 fokos. A fenti anyag felhasználásával megtaláljuk a másikra merőleges sík egyenletét. Tegyük fel, hogy két repülőgépünk van: AH + V / CZ + D \u003d 0 és A¹X + V \u003d 0 és az Аz + d \u003d 0. Azt állíthatjuk, hogy merőlegesek lesznek, ha cosφ \u003d 0. Ez azt jelenti, hogy NN¹ \u003d AA¹ + robbanás + SS1 \u003d 0.

Párhuzamos sík egyenlete

A párhuzamot két olyan síknak nevezik, amelyek nem tartalmaznak közös pontokat.

Az állapot (az egyenletek megegyeznek az előző bekezdésben) abban rejlik, hogy az N és N1 vektorok, amelyek merőlegesek, Collinear. Ez azt jelenti, hogy a következő feltételek teljesülnek:

A / \u003d V / V1 \u003d C / C1.

Ha az arányossági feltételek bővülnek - A / A¹ \u003d IN / C \u003d C / C1 \u003d DD1,

ez azt sugallja, hogy ezek a síkok egybeesnek. Ez azt jelenti, hogy az egyenletek ah + v / CZ + D \u003d 0 és A¹X + IN + С¹Z + D1 \u003d 0 egy síkot írnak le.

Távolság a síkhoz a ponttól

Tegyük fel, hogy van egy P sík, amelyet egyenlet (0) állított be. Meg kell találni a távolságot a ponttól a koordinátákkal (Xₒ, Uₒ, Zₒ) \u003d Qₒ. Ehhez meg kell adnia a P sík egyenletét a normál formában:

(ρ, v) \u003d p (p≥0).

Ebben az esetben ρ (x, y, z) a P, a P, a P, P értéke a p, p a perpendicular n hossza, amely a nulla pontból kiadás, v egyetlen vektor, amely Az A. irányban található.

A különbség ρ-ρº sugarú-vektor egy bizonyos pont q \u003d (x, y, z), amely a P, valamint egy adott pont q 0 \u003d (xₒ, u, zₒ) sugárvektora ugyanaz a vektor, A vetítés abszolút értéke, amelynek a V-en a D távolság, amelyet a Q 0 \u003d (xₒ, U, Zₒ) -tól P-ig kell találni:

D \u003d | (ρ-ρ 0, v) | de

(ρ-ρ 0, v) \u003d (ρ, v) - (ρ 0, v) \u003d p- (ρ 0, v).

Így kiderül

d \u003d | (ρ 0, v) -r |.

Így megtaláljuk a kapott kifejezés abszolút értékét, vagyis a kívánt d.

A paraméterek nyelvének használatával nyilvánvaló:

d \u003d | ahₒ + vuₒ + czₒ | / √ (A² + C² + C²).

Ha egy pont A Q 0 a P sík másik oldalán van, a koordináták kezdete, majd a ρ-ρ 0 és a v vektor között:

d \u003d - (ρ-ρ 0, v) \u003d (ρ 0, v) -r\u003e 0.

Abban az esetben, ha a Q 0 pont, a koordináták kezdetével együtt ugyanazon az oldalon található N, akkor a létrehozott szög éles, azaz:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)\u003e 0.

Ennek eredményeképpen kiderül, hogy az első esetben (ρ 0, v)\u003e p, a második (ρ 0, v)<р.

Tangens sík és annak egyenlete

Érintse meg a síkot a felületre a megható Mº ponton egy olyan sík, amely az összes lehetséges érintőit tartalmazza a felületen végzett görbe számára.

Az F (x, y, z) \u003d 0 felület egyenletének ezen formájával a tangens sík egyenlete a mº (Xº, Uº, Zº) érintőképernyőn fog kinézni:

F X (Xº, Yº, Zº) (Xº) + F X (Xº, Yº, Zº) (UHº) + F X (Xº, Yº, Zº) (Z-Zº) \u003d 0.

