Aritmetikai gyökerek és tulajdonságaik. A gyökér N-Essential meghatározása. Az energiafunkcióból való integrál

A téma leckéje és bemutatása: "Az N-lényeges gyökér tulajdonságai. Tételek"

További anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsd el elhagyni észrevételeit, véleményeit, kívánságait! Minden anyagot víruskereső program jelöli.

Képzési kézikönyvek és szimulátorok az online áruházban "Integral" a 11. fokozathoz
Interaktív kézikönyv 9-11-es osztály "Trigonometry"
Interaktív kézikönyv 10-11 osztályhoz "Logaritmia"

Az N-lényeges gyökér tulajdonságai. Tételek

Srácok, továbbra is tanulmányozzuk az N-ESI gyökereit a tényleges számból. Mint szinte minden matematikai tárgy, az N-Estee gyökere néhány tulajdonsággal rendelkezik, ma tanulmányozzuk őket.
Minden olyan tulajdonságot, amelyet figyelembe vettünk, csak a gyökérjel alatti változók nem negatív értékeire bizonyítják.
Egy páratlan gyökérjelző esetében negatív változókra kerülnek.

Tétel 1. A két nem-negatív szám szerinti N-ESH gyökere megegyezik a számok n-th de fokának gyökereinek termékével: $ \\ sqrt [n] (A * b) \u003d \\ sqrt [n] (a) * \\ sqrt [n] (b) $.

Bizonyítsuk be a tételeket.
Bizonyíték. A srácok, a bizonyítási tételhez vezetünk új változókat, jelöljük:
$ \\ sqrt [n] (a * b) \u003d x $.
$ \\ sqrt [n] (a) \u003d y $.
$ \\ sqrt [n] (b) \u003d z $.
Be kell bizonyítanunk, hogy $ x \u003d y * z $.
Ne feledje, hogy az ilyen identitások végrehajtása:
$ a * b \u003d x ^ n $.
$ A \u003d Y ^ N $.
$ b \u003d z ^ n $.
Ezután ezt az identitást elvégzik: $ x ^ n \u003d y ^ n * z ^ n \u003d (y * z) ^ n $.
A két nem negatív számok és azok mutatója egyenlő, akkor az alapok maguk is egyenlőek. Tehát $ x \u003d y * z $, amelyet be kellett bizonyítani.

Tétel 2. Ha $ a≥0 $, $ b\u003e 0 $ és n - természetes számamely nagyobb, mint 1, akkor a következő egyenlőséget hajtjuk végre: $ \\ sqrt [n] (\\ frac (a) (b)) \u003d \\ frac (\\ sqrt [n] (a)) (\\ SQRT [N] (B )) $ $.

Vagyis az N-ES privát fokú gyökere megegyezik az N-Essential magángyökei.

Bizonyíték.
Bizonyítani, hogy az egyszerűsített sémát táblázat formájában használjuk:

Példák az N-lényeges gyökér kiszámítására

Példa.
Számítsa ki: $ \\ sqrt (16 * 81 * 256) $.
Döntés. Az 1: $ \u003cSQRT tételt (16 * 81 * 256) \u003d \\ sqrt (16) * \\ sqrt (81) * \\ sqrt (256) \u003d 2 * 3 * 4 \u003d 24 $.

Példa.
Számítsa ki: $ \\ sqrt (7 \\ frac (19) (32)) $.
Döntés. Képzeljen el egy irányított kifejezést az űrlapon helytelen frakciók: $ 7 \\ frac (19) (32) \u003d \\ frac (7 * 32 + 19) (32) \u003d \\ frac (243) (32) $.
A 2: $ 2010-es tételt (\\ frac (243) (32)) \u003d \\ frac (\\ sqrt (243)) (\\ sqrt (32)) \u003d \\ frac (3) (2) \u003d 1 \\ frac ( 1) (2) $.

Példa.
Kiszámítja:
a) $ \\ sqrt (24) * \\ sqrt (54) $.
b) $ \\ frac (\\ sqrt (256)) (\\ SQRT (4)) $.
Döntés:
a) $ \\ sqrt (24) * \\ sqrt (54) \u003d \\ sqrt (24 * 54) \u003d \\ sqrt (8 * 3 * 2 * 27) \u003d \\ sQRT (16 * 81) \u003d \\ sqrt (16) * \\ t Sqrt (81) \u003d 2 * 3 \u003d $ 6.
b) $ \\ frac (\\ SQRT (256)) (\\ SQRT (4)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (256) (4)) \u003d \\ sqrt (64) \u003d 24 $.

3. tétel. Ha $ a≥0 $, K és N természetes számok több mint 1, akkor az egyenlőség igaz: $ (\\ sqrt [n] (a)) ^ k \u003d \\ sqrt [n] (a ^ k) $.

A gyökér kiépítése természetes mértékű, elég ahhoz, hogy ezt a fokozatot a lábazási kifejezésre építsük.

Bizonyíték.
Vegyünk egy különleges esetet $ k \u003d $ 3. A tétel 1-et használjuk.
$ (SQRT [n] (a)) ^ k \u003d sqrt [n] (a) * \\ sqrt [n] (a) * \\ sqrt [n] (a) \u003d \\ sqrt [n] (A * a * a) \u003d \\ sqrt [n] (a ^ 3) $.
Bizonyíthat bármely más esetre is. Srácok, bizonyítsd magad, ha $ k \u003d $ 4 és $ k \u003d $ 6.

Tétel 4. Ha $ a≥0 $ B N, K természetes szám nagy 1, akkor az egyenlőség igaz: $ \\ sqrt [n] (\\ sqrt [k] (a)) \u003d \\ sqrt (a) $.

A gyökér gyökereinek kivonása érdekében elegendő a gyökerek megszorításához.

Bizonyíték.
Röviden átalakítjuk az asztal használatát. Bizonyítani, hogy az egyszerűsített sémát táblázat formájában használjuk:

Példa.
$ \\ Sqrt (\\ sqrt (a)) \u003d \\ sqrt (a) $.
$ \\ Sqrt (\\ sqrt (a)) \u003d \\ sqrt (a) $.
$ \\ Sqrt (\\ sqrt (a)) \u003d \\ sqrt (a) $.

