Az állítások közül melyik Lobacsevszkij párhuzamossági axiómája. Milyen geometriában metszik egymást a párhuzamos egyenesek? A Lobacsevszkij-geometria megjelenése

A párhuzamokról szóló euklideszi axióma (pontosabban a vele egyenértékű állítások egyike, más axiómák jelenlétében) a következőképpen fogalmazható meg:

A Lobacsevszkij-axióma pontos tagadása Euklidész axiómájának (ha minden más axióma teljesül), mivel az az eset, amikor egyetlen egyenes sem megy át olyan ponton, amely nem egy adott egyenesen fekszik, és amely egy adott egyenessel ugyanabban a síkban fekszik, nem metszi, más axiómák (az abszolút geometria axiómái) miatt kizárt. Így például a gömb-geometria és a geometria-Riemann, amelyben bármely két egyenes metszi egymást, és ezért sem Euklidész párhuzamos axiómája, sem Lobacsevszkij-axiómája nem áll fenn, összeegyeztethetetlen az abszolút geometriával.

Lobacsevszkij geometriája kiterjedt alkalmazásokkal rendelkezik mind a matematikában, mind a fizikában. Történelmi és filozófiai jelentősége abban rejlik, hogy megalkotásával Lobacsevszkij megmutatta az euklideszitől eltérő geometria lehetőségét, amely új korszakot jelentett a geometria, a matematika és általában a tudomány fejlődésében.

Enciklopédiai YouTube

1 / 5

✪ #177. LOBACSEVSZKIJ GEOMETRIA (szovjet filmszalag)

✪ Nem euklideszi geometria. 1. rész Matematika története

✪ Nem euklideszi geometriák. Egy kicsit a tudományról #Science

✪ Általános relativitáselmélet | hiperbolikus geometria | 1 | ő Lobacsevszkij geometriája

✪ Nem euklideszi geometria. 2. rész Matematika története

Feliratok

Sztori

Az ötödik posztulátum bizonyítására tett kísérlet

Lobacsevszkij geometriájának kiindulópontja Euklidész V. posztulátuma volt, amely a párhuzamos axiómával egyenértékű axióma. Euklidész elemei posztulátumlistájába került. Megfogalmazásának viszonylagos összetettsége és intuitív jellege másodlagos természetének érzetét keltette, és kísérleteket adott arra, hogy tételként levezetjék Eukleidész többi posztulátumából.

A sok közül, akik megpróbálták bizonyítani az ötödik posztulátumot, különösen a következő prominens tudósok voltak.

• Az ókori görög matematikusok, Ptolemaiosz (II. század) és Proklosz (V. század) (két párhuzamos távolság véges távolságának feltételezése alapján).
• Ibn al-Khaytham Irakból (vége - század elején) (azon a feltételezésen alapul, hogy az egyenesre merőleges mozgó vége egyenest ír le).
• Omar Khayyam (2. fele – 12. század eleje) és Nasir ad-Din at-Tusi (13. század) iráni matematikusok (azon a feltételezésen alapul, hogy két konvergáló vonal nem tud továbbra is szétválni keresztezés nélkül).
• Az első általunk ismert európai kísérletet az euklidészi párhuzamossági axióma bizonyítására a Provence-ban (Franciaország) élő Gersonides (más néven Levi ben Gershom, 14. század) javasolta. Bizonyítása azon az állításon alapult, hogy a téglalap létezik.
• Clavius ​​német matematikus ().
• olasz matematikusok
  • Cataldi (először 1603-ban adott ki teljes egészében a párhuzamok kérdésének szentelt művet).
  • Borelli (), J. Vitale ().
• Wallis angol matematikus (ben megjelent) (azon a feltételezésen alapul, hogy minden alakhoz tartozik egy hozzá hasonló, de nem vele egyenlő ábra).
• Legendre () francia matematikus (az a feltételezés alapján, hogy egy hegyesszögön belüli minden ponton keresztül húzható egy egyenes, amely a szög mindkét oldalát metszi; más bizonyítási kísérletei is voltak).

Az ötödik posztulátum bizonyítására tett kísérletekben a matematikusok (explicit vagy implicit) néhány új állítást vezettek be, amely nyilvánvalóbbnak tűnt számukra.

Kísérletek történtek az ellentmondásos bizonyításra:

• az olasz matematikus, Saccheri () (a posztulátumnak ellentmondó állítást megfogalmazva számos következményt vont le, és ezek egy részét tévesen ellentmondásosnak ismerve a posztulátumot bizonyítottnak tekintette),
• Lambert német matematikus (kb., megjelent ) (a kutatások elvégzése után bevallotta, hogy nem talált ellentmondásokat az általa felépített rendszerben).

Végül elkezdett felfogni, hogy lehetséges egy elméletet felépíteni az ellenkező posztulátum alapján:

• Schweikart () és Taurinus () német matematikusok (azonban nem vették észre, hogy egy ilyen elmélet logikailag ugyanolyan koherens lenne).

