Hogyan találjuk meg a paralelogramma képlet területét. Kiszámoljuk a szögek összegét és a paralelogramma területét: tulajdonságok és előjelek. A terület megtalálásának egyéb módjai

4. feladat.

A 4√6 hosszúságú paralelogramma egyik átlója 60°-os szöget zár be az alappal, a második átló pedig 45°-os szöget zár be ugyanazzal az alappal. Keresse meg a második átlót.

Megoldás.

1. AO = 2√6.

2. Alkalmazza a szinusztételt az AOD háromszögre.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Válasz: 12.

5. feladat.

Az 5√2 és 7√2 oldalú paralelogramma esetében az átlók közötti kisebb szög egyenlő a paralelogramma kisebb szögével. Határozza meg az átlók hosszának összegét!

Megoldás.

Legyen d 1, d 2 a paralelogramma átlói, az átlók és a paralelogramma kisebb szöge közötti szög pedig φ.

1. Számoljunk két különbözőt
területének módjait.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Az 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f egyenlőséget kapjuk, ill.

2 5√2 7√2 = d 1 d 2;

2. A paralelogramma oldalainak és átlóinak arányát felhasználva felírjuk az egyenlőséget

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Készítsünk egy rendszert:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Szorozzuk meg a rendszer második egyenletét 2-vel, és adjuk hozzá az elsőhöz.

Azt kapjuk, hogy (d 1 + d 2) 2 = 576. Innen Id 1 + d 2 I = 24.

Mivel d 1, d 2 a paralelogramma átlóinak hossza, akkor d 1 + d 2 = 24.

Válasz: 24.

6. feladat.

A paralelogramma oldalai 4 és 6. Az átlók hegyesszöge 45 o. Keresse meg a paralelogramma területét.

Megoldás.

1. Az AOB háromszögből a koszinusztétel segítségével felírjuk a paralelogramma oldala és az átlók közötti összefüggést.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√ 2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Hasonlóképpen írjuk fel az AOD háromszög relációját.

Ezt figyelembe vesszük<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

A d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 egyenletet kapjuk.

3. Van egy rendszerünk
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

A második egyenletből az elsőt kivonva 2d 1 d 2 √2 = 80 ill.

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Jegyzet: Ebben és az előző feladatban sem szükséges a rendszert teljesen megoldani, előre látva, hogy ebben a feladatban az átlók szorzatára van szükség a terület kiszámításához.

Válasz: 10.

7. feladat.

A paralelogramma területe 96, oldalai 8 és 15. Határozzuk meg a kisebb átló négyzetét!

Megoldás.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Csináljunk behelyettesítést a képletben.

96 = 8 15 sin VAD-ot kapunk. Ezért sin VAD = 4/5.

2. Find cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 ROSSZ = 1. cos 2 ROSSZ = 9/25.

A feladat feltétele szerint megtaláljuk a kisebb átló hosszát. A BD átló kisebb lesz, ha a BAD szög hegyes. Akkor mivel ROSSZ = 3/5.

3. Az ABD háromszögből a koszinusztétel segítségével megtaláljuk a BD átló négyzetét.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Válasz: 145.

Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell megoldani egy geometriai problémát?
Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Párhuzamos terület

1. tétel

A paralelogramma területét úgy határozzuk meg, mint az oldala hosszának és a hozzá húzott magasságnak a szorzata.

ahol $a$ a paralelogramma oldala, $h$ az erre az oldalra húzott magasság.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABCD$ paralelogrammát, ahol $AD=BC=a$. Rajzoljuk meg a $DF$ és $AE$ magasságokat (1. ábra).

1. kép

Nyilvánvaló, hogy az $FDAE$ ábra egy téglalap.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]

Ezért, mivel $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\triangle BAE=\triangle CDF$, $I$-al a háromszög egyenlőségi teszt. Azután

Tehát a téglalap terület tétele szerint:

A tétel bizonyítást nyert.

2. tétel

A paralelogramma területét a szomszédos oldalak hosszának és az oldalak közötti szög szinuszának szorzataként határozzuk meg.

