Geometriai regresszió. Geometriai progresszió és képlete. Problémák a kamatos kamat számításánál

Ezt a számot nevezőnek nevezzük. geometriai progresszió, azaz minden tag q-szor különbözik az előzőtől. (Feltételezzük, hogy q ≠ 1, különben minden túl triviális). Könnyen belátható, hogy a geometriai progresszió n-edik tagjának általános képlete b n = b 1 q n – 1 ; a b n és b m számokkal rendelkező tagok q n – m-szer térnek el egymástól.

Már az ókori Egyiptomban is ismerték nemcsak a számtani, hanem a geometriai progressziót is. Itt van például egy feladat a Rhindi papiruszból: „Hét arcnak hét macskája van; minden macska hét egeret eszik, minden egér hét kalász kukoricát eszik, minden kalász hét mérték árpát tud termeszteni. Mekkorák a számok ebben a sorozatban és ezek összege?

Rizs. 1. Ókori egyiptomi geometriai progressziós probléma

Ezt a feladatot sokszor megismételték különböző variációkkal más népeknél máskor. Például a XIII században írt. A pisai Leonardo (Fibonacci) "Abakusz könyve" egy olyan problémát jelent, amelyben 7 öregasszony jelenik meg Rómába tartó úton (nyilván zarándokok), mindegyiknek 7 öszvére van, mindegyikben 7 táska, 7 cipója van, mindegyikben 7 kés van, amelyek mindegyike 7 hüvelyben van. A probléma azt kérdezi, hogy hány elem van.

Az S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) geometriai haladás első n tagjának összege. Ez a képlet például a következőképpen bizonyítható: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Adjuk hozzá a b 1 q n számot S n-hez, és kapjuk:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Ebből S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), és megkapjuk a szükséges képletet.

Már az ókori Babilon egyik agyagtábláján, a VI. századból. időszámításunk előtt e., az 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1 összeget tartalmazza. Igaz, mint sok más esetben, most sem tudjuk, honnan tudták ezt a tényt a babilóniaiak .

A geometriai progresszió gyors növekedését számos kultúrában, különösen Indiában, ismételten az univerzum mérhetetlenségének egyértelmű szimbólumaként használják. BAN BEN híres legenda a sakk megjelenéséről az uralkodó lehetőséget ad feltalálójuknak, hogy maga válasszon jutalmat, és annyi búzaszemet kér, amennyit akkor kapunk, ha egyet a sakktábla első cellájára tesznek, kettőt a másodikra, négy a harmadikon, nyolc a negyediken stb., minden alkalommal, amikor a szám megduplázódik. A lord arra gondolt beszélgetünk, legfeljebb néhány táskáról, de rosszul számolt. Könnyen belátható, hogy a sakktábla mind a 64 mezőjére a feltalálónak (2 64 - 1) gabonát kellett volna kapnia, ami 20 jegyű számként van kifejezve; ha a Föld teljes felületét be is vetnék, legalább 8 évbe telne a szükséges mennyiségű szem begyűjtése. Ezt a legendát olykor úgy értelmezik, mint utalást a sakkjátékban rejlő szinte korlátlan lehetőségekre.

Az a tény, hogy ez a szám valóban 20 jegyű, könnyen belátható:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (pontosabb számítás 1,84 10 19). De kíváncsi vagyok, megtudja-e, hogy ez a szám melyik számjegyre végződik?

A geometriai progresszió növekszik, ha a nevező abszolút értékben nagyobb, mint 1, vagy csökken, ha kisebb, mint egy. Ez utóbbi esetben a q n szám tetszőlegesen kicsivé válhat kellően nagy n esetén. Míg a növekvő exponenciális váratlanul gyorsan növekszik, a csökkenő exponenciális ugyanolyan gyorsan csökken.

Minél nagyobb n, annál gyengébb a q n szám, amely eltér nullától, és minél közelebb van az S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) geometriai progresszió n tagjának összege az S \u003d b 1 számhoz. / (1 - q) . (Így érvelve például F. Viet). Az S számot egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének nevezzük. Azonban sok évszázadon át nem volt elég világos a matematikusok számára az a kérdés, hogy mit jelent az ÖSSZES geometriai progresszió összegzése a végtelen számú taggal.

Csökkenő geometriai progresszió figyelhető meg például Zénón „Biting” és „Achilles and the teknős” című aporiaiban. Az első esetben jól látható, hogy a teljes út (tegyük fel az 1-es hosszt) végtelen számú 1/2, 1/4, 1/8 stb. szakasz összege. Ez természetesen így van a véges összegű végtelen geometriai progresszióról alkotott elképzelések nézőpontja. És mégis – hogy lehet ez?

Rizs. 2. Haladás 1/2-es tényezővel

Az Akhilleuszról szóló apóriában kicsit bonyolultabb a helyzet, mert itt a progresszió nevezője nem 1/2, hanem valami más szám. Legyen például Akhilleusz v sebességgel, a teknős u sebességgel mozog, és a köztük lévő kezdeti távolság l. Akhilleusz ezt a távolságot l / v idő alatt futja meg, a teknősbéka ezalatt egy lu / v távolságot tesz meg. Amikor Akhilleusz átfut ezen a szakaszon, a közte és a teknős közötti távolság egyenlő lesz l (u / v) 2-vel stb. Kiderült, hogy a teknős utolérése azt jelenti, hogy meg kell találni egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegét az elsővel l tag és az u / v nevező. Ez az összeg - az a szakasz, amelyet Akhilleusz végül a teknőssel találkozási pontig fut - egyenlő l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . De ismételten, hogy ezt az eredményt hogyan kell értelmezni, és miért van egyáltalán értelme, sokáig nem volt világos.

Rizs. 3. Geometriai progresszió 2/3 együtthatóval

A geometriai progresszió összegét Arkhimédész használta a parabola szakaszának területének meghatározásakor. Határolja a parabola adott szakaszát az AB húr, és a parabola D pontjában lévő érintő legyen párhuzamos AB-vel. Legyen C az AB felezőpontja , E az AC felezőpontja , F a CB felezőpontja . Rajzoljunk egyenárammal párhuzamos egyeneseket az A , E , F , B pontokon keresztül; legyen a D pontban húzott érintő, ezek az egyenesek a K , L , M , N pontokban metszik egymást. Rajzoljuk meg az AD és DB szegmenseket is. Az EL egyenes az AD egyenest a G pontban, a parabolát pedig a H pontban metszi; Az FM egyenes a DB egyenest a Q pontban, a parabolát pedig az R pontban metszi. Alapján általános elmélet kúpszelvények, DC a parabola (vagyis a tengelyével párhuzamos szakasz) átmérője; ez és a D pontban lévő érintő szolgálhat x és y koordinátatengelyként, amelyben a parabola egyenlet y 2 \u003d 2px (x a távolság D-től egy adott átmérőjű bármely pontig, y az a hossza adott érintővel párhuzamos szakasz ebből az átmérőpontból magának a parabolának valamely pontjába).

A parabola-egyenlet értelmében DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , és mivel DK = 2DL , akkor KA = 4LH . Mivel KA = 2LG , LH = HG . A parabola ADB szakaszának területe megegyezik az ΔADB háromszög területével és az AHD és DRB szegmensek területeivel együtt. Az AHD szegmens területe viszont hasonlóképpen megegyezik az AHD háromszög és a többi AH és HD szegmens területével, amelyek mindegyikével ugyanaz a művelet hajtható végre - háromszögre osztva (Δ) és a fennmaradó két szegmens () stb.:

A ΔAHD háromszög területe egyenlő az ΔALD háromszög területének felével (közös AD alapjuk van, és a magasságok 2-szer különböznek egymástól), ami viszont egyenlő a háromszög területének felével. a ΔAKD háromszög, tehát az ΔACD háromszög területének a fele. Így a ΔAHD háromszög területe egyenlő az ΔACD háromszög területének negyedével. Hasonlóképpen, a ΔDRB háromszög területe egyenlő a ΔDFB háromszög területének negyedével. Tehát az ∆AHD és ∆DRB háromszögek területei együttvéve egyenlők az ∆ADB háromszög területének negyedével. Ha ezt a műveletet az AH , HD , DR és RB szegmensekre alkalmazva megismételjük, ezekből is kiválasztunk háromszögeket, amelyek területe együttvéve négyszer kisebb lesz, mint a ΔAHD és ΔDRB háromszögek területe. együtt, tehát 16-szor kisebb, mint az ΔADB háromszög területe. Stb:

Így Arkhimédész bebizonyította, hogy "minden szakasz, amely egy egyenes és egy parabola közé van zárva, egy olyan háromszög négyharmada, amelynek alapja azonos és magassága vele azonos".

A geometriai progresszió az az újfajta számsor, amellyel meg kell ismerkednünk. A sikeres ismeretséghez nem árt legalább ismerni és megérteni. Akkor nem lesz probléma a geometriai haladással.)

Mi az a geometriai progresszió? A geometriai progresszió fogalma.

A túrát szokás szerint az elemivel kezdjük. Írok egy befejezetlen számsort:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

El tudod fogni a mintát, és meg tudod mondani, hogy melyik szám fog következni? A paprika tiszta, a számok 100000, 1000000 és így tovább mennek tovább. Még sok lelki stressz nélkül is minden világos, igaz?)

RENDBEN. Egy másik példa. A következő sorrendet írom le:

1, 2, 4, 8, 16, …

A 16-os szám és a név után meg tudod mondani, hogy melyik szám következik? nyolcadik sorozat tagja? Ha kitaláltad, hogy ez a 128-as szám, akkor nagyon jó. Tehát a csata fele a megértésben van jelentéseÉs Főbb pontok a geometriai progresszió már megtörtént. tovább nőhetsz.)

És most ismét áttérünk a szenzációkról a szigorú matematikára.

A geometriai progresszió kulcsmozzanatai.

Kulcspillanat #1

A geometriai progresszió az számsor. Ahogy a progresszió is. Semmi trükkös. Most rendeztem ezt a sorozatot eltérően. Ezért természetesen más neve is van, igen...

Kulcspillanat #2

A második kulcsponttal a kérdés bonyolultabb lesz. Menjünk vissza egy kicsit, és emlékezzünk a legfontosabb tulajdonságra aritmetikai progresszió. Itt van: minden tag különbözik az előzőtől ugyanennyivel.

Lehetséges-e hasonló kulcstulajdonságot megfogalmazni egy geometriai progresszióhoz? Gondolkozz egy kicsit... Vessen egy pillantást a megadott példákra. Kitalálta? Igen! Geometriai progresszióban (bármilyen!) minden tagja eltér az előzőtől ugyanannyi alkalommal. Mindig!

Az első példában ez a szám tíz. Bármelyik tagot is választja a sorozatból, az nagyobb, mint az előző tízszer.

A második példában ez egy kettő: mindegyik tag nagyobb, mint az előző. kétszer.

Ebben a kulcspontban különbözik a geometriai progresszió az aritmetikaitól. A számtani sorozatban minden következő tagot kapunk hozzátéve az előző taggal azonos értékű. És itt - szorzás az előző futamidőt ugyanennyivel. Ez a különbség.)

Kulcspillanat #3

Ez a kulcspont teljesen azonos az aritmetikai progresszióéval. Ugyanis: a geometriai progresszió minden tagja a helyén van. Minden pontosan ugyanaz, mint a számtani sorozatban, és a megjegyzések szerintem feleslegesek. Van az első tag, van száz és első, és így tovább. Rendezzünk át legalább két tagot – a minta (és vele együtt a geometriai progresszió) eltűnik. Ami marad, az csak egy számsorozat minden logika nélkül.

Ez minden. Ez a geometriai progresszió lényege.

Kifejezések és megnevezések.

És most, miután foglalkoztunk a geometriai progresszió jelentésével és kulcspontjaival, áttérhetünk az elméletre. Egyébként mi az elmélet a jelentés megértése nélkül, igaz?

Mi az a geometriai progresszió?

Hogyan írható le a geometriai progresszió? Általános nézet? Nincs mit! A progresszió minden tagja betűként is meg van írva. Csak az aritmetikai progresszióhoz általában a betűt használják "A", geometriai - betűhöz "b". Tag szám, mint általában, jelzi jobb alsó index. Magukat a progresszió tagjait egyszerűen felsoroljuk vesszővel vagy pontosvesszővel elválasztva.

Mint ez:

b1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Röviden egy ilyen progressziót a következőképpen írunk le: (b n) .

Vagy így, véges előrehaladáshoz:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .

b 1 , b 2 , ..., b 29 , b 30 .

Vagy röviden:

(b n), n=30 .

Valójában ez az összes megnevezés. Minden ugyanaz, csak a betű más, igen.) És most közvetlenül a meghatározáshoz megyünk.

A geometriai progresszió definíciója.

A geometriai progresszió az numerikus sorozat, amelynek első tagja nem nulla, és minden további tag egyenlő az előző taggal, megszorozva ugyanazzal a nullától eltérő számmal.

Ez az egész definíció. A legtöbb szó és kifejezés világos és ismerős az Ön számára. Kivéve persze, ha megérti a geometriai progresszió jelentését "az ujjakon" és általában. De van néhány új mondat is, amelyekre külön szeretném felhívni a figyelmet.

Először is a szavak: "amelynek az első ciklusa különbözik a nullától".

Ezt a korlátozást az első ciklusban nem véletlenül vezették be. Mit gondol, mi fog történni, ha az első ciklusban b 1 nullának bizonyul? Mi lesz a második tag, ha minden tag nagyobb, mint az előző ugyanannyiszor? Mondjuk háromszor? Nézzük... Szorozzuk meg az első tagot (azaz 0-t) 3-mal, és kapjunk... nullát! És a harmadik tag? Nulla is! És a negyedik tag is nulla! Stb…

Csak egy zacskó bagelt kapunk egy nullák sorozatát:

0, 0, 0, 0, …

Természetesen egy ilyen sorozatnak joga van az élethez, de gyakorlati érdektelen. Minden olyan világos. Bármelyik tagja nulla. Tetszőleges számú tag összege is nulla... Milyen érdekes dolgokat lehet vele kezdeni? Semmi…

A következő kulcsszavak: "ugyanazzal a nullától eltérő számmal szorozva".

Ennek a számnak külön neve is van - geometriai progresszió nevezője. Kezdjünk randevúzni.)

A geometriai progresszió nevezője.

Minden egyszerű.

A geometriai progresszió nevezője egy nem nulla szám (vagy érték), amely jelzi hányszora progresszió minden tagja több, mint az előző.

Ismét a számtani progresszió analógiájára, kulcsszó amelyet ebben a meghatározásban meg kell jegyezni, az a szó "több". Ez azt jelenti, hogy a geometriai progresszió minden tagját megkapjuk szorzás pont erre a nevezőre előző tag.

Elmagyarázom.

A számításhoz mondjuk második tagot venni első tagja és szaporodnak azt a nevezőre. Számításhoz tizedik tagot venni kilencedik tagja és szaporodnak azt a nevezőre.

Maga a geometriai progresszió nevezője bármi lehet. Teljesen bárki! Egész, tört, pozitív, negatív, irracionális – mindenki. Kivéve a nullát. Erről árulkodik a definícióban szereplő „nem nulla” szó. Miért van szükség erre a szóra - erről később.

Geometriai progresszió nevezőjeáltalában betűvel jelölik q.

Hogyan lehet megtalálni ezt q? Nincs mit! A progresszió bármely tagját fel kell vennünk és osztjuk az előző taggal. Az osztály az töredék. Innen a név - "a progresszió nevezője". A nevező, általában törtben ül, igen...) Bár logikusan az érték q hívni kell magán geometriai progresszió, hasonló különbség számtani sorozathoz. De beleegyezett a hívásba névadó. És a kereket sem fogjuk újra feltalálni.)

Határozzuk meg például az értéket q ehhez a geometriai haladáshoz:

2, 6, 18, 54, …

Minden elemi. Veszünk Bármi sorszám. Amit akarunk, azt elfogadjuk. Kivéve a legelsőt. Például 18. És oszd el előző szám. Vagyis 6-kor.

Kapunk:

q = 18/6 = 3

Ez minden. Ez a helyes válasz. Egy adott geometriai progresszió esetén a nevező három.

Keressük a nevezőt q egy másik geometriai progresszióhoz. Például így:

1, -2, 4, -8, 16, …

Minden a régi. Bármilyen előjellel is rendelkeznek maguk a tagok, továbbra is elfogadjuk Bármi sorszámot (például 16), és elosztjuk vele előző szám(azaz -8).

Kapunk:

d = 16/(-8) = -2

És ennyi.) A progresszió nevezője ezúttal negatívnak bizonyult. Mínusz kettő. Megtörténik.)

Vegyük ezt a haladást:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

És ismét, függetlenül a sorozatban szereplő számok típusától (páros egész számok, páros tört, páros negatív, akár irracionális), tetszőleges számot veszünk (például 1/9), és elosztjuk az előző számmal (1/3). Természetesen a törtekkel végzett műveletek szabályai szerint.

Kapunk:

Ennyi.) Itt a nevező törtnek bizonyult: q = 1/3.

De olyan "fejlődés", mint te?

3, 3, 3, 3, 3, …

Nyilvánvalóan itt q = 1 . Formailag ez is geometriai progresszió, csak azzal ugyanazok a tagok.) De az ilyen progressziókat tanulni és praktikus alkalmazás nem érdekes. Csakúgy, mint a folyamatos nullákkal való progresszió. Ezért nem vesszük figyelembe őket.

Mint látható, a progresszió nevezője bármi lehet - egész, tört, pozitív, negatív - bármi! Nem lehet csak nulla. Nem találta ki, miért?

Nos, nézzünk egy konkrét példát, mi lesz, ha nevezőként vesszük q nulla.) Legyen például nekünk b 1 = 2 , A q = 0 . Mi lesz akkor a második ciklus?

Hisszük:

b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0

És a harmadik tag?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

A geometriai folyamatok típusai és viselkedése.

Minden többé-kevésbé világos volt: ha a különbség a progresszióban d pozitív, a progresszió növekszik. Ha a különbség negatív, akkor a progresszió csökken. Csak két lehetőség van. Nincs harmadik.)

De a geometriai progresszió viselkedésével minden sokkal érdekesebb és változatosabb lesz!)

Amint itt viselkednek a tagok: növekednek-csökkennek, és a végtelenségig közelítenek a nullához, sőt előjelet váltanak, felváltva rohannak vagy "pluszra", vagy "mínuszra"! És ebben a sokféleségben jól kell tudni érteni, igen...

Értjük?) Kezdjük a legegyszerűbb esettel.

A nevező pozitív ( q >0)

Pozitív nevező esetén először a geometriai haladás tagjai mehetnek be plusz a végtelen(azaz korlátlanul növelje), és belemehet mínusz végtelen(azaz korlátlanul csökken). Már megszoktuk a progresszió ilyen viselkedését.

Például:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Itt minden egyszerű. A progresszió minden tagja az több, mint az előző. És minden tag megkapja szorzás előző tag bekapcsolva pozitív szám +2 (pl. q = 2 ). Egy ilyen progresszió viselkedése nyilvánvaló: a progresszió minden tagja korlátlanul növekszik, az űrbe kerülve. Plusz a végtelen...

Íme a fejlemény:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Itt is megkapjuk a progresszió minden tagját szorzás előző tag bekapcsolva pozitív szám +2. De az ilyen progresszió viselkedése már egyenesen ellentétes: a progresszió minden tagja megkapja kevesebb, mint az előző, és minden tagja a végtelenségig csökken, mínusz végtelenbe megy.

Most pedig gondoljuk át: mi a közös ebben a két folyamatban? Így van, nevező! Itt-ott q = +2 . Pozitív szám. Balszerencse. És itt viselkedés Ez a két folyamat alapvetően különbözik egymástól! Nem találta ki, miért? Igen! Minden arról szól első tag!Ő rendeli meg a zenét, ahogy mondani szokták.) Győződjön meg róla maga.

Az első esetben a progresszió első tagja pozitív(+1), és ezért az összes további kifejezés, amelyet a -val szorozva kapunk pozitív névadó q = +2 , lesz is pozitív.

De a második esetben az első kifejezés negatív(-1). Ezért az összes következő tag a progresszió kapott szorozva pozitív q = +2 , is meg lesz szerezve negatív. A „mínusz” és „plusz” között mindig „mínusz” lesz, igen.)

Amint látja, az aritmetikai sorozattól eltérően a geometriai progresszió teljesen eltérő módon viselkedhet, nemcsak attól függően, hogy a nevezőtőlq, hanem attól is függ az első tagtól, Igen.)

Ne feledje: a geometriai progresszió viselkedését egyedileg az első tagja határozza meg b 1 és nevezőq .

És most elkezdjük a kevésbé ismert, de sokkal érdekesebb esetek elemzését!

Vegyük például a következő sorrendet:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Ez a sorozat is egy geometriai progresszió! Ennek a progressziónak minden tagja szintén megkapja szorzás az előző tag, ugyanazzal a számmal. Csak a szám az tört: q = +1/2 . Vagy +0,5 . És (fontos!) szám, kisebb:q = 1/2<1.

Mi az érdekes ebben a geometriai folyamatban? Hová mennek a tagjai? Nézzük meg:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Mi az érdekes itt? Először is azonnal szembeötlő a progresszió tagjainak csökkenése: minden egyes tagja Kevésbé pontosan az előzőt 2 alkalommal. Vagy a geometriai progresszió definíciója szerint minden tag több előző 1/2 alkalommal, mert progresszió nevezője q = 1/2 . És ha egynél kisebb pozitív számot szorozunk, az eredmény általában csökken, igen ...

Mit több látható ennek a progressziónak a viselkedésén? Eltűnnek a tagjai? korlátlan, mínusz végtelenbe megy? Nem! Különleges módon tűnnek el. Eleinte elég gyorsan csökkennek, majd egyre lassabban. És mindvégig maradva pozitív. Bár nagyon-nagyon kicsi. És mire törekednek? Nem tippelted? Igen! Hajlamosak a nullára!) És figyelem, a fejlődésünk tagjai soha ne érd el! Csak végtelenül közel hozzá. Ez nagyon fontos.)

Hasonló helyzet lesz a következő folyamatban:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Itt b 1 = -1 , A q = 1/2 . Minden a régi, csak most a másik oldalról, alulról közelítenek a nullához a tagok. Állandóan maradni negatív.)

Olyan geometriai progresszió, amelynek tagjai a végtelenségig nullához közeledik.(nem számít, pozitív vagy negatív oldalon), matematikában külön neve van - végtelenül csökkenő geometriai progresszió. Ez a fejlődés olyan érdekes és szokatlan, hogy még az is lesz külön leckét .)

Tehát mindent megfontoltunk, ami lehetséges pozitív a nevezők nagyok és kisebbek egyaránt. Magát az egyet nem tekintjük nevezőnek a fentebb említett okok miatt (emlékezzünk a hármasok sorozatával ...)

Összefoglalni:

pozitívÉs több mint egy (q>1), akkor a progresszió tagjai:

a) korlátlanul nő (hab 1 >0);

b) korlátlanul csökken (hab 1 <0).

Ha egy geometriai progresszió nevezője pozitív És egynél kevesebb (0< q<1), то члены прогрессии:

a) végtelenül közel nullához felett(Hab 1 >0);

b) végtelenül közel nullához alulról(Hab 1 <0).

Most van hátra az eset mérlegelése negatív nevező.

A nevező negatív ( q <0)

Nem megyünk messzire a példával. Tulajdonképpen miért bozontos nagymama?!) Legyen például a progresszió első tagja b 1 = 1 , és vedd a nevezőt q = -2.

A következő sorrendet kapjuk:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

És így tovább.) A progresszió minden tagját megkapjuk szorzás előző tag bekapcsolva negatív szám-2. Ebben az esetben minden páratlan helyen lévő tag (első, harmadik, ötödik stb.) az lesz pozitív, és páros helyeken (második, negyedik stb.) - negatív. A jelek szigorúan egymásba vannak rakva. Plusz-mínusz-plusz-mínusz ... Egy ilyen geometriai progressziót - növekvő jel váltakozó.

Hová mennek a tagjai? És sehol.) Igen, abszolút értékben (azaz modulo) progressziónk feltételei korlátlanul növekednek (innen ered a "növekedés" elnevezés). De ugyanakkor a progresszió minden tagja felváltva dobja a melegbe, majd a hidegbe. Vagy plusz, vagy mínusz. A progressziónk ingadozik... Sőt, az ingadozások tartománya minden lépéssel rohamosan növekszik, igen.) Ezért a progresszió tagjainak törekvése, hogy eljussunk valahova kimondottan Itt Nem. Sem plusz végtelenhez, sem mínusz végtelenhez, sem nullához - sehol.

Tekintsünk most valami tört nevezőt nulla és mínusz egy között.

Például legyen b 1 = 1 , A q = -1/2.

Ezután megkapjuk a progressziót:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

És megint van egy váltakozó jelünk! De az előző példától eltérően itt már egyértelmű tendencia, hogy a kifejezések a nullához közelednek.) Csak ezúttal nem szigorúan felülről vagy alulról közelítünk a nullához, hanem ismét habozó. Felváltva vegyen pozitív vagy negatív értékeket. De ugyanakkor ők modulok egyre közelebb kerülnek a dédelgetett nullához.)

Ezt a geometriai progressziót ún végtelenül csökkenő váltakozó jel.

Miért érdekes ez a két példa? És az a tény, hogy mindkét esetben megtörténik váltakozó karakterek! Egy ilyen chip csak a negatív nevezővel rendelkező progressziókra jellemző, igen.) Ezért, ha valamilyen feladatban geometriai progressziót lát váltakozó tagokkal, akkor már biztosan tudja, hogy a nevezője 100%-ban negatív, és nem fog tévedni a jelben.)

Egyébként negatív nevező esetén az első tag előjele magának a progressziónak a viselkedését egyáltalán nem befolyásolja. Bármi legyen is a haladás első tagjának előjele, mindenesetre a tagok váltakozásának előjele megfigyelhető. Az egész kérdés csak az milyen helyeken(páros vagy páratlan) lesznek bizonyos előjelű tagok.

Emlékezik:

Ha egy geometriai progresszió nevezője negatív , akkor a progresszió feltételeinek előjelei mindig váltakozó.

Ugyanakkor maguk a tagok:

a) korlátlanul növekszikmodulo, Haq<-1;

b) végtelenül közelít a nullához, ha -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Ez minden. Minden tipikus esetet elemzünk.)

A geometriai folyamatok különféle példáinak elemzése során rendszeresen használtam a következő szavakat: "nullára hajlamos", "hajlamos a végtelenségig", mínusz végtelenbe hajlik... Rendben van.) Ezek a beszédfordulatok (és konkrét példák) csak egy kezdeti ismerkedés viselkedés különféle számsorozatok. Példa a geometriai progresszióra.

Miért kell egyáltalán tudnunk a progresszió viselkedését? Mi a különbség, hogy hova megy? Nulláig, plusz végtelenig, mínusz végtelenig... Mit törődünk ezzel?

A helyzet az, hogy már az egyetemen, a felsőbb matematika során szükség lesz arra, hogy különféle numerikus sorozatokkal dolgozzon (bármilyen, nem csak progresszióval!) És képes legyen pontosan elképzelni, hogyan viselkedik ez vagy az a sorozat. - korlátlanul növekszik-e, csökken-e, hajlik-e egy adott számra (és nem feltétlenül nullára), vagy egyáltalán nem hajlik-e semmire... A matematika során egy egész részt szentelünk ennek a témának elemzés - határelmélet. Kicsit konkrétabban a koncepció a számsorozat határa. Nagyon érdekes téma! Érdemes egyetemre menni és rájönni.)

Néhány példa ebből a szakaszból (korlátozott sorozatok), és különösen, végtelenül csökkenő geometriai progresszió elkezdeni tanulni az iskolában. Megszokni.)

Ezen túlmenően az a képesség, hogy a szekvenciák viselkedését a jövőben jól tanulmányozzuk, nagymértékben hasznos lesz, és nagyon hasznos lesz funkciókutatás. A legváltozatosabb. De az a képesség, hogy kompetens módon dolgozzon a függvényekkel (származékok kiszámítása, teljes körű feltárása, grafikonjaik felépítése), már drámaian megnöveli matematikai szintjét! Kétség? Nincs szükség. Emlékezz a szavaimra is.)

Nézzünk egy geometriai progressziót az életben?

A körülöttünk lévő életben nagyon-nagyon gyakran találkozunk exponenciális fejlődéssel. Anélkül, hogy tudnánk.)

Például a különféle mikroorganizmusok, amelyek mindenhol hatalmas mennyiségben vesznek körül minket, és amelyeket mikroszkóp nélkül sem látunk, pontosan geometriai progresszióban szaporodnak.

Tegyük fel, hogy egy baktérium felére osztva szaporodik, és 2 baktériumból utódokat ad. Viszont mindegyikük, szaporodva, szintén felére oszlik, így 4 baktérium közös utódja jön létre. A következő generáció 8 baktériumot ad, majd 16 baktériumot, 32-t, 64-et és így tovább. Minden egymást követő generációval a baktériumok száma megduplázódik. Tipikus példa a geometriai progresszióra.)

Ezenkívül egyes rovarok - levéltetvek, legyek - exponenciálisan szaporodnak. És néha a nyulak is.)

A geometriai progresszió másik, a mindennapi élethez közelebb álló példája az ún kamatos kamat. Egy ilyen érdekes jelenség gyakran megtalálható a bankbetéteknél, és ún kamatkapitalizáció. Ami?

Maga persze még fiatal. Iskolában tanulsz, bankba nem jelentkezel. De a szüleid felnőttek és független emberek. Elmennek dolgozni, pénzt keresnek a mindennapi kenyerükre, a pénz egy részét pedig a bankba teszik, így megtakarításokat csinálnak.)

Tegyük fel, hogy édesapja szeretne egy bizonyos összeget megtakarítani egy családi nyaralásra Törökországban, és 50 000 rubelt szeretne a bankba elhelyezni, évi 10%-os áron három évre. éves kamatkapitalizációval. Sőt, a letéttel ezalatt az egész időszak alatt semmit nem lehet tenni. A számláról sem pótolni, sem pénzt nem lehet felvenni. Milyen haszna lesz ebben a három évben?

Nos, először is ki kell találnia, hogy mennyi az évi 10%. Ez azt jelenti egy évben A kezdeti betét összegéhez 10%-ot ad hozzá a bank. Honnan? Természetesen attól kezdeti befizetés összege.

Számolja ki a számla összegét egy évben. Ha a betét kezdeti összege 50 000 rubel (azaz 100%) volt, akkor egy év múlva mennyi kamata lesz a számlán? Így van, 110%! 50 000 rubeltől.

Tehát az 50 000 rubel 110% -át tekintjük:

50 000 1,1 \u003d 55 000 rubel.

Remélem megérted, hogy az érték 110%-ának megtalálása azt jelenti, hogy ezt az értéket meg kell szorozni 1,1-gyel? Ha nem érti, miért van ez így, emlékezzen az ötödik és hatodik osztályra. Ugyanis - a százalékok kapcsolata törtekkel és részekkel.)

Így a növekedés az első évben 5000 rubel lesz.

Mennyi pénz lesz a számlán két év múlva? 60 000 rubel? Sajnos (vagy inkább szerencsére) ez nem ilyen egyszerű. A kamattőkésítés teljes trükkje az, hogy minden újabb kamatfelhalmozásnál ugyanazokat a kamatokat már figyelembe veszik az új összegből! Attól, aki már számlán van Pillanatnyilag. Az előző futamidőre felhalmozott kamatot pedig hozzáadják a betét kezdeti összegéhez, és így ők maguk is részt vesznek az új kamat számításában! Vagyis a teljes számla teljes részévé válnak. vagy általános főváros. Innen ered a neve - kamatkapitalizáció.

Ez a gazdaságban van. A matematikában pedig az ilyen százalékokat hívják kamatos kamat. Vagy százalék százaléka.) A trükkjük az, hogy a szekvenciális számításnál minden alkalommal kiszámolják a százalékokat az új értéktől. Nem az eredetiből...

Ezért az összeg kiszámításához keresztül két év, a számlán lévő összeg 110%-át kell kiszámítanunk egy évben. Vagyis már 55 000 rubeltől.

55 000 rubel 110%-át tekintjük:

55000 1,1 \u003d 60500 rubel.

Ez azt jelenti, hogy a százalékos növekedés a második évben már 5500 rubel, két évre pedig 10 500 rubel lesz.

Most már sejtheti, hogy három év múlva a számlán lévő összeg a 60 500 rubel 110% -a lesz. Ez megint 110% előző (tavaly)összegeket.

Itt figyelembe vesszük:

60500 1,1 \u003d 66550 rubel.

És most a pénzösszegeinket évek szerint egymás után építjük fel:

50000;

55000 = 50000 1,1;

60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1

Szóval hogy is van ez? Miért nem geometriai progresszió? Első tag b 1 = 50000 , és a nevező q = 1,1 . Mindegyik kifejezés szigorúan 1,1-szer nagyobb, mint az előző. Minden szigorúan összhangban van a definícióval.)

És hány százalékos plusz bónuszt fog apád "bedobni", miközben az 50 000 rubele három évig a bankszámlán volt?

Hisszük:

66550 - 50000 = 16550 rubel

Persze rossz. De ez akkor van, ha a járulék kezdeti összege kicsi. Mi van, ha több? Mondjuk nem 50, hanem 200 ezer rubelt? Ezután a növekedés három évre már 66 200 rubel lesz (ha számít). Ami már nagyon jó.) És ha még nagyobb a hozzájárulás? Az az ami...

Következtetés: minél magasabb a kezdeti hozzájárulás, annál jövedelmezőbb a kamattőkésítés. Ezért a bankok hosszú távra biztosítják a kamattőkésítésű betéteket. Mondjuk öt év.

Ezenkívül mindenféle rossz betegség, mint az influenza, a kanyaró és a még szörnyűbb betegségek (ugyanaz a SARS a 2000-es évek elején vagy a pestis a középkorban) szeretnek exponenciálisan terjedni. Innen ered a járványok mértéke, igen...) És mindez azért, mert geometriai progresszióval egész pozitív nevező (q>1) - olyan dolog, ami nagyon gyorsan nő! Ne feledje a baktériumok szaporodását: egy baktériumból kettőt, kettőből négyet, négyből nyolcat és így tovább... Bármilyen fertőzés terjedésével minden ugyanaz.)

A geometriai progresszió legegyszerűbb feladatai.

Kezdjük, mint mindig, egy egyszerű problémával. Pusztán a jelentés megértéséhez.

1. Ismeretes, hogy a geometriai sorozat második tagja 6, nevezője pedig -0,5. Keresse meg az első, harmadik és negyedik kifejezést.

Tehát megadatott nekünk végtelen geometriai progresszió, jól ismert második tagja ez a fejlődés:

b2 = 6

Ezen kívül azt is tudjuk progresszió nevezője:

q = -0,5

És meg kell találni első, harmadikÉs negyedik ennek a fejlődésnek a tagjai.

Itt cselekszünk. Felírjuk a sorrendet a feladat feltételének megfelelően. Közvetlenül általánosságban, ahol a második tag a hat:

b1,6,b 3 , b 4 , …

Most kezdjük el a keresést. Kezdjük, mint mindig, a legegyszerűbbel. Kiszámolhatja például a harmadik tagot b 3? Tud! Azt már tudjuk (közvetlenül a geometriai progresszió értelmében), hogy a harmadik tag (b 3) több mint egy másodperc (b 2 ) V "q" egyszer!

Tehát ezt írjuk:

b 3 =b 2 · q

Ebben a kifejezésben a hatot helyettesítjük helyette b 2és helyette -0,5 qés azt gondoljuk. És persze a mínuszt sem hagyják figyelmen kívül ...

b 3 \u003d 6 (-0,5) \u003d -3

Mint ez. A harmadik tag negatív lett. Nem csoda: a mi nevezőnk q- negatív. És plusz mínusz szorozva természetesen mínusz lesz.)

Most a progresszió következő, negyedik tagját tekintjük:

b 4 =b 3 · q

b 4 \u003d -3 (-0,5) \u003d 1,5

A negyedik tag ismét pluszban van. Az ötödik tag ismét mínuszos lesz, a hatodik plusz, és így tovább. Jelek – alternatív!

Így a harmadik és negyedik tagot megtaláltuk. Az eredmény a következő sorrend:

b1; 6; -3; 1,5; …

Már csak az első kifejezést kell megtalálni b 1 a jól ismert második szerint. Ehhez a másik irányba, balra lépünk. Ez azt jelenti, hogy ebben az esetben nem kell a progresszió második tagját megszoroznunk a nevezővel, hanem Ossza meg.

Osztjuk és megkapjuk:

Ez minden.) A probléma válasza a következő lesz:

-12; 6; -3; 1,5; …

Mint látható, a megoldási elv ugyanaz, mint a -ban. Tudjuk Bármi tagja és névadó geometriai progresszió – bármilyen más kifejezést is találhatunk. Amit akarunk, találunk.) Az egyetlen különbség az, hogy az összeadást/kivonást felváltja a szorzás/osztás.

Ne feledje: ha ismerjük egy geometriai sorozat legalább egy tagját és nevezőjét, akkor mindig megtaláljuk ennek a progressziónak bármely másik tagját.

A következő feladat a hagyomány szerint az OGE valódi változatából származik:

2.

…; 150; X; 6; 1,2; …

Szóval hogy is van ez? Ezúttal nincs első tag, nincs nevező q, csak egy számsor van megadva... Valami ismerős már, igaz? Igen! Hasonló problémával már foglalkoztunk a számtani haladásban!

Itt nem félünk. Minden a régi. Fordítsa fel a fejét, és emlékezzen a geometriai progresszió elemi jelentésére. Alaposan megnézzük a sorozatunkat, és kitaláljuk, hogy a három fő geometriai progressziójának mely paraméterei (első tag, nevező, tagszám) rejtőznek benne.

Tagszámok? Nincs tagszám, igen... De van négy egymást követő számok. Hogy ez a szó mit jelent, annak ebben a szakaszban nem látom értelmét elmagyarázni.) Van-e kettő szomszédos ismert számok? Eszik! Ezek a 6 és 1.2. Tehát megtalálhatjuk progresszió nevezője. Tehát vesszük az 1,2 számot és elosztjuk az előző számra. Hatért.

Kapunk:

Kapunk:

x= 150 0,2 = 30

Válasz: x = 30 .

Mint látható, minden nagyon egyszerű. A fő nehézség csak a számításokban rejlik. Különösen nehéz a negatív és a tört nevezők esetében. Tehát akinek problémái vannak, ismételje meg a számolást! Hogyan dolgozzunk törtekkel, hogyan dolgozzunk negatív számokkal, és így tovább... Különben itt kíméletlenül lelassul.

Most változtassunk egy kicsit a problémán. Most érdekes lesz! Távolítsuk el belőle az utolsó 1.2-es számot. Most oldjuk meg ezt a problémát:

3. Egy geometriai progresszió több egymást követő tagját írjuk ki:

…; 150; X; 6; …

Keresse meg a progresszió tagját, amelyet x betű jelöl!

Minden ugyanaz, csak két szomszéd híres már nincsenek tagjaink a progressziónak. Ez a fő probléma. Mert a nagyságrend q két szomszédos kifejezésen keresztül már könnyen meghatározhatjuk nem tehetjük. Van esélyünk megfelelni a kihívásnak? Biztosan!

Írjuk fel az ismeretlen kifejezést" x"Közvetlenül a geometriai progresszió értelmében! Általánosságban.

Igen igen! Közvetlenül ismeretlen nevezővel!

Egyrészt x-re a következő arányt írhatjuk fel:

x= 150q

Másrészt jogunk van ugyanazt az X-et átfesteni következő tag, a hatoson keresztül! Osszuk el a hatot a nevezővel.

Mint ez:

x = 6/ q

Nyilvánvaló, hogy most egyenlőségjelet tehetünk mindkét arány között. Mivel kifejezzük ugyanazérték (x), de kettő különböző utak.

Kapjuk az egyenletet:

Mindent megszorozva ezzel q, leegyszerűsítve, redukálva a következő egyenletet kapjuk:

q 2 \u003d 1/25

Megoldjuk és megkapjuk:

q = ±1/5 = ±0,2

Hoppá! A nevező dupla! +0,2 és -0,2. És melyiket válasszam? Zsákutca?

Nyugodt! Igen, a probléma valóban fennáll két megoldás! Nincs ezzel semmi baj. Előfordul.) Nem csodálkozik, ha például a szokásos megoldásával két gyökeret kap? Itt is ugyanaz a történet.)

Mert q = +0,2 kapunk:

X \u003d 150 0,2 \u003d 30

És azért q = -0,2 akarat:

X = 150 (-0,2) = -30

Kettős választ kapunk: x = 30; x = -30.

Mit jelent ez az érdekes tény? És ami létezik két progresszió, kielégítve a probléma feltételét!

Mint ezek:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Mindkettő alkalmas.) Ön szerint mi az oka a válaszok kettéosztottságának? Már csak a progresszió egy meghatározott tagjának kiesése miatt (1,2), a hatos után jön. És a geometriai haladásnak csak az előző (n-1)-edik és az azt követő (n+1)-edik tagját ismerve már nem mondhatunk egyértelműen semmit a közöttük álló n-edik tagról. Két lehetőség van - plusz és mínusz.

De nem számít. Általános szabály, hogy a geometriai progresszióra vonatkozó feladatokban további információk találhatók, amelyek egyértelmű választ adnak. Mondjuk a szavakat: "jel váltakozó progresszió" vagy "progresszió pozitív nevezővel"és így tovább... Ezek a szavak szolgáljanak támpontként, hogy melyik plusz vagy mínusz jelet válasszuk a végső válasz megírásakor. Ha nincs ilyen információ, akkor - igen, a feladatnak meglesz két megoldás.)

És most mi magunk döntünk.

4. Határozza meg, hogy a 20-as szám tagja-e egy geometriai progressziónak:

4 ; 6; 9; …

5. Adott egy váltakozó geometriai progresszió:

…; 5; x ; 45; …

Keresse meg a betűvel jelzett progresszió tagját! x .

6. Keresse meg a geometriai progresszió negyedik pozitív tagját:

625; -250; 100; …

7. A geometriai progresszió második tagja -360, ötödik tagja pedig 23,04. Keresse meg ennek a folyamatnak az első tagját.

Válaszok (rendetlenségben): -15; 900; Nem; 2.56.

Gratulálok, ha minden sikerült!

Valami nem stimmel? Van valahol kettős válasz? Figyelmesen olvassuk el a megbízás feltételeit!

Az utolsó rejtvény nem működik? Nincs ott semmi bonyolult.) Közvetlenül a geometriai progresszió jelentése szerint dolgozunk. Nos, rajzolhatsz egy képet. Segít.)

Amint látja, minden elemi. Ha a progresszió rövid. Mi van, ha hosszú? Vagy nagyon nagy a kívánt tag száma? Szeretnék egy aritmetikai progresszió analógiájával valahogy egy kényelmes képletet kapni, amely megkönnyíti a megtalálást Bármi bármely geometriai progresszió tagja száma szerint. Anélkül, hogy sokszorosára megszoroznánk q. És van egy ilyen képlet!) Részletek - a következő leckében.

Óra és előadás a témában: "Számsorozatok. Geometriai progresszió"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az "Integral" online áruházban a 9. osztály számára
Hatványok és gyökerek Függvények és grafikonok

Srácok, ma egy másik típusú progresszióval fogunk megismerkedni.
A mai óra témája a geometriai progresszió.

Geometriai progresszió

Meghatározás. Olyan numerikus sorozat, amelyben minden tag, a másodikkal kezdődően, egyenlő a termékkel az előző és valamilyen rögzített számot geometriai progressziónak nevezzük.
Definiáljuk rekurzívan a sorozatunkat: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
ahol b és q bizonyos megadott számok. A q számot a progresszió nevezőjének nevezzük.

Példa. 1,2,4,8,16… Geometriai progresszió, amelyben az első tag eggyel egyenlő, és $q=2$.

Példa. 8,8,8,8… Egy geometriai progresszió, amelynek első tagja nyolc,
és $q=1$.

Példa. 3,-3,3,-3,3... Egy geometriai progresszió, amelynek első tagja három,
és $q=-1$.

A geometriai progresszió monoton tulajdonságokkal rendelkezik.
Ha $b_(1)>0$, $q>1$,
akkor a sorrend növekszik.
Ha $b_(1)>0$, akkor $0 A sorozatot általában a következőképpen jelölik: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Csakúgy, mint egy aritmetikai sorozatnál, ha a geometriai sorozat elemeinek száma véges, akkor a haladást véges geometriai sorozatnak nevezzük.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Vegye figyelembe, hogy ha a sorozat egy geometriai sorozat, akkor a négyzetes tagok sorozata is geometriai sorozat. A második sorozat első tagja $b_(1)^2$ és nevezője $q^2$.

Egy geometriai sorozat n-edik tagjának képlete

A geometriai progresszió analitikus formában is megadható. Lássuk, hogyan kell csinálni:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Könnyen láthatjuk a mintát: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Képletünket "a geometriai progresszió n-edik tagjának képletének" nevezzük.

Térjünk vissza példáinkhoz.

Példa. 1,2,4,8,16… Egy geometriai sorozat, amelynek első tagja egyenlő eggyel,
és $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Példa. 16,8,4,2,1,1/2… Egy geometriai progresszió, amelynek első tagja tizenhat és $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Példa. 8,8,8,8… Egy geometriai progresszió, ahol az első tag nyolc és $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Példa. 3,-3,3,-3,3… Egy geometriai progresszió, amelynek első tagja három és $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Példa. Adott egy $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ geometriai progresszió.
a) Ismeretes, hogy $b_(1)=6, q=3$. Keresse meg $b_(5)$.
b) Ismeretes, hogy $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Keresse meg n.
c) Ismeretes, hogy $q=-2, b_(6)=96$. Keresse meg $b_(1)$.
d) Ismeretes, hogy $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Keresse meg a q-t.

Megoldás.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, mivel $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Példa. A geometriai sorozat hetedik és ötödik tagja közötti különbség 192, a haladás ötödik és hatodik tagjának összege 192. Határozzuk meg ennek a progressziónak a tizedik tagját!

Megoldás.
Tudjuk, hogy: $b_(7)-b_(5)=192$ és $b_(5)+b_(6)=192$.
Tudjuk még: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Akkor:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Kaptunk egy egyenletrendszert:
$\begin(esetek)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(esetek)$.
Kiegyenlítve az egyenleteink a következőket kapják:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Két q megoldást kaptunk: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Helyettesítse be egymás után a második egyenletet:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ nincs megoldás.
Ezt kaptuk: $b_(1)=4, q=2$.
Keressük a tizedik tagot: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Egy véges geometriai progresszió összege

Tegyük fel, hogy van véges geometriai progressziónk. Számítsuk ki a tagok összegét, akárcsak egy aritmetikai progresszió esetén.

Legyen adott egy véges geometriai progresszió: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Vezessük be a tagok összegének jelölését: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Abban az esetben, ha $q=1$. A geometriai haladás minden tagja egyenlő az első taggal, ekkor nyilvánvaló, hogy $S_(n)=n*b_(1)$.
Tekintsük most a $q≠1$ esetet.
Szorozzuk meg a fenti összeget q-val.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Jegyzet:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Megkaptuk a véges geometriai haladás összegének képletét.

Példa.
Határozzuk meg egy olyan geometriai folyamat első hét tagjának összegét, amelynek első tagja 4, nevezője pedig 3.

Megoldás.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Példa.
Keresse meg a geometriai progresszió ötödik tagját, amely ismert: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072 $; $S_(n)=-4095 $.

Megoldás.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
-4095 $(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095 $(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

A geometriai progresszió jellemző tulajdonsága

Srácok, geometriai progresszió alapján. Tekintsük ennek három egymást követő tagját: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Tudjuk:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Akkor:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Ha a progresszió véges, akkor ez az egyenlőség az első és az utolsó kivételével minden tagra érvényes.
Ha nem ismert előre, hogy milyen sorozata van a sorozatnak, de ismert, hogy: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Akkor nyugodtan kijelenthetjük, hogy ez egy geometriai progresszió.

Egy számsorozat csak akkor geometriai sorozat, ha minden tagjának négyzete egyenlő a haladás két szomszédos tagjának szorzatával. Ne felejtsük el, hogy véges progresszió esetén ez a feltétel nem teljesül az első és az utolsó tagra.

Nézzük ezt az azonosságot: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ az átlag geometriai számok a és b.

Egy geometriai progresszió bármely tagjának modulusa egyenlő a vele szomszédos két tag geometriai átlagával.

Példa.
Keresse meg x-et úgy, hogy $x+2; 2x+2; A 3x+3$ egy geometriai progresszió három egymást követő tagja volt.

Megoldás.
Használjuk a jellemző tulajdonságot:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ és $x_(2)=-1$.
Helyettesítsük be egymás után az eredeti kifejezést, megoldásaink:
$x=2$ esetén a következő sorozatot kaptuk: 4;6;9 egy geometriai progresszió, ahol $q=1.5$.
$x=-1$ értékkel a következő sorrendet kaptuk: 1;0;0.
Válasz: $x=2.$

Önálló megoldási feladatok

1. Keresse meg a 16; -8; 4; -2 ... geometriai progresszió nyolcadik első tagját.
2. Keresse meg a 11,22,44… geometriai haladás tizedik tagját.
3. Ismeretes, hogy $b_(1)=5, q=3$. Keresse meg $b_(7)$.
4. Ismeretes, hogy $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Keresse meg n.
5. Határozza meg a 3;12;48… geometriai sorozat első 11 tagjának összegét!
6. Keress x-et úgy, hogy $3x+4; 2x+4; x+5$ egy geometriai sorozat három egymást követő tagja.

Példa a geometriai progresszióra: 2, 6, 18, 54, 162.

Itt az első utáni minden kifejezés az előző háromszorosa. Azaz minden következő tag az előző tag 3-mal való szorzatának eredménye:

2 3 = 6

6 3 = 18

18 3 = 54

54 3 = 162 .

Példánkban, amikor a második tagot elosztjuk az elsővel, a harmadikat a másodikkal, és így tovább. 3-at kapunk. A 3-as szám ennek a geometriai progressziónak a nevezője.

Példa:

Térjünk vissza a 2., 6., 18., 54., 162. geometriai progressziónkhoz. Vegyük a negyedik tagot, és emeljük négyzetbe:
54 2 = 2916.

Most megszorozzuk az 54-es számtól balra és jobbra eső kifejezéseket:

18 162 = 2916.

Mint látható, a harmadik tag négyzete egyenlő a szomszédos második és negyedik tag szorzatával.

1. példa: Vegyünk egy geometriai folyamatot, amelyben az első tag egyenlő 2-vel, a geometriai haladás nevezője pedig 1,5. Meg kell találnunk ennek a folyamatnak a 4. tagját.

Adott:
b 1 = 2

q = 1,5
n = 4

————
b 4 - ?

Megoldás.

A képlet alkalmazása b n= b 1 q n- 1, beillesztve a megfelelő értékeket:
b 4 = 2 1,5 4 - 1 = 2 1,5 3 = 2 3,375 \u003d 6,75.

Válasz: Egy adott geometriai sorozat negyedik tagja a 6,75.

2. példa: Keresse meg a geometriai progresszió ötödik tagját, ha az első és a harmadik tag 12, illetve 192.

Adott:
b 1 = 12
b 3 = 192
————
b 5 - ?

Megoldás.

1) Először meg kell találnunk egy geometriai haladás nevezőjét, amely nélkül lehetetlen megoldani a feladatot. Első lépésként a képletünk segítségével levezetjük a b 3 képletét:

b 3 = b 1 q 3 - 1 = b 1 q 2

Most megtaláljuk a geometriai progresszió nevezőjét:

b 3 192
q 2 = —— = —— = 16
b 1 12

q= √16 = 4 vagy -4.

2) Meg kell találni az értéket b 5 .
Ha q= 4, akkor

b 5 = b 1 q 5-1 = 12 4 4 = 12 256 = 3072.

Nál nél q= -4 az eredmény ugyanaz lesz. Így a problémának egy megoldása van.

Válasz: Az adott geometriai progresszió ötödik tagja a 3072 szám.

Példa: Keresse meg a geometriai progresszió első öt tagjának összegét ( b n), amelyben az első tag egyenlő 2-vel, a geometriai sorozat nevezője pedig 3.

Adott:

b 1 = 2

q = 3

n = 5
————
S 5 - ?

Megoldás.

A fenti kettő közül a második képletet alkalmazzuk:

b 1 (q 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 (243 - 1) 484
S 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
q - 1 3 - 1 2 2

Válasz: Egy adott geometriai sorozat első öt tagjának összege 242.

Egy végtelen geometriai progresszió összege.

Különbséget kell tenni a "végtelen geometriai haladás összege" és az "összeg" között. n egy geometriai progresszió tagjai. A második fogalom bármilyen geometriai progresszióra vonatkozik, az első pedig csak arra, ahol a nevező kisebb, mint 1 modulo.

Tehát üljünk le és kezdjünk el néhány számot írni. Például:

Bármilyen számot írhat, és annyi lehet, amennyit akar (esetünkben ezek). Akárhány számot írunk, mindig meg tudjuk mondani, hogy melyik az első, melyik a második, és így tovább az utolsóig, vagyis meg tudjuk számozni. Ez egy példa egy számsorozatra:

Numerikus sorozat számok halmaza, amelyek mindegyikéhez egyedi szám rendelhető.

Például a sorozatunkhoz:

A hozzárendelt szám csak egy sorszámra vonatkozik. Más szóval, nincs három másodperces szám a sorozatban. A második szám (mint a -edik szám) mindig ugyanaz.

A számot tartalmazó számot a sorozat -edik tagjának nevezzük.

Általában az egész sorozatot valamilyen betűnek hívjuk (például), és ennek a sorozatnak minden tagja - ugyanaz a betű, amelynek indexe megegyezik ennek a tagnak a számával: .

A mi esetünkben:

A progresszió leggyakoribb típusai az aritmetikai és a geometriai. Ebben a témában a második típusról fogunk beszélni - geometriai progresszió.

Miért van szükségünk geometriai progresszióra és annak történetére?

Már az ókorban is az olasz matematikus, Leonardo pisai szerzetes (ismertebb nevén Fibonacci) foglalkozott a kereskedelem gyakorlati szükségleteivel. A szerzetes azzal a feladattal állt szemben, hogy megállapítsa, mi a legkisebb súlyszám, amellyel az árut le lehet mérni? Fibonacci írásaiban bebizonyítja, hogy egy ilyen súlyrendszer optimális: Ez az egyik első olyan helyzet, amikor az embereknek olyan geometriai haladással kellett megküzdeniük, amelyről valószínűleg hallottál, és legalábbis általános elképzelésed van róla. Miután teljesen megértette a témát, gondolja át, miért optimális egy ilyen rendszer?

Jelenleg az életgyakorlatban egy geometriai progresszió nyilvánul meg a pénzeszközök banki befektetésénél, amikor az előző időszakban a számlán felhalmozott összeg után kamatoznak. Vagyis ha egy takarékpénztárban lekötött betétre helyez el pénzt, akkor egy év alatt a betét az eredeti összeghez képest eggyel nő, pl. az új összeg megegyezik a járulék szorzatával. Egy másik évben ez az összeg i.е. az ekkor kapott összeget ismét megszorozzuk és így tovább. Hasonló helyzetet írnak le a számítási problémáknál az ún kamatos kamat- a százalékot minden alkalommal a számlán lévő összegből veszik, figyelembe véve a korábbi kamatot. Ezekről a feladatokról egy kicsit később lesz szó.

Sok egyszerűbb eset van, amikor geometriai progressziót alkalmaznak. Például az influenza terjedése: az egyik ember megfertőzött egy embert, ő viszont megfertőzött egy másikat, és így a fertőzés második hulláma egy személy, és ő fertőzött meg egy másikat... és így tovább. .

Egyébként a pénzügyi piramis, ugyanaz az MMM, egy egyszerű és száraz számítás a geometriai progresszió tulajdonságai szerint. Érdekes? Találjuk ki.

Geometriai progresszió.

Tegyük fel, hogy van egy számsorunk:

Azonnal azt válaszolod, hogy könnyű, és egy ilyen sorozat neve a tagok különbségével van. Mit szólnál valami ehhez hasonlóhoz:

Ha kivonja az előző számot a következő számból, akkor látni fogja, hogy minden alkalommal, amikor új különbséget kap (és így tovább), de a sorozat határozottan létezik, és könnyen észrevehető - minden következő szám szor nagyobb, mint az előző !

Ezt a sorozattípust ún geometriai progresszióés meg van jelölve.

A geometriai progresszió ( ) olyan numerikus sorozat, amelynek első tagja különbözik nullától, és a másodiktól kezdve minden tag megegyezik az előzővel, megszorozva ugyanazzal a számmal. Ezt a számot nevezzük a geometriai progresszió nevezőjének.

Azok a megkötések, amelyek szerint az első tag ( ) nem egyenlő, és nem véletlenszerűek. Tegyük fel, hogy nincs ilyen, és az első tag még mindig egyenlő, és q az, hmm .. legyen, akkor kiderül:

Egyetért azzal, hogy ez nem fejlődés.

Amint érti, ugyanazt az eredményt kapjuk, ha bármely szám nullától eltérő, de. Ezekben az esetekben egyszerűen nem lesz előrehaladás, mivel az egész számsorozat vagy csupa nulla lesz, vagy egy szám és az összes többi nulla.

Most beszéljünk részletesebben a geometriai progresszió nevezőjéről, azaz kb.

Ismét ez a szám hányszor változik minden következő tag geometriai progresszió.

Szerinted mi lehet? Ez így van, pozitív és negatív, de nem nulla (erről egy kicsit feljebb beszéltünk).

Tegyük fel, hogy van pozitívumunk. Legyen esetünkben a. Mi a második kifejezés és? Könnyen válaszolhatsz erre:

Rendben. Ennek megfelelően, ha, akkor a progresszió minden következő tagjának ugyanaz a jele - ők pozitív.

Mi van, ha negatív? Például a. Mi a második kifejezés és?

Ez egy teljesen más történet

Próbáld meg számolni ennek a progressziónak a tagját. mennyit kaptál? Nekem van. Így ha, akkor a geometriai progresszió tagjainak előjelei váltakoznak. Azaz, ha a tagjai között váltakozó előjelű progressziót látunk, akkor annak nevezője negatív. Ez a tudás segíthet abban, hogy próbára tegye magát a témával kapcsolatos problémák megoldása során.

Most gyakoroljunk egy kicsit: próbáljuk meg meghatározni, hogy mely numerikus sorozatok geometriai, és melyek aritmetikai sorozatok:

Megvan? Hasonlítsa össze válaszainkat:

• Geometriai progresszió - 3, 6.
• Aritmetikai progresszió - 2, 4.
• Ez sem nem aritmetikai, sem nem geometriai sorozat – 1, 5, 7.

Térjünk vissza az utolsó folyamatunkhoz, és próbáljuk meg megtalálni a tagját ugyanúgy, mint az aritmetikában. Amint azt már sejtette, kétféleképpen találhatja meg.

Minden tagot egymás után szorozunk meg.

Tehát a leírt geometriai progresszió -edik tagja egyenlő.

Ahogy már sejti, most maga fog levezetni egy képletet, amely segít megtalálni a geometriai progresszió bármely tagját. Vagy már kihoztad magadnak, leírva, hogyan találd meg a th tagot szakaszosan? Ha igen, akkor ellenőrizze érvelésének helyességét.

Illusztráljuk ezt a folyamat -edik tagjának megtalálásának példájával:

Más szavakkal:

Találja meg magának egy adott geometriai progresszió egy tagjának értékét.

Megtörtént? Hasonlítsa össze válaszainkat:

Ügyeljen arra, hogy pontosan ugyanazt a számot kapta, mint az előző módszernél, amikor egymás után szoroztuk a geometriai progresszió minden korábbi tagjával.
Próbáljuk meg "személyteleníteni" ezt a képletet - általános formába hozzuk, és megkapjuk:

A származtatott képlet minden értékre igaz - pozitív és negatív is. Ellenőrizd magad úgy, hogy kiszámítod a geometriai progresszió tagjait a következő feltételekkel: , a.

számoltál? Hasonlítsuk össze az eredményeket:

Egyetért azzal, hogy a progresszió tagját ugyanúgy meg lehetne találni, mint egy tagot, azonban fennáll a téves számítás lehetősége. És ha már megtaláltuk egy geometriai progresszió th tagját, a, akkor mi lehet egyszerűbb, mint a képlet „csonkított” részét használni.

Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió.

Nemrég beszéltünk arról, hogy mi lehet nagyobb vagy kisebb nullánál, de vannak speciális értékek, amelyekre a geometriai progressziót ún. végtelenül csökkenő.

Szerinted miért van ilyen neve?
Kezdésként írjunk fel néhány tagokból álló geometriai progressziót.
Akkor mondjuk:

Látjuk, hogy minden következő tag kisebb, mint az előző, de lesz-e szám? Azonnal nemmel válaszol. Éppen ezért a végtelenül csökkenő - csökken, csökken, de soha nem lesz nulla.

Annak érdekében, hogy világosan megértsük, hogyan néz ki ez vizuálisan, próbáljunk meg rajzolni egy grafikont a fejlődésünkről. Tehát esetünkben a képlet a következő formában jelenik meg:

A diagramokon megszoktuk, hogy függőséget építsünk a következőktől:

A kifejezés lényege nem változott: az első bejegyzésben egy geometriai progressziótag értékének a sorszámától való függését mutattuk be, a második bejegyzésben pedig egyszerűen egy geometriai progresziós tag értékét vettük fel, és a sorszámot nem nek, hanem asnak jelölték. Már csak a grafikon felrajzolása van hátra.
Lássuk, mit kaptál. Íme a diagram, amit kaptam:

Lát? A függvény csökken, nullára hajlik, de soha nem lépi át, tehát végtelenül csökken. Jelöljük a grafikonon a pontjainkat, és ezzel egyidejűleg mit jelent a koordináta és:

Próbáljon meg sematikusan ábrázolni egy geometriai progresszió grafikonját, ha az első tagja is egyenlő. Elemezze, mi a különbség az előző diagramunkhoz képest?

Sikerült? Íme a diagram, amit kaptam:

Most, hogy teljesen megértette a geometriai progresszió témakörének alapjait: tudja, mi az, tudja, hogyan találja meg a tagját, és azt is tudja, mi az a végtelenül csökkenő geometriai progresszió, térjünk át fő tulajdonságára.

geometriai progresszió tulajdonsága.

Emlékszel egy számtani sorozat tagjainak tulajdonságára? Igen, igen, hogyan lehet megkeresni egy bizonyos számú progresszió értékét, ha ennek a progressziónak a tagjainak vannak előző és későbbi értékei. Emlékezett? Ez:

Most pontosan ugyanezzel a kérdéssel állunk szemben a geometriai progresszió feltételeivel kapcsolatban. Egy ilyen képlet levezetéséhez kezdjünk el rajzolni és érvelni. Meglátod, nagyon egyszerű, és ha elfelejted, magad is elő tudod hozni.

Vegyünk egy másik egyszerű geometriai progressziót, amelyben ismerjük és. Hogyan lehet megtalálni? A számtani progresszióval ez könnyű és egyszerű, de hogy is van ez itt? Valójában a geometriában sincs semmi bonyolult - csak meg kell festeni minden nekünk adott értéket a képlet szerint.

Kérdezi, és most mit csináljunk vele? Igen, nagyon egyszerű. Először ábrázoljuk ezeket a képleteket az ábrán, és próbáljunk meg velük különféle manipulációkat végezni, hogy értéket kapjunk.

A megadott számoktól elvonatkoztatunk, csak a képlet segítségével történő kifejezésükre koncentrálunk. Meg kell találnunk a kiemelt értéket narancs, ismerve a mellette lévő kifejezéseket. Próbáljunk meg velük különféle akciókat végrehajtani, aminek eredményeként kaphatunk.

Kiegészítés.
Próbáljunk meg két kifejezést hozzáadni, és a következőt kapjuk:

Ebből a kifejezésből, mint láthatja, semmilyen módon nem fogunk tudni kifejezni, ezért megpróbálunk egy másik lehetőséget - a kivonást.

Kivonás.

Amint látható, ebből sem tudunk kifejezni, ezért ezeket a kifejezéseket megpróbáljuk megszorozni egymással.

Szorzás.

Most alaposan nézzük meg, mi áll rendelkezésünkre, és szorozzuk meg a nekünk adott geometriai progresszió feltételeit ahhoz képest, amit találni kell:

Képzeld, miről beszélek? Rendben, hogy megtaláljuk, el kell fogadnunk Négyzetgyök a kívánt számmal szomszédos geometriai progressziós számokból, szorozva egymással:

Tessék. Te magad vezetted le a geometriai progresszió tulajdonságát. Próbálja meg általános formában leírni ezt a képletet. Megtörtént?

Mikor felejtette el az állapotot? Gondolja át, miért fontos, például próbálja kiszámolni saját maga, a. Mi történik ebben az esetben? Így van, teljes hülyeség, hiszen a képlet így néz ki:

Ennek megfelelően ne felejtse el ezt a korlátozást.

Most számoljuk ki, mi az

Helyes válasz - ! Ha a számításnál nem felejtette el a második lehetséges értéket, akkor nagyszerű fickó vagy, és azonnal folytathatja a képzést, ha pedig elfelejtette, olvassa el az alábbiakban elemzetteket, és figyeljen arra, hogy miért kell mindkét gyökeret beírni a válaszba .

Rajzoljuk meg mindkét geometriai progressziónkat – az egyiket értékkel, a másikat pedig egy értékkel, és ellenőrizzük, hogy mindkettőnek van-e létjogosultsága:

Annak ellenőrzéséhez, hogy létezik-e ilyen geometriai progresszió vagy sem, meg kell nézni, hogy az összes adott tagja között azonos-e? Számítsa ki q-t az első és a második esetre!

Látod, miért kell két választ írnunk? Mert a szükséges tag előjele attól függ, hogy pozitív vagy negatív! És mivel nem tudjuk, mi az, mindkét választ plusz és mínusz jelekkel kell írnunk.

Most, hogy elsajátította a főbb pontokat és levezette a geometriai progresszió tulajdonságának képletét, keresse meg, ismerje meg és

Hasonlítsa össze válaszait a helyes válaszokkal:

Mit gondolsz, mi lenne, ha nem a kívánt számmal szomszédos, hanem attól egyenlő távolságra lévő geometriai progresszió tagjainak értékeit adnánk meg. Például meg kell találnunk, és adott és. Használhatjuk ebben az esetben az általunk levezetett képletet? Ugyanígy próbálja megerősíteni vagy cáfolni ezt a lehetőséget, és leírja, hogy az egyes értékek miből állnak, ahogyan a képlet kezdeti származtatása során is tette.
Mit kaptál?

Most nézze meg újra figyelmesen.
és ennek megfelelően:

Ebből arra következtethetünk, hogy a képlet működik nem csak a szomszéddal egy geometriai progresszió kívánt tagjaival, hanem azzal is egyenlő távolságra abból, amit a tagok keresnek.

Így az eredeti képletünk a következő:

Vagyis ha az első esetben ezt mondtuk, akkor most azt mondjuk, hogy bármelyikkel egyenlő lehet természetes szám, ami kevesebb. A lényeg, hogy mindkét megadott szám azonos legyen.

Gyakorlás a konkrét példák csak légy nagyon óvatos!

1. , . Megtalálja.
2. , . Megtalálja.
3. , . Megtalálja.

Határozott? Remélem rendkívül figyelmes voltál, és észrevettél egy kis fogást.

Összehasonlítjuk az eredményeket.

Az első két esetben nyugodtan alkalmazzuk a fenti képletet, és a következő értékeket kapjuk:

A harmadik esetben a rendelkezésünkre bocsátott számok sorszámának gondos mérlegelése után megértjük, hogy azok nem egyforma távolságra vannak a keresett számtól: ez az előző szám, de helyéről eltávolítva, így nem lehetséges. a képlet alkalmazásához.

Hogyan lehet megoldani? Valójában nem olyan nehéz, mint amilyennek látszik! Írjuk fel veled, hogy az egyes nekünk adott számok és a kívánt számok miből állnak.

Tehát van és. Lássuk, mit tehetünk velük. Felosztást javaslom. Kapunk:

Adatainkat behelyettesítjük a képletbe:

A következő lépést megtalálhatjuk - ehhez meg kell vennünk a kapott szám kockagyökét.

Most pedig nézzük meg újra, mi van. Megvan, de meg kell találnunk, és ez viszont egyenlő:

A számításhoz minden szükséges adatot megtaláltunk. Helyettesítsd be a képletben:

A mi válaszunk: .

Próbáljon meg saját maga megoldani egy másik problémát:
Adott: ,
Megtalálja:

mennyit kaptál? Nekem van - .

Amint látja, valójában szüksége van rá csak egy képletre emlékezz- . A többit bármikor, nehézség nélkül visszavonhatja. Ehhez egyszerűen írja fel a legegyszerűbb geometriai folyamatot egy papírra, és írja le, hogy a fenti képlet szerint melyik számmal egyenlő.

Egy geometriai progresszió tagjainak összege.

Tekintsük most azokat a képleteket, amelyek lehetővé teszik, hogy gyorsan kiszámítsuk egy adott intervallumban a geometriai progresszió tagjainak összegét:

Egy véges geometriai haladás tagösszegének képletének levezetéséhez a fenti egyenlet minden részét megszorozzuk. Kapunk:

Nézd meg alaposan: mi a közös az utolsó két képletben? Így van, például a közös tagok és így tovább, kivéve az első és az utolsó tagot. Próbáljuk meg kivonni az 1. egyenletet a 2. egyenletből. Mit kaptál?

Most fejezzük ki egy geometriai progresszió tagjának képletével, és helyettesítsük az eredményül kapott kifejezést az utolsó képletünkben:

Csoportosítsa a kifejezést. Meg kell szerezned:

Már csak annyit kell tenni, hogy kifejezzük:

Ennek megfelelően ebben az esetben.

Mi van ha? Milyen képlet működik akkor? Képzeljünk el egy geometriai progressziót itt. Írd őt körül? Helyes sor ugyanazok a számok, tehát a képlet így fog kinézni:

Az aritmetikai és geometriai progresszióhoz hasonlóan sok legenda létezik. Az egyik Seth legendája, a sakk megalkotója.

Sokan tudják, hogy a sakkjátékot Indiában találták fel. Amikor a hindu király találkozott vele, el volt ragadtatva a nő szellemességétől és a lehetséges pozíciók sokféleségétől. Amikor megtudta, hogy az egyik alattvalója találta ki, a király úgy döntött, hogy személyesen jutalmazza meg. Magához hívta a feltalálót, és megparancsolta, hogy bármit kérjen tőle, megígérte, hogy a legügyesebb vágyat is teljesíti.

Seta gondolkodási időt kért, és amikor másnap Seta megjelent a király előtt, meglepte a királyt kérésének páratlan szerénységével. Búzaszemet kért a sakktábla első mezőjére, búzát a másodikra, a harmadikra, a negyedikre stb.

A király mérges volt, és elűzte Sethet, mondván, hogy a szolga kérése méltatlan a királyi nagylelkűséghez, de megígérte, hogy a szolga megkapja a gabonáját a tábla összes cellájáért.

És most a kérdés a következő: a geometriai progresszió tagjainak összegének képletével számítsuk ki, hány szemcsét kell kapnia Sethnek?

Kezdjük a vitát. Mivel a feltétel szerint Seth búzaszemet kért a sakktábla első cellájába, a másodikba, a harmadikba, a negyedikbe stb., látjuk, hogy a probléma geometriai haladásról szól. Mi egyenlő ebben az esetben?
Jobb.

A sakktábla összes cellája. Illetve,. Minden adatunk megvan, már csak be kell pótolni a képletet és kiszámolni.

Ahhoz, hogy egy adott szám "skáláit" legalább megközelítőleg ábrázoljuk, transzformáljuk a fok tulajdonságait:

Persze ha akarod, elővehetsz egy számológépet és kiszámolhatod, hogy milyen számra kerülsz, ha pedig nem, akkor szavamat kell fogadnod: a kifejezés végső értéke lesz.
Azaz:

kvintimillió kvadrillió billió milliárd millió ezer.

Fuh) Ha el akarja képzelni ennek a számnak a nagyságát, akkor becsülje meg, mekkora istállóra lenne szükség a teljes gabonamennyiség befogadásához.
M-es pajtamagasságnál és m-es szélességnél a hosszának km-re kellene kinyúlnia, i.e. kétszer olyan messze van a Földtől a Napig.

Ha a király erős lenne a matematikában, felajánlhatná magát a tudósnak, hogy számolja meg a szemeket, mert ahhoz, hogy megszámoljon egy millió szemet, legalább egy nap fáradhatatlan számolásra lenne szüksége, és tekintettel arra, hogy meg kell számolni a kvintilliókat, a szemeket egész életében számolni kellene.

És most megoldunk egy egyszerű feladatot egy geometriai progresszió tagjának összegén.
Vasya, az 5. osztályos tanuló megbetegedett influenzában, de továbbra is iskolába jár. Vasya minden nap két embert fertőz meg, akik viszont további két embert, és így tovább. Csak egy ember az osztályban. Hány nap múlva lesz influenzás az egész osztály?

Tehát a geometriai progresszió első tagja Vasya, azaz egy személy. a geometriai progresszió tagja, ez az a két ember, akiket érkezése első napján fertőzött meg. Az előmeneteli tagok összege megegyezik az 5A tanulólétszámmal. Ennek megfelelően olyan fejlődésről beszélünk, amelyben:

Helyettesítsük be az adatainkat a geometriai haladás tagjainak összegének képletébe:

Az egész osztály megbetegszik napokon belül. Nem hiszel a képletekben és a számokban? Próbáld meg te magad ábrázolni a tanulók "fertőzését". Megtörtént? Nézze meg, hogy néz ki számomra:

Számítsd ki magad, hogy a tanulók hány napon kapnának influenzát, ha mindenki megfertőzne egy embert, és van egy személy az osztályban.

Milyen értéket kaptál? Kiderült, hogy egy nap után mindenki rosszul lett.

Mint látható, egy ilyen feladat és a hozzá tartozó rajz egy piramishoz hasonlít, amelyben minden következő új embereket „hoz”. Előbb-utóbb azonban eljön az a pillanat, amikor ez utóbbi nem tud senkit vonzani. Esetünkben, ha azt képzeljük, hogy az osztály elszigetelődött, a származási személy zárja a láncot (). Így ha egy személy részt vesz egy pénzügyi piramisban, amelyben pénzt adtak, ha két másik résztvevőt hoz, akkor az illető (vagy általános esetben) nem hozna senkit, illetve mindent elveszítene, amit ebbe a pénzügyi átverésbe fektetett. .

Minden, amit fent mondtunk, csökkenő vagy növekvő geometriai progresszióra vonatkozik, de, mint emlékszel, van egy különleges fajtánk - egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió. Hogyan kell kiszámítani a tagok összegét? És miért vannak ennek a fajta progressziónak bizonyos jellemzői? Találjuk ki együtt.

Tehát kezdésként nézzük meg újra ezt a képet egy végtelenül csökkenő geometriai progresszióról a példánkból:

És most nézzük meg a geometriai progresszió összegének képletét, amely egy kicsit korábban származott:
vagy

Mire törekszünk? Így van, a grafikon azt mutatja, hogy nullára hajlik. Azaz amikor majdnem egyenlő lesz, illetve a kifejezés kiszámításakor majdnem kapunk. Ebben a tekintetben úgy gondoljuk, hogy egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének kiszámításakor ez a zárójel elhanyagolható, mivel egyenlő lesz.

- a képlet egy végtelenül csökkenő geometriai sorozat tagjainak összege.

FONTOS! Csak akkor használjuk a képletet egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjainak összegére, ha a feltétel kifejezetten kimondja, hogy meg kell találnunk az összeget végtelen a tagok száma.

Ha egy adott n szám van feltüntetve, akkor az n tag összegének képletét használjuk, még akkor is, ha vagy.

És most gyakoroljunk.

1. Határozzuk meg egy geometriai folyamat első tagjainak összegét a és segítségével.
2. Határozzuk meg egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjainak összegét a és -val.

Remélem nagyon óvatos voltál. Hasonlítsa össze válaszainkat:

Most már mindent tud a geometriai progresszióról, és ideje áttérni az elméletről a gyakorlatra. A vizsgán a leggyakoribb exponenciális problémák a kamatos kamatozású problémák. Róluk fogunk beszélni.

Problémák a kamatos kamat számításánál.

Biztosan hallott már az úgynevezett kamatos kamatformuláról. Érted, mire gondol? Ha nem, akkor találjuk ki, mert miután felismerte magát a folyamatot, azonnal megérti, mi köze ehhez a geometriai progressziónak.

Mindannyian bemegyünk a bankba, és tudjuk, hogy a betétekre különböző feltételek vonatkoznak: ez a futamidő, a további karbantartás és a kamat, kétféle számítási móddal - egyszerű és összetett.

VAL VEL egyszerű érdeklődés többé-kevésbé minden világos: a kamat egyszer kerül felszámításra a betéti futamidő végén. Vagyis ha évi 100 rubel alávetésről beszélünk, akkor csak az év végén írják jóvá. Ennek megfelelően a letét végére rubelt kapunk.

Kamatos kamat olyan lehetőség, amelyben kamatkapitalizáció, azaz a betét összegéhez való hozzászámításukat és a bevétel későbbi kiszámítását nem a kezdeti, hanem a felhalmozott betét összegéből. A nagybetűs írás nem állandóan, hanem bizonyos periodikusan történik. Általában az ilyen időszakok egyenlőek, és a bankok leggyakrabban egy hónapot, egy negyedévet vagy egy évet használnak.

Tegyük fel, hogy ugyanazt a rubelt helyezzük el évente, de a betét havi tőkésítésével. Mit kapunk?

Te mindent értesz itt? Ha nem, nézzük lépésről lépésre.

Rubelt vittünk a bankba. A hónap végére a számlánkon kell lennie egy összegnek, amely a rubeleinkből és kamataiból áll, azaz:

Egyetért?

Kivehetjük a zárójelből, és a következőt kapjuk:

Egyetértek, ez a képlet már jobban hasonlít ahhoz, amit az elején írtunk. A százalékokkal kell foglalkozni

A probléma állapotában közöljük az évi. Mint tudod, nem szorozunk vel - a százalékokat átszámítjuk tizedesjegyek, vagyis:

Jobb? Most azt kérdezed, honnan jött a szám? Nagyon egyszerű!
Ismétlem: a probléma állapota kb ÉVI felhalmozódott kamat HAVI. Tudniillik egy év hónapon belül a bank havonta az éves kamat egy részét számítja fel ránk:

Megvalósult? Most próbálja meg leírni, hogyan nézne ki a képletnek ez a része, ha azt mondanám, hogy a kamatot naponta számítják.
Sikerült? Hasonlítsuk össze az eredményeket:

Szép munka! Térjünk vissza a feladatunkhoz: írjuk le, hogy a második hónapban mennyi kerül jóváírásra a számlánkon, figyelembe véve, hogy a felhalmozott betéti összeg után kamatot számítanak fel.
Íme, mi történt velem:

Vagy más szóval:

Úgy gondolom, hogy mindebben már észrevett egy mintát, és látott geometriai haladást. Írd meg, hogy mennyi lesz a tagja, vagyis mennyi pénzt kapunk a hónap végén.
Igen? Ellenőrzés!

Amint látja, ha egyszerű kamattal egy évre pénzt tesz egy bankba, akkor rubelt kap, ha pedig összetett árfolyamon, akkor rubelt kap. A haszon csekély, de ez csak az év folyamán következik be, de hosszabb távon sokkal jövedelmezőbb a tőkésítés:

Fontolja meg a kamatos kamatozású probléma egy másik típusát. Azok után, amiket kitalált, elemi lesz számodra. Tehát a feladat:

A Zvezda 2000-ben kezdett befektetni az iparágba dollártőkével. 2001 óta minden évben az előző évi tőkével megegyező nyereséget termel. Mekkora nyereséget kap a Zvezda cég 2003 végén, ha a nyereséget nem vonják ki a forgalomból?

A Zvezda társaság tőkéje 2000-ben.
- a Zvezda társaság tőkéje 2001-ben.
- a Zvezda társaság tőkéje 2002-ben.
- a Zvezda társaság tőkéje 2003-ban.

Vagy írjuk röviden:

A mi esetünkben:

2000, 2001, 2002 és 2003.

Illetőleg:
rubel
Vegyük észre, hogy ebben a feladatban nincs osztás sem vele, sem szerint, mivel a százalékot ÉVESEN adjuk meg, és ÉVESRE számoljuk. Vagyis a kamatos kamat problémájának olvasásakor ügyeljen arra, hogy hány százalékot adnak meg, és milyen időszakban kerül felszámításra, és csak ezután folytassa a számításokat.
Most már mindent tudsz a geometriai progresszióról.

Kiképzés.

1. Keresse meg a geometriai progresszió tagját, ha ismert, hogy és
2. Adja meg a geometriai haladás első tagjainak összegét, ha ismert, hogy és
3. Az MDM Capital 2003-ban kezdett befektetni az iparágba dollártőkével. 2004 óta minden évben az előző évi tőkével megegyező nyereséget termel. Az "MSK Cash Flows" cég 2005-ben kezdett befektetni az iparágba 10 000 dollár értékben, és 2006-ban kezdett el nyereséget termelni. Hány dollárral haladja meg egy cég tőkéje a másikét 2007 végén, ha a nyereséget nem vonják ki a forgalomból?

Válaszok:

1. Mivel a feladat feltétele nem mondja ki, hogy a progresszió végtelen, és meg kell találni egy bizonyos számú tagjának összegét, a számítást a következő képlet szerint végezzük:
2. 
   "MDM Capital" cég:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - 100%-kal, azaz 2-szeresére nő.
   Illetőleg:
   rubel
   MSK Cash flow:

   2005, 2006, 2007.
   - szorzattal növekszik.
   Illetőleg:
   rubel
   rubel

Foglaljuk össze.

1) A geometriai progresszió ( ) olyan numerikus sorozat, amelynek első tagja nullától eltérő, és a másodiktól kezdve minden tag megegyezik az előzővel, megszorozva ugyanazzal a számmal. Ezt a számot nevezzük a geometriai progresszió nevezőjének.

2) A geometriai haladás tagjainak egyenlete -.

3) bármilyen értéket felvehet, kivéve a és.

• ha, akkor a progresszió minden további tagjának ugyanaz a jele – azok pozitív;
• ha, akkor a progresszió minden további tagja alternatív jelek;
• at - a progressziót végtelenül csökkenőnek nevezzük.

4) , at egy geometriai progresszió tulajdonsága (szomszédos tagok)

vagy
, at (egyenlő távolságra lévő kifejezések)

Ha megtaláltad, ne felejtsd el két válasznak kell lennie..

Például,

5) A geometriai sorozat tagjainak összegét a következő képlettel számítjuk ki:
vagy

vagy

FONTOS! Csak akkor használjuk a képletet egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjainak összegére, ha a feltétel kifejezetten kimondja, hogy végtelen számú tag összegét kell megtalálnunk.

6) A kamatos kamatozási feladatokat is a geometriai progresszív tag képlete szerint kell kiszámítani, feltéve, hogy a pénzeszközöket nem vonták ki a forgalomból:

GEOMETRIAI PROGRESSZIÓ. RÖVIDEN A FŐRŐL

Geometriai progresszió( ) egy numerikus sorozat, amelynek első tagja nullától eltérő, és minden tag a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, megszorozva ugyanazzal a számmal. Ezt a számot hívják a geometriai progresszió nevezője.

Geometriai progresszió nevezője tetszőleges értéket vehet fel az és kivételével.

• Ha, akkor a progresszió minden további tagjának ugyanaz az előjele - pozitívak;
• ha, akkor a progresszió minden további tagja váltakozik az előjelekkel;
• at - a progressziót végtelenül csökkenőnek nevezzük.

Egy geometriai sorozat tagjainak egyenlete - .

Egy geometriai progresszió tagjainak összege képlettel számolva:
vagy

Ha a progresszió végtelenül csökken, akkor:

A FELÉPÍTETT 2/3 CIKK CSAK A YOUCLEVER DIÁKOK SZÁMÁRA ÉRHETŐ!

Legyél a YouClever tanulója,

Készüljön fel az OGE-re vagy használja a matematikát "egy csésze kávé havonta" áron,

És korlátlan hozzáférést kap a "YouClever" tankönyvhöz, a "100gia" előkészítő programhoz (rechebnik), korlátlanul próbavizsgaés OGE, 6000 feladat megoldások elemzésével és más YouClever és 100gia szolgáltatásokkal.