Tétel 5. Ha a gyökér- és takarmánymutatók ugyanarra a természetes számra szorozva, akkor a gyökér érték nem változik: $ \\ sqrt (a ^ (kp)) \u003d \\ sqrt [n] (a) $.

Bizonyíték.
A teoremünk bizonyításának elve ugyanaz, mint más példákban. Új változókat vezetünk be:
$ \\ sqrt (a ^ (k * p)) \u003d x \u003d\u003e a ^ (k * p) \u003d x ^ (n * p) $ (definíció szerint).
$ \\ sqrt [n] (a ^ k) \u003d y \u003d\u003e y ^ n \u003d a ^ k $ (definíció szerint).
Az utolsó egyenlőség a p fokozatba kerül
$ (y ^ n) ^ p \u003d y ^ (n * p) \u003d (a ^ k) ^ p \u003d a ^ (k * p) $.
Kapott:
$ y ^ (n * p) \u003d a ^ (k * p) \u003d x ^ (n * p) \u003d\u003e x \u003d y $.
Ez az, $ \\ sqrt (a ^ (k * p)) \u003d \\ sqrt [n] (a ^ k) $, amelyet be kellett bizonyítani.

Példák:
$ \\ sqrt (a ^ 5) \u003d \\ sqrt (A) $ (5-ös számok megosztása).
$ \\ sqrt (A ^ (22)) \u003d \\ sqrt (A ^ (11)) $ (a mutatók megosztása 2).
$ \\ sqrt (A ^ 4) \u003d \\ sqrt (a ^ (12)) $ (szorzva mutatók 3).

Példa.
Műveletek végrehajtása: $ \\ sqrt (a) * \\ sqrt (a) $.
Döntés.
A root indikátorok különböző számok, így nem használhatjuk az 1. tételt, de az 5-ös tételt alkalmazva egyenlő mutatókat kaphatunk.
$ \\ sqrt (a) \u003d \\ sqrt (A ^ 3) $ (többszörös mutatók 3).
$ \\ sqrt (a) \u003d \\ sqrt (A ^ 4) $ (többszörös mutatók 4).
$ \\ sqrt (a) * \\ sqrt (a) \u003d \\ sqrt (a ^ 3) * \\ sqrt (a ^ 4) \u003d \\ sqrt (a ^ 3 * a ^ 4) \u003d sqrt (a ^ 7) $.

Feladatok az önmegoldásokhoz

1. Számítsa ki: $ \\ sqrt (32 * 243 * 1024) $.
2. Számítsa ki: $ \\ sqrt (7 \\ frac (58) (81)) $.
3. Számítsa ki:
a) $ \\ sqrt (81) * \\ sqrt (72) $.
b) $ \\ frac (\\ sqrt (1215)) (\\ SQRT (5)) $.
4. Egyszerűsítse:
a) $ \\ sqrt (\\ sqrt (a)) $.
b) $ \\ sqrt (\\ sqrt (a)) $.
c) $ \\ sqrt (\\ sqrt (a)) $.
5. Végezze el a műveleteket: $ \\ sqrt (A ^ 2) * \\ sqrt (A ^ 4) $.

Gratulálunk: ma szétszereljük a gyökereket - a 8. osztály egyik legszebb témája. :)

Sokan zavarosak a gyökerekben. Nem azért, mert nehézségek vannak (ami nehéz dolog, van egy pár definíció és még mindig pár tulajdonság), de mivel a legtöbb iskolai tankönyvben a gyökereket egy ilyen törmeléket határozzák meg A tankönyvek megértik ezt a szentírást. Majd csak egy üveg jó whiskyrel. :)

Ezért most a gyökér legmegfelelőbb és legkövetesebb meghatározását fogom adni - az egyetlen dolog, amit tényleg emlékezni kell. És aztán megmagyarázom: miért mindezek igényei és a gyakorlatban alkalmazandók.

De először emlékezzen egyet fontos pillanat, arról, hogy mely sok fordítók a tankönyvek valamilyen oknál fogva "felejtsd el":

A gyökerek egyértelműek (a kedvenc $ \\ sqrt (a) $, valamint bármely $ \\ sqrt (a) $ és akár $ \\ sqrt (a) $) és páratlan fokozat (mindegyik $ \\ sqrt (a) $) , $ SQRT (A) $ stb.). És a furcsa fok gyökere meghatározása kissé eltér az egyiktől.

Ebben a fogásban "kissé más" rejtett, valószínűleg az összes hiba 95% -a, és a gyökerekhez kapcsolódó félreértés. Ezért nézzük meg egyszer és örökre a terminológiát.

Meghatározás. Az olvasási fokozat gyökere n. A $ A $ -ból származik nem negatív A $ b $ szám olyan, hogy $ ((b) ^ (n)) \u003d egy $. És a gyökér egy furcsa diploma ugyanabból a számból $ A $ általában bármilyen számú $ b $, amelyre ugyanazt az egyenlőséget végzik: $ ((b) ^ (n)) \u003d egy $.

Mindenesetre a gyökér ezt jelzi:

\\ (A) \\]

Az ilyen bejegyzésben lévő $ n $ számot gyökérjelzőnek nevezik, és a $ A $ szám egy gátolt kifejezés. Különösen a $ n \u003d 2 $ -val kapjuk meg a "kedvenc" négyzetgyök (By the way, ez a root diploma), és $ n \u003d 3 $-kocka (a furcsa fok), amelyet gyakran a feladatok és egyenletek is találnak.

Példák. Klasszikus példák négyzetgyök:

\\ [kezdő (igazítás) \\ sqrt (4) \u003d 2; \\\\ \\ sqrt (81) \u003d 9; \\\\ & \\ sqrt (256) \u003d 16. Vége (igazítása) \\]

By the way, $ \\ sqrt (0) \u003d 0 $, és $ \\ sqrt (1) \u003d 1 $. Ez nagyon logikus, mivel $ ((0) ^ (2)) \u003d 0 $ és $ ((1) ^ (2)) \u003d 1 $.