Matematikailag ez a következőképpen írható fel

ahol $a,\ b$ a paralelogramma oldalai, $\alpha $ a köztük lévő szög.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABCD$ paralelogrammát, amelynek $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Rajzolja le a $DF=h$ magasságot (2. ábra).

2. ábra.

A szinusz definíciója szerint azt kapjuk

Ennélfogva

Ezért a $1$ tétel alapján:

A tétel bizonyítást nyert.

Egy háromszög területe

3. tétel

A háromszög területe az oldala hosszának és a hozzá húzott magasságának a fele.

Matematikailag ez a következőképpen írható fel

ahol $a$ a háromszög oldala, $h$ az erre az oldalra húzott magasság.

Bizonyíték.

3. ábra

Tehát a $1$ tétel alapján:

A tétel bizonyítást nyert.

4. tétel

A háromszög területét úgy határozzuk meg, mint a szomszédos oldalai hosszának a fele, szorozva az oldalak közötti szög szinuszával.

Matematikailag ez a következőképpen írható fel

ahol $a,\ b$ a háromszög oldalai, $\alpha $ a köztük lévő szög.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABC$ háromszöget, ahol $AB=a$. Rajzolja meg a $CH=h$ magasságot. Építsük fel az $ABCD$ paralelogrammára (3. ábra).

Nyilvánvaló, hogy $\triangle ACB=\triangle CDB$ $I$-tal. Azután

Tehát a $1$ tétel alapján:

A tétel bizonyítást nyert.

Trapéz terület

5. tétel

A trapéz területét úgy határozzuk meg, mint az alapjai hossza és a magassága összegének fele.

Matematikailag ez a következőképpen írható fel

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABCK$ trapézt, ahol $AK=a,\ BC=b$. Rajzoljuk meg benne a $BM=h$ és $KP=h$ magasságokat, valamint a $BK$ átlót (4. ábra).

4. ábra

A $3$ tétel alapján azt kapjuk, hogy

A tétel bizonyítást nyert.

Feladat példa

1. példa

Határozzuk meg egy egyenlő oldalú háromszög területét, ha az oldalának hossza $a.$

Megoldás.

Mivel a háromszög egyenlő oldalú, minden szöge egyenlő $(60)^0$.

Akkor a $4$ tétel alapján megvan

Válasz:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Vegye figyelembe, hogy ennek a feladatnak az eredménye felhasználható bármely, adott oldallal rendelkező egyenlő oldalú háromszög területének meghatározására.

A paralelogramma definíciója

Paralelogramma olyan négyszög, amelyben a szemközti oldalak egyenlőek és párhuzamosak.

Online számológép

A paralelogrammának van néhány hasznos tulajdonsága, amelyek megkönnyítik az ábrával kapcsolatos problémák megoldását. Például az egyik tulajdonság az, hogy egy paralelogramma szemközti szögei egyenlőek.

Tekintsünk több módszert és képletet, majd egyszerű példák megoldását.

A paralelogramma területének képlete alap és magasság szerint

Ez a területmeghatározási módszer valószínűleg az egyik legalapvetőbb és legegyszerűbb, mivel néhány kivételtől eltekintve szinte azonos a háromszög területének meghatározására szolgáló képlettel. Kezdjük egy általánosított esettel, számok használata nélkül.

Legyen tetszőleges bázisú paralelogramma a a a, oldal bb bés magasság h h h bázisunkra vonzzák. Ekkor a paralelogramma területének képlete:

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=a ⋅h

A a a- alap;
h h h- magasság.

Vessünk egy pillantást egy egyszerű problémára a tipikus problémák megoldásának gyakorlásához.

Keresse meg a paralelogramma területét, amelynek alapja 10 (cm) és magassága 5 (cm) ismert.

Megoldás

A=10 a=10 a =1 0
h=5 h=5 h =5

Helyettesítse képletünkben. Kapunk:
S=10 ⋅ 5=50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (lásd négyzet)

Válasz: 50 (lásd a négyzetet)

A paralelogramma területének képlete adott két oldal és a köztük lévő szög

Ebben az esetben a kívánt értéket a következőképpen találja meg:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=a ⋅b ⋅bűn(α)

A, b a, b a, b- paralelogramma oldalai;
α\alpha α - az oldalak közötti szög a a aés bb b.

