A logaritmusok megosztása ugyanazokkal a bázisokkal. Logaritmusok, példák, megoldások kiszámítása. A logaritmusok kiszámítása definíció szerint

Továbbra is tanuljuk a logaritmusokat. Ebben a cikkben beszélünk logaritmum kiszámítása, ezt a folyamatot hívják logariting. Először a logaritmusok számításával foglalkozunk. Ezután fontolja meg, hogy a logaritmusok értékei milyen tulajdonságokkal rendelkeznek. Ezt követően hagyjuk abba a logaritmusok kiszámításán keresztül más logaritmusok eredetileg meghatározott értékeit. Végül megtanulják használni a logaritmusok tábláit. Minden elmélete részletes megoldásokkal van ellátva.

Navigációs oldal.

A logaritmusok kiszámítása definíció szerint

A legegyszerűbb esetekben elég gyorsan és egyszerűen lehetséges. logaritmus megállapítása definíció szerint. Tekintsük részletesen, hogy ez a folyamat bekövetkezik.

A lényege a B számának C formájában való ábrázolását jelenti, ahonnan a C logaritmum meghatározása a logaritmum értéke. Vagyis a logaritmus meghatározásának megállapítása az alábbi egyenlőtlenségek láncolata: Napló a B \u003d log A C \u003d C.

Tehát, a számítás a logaritmus definíció jön le, hogy találni ilyen számot C, amelynek során egy C \u003d B, és a C maga a kívánt logaritmus érték.

Mivel az információ az előző bekezdések száma jegyében a logaritmus által meghatározott bizonyos fokú logaritmus alapja, akkor azonnal jelzi, hogy mi egyenlő a logaritmus - ez egyenlő mértékben. Mutassuk meg a megoldásokat példákra.

Példa.

Keresse meg a log 2-3-at, valamint kiszámítja az E 5.3 szám természetes logaritmusát.

Döntés.

A logaritmus meghatározása lehetővé teszi számunkra, hogy azonnal azt mondjuk, hogy a napló 2 2 -3 \u003d -3. Valójában a logaritmusjel alá tartozó szám megegyezik a 2 V -3 fokos bázissal.

Hasonlóképpen megtaláljuk a második logaritmust: LNE 5.3 \u003d 5.3.

Válasz:

log 2 2-3 \u003d -3 és LNE 5.3 \u003d 5.3.

Ha a logaritmusjel alatti B számot a logaritmus alapja, akkor a logaritmum alapja, majd gondosan meg kell nézni, hogy lehetetlen, ha lehetetlen a B szám ábrázolásához a C. formában. Gyakran egy ilyen képviselet meglehetősen nyilvánvaló, különösen akkor, ha a logaritmusjel alatt lévő szám egyenlő az 1, vagy 2, vagy 3, ...

Példa.

Számítsa ki a Logaritmus log 5 25-et, és.

Döntés.

Könnyű látni, hogy 25 \u003d 5 2, lehetővé teszi az első logaritmum kiszámítását: log 5 25 \u003d log 5 5 2 \u003d 2.

Menjen a második logaritmum kiszámításához. A szám a 7-es számú mértéket ábrázolhat: (Lásd, szükség esetén). Ennélfogva, .

A harmadik logaritmust a következő formában írjuk át. Most látod ezt Ahol arra a következtetésre jutunk, hogy . Következésképpen a logaritmus meghatározásával .

Röviden, a megoldás így írható :.

Válasz:

log 5 25 \u003d 2, és .

Amikor a logaritmus jele alatt meglehetősen nagy természetes szám, nem fog bántani, hogy lebomlik az egyszerű szorzók. Ez gyakran segít abban, hogy ilyen számot bizonyos fokú logaritmus alapként jelenítse meg, ami azt jelenti, hogy ezt a logaritmust definíció szerint kiszámítjuk.

Példa.

Keresse meg a logaritmus értékét.

Döntés.

Néhány logaritmus lehetővé teszi, hogy azonnal megadja a logaritmusok értékét. Ezek a tulajdonságok magukban foglalják a Logarithm egység tulajdonát és a logaritmus tulajdonságát a bázisnak felel meg: log 1 1 \u003d log A 0 \u003d 0 és napló A \u003d napló A \u003d 1 \u003d 1. Vagyis, ha a logaritmus az 1. vagy az A szám, amely megegyezik a logaritmus alapjával, akkor ezekben az esetekben a logaritmusok 0 és 1.

Példa.

Melyek a Logaritmusok és az LG10?

Döntés.

Mivel, akkor a logaritmus meghatározásából .

A második példában a logaritmus jele szerinti 10 szám egybeesik annak alapjával, így a tizedes logaritmus tíz egyenlő az egységgel, azaz, LG10 \u003d LG10 1 \u003d 1.

Válasz:

ÉS lG10 \u003d 1.

Megjegyezzük, hogy a számítás a logaritmus definíció (amit szétszerelt az előző bekezdésben) felhasználásával jár az egyenlő Log A A P \u003d P, amely egyike a tulajdonságait a logaritmus.

A gyakorlatban, ha a logaritmusjel alá tartozó szám és a logaritmus alapja könnyen bemutatható bizonyos számok formájában, nagyon kényelmes a képlet használata amely megfelel a logaritmusok egyik tulajdonságainak. Fontolja meg a logaritmus megtalálásának példáját, amely bemutatja a képlet használatát.

Példa.

Számítsa ki a logaritmust.

Döntés.

Válasz:

.

Nem említik a logaritmusok tulajdonságait a kiszámításkor is, de a következő bekezdésekben fogunk beszélni.

Logaritmusok megtalálása más jól ismert logaritmusokon keresztül

Ennek a bekezdésnek az információi továbbra is a logaritmusok tulajdonságainak használatát a számítások kiszámításakor folytatják. De itt a fő különbség az, hogy a logaritmusok tulajdonságait használják annak érdekében, hogy kifejezzék a forrás logaritmust egy másik logaritmuson keresztül, amelynek értéke ismert. Adunk egy példát a magyarázatra. Tegyük fel, hogy tudjuk, hogy a log 2 3≈1.584963, akkor megtaláljuk például a log 2 6 egy kis konverzió végrehajtásával a logaritmus tulajdonságokkal: log 2 6 \u003d log 2 (2 · 3) \u003d log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Az adott példában elegendő voltunk a munka logaritmusához. Azonban sokkal gyakrabban kell alkalmazni a logaritmusok tulajdonságainak szélesebb arzenálját, hogy kiszámítsa a forrás logaritmust a megadott módon.

Példa.

Számítsa ki a logaritmust a 60 alaphoz, ha ismert, hogy a napló 60 2 \u003d a és log 60 5 \u003d b.

Döntés.

Tehát meg kell találnunk a log 60 27-et. Könnyű látni, hogy a 27 \u003d 3 3, és a forrás logaritmus a diploma logaritmus tulajdonsága alapján újraírható, mint 3 · log 60 3.