Nem euklideszi geometria létrehozása

Lobacsevszkij A geometria alapelveiről (A geometria alapelveiről), első nyomtatott munkája a nem-euklideszi geometriáról egyértelműen kijelentette, hogy az ötödik posztulátum nem bizonyítható az euklideszi geometria egyéb premisszái alapján, és hogy az euklideszi geometriával ellentétes posztulátum feltételezése. A posztulátum lehetővé teszi egy olyan geometria megalkotását, amely ugyanolyan értelmes és ellentmondásoktól mentes, mint az euklideszi.

Egyszerre és egymástól függetlenül Bolyai János, Carl Friedrich Gauss pedig még korábban jutott hasonló következtetésekre. Bolyai írásai azonban nem keltették fel a figyelmet, hamar felhagyott a témával, Gauss viszont egyáltalán elzárkózott a publikálástól, nézeteit csak néhány levélből, naplóbejegyzésből lehet megítélni. Például egy 1846-os levelében G. H. Schumacher csillagásznak Gauss a következőképpen beszélt Lobacsevszkij munkásságáról:

Ez a munka tartalmazza annak a geometriának az alapjait, amelynek meg kellene történnie, és ráadásul szigorúan következetes egészet alkotna, ha az euklideszi geometria nem lenne igaz... Lobacsevszkij „képzetes geometriának” nevezi; Tudja, hogy immár 54 éve ugyanazokat a nézeteket vallom némi fejlődéssel, amit nem akarok itt megemlíteni; így Lobacsevszkij művében nem találtam semmi újat a magam számára. De a téma kidolgozásában a szerző nem azt az utat követte, amelyet én magam követtem; Lobacsevszkij mesterien csinálja, igazán geometrikus szellemben. Kötelességemnek tartom felhívni a figyelmét erre a munkára, amely minden bizonnyal egészen kivételes örömet okoz.

Ennek eredményeként Lobacsevszkij az új geometria első legfényesebb és legkövetkezetesebb propagandistája volt. Noha Lobacsevszkij geometriája spekulatív elméletként fejlődött ki, és maga Lobacsevszkij „képzetes geometriának” nevezte, mégis ő volt az, aki először nyíltan javasolta nem az elme játékaként, hanem mint a térbeli viszonyok lehetséges és hasznos elméletét. Konzisztenciájának bizonyítására azonban később került sor, amikor értelmezéseit (modelleit) feltüntették.

Lobacsevszkij geometriájának állítása

Ezekben a dolgozatokban Beltrami átlátszó geometriai bizonyítékot adott az új geometria konzisztenciájára, pontosabban arra, hogy Lobacsevszkij geometriája akkor és csak akkor inkonzisztens, ha Eukleidész geometriája inkonzisztens. Lobacsevszkijnek is volt ilyen bizonyítása, de az bonyolultabb volt, az egyik irányban az euklideszi síkmodell a Lobacsevszkij-geometriában, a Beltrami-féle modell alapján készült, a másik irányba analitikusan ment.

ln ⁡ (A N A M B M B N) (\displaystyle \ln \left((\frac (AN)(AM))(\frac (BM)(BN))\right))

A külső abszolútumban az anti-de-Sitter tér geometriája valósul meg.

Konformális euklideszi modell

A Beltrami által javasolt másik Lobacsevszkij-repülőmodell.

A kör belsejét a Lobacsevszkij-síknak vesszük, az adott kör kerületére merőleges köríveket és átmérőit egyenesnek tekintjük, a mozgásokat a körökhöz viszonyított inverziók kombinációjával kapott transzformációk, amelyek ívei egyenes vonalként szolgálnak.

A Poincaré-modell figyelemre méltó, hogy benne a szögeket közönséges szögekkel ábrázolják.

Állandó negatív görbületű felület

Lobacsevszkij geometriájának egy másik analitikus definíciója az, hogy Lobacsevszkij geometriáját egy állandó negatív görbületű Riemann-tér geometriájaként határozzák meg. Ezt a meghatározást valójában már 1854-ben Riemann adta, és magában foglalta Lobacsevszkij geometriájának modelljét, mint állandó görbületű felületek geometriáját. Riemann azonban nem kötötte össze konstrukcióit közvetlenül Lobacsevszkij geometriájával, jelentését, amelyben ezeket közölte, nem értették, és csak halála után (1868-ban) publikálták.

Lobacsevszkij geometriájának tartalma

Lobacsevszkij a geometriai alapfogalmakból és az axiómából kiindulva építette fel geometriáját, és geometriai módszerrel bizonyította a tételeket, hasonlóan ahhoz, ahogy Euklidész geometriájában. A párhuzamos egyenesek elmélete szolgált alapul, hiszen itt kezdődik a különbség Lobacsevszkij geometriája és Eukleidész geometriája között. Minden olyan tétel, amely nem függ a párhuzamos axiómától, mindkét geometriában közös; ezek alkotják az úgynevezett abszolút geometriát, amely magában foglalja például a háromszögek egyenlőségének kritériumait. A párhuzamosság elméletét követve további szakaszok épültek, köztük a trigonometria, valamint az analitikus és differenciálgeometria elvei.

