Hogyan keressük meg az aritmetikai progresszió különbségét. Aritmetikai progresszió. Tankönyv a vizsga és a gia. Az aritmetikai progresszió n-bous tagjának megtalálásának képlete

Mi a képlet fő lényege?

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy megtalálja bármi A számában n " .

Természetesen ismernie kell egy másik első tagot. A 1. és a progresszió különbsége d.Nos, így ezeknek a paramétereknek egy specifikus progressziója, és nem fog leírni.

Megtanulni (vagy sasalkítható) Ez a képlet nem elég. Meg kell tanulni a lényegét és elkészíteni a képletet különböző feladatokban. Igen, és ne felejtsd el a megfelelő pillanatban, igen ...) Hogyan ne felejtsd - Nem tudom. És itt hogyan emlékezzünk Szükség esetén pontosan elmondom. Azok számára, akik kevesebb, mint a lecke a mester.)

Tehát kezeljük az aritmetikai progresszió n-os tagjának képletét.

Mi a képlet általában - elképzeljük.) Mi az aritmetikai progresszió, egy tagszám, a folyamatban lévő különbség - az előző leckében elérhető. Nézd, az úton, ha nem olvas. Minden egyszerű. Továbbra is kitalálni, hogy mi n-t tag.

Progresszió B. tábornok Számos szám formájában rögzíthető:

a 1, A 2, A 3, A 4, A 5, .....

a 1. - az aritmetikai progresszió első kifejezését jelöli, a 3. - a harmadik fasz, a 4. - Negyedszer, és így tovább. Ha érdekel az ötödik fasz, mondjuk, hogy dolgozunk 5.ha száz húsz 120..

És hogyan kell kijelölni általában bármi az aritmetikai progresszió tagja, bárki szám? Nagyon egyszerű! Mint ez:

n.

Az az ami az aritmetikai progresszió n-ek. Az N betű alatt a tagok minden tagja egyszerre van elrejtve: 1, 2, 3, 4 és így tovább.

És mi ad nekünk egy ilyen rekordot? Gondolj, a számjegy helyett a felvett levelek ...

Ez a bejegyzés erőteljes eszközt ad az aritmetikai fejlődéshez való munkához. A kijelölés használatával n.gyorsan megtalálhatunk bármi tag bármi Aritmetikai progresszió. És egy csomó feladat a progresszió megoldására. Te magad látni fogod.

Az aritmetikai progresszió n-os tagjának képletében:

n \u003d egy 1 + (n-1) d

a 1. - az aritmetikai progresszió első ciklusa;

n. - Tag szám.

A képlet megköti a progresszió legfontosabb paramétereit: n; egy 1; D. és n.. Ezeknek a paramétereknek és az összes progressziós feladatról forog.

Az N-TH tag képletét specifikus progresszió rögzítésére használhatjuk. Például a feladatban elmondható, hogy a progresszió az állapot:

n \u003d 5 + (n - 1) · 2.

Ilyen feladat is elhelyezheti a halott véget ... nincs sor, nincs különbség ... de összehasonlítva az állapotot a képlet, könnyű kitalálni, hogy ebben a progresszióban 1 \u003d 5 és d \u003d 2.

És ez sokkal dühös!) Ha ugyanazt az állapotot veszi: n \u003d 5 + (n-1) · 2,tetszett zárójeleket, és hasonlít-e? Új képletet kapunk:

n \u003d 3 + 2n.

azt Csak nem összességében, hanem egy adott progresszióra. Itt van a víz alatti kő. Néhányan úgy gondolják, hogy az első tag hármas. Bár az első tag hihetetlen ... csak az alábbiakban dolgozunk, mint egy ilyen módosított képlet.

A progresszió feladataiban van egy másik megjelölés - n + 1. Ez, ahogyan kitaláltad, "en plusz az első" tagja a progressziónak. Jelentése egyszerű és ártalmatlan.) Ez a progresszió tagja, amelynek száma több, mint n számág. Például, ha bármilyen feladatot vállalunk n. Az ötödik fasz akkor n + 1 Hatodik tag lesz. Stb.

Leggyakrabban a kijelölés n + 1 Ez ismétlődő képletekben található. Ne megijesztse ezt a szörnyű szót!) Ez csak az aritmetikai progresszió tagjainak kifejezésének módja az előzőben. Tegyük fel, hogy ez a formanyomtatványon aritmetikai előrehaladást kapunk:

n + 1 \u003d egy n +3

a 2 \u003d A 1 + 3 \u003d 5 + 3 \u003d 8

a 3 \u003d A 2 + 3 \u003d 8 + 3 \u003d 11

Negyedszer - a harmadik, az ötödik - a negyedik és így tovább. És hogyan kell kiszámítani azonnal, mondja a huszadik tag, a 20. ? De!) Míg a 19. tag nem tudja, a 20. nem számít. Ez az alapvető különbség az N-TH tag képletének ismétlődő képlete között. Az ismétlődő munkák csak keresztül előző Tagja és az N-TH tag képlete - keresztül első és lehetővé teszi azonnal Keresse meg a farkát a számon. Anélkül, hogy számolnánk a számok teljes számát néhány.