Most nézzük meg, hogy a log 60 3 kifejezze jól ismert logaritmusok. Az alapgal azonos számú logaritmus tulajdonsága lehetővé teszi, hogy rögzítse az esélyegyenlőségi logot 60 60 \u003d 1. Másrészt a log 60 60 \u003d log60 (2 2 · 3 · 5) \u003d log 60 2 2 + log 60 3 + log 60 5 \u003d 2 · Log 60 2 + log 60 3 + log 60 5. Ilyen módon 2 · Log 60 2 + log 60 3 + log 60 5 \u003d 1. Ennélfogva, log 60 3 \u003d 1-2 · log 60 2-log 60 5 \u003d 1-2 · A-B.

Végül kiszámoljuk a forrás logaritmust: log 60 27 \u003d 3 · log 60 3 \u003d 3 · (1-2 · A-B) \u003d 3-6 · A-3 · b.

Válasz:

log 60 27 \u003d 3 · (1-2 · A-B) \u003d 3-6 · A-3 · b.

Különben érdemes megmondani a képlet értékét a faj logaritmusának új bázisához való áttéréshez. Ez lehetővé teszi a logaritmusok bármely bázisával, hogy konkrét alapon mozogjon a logaritmusokba, amelyek értékei ismertek vagy képesek megtalálni őket. Általában, a kezdeti logaritmusa az átmenet képletű átvisszük logaritmusai az egyik bázisok 2, E vagy 10, mivel vannak logaritmusai táblázatok, amelyek lehetővé teszik számukra, hogy kiszámítja az értékek egy bizonyos fokú pontosságot. A következő pontban megmutatjuk, hogyan történik meg.

Logarov asztalok, azok használatuk

A logaritmusok értékeinek megközelítőleg kiszámításához használható. táblák Logarovmov. A logaritmusok leggyakrabban használt táblázata 2, a természetes logaritmusok táblázata és a tizedes logaritmusok táblázata. A decimális számrendszerben való munka során kényelmes a logaritmusok táblázata tízen alapulva. Ezzel megtanuljuk megtalálni a logaritmusok értékeit.

A bemutatott táblázat lehetővé teszi egy tízezer pontosságát, hogy megtalálja az 1000-ről 9,9999-ből származó tizedes logaritmusok értékeit (három tizedesjegyű lemezekkel). A logaritmus értékének megállapításának elve a tizedes logaritmusok táblázatával megvizsgálja konkrét példa - Tehát világosabb. Keresse meg az LG1,256-at.

A tizedes logaritmusok bal oldali oszlopában megtaláljuk az 1.256-es szám két első számjegyét, azaz 1,2-et találunk (ezt a számot a kék vonal meglátogatja). Az 1.256-os szám (az 5. számjegy) harmadik számjegye az első vagy az utolsó sorban a kettős vonal bal oldalán található (ez a szám piros vonallal van körözve). Az eredeti 1.256 (számjegyek) negyedik számjegye az első vagy utolsó sorban a kettős vonal jobb oldalán található (ez a szám zöld vonallal kering). Most megtaláljuk a számokat a Logaritmus táblákban a megjelölt vonal metszéspontján, és jelölt oszlopok (ezek a számok narancssárga színűek). A megjelölt számok összege a tizedes logaritmus kívánt értékét adja meg a vessző után a negyedik jel pontosságával, azaz, lG1,236≈0,0969 + 0,0021 \u003d 0,0990.

És lehetséges az alábbi táblázat használata, keresse meg a számjegyek tizedes logaritmusok értékeit, amelyek több mint három számjegyűek a vessző után, valamint 1-9999-ig távoznak? Igen tudsz. Mutassuk meg, hogy ez hogyan történik, a példában.

Kiminálja az LG102,76332 számítását. Először le kell írnod szám B. szabvány videó : 102,76332 \u003d 1,0276332 · 10 2. Ezt követően a Mantissa-t a vessző után meg kell kerekíteni a harmadik jelnek, van 1,0276332 · 10 2 ≈1,028 · 10 2Ugyanakkor a kezdeti decimális logaritmus megközelítőleg megegyezik a kapott szám logaritmával, vagyis elfogadjuk az LG102,76332≈LG1,76332 · 10 2. Most alkalmazza a logaritmus tulajdonságokat: lG1,028 · 10 2 \u003d LG1,028 + LG10 2 \u003d LG1,028 + 2. Végül találunk az érték a logaritmus LG1,028 az asztalon tizedes logaritmusok LG1,028≈0,0086 + 0,0034 \u003d 0,012. Ennek eredményeképpen a logaritmum kiszámításának teljes folyamata így néz ki: lG102,76332 \u003d LG1,0276332 · 10 2 ≈LG1,028 · 10 2 \u003d lG1,028 + LG10 2 \u003d LG1,028 + 2≈0,012 + 2 \u003d 2.012.

Összefoglalva, érdemes megjegyezni, hogy a tizedes naplók táblázata segítségével kiszámíthatja a logaritmum hozzávetőleges értékét. Ehhez elegendő az átmeneti képlet használata a decimális logaritmusokhoz, találja meg értékeit az asztalon, és végezze el a fennmaradó számításokat.

Például számítsa ki a log 2 3-at. Az átmeneti képlet a logaritmus új alapjához. A tizedesnaplók táblázatából LG3≈0,4771 és LG2≈0,30110. Ilyen módon .

Bibliográfia.

• Kolmogorov A.n., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.p. et al. algebra és kezdeti elemzés: egy tankönyv az általános oktatási intézmények 10 - 11 osztályára.
• Gusev V.a., Mordkovich A.g. Matematika (a pályázóknak a műszaki iskolákhoz való juttatás).

alapvető tulajdonságok.

1. lOGAX + LOGAY \u003d LOGA (X · Y);
2. lAGAX - LOGAY \u003d LOGA (X: Y).

ugyanazok az alapok

Log6 4 + log6 9.

Most egy kicsit bonyolítja a feladatot.

Példák a logaritmus megoldásokra

Mi van, ha a logaritmus bázisában vagy érvénél egy fokozatba kerül? Ezután a következő szabályok szerint ki lehet venni a logaritmus jelből:

Természetesen mindezek a szabályok értelmezik az OTZ Logaritmusnak való megfelelést: a\u003e 0, A ≠ 1, X\u003e

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Új alapra való áttérés

LAXIX LOGAX. Ezután bármely olyan C-nál, hogy a C\u003e 0 és C ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Lásd még:

A logaritmus fő tulajdonságai

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

A kiállító 2,718281828 .... Ahhoz, hogy emlékezzen a kiállítóra, felfedezheti a szabályt: A kiállító 2,7 és kétszerese a Leo Nikolayevich Tolstoy születési évének éve.

A logaritmus fő tulajdonságai

Ezt a szabályt ismeri, ismeri a kiállító pontos értékét, és az Oroszlán Tolstoy születési dátumát.

Példák a logaritmia-ra

Provate kifejezések

1. példa.
de). x \u003d 10AS ^ 2 (A\u003e 0, C\u003e 0).

Tulajdonságok szerint 3.5 kiszámítja

2.

3.

Példa 2. Keresse meg az x-et

3. példa Hagyja, hogy a logaritmusok értéke legyen

Számítsa ki a naplót (x), ha

A logaritmus fő tulajdonságai

Logaritmusok, mint bármely szám, hajtható, levonható és konvertálható. De mivel a logaritmusok nem teljesen rendes számok, vannak saját szabályok, amelyeket hívnak alapvető tulajdonságok.