Mutassunk be (modern jelöléssel) Lobacsevszkij geometriájának több olyan tényét, amelyek megkülönböztetik azt Euklidész geometriájától, és amelyeket maga Lobacsevszkij állapított meg.

A ponton keresztül P nem fekszik az adott vonalon. R(lásd az ábrát), végtelenül sok olyan egyenes van, amelyik nem metszi egymást Rés vele egy síkban található; köztük van két véglet x, y, amelyek az úgynevezett aszimptotikusan párhuzamos(néha csak párhuzamosan) egyenes Rés a többi - ultrapárhuzamos.

Injekció θ (\displaystyle \theta ) a merőleges között PB tól től P a Rés mindegyik aszimptotikusan párhuzamos (úgynevezett párhuzamosság szöge), ahogy a pontot eltávolítjuk P az egyenesről 90°-ról 0°-ra csökken (a Poincaré-modellben a szokásos értelemben vett szögek egybeesnek a Lobacsevszkij-féle szögekkel, ezért ez a tény közvetlenül látható rajta). Párhuzamos x egyrészt (és y ellentétes) aszimptotikusan közeledik a, másrészt végtelenül távolodik tőle (a modellekben a távolságokat nehéz meghatározni, ezért ez a tény közvetlenül nem látható).

Adott egyenestől távol eső ponthoz PB = a(lásd az ábrát), Lobacsevszkij adott egy képletet a párhuzamosság szögére P(a) :

θ = Π (a) = 2 arctan ⁡ e − a q (\displaystyle \theta =\Pi (a)=2\operátornév (arctg) ~e^(-(\frac (a)(q))))

Itt q a Lobacsevszkij-tér görbületével kapcsolatos valamilyen állandó. Ugyanúgy szolgálhat abszolút hosszegységként, mint a gömbgeometriában a gömb sugara speciális pozíciót foglal el.

Ha az egyeneseknek van közös merőlegesük, akkor ultrapárhuzamosak, vagyis annak mindkét oldalán végtelenül divergálnak. Bármelyikre vissza lehet állítani olyan merőlegeseket, amelyek nem érik el a másik egyenest.

Lobacsevszkij geometriájában nincsenek hasonló, de egyenlőtlen háromszögek; A háromszögek egybevágóak, ha szögeik egyenlőek.

Bármely háromszög szögeinek összege kisebb, mint π (\displaystyle \pi )és tetszőlegesen nullához közelíthető (a 180° és az ABC háromszög szögösszege közötti különbség Lobacsevszkij geometriájában pozitív – ezt a háromszög defektusának nevezzük). Ez közvetlenül látható a Poincaré-modellben. Különbség δ = π − (α + β + γ) (\displaystyle \delta =\pi -(\alpha +\beta +\gamma)), ahol α (\displaystyle \alpha ), β (\displaystyle \beta ), γ (\displaystyle \gamma )- a háromszög területével arányos szögei:

S = q 2 ⋅ δ (\displaystyle S=q^(2)\cdot \delta )

A képletből látható, hogy egy háromszögnek van maximális területe, és ez egy véges szám: π q 2 (\displaystyle \pi q^(2)).

Az egyenestől egyenlő távolságra lévő vonal nem egyenes, hanem egy speciális görbe, amelyet egyenlő távolságúnak, ill. hiperciklus.

A végtelenül növekvő sugarú körök határa nem egy egyenes, hanem egy speciális görbe, ún határ kör, vagy egy horociklus.

A végtelenül növekvő sugarú gömbök határa nem egy sík, hanem egy speciális felület - a határgömb, vagy horoszféra; figyelemre méltó, hogy az euklideszi geometria tartja magát rajta. Ez szolgálta Lobacsevszkijt a trigonometriai képletek levezetésének alapjául.

A kerület nem arányos a sugárral, hanem gyorsabban növekszik. Különösen a Lobacsevszkij-geometriában a szám π (\displaystyle \pi ) nem definiálható a kör kerületének és átmérőjének arányaként.

Minél kisebb a régió a térben vagy a Lobacsevszkij-síkon, annál kevésbé térnek el a geometriai viszonyok ebben a régióban az euklideszi geometria relációitól. Elmondhatjuk, hogy egy infinitezimális tartományban játszódik le az euklideszi geometria. Például minél kisebb a háromszög, annál kevésbé tér el a szögeinek összege π (\displaystyle \pi ); minél kisebb a kör, annál kevésbé tér el a hosszának és a sugárnak az aránya 2 π (\displaystyle 2\pi ), stb. A terület csökkenése formálisan egyenértékű a hosszegység növekedésével, ezért a hosszegység végtelen növekedésével a Lobacsevszkij-geometria képletei az euklideszi geometria képletévé válnak. Az euklideszi geometria ebben az értelemben Lobacsevszkij geometriájának „korlátozó” esete.