A köbös gyökereket gyakran találják - nem kell félniük:

\\ [kezdő (igazítás) \\ sqrt (27) \u003d 3; \\\\ \\ sqrt (-64) \u003d - 4; \\\\ \\ SQRT (343) \u003d 7. Vége (igazítása) \\]

Nos, és néhány "egzotikus példa":

\\ [kezdő (igazítás) & \\ sqrt (81) \u003d 3; \\\\ \\ sqrt (-32) \u003d - 2. Vége (igazítása) \\]

Ha nem érti, mi a különbség a labda és a halvány fok között - újra a definíció újra. Ez nagyon fontos!

És időközben figyelembe vesszük a gyökerek egy kellemetlen jellemzőjét, amellyel külön definíciót kellett bevezetnünk az olvasási és furcsa mutatókhoz.

Miért van szüksége gyökerekre?

Miután elolvasta a definíciót, sok diák fog kérdezni: "Mit dohányzott a matematika, amikor jöttek fel?" És tényleg: Miért kell mindezekre a gyökerekre?

Hogy válaszoljon erre a kérdésre, gyere vissza egy percig elsődleges osztályok. Ne feledje: A távoli időkben, amikor a fák zöldebbek voltak, és a gombócok kóstolódnak, fő aggodalmunk az volt, hogy a számokat megfelelően megszorozzuk. Nos, valami az "öt-öt - huszonöt" szellemében, ez minden ez. De a számokat nem lehet párban, de három, negyedik és általában készlet:

\\ [kezdő (igazítás) & 5 \\ cdot 5 \u003d 25; \\\\ & 5 \\ CDOOT 5 \\ CDOT 5 \u003d 125; \\\\ & 5 \\ CDOOT 5 \\ CDOT 5 \\ CDOT 5 \u003d 625; \\\\ & 5 \\ CDOT 5 \\ CDOT 5 \\ CDOT 5 \\ CDOT 5 \u003d 3125; \\\\ & 5 \\ CDOT 5 \\ CDOT 5 \\ CDOT 5 \\ CDOT 5 \\ CDOT 5 \u003d 15 \\ 625. \\ VÉG (Igazítás) \\]

A lényeg azonban nem ebben. A chip a másik: matematika - élő emberek, így a hulladékok voltak, hogy rögzítsék a tíz ötödik szorzás rögzítését:

Ezért fokozatosan jöttek. Miért nem írja be a sokszorosítók számát a felső index formájában egy hosszú vonal helyett? Mint ez:

Nagyon kényelmes! Minden számítás időnként csökken, és nem tölthet egy csomó pergamenlapot néhány 183 felvételekhez. Az ilyen bejegyzést a számfokozatnak nevezték, akinek volt egy csomó tulajdonsága, de a boldogság rövid életű volt.

A Grand Booze után, amelyet csak a "Discovery" -ről szerveztek, néhány különösen függőleges matematikus hirtelen megkérdezte: "És mi van, ha ismerjük a szám mértékét, de a szám ismeretlen?" Itt valójában, ha tudjuk, hogy egy bizonyos számú $ b $, mondjuk, adjunk 243-at az 5. fokozatba, akkor hogyan tudjuk kitalálni, hogy mi a $ b $?

Ez a probléma sokkal inkább globális, mint az első pillantásra. Mert kiderült, hogy a "befejezett" fokú "forrás" számok többsége nem. Bíró magának:

\\ [megkezdés (igazítás) & ((b) ^ (3)) \u003d 27 Jubrot B \u003d 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT 3 \\ Requarrow B \u003d 3; \\\\ & ((((((b) ^ (3)) \u003d 64 Jubrorrow B \u003d 4 \\ CDOT 4 \\ CDOT 4 \\ Requarrow B \u003d 4. Vége (igazítása) \\]

És mi van, ha $ (((((b) ^ (3)) \u003d $ 50? Kiderül, hogy meg kell találnia egyfajta számot, amely háromszor szorozódik magának, hogy 50-et ad nekünk. De mi a szám? Ez egyértelműen nagyobb, mint 3, mivel 3 3 \u003d 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 > 50. Azok. Ez a szám valahol az első három és a negyedik között rejlik, de ami egyenlő - megérti.

Ez a matematika, és feltalálta a $ n $ -s fokú gyökereket. Ez volt, hogy a $ \\ SQRT (*) $ radikális ikont vezették be. A $ b $ szám kijelöléséhez, amely előre meghatározott értéket ad nekünk meghatározott mértékben

\\ [SQRT [n] (a) \u003d b \\ ugarow ((b) ^ (n)) \u003d a \\]

Nem vitatkozom: gyakran ezek a gyökerek könnyen figyelembe vehetők - több ilyen példát láttunk. De mégis, a legtöbb esetben, ha tetszőleges számot készít, majd próbálja meg kivonni véletlenszerűséget, vár egy kegyetlen bummerre.

Miért ott! Még a legegyszerűbb és legismertebb $ \\ sqrt (2) $ még nem adható meg nekünk, mint ismerősünk - mint egész szám vagy lövés. És ha megkapja ezt a számot a számológépben, látni fogja:

\\ [SQRT (2) \u003d 1,414213562 ... \\]

Amint láthatja, a vessző után olyan számok végtelen sorrendje van, amelyek nem engedelmeskednek a logikához. Természetesen lehetséges, hogy ezt a számot gyorsan összehasonlíthassa más számokkal. Például:

\\ [SQRT (2) \u003d 1,4142 ... kb. 1,4 lt 1.5 \\]

Vagy itt van egy másik példa:

\\ [SQRT (3) \u003d 1,73205 ... \\ kb. 1,7 gt 1.5 \\]

De ezek a kerekek elsősorban meglehetősen durva; És másodszor, meg kell dolgozni közelítő értékekre is, különben lehet fogni egy csomó, nem nyilvánvaló hibákat (by the way, a készség az összehasonlítás és a kerekítés kötelező a profilját USE).

Ezért a gyökerek nélküli komoly matematikában nem tudnak megtenni - ugyanazok az egyenlő képviselői, akik sok a $ \\ mathbb (R) $, valamint a frakciók és az egész számok régóta ismertek.

