Hogyan találjuk meg a beírt kör sugarát? A kör és a kirándulás. Vizuális útmutató példákkal (2019)

A kört egy szabályos sokszög határain belülinek tekintjük, ha azon belül helyezkedik el, miközben minden oldalát átmenő egyenes vonalakat érint. Nézzük meg, hogyan találjuk meg a kör középpontját és sugarát. A kör középpontja az a pont lesz, ahol a sokszög sarkainak felezőpontjai metszik egymást. A sugár kiszámítása: R = S / P; S a sokszög területe, P a kör fél kerülete.

Háromszögben

Egy szabályos háromszögbe csak egy kör van beleírva, amelynek középpontját belsõ középpontnak nevezzük; minden oldaltól azonos távolságra van, és a felezők metszéspontja.

Négyszögben

Gyakran el kell dönteni, hogyan találjuk meg a beírt kör sugarát ezen a geometriai ábrán. Konvexnek kell lennie (ha nincsenek önmetszéspontok). Egy kör csak akkor írható bele, ha a szemközti oldalak összege egyenlő: AB + CD = BC + AD.

Ebben az esetben a beírt kör középpontja, az átlók felezőpontjai egy egyenesen helyezkednek el (Newton tétele szerint). Az a szakasz, amelynek végei a szabályos négyszög ellentétes oldalainak metszéspontjában helyezkednek el, ugyanazon az egyenesen, az úgynevezett Gauss-vonalon fekszik. A kör középpontja az a pont lesz, ahol a háromszög magasságai metszik a csúcsokat, átlókat (Brocard tétele szerint).

Rombuszban

Egyforma oldalhosszúságú paralelogrammának tekintjük. A beleírt kör sugara többféleképpen is kiszámítható.

1. Ehhez keresse meg a rombusz beírt körének sugarát, ha ismeri a rombusz területét, oldalának hosszát. A képlet: r = S / (2Xa). Például, ha a rombusz területe 200 mm négyzet, az oldal hossza 20 mm, akkor R = 200 / (2X20), azaz 5 mm.
2. Az egyik csúcs hegyesszöge ismert. Ekkor az r = v képletet kell használni (S * sin (α) / 4). Például 150 mm-es terület és 25 fokos ismert szög esetén R = v (150 * sin (25 °) / 4) ≈ v (150 * 0,423 / 4) ≈ v15,8625 ≈ 3,983 mm.
3. A rombusz minden szöge egyenlő. Ebben a helyzetben a rombuszba írt kör sugara egyenlő lesz az ábra egyik oldalának hosszának felével. Ha Eukleidész szerint érvelünk, aki azt állítja, hogy bármely négyszög szögeinek összege 360 ​​fok, akkor az egyik szög 90 fokkal lesz egyenlő; azok. kap egy négyzetet.

A sugár olyan szakasz, amely a kör bármely pontját összeköti a kör középpontjával. Ennek az ábrának ez az egyik legfontosabb jellemzője, hiszen az összes többi paraméter ebből számítható. Ha tudja, hogyan találja meg a kör sugarát, kiszámíthatja az átmérőjét, hosszát és területét. Abban az esetben, ha egy adott ábrát egy másik köré írnak vagy írnak le, számos egyéb probléma megoldható. Ma elemezzük az alapvető képleteket és alkalmazásuk jellemzőit.

Ismert mennyiségek

Ha tudja, hogyan találja meg egy kör sugarát, amelyet általában R betűvel jelölnek, akkor egy jellemzőből ki lehet számítani. Ezek az értékek a következőket tartalmazzák:

• kerülete (C);
• átmérő (D) - egy szegmens (vagy inkább egy húr), amely áthalad a középponton;
• terület (S) - az a tér, amelyet ez az ábra korlátoz.

A kerület mentén

Ha a feladatban ismert C értéke, akkor R = C / (2 * P). Ez a képlet egy származék. Ha tudjuk, mekkora egy kör kerülete, akkor már nem kell megjegyezni. Tegyük fel, hogy a feladatban C = 20 m. Hogyan találjuk meg ebben az esetben a kör sugarát? Csak írja be az ismert értéket a fenti képletbe. Megjegyzendő, hogy az ilyen feladatokban a szám ismeretét mindig magában foglalja, a számítások megkönnyítése érdekében ennek értékét 3,14-nek vesszük. A megoldás ebben az esetben a következő: felírjuk, milyen értékeket adunk meg, levezetjük a képletet és számításokat végzünk. A válaszban azt írjuk, hogy a sugár 20 / (2 * 3,14) = 3,19 m. Fontos, hogy ne felejtsük el, mit gondoltunk, és említsük meg a mértékegységek nevét.

