Ebben a leckében két további műveletet veszünk figyelembe a vektorokkal: vektoros művészeti vektorok és vegyes vektorok (azonnal link, ki szüksége van rá. Semmi szörnyű, így néha ez megtörténik, hogy a teljes boldogság érdekében skalar termékvektorok, azt is szükséges. Ilyen van egy vektor kábítószer-függőség. Megpróbálhatja azt a benyomást, hogy mászunk az analitikai geometria törmelékébe. Ez nem igaz. A legmagasabb matematika ezen szakaszában általában nincs elegendő tűzifa, kivéve a Pinocchio-t. Tény, hogy az anyag nagyon gyakori és egyszerű - alig nehezebb, mint ugyanaz skaláris termékMég a tipikus feladatok is kisebbek lesznek. A legfontosabb dolog az analitikus geometria, annyi fogják ölni, vagy már meggyőzte, nem tévedett számításokat. Ismételje meg a varázslatot, és boldog lesz \u003d)

Ha a vektorok szikrázik valahol, mint a villám a horizonton, nem baj, kezdje a leckét Vektorok teáskannákhozA vektorok alapvető ismereteinek visszaállítása vagy újra megszerzése. Több elkészített olvasók megismerkedhetnek az információkat szelektíven, igyekeztem összegyűjteni a legteljesebb gyűjteménye példák, amelyek gyakran megtalálhatók a gyakorlati munkát.

Mit kérsz azonnal? Amikor kicsi voltam, akkor tudtam, hogyan kell két és akár három golyót zsonglőrködni. Teljesen sikerült. Most már nem kell zsonglőrelni, ahogyan azt fontoljuk meg csak térbeli vektorokés két koordinátával rendelkező lapos vektorok továbbra is túllépnek. Miért? Ezek a műveletek születnek - a vektorok vektorát és vegyes termékét háromdimenziós térben határozzák meg és működtetik. Már könnyebb!

Ebben a műveletben ugyanúgy, mint a Skalar termékben, részt vesz két vektor. Legyen értelmetlen betűk.

Önmagában jelöli A következőképpen :. Vannak más lehetőségek is, de a vektorok vektoros művészetét jelöltem, mint a szögletes zárójelben.

És azonnal kérdés: Ha be van kapcsolva skalar termékvektorok Két vektor vesz részt, és itt két változat szaporodik itt, akkor mi a különbség? Explicit különbség, először is, ennek következtében:

A vektorok skaláris termékének eredménye szám:

A vektoros vektorok eredménye vektor:,, Olyan, hogy megszorozzuk a vektorokat, és újra megkapjuk a vektort. Zárt klub. Valójában ez a művelet neve. Különböző tanulási irodalomban a megnevezések is változhatnak, használom a levelet.

A vektoros művészet meghatározása

Először is van egy definíció egy kép, majd megjegyzések.

Meghatározás: Vektor munka nonoleline Vektorok, ebben a sorrendben, hívott vektor, hossz ami numerikus egyenlő a paralábelkép négyzetévelezekre a vektor adatokra épültek; vektor ortogonális vektorok És úgy van irányítva, hogy az alapja a megfelelő irányul:

Szétszereljük a csontok meghatározását, sok érdekes dolog van!

Tehát kiválaszthatja a következő esszenciális pillanatokat:

1) A piros nyilakkal jelölt forrásvektorok definíció szerint nem Collinear. A kollináris vektorok esete alkalmasak lesznek egy kicsit később.

2) Vektorok szigorúan meghatározott sorrendben: – Az "A" megszorozza a "Be", nem "az" a "-on. A szorzási vektorok eredménye Ez egy kék színű vektor. Ha a vektorokat fordított sorrendben szorítják, akkor megegyezünk a hosszúsággal és az ellenkező vektorral (málna szín). Azaz az egyenlőség igaza van .

3) Most ismerjük meg a vektor termék geometriai jelentését. Ez egy nagyon fontos kérdés! A kék vektor hossza (és ezért a málna vektor) numerikusan egyenlő a vektorokba épített paralelogrammának négyzetével. Az ábrán látható, ez a paralisztika fekete színű.

jegyzet : A rajz vázlatos, és természetesen a vektor termék névleges hossza nem egyenlő a párhuzamosság területével.