Az aritmetikai progresszióban az ismétlődő képlet könnyen kezelhető normálra. Számítsa ki néhány egymást követő tagot, kiszámítja a különbséget d, Keresse meg, ha szükséges, első tag a 1., Írja be a képletet a szokásos formában, és dolgozzon vele. GIA-ban gyakran megtalálhatók az ilyen feladatok.

Az aritmetikai progresszió n-os tagjának képletének alkalmazása.

Kezdjük, fontolja meg a képlet közvetlen alkalmazását. Az előző lecke végén volt egy feladat:

Az aritmetikai progresszió (n) adódik. Keresse meg a 121-et, ha egy 1 \u003d 3 és d \u003d 1/6.

Ez a probléma megoldható bármilyen képlet nélkül, egyszerűen az aritmetikai progresszió jelentése alapján. Adj hozzá, igen, add ... autov-egyéb.)

És a képlet szerint a döntés kevesebb percet vesz igénybe. Ellenőrizheti az időt.) Eldöntöttük.

A feltételek tartalmazzák az összes adatot a képlet használatára: a 1 \u003d 3, D \u003d 1/6. Továbbra is meg kell találnia, hogy mi az egyenlő n. Nincs mit! Meg kell találnunk a 121.. Itt írunk:

Kérlek figyelj! Az index helyett n. Megjelent egy konkrét szám: 121. Mi a logikus.) Az aritmetikai progresszió tagja. százszáz húsz. Ez lesz a miénk n. Ez ez az érték n. \u003d 121 Továbbiak a képletben, zárójelben. A képlet összes számát helyettesítjük, és hiszünk:

a 121 \u003d 3 + (121-1) · 1/6 \u003d 3 + 20 \u003d 23

Ez minden dolog. Lehet, hogy megtalálható ötszáz tizedik tag, és ezerharmada. Helyette n. A kívánt szám a betűben " a " És zárójelben, és hiszünk.

Emlékeztetem Önt a lényegéről: Ez a képlet lehetővé teszi, hogy megtalálja bármi A számtani progresszió tagja A számában n " .

Megoldom a merevebb feladatát. Van egy ilyen feladata:

Keresse meg az aritmetikai progresszió első kifejezését (A N), ha 17 \u003d -2; D \u003d -0,5.

Ha nehéz lenne, elmondom az első lépést. Írja le az aritmetikai progresszió n-os tagjának képletét! Igen igen. Írja be a kezét, közvetlenül a notebookban:

n \u003d egy 1 + (n-1) d

És most, nézve a képlet leveleit, azt gondoljuk, hogy milyen adatok vannak, és mi hiányzik? Elérhető d \u003d -0,5,van egy tizenhetedik tag ... mindent? Ha úgy gondolja, hogy mindent, a feladat nem dönt, igen ...

Még mindig van egy szobánk n.! Állapotban egy 17 \u003d -2 Rejtett két paraméter. Ez a tizenhetedik tag (-2) értéke, és annak száma (17). Azok. n \u003d 17. Ez a "apróság" gyakran átugorja a fejét, anélkül, anélkül, hogy ("kis dolgok nélkül", nem fej!) A feladat nem a megoldás. Bár ... és fej nélkül is.)

Most egyszerűen ostobán helyettesítheti adatainkat a képletben:

a 17 \u003d A 1 + (17-1) · (-0,5)

Ó, igen, a 17. Tudjuk ezt -2. Nos, helyettesítjük:

-2 \u003d 1 + (17-1) · (-0,5)

Itt, lényegében, és ez az. Továbbra is kifejezi az aritmetikai progresszió első kifejezését a képletből, de számít. A válasz: 1 \u003d 6.

Az ilyen recepció egy képletfelvétel és az ismert adatok egyszerű helyettesítése - egészséges segít egyszerű feladatokban. Nos, természetesen szükséges, hogy képes legyen kifejezni a változót a képletből, és mit kell tennie!? E készség nélkül a matematika egyáltalán nem lehet tanulmányozni ...

Egy másik népszerű feladat:

Keresse meg az aritmetikai progresszió (A n) különbséget, ha 1 \u003d 2; 15 \u003d 12.