Átmérő szerint

Azonnal hangsúlyozzuk, hogy ez a legegyszerűbb problématípus, amely azt kérdezi, hogyan lehet megtalálni a kör sugarát. Ha ilyen példával találkozik a teszt során, megnyugodhat. Még számológép sem kell! Ahogy már mondtuk, az átmérő egy szegmens, vagy pontosabban egy húr, amely áthalad a középponton. Ebben az esetben a kör minden pontja egyenlő távolságra van. Ezért ez az akkord két félből áll. Mindegyik egy sugár, ami a kör egy pontját és annak középpontját összekötő szakaszként való definíciójából következik. Ha az átmérő ismert a feladatban, akkor a sugár meghatározásához csak el kell osztani ezt az értéket kettővel. A képlet így néz ki: R = D / 2. Például, ha a feladatban szereplő átmérő 10 m, akkor a sugár 5 méter.

Egy kör területe szerint

Az ilyen típusú problémákat általában a legnehezebbnek nevezik. Ennek oka elsősorban a képlet nem ismerete. Ha ebben az esetben tudja, hogyan találja meg a kör sugarát, akkor a többi technológia kérdése. A számológépben csak előre meg kell találnia a négyzetgyök számítási ikont. A kör területe a P szám és a sugár szorzata önmagával. A képlet így néz ki: S = P * R 2. Az egyenlet egyik oldalán lévő sugarat leválasztva könnyen megoldhatja a problémát. Ez egyenlő lesz a terület P számmal való osztásának hányadosának négyzetgyökével. Ha S = 10 m, akkor R = 1,78 méter. Az előző feladatokhoz hasonlóan fontos, hogy ne feledkezzünk meg a használt mértékegységekről.

Hogyan találjuk meg a körülírt kör sugarát

Tegyük fel, hogy a, b, c egy háromszög oldalai. Ha ismeri az értékeiket, akkor megtalálhatja a körülötte leírt kör sugarát. Ehhez először meg kell találnia a háromszög fél kerületét. A könnyebb érthetőség kedvéért jelöljük egy kis p betűvel. Ez egyenlő lesz az oldalak összegének felével. Képlete: p = (a + b + c) / 2.

Kiszámoljuk az oldalak hosszának szorzatát is. Az egyszerűség kedvéért jelöljük S betűvel. A körülírt kör sugarának képlete a következőképpen néz ki: R = S / (4 * √ (p * (p - a) * (p - b) * () p - c)).

Nézzünk egy példát egy feladatra. Van egy körünk egy háromszög körül. Oldalainak hossza 5, 6 és 7 cm, először a fél kerületét számítjuk ki. A mi feladatunkban ez 9 centiméter lesz. Most számoljuk ki az oldalak hosszának szorzatát - 210. Helyettesítse be a közbenső számítások eredményeit a képletbe, és találja meg az eredményt. A körülírt kör sugara 3,57 centiméter. Leírjuk a választ, nem feledkezve meg a mértékegységekről.

Hogyan találjuk meg a beírt kör sugarát

Tegyük fel, hogy a, b, c a háromszög oldalainak hossza. Ha ismeri az értékeket, akkor megtalálja a beírt kör sugarát. Először meg kell találnia a fél kerületét. A könnyebb érthetőség kedvéért jelöljük egy kis p betűvel. Kiszámításának képlete a következő: p = (a + b + c) / 2. Ez a fajta feladat valamivel egyszerűbb, mint az előző, így nincs szükség több közbenső számításra.

A beírt kör sugarát a következő képlet segítségével számítjuk ki: R = √ ((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Vizsgáljuk meg ezt egy konkrét példával. Tegyük fel, hogy a feladat egy 5, 7 és 10 cm oldalú háromszöget ír le, amelybe egy kör van írva, aminek a sugarát meg kell találni. Először is megtaláljuk a fél kerületet. A mi feladatunkban ez 11 cm lesz, most behelyettesítjük a fő képletbe. A sugár 1,65 centiméter lesz. Írjuk fel a választ, és ne feledkezzünk meg a helyes mértékegységekről.

Kerület és tulajdonságai

Minden geometriai alakzatnak megvannak a maga sajátosságai. A problémák megoldásának helyessége a megértésüktől függ. A körnek is vannak ilyenek. Gyakran használják példák megoldására leírt vagy feliratos ábrákkal, mivel világos képet adnak egy ilyen helyzetről. Közöttük:

• Egy egyenesnek lehet nulla, egy vagy két körrel való metszéspontja. Az első esetben nem metszik vele, a másodikban egy érintő, a harmadikban egy szekáns.
• Ha három olyan pontot veszünk, amely nem egy egyenesen fekszik, akkor csak egy kört lehet átvinni rajtuk.
• Egy egyenes érinthet két számot egyszerre. Ebben az esetben egy ponton halad át, amely a körök középpontját összekötő szakaszon fekszik. Hossza megegyezik ezen ábrák sugarainak összegével.
• Egy vagy két ponton keresztül végtelen számú kör húzható.

Ez a cikk elmagyarázza, hogyan lehet megtalálni a négyzetbe írt kör sugarát. Az elméleti anyag segít megérteni a témával kapcsolatos összes árnyalatot. A szöveg elolvasása után könnyedén megoldhatja a hasonló problémákat a jövőben.