Ezeknek a szabályoknak szükségszerűen tudják - komoly logaritmikus feladatot nem oldunk meg nélkülük. Ezenkívül meglehetősen kicsit - minden nap megtanulható. Tehát folytassa.

A logaritmusok hozzáadása és kivonása

Tekintsünk két logaritmust azonos alapok: Logax és Logay. Ezután összehajtható és levonható, és:

1. lOGAX + LOGAY \u003d LOGA (X · Y);
2. lAGAX - LOGAY \u003d LOGA (X: Y).

Tehát a logaritmusok mennyisége megegyezik a munka logaritmával, és a különbség a magánfogantyú. Kérjük, vegye figyelembe: A legfontosabb pont itt van ugyanazok az alapok. Ha az alapítványok eltérőek, ezek a szabályok nem működnek!

Ezek a képletek segítenek kiszámítani a logaritmikus kifejezést akkor is, ha az egyes részeket nem veszik figyelembe (lásd a "Logaritmus" leckét). Vessen egy pillantást a példákra - és győződjön meg róla:

Mivel a logaritmusok bázisai ugyanazok, használjuk az összeg összegét:
log6 4 + log6 9 \u003d log6 (4,4) \u003d log6 36 \u003d 2.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: Log2 48 - Log2 3.

Az alapok azonosak a különbség formulával:
log2 48 - Log2 3 \u003d Log2 (48: 3) \u003d log2 16 \u003d 4.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: Log3 135 - Log3 5.

Ismét az alapítványok azonosak, ezért van:
log3 135 - Log3 5 \u003d Log3 (135: 5) \u003d log3 27 \u003d 3.

Amint látja, a kezdeti kifejezések "rossz" logaritmusokból állnak, amelyek külön megvizsgálhatók külön. De az átalakulás után meglehetősen normál számokat kapunk. Sokan épülnek erre a tényre. tesztpapírok. De mi a kontroll - az ilyen kifejezések teljesek (néha - szinte változatlanok) a vizsgán.

Vezetői fokozat a logaritmusból

Könnyű látni, hogy az utolsó szabály az első kettőt követi. De jobb, ha emlékezni rá, egyes esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

Természetesen ezeket a szabályokat van értelme, ha megfelel az Ötz Logarithm: A\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0. És még: megtanulják alkalmazni összes képlet nem csak balról jobbra, hanem éppen ellenkezőleg, azaz Számokat készíthet a logaritmus felé, maga a logaritmushoz. Ez a leggyakrabban szükséges.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: Log7 496.

Megszabaduljon az első képletben szereplő érveléstől:
log7 496 \u003d 6 · Log7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Ne feledje, hogy a denominátorban logaritmus, az alap és az érv pontos diplomák: 16 \u003d 24; 49 \u003d 72. Van:

Azt hiszem, a legfrissebb példa magyarázatot igényel. Hol volt a logaritmusok? Samo előtt utolsó pillanat Csak a denominátorral dolgozunk.

Formulák logaritmusok. Logaritmusok példák a megoldásokra.

A logaritmus alapját és argumentumát fokozatosan és indikátorok formájában mutatják be - kapott egy "háromszintes" frakciót.

Nézzük meg az alapfrakciót. Egy számlálón és nevezőben ugyanaz a szám: Log2 7. Mivel a log2 7 ≠ 0, akkor csökkenthetjük a frakciót - 2/4 marad a nevezőben. Az aritmetikai szabályok szerint a négyet át lehet vinni a számlálóra, amelyet elvégeztünk. Az eredmény a válasz volt: 2.

Új alapra való áttérés

A logaritmusok hozzáadására és kivonására vonatkozó szabályokról beszélve kifejezetten hangsúlyoztam, hogy csak ugyanazokkal a bázisokkal dolgoznak. És mi van, ha az alapítványok eltérőek? Mi van, ha nem pontosak ugyanolyan számú pontok?

Az új alapra való áttéréshez szükséges formulák jönnek létre. Tétel formájában megfogalmazzuk őket:

LAXIX LOGAX. Ezután bármely olyan C-nál, hogy a C\u003e 0 és C ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Különösen, ha c \u003d x-et helyezünk, kapunk:

A második képletből következik, hogy a logaritmus alapja és argumentuma helyeken cserélhető, de ugyanakkor a "átfordul" kifejezés, azaz. A logaritmus kiderül, hogy a nevezőben van.

Ezek a formulák ritkák a hagyományos numerikus kifejezésekben. Értékeli, hogy mennyire kényelmesek, csak a logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során lehetséges.

Vannak azonban olyan feladatok, amelyek általában nem oldhatók meg, mint egy új bázisra való áttérés. Tekintsünk egy ilyen ilyeneket:

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log5 16 · log2 25.

Ne feledje, hogy mindkét logaritmus érvei pontosak. Vegyük ki a mutatókat: log5 16 \u003d log5 24 \u003d 4log5 2; Log2 25 \u003d log2 52 \u003d 2log2 5;

És most "invert" a második logaritmus:

Mivel a munka nem változik a szorzók átrendeződéséből, nyugodtan megváltoztattuk a négy és a kettőt, majd logaritmusokkal rendeztük.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: Log9 100 · LG 3.

Az első logaritmus alapja és érvelése - pontos fokozatok. Megírjuk és megszabadulunk a mutatóktól:

Most megszabaduljon a tizedes logaritmumtól, az új alapra fordulva:

Alapvető logaritmikus identitás

Gyakran előfordul, hogy a megoldás szükséges ahhoz, hogy egy számot logaritmusként küldjön egy meghatározott alaphoz. Ebben az esetben a képletek segítenek nekünk:

Az első esetben az N szám az argumentum mértékének mutatójává válik. Az N szám teljesen bármilyen lehet, mert ez csak egy logaritmus érték.

A második képlet valójában egy parafflasszált definíció. Ez az úgynevezett :.

Tény, hogy mi fog történni, ha a B szám olyan mértékben van, hogy a B szám ebből a mértékben megadja az A számot? Jobb: Ez ugyanaz a szám. Óvatosan olvassa el ezt a bekezdést - sok "lóg" rajta.

Mint az átmeneti képletek egy új bázishoz, a fő logaritmikus identitás néha az egyetlen lehetséges megoldás.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Ne feledje, hogy a log25 64 \u003d log5 8 - csak egy négyzetet készített az alaptól és a logaritmus argumentumától. Tekintettel az azonos bázissal rendelkező fokozatok szorzására vonatkozó szabályok szerint:

Ha valaki nem ismeri, akkor ez volt az Ege 🙂 valóságos feladata

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

Összefoglalva, két identitást adok, hogy nehéz megnevezni a tulajdonságokat - inkább ez a logaritmus meghatározásának következménye. Folyamatosan megtalálhatók a feladatokban, és amelyek meglepőek, problémákat okoznak még a "fejlett" diákok számára is.