Ha megadja a felületet Explicit Z \u003d F (X, Y) formában, akkor a tangens síkot az egyenlet írja le:

z-Zº \u003d F (Xº, Uº) (Xº) + F (Xº, Yº) (Uº).

Két sík átlépése

A koordinátarendszer (téglalap alakú) Oxyz található, két P 'és P "sík van megadva, ami metszi és nem egyezik meg. Mivel a téglalap alakú koordinátarendszerben lévő bármely síkot a teljes egyenlet határozza meg, feltételezzük, hogy a p 'és a p "az A'h + B'u + C'z + D' \u003d 0 és a" X + "Y +" z + d "\u003d 0. Ebben az esetben normális N '(A', B ', C') síkja van P 'és normál N "(A", ", C") Plane P ". Mivel a repülőgépeink nem párhuzamosak, és nem egyeznek meg, ezek a vektorok nem kollekarok. A matematika nyelvét használva ezt az állapotot az alábbiak szerint írhatjuk: n '≠ n "↔ (A',", c ", ≠ (λ * a", λ * in ", λ * s"), λεr. Hagyja, hogy az egyenes vonal, amely a p 'és a p "metszéspontjában rejlik, az A betű jelöli, ebben az esetben a \u003d p' ∩ p.

az A közvetlen, amely számos pontot (általános) p 'és p "-ból áll. Ez azt jelenti, hogy a közvetlen A ponthoz tartozó bármely pont koordinátái egyidejűleg megfelelnek az A'h + B'u + C'z + D '\u003d 0 és a "X + és" Y + egyenletek "Z + d" \u003d 0 . Tehát a pont koordinátái a következő egyenletrendszer saját megoldása lesz:

Ennek eredményeképpen kiderül, hogy ennek az egyenletrendszernek a megoldása (általános) meghatározza a vonal mindegyik pontjának koordinátáit, amely a p 'és a p "metszéspontjaként működik, és meghatározza a közvetlen A az oxyz koordináta rendszerben (téglalap alakú) az űrben.

Az általános síkegyenlet beszerzéséhez elemezzük a megadott ponton áthaladó síkot.

Tegyük fel, hogy az űrben három koordináta tengely van már ismert ÖKÖR., Oy. és Oz.. Szuper egy papírlapot, hogy maradjon lapos. A gép maga lesz a levél és annak folytatását minden irányban.

Legyen P. Önkényes sík az űrben. Minden olyan személy, akit merőlegesnek hívnak normál vektor Erre a síkra. Természetesen egy nonzero vektorról beszélünk.

Ha valamilyen pontos sík ismert P. És néhány vektor normális, akkor ez a két feltétel a térben lévő sík meglehetősen meghatározható (Egy meghatározott ponton keresztül egy síkra merőleges a vektorra merőleges). A gép általános egyenlete megnézi:

Tehát a sík egyenletét meghatározó feltételek. Hogy magam legyen egyenlet síkegy adott megjelenés, vegye be a síkot P. Tetszőleges pont M. Változó koordinátákkal x., y., z.. Ez a pont csak akkor tartozik, ha a géphez tartozik vektor merőleges a vektorra (1. ábra). Ehhez a vektorok feltétlenségének feltételei szerint szükség van és elegendő, hogy ezeknek a vektoroknak a skaláris terméke nulla, vagyis

A vektort állapot szerint adják meg. A vektor koordinátái megtalálhatók a képlet :

.

Most, a vektorok skaláris termékének képletével , Fejezze ki a Skalar terméket a koordináta formában:

Óta M (x; y; z) Választották a síkra önkényesen, akkor az utóbbi egyenlet megfelel a síkon fekvő pont koordinátáinak P.. Egy pontra N.Nem fekszik egy adott síkon, vagyis Az egyenlőség (1) megsértése.

1. példa. Készítsük el a sík egyenletét a ponton és a merőleges vektoron keresztül.

Döntés. Használjuk a képletet (1), nézzük meg újra:

Ebben a képletszámban A. , B. és C. A vektor koordinátái és számok x.0 , y.0 és z.0 - Point koordináták.