Alapvető elmélet

Mielőtt közvetlenül rátérne a négyzetbe írt kör sugarának megkeresésére, érdemes megismerkedni néhány alapvető fogalommal. Talán túl egyszerűnek és kézenfekvőnek tűnhetnek, de szükségesek a probléma megértéséhez.

A négyzet olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő egymással, és minden szög fokmértéke 90 fok.

A kör egy kétdimenziós zárt görbe, amely egy ponttól bizonyos távolságra helyezkedik el. Az a szegmens, amelynek egyik vége a kör közepén fekszik, a másik pedig bármely felületén, sugárnak nevezik.

Megismerkedtünk a feltételekkel, csak a fő kérdés maradt. Meg kell találnunk a négyzetbe írt kör sugarát. De mit jelent az utolsó mondat? Itt sincs semmi bonyolult. Ha egy sokszög minden oldala egy görbe vonalat érint, akkor az ebbe a sokszögbe beírtnak tekintendő.

A négyzetbe írt kör sugara

Az elméleti anyaggal elkészültünk. Most ki kell találnia, hogyan alkalmazza a gyakorlatban. Ehhez használjunk egy képet.

A sugár nyilvánvalóan merőleges az AB-re. Ez azt jelenti, hogy ugyanakkor párhuzamos a Kr. e. és a Kr. e. Nagyjából elmondható, hogy "ráhelyezheti" a négyzet oldalára a hossz további meghatározásához. Amint látja, a BK szegmens felel meg neki.

Egyik r vége a kör középpontjában van, amely az átlók metszéspontja. Ez utóbbiak egyik tulajdonságuk szerint kettéosztják egymást. A Pitagorasz-tétel segítségével bebizonyíthatjuk, hogy az ábra oldalát is két azonos részre osztják.

Ezeket az érveket figyelembe véve levonjuk a következtetést.

A rombusz olyan paralelogramma, amelynek minden oldala egyenlő. Ezért örökli a paralelogramma összes tulajdonságát. Ugyanis:

• A rombusz átlói egymásra merőlegesek.
• A rombusz átlói a belső szögeinek felezői.

Egy kör akkor és csak akkor írható be négyszögbe, ha a szemközti oldalak összege egyenlő.
Ezért egy kör bármelyik rombuszba írható. A beírt kör középpontja egybeesik a rombusz átlóinak metszéspontjával.
A rombuszba írt kör sugara többféleképpen is kifejezhető

1 út. Beírt kör sugara rombuszban a magasságon keresztül

A rombusz magassága megegyezik a beírt kör átmérőjével. Ez a téglalap tulajdonságából következik, amelyet a beírt kör átmérője és a rombusz magassága alkot - a téglalap szemközti oldalai egyenlőek.

Ezért a rombuszba írt kör sugarának képlete a magasságon keresztül:

2. módszer. A beírt kör sugara egy rombuszban az átlókon keresztül

A rombusz területe a beírt kör sugarával fejezhető ki
, ahol R A rombusz kerülete. Tudva, hogy a kerület a négyszög minden oldalának összege, megvan P = 4× a. Azután
De a rombusz területe is fele az átlók szorzatának
A területképletek jobb oldalát egyenlővé téve a következő egyenlőséget kapjuk
Ennek eredményeként egy képletet kapunk, amely lehetővé teszi a beírt kör sugarának kiszámítását egy rombuszban az átlókon keresztül

Példa a rombuszba írt kör sugarának kiszámítására, ha az átlói ismertek
Határozza meg a rombuszba írt kör sugarát, ha ismert, hogy az átlók hossza 30 cm és 40 cm
Legyen ABCD-rombus akkor ACés BDátlói. AC = 30 cm , BD= 40 cm
Legyen a lényeg O A rombuszba írt középpontja ABCD kör, akkor ez lesz az átlóinak metszéspontja is, kettéosztva azokat.


mivel a rombusz átlói derékszögben metszik egymást, akkor a háromszög AOB négyszögletes. Aztán a Pitagorasz-tétel alapján
, az előzőleg kapott értékeket behelyettesítjük a képletbe

AB= 25 cm
A korábban levezetett képletet alkalmazva a rombuszban körülírt kör sugarára, megkapjuk

3. módszer. A rombuszba írt kör sugara az m és n szakaszokon keresztül

Pont F- a kör érintési pontja a rombusz oldalával, amely szakaszokra osztja AFés Bf... Legyen AF =m, BF = n.
Pont O- a rombusz átlóinak és a beírt kör középpontjának metszéspontja.
Háromszög AOB- téglalap alakú, mivel a rombusz átlói derékszögben metszik egymást.
mivel a kör érintőpontjához húzott sugár. Ennélfogva NAK,-NEK- a háromszög magassága AOB a hypotenushoz. Azután AFés BF - a lábak vetülete a hypotenushoz.
A derékszögű háromszögben az alsó részre süllyesztett magasság a lábak hipotenuszra való vetületei közötti arányos átlag.

A rombuszba írt kör sugarának képlete a szakaszokon keresztül egyenlő ezen szakaszok szorzatának négyzetgyökével, amelybe a kör érintőpontja osztja a rombusz oldalát