1. logala \u003d 1. Emlékszel az időkre és örökké: A logaritmus bármely bázison a nagyon bázisból egyenlő.
2. logana 1 \u003d 0. Az A bázis bármilyen értelme lehet, de ha az argumentum egy egység - a logaritmus nulla! Mivel a0 \u003d 1 a definíció közvetlen következménye.

Ez minden tulajdonság. Győződjön meg róla, hogy a gyakorlatban alkalmazza őket a gyakorlatban! Töltse le a kiságyat a lecke elején, nyomtassa ki - és megoldja a feladatokat.

Lásd még:

A B számok logaritmusa a kifejezésen alapul. Számítsa ki a logaritmumot, hogy ilyen fokozatot találjon x (), amelyen az egyenlőség történik

A logaritmus fő tulajdonságai

Ezeknek a tulajdonságoknak tudniuk kell, mert alapul, szinte minden feladat megoldódott, és a példák a logaritmusokhoz kapcsolódnak. A fennmaradó egzotikus tulajdonságok a matematikai manipulációkat eredményezhetik ezekkel a képletekkel

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Az összeg képletének és a logaritmusok (3.4) különbségeinek számításai meglehetősen gyakoriak. A többiek kissé bonyolultak, de számos feladat nélkül elengedhetetlen a komplex kifejezések egyszerűsítése és értékeik kiszámítása.

Vannak logaritmusok

Az egyik közös logaritmus olyan, amelyben az alap sima tíz, exponenciális vagy kétszer.
Tíz alapján a logaritmus szokásos, hogy hívja a tizedes logaritmust, és egyszerűsítse az LG (X).

A rekordból nyilvánvaló, hogy a rekord alapjait nem írták. Például

A természetes logaritmus olyan logaritmus, amelyre a kiállító az LN (X) alapul.

A kiállító 2,718281828 .... Ahhoz, hogy emlékezzen a kiállítóra, felfedezheti a szabályt: A kiállító 2,7 és kétszerese a Leo Nikolayevich Tolstoy születési évének éve. Ezt a szabályt ismeri, ismeri a kiállító pontos értékét, és az Oroszlán Tolstoy születési dátumát.

És egy fontosabb logaritmus az alap két kijelölésére

A logaritmus funkció származéka egyenlő egy változóval osztott egységgel

Az integrált vagy primitív logaritmust függőség határozza meg

A fenti anyag elegendő ahhoz, hogy megoldja a logaritmusokkal és a logaritmációval kapcsolatos feladatok széles skáláját. Az anyag asszimilációjához csak néhány közös példát adok iskolai program és egyetemek.

Példák a logaritmia-ra

Provate kifejezések

1. példa.
de). x \u003d 10AS ^ 2 (A\u003e 0, C\u003e 0).

Tulajdonságok szerint 3.5 kiszámítja

2.
A különbség tulajdonságai logaritmusok vannak

3.
Tulajdonságok használata 3.5 Keresés

A komplex kifejezést számos szabályt használva egyszerűsítik az elme

A logaritmus értékeinek megtalálása

Példa 2. Keresse meg az x-et

Döntés. A 3. és 13 tulajdonság utolsó időtartamára vonatkozó számításhoz

Helyettesítjük, hogy írjunk és legyőzzük

Mivel az alapok egyenlőek, akkor a kifejezések egyenlő

Logaritmia. Első szint.

Hagyja a logaritmusok értékét

Számítsa ki a naplót (x), ha

Megoldás: a változó a logaritmus átalakítása a feltételek összege révén

Ezen ismerősen a logaritmusokkal és azok tulajdonságaival kezdődik. A számítások gyakorlása, a gyakorlati készségek gazdagítása - a megszerzett tudás hamarosan szükség lesz a logaritmikus egyenletek megoldására. Miután tanulmányozta az ilyen egyenletek megoldásának alapvető módszereit, bővítjük ismereteit egy másik fontos téma - logaritmikus egyenlőtlenségek ...

A logaritmus fő tulajdonságai

Logaritmusok, mint bármely szám, hajtható, levonható és konvertálható. De mivel a logaritmusok nem teljesen rendes számok, vannak saját szabályok, amelyeket hívnak alapvető tulajdonságok.

Ezeknek a szabályoknak szükségszerűen tudják - komoly logaritmikus feladatot nem oldunk meg nélkülük. Ezenkívül meglehetősen kicsit - minden nap megtanulható. Tehát folytassa.

A logaritmusok hozzáadása és kivonása

Tekintsünk két logaritmust ugyanazokkal a bázisokkal: LaGax és Logay. Ezután összehajtható és levonható, és:

1. lOGAX + LOGAY \u003d LOGA (X · Y);
2. lAGAX - LOGAY \u003d LOGA (X: Y).

Tehát a logaritmusok mennyisége megegyezik a munka logaritmával, és a különbség a magánfogantyú. Kérjük, vegye figyelembe: A legfontosabb pont itt van ugyanazok az alapok. Ha az alapítványok eltérőek, ezek a szabályok nem működnek!

Ezek a képletek segítenek kiszámítani a logaritmikus kifejezést akkor is, ha az egyes részeket nem veszik figyelembe (lásd a "Logaritmus" leckét). Vessen egy pillantást a példákra - és győződjön meg róla:

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log6 4 + log6 9.

Mivel a logaritmusok bázisai ugyanazok, használjuk az összeg összegét:
log6 4 + log6 9 \u003d log6 (4,4) \u003d log6 36 \u003d 2.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: Log2 48 - Log2 3.

Az alapok azonosak a különbség formulával:
log2 48 - Log2 3 \u003d Log2 (48: 3) \u003d log2 16 \u003d 4.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: Log3 135 - Log3 5.

Ismét az alapítványok azonosak, ezért van:
log3 135 - Log3 5 \u003d Log3 (135: 5) \u003d log3 27 \u003d 3.

Amint látja, a kezdeti kifejezések "rossz" logaritmusokból állnak, amelyek külön megvizsgálhatók külön. De az átalakulás után meglehetősen normál számokat kapunk. Ebben a tényben sok tesztmunkát építettek. De mi a kontroll - az ilyen kifejezések teljesek (néha - szinte változatlanok) a vizsgán.

Vezetői fokozat a logaritmusból

Most egy kicsit bonyolítja a feladatot. Mi van, ha a logaritmus bázisában vagy érvénél egy fokozatba kerül? Ezután a következő szabályok szerint ki lehet venni a logaritmus jelből:

Könnyű látni, hogy az utolsó szabály az első kettőt követi. De jobb, ha emlékezni rá, egyes esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

Természetesen ezeket a szabályokat van értelme, ha megfelel az Ötz Logarithm: A\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0. És még: megtanulják alkalmazni összes képlet nem csak balról jobbra, hanem éppen ellenkezőleg, azaz Számokat készíthet a logaritmus felé, maga a logaritmushoz.

A logaritmus megoldása

Ez a leggyakrabban szükséges.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: Log7 496.

Megszabaduljon az első képletben szereplő érveléstől:
log7 496 \u003d 6 · Log7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Ne feledje, hogy a denominátorban logaritmus, az alap és az érv pontos diplomák: 16 \u003d 24; 49 \u003d 72. Van:

Azt hiszem, a legfrissebb példa magyarázatot igényel. Hol volt a logaritmusok? Az utolsó pillanatig csak a denominátorral dolgozunk. A logaritmus alapját és argumentumát fokozatosan és indikátorok formájában mutatják be - kapott egy "háromszintes" frakciót.