A számítások nagyon egyszerűek: ezeket a számokat helyettesítjük a képletben és kapjuk

Szorozzuk meg mindent, amit meg kell szüntetned, és csak számokat kell hozzáadni (amelyek betűk nélkül). Eredmény:

.

A sík szükséges egyenletét ebben a példában az első fokozat általános egyenlete a koordináta-változókhoz képest x, y, z tetszőleges pontsík.

Tehát a típus egyenlete

hívott a gép közös egyenlete .

2. példa.Építsen egy síkot az egyenlet által egy téglalap alakú karteziai koordinátarendszerben .

Döntés. Ahhoz, hogy épít egy gépet, akkor van szükség, és ahhoz, hogy tudja minden három pontot, amely nem feküdt egy egyenes vonal, például a metszéspont a sík a koordináta-tengely.

Hogyan találjuk meg ezeket a pontokat? Hogy megtalálja a tengely metszéspontját Oz. Szükséges a nullák helyett a probléma állapotában adott egyenletben, x helyett x és játék helyettesítő nullák: x. = y. \u003d 0. Ezért kapunk z. \u003d 6. Így a megadott sík keresztezi a tengelyt Oz. Pontosan A.(0; 0; 6) .

Hasonlóképpen megtaláljuk a sík metszéspontját a tengelyrel Oy. . -Ért x. = z. \u003d 0 fogadás y. \u003d -3, azaz a pont B.(0; −3; 0) .

És végül megtaláljuk a síkunk metszéspontját a tengelyrel ÖKÖR. . -Ért y. = z. \u003d 0 Get x. \u003d 2, azaz a pont C.(2; 0; 0). A mi megoldásunkban kapott három pont szerint A.(0; 0; 6) , B.(0; -3; 0) és C.(2; 0; 0) Egy meghatározott síkot építünk.

Fontolja meg most a sík általános egyenletének saját esetei. Ezeket az eseteket, ha az egyenlet (2) egyenletes koefficienseket nullára alkalmazzák.

1. réteg D \u003d0 egyenlet Meghatározza a koordináták eredetén áthaladó síkot, mint a pont koordinátáit 0 (0; 0; 0) megfelel az egyenletnek.

2. réteg A \u003d.0 egyenlet Meghatározza a tengelyhöz párhuzamos síkot ÖKÖR.Mivel a normál sík vektora merőleges a tengelyre ÖKÖR. (A tengelyen lévő vetület ÖKÖR. nulla). Hasonlóképpen, mert B \u003d.0 sík Párhuzamos tengely Oy., és mikor C \u003d.0 sík párhuzamosan a tengely Oz..

3. réteg A \u003d D \u003d 0 Az egyenlet meghatározza a tengelyen áthaladó síkot ÖKÖR.Mert ez párhuzamos a tengelyével ÖKÖR. (A \u003d.D \u003d 0). Hasonlóképpen, a sík áthalad a tengelyen Oy.és sík a tengelyen keresztül Oz..

4. réteg A \u003d B \u003d0 Az egyenlet határozza meg a koordináta síkjával párhuzamos síkot xoy.mert ez párhuzamos a tengelyekkel ÖKÖR. (A. \u003d 0) és Oy. (B. \u003d 0). Hasonlóképpen, a sík párhuzamos a síkkal yoz.és sík sík xoz..

5. réteg A \u003d b \u003d d \u003d0 egyenlet (vagy z \u003d.0) meghatározza a koordináta síkot xoy.Mivel ez párhuzamos a síkhoz xoy. (A \u003d B \u003d 0) és átmegy a koordináták eredetén keresztül ( D \u003d0). Hasonlóképpen, egyenlet y \u003d.0 az űrben határozza meg a koordináta síkot xoz.és egyenlet x \u003d.0 - koordináta sík yoz..

3. példa. Készítsen síkegyenletet P. áthalad a tengelyen Oy. és pont.