A sík és a tér kitöltése szabályos politópokkal

A Lobacsevszkij-síkot nem csak szabályos háromszögekkel, négyzetekkel és hatszögekkel lehet burkolni, hanem bármilyen más szabályos sokszöggel is. Ugyanakkor legalább 7 háromszögnek, 5 négyzetnek, 4 öt- vagy hatszögnek, vagy 3 6-nál több oldalú sokszögnek kell egybefolynia a parketta egy csúcsában, vagyis a különböző burkolások száma végtelen és segítséggel. a Schläfli szimbólum M dolgokat N-gons) a Lobacsevszkij-sík összes csempézése a következőképpen írható fel:

• (3, 7), (3, 8), …, azaz (3, M), ahol M≥7;
• (4, 5), (4, 6), …, azaz (4, M), ahol M≥5;
• (5, 4), (5, 5), …, azaz (5, M), ahol M≥4;
• (6, 4), (6, 5), …, azaz (6, M), ahol M≥4;
• (N, M), hol N≥7, M≥3.

Minden csempézés ( N , M ) (\displaystyle \left\(N,M\right\)) szigorúan meghatározott egységméretet igényel N-gon, különösen a területe egyenlő legyen:

S ( N ; M ) = q 2 π (N − 2 − 2 NM) (\displaystyle S_(\left\(N;M\right\))=q^(2)\pi \left(N-2- 2(\frac (N)(M))\jobbra))

Ellentétben a közönséges térrel (háromdimenziós euklideszi tér), amely csak egyféleképpen tölthető ki szabályos poliéderekkel (8 kocka egy csúcson, vagy négy egy élén (4,3,4)), a háromdimenziós Lobacsevszkij-tér szabályos poliéderekkel csempézett, valamint lapos is, végtelen sokféleképpen. A Schläfli szimbólummal ( N , M , P ) (\displaystyle \left\(N,M,P\right\))(az egyik csúcsban konvergál M dolgokat N-gons, és minden él összefolyik P poliéder) minden csempe a következőképpen írható fel: [ ]

• (3,3,6), (3,3,7), …, azaz (3,3, P), ahol P≥6;
• (4,3,5), (4,3,6), …, azaz (4,3, P), ahol P≥5;
• (3,4,4), (3,4,5), …, azaz (3,4, P), ahol P≥4;
• (5,3,4), (5,3,5), …. Azaz (5,3, P), ahol P≥4;
• (3,5,3), (3,5,4), …, azaz (3,5, P), ahol P≥3.

Az ilyen válaszfalak politópjai végtelen térfogatúak lehetnek, kivéve a tér véges számú, véges térfogatú szabályos poliéderekké történő partícióját:

• (3,5,3) (élenként három ikozaéder)
• (4,3,5) (élenként öt kocka)
• (5,3,4) (négy dodekaéder élenként)
• (5,3,5) (élenként öt dodekaéder)

Ezenkívül 11 módja van a Lobacsevszkij-tér kitöltésének szabályos mozaikhoroszférákkal ((3,4,4), (3,3,6), (4,3,6), (5,3,6), ( 4,4, 3), (6,3,3), (6,3,4), (6,3,5), (6,3,6), (4,4,4), (3, 6,3) ). [ ]

Alkalmazások

x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 (\megjelenítési stílus x^(2)+y^(2)+z^(2)=c^(2)t^(2))-vel osztva t 2 (\displaystyle t^(2)), vagyis a fénysebességre ad v x 2 + v y 2 + v z 2 = c 2 (\displaystyle v_(x)^(2)+v_(y)^(2)+v_(z)^(2)=c^(2))- a gömb egyenlete a térben koordinátákkal v x (\displaystyle v_(x)), v y (\displaystyle v_(y)), v z (\displaystyle v_(z))- sebességkomponensek a tengelyek mentén x, nál nél, z(a "sebességtérben").

Lobacsevszkij geometriája

(1) Euklideszi geometria; (2) Riemann geometria; (3) Lobacsevszkij geometria

Lobacsevszkij geometriája (hiperbolikus geometria Figyelj)) a nem euklideszi geometriák egyike, egy geometriai elmélet, amely ugyanazokon az alapfeltételeken alapul, mint a közönséges euklideszi geometria, kivéve a párhuzamos axiómát, amelyet Lobacsevszkij párhuzamos axiómája vált fel.

Az euklideszi axióma a párhuzamokról (pontosabban az egyik ekvivalens állítása) ezt mondja:

Egy olyan ponton keresztül, amely nem egy adott egyenesen fekszik, legfeljebb egy olyan egyenes halad át, amely az adott egyenessel egy síkban fekszik, és nem metszi azt.

A Lobacsevszkij-geometriában a következő axiómát fogadják el helyette:

Egy ponton keresztül, amely nem egy adott egyenesen fekszik, legalább két olyan egyenes haladjon át, amelyek az adott egyenessel egy síkban vannak, és nem metszik azt.

Széles körben elterjedt tévhit, hogy a Lobacsevszkij-geometriában párhuzamos vonalak metszik egymást. Lobacsevszkij geometriája kiterjedt alkalmazásokkal rendelkezik mind a matematikában, mind a fizikában. Történelmi és filozófiai jelentősége abban rejlik, hogy megalkotásával Lobacsevszkij megmutatta az euklideszitől eltérő geometria lehetőségét, amely új korszakot jelentett a geometria, a matematika és általában a tudomány fejlődésében.