Emlékszünk az egyik geometriai képletre: a párhuzamosság területe megegyezik a szomszédos oldalakkal a sarokszalaggal. Ezért a fentiek alapján a vektor termék hosszának kiszámításának képlete:

Hangsúlyozom, hogy a képletben a vektor hossza beszélünk, és nem a vektortól. Mi a gyakorlati jelentés? És a jelentése az, hogy a feladatokat a analitikus geometria, a terület a paralelogramma gyakran megtalálható a koncepció vektoros:

Kapunk egy második fontos képletet. A paralisztika diagonális (piros pontsejt) két egyenlő háromszögre osztja. Következésképpen a vektorokba épített háromszög területe (piros keltetés), megtalálható a képlet:

4) Nem kevésbé fontos tény, hogy a vektor ortogonális vektorok, azaz . Természetesen az ellentétesen irányított vektor (a málna nyíl) szintén ortogonális az eredeti vektorokban.

5) A vektor úgy van irányítva, hogy alapul Van jobb Irányultság. Az osztályteremben O. Új alapra való áttérés Részletesen beszéltem a sík tájolásaÉs most foglalkozunk a tér tájolásával. Megmagyarázom az ujjait jobb kéz. Mentálisan kombinál mutatóujj Vektorral I. középső ujj Vektorral. Unnamed ujj és egy kis ujj Nyomja meg a tenyerét. Eredményeként hüvelykujj - A vektoros művészet felnéz. Ez a jogi alapú alap (az ábrán, hogy ő). Most változtassa meg a vektorokat ( index és középső ujjak) Helyek, ennek eredményeképpen a hüvelykujj kibontakozik, és a vektor munka már meg fog nézni. Ez szintén rendszeres alapon. Talán van egy kérdésed: milyen alapon van a bal tájolás? "Név" ugyanaz az ujjak bal kéz Vektorok és a bal alapja és a tér bal tájolása (Ebben az esetben a hüvelykujj az alsó vektor irányában található). Figuratívan beszélve, ezek a bázisok "spin" vagy különböző tér különböző irányokban. És ez a fogalom nem tekinthető valami kitalált vagy absztrakt - így például a tájékozódás a térben változik a legáltalánosabb tükör, és ha „húzza a visszavert objektumot a castorcal.” Ez nem lesz képes kombinálni a Tábornok. Az úton, hozza három ujját a tükörbe, és elemezze a visszaverődést ;-)

... hogyan jó, hogy most már tudod törvény és balra orientált Alapok, néhány előadó szörnyű kijelentései az orientáció változásáról \u003d)

Vektoros műalkotás a kollináris vektorok

A definíció részletesen szétszerelt, továbbra is megtudja, mi történik, amikor a kollináris vektorok. Ha a vektorok collinear, akkor egy egyenes vonalra helyezhetők, és a parallelogramunk is "összecsukható" egy egyenesbe. Ez a terület, mint a matematika, elfajzott A paralisztika nulla. A képletből származik - a sinus nulla vagy 180 fok nulla, ezért a terület nulla

Így, ha . Szigorúan beszélve, a nagyon vektoros termék nulla vektor, de a gyakorlatban gyakran elhanyagolják és írják, hogy egyszerűen nulla.

Privát tok - vektor termék vektor magáról:

Vektoros termék segítségével ellenőrizhető a háromdimenziós vektorok kollinearitása, és többek között ezt a feladatot is megvizsgáljuk.

A gyakorlati példák megoldása szükséges lehet trigonometrikus asztalHogy megtalálja a szinuszok értékeit.

Nos, gyújtsd meg a tüzet:

1. példa.

a) Keresse meg a vektoros vektorok hosszát, ha

b) Keresse meg a verziókban beépített paralelogram négyzetét, ha

Döntés: Nem, ez nem typo, a kezdeti adatok az általam szándékosan azonosítottam. Mivel a döntések különbözőek lesznek!

a) A meg kell találnia hossz Vektor (vektoros művészet). A megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Kohl hamarosan kérte a hosszúságot, majd válaszoljon, jelezze a dimenzió - egységek.

b) a találandó feltétel mellett terület A vektorokba beépített parallelogram. A párhuzamosság területe numerikusan megegyezik a vektor termék hosszával:

Válasz:

Felhívjuk figyelmét, hogy a beszéd vektor terméke válaszul nem megy egyáltalán, megkérdeztük négyszög alakúEnnek megfelelően a dimenzió négyzetegységek.