Döntés. Tehát a gép áthalad a tengelyen Oy. . Ezért az egyenletében y. \u003d 0 és ezt az egyenletet megtekintik. Az együtthatók meghatározása A. és C. Használja ki azt a tényt, hogy a pont a síkhoz tartozik P. .

Ezért a koordinátái között vannak azok, amelyek helyettesíthetők a sík egyenletében, amelyet már hoztunk (). Újra nézzük a pont koordinátáiban:

M.0 (2; −4; 3) .

Közöttük x. = 2 , z. \u003d 3. Az általános formanyomtatvány egyenletét helyettesítjük, és megkapjuk az adott esetünk egyenletét:

2A. + 3C. = 0 .

Hagyja 2. A. Az egyenlet bal oldalán, átviteli 3 C. a jobb oldalon és kap

A. = −1,5C. .

A talált érték helyettesítése A. Az egyenletben kapunk

vagy.

Ez a példa állapotában szükséges egyenlet.

Megoldja a problémát a síkegyenleteken, majd nézze meg a döntést

4. példa. Határozza meg a síkot (vagy síkot, ha több mint egy) a koordináta tengelyekhez vagy koordinátákhoz képest, ha a síkot (sík) az egyenlet határozza meg.

A Tipikus feladatok döntései, amelyek tesztmunkában vannak - a kézikönyvben szereplő feladatok a síkon: Párhuzamosság, merevlemez, három repülőgép metszéspontja egy ponton. "

A gép egyenlete három ponton áthalad

Mint már említettük, a sík építésének szükségessége és elegendő feltétele, kivéve az egy pontot és a normál vektort, ugyancsak három pont van, amelyek nem fekszenek egy egyenes vonalon.

Hagyja három különböző pontot adni, és nem fekszik egy egyenes vonalon. Mivel ezek a három pont nem egy egyenes vonalon fekszenek, a vektorok, és nem kollekor, ezért a sík bármely pontja ugyanabban a síkban van, és csak akkor, ha a vektorok, és csak akkor, ha a vektorok Kielégítő, vagyis akkor és csak akkor, amikor ezeknek a vektoroknak vegyes terméke Egyenlően nulla.

A vegyes termék koordinátáiban történő kifejeződését, a síkegyenletet kapjuk

(3)

A meghatározó meghatározása után ez az egyenlet az űrlap (2) egyenleté válik, azaz azaz A gép közös egyenlete.

5. példa. Tegye meg a sík egyenletét, amely három ponton áthalad egy egyenes vonalon:

És határozza meg az általános egyenlet különleges esetét, ha ilyen történik.

Döntés. (3) képlet szerint:

Normál síkegyenlet. Távolság a ponttól a síkig

A sík normál egyenletét az egyenletnek nevezzük

Tulajdonságok közvetlenül az euklideszi geometriában.

Bármely ponton keresztül sok egyenes vonalat költhetsz.

Minden két ellentmondásos ponton keresztül az egyetlen egyenes vonalat töltheti.

Két ellentmondásos egyenes a síkon vagy metszi egy ponton, vagy van

párhuzamosan (az előzőből következik).

Háromdimenziós térben három lehetőség van két egyenes vonal relaxációjára:

• közvetlen metszés;

• egyenes párhuzamos;

• egyenes keresztkötések.

Egyenes vonal - Az első sorrend algebrai görbéje: a Descartes-koordináta rendszer egyenes vonalában

a síkon az első fokú egyenlet (lineáris egyenlet).

Az általános egyenlet egyenes.