Sztori

Az ötödik posztulátum bizonyítására tett kísérlet

Lobacsevszkij geometriájának kiindulópontja Eukleidész ötödik posztulátuma volt, a párhuzamos axiómával egyenértékű axióma. Euklidész elemei posztulátumainak listáján szerepelt. Megfogalmazásának viszonylagos összetettsége és intuitív jellege másodlagos természetének érzetét keltette, és kísérleteket adott arra, hogy tételként levezetjék Eukleidész többi posztulátumából.

A sok közül, akik megpróbálták bizonyítani az ötödik posztulátumot, különösen a következő prominens tudósok voltak.

Az ötödik posztulátum bizonyítására tett kísérletekben a matematikusok (explicit vagy implicit) néhány új állítást vezettek be, amely nyilvánvalóbbnak tűnt számukra.

Kísérletek történtek az ellentmondásos bizonyításra:

• az olasz matematikus, Saccheri () (a posztulátumnak ellentmondó állítást megfogalmazva számos következményt vont le, és ezek egy részét tévesen ellentmondásosnak ismerve a posztulátumot bizonyítottnak tekintette),
• Lambert német matematikus (körülbelül, megjelent ben) (kutatások elvégzése után bevallotta, hogy nem talált ellentmondásokat az általa felépített rendszerben).

Végül elkezdett felfogni, hogy lehetséges egy elméletet felépíteni az ellenkező posztulátum alapján:

• Schweikart () és Taurinus () német matematikusok (azonban nem vették észre, hogy egy ilyen elmélet logikailag ugyanolyan koherens lenne).

Nem euklideszi geometria létrehozása

Lobacsevszkij "A geometria alapelveiről" című művében (), amely a nem euklideszi geometriáról írt első nyomtatott munkája, egyértelműen kijelentette, hogy az V. posztulátum nem bizonyítható az euklideszi geometria egyéb premisszái alapján, és hogy a posztulátum feltételezése Eukleidész posztulátumával ellentétben lehetővé teszi az euklideszihez hasonló értelmes és ellentmondásoktól mentes geometria megalkotását.

Egyszerre és egymástól függetlenül Bolyai János, Carl Friedrich Gauss pedig még korábban jutott hasonló következtetésekre. Bolyai írásai azonban nem keltették fel a figyelmet, hamar felhagyott a témával, Gauss viszont egyáltalán elzárkózott a publikálástól, nézeteit pedig csak néhány levélből, naplóbejegyzésből lehet megítélni. Például egy 1846-os levelében G. H. Schumacher csillagásznak Gauss a következőképpen beszélt Lobacsevszkij munkásságáról:

Ez a munka tartalmazza annak a geometriának az alapjait, amelynek meg kellene történnie, és ráadásul szigorúan következetes egészet alkotna, ha az euklideszi geometria nem lenne igaz... Lobacsevszkij „képzetes geometriának” nevezi; Tudja, hogy 54 éven keresztül (1792 óta) ugyanazokat a nézeteket vallom néhány fejleményükkel, amelyeket nem akarok itt megemlíteni; így Lobacsevszkij művében nem találtam semmi újat a magam számára. De a téma kidolgozásában a szerző nem azt az utat követte, amelyet én magam követtem; Lobacsevszkij mesterien csinálja, igazán geometrikus szellemben. Kötelességemnek tartom felhívni a figyelmét erre a munkára, amely minden bizonnyal egészen kivételes örömet okoz.

Ennek eredményeként Lobacsevszkij az új geometria első legfényesebb és legkövetkezetesebb propagandistája volt. Noha Lobacsevszkij geometriája spekulatív elméletként fejlődött ki, és maga Lobacsevszkij „képzetes geometriának” nevezte, mégis ő volt az, aki először nyíltan javasolta nem az elme játékaként, hanem mint a térbeli viszonyok lehetséges és hasznos elméletét. Konzisztenciájának bizonyítására azonban később került sor, amikor értelmezéseit (modelleit) feltüntették.

Lobacsevszkij geometriájának állítása

Poincaré modell

Lobacsevszkij geometriájának tartalma

Lobacsevszkij a geometriai alapfogalmakból és az axiómából kiindulva építette fel geometriáját, és geometriai módszerrel bizonyította a tételeket, hasonlóan ahhoz, ahogy Euklidész geometriájában. A párhuzamos egyenesek elmélete szolgált alapul, hiszen itt kezdődik a különbség Lobacsevszkij geometriája és Eukleidész geometriája között. Minden olyan tétel, amely nem függ a párhuzamos axiómától, mindkét geometriában közös; ezek alkotják az úgynevezett abszolút geometriát, amelyhez például a háromszögek egyenlőségére vonatkozó tételek tartoznak. A párhuzamosság elméletét követve további szakaszok épültek, köztük a trigonometria, valamint az analitikus és differenciálgeometria elvei.