Mindig megvizsgáljuk, hogy mit kell feltételezni, és ennek alapján megfogalmazzuk egyértelmű válasz. Lehet, hogy kulcsfontosságú, de elegendő kulcstartó van a tanárok körében, és a jó esélyekkel rendelkező feladat visszatér a finomításhoz. Bár ez nem egy különösen feszített kápidság - ha a válasz helytelen, akkor úgy tűnik, hogy egy személy nem érti az egyszerű dolgokat és / vagy nem a feladat lényegében. Ez a pillanat legyen mindig az ellenőrzési, megoldására minden feladatot a magasabb matematika és egyéb tárgyak is.

Hol volt a nagy bucchka "en"? Elvileg is csatlakozhat a megoldáshoz, de a rekord csökkentése érdekében nem. Remélem, mindenki megérti, hogy ez az azonos jelölés.

Népszerű példa az önmegoldásokra:

2. példa.

Keressen egy háromszög területet a vektorokban, ha

A háromszög területének a vektoros művészeten keresztül történő megtalálásának képletét a definíció megjegyzései tartalmazzák. Megoldás és válasz a lecke végén.

A gyakorlatban a feladat valóban nagyon gyakori, a háromszögek általában kínozhatnak.

Más feladatok megoldásához szükségünk lesz:

A vektoros grafika tulajdonságai

A már megfontolt vektoros munka bizonyos tulajdonságai azonban ezeket a listán szerepelnek.

A tetszőleges vektorok és önkényes számok esetében a következő tulajdonságok tisztálisak:

1) Más információforrásokban ez az elem általában nem azonosítható a tulajdonságokban, de gyakorlati szempontból nagyon fontos. Ezért engedje.

2) - az ingatlant is szétszerelték, néha hívják anti-kommutatív. Más szóval, a vektorok sorrendje.

3) - Sötét vagy asszociációs Vektoros munka törvényei. A konstansokat ideiglenesen kivesszük a vektor munkából. Valóban, mit csinálnak ott?

4) - Elosztó vagy terjesztés Vektoros munka törvényei. A zárójelek közzétételével nincs probléma.

Demonstrációs, tekintse meg egy rövid példát:

3. példa.

Keresse meg, ha

Döntés: Állapot szerint meg kell találni a vektoros termék hosszát. A miniatűrünket hozzuk:

(1) Az asszociatív törvények szerint elviseljük a csillagok újraelosztására vonatkozó konstansokat.

(2) elviseljük a modulon kívüli állandó, míg a "enni" egy "mínusz" jelet. A hossza nem lehet negatív.

(3) tovább érthető.

Válasz:

Itt az ideje, hogy dobja a tűzifát a tűzbe:

4. példa.

Számítsa ki a vektorokba épített háromszög területet, ha

Döntés: Triangle Square megtalálja a képletet . Az SNAG az, hogy maguk a "CE" és "de" vektorok vektorok összegeként jelennek meg. Az algoritmus itt szabványos, és valami hasonlít a 3. és 4. számú példákra Skalar termékvektorok. A megoldás az egyértelműség érdekében, hogy három szakaszba kerüljön:

1) Az első lépésben vektoros terméket expresszálunk egy vektoros művészeten keresztül, valójában, expressz vektor a vektoron keresztül. A hossza nem egy szó!

(1) A vektorok expresszióját helyettesítjük.

(2) A disztribúciós törvények alkalmazása, a polinomok szorzásának szabálya szerinti zárójeleket.

(3) Asszociatív törvények alkalmazásával elviseljük az összes konstansot a vektor munkákon túl. A malamos élmény alatt a 2 és 3 egyidejűleg elvégezhető.

(4) Az első és az utolsó kifejezés nulla (nulla vektor) köszönhetően kellemes tulajdonságnak. Második ciklusban a vektoros munka anti-ingoativitási tulajdonát használjuk:

(5) Adunk ilyen alkatrészeket.

Ennek eredményeként a vektor kiderült, hogy a vektoron keresztül fejeződött ki, amelyet el kellett érni:

2) A második lépésben megtaláljuk a szükséges vektor termék hosszát. Ez a művelet hasonlít a 3. példára:

3) Keresse meg a kívánt háromszög területét:

Stages 2-3 megoldás lehet elrendezni egy vonallal.