Meghatározás. A síkon bármilyen közvetlen az első rendelési egyenlet

AH + VO + C \u003d 0,

És állandó A, B. Egyidejűleg nem egyenlő nulla. Ez az első rendű egyenlet gyakori

egyenes egyenlet. Az állandó értékektől függően A, B. és TÓL TŐL A következő különleges esetek lehetségesek:

. C \u003d 0, A ≠ 0, ≠ 0-ban - a koordináták eredetén áthalad

. A \u003d 0, ≠ 0, s ≠ 0 (+ c \u003d 0)- Közvetlenül a tengelyhez párhuzamosan Oh

. B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (AX + C \u003d 0) - Közvetlenül a tengelyhez párhuzamosan Ou

. B \u003d c \u003d 0, és ≠ 0 - A közvetlen egybeesik a tengelyével Ou

. A \u003d C \u003d 0, ≠ 0-ban - A közvetlen egybeesik a tengelyével Oh

Az egyenlet közvetlen formájában más formában is ábrázolható

kezdeti feltételek.

Az egyenlet közvetlenül a ponton és a normál vektor.

Meghatározás. A kartéziai téglalap alakú koordináta-rendszer vektorral (A, B)

merőleges egyenletes egyenletre

AH + W + C \u003d 0.

Példa. Keresse meg a közvetlen egyenletet a ponton keresztül A (1, 2) Merőleges a vektorra (3, -1).

Döntés. A \u003d 3 és B \u003d -1-en az egyenlet egyenes: 3x - Y + C \u003d 0, hogy megtalálja az együtthatót

helyettesítjük az adott pont koordinátájának kapott expressziót. Ezért kapjuk meg: 3 - 2 + c \u003d 0

C \u003d -1. Összesen: a kívánt egyenlet: 3x - Y - 1 \u003d 0.

Az egyenlet két ponton keresztül halad át.

Hagyja, hogy két pontot adjon az űrben M 1 (x 1, y 1, z 1)és M2 (x 2, y 2, z 2), azután egyenlet közvetlen,

ezeken a pontokon áthalad:

Ha a denominátorok nulla, a megfelelő számlálónak nulla lehet. A

az egyenlet felett rögzített sík egyszerűsített:

ha egy x 1 ≠ x 2 és x \u003d x 1 , Ha egy x 1 \u003d x 2 .

Töredék \u003d K. hívott szögletes koefficiens egyenes.

Példa. Keresse meg az A (1, 2) és a (3, 4) ponton áthaladó egyenletet.

Döntés. A fent rögzített képlet alkalmazása:

Az egyenlet közvetlenül a ponton és a szög együttható.

Ha az általános egyenlet közvetlen AH + VO + C \u003d 0 Elgondolkodva:

És értesíti Ezután a kapott egyenlet hívják

az egyenlet egyenes vonal, szöges koefficienssel.

Az egyenlet egyenesen a ponton és a vezetővektoron.

Analógiával egy bekezdéssel, figyelembe véve az egyenletet közvetlenül a normál vektoron keresztül, akkor beírhat egy feladatot

közvetlenül a ponton és a vezető vektor egyenesen.

Meghatározás. Minden nonzero vektor (α1, α 2)Kinek az összetevői megfelelnek az állapotnak

Aα 1 + bα 2 \u003d 0 hívott közvetlen közvetlen vektor.

AH + W + C \u003d 0.

Példa. Keresse meg a vonalegyenletet a vezetővektorral (1, -1) és átmegy az A ponton (1, 2).

Döntés. Az egyenlet a megfelelő vonal a következő: Ax + by + c \u003d 0. A meghatározásnak megfelelően

az együtthatóknak meg kell felelniük a feltételeknek:

1 * A + (-1) * B \u003d 0, vagyis. A \u003d V.

Ezután a közvetlen egyenlet az űrlapot veszi: AX + AY + C \u003d 0, vagy x + y + c / a \u003d 0.

-ért x \u003d 1, y \u003d 2kap C / a \u003d -3. A kívánt egyenlet:

x + y - 3 \u003d 0

Az egyenlet egyenesen szegmensekben van.

Ha a közvetlen ah + v / c \u003d 0 s ≠ 0 teljes egyenletében, akkor a On-° C elválasztása, kapunk:

vagy hol

Az együtthatók geometriai jelentése az, hogy az A koefficiens a kereszteződés koordinátája

egyenesen tengelyekkel Ó, de b. - koordináta pont kereszteződés közvetlen a tengely Ou.