Mutassunk be (modern jelöléssel) Lobacsevszkij geometriájának több olyan tényét, amelyek megkülönböztetik azt Euklidész geometriájától, és amelyeket maga Lobacsevszkij állapított meg.

A ponton keresztül P nem fekszik az adott vonalon. R(lásd az ábrát), végtelenül sok olyan egyenes van, amelyik nem metszi egymást Rés vele egy síkban található; köztük van két véglet x, y, amelyeket párhuzamos egyeneseknek nevezünk R Lobacsevszkij értelmében. Klein (Poincare) modelljeiben akkordokkal (körívekkel) vannak ábrázolva, amelyeknek húrja (ív) van. R közös vég (amely a modell definíciója szerint kizárt, így ezeknek a vonalaknak nincs közös pontjuk).

A merőleges közötti szög PB tól től P a Rés mindegyik párhuzamos (úgynevezett párhuzamosság szöge), ahogy a pontot eltávolítjuk P az egyenesről 90°-ról 0°-ra csökken (a Poincaré-modellben a szokásos értelemben vett szögek egybeesnek a Lobacsevszkij-féle szögekkel, ezért ez a tény közvetlenül látható rajta). Párhuzamos x egyrészt (és y ellentétes) aszimptotikusan közeledik a, másrészt végtelenül távolodik tőle (a modellekben a távolságokat nehéz meghatározni, ezért ez a tény közvetlenül nem látható).

Adott egyenestől távol eső ponthoz PB = a(lásd az ábrát), Lobacsevszkij adott egy képletet a párhuzamosság szögére P(a) :

Itt q a Lobacsevszkij-tér görbületével kapcsolatos valamilyen állandó. Ugyanúgy szolgálhat abszolút hosszegységként, mint a gömbgeometriában a gömb sugara speciális pozíciót foglal el.

Ha az egyeneseknek van közös merőlegese, akkor annak mindkét oldalán végtelenül eltérnek. Bármelyikre vissza lehet állítani olyan merőlegeseket, amelyek nem érik el a másik egyenest.

Lobacsevszkij geometriájában nincsenek hasonló, de egyenlőtlen háromszögek; A háromszögek egybevágóak, ha szögeik egyenlőek.

Bármely háromszög szögeinek összege kisebb, és tetszőlegesen közel lehet nullához. Ez közvetlenül látható a Poincaré-modellben. A különbség , ahol , , a háromszög szögei, arányos a területével:

A képletből látható, hogy egy háromszögnek van maximális területe, és ez egy véges szám: .

Az egyenestől egyenlő távolságra lévő vonal nem egyenes, hanem egy speciális görbe, amelyet egyenlő távolságúnak, ill. hiperciklus.

A végtelenül növekvő sugarú körök határa nem egy egyenes, hanem egy speciális görbe, ún határ kör, vagy egy horociklus.

A végtelenül növekvő sugarú gömbök határa nem egy sík, hanem egy speciális felület - a határgömb, vagy horoszféra; figyelemre méltó, hogy az euklideszi geometria tartja magát rajta. Ez szolgálta Lobacsevszkijt a trigonometriai képletek levezetésének alapjául.

A kerület nem arányos a sugárral, hanem gyorsabban növekszik. A Lobacsevszkij-geometriában a szám nem határozható meg a kör kerületének és átmérőjének arányaként.

Minél kisebb a régió a térben vagy a Lobacsevszkij-síkon, annál kevésbé térnek el a geometriai viszonyok ebben a régióban az euklideszi geometria relációitól. Elmondhatjuk, hogy egy infinitezimális tartományban játszódik le az euklideszi geometria. Például minél kisebb a háromszög, annál kevésbé tér el a szögeinek összege a ; minél kisebb a kör, annál kevésbé tér el a hosszának és a sugárnak az aránya stb. A geometriai képletek átmennek az euklideszi geometria képleteibe. Az euklideszi geometria ebben az értelemben Lobacsevszkij geometriájának „korlátozó” esete.

A sík és a tér kitöltése szabályos politópokkal

A Lobacsevszkij-sík felépítése szabályos háromszögekkel ((3;7))

A Lobacsevszkij-síkot nem csak szabályos háromszögekkel, négyzetekkel és hatszögekkel lehet burkolni, hanem bármilyen más szabályos sokszöggel is. Ugyanakkor legalább 7 háromszögnek, 5 négyzetnek, 4 ötszögnek és hatszögnek, valamint 3 6-nál több oldalú sokszögnek konvergálnia kell egy parkettacsúcsban. Minden burkolás (M N-szög egy csúcsban konvergál) szigorúan meghatározott méretet igényel egy N-gon egység területe legyen egyenlő:

A Lobacsevszkij tér kitöltése szabályos dodekaéderekkel ((5,3,4))

Ellentétben a közönséges térrel, amelyet csak egy módon lehet kitölteni szabályos poliéderekkel (8 kocka csúcsonként), Lobacsevszkij háromdimenziós terét négyféleképpen lehet kitölteni szabályos poliéderekkel:

• (3,5,3) (12 ikozaéder csúcsonként)
• (4,3,5) (20 kocka tetején)
• (5,3,4) (8 dodekaéder csúcsonként)
• (3,5,3) (20 dodekaéder csúcsonként)

Ezenkívül 11 módja van a Lobacsevszkij-tér kitöltésének szabályos mozaikhoroszférákkal.