Most oldjunk meg egy másik példát, és használjuk a fenti képletet.

Határozza meg a paralelogramma területét, ha ismert az oldala a a a, amely az alap és 20 hosszúságú (lásd) és kerülete pp p, számszerűen egyenlő 100-al (lásd), a szomszédos oldalak közötti szög ( a a aés bb b) egyenlő 30 fokkal.

Megoldás

A=20 a=20 a =2 0
p=100 p=100 p=1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Ahhoz, hogy megtaláljuk a választ, ennek a négyszögnek nem csak a második oldalát ismerjük. Keressük meg őt. A paralelogramma kerületét a következő képlet adja meg:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p=egy +egy +b+b
100 = 20 + 20 + b + b 100 = 20 + 20 + b + b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b+b
100 = 40 + 2b 100 = 40 + 2b 1 0 0 = 4 0 + 2b
60=2b 60=2b 6 0 = 2b
b=30 b=30 b=3 0

A legnehezebb része véget ért, már csak az oldalakat és a köztük lévő szöget értékeinkkel helyettesítjük:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S = 20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ)) = 300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ bűn (3 0 ∘ ) = 3 0 0 (lásd négyzet)

Válasz: 300 (lásd négyzetméter)

A paralelogramma területének képlete az átlók és a köztük lévő szög alapján

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ​ ⋅ D ⋅d ⋅bűn(α)

D D D- nagy átlós;
d d d- kis átlós;
α\alpha α az átlók közötti hegyesszög.

A paralelogramma átlói adottak: 10 (lásd) és 5 (lásd). A köztük lévő szög 30 fok. Számítsa ki a területét.

Megoldás

D=10 D=10 D=1 0
d=5 d=5 d=5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ bűn (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (lásd négyzet)

Paralelogramma olyan négyszög, amelynek oldalai páronként párhuzamosak.

Ezen az ábrán a szemközti oldalak és a szögek egyenlőek egymással. A paralelogramma átlói egy pontban metszik egymást, és felezik azt. A paralelogramm terület képletek lehetővé teszik az érték megtalálását az oldalakon, a magasságon és az átlókon keresztül. A paralelogramma speciális esetekben is ábrázolható. Téglalapnak, négyzetnek és rombusznak tekintik őket.
Először nézzünk meg egy példát a paralelogramma területének kiszámítására a magasság és az oldal alapján, amelyre le van engedve.

Ez az eset klasszikusnak számít, és nem igényel további vizsgálatot. Jobb, ha figyelembe vesszük a képletet a két oldal területének és a köztük lévő szög kiszámításához. A számítás során ugyanezt a módszert alkalmazzuk. Ha az oldalak és a köztük lévő szög adottak, akkor a területet a következőképpen számítjuk ki:

Tegyük fel, hogy kapunk egy paralelogrammát, amelynek oldalai a = 4 cm, b = 6 cm, és a köztük lévő szög α = 30°. Keressük meg a területet:

A paralelogramma területe átlókban kifejezve

A paralelogramma területének képlete az átlók szerint lehetővé teszi az érték gyors megtalálását.
A számításokhoz szükség van az átlók közötti szög értékére.

Vegyünk egy példát a paralelogramma területének átlókon keresztül történő kiszámítására. Adjunk meg egy paralelogrammát D = 7 cm, d = 5 cm átlókkal, amelyek szöge α = 30°. Helyettesítse be az adatokat a képletben:

Egy példa a paralelogramma területének egy átlón keresztül történő kiszámítására kiváló eredményt adott - 8,75.

Ha ismeri a paralelogramma területének képletét az átló szempontjából, sok érdekes problémát megoldhat. Nézzük meg az egyiket.

Feladat: Adott egy 92 négyzetméter területű paralelogramma. lásd az F pont a BC oldalának közepén található. Keressük meg az ADFB trapéz területét, amely a paralelogrammánkban lesz. Kezdésként rajzoljunk le mindent, amit a feltételeknek megfelelően kaptunk.
Térjünk rá a megoldásra:

Feltételeink szerint ah \u003d 92, és ennek megfelelően a trapéz területe egyenlő lesz