Nézzük meg az alapfrakciót. Egy számlálón és nevezőben ugyanaz a szám: Log2 7. Mivel a log2 7 ≠ 0, akkor csökkenthetjük a frakciót - 2/4 marad a nevezőben. Az aritmetikai szabályok szerint a négyet át lehet vinni a számlálóra, amelyet elvégeztünk. Az eredmény a válasz volt: 2.

Új alapra való áttérés

A logaritmusok hozzáadására és kivonására vonatkozó szabályokról beszélve kifejezetten hangsúlyoztam, hogy csak ugyanazokkal a bázisokkal dolgoznak. És mi van, ha az alapítványok eltérőek? Mi van, ha nem pontosak ugyanolyan számú pontok?

Az új alapra való áttéréshez szükséges formulák jönnek létre. Tétel formájában megfogalmazzuk őket:

LAXIX LOGAX. Ezután bármely olyan C-nál, hogy a C\u003e 0 és C ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Különösen, ha c \u003d x-et helyezünk, kapunk:

A második képletből következik, hogy a logaritmus alapja és argumentuma helyeken cserélhető, de ugyanakkor a "átfordul" kifejezés, azaz. A logaritmus kiderül, hogy a nevezőben van.

Ezek a formulák ritkák a hagyományos numerikus kifejezésekben. Értékeli, hogy mennyire kényelmesek, csak a logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során lehetséges.

Vannak azonban olyan feladatok, amelyek általában nem oldhatók meg, mint egy új bázisra való áttérés. Tekintsünk egy ilyen ilyeneket:

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log5 16 · log2 25.

Ne feledje, hogy mindkét logaritmus érvei pontosak. Vegyük ki a mutatókat: log5 16 \u003d log5 24 \u003d 4log5 2; Log2 25 \u003d log2 52 \u003d 2log2 5;

És most "invert" a második logaritmus:

Mivel a munka nem változik a szorzók átrendeződéséből, nyugodtan megváltoztattuk a négy és a kettőt, majd logaritmusokkal rendeztük.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: Log9 100 · LG 3.

Az első logaritmus alapja és érvelése - pontos fokozatok. Megírjuk és megszabadulunk a mutatóktól:

Most megszabaduljon a tizedes logaritmumtól, az új alapra fordulva:

Alapvető logaritmikus identitás

Gyakran előfordul, hogy a megoldás szükséges ahhoz, hogy egy számot logaritmusként küldjön egy meghatározott alaphoz. Ebben az esetben a képletek segítenek nekünk:

Az első esetben az N szám az argumentum mértékének mutatójává válik. Az N szám teljesen bármilyen lehet, mert ez csak egy logaritmus érték.

A második képlet valójában egy parafflasszált definíció. Ez az úgynevezett :.

Tény, hogy mi fog történni, ha a B szám olyan mértékben van, hogy a B szám ebből a mértékben megadja az A számot? Jobb: Ez ugyanaz a szám. Óvatosan olvassa el ezt a bekezdést - sok "lóg" rajta.

Mint az átmeneti képletek egy új bázishoz, a fő logaritmikus identitás néha az egyetlen lehetséges megoldás.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Ne feledje, hogy a log25 64 \u003d log5 8 - csak egy négyzetet készített az alaptól és a logaritmus argumentumától. Tekintettel az azonos bázissal rendelkező fokozatok szorzására vonatkozó szabályok szerint:

Ha valaki nem ismeri, akkor ez volt az Ege 🙂 valóságos feladata

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

Összefoglalva, két identitást adok, hogy nehéz megnevezni a tulajdonságokat - inkább ez a logaritmus meghatározásának következménye. Folyamatosan megtalálhatók a feladatokban, és amelyek meglepőek, problémákat okoznak még a "fejlett" diákok számára is.

1. logala \u003d 1. Emlékszel az időkre és örökké: A logaritmus bármely bázison a nagyon bázisból egyenlő.
2. logana 1 \u003d 0. Az A bázis bármilyen értelme lehet, de ha az argumentum egy egység - a logaritmus nulla! Mivel a0 \u003d 1 a definíció közvetlen következménye.

Ez minden tulajdonság. Győződjön meg róla, hogy a gyakorlatban alkalmazza őket a gyakorlatban! Töltse le a kiságyat a lecke elején, nyomtassa ki - és megoldja a feladatokat.

Mondd el a definícióját. És így logaritmus számok b. Alapján dea szám kiadásának mértékének mutatójaként határozzák meg a.Számot kapjon b. (Logaritmus csak pozitív számban létezik).

Ebből a megfogalmazásból következik, hogy a számítás következik be x \u003d log A begyenértékű az egyenlet megoldásával egy x \u003d b. Például, log 2 8 \u003d 3mivel 8 = 2 3 . A logaritmus megfogalmazása lehetővé teszi, hogy igazolja, hogy ha b \u003d amajd logaritmus számok b. Alapján a. Holló tól től. Ugyancsak világos, hogy a logariting témája szorosan összekapcsolódik a szám témájával.

Logaritmusokkal, mint bármely számmal, elvégezhető addíciós műveletek, kivonás és átalakul minden módon. De annak köszönhető, hogy a logaritmusok nem teljesen rendes számok, itt vannak különleges szabályaik alapvető tulajdonságok.

A logaritmusok hozzáadása és kivonása.

Vegyünk két logaritmust ugyanazokkal a bázisokkal: napló egy X. és napló Y.. Ezután lehetséges, hogy lehetővé tegye a kiegészítést és a kivonási műveleteket:

napló egy x + log A y \u003d log A (x · y);

napló egy X - Napló Y \u003d log A (x: y).

napló A.(x. 1 . x. 2 . x. 3 ... x K.) = napló egy X. 1 + napló egy X. 2 + napló egy X. 3 + ... + napló egy x k.

Nak,-nek A logaritmus tételek privátaka logaritmus másik tulajdonát kaphat. Ez jól ismert, hogy a napló A.1 \u003d 0,

napló. A. 1 / B.\u003d Napló. A.1 - Napló. B.\u003d - Napló. B..

És ezért az egyenlőség történik:

napló 1 / B \u003d - Napló b.

Két kölcsönösen fordított szám logaritmusaimajdnem az alap különbözik egymástól, kizárólag ismerik egymástól. Így:

Log 3 9 \u003d - Log 3 1/9; Log 5 1/125 \u003d -log 5 125.

Logaritmum B szám (B\u003e 0) A (A\u003e 0, A ≠ 1) alapján - az a diploma, amelyben az A számot meg kell tenni a b.

A l logarithm szám a 10 alapján írható lg (b), és logaritmus az e (természetes logaritmus) alapján - ln (b).

Gyakran használják a logaritmusok megoldásakor:

Logaritmus tulajdonságai

Négy alap van logaritmus tulajdonságai.

Legyen a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0 és y\u003e 0.