Példa. Az általános egyenlet be van állítva X - Y + 1 \u003d 0.Keresse meg az egyenletet erre a szegmensekben.

C \u003d 1 ,, A \u003d -1, B \u003d 1.

A normál egyenlet egyenes.

Ha az egyenlet mindkét része AH + VO + C \u003d 0 Oszd meg a számot hívott

normalizáló szorzó, Kapok

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -a normál egyenlet közvetlen.

A jel ± normalizáló szorzót úgy kell megválasztani, hogy μ * S.< 0.

r - a merőleges hosszúságú, a koordináták közvetlen kezdetétől csökkent,

de φ - Ez a merőleges szög pozitív tengelyirányú Ó.

Példa. Az általános egyenlet adódik 12x - 5. - 65 \u003d 0. Különböző típusú egyenleteket kell írni

ez egyenes.

E vonal egyenlete a szegmensekben:

Ennek egyenes vonalának egyenlete szög együtthatóval: (5-re osztjuk)

Egyenlet közvetlen:

cos φ \u003d 12/13; sin φ \u003d -5/13; P \u003d 5.

Meg kell jegyezni, hogy nem minden egyeneset a szegmensek egyenlete képviselheti, például közvetlen,

párhuzamos tengelyek vagy az eredeten áthaladnak.

A szög egyenesen a síkon.

Meghatározás. Ha két közvetlen y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 , akkor az éles sarok között ezek között

meg fogják határozni

Két egyenes párhuzamos, ha k 1 \u003d k 2. Két egyenes merőleges,

ha egy k 1 \u003d -1 / K 2 .

Temető.

Egyenes AH + VO + C \u003d 0és A 1 x + 1 y + c 1 \u003d 0 Párhuzamosan, amikor arányos az együtthatókkal

És 1 \u003d λa, 1 \u003d λ. Ha ma I. C 1 \u003d λС, majd a közvetlen egybeesik. Két közvetlen metszéspontjainak koordinátái

a közvetlen egyenletek rendszerének megoldása.

Ennek a ponton a közvetlen áthaladás egyenlete merőleges erre a közvetlenre.

Meghatározás. Egyenesen, áthalad a ponton M 1 (x 1, 1) és merőlegesen irányul y \u003d kx + b

ezt az egyenlet képviseli:

Távolság a ponttól egyenesen.

Temető. Ha a pont be van állítva M (x 0, y 0), majd az egyenes távolság AH + VO + C \u003d 0meghatározva:

Bizonyíték. Hagyja a pontot M 1 (x 1, 1) - a merőleges alapja, csökkentve a ponttól M.meghatározott

egyenes. Ezután a pontok közötti távolság M.és M 1.:

(1)

Koordináták x 1 és 1-ben. Az egyenletek rendszerének megoldásaként található:

A rendszer második egyenlete az a közvetlen áthaladás egyenlete a megadott m 0 ponton merőleges

meghatározott közvetlen. Ha átalakítja az első rendszeregyenletet az elme:

A (X - X 0) + B (Y - Y 0) + AX \u200b\u200b0 + 0 + C \u003d 0,

ez, megoldás, kapunk:

Ezeknek a kifejezéseknek az egyenlet (1) helyettesítése, megtaláljuk:

A tétel bizonyítható.

Síkegyenlet. Hogyan készítsünk egy síkegyenletet?
A síkok kölcsönös helye. Feladatok

A térbeli geometriát nem sokkal bonyolultabb a "lapos" geometria, és az űrben lévő járataink ebben a cikkben kezdődnek. Ahhoz, hogy a témát összpontosítsuk, jól kell megérteni vektorokEzenkívül kívánatos, hogy ismerje meg a sík geometriáját - sok hasonló, sok analógiát lesz, így az információ jelentősen jobban megemeli. A leckék sorozatában a 2D világ egy cikket nyit meg Közvetlen egyenlet a gépen. De most Batman lapos TV-képernyővel ment, és elindul a Baikonur Cosmodrome-ból.