Válasz:

A figyelembe vett feladatot megfelelően terjesztették a vizsgálatok során, itt van egy független döntés:

5. példa.

Keresse meg, ha

Rövid megoldás és válasz a lecke végén. Lássuk, milyen figyelmesek vagyunk az előző példák tanulmányozásakor ;-)

Vektoros vektorok a koordináták

az ortonormális alapon a képlet kifejeződik:

Formula és IR TRUE SPRYSSKAYA: A determináns felső sorában leírjuk a koordináta vektorokat, a második és harmadik sorban a vektorok koordinátáit, és illeszkedünk szigorú sorrendben - Először is, a "ve" vektor koordinátái, akkor a "dubl-mi" vektor koordinátái. Ha a vektoroknak más sorrendbe kell szorozni, akkor a sorokat a helyekre kell cserélni:

10. példa.

Ellenőrizze, hogy a kollináris lesz-e a következő űrvektorok:
de)
b)

Döntés: Az ellenőrzés a lecke egyik kimutatásain alapul: Ha a kollineáris vektorok, akkor a vektor terméke nulla (nulla vektor): .

a) Üdvözöljük a vektoros művészetet:

Így a vektorok nem csonkok.

b) Keressen egy vektoros művészetet:

Válasz: a) nem Collinear, B)

Ez talán az összes alapvető információ a vektorok vektoros termékről.

Ez a szakasz nem lesz nagyon nagy, mivel azok a feladatok, ahol a vektorok vegyes termékét használják, egy kicsit. Valójában minden olyan meghatározásra, geometriai jelentésre és pár munkakörre korlátozódik.

A vektorok vegyes műalkotása három vektoros munka.:

Így álltak fel a vonat, és várni, nem várnák, amikor kiszámították őket.

Először is, ismét definíció és kép:

Meghatározás: Vegyes munka noncompllenar Vektorok, ebben a sorrendben, hívott a párhuzampipeda térfogata, A vektor adataira épült, a "+" jelzéssel felszerelt, ha az alap a megfelelő, és a jel "-", ha az alap marad.

Végezzen el képet. A láthatatlan vonalakat a pontozott vonal támasztja alá:

Merüljön el a definícióban:

2) Vektorok egy bizonyos sorrendben, azaz a vektorok átrendeződése a munkában, ahogy azt hiszem, nem halad át következmények nélkül.

3) A geometriai jelentés megjegyzése előtt megjegyezzem, hogy a nyilvánvaló tény: a vegyes vektorok száma:. Az oktatási szakirodalomban a design némileg eltérő lehet, és a vegyes terméket aláírtam, és a "PE" betű számításának eredményét.

A-Priory a vegyes munka párhuzamos térfogatBeépített vektorok (az ábra piros vektorokkal és fekete vonalakkal tisztítható). Ez az, hogy a szám megegyezik a párhuzamosan.

jegyzet : A rajz vázlatos.

4) Ne re-Steam az alap és a tér tájolásának koncepciójával. Az utolsó rész jelentése az, hogy egy mínusz jel adható hozzá a kötethez. Egyszerű szavak, a vegyes termék negatív lehet :.

Közvetlenül a definícióból következik, hogy a vektorokba épített párhuzamozott mennyiségének kiszámításának képletét követi.

A verziókban kialakított párhuzamosság területe megegyezik a vektorok hosszainak termékével a szögben, amely közöttük rejlik.

Nos, ha ezeknek a vektoroknak a hossza a feltételek. Azonban ez is megtörténik, hogy a paralisztikai terület képletének alkalmazása, amelyet csak a koordináták számításai után építettek.
Ha szerencsés, és a körülmények között a vektorok hosszát kapják, akkor csak azt kell alkalmazni a képletet, amelyet korábban szétszereltünk a cikkben. A terület megegyezik a modulok termékével a szinusz sarokban közöttük:

Tekintsünk egy példát a vektorokba épített párhuzamosság területének kiszámítására.