Tulajdon 1. Logaritmus működik

Logaritmus működik egyenlő a logaritmusok összegével:

log A (x ⋅ y) \u003d napló egy x + log A y

Tulajdonság 2. Privát logaritmus

Logaritmus privát egyenlő a logaritmusok különbségével:

log A (x / y) \u003d napló x - Napló y

Tulajdonság 3. Logaritmus

Logaritmus fok Ez egyenlő a logaritmus fokával:

Ha a logaritmus alapja a fokozatban van, a másik képlet működik:

Tulajdonság 4. Logaritmus gyökér

Ez a tulajdonság a fokozat logaritmus tulajdonságaiból származhat, mivel az N-TH-fok gyökere 1 / N értékkel egyenlő:

A logaritmumból való áttérés képlete az egyik bázisba a logaritmusba egy másik bázissal

Ezt a képletet gyakran használják a logarithmia különböző feladatainak megoldásakor:

Privát eset:

A logaritmusok összehasonlítása (egyenlőtlenség)

Hagyjuk, hogy 2 funkciója f (x) és g (x) logaritmusok alatt ugyanazokkal a bázisokkal, és köztük az egyenlőtlenség jele:

Összehasonlításuk, először meg kell néznie a logaritmusok bázisát:

• Ha a\u003e 0, akkor f (x)\u003e g (x)\u003e 0
• Ha 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

A logaritmusok problémáinak megoldása: Példák

Feladatok logaritmusokkal tartalmazza az egge összetétele A 11. fokozatú matematikával az 5. feladatban és a 7. feladatban megtalálhatja a weboldalunkon lévő megoldásokat a vonatkozó szakaszokban. Továbbá a logaritmusokkal rendelkező feladatok megtalálhatók a matematika feladatainak viccében. Minden példa található a keresési oldalon.

Mi a logaritmus

A logaritmusokat mindig komplex téma volt iskolai tanfolyam matematika. A logaritmus számos különböző definíciója van, de a legtöbb tankönyv valamilyen oknál fogva használja a legösszetettebb és sikertelen.

A logaritmust egyszerűen és világosan meghatározzuk. Ehhez készítsen egy táblázatot:

Tehát, mielőtt levonunk.

Logaritmuss - tulajdonságok, formulák, hogyan kell megoldani

Ha egy számot vesz az alsó sorból, akkor könnyedén megtalálhatja azokat a mértéket, amelyekben a deuce-t meg kell tenni, hogy megkapja ezt a számot. Például, hogy 16-at kapjunk, kettőt kell építeni egy negyedik fokozatba. És hogy 64-et kapj, kettőt kell építeni a hatodik fokozatban. Ez az asztalról látható.

És most - valójában a logaritmus meghatározása:

az X argumentum alapja olyan mértékben, amelyben az A számot meg kell tenni az x szám megszerzéséhez.

Megnevezés: Napló A X \u003d B, ahol az A alapja, X egy argumentum, B - valójában, ami egyenlő a logaritmussal.

Például 2 3 \u003d 8 ⇒LOG 2 8 \u003d 3 (a 8-as számhoz tartozó logaritmum a 8-as számból három, mivel 2 3 \u003d 8). Ugyanaz a siker log 2 64 \u003d 6, mivel 2 6 \u003d 64.

Az adott bázis számának logaritmusának megállapításának működését hívják. Tehát kiegészítse az asztalunkat egy új karakterláncgal:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	log 2 8 \u003d 3	log 2 16 \u003d 4	log 2 32 \u003d 5	log 2 64 \u003d 6

Sajnos, nem minden logaritmus olyan egyszerűnek tekinthető. Például próbálja meg megtalálni a log 2 5. számokat 5 Nem az asztalon, de a logika azt sugallja, hogy a logaritmus valahol a szegmensen fekszik. Mert 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Az ilyen számokat irracionálisnak nevezik: a vessző utáni számok a végtelenségig írhatók, és soha nem ismételtek meg. Ha a logaritmus irracionális, akkor jobb, ha elhagyja: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Fontos megérteni, hogy a logaritmus két változó (bázis és argumentum) kifejezés. Sokan először összezavarják, ahol alapul szolgál, és hol van az érv. A bosszantó félreértések elkerülése érdekében csak nézze meg a képet:

Előttünk semmi más, mint a logaritmus definíciója. Emlékezik: a logaritmus fokozatAmelyben az alapítványt meg kell tenni, hogy érvét kapjanak. Ez az alapítvány, amely egy fokozatba épül - a képen piros színű. Kiderül, hogy az alap mindig a földszinten van! Ez a csodálatos szabály, amit az első leckében elmondom a diákjaimnak - és nem merül fel zavart.

Hogyan kell számolni Logaritmus

A definícióval foglalkozunk - továbbra is megtanuljuk, hogy fontolja meg a logaritmusokat, azaz Megszabaduljon a "napló" jeltől. Meg kell kezdeni, megjegyezzük, hogy két fontos tény a definícióból következik:

1. Az argumentum és az alap mindig nagyobbnak kell lennie, mint nulla. Ez a racionális mutató mértékének meghatározásából következik, amelyre a logaritmus meghatározása csökken.
2. Az alapnak eltérőnek kell lennie az egységetől, mivel az egység vagy a fokozathoz való egység továbbra is egység. Ennek köszönhetően a "mennyit kell elhelyezni a készüléket, hogy egy odaítást kapjanak" megfosztott jelentés. Nincs ilyen fokozat!

Az ilyen korlátozásokat hívják a megengedett értékek területe (OTZ). Kiderül, hogy a páratlan logaritmus így néz ki: log A X \u003d B ⇒x\u003e 0, A\u003e 0, A ≠ 1.

Ne feledje, hogy a B számon (a logaritmus értéke) nincs korlátozásai. Például a logaritmus negatív lehet: log 2 0,5 \u003d -1, mert 0,5 \u003d 2 -1.

Mindazonáltal most csak numerikus kifejezéseket figyelünk meg, ahol az OTZ Logaritmus nem szükséges. Minden korlátozást már figyelembe veszik a feladatok fordítói. De amikor a logaritmikus egyenletek és az egyenlőtlenségek mennek, az OTZ követelményei kötelezővé válnak. Valójában a bázis és az érvelésnél nagyon indokolatlan struktúrák állhatnak, amelyek szükségszerűen megfelelnek a fenti korlátozásoknak.

Most tekintse meg a logaritmusok kiszámításának általános rendszerét. Három lépésből áll:

1. Küldje el az A és Argumentumot X formájában a minimális alap, egy nagy egység. Az út mentén jobb megszabadulni a tizedes frakcióktól;
2. Megoldani a B egyenlethez képest: X \u003d A B;
3. A kapott B szám a válasz lesz.

Ez minden! Ha a logaritmus irracionális, akkor az első lépésben látható lesz. A követelmény, hogy a bázis egységesebb volt, nagyon fontos: csökkenti a hiba valószínűségét, és jelentősen leegyszerűsíti a számításokat. Hasonló az S. tizedes frakciók: Ha azonnal átadja őket rendes, a hibák időnként kisebbek lesznek.