Mit csinálsz? Meglepődsz, írd meg a képletet!)

n \u003d egy 1 + (n-1) d

Úgy gondoljuk, hogy tudjuk: 1 \u003d 2; 15 \u003d 12; És (speciálisan kiosztott!) n \u003d 15. Bátran helyettesíti a képletben:

12 \u003d 2 + (15-1) d

Aritmetikainak tekintjük.)

12 \u003d 2 + 14d

d.=10/14 = 5/7

Ez a helyes válasz.

Tehát a feladatok n, A 1és D. Dicsérték. Továbbra is meg kell tanulnia a számot, hogy megtalálja:

A 99-es szám az aritmetikai progresszió (A N) tagja, ahol egy 1 \u003d 12; D \u003d 3. Keresse meg ezt a tagot.

Az N-TH-tag képletében helyettesítjük:

n \u003d 12 + (n-1) · 3

Első pillantásra két ismeretlen érték van: n és n. De n. - Ez a progresszió számának tagja n.... és tudjuk, hogy ez a tag a progresszió! Ez 99. Nem ismerjük a számát n,tehát ez a szám szükséges. A képletben 99 progressziójának tagját helyettesítjük:

99 \u003d 12 + (n-1) · 3

Expressz a képlettől n., hinni. Megkapjuk a választ: n \u003d 30.

És most ugyanazon a téma, de kreatívabb feladat):

Határozza meg, hogy a 117-es szám az aritmetikai progresszió tagja (A N):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Ismét írunk egy képletet. Mi, nincs paraméter? GM ... és számunkra miért értünk?) Látom a progresszió első tagját? Látjuk. Ez -3.6. Biztonságosan írhat: 1 \u003d -3.6. Különbség d. Definiálhatom egy számból? Könnyű, ha tudod, hogy mi az aritmetikai progresszió különbsége:

d \u003d -2,4 - (-3,6) \u003d 1,2

Tehát a legegyszerűbb. Továbbra is foglalkozik egy ismeretlen számmal n. És érthetetlen szám 117. Az előző problémában legalábbis ismert, hogy a progresszió tagja volt. És itt nem tudjuk ... hogyan kell!? Nos, hogyan kell ... Engedélyezés kreatív készségek!)

mi tegyük fel Ez 117 végül is tagja a progresszióunknak. Ismeretlen számmal n.. És pontosan az előző feladatban, próbáljuk meg megtalálni ezt a számot. Azok. Írunk egy képletet (igen!)), És helyettesítjük számunkat:

117 \u003d -3,6 + (N-1) · 1.2

Ismételje újra a képletbőln., higgy és kap:

Hoppá! A szoba megtörtént frakcionált! Száz és másfél. És a frakcionált számok folyamatban vannak nem lehet. Milyen következtetés lesz? Igen! 117. szám. nem A progresszióunk tagja. Valahol száz első és száz másodperces tag között van. Ha a szám természetesnek bizonyult, azaz. Pozitív egész, a szám a talált számmal való progresszió tagja lenne. És ügyünkben a válaszfeladat: nem.

Feladat alapul igazi lehetőség GIA:

Az aritmetikai progresszió állapot szerint van beállítva:

n \u003d -4 + 6.8n

Keresse meg az első és tizedik progressziós tagokat.

Itt a progresszió nem teljesen ismerős. Valami formula ... történik.) Mindazonáltal ez a képlet (ahogy fent írtam) - emellett az aritmetikai progresszió n-os tagjának képlete is! Ez lehetővé teszi keresse meg a progressziós tagot a számával.

Az első tagot keresjük. Aki gondolkodik Hogy az első tag mínusz négy, halálosan tévedve!) Mivel a probléma képletét módosították. Az aritmetikai progresszió első tagja rejtett. Semmi, most találja meg.)

A korábbi feladatokhoz hasonlóan helyettesítjük n \u003d 1. Ebben a képletben:

a 1 \u003d -4 + 6,8 · 1 \u003d 2,8

Itt! Az első tag 2,8, és nem -4!

Hasonló a tizedik tag kereséséhez:

10 \u003d -4 + 6,8 · 10 \u003d 64

Ez minden dolog.

És most, azok, akik elolvasták ezeket a sorokat - az ígért bónuszt.)

Tegyük fel, hogy a komplex harci hangulatát GIA vagy EGE, elfelejtette a hasznos képlet az N-edik tagja számtani sorozat. Valami emlékszik, de sértetlenül valahogy ... n. akkor n + 1, akkor n-1 ... Hogyan legyen!?

Nyugalom! Ez a képlet könnyen visszavonható. Nem túl szigorúan, de a bizalomért és helyes megoldás Biztos!) A kimenethez elegendő emlékezni az aritmetikai progresszió elemi jelentésére, és pár idővel. Csak képet kell rajzolnia. Az egyértelműségért.