Az a képtelenség, hogy bemutassa a gyökeret a $ \\ frac (P) (Q) $ forma formájában, azt jelenti, hogy ez a gyökér nem racionális szám. Az ilyen számokat irracionálisnak nevezik, és nem lehet pontosan bemutatni másképp, mint egy radikális, vagy más, különösen a tervezésre szánt tervek (logaritmusok, fokok, korlátok stb.). De róla - egy másik alkalommal.

Tekintsünk több példát, ahol az összes számítás után az irracionális számok továbbra is válaszolnak.

\\ [megkezdés (igazítás) \\ sqrt (2+ sqrt (27)) \u003d \\ sqrt (2 + 3) \u003d \\ sqrt (5) \\ kb. 2,236 ... \\\\ & \\ SQRT (\\ SQRT (-32) ) \u003d \\ Sqrt (-2) \\ kb. -1,2599 ... \\\\ \\ end (igazítása) \\]

Természetesen a gyökér megjelenése szinte lehetetlen kitalálni, hogy milyen számok lesznek a vessző után. Azonban lehetséges a számológép kiszámításához, de a DAT számológép legfejlettebb számológépe csak néhány első számjegyét az irracionális számnak. Ezért sokkal helyesbb a válaszok rögzítéséhez $ \\ sqrt (5) $ és $ \\ sqrt (-2) $ formájában.

Ez volt, hogy jöttek velük. A válaszok kényelmesen írják.

Miért van szükség két definícióra?

A figyelmes olvasó már valószínűleg észrevette, hogy a példákban megadott négyzetgyöket pozitív számokból kivonták. Benne van szélsőséges eset nulla. De a köbös gyökereket nyugodtan eltávolítják bármely számból - akár pozitív, akár negatív.

Miért történik ez? Vessen egy pillantást a $ y \u003d ((x) ^ (2)) $ -t:

Menetrend másodfokú függvény két gyökeret ad: pozitív és negatív

Próbáljuk meg használni ezt az ütemezést a $ \\ sqrt (4) $ kiszámításához. Ehhez a vízszintes vonal $ y \u003d $ 4 (piros színnel jelölt) grafikonja, amely két ponton parabolával metszik: $ ((x) _ (1)) \u003d 2 $ és $ (x) _ (2)) \u003d -2 $. Ez nagyon logikus, mert

Az első számmal minden tiszta - pozitív, így a gyökér:

De mit tegyen a második ponttal? A negyedik két gyökér egyszerre? Végtére is, ha -2-es számot építsz egy négyzetbe, akkor is kapunk 4. miért nem írunk $ \\ sqrt (4) \u003d - $ 2? És miért néznek meg a tanárok olyan rekordokat, mintha meg akarnak halni? :)

Ebben az esetben, ha nem alkalmazol semmit további feltételekA negyedik negyedik gyökerei két pozitív és negatív lesz. És bármilyen pozitív szám is két lesz. De a gyökerek negatív számai egyáltalán nem lesznek - ugyanolyan grafikával láthatók, mert a parabola nem csökkenti a tengely alá y.. Nem vesz igénybe negatív értékeket.

Hasonló probléma merül fel az olvasási jelzővel rendelkező gyökerekből:

1. Szigorúan beszélve, a $ n $ pozitív szám mutatójának gyökerei egyszerre két darab lesznek;
2. A negatív számok közül a $ n $ gödrött gyökere egyáltalán nem kivonható.

Ezért meghatározza a $ n $ gyökérfokát, amely kifejezetten előírja, hogy a válasznak nem negatív számnak kell lennie. Szóval megszabadulunk a kétértelműségtől.

De a páratlan $ n $ -nak nincs ilyen probléma. Annak érdekében, hogy megbizonyosodjunk, nézzük meg a $ y \u003d ((x) ^ (3)) 2-es funkció ütemezését:

A Cubic Parabola értékeket vesz igénybe, így a köbös gyökér bármely számból kivonható

Ebből az ütemtervből két kimenetet készíthet:

1. A köbös parabola ágai, ellentétben a szokásos módon, mindkét irányban - és felfelé és lefelé haladnak. Ezért bármilyen magasságban a vízszintes közvetlen, ez a közvetlen szükségszerűen átkerülünk ütemtervünkkel. Következésképpen a köbös gyökér mindig eltávolítható, teljesen bármely számból;
2. Ezenkívül az ilyen metszéspont mindig az egyetlen, ezért nem kell gondolnia, hogy milyen számot kell figyelembe vennie a "jobb" gyökeret, és hogy mit szerezzen. Ezért a furcsa fokozatú gyökerek meghatározása könnyebb, mint még (a nem negativitás nem követelmény).

Kár, hogy ezek az egyszerű dolgok nem magyarázzák meg a legtöbb tankönyvben. Ehelyett elkezdjük betakarítani az agyat mindenféle aritmetikai gyökerekkel és tulajdonságaikkal.

Igen, nem vitatkozom: Mi az aritmetikai gyökér - tudnia kell. És részletesen megmondom neked egy külön leckében. Ma is beszélünk róla, mert anélkül, hogy mindannyian tükröződnek a $ n $-----multiplicitás gyökereire, hiányosak lennének.

De először világossá kell tenni a fentiekben megadott definíciónak. Ellenkező esetben, a rengeteg kifejezések miatt az ilyen zabkás a fejben kezdődik, ami végül meg fogja érteni semmit egyáltalán.

És csak meg kell értenie a különbséget egyenletes és páratlan mutatók között. Ezért ismét összegyűjtjük mindent, amit tényleg tudnia kell a gyökerekről:

1. A diploma gyökere csak egy nem negatív számból létezik, és maga mindig nem negatív szám. Negatív számok esetén egy ilyen gyökér bizonytalan.
2. De a gyökere a páratlan létező létezik bármilyen számot, és maga bármennyi lehet: pozitív szám pozitív, és negatív -, hogy a CEP tippeket, negatív.

Ez bonyolult? Nem, nem nehéz. Egyértelmű? Igen, általában nyilvánvaló! Ezért a számítástechnikával gyakoroljuk.