Lássuk, hogyan működik ez a rendszer konkrét példákon:

Egy feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 5 25

1. Az alapot és az érveket öt: 5 \u003d 5 1 fokként mutassa be; 25 \u003d 5 2;

Engedje meg és oldja meg az egyenletet:
log 5 25 \u003d B ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

2. Megkapta a választ: 2.

Egy feladat. Számítsa ki a logaritmust:

Egy feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 4 64

1. Képzelje el az alapot és az érveket, mint kétfokozat: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
2. Engedje meg és oldja meg az egyenletet:
   log 4 64 \u003d B ⇒ (2 2) B \u003d 2 6 ⇒2 2B \u003d 2 6 ⇒2B \u003d 6 ⇒ B \u003d 3;
3. Megkapta a választ: 3.

Egy feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 16 1

1. Képzelje el az alapot és az érveket, mint kettő: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
2. Engedje meg és oldja meg az egyenletet:
   log 16 1 \u003d B ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒2 4b \u003d 2 0 ⇒4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
3. Megkapta a választ: 0.

Egy feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 7 14

1. Az alapot és az érvét, mint hét: 7 \u003d 7 1; 14 A hét fokozat formájában nem tűnik, mivel 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Az előző pontból következik, hogy a logaritmust nem veszik figyelembe;
3. A válasz nem változás: log 7 14.

Kis megjegyzés az utolsó példához. Hogyan lehet megbizonyosodni arról, hogy a szám nem egy másik szám pontos mértéke? Nagyon egyszerű - elég ahhoz, hogy egyszerű tényezőkön lebomlik. Ha legalább két különböző tényező van a bomlásban, akkor a szám nem pontos mértékű.

Egy feladat. Tudja meg, hogy a szám pontos foka: 8; 48; 81; 35; tizennégy.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - Pontos fokozat, mert A multiplikátor csak egy;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - Ez nem pontos mértékű, mivel két tényező van: 3 és 2;
81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - Pontos fokozat;
35 \u003d 7 · 5 - ismét nem pontos mértékű;
14 \u003d 7 · 2 - ismét, nem pontos mértékben;

Ne feledje, hogy egyszerű számok Mindig maguk pontos foka.

Tizedes logaritmus

Néhány logaritmus olyan gyakran fordul elő, hogy különleges név és kijelölés.

az X argumentumból az alap 10, azaz a logaritmum, azaz A 10 számot fel kell emelni, hogy megkapja az x számot. Megnevezés: LG X.

Például, LG 10 \u003d 1; LG 100 \u003d 2; LG 1000 \u003d 3 - stb. Stb.

Mostantól, amikor a tankönyv találkozik azzal a kifejezéssel, mint a "Find LG 0.01", tudom: ez nem egy hiba. Ez egy decimális logaritmus. Ha azonban szokatlan ilyen megjelölésre, akkor mindig átírható:
Lg x \u003d log 10 x

Minden, ami igaz a közönséges logaritmusok számára igaz, decimális.

Természetes logaritmus

Van egy másik logaritmus, amelynek saját megnevezése van. Bizonyos értelemben még fontosabb, mint a tizedes. Beszélgetünk A természetes logaritmusról.

az X argumentumból egy logaritmus az e, azaz Az e-es számot fel kell emelni, hogy megkapja az x-es számot. Megnevezés: LN X.

Sokan megkérdezik: Mi mást az e-es számban? Ez egy irracionális szám, pontos értéke, hogy megtalálja és írja lehetetlen. Csak az első számadatokat adom:
e \u003d 2,718281828459 ...

Nem fogjuk elmélyíteni, hogy ez a szám, és miért van szüksége. Ne feledje, hogy e a természetes logaritmus alapja:
ln x \u003d log e x

Így, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; Ln e 16 \u003d 16 - stb Másrészt az LN 2 irracionális szám. Általánosságban elmondható, hogy a racionális szám természetes logaritmusa irracionális. Emellett természetesen egységek: ln 1 \u003d 0.

A természetes logaritmusok esetében a rendes logaritmusokra vonatkozó szabályok érvényesek.

Lásd még:

Logaritmus. Logaritmus tulajdonságai (logaritmus fok).

Hogyan kell benyújtani egy számot egy logaritmus formájában?

Használjuk a logaritmus definícióját.

A Logaritmus olyan mutatója, amikor az alapot meg kell tenni, hogy a számot a logaritmus jele alatt kapja meg.

Így, hogy egy bizonyos számú C számot képviseljen egy logaritmus formájában, amely egy, ugyanolyan bázissal kell elhelyezni a logaritmus aláírása alatt, mint a logaritmus alapja, és a rögzítés mértéke ez a szám C:

Logaritmus formájában elképzelhető bármilyen szám - pozitív, negatív, egész, frakcionális, racionális, irracionális:

Hogy az ellenőrzés vagy vizsga stresszes körülményeiben ne zavarja az A és C-t, használhat ilyen emlékezetszabályt:

mi a földszinten, hogy a tetején menj fel.

Például be kell küldenie a 2. számot logaritmusként az alap alapján 3.

Két számunk van - 2 és 3. Ezek a számok az alapja és mutatója, hogy a logaritmus jele alatt írjuk. Továbbra is meghatározza, hogy ezekből a számokból le kell írni, a diploma alapjául, és amely a mutatóban van.

A logaritmus rekord 3-as alapja az alján található, ez azt jelenti, hogy amikor a két logaritmus formájában a 3, 3 alapú logaritmus formájában jelenítjük meg az alapot.

2 a hármas felett áll. És a szekülés mértékében leírjuk az első háromat, azaz a diploma szempontjából:

Logaritmia. Első szint.

Logaritmia

Logaritmus Pozitív szám b. Alapján a.hol a\u003e 0, A ≠ 1, a szám jelzője, amelyben a számot ki kell adni a., Megszerezni b..

A logaritmus meghatározása Röviden rögzítheti ezt:

Ez az egyenlőség tisztességes, amikor b\u003e 0, A\u003e 0, A ≠ 1. Általában hívják logaritmikus identitás.
A logaritmus helyét hívják logariting.

Logarov tulajdonságok:

Logaritmus működik:

Logaritmus privát részleg:

A logaritmum helyének cseréje:

Logaritmus:

Logaritmus root:

Logaritmus egy hatalmi bázissal:

Tizedes és természetes logaritmusok.

Tizedes logaritmus A számokat az alap 10 számának logaritmusának nevezik, és írja a & nbsp lg b.
Természetes logaritmus A számok hívják a szám logaritmumát e.hol e. - irracionális szám, körülbelül 2,7. Ugyanakkor írnak ln-et b..

Egyéb algebra és geometria jegyzetek

A logaritmus fő tulajdonságai

A logaritmus fő tulajdonságai

Logaritmusok, mint bármely szám, hajtható, levonható és konvertálható. De mivel a logaritmusok nem teljesen rendes számok, vannak saját szabályok, amelyeket hívnak alapvető tulajdonságok.

Ezeknek a szabályoknak szükségszerűen tudják - komoly logaritmikus feladatot nem oldunk meg nélkülük. Ezenkívül meglehetősen kicsit - minden nap megtanulható. Tehát folytassa.