Egy feladat: A vektorokba beépített pollogram és. Keresse meg a területet, ha és a közöttük lévő szög 30 °.
Expresszálja a vektort az értékükön keresztül:

Talán van egy kérdésed - honnan jött a nulla? Érdemes emlékezni arra, hogy vektorokkal és számukra dolgozunk . Ne feledje, hogy ha ennek eredményeképpen kapunk kifejezést, akkor átalakul. Most elvégezzük a végső számításokat:

Visszatérzünk a problémára, ha a vektorok hossza nincs megadva a körülmények között. Ha a Parallelogramod a Descartes-koordináta rendszerben van, akkor a következőket kell tennie.

A koordináták által meghatározott számú oldalhosszak kiszámítása

Kezdjük, megtaláljuk a vektorok koordinátáit, és meghozzuk a megfelelő koordinátákat a végső koordinátáktól. Tegyük fel, hogy az A (X1, Y1, Z1) vektor koordinátái és a B vektor (x3; y3; z3) vektor).
Most megtaláljuk az egyes vektorok hosszát. Ehhez minden koordinátát meg kell emelni a térre, majd hajtsa le a kapott eredményeket és a végső számot, hogy kivonja a gyökeret. Vektoraink szerint a következő számítások lesznek:


Most meg kell találni a vektorok skaláris termékét. Ehhez a koordináták megszorozzák és fejlődnek.

A vektorok és a skaláris termék hossza, megtaláljuk a köztük lévő szög koszináját .
Most megtaláljuk az azonos szögű sinust:
Most rendelkezünk minden szükséges mennyiségre, és könnyen megtalálhatjuk a már ismert formula verzióiban beépített parallelogram területét.

Terület paralelogrammaáltal építve vektorokEzeket a vektorok hosszainak termékét kiszámítják a köztük lévő sarok sinusánál. Ha csak a vektorok koordinátái ismertek, a koordináta-módszereket fel kell használni a koordináta-módszerek kiszámításához, beleértve a vektorok közötti szög meghatározását is.

Szükséged lesz

• - vektoros fogalom;
• - vektorok tulajdonságai;
• - Csarós koordináták;
• - Trigonometrikus funkciók.

Utasítás

• Abban az esetben, ha a vektorok hossza és a köztük lévő szög ismert, hogy megtalálja a területet paralelogrammaáltal építve vektorok, Keresse meg moduljaik termékét (vektor hossza), a szöget a szög között S \u003d │a │ │ B │ Sin (α).
• Ha a vektorokat a Descartes-koordináta rendszerben találják meg, akkor a terület megtalálásához paralelogrammaBeépítettük, tegye a következőket:
• Keresse meg a vektorok koordinátáit, ha azokat a vektorok végeinek megfelelő koordinátái nem adják meg, a koordinátákat az elejétől. Például, ha a vektor kezdeti pontjának koordinátái (1; -3; 2) és a végső (2, -4; -5), majd a vektor koordinátái (2-1; -4 + 3; -5-2) \u003d (1; -1; -7). Hagyja, hogy a (X1, Y1, Z1) vektor koordinátái, B vektor (x2; y2; z2).
• Keresse meg az egyes vektorok hosszát. Vegye meg a vektorok mindegyik koordinátáit a téren, találja meg az összegüket X1² + Y1² + Z1². A kapott eredményből távolítsa el a négyzetgyököt. A második vektor esetében ugyanezt az eljárást végezze. Így kiderül, hogy │a│ és │ b.
• Keresse meg a vektorok skaláris termékét. Ehhez szorozzuk meg a megfelelő koordinátákat, és hajtsa össze a munkákat │a b│ \u003d x1 x2 + y1 + z1 z2.
• Határozza meg az olyan szög koszináját, amelyhez a vektorok skaláris terméke, amely a (3) bekezdésben kapott vektorok skaláris termékét osztja meg, megosztja a 2 (2) bekezdésben kiszámított vektorok hosszát (cos (α) \u003d │ab│ (│a│ │ b│) )).
• A kapott szög sinusa megegyezik a gyökér négyzetével az 1. számkülönbségtől, és a 4. pontban kiszámított szög (1-cosqm (α)) számított szögletének négyzete.
• Számítja a négyzetet paralelogrammaáltal építve vektorok Miután megtalálta a (2) bekezdésben kiszámított hosszúságuk termékét, és az eredmény megszorozza a számot a számítások után a P.5.
• Abban az esetben, ha a vektorok koordinátái előre meghatározottak a síkon, a Z koordináta kiszámításakor egyszerűen eldobják. Ez a számítás két vektor vektortermékének számszerű expressziója.