Alkalmazások

• Maga Lobacsevszkij is alkalmazta geometriáját a határozott integrálok számítására.
• Az összetett változó függvényeinek elméletében Lobacsevszkij geometriája segített felépíteni az automorf függvények elméletét. A Lobacsevszkij geometriájával való kapcsolat volt itt Poincaré kutatásának kiindulópontja, aki azt írta, hogy "a nem-euklideszi geometria a kulcsa az egész probléma megoldásának".
• Lobacsevszkij geometriája a számelméletben, annak geometriai módszereiben is alkalmazásra talál, „számgeometria” néven egyesülve.
• Szoros kapcsolat jött létre Lobacsevszkij geometriája és a speciális (privát) relativitáselmélet kinematikája között. Ez az összefüggés azon a tényen alapszik, hogy a fény terjedésének törvényét kifejező egyenlőség

-vel osztva, vagyis a fénysebességre, megadja - egy térbeli gömb egyenletét koordinátákkal, , - a sebesség tengelyek menti összetevőit x, nál nél, z(a "sebességtérben"). A Lorentz-transzformációk megőrzik ezt a gömböt, és mivel lineárisak, a közvetlen sebességtereket egyenesekké alakítják. Ezért a Klein-modell szerint egy sugarú gömbön belüli sebességek terében Val vel, vagyis a fénysebességnél kisebb sebességeknél a Lobacsevszkij-geometria megy végbe.

• Lobacsevszkij geometriája figyelemre méltó alkalmazásra talált az általános relativitáselméletben. Ha az Univerzumban az anyagtömegek eloszlását egyenletesnek tekintjük (ez a közelítés elfogadható kozmikus léptékben), akkor kiderül, hogy bizonyos feltételek mellett a tér Lobacsevszkij geometriával rendelkezik. Így igazolódott Lobacsevszkij feltételezése geometriájáról, mint a valós tér lehetséges elméletéről.
• A Klein-modell segítségével egy nagyon egyszerű és rövid bizonyítást adunk az euklideszi geometriában a pillangótételre.

Lásd még

Megjegyzések

Az alapítók munkái

• N. I. Lobacsevszkij"Geometriai vizsgálatok a párhuzamos egyenesek elméletéhez". - 1941.
• A geometria alapjairól. Klasszikus művek gyűjteménye Lobacsevszkij geometriájáról és ötleteinek fejlesztéséről. Moszkva: Gostekhizdat, 1956.

Irodalom

• Aleksandrov A. D., Netsvetaev N. Yu. Geometria, - Nauka, Moszkva, 1990.
• Aleksandrov P.S. Mi a nem euklideszi geometria, - URSS, Moszkva, 2007.
• Delaunay B. N. Lobacsevszkij planimetriája következetességének elemi bizonyítéka, Gosztekhizdat, Moszkva, 1956.
• Iovlev N. N."Bevezetés az elemi geometriába és Lobacsevszkij trigonometriájába". - M.-L.: Giz., 1930. - S. 67.
• Klein F."Nem euklideszi geometria". - M.-L.: ONTI, 1936. - S. 356.
• Popov A. G.

A kérdés még mélyebb tanulmányozása elvezet bennünket egy olyan fogalomhoz, mint a térgörbület. Anélkül, hogy belemennénk a részletekbe, csak arra figyelünk, hogy a felület minden ponton két minőségileg eltérő módon ívelhető. Az egyik esetben a felület egy ellipszoid egy részére hasonlít, és a görbületet pozitívnak feltételezzük. Egy másik esetben a felület úgy néz ki, mint egy nyereg, és a görbülete negatív. A pszeudoszférának, amint az a képén is látható (és innen a Lobacsevszkij-sík), negatív görbületű, és kiderül, hogy ez a görbület állandó (nem függ a felület egy pontjától). Ez egyébként tisztázza a „pszeudoszféra” elnevezés eredetét: a közönséges gömb állandó pozitív görbületű felület.

században megalkotott Lobacsevszkij geometriája volt a legfontosabb lépés a ma differenciálgeometriának nevezett matematikai terület megteremtése felé. Tetszőleges ívelt terek tanulmányozásával foglalkozik, és matematikai berendezése a modern fizika olyan fontos területének alapja, mint az általános relativitáselmélet (GR). A helyzet az, hogy az általános relativitáselmélet szerint a téridő, amelyben élünk, görbülettel rendelkezik, és a tér görbülete megfelel a gravitációs mező jelenlétének a tér ezen pontján.