A logaritmusok hozzáadása és kivonása

Tekintsünk két logaritmust ugyanazokkal a bázisokkal: naplózni egy x és naplózni Y. Ezután összehajtható és levonható, és:

1. napló egy x + log A y \u003d log A (x · y);
2. napló egy X - Napló Y \u003d log A (x: y).

Tehát a logaritmusok mennyisége megegyezik a munka logaritmával, és a különbség a magánfogantyú. Kérjük, vegye figyelembe: A legfontosabb pont itt van ugyanazok az alapok. Ha az alapítványok eltérőek, ezek a szabályok nem működnek!

Ezek a képletek segítenek kiszámítani a logaritmikus kifejezést akkor is, ha az egyes részeket nem veszik figyelembe (lásd a "Logaritmus" leckét). Vessen egy pillantást a példákra - és győződjön meg róla:

Napló 6 4 + log 6 9.

Mivel a logaritmusok bázisai ugyanazok, használjuk az összeg összegét:
log 6 4 + log 6 9 \u003d log 6 (4,4 · 9) \u003d log 6 36 \u003d 2.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 2 48 - Log 2 3.

Az alapok azonosak a különbség formulával:
log 2 48 - Nap 2 3 \u003d log 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 3 135 - Log 3 5.

Ismét az alapítványok azonosak, ezért van:
log 3 135 - Log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d log 3 27 \u003d 3.

Amint látja, a kezdeti kifejezések "rossz" logaritmusokból állnak, amelyek külön megvizsgálhatók külön. De az átalakulás után meglehetősen normál számokat kapunk. Ebben a tényben sok tesztmunkát építettek. De mi a kontroll - az ilyen kifejezések teljesek (néha - szinte változatlanok) a vizsgán.

Vezetői fokozat a logaritmusból

Most egy kicsit bonyolítja a feladatot. Mi van, ha a logaritmus bázisában vagy érvénél egy fokozatba kerül? Ezután a következő szabályok szerint ki lehet venni a logaritmus jelből:

Könnyű látni, hogy az utolsó szabály az első kettőt követi. De jobb, ha emlékezni rá, egyes esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

Természetesen ezeket a szabályokat van értelme, ha megfelel az Ötz Logarithm: A\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0. És még: megtanulják alkalmazni összes képlet nem csak balról jobbra, hanem éppen ellenkezőleg, azaz Számokat készíthet a logaritmus felé, maga a logaritmushoz.

A logaritmus megoldása

Ez a leggyakrabban szükséges.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 7 49 6.

Megszabaduljon az első képletben szereplő érveléstől:
log 7 49 6 \u003d 6 · Nap 7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Megjegyezzük, hogy a nevező van logaritmusa, a bázis és az argumentum, amelynek pontos fok: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Nekünk van:

Azt hiszem, a legfrissebb példa magyarázatot igényel. Hol volt a logaritmusok? Az utolsó pillanatig csak a denominátorral dolgozunk. A logaritmus alapját és argumentumát fokozatosan és indikátorok formájában mutatják be - kapott egy "háromszintes" frakciót.

Nézzük meg az alapfrakciót. A számjegy és a denominátor száma azonos szám: napló 2 7. Mivel a log 2 7 ≠ 0, akkor csökkenthetjük a frakciót - 2/4 továbbra is a denominátorban marad. Az aritmetikai szabályok szerint a négyet át lehet vinni a számlálóra, amelyet elvégeztünk. Az eredmény a válasz volt: 2.

Új alapra való áttérés

A logaritmusok hozzáadására és kivonására vonatkozó szabályokról beszélve kifejezetten hangsúlyoztam, hogy csak ugyanazokkal a bázisokkal dolgoznak. És mi van, ha az alapítványok eltérőek? Mi van, ha nem pontosak ugyanolyan számú pontok?

Az új alapra való áttéréshez szükséges formulák jönnek létre. Tétel formájában megfogalmazzuk őket:

Hagyja, hogy a logala egy x legyen. Ezután bármely olyan C-nál, hogy a C\u003e 0 és C ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Különösen, ha c \u003d x-et helyezünk, kapunk:

A második képletből következik, hogy a logaritmus alapja és argumentuma helyeken cserélhető, de ugyanakkor a "átfordul" kifejezés, azaz. A logaritmus kiderül, hogy a nevezőben van.

Ezek a formulák ritkák a hagyományos numerikus kifejezésekben. Értékeli, hogy mennyire kényelmesek, csak a logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során lehetséges.

Vannak azonban olyan feladatok, amelyek általában nem oldhatók meg, mint egy új bázisra való áttérés. Tekintsünk egy ilyen ilyeneket:

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 5 16 · log 2 25.

Ne feledje, hogy mindkét logaritmus érvei pontosak. Összefoglalom: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4log 5 2; Log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2log 2 5;

És most "invert" a második logaritmus:

Mivel a munka nem változik a szorzók átrendeződéséből, nyugodtan megváltoztattuk a négy és a kettőt, majd logaritmusokkal rendeztük.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 9 100 · LG 3.

Az első logaritmus alapja és érvelése - pontos fokozatok. Megírjuk és megszabadulunk a mutatóktól:

Most megszabaduljon a tizedes logaritmumtól, az új alapra fordulva:

Alapvető logaritmikus identitás

Gyakran előfordul, hogy a megoldás szükséges ahhoz, hogy egy számot logaritmusként küldjön egy meghatározott alaphoz.

Ebben az esetben a képletek segítenek nekünk:

Az első esetben az N szám az argumentum mértékének mutatójává válik. Az N szám teljesen bármilyen lehet, mert ez csak egy logaritmus érték.

A második képlet valójában egy parafflasszált definíció. Ez az úgynevezett :.

Tény, hogy mi fog történni, ha a B szám olyan mértékben van, hogy a B szám ebből a mértékben megadja az A számot? Jobb: Ez ugyanaz a szám. Óvatosan olvassa el ezt a bekezdést - sok "lóg" rajta.

Mint az átmeneti képletek egy új bázishoz, a fő logaritmikus identitás néha az egyetlen lehetséges megoldás.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Ne feledje, hogy log 25 64 \u003d log 5 8 - csak négyzetet készített az alaptól és a logaritmus érvétől. Tekintettel az azonos bázissal rendelkező fokozatok szorzására vonatkozó szabályok szerint:

Ha valaki nem ismeri, akkor ez volt az Ege 🙂 valóságos feladata

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

Összefoglalva, két identitást adok, hogy nehéz megnevezni a tulajdonságokat - inkább ez a logaritmus meghatározásának következménye. Folyamatosan megtalálhatók a feladatokban, és amelyek meglepőek, problémákat okoznak még a "fejlett" diákok számára is.

1. napló A \u003d 1. Emlékszel az időkre és örökké: A logaritmus bármely bázison a nagyon bázisból egyenlő.
2. log A 1 \u003d 0. Az A bázis bármilyen értelme lehet, de ha az argumentum egy egység - a logaritmus nulla! Mivel a 0 \u003d 1 a definíció közvetlen következménye.

Ez minden tulajdonság. Győződjön meg róla, hogy a gyakorlatban alkalmazza őket a gyakorlatban! Töltse le a kiságyat a lecke elején, nyomtassa ki - és megoldja a feladatokat.