Alapvető tulajdonságok és korlátozások

A gyökereknek sok furcsa tulajdonsága és korlátozása van - lesz külön lecke. Ezért most csak a legfontosabb "chipet" fogjuk megvizsgálni, amely csak az egyenletes mutatóval rendelkező gyökerekre vonatkozik. Ezt a tulajdonságot képletként írjuk:

\\ [\\ Sqrt (((x) ^ (2n))) \u003d \\ \\ mail | X \\ jobb | \\]

Más szóval, ha egy számot egyértelmű mértékben építesz, akkor ebből, hogy kivonja a gyökerét ugyanolyan mértékben, nem kapunk forrásszámot és modulját. Ez egy egyszerű tétel, amely könnyen bizonyítható (elég ahhoz, hogy nem negatív $ x $ -okat, majd külön negatívnak tekinteni). Folyamatosan TalyChat tanárairól, mindegyikben megadott iskolai tankönyv. De amint az irracionális egyenletek megoldása (azaz a radikális jelét tartalmazó egyenleteket), a diákok együtt elfelejtik ezt a képletet.

Ahhoz, hogy megértsük a kérdésben, hogy egy percig, felejtsük el az összes képletet, és próbálj meg két számot megszámolni:

\\ [SQRT (((3) ^ (4))) \u003d? \\ quad \\ sqrt (((bal (-3 \\ jobbra)) ^ (4))) \u003d?

Ez nagyon egyszerű példák. Az első példa megoldja a legtöbb embert, de a második, sok ragaszkodni. Ha bármilyen probléma megoldása nélkül megoldhat, mindig vegye figyelembe az eljárást:

1. Először is, a szám a negyedik fokozatba kerül. Nos, ez olyan könnyű. Ez új számot fog kideríteni, amely még a szorzótáblázatban is megtalálható;
2. És most az új számból a negyedik fokozat gyökere kivonása szükséges. Azok. A gyökerek és a fokozatok csökkentése nem következik be - ezek következetesek.

Mi folyó az első kifejezéssel: $ \\ sqrt ((3) ^ (4))) $. Nyilvánvaló, hogy kiszámítható a gyökér alatt álló kifejezés kiszámításához:

\\ [((3) ^ (4)) \u003d 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT 3 \\ CDOT 3 \u003d 81 \\]

Ezután távolítsa el a negyedik fokú gyökert a 81:

Most tegyük ugyanezt a második kifejezéssel. Először is egy-3-as számot építünk a negyedik fokig, amelyre szükség lesz, hogy megszorozzuk önmagában 4-szer:

\\ [((bal (-3)) ^ (4)) \u003d bal (-3 \\ jobb) \\ CDOT \\ Bal (-3 \\ jobbra) \\ CDOT \\ Bal (-3 \\ Jobb) \\ CDOT \\ Balra (-3 \\ jobbra) \u003d 81 \\]

Pozitív számot kaptak, mivel a munkában lévő mínuszok száma - 4 darab, és kölcsönösen megsemmisülnek (mert mínusz a mínusz ad). Következő újra eltávolítja a gyökeret:

Elvileg ez a vonal nem tudott írni, mert nem világos, hogy a válasz ugyanaz lesz. Azok. Egy jól ismert gyökér ugyanolyan fokú "égési" mínusz, és ebben az értelemben az eredmény megkülönböztethetetlen a szokásos modulból:

\\ [kezdő (igazítás) & \\ sqrt (((3) ^ (4))) \u003d \\ t 3 jobb | \u003d 3; \\\\ & \\ sqrt (((bal (-3 \\ jobbra)) ^ (4))) \u003d \\ t -3 \\ jobb | \u003d 3. Vége (igazítása) \\]

Ezek a számítások jól összhangban vannak a gyökér diplomájának meghatározásával: az eredmény mindig nem negatív, és a radikális jele alatt mindig érdemes negatív szám. Ellenkező esetben a gyökér nincs meghatározva.

Megjegyzés a cselekvési sorrendről

1. A $ \\ sqrt ((a) ^ (2))) felvétele azt jelenti, hogy először a $ A $ $ a $ négyzetmétert állítjuk fel, majd távolítsa el a négyzetgyöket a kapott értékről. Ezért biztosak lehetünk abban, hogy a nem negatív szám mindig a gyökérjel alatt ül, mivel $ (a) ^ (2)) \\ ge 0 $ bármilyen esetben;
2. De a rekord $ ((bal (\\ ti (\\ sqrt (a))) ^ (2)) ^ (2)), éppen ellenkezőleg, azt jelenti, hogy először eltávolítjuk a gyökeret egy bizonyos számú $ egy dollárból, és csak akkor állítsuk fel az eredményt a tér. Ezért a $ a $ $ számok száma semmilyen esetben nem lehet negatív - ez a meghatározás kötelező követelménye.

Így semmiképpen sem lehet elgondolatlanul csökkenteni a gyökereket és a fokozatot, így állítólag "egyszerűsíti" a kezdeti kifejezést. Mert ha a gyökér alatt negatív szám van, és jelzője olvasható, kapunk egy csomó problémát.

Mindezen problémák azonban csak az egyenletes mutatókra vonatkoznak.

A gyökérjel alatt mínusz elérése

Természetesen a furcsa mutatókkal rendelkező gyökereknek saját chipje is van, amely elvben nem történik meg. Ugyanis:

\\ [SQRT (-a) \u003d - \\ sqrt (A) \\]

Röviden, akkor mínusz a furcsa gyökerek jele alatt. Ez egy nagyon hasznos funkció, amely lehetővé teszi, hogy "virágzik" minden percet kívülről:

\\ [kezdő (igazítás) \\ sqrt (-8) \u003d - \\ sqrt (8) \u003d - 2; \\\\ & \\ sqrt (-27) \\ CDOT \\ sQRT (-32) \u003d - \\ sqrt (27) \\ CDOT \\ maradt (- \\ sQRT (32) \\ jobbra) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (27) \\ CDOT \\ Sqrt (32) \u003d \\\\ \\ \u003d 3 \\ cdot 2 \u003d 6. Vége (igazítása) \\]

Ez egyszerűen csak sok számítással egyszerűsíti. Most már nem kell aggódnia: hirtelen a negatív kifejezés a gyökér alatt, és a gyökér foka is kiderült? Elég csak azért, hogy "dobja" az összes percet a gyökereken túl, miután megoszthatják egymást, hogy megoszthassák és általában sok gyanús dolgot csináljanak, ami a "klasszikus" gyökerek esetében garantált minket téves.