Kezdjük a rajzokkal és a kijelölésekkel. Vázlatosan a síkot egy parallelogramm formájában lehet levonni, amely a hely benyomását kelti:

A sík végtelen, de lehetőségünk van arra, hogy csak a darabját ábrázoljuk. A gyakorlatban a parallelogramon kívül ovális vagy akár egy felhőt is rajzolok. Technikai okok miatt technikai okokból a gépet csak ebben a helyzetben ábrázolja. Valódi síkok, amelyeket gyakorlati példákban tartunk, úgy lehet elhelyezni, hogy tetszik - mentálisan vegye be a rajzot a kezedben, és fordítsa el az űrbe, és adja meg a síkot, bármilyen szöget.

Megnevezések: A síkok a kis görög betűk kijelölésére szolgálnak, nyilvánvalóan nem zavarják őket egyenesen a síkon vagy az űrben. Régebben használtam a levelet. A rajzban a "Sigma" betű, és egyáltalán nem egy lyuk. Bár a légzés sík, ez határozottan nagyon vicces.

Bizonyos esetekben a síkok megnevezéséhez kényelmes, ha például az alsó szubsztrátindexekkel rendelkező görög betűk használata.

Nyilvánvaló, hogy a síkot egyedülállóan határozzák meg három különböző ponttal, amelyek nem egy egyenes vonalon fekszenek. Ezért a repülőgépek hárombetűs megnevezései meglehetősen népszerűek - például azokhoz tartozó pontok szerint, például stb. Gyakran a betűk zárójelben vannak: hogy ne zavarja a gépet egy másik geometriai alakral.

A tapasztalt olvasók adnak gyors hozzáférés menü:

• Hogyan készítsünk egy síkegyenletet egy ponton és két vektoron?
• Hogyan lehet a sík egyenletét a ponton és a normál vektorban?

És nem fogunk hosszú elvárásokat bántani:

A sík általános egyenlete

A sík általános egyenletét tekintjük, ahol az együtthatók egyidejűleg nulla.

Számos elméleti számítás és gyakorlati feladatok tisztességesek mind a szokásos orthonormális alapon, mind az affin téren (ha olajolaj, menj vissza a leckéhez Lineáris (nem) vektoros függőség. Alapvektorok). Az egyszerűségért feltételezzük, hogy minden esemény orthonormális alapon és decartuláris téglalap alakú koordináta rendszerben fordul elő.

És most egy kis térbeli képzelet van. Semmi szörnyű, ha rossz, most már egy kicsit. Még az idegekre is szükség van az edzésre.

A leginkább általános esetekben, ha a számok nem nulla, a sík mindhárom koordináta tengelyt keresztez. Például:

Ismét ismételtem, hogy a gép minden irányban végtelenül folytatódik, és lehetőségünk van arra, hogy csak a részét ábrázoljuk.

Tekintsük a repülőgépek legegyszerűbb egyenleteit:

Hogyan lehet megérteni ezt az egyenletet? Gondolkodj: "Zet" mindig, az "X" és az "Igarek" értéke nulla. Ez az "natív" koordináta sík egyenlete. Valójában hivatalosan az egyenlet újraírható: Ahol egyértelműen látható, hogy a dobon vagyunk, milyen értékek "IX" és "igrek", fontos, hogy a "ZET" nulla.

Hasonlóképpen:
- a koordináta sík egyenlete;
- A koordináta sík egyenlete.

Egy kicsit bonyolult feladat, tekintse meg a síkot (itt, majd a bekezdésben azt feltételezzük, hogy a numerikus együtthatók nem egyenlőek nulla). Átírjuk az egyenletet az űrlapon :. Hogyan értem őt? Az "X" mindig, az "Igarek" és a "Zeta" értéke megegyezik néhány számmal. Ez a sík párhuzamos a koordináta síkjával. Például a sík párhuzamos a síkkal, és áthalad a ponton.