Az általános relativitáselmélet számos kísérleti ellenőrzésen esett át (lásd: Az általános relativitáselmélet századik évfordulója, avagy az első novemberi forradalom évfordulója, Elemek, 2015.11.25.), és a pontos műholdas navigáció érdekében figyelembe kell venni a hozzá kapcsolódó korrekciókat. Ezenkívül leírja a hatalmas objektumok fizikáját, például a közönséges és neutroncsillagokat, a szupernóvákat és a fekete lyukakat (a lista folytatódik). Végül az általános relativitáselmélet a világegyetem modern tudományának, a kozmológiának az alapja.

A józan ész, valamint az összes rendelkezésre álló megfigyelési adat szerint az Univerzum nagy léptékben homogén és izotróp. Ez mindenesetre azt jelenti, hogy ez egy állandó térbeli görbületű tér. E tekintetben a kozmológia legkorábbi évei óta három lehetőséget mérlegeltek: egy lapos univerzum, egy pozitív görbületű univerzum ("gömbi univerzum") és egy negatív görbületű univerzum ("Lobacsevszkij-univerzum"). Jelenleg azonban úgy vélik, hogy az Univerzum görbülete nulla (a modern mérési pontosság határain belül). Ez magyarázatot talál a modern inflációs elméletben. Utóbbi szerint az Univerzum evolúciójának kezdeti szakaszában nagyon gyors táguláson ment keresztül, és ennek következtében többszörösére nőtt (ezt nevezzük inflációnak). Nagyon valószínű, hogy az infláció előtt az Univerzum gömb alakú volt, a "Lobacsevszkij-univerzum" vagy más összetett geometria volt. A tágulás azonban oda vezetett, hogy mára a teljes Univerzumnak csak nagyon kis része érhető el megfigyelések számára, geometriája pedig megkülönböztethetetlen a lapostól.

Egyik sem. Definíció szerint a párhuzamos egyeneseknek nincs metszéspontja.

Most térjünk rá a geometriára és a tévedésekre. Mindenhol a "repülőket" figyelembe veszik, bármit is jelentsen ez.

Eukleidész geometriája. Mit tanítottak az iskolában, mi az ismerősebb és szinte pontosan végrehajtott a mindennapi életben. Külön kiemelem azt a két tényt, amelyek később jelentősek lesznek. Először is: ebben a geometriában van távolság, bármely két pont között van egy legrövidebb egyenes, ráadásul csak egy (egy szakasz). Másodszor: olyan ponton keresztül, amely nem egy adott egyenesen fekszik, az adott egyenessel párhuzamos egyenest húzhatunk, ráadásul csak egyet.

Ez megfelel néhány axiómapárnak Pogorelov tankönyvéből, így kényelmesebb lesz erre hagyatkoznom.

Lobacsevszkij geometriája. A távolsággal minden rendben van, de nehezen tudjuk elképzelni az állandó negatív görbület miatt (nem értettük - nem ijesztő). A párhuzamosság nehezebb. Egy egyenesen kívüli ponton keresztül mindig lehet nem csak egy, hanem végtelen sok párhuzamos egyenest húzni.

gömbgeometria. Először is, mit tekintünk "egyenesnek". Egyenes vonalak a gömbön - nagy körök = körök, amelyeket a gömbön a középponton átmenő sík vésett = körök, amelyek sugara megegyezik a gömb sugarával. Ezek egyenes vonalak abból a szempontból, hogy ez a legrövidebb út a nem túl távoli (később kiderül melyik) pontok között. Lehet, hogy néhányan észrevették, hogy ha a városok ugyanazon a párhuzamoson vannak, akkor a gép nem ezen a párhuzamoson repül, hanem az északi féltekén észak felé domború pályán. Ha rajzol, észreveszi, hogy a két pontot összekötő nagy kör a párhuzamostól északra fut.

Miért rossz a távolság egy gömbön? Vegyünk a gömb átlósan ellentétes pontjait, amelyekhez végtelenül sok a legrövidebb út. Pontosabban: az északi és a déli sarkot fogom nézni. Minden merilián áthalad rajtuk, mindegyik ugyanolyan hosszú, minden más út hosszabb lesz.

Egyáltalán nincsenek párhuzamos egyenesek, bármelyik két egyenes átlósan ellentétes pontokban metszi egymást.

projektív sík. A legfontosabb és első különbség: nincs távolság és nem is lehet. Elvileg nem lehet úgy bevezetni, hogy bizonyos természeti feltételeket kielégítsen (a gép "mozgásai" során megmarad). Így maga a geometria nem tud semmilyen "végtelenül távoli vonalról", mindezt azért találták ki az emberek, hogy valahogy megértsék a projektív síkot. A legegyszerűbb módja: képzeljünk el egy ismerős síkot (az úgynevezett „affin térképet”), és adjunk hozzá egy „végtelenül eltávolított” egyenest, és az összes olyan egyenest, amely párhuzamos volt az adott síkkal. bemutatott pontban metszi ezt az egyenest a végtelenben. Egy ilyen leírás nagyon egyszerű: írtam valamit két mondatban, és valaki már bemutatott valamit. De ez félrevezető, a projektív geometriában nincs kitüntetett vonal. De ez a leírás már azt mutatja, hogy párhuzamos vonalak