És itt a jelenet jön ki egy másik definíciót - a legtöbb iskolában kezdeti az irracionális kifejezéseket. És amely nélkül az érvelésünk hiányos lenne. Találkozik!

Aritmetikai gyökér

Feltételezzük, hogy egy pillanatra, hogy a gyökér jele alatt csak pozitív szám vagy a szélsőséges eset nulla. Az egyenletes / páratlan jelzések pontszámát kaptuk, hagyjuk, hogy a fentiekben megadott összes definíció - csak nem negatív számokkal fogunk működni. Akkor mit?

És akkor kapunk egy aritmetikai gyökér - részben metszi a "standard" definíciókat, de még mindig különbözik tőlük.

Meghatározás. A $ n $ -s diploma aritmetikai gyökere egy nem-negatív számú $ A $ -t ilyen nem negatív számú $ b $, ami $ ((b) ^ (n) \u003d egy $.

Amint láthatod, már nem érdekel a készenlét. A csere során új korlátozás történt: az etetési kifejezés most mindig nem negatív, és a gyökér maga is nem nem képes.

Ahhoz, hogy jobban megértsük, mint az aritmetikai gyökér, eltér a szokásos, nézze meg a négyzet és a köbös parabola diagramjait:

Az aritmetikai gyökér - nem negatív számok keresési területe

Amint láthatod, most csak azokat a grafikonokat érdekli, amelyek az első koordináta negyedévben találhatók - ahol a $ x $ és $ Y $ koordinátái pozitívak (vagy legalább nulla). Már nem kell megnézni a mutatót, hogy megértsük: Jogunk van, hogy negatív számot tegyen a gyökér alatt, vagy sem. Mivel a negatív számok inkább elvben nem tekintendők.

Kérdezheted: "Nos, miért van szükségünk ilyen szűrt meghatározásra?" Vagy: "Miért nem tehetjük meg a fenti szokásos definíciót?"

Nos, csak egy tulajdonságot hozok, mivel egy új definíció megfelelővé válik. Például a gyakorlási szabály a diploma:

\\ [SQRT [n] (a) \u003d \\ sqrt ((((a) ^ (k)))) \\ t

Felhívjuk figyelmét, hogy bármilyen mértékben meg tudjuk építeni egy táplálkozási kifejezést, és ugyanakkor megszorozzuk a gyökérzét ugyanolyan mértékben - és ennek eredményeként ugyanaz a szám jelenik meg! Íme példák:

\\ [kezdő (igazítás) \\ sqrt (5) \u003d \\ sqrt ((((5) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (25) \\\\ \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt ((2) ^ ((2) ^ ( 4)))) \u003d SQRT (16) \\ 'vége (igazítása) \\]

Tehát mi a baj ezzel? Miért nem tehetjük meg korábban? De miért. Vegyünk egy egyszerű kifejezést: $ \\ sqrt (-2) $ a szám meglehetősen normális a klasszikus megértésünkben, de abszolút elfogadhatatlan az aritmetikai gyökér szempontjából. Próbáljuk meg konvertálni:

$ megkezelés (igazítás) \\ sqrt (-2) \u003d - \\ sqrt (2) \u003d - \\ sqrt ((2) ^ (2))) \u003d - \\ SQRT (4) lt 0; \\\\ \\ sqrt (-2) \u003d \\ sqrt (((bal (-2)) ^ (2)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (4) \\ gt 0. \\\\\\ Vége (igazítása) $

Amint láthatja, az első esetben a radikális alatt mínusz (teljes jogunk van, mert az ábra páratlan), a második pedig a fenti képletet használta. Azok. A matematika szempontjából minden a szabályok szerint történik.

Wtf?! Hogyan lehet egy és ugyanaz a szám pozitív és negatív? Egyáltalán nem. Csak az a gyakorlati képlet, amely nagyszerűen működik a pozitív számok és a nulla, elkezdi teljes ereteket termelni negatív számok esetén.

Itt, hogy megszabaduljon az ilyen kétértelműségtől, és feltalálta aritmetikai gyökerek. Ők különös nagy leckét szentelnek, ahol részletesen figyelembe vesszük az összes tulajdonságukat. Tehát most nem fogjuk megállítani őket - a leckét, és túlságosan szigorult.

Algebrai gyökér: azok számára, akik többet akarnak tudni

Hosszú ideig gondoltam: a téma elviselésére külön bekezdésben vagy sem. Ennek eredményeként úgy döntöttem, hogy itt hagyom. Ez az anyag Azoknak, akik jobban szeretnének megérteni a gyökereket - már nem az átlagos "iskola" szintjén, de hozzávetőleges az olimpia.

Tehát: a $ n $ -s-et gyökerének "klasszikus" meghatározása mellett, a számból és a kapcsolódó szétválasztáshoz az olvasási és páratlan mutatókhoz, van egy "felnőtt" definíció, amely nem függ a készenlét és más finomságoktól függően . Ezt algebrai gyökérnek nevezik.

Meghatározás. Algebrai gyökér $ N $ -TH-tól a $ A $ -ból a $ b $ számok készlete, mint $ ((b) ^ (n)) \u003d egy $. Ilyen gyökerek esetében nincs jól megalapozott megjelölés, így egyszerűen a Screet-t felülírjuk:

\\ [\\ Overline (\\ sqrt [n] (a)) \u003d \\ balra \\ (b \\ maradt | b \\ mathbb (r); (b) ^ (n)) \u003d a ]

A lecke elején megadott standard definíció alapvető különbsége az, hogy egy algebrai gyökér nem konkrét szám, de sokat. És mivel érvényes számokkal dolgozunk, ez a készlet csak három típus:

1. Üres készlet. Ez akkor fordul elő abban az esetben, ha szükség van egy olyan algebrai gyökérre, amely egy negatív számból érhető el;
2. Egy elem, amely egyetlen elemből áll. A páratlan fokú gyökerek, valamint a nulla zérusból származó egyenletes gyökerek;
3. Végül a készlet két számot tartalmazhat - ugyanaz a $ ((x) _ (1)) $ és $ ((x) _ (2)) \u003d - ((x) _ (1)) $ A diagramon láttuk Másodfokú függvény. Ennek megfelelően ez az összehangolás csak akkor lehetséges, ha a gyökér fokozatot egy pozitív számból eltávolítják.