Hasonlóképpen:
- a sík egyenlete, amely párhuzamos a koordináta síkkal;
- A sík egyenlete, amely párhuzamos a koordináta síkkal.

Tagok hozzáadása :. Az egyenlet a következőképpen írható át: azaz a "zy" lehet. Mit jelent? "X" és "igrek" kapcsolódik a kapcsolat, amely egy bizonyos vonal a síkban (megtudja közvetlen egyenlet a gépen?). Mivel a "ZET" lehet, akkor ez a közvetlen "replikált" bármilyen magasságban. Így az egyenlet határozza meg a koordináta tengelyével párhuzamos síkot

Hasonlóképpen:
- a sík egyenlete, amely párhuzamos a koordináta tengelyével;
- A sík egyenlete, amely párhuzamos a koordináta tengelyével.

Ha a szabad tagok nulla, a síkok közvetlenül áthaladnak a megfelelő tengelyeken. Például a klasszikus "közvetlen arányosság" :. A síkban, a síkban, a közvetlen és szellemileg szaporodott fel és le (a "Zet" óta). Következtetés: Az egyenlet által meghatározott sík áthalad a koordináta tengelyen keresztül.

Teljes áttekintés: síkegyenlet átmegy a koordináták eredetén keresztül. Nos, ez nyilvánvaló itt, hogy a pont kielégíti ezt az egyenletet.

És végül, az ügy látható a rajzon: - a repülőgép barátságos minden koordinátatengelyeken, miközben mindig „vág ki” egy háromszög, amely lehet elhelyezni bármelyik nyolc octants.

Lineáris egyenlőtlenségek az űrben

Ahhoz, hogy megértsük az információkat, amelyekre jól kell felfedeznie lineáris egyenlőtlenségek a gépenMivel sok dolog hasonló lesz. A bekezdés rövid áttekintést kap több példáról, mivel az anyag a gyakorlatban elég ritka.

Ha az egyenlet meghatározza a síkot, akkor az egyenlőtlenségek
Meghatároz félsziget. Ha az egyenlőtlenség hihetetlen (az utolsó két felsorolt), akkor a sík magában foglalja az egyenlőtlenség megoldását.

5. példa.

Keressen egy normál síkvektort .

Döntés: Az egységvektor egy vektor, amelynek hossza egyenlő. Jelzi ezt a vektort. Elég világos, hogy a vektorok Collinear:

Először a síkegyenletből a normál vektor eltávolításra kerül :.

Hogyan találhat egy vektorot? Annak érdekében, hogy egyetlen vektorot találjon, szüksége van mINDEN Vektor koordináta osztva vektor hossza.

Átírjuk a normál vektorot az űrlapon, és megtaláljuk a hosszát:

A fentiek szerint:

Válasz:

Ellenőrizze: Mit kellett ellenőrizni.

Azok az olvasók, akik alaposan tanulmányozták a lecke utolsó bekezdését, valószínűleg észrevették egyetlen vektor koordinátái - pontosan a vektoros koszinus útmutatója:

A szétszerelt feladatról: ha tetszőleges nonzero vektort kapsz, és az állapot alatt meg kell találni az útmutató koszinót (lásd a legújabb lecke feladatokat) Skalar termékvektorok), Akkor, tényleg, találsz egyetlen vektort, collinear adva. Valójában két feladat egy üvegben.

A matematikai elemzés egyes célkitűzéseiben egy normál vektoros vektor meg kell találnia.

A normál vektor túlélésével rájöttek, most válaszolnak az ellenkező kérdésre:

Hogyan lehet a sík egyenletét a ponton és a normál vektorban?

A normál és a pont vektorának merev kialakítása ismeri a darts játék célját. Kérjük, húzza meg a kezét előre és mentálisan válasszon tetszőleges helyet, például egy kis cica egy szolga. Nyilvánvaló, hogy ezen a ponton keresztül egyetlen síkot is meg lehet vezetni a kezedre merőleges.

A vektorra merőleges ponton áthaladó sík egyenletét a képlet jellemzi: