Tesseract és n-dimenziós kockák általában. Cybercube – az első lépés a negyedik dimenzióba 4-dimenziós kocka gif

A geometriában hiperkocka- azt n- a négyzet dimenziós analógiája ( n= 2) és kocka ( n= 3). Ez egy zárt, domború alakzat, amely párhuzamos vonalak csoportjaiból áll, amelyek az alakzat szemközti szélein helyezkednek el, és derékszögben kapcsolódnak egymáshoz.

Ez az alak más néven tesserakt(tesserakt). A Tesseract egy kockára utal, a kocka pedig egy négyzetre. Formálisabban a tesseraktot szabályos konvex négydimenziós politópként (politópként) írhatjuk le, amelynek határa nyolc köbös cellából áll.

Az Oxford English Dictionary szerint a tesseractot 1888-ban Charles Howard Hinton alkotta meg, és A New Era of Thought című könyvében használta. A szó a görög "τεσσερες ακτινες" ("négy sugár") szóból alakult ki, négy koordinátatengelye van. Ezenkívül egyes forrásokban ugyanezt az alakot nevezték el tetrakocka(tetrakocka).

n-dimenziós hiperkockának is nevezik n-kocka.

Egy pont egy 0-s méretű hiperkocka. Ha egy pontot hosszegységnyivel mozgat, akkor egy egységnyi hosszúságú szakaszt kap - egy 1-es méretű hiperkockát. Továbbá, ha egy szakaszt hosszegységnyivel merőleges irányban mozgat a szegmens irányába, kapunk egy kockát - egy 2-es méretű hiperkockát. Ha egy négyzetet egy hosszúságegységgel a négyzet síkjára merőleges irányban eltolunk, egy kockát kapunk - egy 3-as méretű hiperkockát. tetszőleges számú dimenzióra általánosítható. Például, ha egy kockát egy egységnyi hosszúsággal mozgat a negyedik dimenzióban, akkor egy tesseraktot kap.

A hiperkockák családja azon kevés szabályos poliéder egyike, amely bármilyen dimenzióban ábrázolható.

Hiperkocka elemek

Dimenziós hiperkocka n van 2 n"oldalak" (az egydimenziós vonalnak 2 pontja van; kétdimenziós négyzetnek - 4 oldala; háromdimenziós kockának - 6 lapja; négydimenziós tesseraktnak - 8 cella). A hiperkocka csúcsainak (pontjainak) száma 2 n(például egy kockához - 2 3 csúcs).

Mennyiség m-dimenziós hiperkockák a határon n-kocka egyenlő

Például egy hiperkocka szegélye 8 kockát, 24 négyzetet, 32 élt és 16 csúcsot tartalmaz.

A hiperkockák elemei

n-kocka	Név	Csúcs (0-él)	Él (1 oldal)	Él (2 oldalas)	Sejt (3 oldalas)	(4 oldalas)	(5 oldalas)	(6 oldalas)	(7 oldalas)	(8 oldalas)
0-kocka	Pont	1
1-kocka	Szakasz	2	1
2-kocka	Négyzet	4	4	1
3 kockás	Kocka	8	12	6	1
4 kockás	Tesseact	16	32	24	8	1
5 kockás	Penterakt	32	80	80	40	10	1
6 kockás	Hexeract	64	192	240	160	60	12	1
7-kocka	Hepteract	128	448	672	560	280	84	14	1
8 kockás	Octract	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-kocka	Generál	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Síkvetítés

A hiperkocka kialakítása a következőképpen ábrázolható:

• Két A és B pont összekapcsolható AB szakaszra.
• Két párhuzamos AB és CD szakasz összekapcsolható ABCD négyzetté.
• Két párhuzamos négyzet ABCD és EFGH összekapcsolható ABCDEFGH kockává.
• Két párhuzamos ABCDEFGH és IJKLMNOP kocka összekapcsolható az ABCDEFGHIJKLMNOP hiperkockává.

Utóbbi szerkezetet nem könnyű elképzelni, de 2D-s vagy 3D-s térre vetülete ábrázolható. Sőt, a 2D-s síkra vetítések hasznosabbak lehetnek, ha át tudjuk rendezni a vetített csúcsok helyzetét. Ilyenkor olyan képeket kaphatunk, amelyek már nem az elemek térbeli viszonyait tükrözik a tesseraktuson belül, hanem a csúcskapcsolatok felépítését szemléltetik, mint az alábbi példákban.

Az első illusztráció azt mutatja be, hogy elvileg hogyan jön létre egy tesseraktum két kocka összekapcsolásával. Ez a diagram hasonló a két négyzet alakú kocka létrehozásának diagramjához. A második diagram azt mutatja, hogy a tesserakt összes éle azonos hosszúságú. Ez a séma arra is kényszeríti, hogy egymáshoz kapcsolódó kockákat keressen. A harmadik diagramban a tesserakt csúcsai az élek mentén az alsó ponthoz viszonyított távolságoknak megfelelően helyezkednek el. Ez a séma abból a szempontból érdekes, hogy a párhuzamos számítások megszervezésekor a csatlakozó processzorok hálózati topológiájának alapsémaként használják: a két csomópont közötti távolság nem haladja meg a 4 élhosszt, és a terhelés kiegyenlítésének sokféle módja van.

Hiperkocka a művészetben

A hiperkocka 1940 óta jelenik meg a tudományos-fantasztikus irodalomban, amikor is Robert Heinlein az "És épített egy görbe házat" című történetében leírt egy házat, amely egy tesserakt alakra épült. A történetben ez a Tovább, ez a ház összedől, és négydimenziós tesseraktummá változik. Ezt követően a hiperkocka számos könyvben és regényben megjelenik.

A "Cube 2: Hypercube" című film nyolc ember történetét meséli el, akik a hiperkockák hálózatában rekedtek.

Salvador Dali festménye "A keresztre feszítés" ("Crucifixion (Corpus Hypercubus)", 1954) a keresztre feszített Jézust ábrázolja egy tesserakt szkennelésen. Ez a festmény a New York-i Metropolitan Museum of Art-ban tekinthető meg.

Következtetés

A hiperkocka az egyik legegyszerűbb négydimenziós objektum, amelynek példáján látható a negyedik dimenzió minden bonyolultsága és szokatlansága. És ami lehetetlennek tűnik három dimenzióban, esetleg négyben, például lehetetlen figurákban. Így például egy négydimenziós lehetetlen háromszög rúdjai derékszögben kapcsolódnak egymáshoz. És ez az ábra minden szempontból így fog kinézni, és nem torzul, ellentétben a lehetetlen háromszög háromdimenziós térben való megvalósításával (lásd.

Ha szokatlan esemény történt veled, furcsa lényt vagy felfoghatatlan jelenséget láttál, szokatlan álmod volt, UFO-t láttál az égen vagy egy idegen elrablása lettél, elküldheted nekünk a történetedet és megjelent honlapunkon ===> .

A többdimenziós terek doktrínája a 19. század közepén kezdett megjelenni. A tudósok a négydimenziós tér gondolatát a tudósoktól kölcsönözték. Műveikben a negyedik dimenzió csodálatos csodáiról meséltek a világnak.

Műveik hősei a négydimenziós tér tulajdonságait felhasználva megehetik a tojás tartalmát anélkül, hogy a héjat megsértették volna, italt ihattak anélkül, hogy kinyitották volna a kupakját. A tolvajok a negyedik dimenzión keresztül szerezték meg a kincset a széfből. A sebészek belső szerveket végeztek anélkül, hogy elvágták volna a páciens testszöveteit.

Tesseact

A geometriában a hiperkocka egy négyzet (n = 2) és egy kocka (n = 3) n-dimenziós analógiája. A szokásos háromdimenziós kockánk négydimenziós analógját tesseract néven ismerjük. A Tesseract egy kockára utal, a kocka pedig egy négyzetre. Formálisabban a tesserakt szabályos konvex négydimenziós poliéderként írható le, amelynek határa nyolc köbös cellából áll.

A nem párhuzamos 3D-s lapok mindegyike 2D-s lapokat (négyzeteket) alkot, és így tovább. Végül egy tesseraktnak 8 3D lapja, 24 2D-je, 32 éle és 16 csúcsa van.
Az Oxford Dictionary szerint egyébként a tesseraktet Charles Howard Hinton (1853-1907) alkotta meg és használta fel 1888-ban A New Age of Thought című könyvében. Később egyesek ugyanazt az alakot tetrakubusznak (görögül tetra - négy) - négydimenziós kockának nevezték.

Felépítés és leírás

Próbáljuk elképzelni, hogyan fog kinézni a hiperkocka anélkül, hogy elhagynánk a háromdimenziós teret.
Az egydimenziós "térben" - egy egyenesen - válasszunk ki egy L hosszúságú AB szakaszt. Egy kétdimenziós síkon, AB-től L távolságra, rajzoljunk vele párhuzamos DC szakaszt, és kössük össze a végeit. Az eredmény egy négyzet alakú CDBA. Ezt a műveletet a síkkal megismételve egy háromdimenziós CDBAGHFE kockát kapunk. És a kockát a negyedik dimenzióban (az első háromra merőlegesen) L távolsággal eltolva kapjuk a CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkockát.

Hasonló módon folytathatjuk a nagyobb dimenziójú hiperkockák okoskodását, de sokkal érdekesebb látni, hogyan fog kinézni nekünk, a háromdimenziós tér lakóinak egy négydimenziós hiperkocka.

Vegyünk egy ABCDHEFG drótkockát, és nézzük meg az egyik szemünkkel az arc felől. Két négyzetet fogunk látni és rajzolni a síkra (közeli és távoli lapjait), amelyeket négy vonal köt össze - oldalélek. Hasonlóképpen, egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós térben úgy fog kinézni, mint két köbös "doboz", amelyeket egymásba helyeznek, és nyolc éllel vannak összekötve. Ebben az esetben maguk a "dobozok" - háromdimenziós lapok - kivetülnek a "mi" terünkre, és az őket összekötő vonalak a negyedik tengely irányába nyúlnak. Megpróbálhatod azt is, hogy egy kockát nem vetítésben, hanem térbeli képben képzelj el.

Ahogy a háromdimenziós kockát egy lap hosszával eltoló négyzet alkotja, a negyedik dimenzióba eltolt kocka hiperkockát alkot. Nyolc kocka korlátozza, amelyek perspektivikusan meglehetősen összetett figurának tűnnek. Ugyanaz a négydimenziós hiperkocka végtelen számú kockára bontható, mint ahogy egy háromdimenziós kockát is végtelen számú lapos négyzetre lehet "vágni".

Miután kivágott egy háromdimenziós kocka hat oldalát, lapos formává bővítheti - söpöréssel. Az eredeti lap mindkét oldalán lesz egy négyzet, plusz még egy – a vele szemben lévő oldal. A négydimenziós hiperkocka háromdimenziós kibontása pedig az eredeti kockából fog állni, hat kockából „növekszik” belőle, plusz még egyből – a végső „hiperfelületből”.

Hiperkocka a művészetben

A Tesseract annyira érdekes figura, hogy többször felkeltette az írók és filmesek figyelmét.
Robert E. Heinlein többször említette a hiperkockákat. A The House That Teale Built (1940) című művében leírt egy házat, amely egy tesseraktum fejlesztéseként épült, majd egy földrengés hatására a negyedik dimenzióban „alakult”, és „igazi” tesseraktummá vált. Heinlein A dicsőség útja című regénye egy túlméretezett dobozt ír le, amely belül nagyobb volt, mint kívül.

Henry Kuttner "A Borogovok összes tenalja" című története egy oktatójátékot ír le a távoli jövőből származó gyerekeknek, felépítésében hasonló egy tesserakthoz.

2. kocka: A Hypercube nyolc idegenre összpontosít, akik egy hiperkockában vagy összekapcsolt kockák hálózatában rekedtek.

Párhuzamos világ

A matematikai absztrakciók szülték a párhuzamos világok létezésének gondolatát. Ezeken olyan valóságokat értünk, amelyek a miénkkel egyidejűleg, de attól függetlenül léteznek. Egy párhuzamos világ különböző méretű lehet, egy kis földrajzi területtől a teljes univerzumig. Egy párhuzamos világban az események a maguk módján zajlanak, eltérhet a mi világunktól, mind az egyes részletekben, mind szinte mindenben. Ráadásul egy párhuzamos világ fizikai törvényei nem feltétlenül analógok a mi Univerzumunk törvényeivel.

Ez a téma termékeny talaj a tudományos-fantasztikus írók számára.

Salvador Dali "Keresztre feszítése" című festménye egy tesseraktumot ábrázol. "Keresztre feszítés vagy hiperkubikus test" - Salvador Dali spanyol művész festménye, 1954-ben. A keresztre feszített Jézus Krisztust ábrázolja egy tesserakt szkennelésen. A festményt a New York-i Metropolitan Museum of Art őrzik

Az egész 1895-ben kezdődött, amikor Herbert Wells "A Door in a Wall" című történetével feltárta a fantázia számára a párhuzamos világok létezését. 1923-ban Wells visszatért a párhuzamos világok gondolatához, és az egyikben egy utópisztikus országot helyezett el, ahová a People as Gods című regény szereplői járnak.

A regény nem maradt észrevétlen. 1926-ban jelent meg G. Dent „Az ország császára” Ha ”” című története. Dent történetében merült fel először az a gondolat, hogy létezhetnek olyan országok (világok), amelyek története másként alakulhat, mint a valódi országok történelme. a mi világunkban.ezek nem kevésbé valóságosak, mint a miénk.

1944-ben Jorge Luis Borges kitalált történetek című könyvében megjelentette Az elágazó utak kertje című történetet. Itt az időelágazás gondolata végül a lehető legtisztábban megfogalmazódott.
A fent felsorolt ​​művek megjelenése ellenére a sokvilág gondolata csak a XX. század negyvenes éveinek végén kezdett komolyan kifejlődni a tudományos-fantasztikus irodalomban, nagyjából ugyanabban az időben, amikor egy hasonló ötlet felmerült a fizikában.

A sci-fi új irányának egyik úttörője John Bixby volt, aki "One-Way Street" (1954) című történetében azt sugallta, hogy a világok között csak egy irányba lehet haladni - ha a világodból egy párhuzamosba mentél, nem mész vissza, hanem egyik világból a másikba lépsz. Nem kizárt azonban a saját világba való visszatérés sem – ehhez az szükséges, hogy a világok rendszere zárva legyen.

Clifford Simak "A Ring Around the Sun" című regénye (1982) a Föld számos bolygóját írja le, amelyek mindegyike a saját világában létezik, de ugyanazon a pályán, és ezek a világok és ezek a bolygók csak egy kis (mikroszekundum) különböznek egymástól. idő eltolódás... A regényhős által meglátogatott számos ország egyetlen világrendszert alkot.

Alfred Bester érdekes pillantást vetett a világok elágazására a „The Man Who Killed Mohammed” (1958) című történetben. "Ha megváltoztatod a múltat" - érvelt a történet hőse -, csak magad változtatod meg. Más szóval, a múlt változása után a történelemnek egy olyan ága keletkezik, amelyben ez a változás csak a változást végrehajtó szereplő számára létezik.

A Sztrugackij fivérek története "A hétfő kezdődik szombaton" (1962) a sci-fi írók által leírt jövő különböző változataiban szereplő szereplők utazásait írja le - ellentétben a sci-fiben már létező utazásokkal a múlt különböző változataiba.

Azonban még az összes olyan mű egyszerű felsorolása is, amelyekben a párhuzamos világok témáját érintik, túl sokáig tartana. És bár a sci-fi írók általában nem támasztják alá tudományosan a többdimenziós posztulátumot, egy dologban igazuk van - ez egy hipotézis, amelynek létjogosultsága van.
A tesserakt negyedik dimenziója még vár ránk.

Viktor Savinov

Hiperkocka és plátói szilárdtestek

Egy csonka ikozaéder ("futballlabda") szimulálása a "Vector" rendszerben
amelyben minden ötszöget hatszögek határolnak

Csonka ikozaéder 12 csúcs levágásával kaphatjuk meg szabályos ötszög alakú lapok kialakításával. Ebben az esetben az új poliéder csúcsainak száma 5-szörösére nő (12 × 5 = 60), 20 háromszöglap szabályos hatszöggé változik (összesen az arcok 20 + 12 = 32 lesznek), a az élek száma 30 + 12 × 5 = 90-re nő.

Egy csonka ikozaéder felépítésének lépései a "Vector" rendszerben

Formák 4 dimenziós térben.

--à

--à ?

Például adott egy kockát és egy hiperkockát. 24 arc van egy hiperkockában. Ez azt jelenti, hogy egy 4 dimenziós oktaédernek 24 csúcsa lesz. Bár nem, egy hiperkockának 8 kockája van – mindegyiknek van egy középpontja. Ez azt jelenti, hogy egy 4 dimenziós oktaédernek 8 csúcsa lesz, amelyek könnyebbek.

4 dimenziós oktaéder... Nyolc egyenlő oldalú és egyenlő tetraéderből áll,
minden csúcson négy köti össze.

Rizs. Próbálja meg szimulálni
hiperszféra-hiperszféra a "Vektor" rendszerben

Elülső - hátsó felületek - golyók torzítás nélkül. Hat további golyó - megadhatja ellipszoidokon vagy másodfokú felületeken keresztül (4 kontúrvonalon keresztül generátorként) vagy lapokon keresztül (először generátorokon keresztül).

További trükkök a hiperszféra "építéséhez".
- ugyanaz a "futballlabda" 4 dimenziós térben

2. függelék

A konvex politópokra van egy tulajdonság, amely összeköti csúcsainak, éleinek és lapjainak számát, amelyet Leonard Euler 1752-ben bizonyított, és amelyet Euler-tételnek neveznek.

A megfogalmazás előtt vegyük figyelembe az általunk ismert poliédereket, és töltsük ki a következő táblázatot, amelyben B a csúcsok száma, P az élek, G pedig az adott politóp lapjai:

Poliéder név
Háromszög alakú piramis
Négyszögletű piramis
Háromszög prizma
Négyszögletű prizma
n -szénpiramis	n+1	2n	n+1
n -szén prizma	2n	3n	n + 2
n -szén csonka piramis	2n	3n	n + 2

Ebből a táblázatból közvetlenül látható, hogy minden kiválasztott politópra teljesül a B - P + Γ = 2 egyenlőség, és kiderül, hogy ez az egyenlőség nem csak ezekre a poliéderekre érvényes, hanem egy tetszőleges konvex poliéderre is.

Euler-tétel. Bármely konvex politóp esetén az egyenlőség

B - R + G = 2,

ahol B a csúcsok száma, P az élek száma és G az adott poliéder lapjainak száma.

Bizonyíték. Ennek az egyenlőségnek a bizonyítására egy adott poliéder rugalmas anyagból készült felületét ábrázoljuk. Töröljük (vágjuk ki) az egyik lapját, és a maradék felületet nyújtsuk síkra. Kapunk egy sokszöget (amelyet a poliéder távoli lapjának élei alkotnak), kisebb sokszögekre osztva (a poliéder többi lapja alkotja).

Vegye figyelembe, hogy a sokszögek deformálódhatnak, nagyíthatók, kicsinyíthetők vagy akár ívelhetők is az oldalukon, mindaddig, amíg az oldalak nem törnek el. Ez nem változtatja meg a csúcsok, élek és lapok számát.

Bizonyítsuk be, hogy egy sokszög kisebb sokszögekre való felosztására a következő egyenlőség áll fenn:

(*) B - R + G "= 1,

ahol В a csúcsok teljes száma, Р az élek teljes száma és Г "a partícióban lévő sokszögek száma. Nyilvánvaló, hogy Г" = Г - 1, ahol Г egy adott lapok száma poliéder.

Bizonyítsuk be, hogy a (*) egyenlőség nem változik, ha az adott partíció valamelyik sokszögébe átlót húzunk (5. ábra, a). Valójában egy ilyen átló megrajzolása után az új partícióban B csúcsok, P + 1 élek lesznek, és a sokszögek száma eggyel nő. Ezért van

B - (P + 1) + (G "+1) = B - P + G" .

Ezt a tulajdonságot felhasználva a bejövő sokszögeket háromszögekre osztva átlókat rajzolunk, és a kapott partícióra megmutatjuk, hogy teljesül a (*) egyenlőség (5. ábra, b). Ehhez következetesen eltávolítjuk a külső éleket, csökkentve a háromszögek számát. Ebben az esetben két eset lehetséges:

a) a háromszög eltávolításához ABC esetünkben két bordát kell eltávolítani ABés időszámításunk előtt;

b) a háromszög eltávolításáhozMKNesetünkben egy élt el kell távolítaniMN.

Az egyenlőség (*) mindkét esetben nem változik. Például az első esetben a háromszög törlése után a gráf B - 1 csúcsból, P - 2 élből és G "- 1 sokszögből áll:

(B - 1) - (R + 2) + (G "- 1) = B - R + G".

Fontolja meg egyedül a második esetet.

Így egy háromszög eltávolítása nem változtatja meg a (*) egyenlőséget. Folytatva a háromszögek törlésének folyamatát, végül egy háromszögből álló partícióhoz jutunk. Egy ilyen partícióra B = 3, P = 3, Γ "= 1, és ezért B - P + Γ" = 1. Ezért a (*) egyenlőség az eredeti partícióra is érvényes, amiből végül azt kapjuk, hogy egy a sokszög egyenlőség adott partíciója (*) igaz. Így az eredeti konvex politópra a B - P + Γ = 2 egyenlőség igaz.

Példa egy poliéderre, amelyre az Euler-reláció nem érvényes, Ennek a poliédernek 16 csúcsa, 32 éle és 16 lapja van. Így erre a poliéderre a B - P + Γ = 0 egyenlőség teljesül.

3. függelék.

Film Cube 2: Hypercube "(eng. Cube 2: Hypercube) - egy fantasztikus film, a "Cube" film folytatása.

Nyolc idegen ébred fel kocka alakú szobákban. A szobák egy négydimenziós hiperkockában helyezkednek el. A szobák „kvantumteleportációval” folyamatosan mozognak, és ha bemászunk a következő szobába, akkor már nem valószínű, hogy visszatérünk a régihez. A hiperkockában párhuzamos világok keresztezik egymást, az idő egyes helyiségekben más-más módon folyik, és néhány szoba halálcsapda.

A kép cselekménye nagymértékben megismétli az első rész történetét, ami néhány szereplő képén is tükröződik. A Nobel-díjas Rosenzweig, aki kiszámolta a hiperkocka pusztulásának pontos idejét, meghalt a hiperkocka szobáiban.

Kritika

Ha az első részben egy labirintusban raboskodó emberek próbáltak segíteni egymásnak, akkor ebben a filmben mindenki a magaért. Sok a felesleges speciális effektus (ezek csapdák), amelyek logikailag nem kötik össze a filmnek ezt a részét az előzővel. Azaz kiderül a Kocka 2 című film - ez egyfajta útvesztő a jövő 2020-2030-ból, de nem 2000-ből. Az első részben elméletileg mindenféle csapdát létrehozhat az ember. A második részben ezek a csapdák egy számítógépes program, az úgynevezett "virtuális valóság".

Tesseract - négydimenziós hiperkocka - egy kocka négydimenziós térben.
Az Oxford Dictionary szerint a tesseraktet Charles Howard Hinton (1853-1907) találta ki és használta 1888-ban A New Age of Thought című könyvében. Később egyesek ugyanezt az alakot tetrakubusznak (görögül τετρα - négy) - négydimenziós kockának nevezték.
Az euklideszi négydimenziós térben egy közönséges tesseraktot a pontok konvex testeként határozunk meg (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Más szavakkal, a következő halmazként ábrázolható:
[-1, 1] ^ 4 = ((x_1, x_2, x_3, x_4): -1 = A tesseraktot nyolc hipersík határolja x_i = + - 1, i = 1,2,3,4, amelyek metszéspontja maga a tesserakt határozza meg azt 3D-s lapok (amelyek közönséges kockák) Minden nem párhuzamos 3D-s lappár metszi egymást, és kétdimenziós lapokat (négyzeteket) alkot stb. lapok, 32 él és 16 csúcs.
Népszerű leírás
Próbáljuk elképzelni, hogyan fog kinézni a hiperkocka anélkül, hogy elhagynánk a háromdimenziós teret.
Az egydimenziós "térben" - egy egyenesen - válasszunk ki egy L hosszúságú AB szakaszt. Egy kétdimenziós síkon, AB-től L távolságra, rajzoljunk vele párhuzamos DC szakaszt, és kössük össze a végeit. Az eredmény egy négyzet alakú CDBA. Ezt a műveletet a síkkal megismételve egy háromdimenziós CDBAGHFE kockát kapunk. És a kockát a negyedik dimenzióban (az első háromra merőlegesen) L távolsággal eltolva kapjuk a CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkockát.
Az AB egydimenziós szegmens a CDBA kétdimenziós négyzet oldala, a négyzet a CDBAGHFE kocka oldala, ami viszont a négydimenziós hiperkocka oldala lesz. Egy egyenes szakasznak két határpontja van, a négyzetnek négy, a kockának nyolc csúcsa van. Így egy négydimenziós hiperkockában 16 csúcs lesz: az eredeti kocka 8 csúcsa és 8 eltolt a negyedik dimenzióban. 32 éle van – mindegyik az eredeti kocka kezdeti és végső helyzetét adja meg, és további 8 él „rajzolja” a nyolc csúcsát, amelyek a negyedik dimenzióba kerültek. Ugyanez az érvelés elvégezhető a hiperkocka arcaival is. Kétdimenziós térben ez egy (maga a négyzet), a kockában 6 db van (az áthelyezett négyzetből két lap és további négy az oldalait írja le). Egy négydimenziós hiperkockának 24 négyzetlapja van – az eredeti kocka 12 négyzete két pozícióban és 12 négyzet a tizenkét élétől.
Mivel a négyzet oldalai 4 egydimenziós szegmens, a kocka oldalai (lapjai) pedig 6 kétdimenziós négyzet, így egy "négydimenziós kocka" (tesseract) esetében az oldalak 8 háromdimenziós kocka . A tesserakt kocka ellentétes párjainak terei (vagyis azok a háromdimenziós terek, amelyekhez ezek a kockák tartoznak) párhuzamosak. Az ábrán ezek a kockák: CDBAGHFE és KLJIOPNM, CDBAKLJI és GHFEOPNM, EFBAMNJI és GHDCOPLK, CKIAGOME és DLJBHPNF.
Hasonló módon folytathatjuk a nagyobb dimenziójú hiperkockák okoskodását, de sokkal érdekesebb látni, hogyan fog kinézni nekünk, a háromdimenziós tér lakóinak egy négydimenziós hiperkocka. Használjuk ehhez az ismert analógia módszert.
Vegyünk egy ABCDHEFG drótkockát, és nézzük meg az egyik szemünkkel az arc felől. Két négyzetet fogunk látni és rajzolni a síkra (közeli és távoli lapjait), amelyeket négy vonal köt össze - oldalélek. Hasonlóképpen, egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós térben úgy fog kinézni, mint két köbös "doboz", amelyeket egymásba helyeznek, és nyolc éllel vannak összekötve. Ebben az esetben maguk a "dobozok" - háromdimenziós lapok - kivetülnek a "mi" terünkre, és az őket összekötő vonalak a negyedik tengely irányába nyúlnak. Megpróbálhatod azt is, hogy egy kockát nem vetítésben, hanem térbeli képben képzelj el.
Ahogy a háromdimenziós kockát egy lap hosszával eltoló négyzet alkotja, a negyedik dimenzióba eltolt kocka hiperkockát alkot. Nyolc kocka korlátozza, amelyek perspektivikusan meglehetősen összetett figurának tűnnek. Ugyanaz a négydimenziós hiperkocka végtelen számú kockából áll, mint ahogy egy háromdimenziós kockát is végtelen számú lapos négyzetre lehet "vágni".
Miután kivágott egy háromdimenziós kocka hat oldalát, lapos formává bővítheti - söpöréssel. Az eredeti lap mindkét oldalán lesz egy négyzet, plusz még egy – a vele szemben lévő oldal. A négydimenziós hiperkocka háromdimenziós kibontása pedig az eredeti kockából fog állni, hat kockából „növekszik” belőle, plusz még egyből – a végső „hiperfelületből”.
A Tesseract tulajdonságok az alacsonyabb méretű geometriai alakzatok tulajdonságainak folytatása a négydimenziós térben.

Az emberi agy evolúciója háromdimenziós térben ment végbe. Ezért nehéz elképzelnünk háromnál nagyobb méretű tereket. Valójában az emberi agy nem tud olyan geometriai tárgyakat elképzelni, amelyek mérete háromnál nagyobb. Ugyanakkor könnyen elképzelhetünk olyan geometriai objektumokat, amelyek mérete nemcsak három, hanem kettes és egyes is.

Az egydimenziós és kétdimenziós terek közötti különbség és analógia, valamint a kétdimenziós és háromdimenziós terek közötti különbség és analógia lehetővé teszi számunkra, hogy kissé megnyissuk a rejtély képernyőjét, amely elkerít minket a nagyobb dimenziós terektől. Az analógia használatának megértéséhez vegyünk egy nagyon egyszerű négydimenziós objektumot - egy hiperkockát, azaz egy négydimenziós kockát. A határozottság kedvéért tegyük fel, hogy egy konkrét problémát akarunk megoldani, mégpedig egy négydimenziós kocka négyzetlapjainak számát. Az alábbi teljes megfontolás nagyon laza lesz, minden bizonyíték nélkül, pusztán analógia alapján.

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan épül fel a hiperkocka egy közönséges kockából, először meg kell néznie, hogyan épül fel egy közönséges kocka egy közönséges négyzetből. Az anyag bemutatásának eredetisége érdekében itt egy közönséges négyzetet SubCube-nak nevezünk (és nem tévesztjük össze a succubusszal).

Ahhoz, hogy egy alkockából kockát építsünk, a részkockát a harmadik dimenzió irányában az alkocka síkjára merőleges irányba kell nyújtani. Ebben az esetben az eredeti alkocka mindkét oldaláról egy-egy alkocka nő, amely a kocka oldalsó kétdimenziós lapja, amely négy oldalról korlátozza a kocka háromdimenziós térfogatát, kettő merőleges a kocka minden irányára. az alkocka síkja. Az új harmadik tengely mentén pedig két alkocka is található, amelyek korlátozzák a kocka háromdimenziós térfogatát. Ez az a kétdimenziós lap, ahol az alkockánk eredetileg volt, és a kocka azon kétdimenziós lapja, ahol az alkocka a kocka felépítésének végén került.

Az imént olvasottak túlságosan részletesen és sok pontosítással lettek megfogalmazva. És nem hétköznapi. Most megtesszük ezt a trükköt, néhány szót az előző szövegben formálisan így cserélünk le:
kocka -> hiperkocka
alkocka -> kocka
sík -> hangerő
harmadik -> negyedik
kétdimenziós -> háromdimenziós
négy -> hat
háromdimenziós -> négydimenziós
kettő -> három
sík -> tér

Ennek eredményeként a következő értelmes szöveget kapjuk, amely már nem tűnik túlzottan részletesnek.

Ahhoz, hogy egy kockából hiperkockát építsünk, meg kell nyújtani a kockát a kocka térfogatára merőleges irányban a negyedik dimenzió irányába. Ebben az esetben az eredeti kocka mindkét oldaláról egy-egy kocka nő, amely a hiperkocka oldalsó háromdimenziós lapja, amely hat oldalról korlátozza a hiperkocka négydimenziós térfogatát, három merőleges a hiperkocka minden irányára. a kocka tere. És az új negyedik tengely mentén két kocka is van, amelyek korlátozzák a hiperkocka négydimenziós térfogatát. Ez az a háromdimenziós lap, ahol a kockánk eredetileg volt, és a hiperkocka háromdimenziós lapja, ahol a kocka a hiperkocka felépítésének végén került.

Miért vagyunk olyan biztosak abban, hogy megkaptuk a megfelelő leírást a hiperkocka felépítéséről? Ugyanis pontosan ugyanazt a formai szócserét kapjuk a kocka felépítésének leírását a tér felépítésének leírásából. (Nézd meg magad.)

Most már világos, hogy ha a kocka mindkét oldaláról egy újabb háromdimenziós kocka nő, akkor a kezdeti kocka minden széléről egy lapnak kell nőnie. Összesen egy kockának 12 éle van, ami azt jelenti, hogy további 12 új lap (alkocka) jelenik meg ahhoz a 6 kockához, amelyek a háromdimenziós tér három tengelye mentén korlátozzák a négydimenziós térfogatot. És még mindig van két kocka, amely ezt a négydimenziós térfogatot alulról és felülről korlátozza a negyedik tengely mentén. Mindegyik kockának 6 lapja van.

Összességében azt kapjuk, hogy a hiperkockának 12 + 6 + 6 = 24 négyzetlapja van.

A következő képen egy hiperkocka logikai felépítése látható. Olyan ez, mint egy hiperkocka kivetítése egy háromdimenziós térre. Ez bordákból készült háromdimenziós keretet eredményez. Az ábrán természetesen ennek a keretnek a síkra való vetülete is látható.

Ezen a kereten a belső kocka mintegy a kezdeti kocka, amelyből az építkezés elkezdődött, és amely alulról a negyedik tengely mentén korlátozza a hiperkocka négydimenziós térfogatát. Ezt a kezdeti kockát a negyedik mérési tengely mentén felfelé nyújtjuk, és átmegy a külső kockába. Tehát az ábrán látható külső és belső kockák határolják a hiperkockát a negyedik dimenziótengely mentén.

A két kocka között pedig még 6 új kocka látható, amelyeknek közös lapjuk van az első kettővel. Ez a hat kocka korlátozza hiperkockánkat a háromdimenziós tér három tengelye mentén. Amint látható, nemcsak az első két kockával érintkeznek, amelyek ezen a háromdimenziós kereten belül és kívül vannak, hanem továbbra is érintkeznek egymással.

Az ábrán jól kiszámolhatja, és megbizonyosodhat arról, hogy a hiperkockának valóban 24 lapja van. De ez a kérdés felmerül. Ez a 3D-s térben lévő hiperkocka-váz nyolc 3D-kockával van kitöltve, hézagok nélkül. Ahhoz, hogy egy hiperkocka háromdimenziós vetületéből valódi hiperkockát készítsünk, ki kell fordítani ezt a keretet úgy, hogy mind a 8 kocka korlátozza a 4 dimenziós térfogatot.

Ez így történik. Meghívjuk a négydimenziós tér egyik lakóját, hogy látogassa meg és kérje meg, hogy segítsen nekünk. Megragadja ennek a csontváznak a belső kockáját, és eltolja a negyedik dimenzió irányába, amely merőleges a háromdimenziós terünkre. Háromdimenziós terünkben úgy érzékeljük, mintha a teljes belső keret eltűnt volna, és csak a külső kocka kerete maradt volna meg.

Továbbá négydimenziós asszisztensünk a szülészeteken nyújt segítséget a fájdalommentes szüléshez, de várandósainkat megijeszti a kilátás, hogy a baba egyszerűen eltűnik a hasból, és egy párhuzamos háromdimenziós térbe kerül. Ezért a négyest udvariasan visszautasítják.

És értetlenül állunk a kérdés előtt, vajon nem akadt-e ki néhány kockánk, amikor a hiperkocka keretét kifordítják. Végül is, ha néhány, a hiperkockát körülvevő háromdimenziós kocka az arcával megérinti a kereten lévő szomszédokat, akkor ezek is megérintik ugyanazokat az oldalakat, ha a négydimenziós kifordítja a keretet?

Térjünk ismét az alacsonyabb dimenziójú terekkel való analógiára. Hasonlítsa össze a hiperkocka drótvázas képét a háromdimenziós kocka a következő képen látható síkra vetítésével.

A kétdimenziós tér lakói egy síkra építettek egy kocka síkra vetített képkockáját, és arra kértek minket, háromdimenziós lakókat, hogy fordítsuk ki ezt a keretet. Fogjuk a belső négyzet négy csúcsát, és a síkra merőlegesen mozgatjuk. Ugyanakkor a kétdimenziós lakók a teljes belső keret teljes eltűnését látják, és csak a külső négyzet kerete van meg. Egy ilyen művelettel az összes élével érintkező négyzet továbbra is ugyanazokat az éleket érinti, mint korábban.

Ezért reméljük, hogy a hiperkocka keretének kifordítása sem sérti a hiperkocka logikai sémáját, és a hiperkocka négyzetlapjainak száma nem növekszik, és 24 marad. Ez természetesen , nem bizonyíték, hanem pusztán analógia alapján feltételezés...

Az itt leírtak elolvasása után könnyedén megrajzolhatja egy ötdimenziós kocka logikai drótvázait, és kiszámolhatja, hogy hány csúcsa, éle, lapja, kockája és hiperkockája van. Egyáltalán nem nehéz.