Az utolsó eset részletesebb megfontolást érdemel. Számítsa ki néhány példát, hogy megértse a különbséget.

Példa. Számítsa ki a kifejezéseket:

\\ [\\ Overline (\\ sqrt (4)); \\ quad \\ overline (\\ sQRT (-27)); \\ quad \\ overline (\\ sqrt (-16)).

Döntés. Az első kifejezéssel minden egyszerű:

\\ [\\ Túlvonal (\\ sqrt (4)) \u003d \\ lib (2; -2 \\ jobb) \\ t

Ez két szám, amelyek a készlet részét képezik. Mert mindegyikük adja a negyediket.

\\ [\\ Overline (\\ sqrt (-27)) \u003d \\ balra \\ (-3 \\ jobb \\) \\]

Itt csak egy számból állunk, amely csak egy számból áll. Ez meglehetősen logikus, mivel a gyökérzési arány páratlan.

Végül az utolsó kifejezés:

\\ [\\ Túlvonal (\\ sqrt (-16)) \u003d \\ varnothing \\]

Üres készlet. Mivel nincs egyetlen tényleges szám, hogy a negyedik (azaz jól!) A diploma negatív -16-ot ad nekünk.

Végső megjegyzés. Kérjük, vegye figyelembe: véletlenül nem értem mindenütt, hogy érvényes számokkal dolgozunk. Mivel még mindig vannak integrált számok - ott lehet meglehetősen kiszámítani $ \\ sqrt (-16) $, és sok más furcsa dolgot.

Azonban a modern iskolai tanfolyam A matematika összetett számok szinte soha nem található. A legtöbb tankönyvből kiálltak, hiszen tisztviselőink ezt a témát úgy vélik, hogy "túl bonyolult a megértéshez".

Ez minden. A következő leckében megnézzük a gyökerek összes kulcsfontosságú tulajdonságait, és megtanuljuk, végül egyszerűsítjük az irracionális kifejezéseket. :)

Meghatározás
Power funkció a P jelzővel - Ez az F függvény (x) \u003d x p, amelynek az X pont értéke megegyezik az indikatív funkció értékével az X bázissal a P pontnál.
Ezen kívül, f (0) \u003d 0 p \u003d 0 p\u003e 0 .

A jelző természetes értékeihez az áramellátás egy N-számok, amelyek egyenlő x:
.
Minden érvényes érvényes.

A jelző pozitív racionális értékeihez az áramkimaradás az X fokozatú m-es roces terméke:
.
A páratlan m-re minden érvényes X-re van meghatározva. A még m-re az energiafunkció nem negatív.

Negatív, az áramfunkciót a következő képlet határozza meg:
.
Ezért a ponton nincs meghatározva.

A P kijelző irracionális értékeihez az áramellátást a képlet határozza meg:
,
ahol A jelentése tetszőleges pozitív szám, nem egyenlő egység: .
Mikor van meghatározva.
Mikor definiálva van az energiafunkció.

Folytonosság. Az energiafunkció folyamatos a meghatározási területen.

A tápfeszültség tulajdonságai és formulái x ≥ 0

Itt tekintjük meg az áramfunkció tulajdonságait az X argumentum nem negatív értékeiben. Amint azt fentebb említettük, a P jelző egyes értékeiben az áramellátás funkciót a negatív értékek x. Ebben az esetben a tulajdonságok a paritás vagy furcsaság használatakor a tulajdonságokból származhatnak. Ezeket az eseteket részletesen tárgyaljuk és az "" oldalon ábrázolják.

A POWER funkció, Y \u003d X P, a P paraméterrel a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
(1.1) meghatározott és folyamatos a készleten
mikor
mikor;
(1.2) Sok értéke van
mikor
mikor;
(1.3) szigorúan nő
szigorúan csökken
(1.4) mikor;
mikor;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

A tulajdonságok igazolása az "Power funkció (a folytonosság és a tulajdonságok igazolása)"

Gyökerek - meghatározás, formulák, tulajdonságok

Meghatározás
Az X fokozat gyökere - Ez az erekció, amelynek az N diploma x:
.
Itt n \u003d 2, 3, 4, ... - Természetes szám, több egység.

Azt is mondhatjuk, hogy az X fokozat gyökere az egyenlet gyökere (vagyis az egyenlet megoldása)
.
Ne feledje, hogy a funkció visszatér a funkcióhoz.

Négyzetgyökér az X számtól - Ez a 2. fokozat gyökere :.

Köbös gyökér az x számból - Ez a 3. fokozat gyökere :.

Egyenletesség

Még az n \u003d 2 M., a gyökér x ≥ 0 . A képletet gyakran használják, tisztességes mind pozitív, mind negatív X:
.
A négyzetgyökért:
.

A műveletek elvégzésének sorrendje - vagyis először egy négyzetben történik, amelynek eredményeképpen nem negatív számot kapunk, majd a gyökeret kivonták (nem negatív számból lehet eltávolított négyzetgyöket). Ha megváltoztattuk a megrendelést:, negatív X gyökérrel, akkor nincs meghatározva, és az összes kifejezést nem azonosították vele.

Páratlan fok

A páratlan fokokra a gyökér minden x:
;
.

Tulajdonságok és formulák gyökerek

Az x gyökere egy hatalmi funkció:
.
X ≥ 0 A következő képletek történnek:
;
;
, ;
.

Ezek a képletek a változók negatív értékeiben is alkalmazhatók. Csak annak biztosítására van szükség, hogy az egyenletes fokú etetési kifejezés nem negatív.

Magánértékek

A 0 gyökér 0 :.
A gyökér 1 1 :.
Négyzetgyökér 0 0 :.
Négyzetgyökér 1 1 :.

Példa. Gyökerei a gyökerektől

Tekintsünk egy négyzetgyökér gyökér példáját:
.
A belső tér gyökerét a fenti képletekkel konvertáljuk:
.
Most átalakítjuk az eredeti gyököt:
.
Így,
.

y \u003d x p a p paraméter különböző értékeiben.

Íme a funkció grafikonjai az X argumentum nem negatív értékeiben. Az X negatív értékei alatt meghatározott áramfunkció grafikonjai az "Power funkció, tulajdonságai és grafikonjai" oldalán vannak megadva

Fordított funkció

Az inverz függvény egy P jelzővel egy POWER funkció, amelynek jelzője 1 / p.

Ha akkor.

Az energiafunkció származéka

Származék n-os rendelés:
;

Kimeneti képletek \u003e\u003e\u003e

Az energiafunkcióból való integrál

P ≠ - 1 ;
.

Bomlás

Mikor - 1 < x < 1 A következő bomlás történik:

Integrált kifejezések

Tekintsük a Z komplex változó funkcióját Z:
f. (z) \u003d z t.
Expresszálja az R komplex változóat az R modulon és az argumentumban φ (r \u003d z |):
z \u003d r e i φ.
Összetett szám T képzeljük el érvényes és képzeletbeli alkatrészek formájában:
t \u003d p + I Q.
Nekünk van:

Ezután figyelembe vesszük, hogy az argumentum φ nincs meghatározva:
,

Fontolja meg az ügyet, ha q \u003d 0 , azaz az ábra - Érvényes szám, T \u003d p. Azután
.

Ha P egy egész szám, akkor a KP egész. Ezután a trigonometrikus funkciók gyakorisága miatt:
.
Azaz exponenciális függvény Összességében az adott z-hoz, csak egy értékkel rendelkezik, és ezért egyértelmű.

Ha p irracionális, akkor a KP munkái nem adnak egész számot. A K végtelen értéksorozatot futtatja k \u003d 0, 1, 2, 3, ...A Z P funkció végtelenül sok értéket tartalmaz. Amikor a z argumentum növekszik 2 π. (Egy fordulat), egy új funkciótágra megyünk.

Ha P racionális, akkor a következőképpen jeleníthető meg:
hol m, N. - Wholes, amelyek nem tartalmaznak közös osztókat. Azután
.
Első n értékek, k \u003d k esetén 0 \u003d 0, 1, 2, ... n-1, adjon n különböző KP értékeket:
.
Azonban a későbbi értékek olyan értékeket adnak, amelyek az egész egészetől eltérnek. Például, ha k \u003d k 0 + N. Nekünk van:
.
Trigonometrikus funkciókKinek az argumentumok nagyságrenddel különböznek 2 π.egyenlő értékekkel rendelkeznek. Ezért a K-t további növekedéssel ugyanazokat a z p értékeket kapjuk, mint a k \u003d k 0 \u003d 0, 1, 2, ... n-1.

Így a racionális jelzővel ellátott indikatív funkció többértékű és n értékekkel (fióktelepekkel) rendelkezik. Amikor a z argumentum növekszik 2 π. (Egy fordulat), egy új funkciótágra megyünk. Az ilyen forradalmakkal visszatérünk az első ághoz, amellyel a visszaszámlálás kezdődött.

Különösen az N fokos gyökere n értéke van. Példaként tekintse meg az N-fokozat gyökerét az érvényes pozitív szám Z \u003d X. Ebben az esetben φ 0 \u003d 0, z \u003d r \u003d z | \u003d X., .
.
Tehát a négyzetgyökért, n \u003d 2 ,
.
Még k, (- 1) k \u003d 1. A páratlan k esetében (- 1) k \u003d - 1.
Vagyis a négyzetgyöknek két értéke van: + és -.

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, egy kézikönyv a matematika mérnökök és diákok a kísérők, „Lan” 2009.

Formulák fokok A rövidítés folyamatában és az összetett kifejezések egyszerűsítésében, az egyenletek és az egyenlőtlenségek megoldásában.

Szám c. egy n.Kis mértékű a. mikor:

Műveletek fokozattal.

1. A fokozatok szorzása ugyanaz az alap A jelzőik összecsukása:

m.· N \u003d A m + n.

2. A megosztott fokozatok ugyanolyan alapon, mutatóik levonásra kerülnek:

3. A munka mértéke 2 vagy több A szorzók megegyeznek ezeknek a tényezőknek a munkájával:

(Abc ...) n \u003d a n · b n · c n ...

4. A frakció mértéke megegyezik a szakadék és az osztó fokozatainak arányával:

(A / B) n \u003d egy n / b n.

5. A fokozat mértéke, a diplomák mutatói meghosszabbodnak:

(A m) n \u003d a m n.

Mindegyik fenti képlet igaz a balról jobbra és fordítva.

például. (2,3 · 5/15) ² \u003d 2² · 3² · 5² / 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4.

Gyökérműveletek.

1. A több tényező munkájának gyökere megegyezik a tényezők gyökereinek termékével:

2. A kapcsolat gyökere megegyezik a gyökerek megosztottságának és osztójának hozzáállásával:

3. Amikor a gyökér felállt, ez meglehetősen beépül ez a fokozatba.

4. Ha növeli a gyökér fokát n. egyszer és ugyanakkor építeni n.A takarmányszám mértéke, a gyökér értéke nem változik:

5. Ha csökkenti a gyökér fokozatot n. egyszer és ugyanakkor kivonja a gyökeret n.fokozat egy alsónemű számból, a gyökér értéke nem változik:

Negatív mutatóval.A mértéke egy bizonyos számot vitathatatlan (egészében) jelző van meghatározva egységet osztva a foka az azonos számú egy mutató, mely egyenlő az abszolút érték a nem-pozitív jelző:

Képlet m.: egy n \u003d egy m - n nem csak akkor használható, ha m.> n. de szintén m.< n..

például. a. 4: A 7 \u003d A 4 \u200b\u200b- 7 \u003d A -3.

A képlet m.: egy n \u003d egy m - n tisztességes lett m \u003d N.A nulla mértékű jelenlétre van szükség.

A nulla indikátor mértéke.A nulla jelzővel nem egyenlő számú szám mértéke, a nulla jelzővel.

például. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Diploma a frakcionált jelzővel.Érvényes szám létrehozásához de fokozatosan m / N., szükség van a gyökér kivonására n.mérték m.A szám mértéke de.