Numerikus tengelyt rajzolunk, és ünnepeljük az elsőt. Másodszor, harmadik, stb. Tagok. És megjegyezte a különbséget d. tagok között. Mint ez:

Nézzük a képet, és azt gondoljuk: Mi a második tag? Második egy d.:

a. 2 \u003d 1 + 1 D.

Mi a harmadik fasz? A harmadik A tag egyenlő az első tag plusz kettő d..

a. 3 \u003d 1 + 2 D.

Fogás? Nem vagyok hiába, néhány szó merész betűtípust oszt meg. Nos, oké, még egy lépés).

Mi a negyedik fasz? Negyedik A tag egyenlő az első tag plusz három d..

a. 4 \u003d 1 + 3 D.

Itt az ideje, hogy kitaláljuk, hogy a hiányosságok száma, azaz d., mindig az egyik kevesebb, mint a kívánt tag száma n.. Azok, a számhoz n, rések számalesz n-1. Ezért a képlet (opciók nélkül!):

n \u003d egy 1 + (n-1) d

Általánosságban elmondható, hogy a vizuális képek nagyon hasznosak a matematika számos feladatainak megoldására. Ne hagyja figyelmen kívül a képeket. De ha a kép nehéz rajzolni, akkor ... csak a képlet!) Ezenkívül az N-TH tag képlete lehetővé teszi, hogy a matematika teljes erőteljes arzenálját a megoldás - egyenletek, egyenlőtlenségek, rendszerek stb. A kép nincs behelyezve az egyenletbe ...

Feladatok az önmegoldásokhoz.

Az edzéshez:

1. Az aritmetikai progresszióban (A N) 2 \u003d 3; A 5 \u003d 5.1. Keressen egy 3-at.

Tipp: A képen a feladat másodpercenként 20 ... a képlet által megnehezíti. De ahhoz, hogy elsajátítsák a képlet - ez több hasznos.) Szakaszban 555, ezt a feladatot úgy oldjuk meg a képet, majd a képlet. Érezd a különbséget!)

És ez már nem edzés.)

2. az aritmetikai progresszióban (A N) 85 \u003d 19.1; A 236 \u003d 49, 3. Keresse meg a 3-at.

Mi a vonakodva, hogy rajzoljon egy képet?) Még mindig! Jobb a képletben, igen ...

3. Az aritmetikai progresszió az állapot:1 \u003d -5,5; n + 1 \u003d egy n +0,5. A progresszió száz huszonötöde tagja.

Ebben a feladatban a progresszió ismétlődő módon van beállítva. De számolni százig és huszonötödik elem ... nem minden ilyen viszály áram alatt.) De a képlet az N-edik tagja erők mindenkinek!

4. Dana aritmetikai progresszió (A N):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Keresse meg a progresszió legkisebb pozitív tagjának számát.

5. A 4. feladat feltétele szerint keresse meg a progresszió legkisebb pozitív és legnagyobb negatív tagjainak összegét.

6. A növekvő aritmetikai progresszió ötödik és tizenkettedik tagja -2,5, a harmadik és tizenegyedik tagok összege nulla. Keressen egy 14-et.

Nem a legegyszerűbb feladat, igen ...) Itt az "az ujjakon" nem fog görgetni. A képleteknek igen egyenleteket kell írniuk.

Válaszok (zavarban):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Történt? Ez szép!)

Nem minden működik? Megtörténik. By the way, az utolsó feladatban van egy finom pillanat. Gondoskodjon a feladat olvasásakor. És logika.

Az összes ilyen feladatok megoldását részletesen szétszedni az 555. szakaszban. És a fantázia eleme a negyedik és a finom pillanat a hatodik, és az általános megközelítések az N-TH tag képletének bármely feladatainak megoldására - minden festett . Javasoljuk.

Ha tetszik ez az oldal ...

By the way, van még egy pár érdekes webhelye.)

A példák megoldásához érhető el, és megtudhatja a szintjét. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Ismerje meg - érdeklődéssel!)

Megismerhetjük a funkciókat és a származékokat.

Figyelem!
Ez a téma további
Anyagok egy speciális szakaszban 555.
Azok számára, akik erősen "nem nagyon ..."
És azok számára, akik "nagyon ...")

Az aritmetikai progresszió számos olyan szám, amelyben az egyes számok nagyobbak (vagy kevesebb), mint az előző és az azonos érték.

Ez a téma gyakran összetett és érthetetlen. Az indexek a csőr, az N-edik tagja progresszió, a különbség a progresszió - mindez valahogy összetéveszteni, igen ... Lássuk, hogy a jelentését számtani sorozat, és minden azonnal dolgozzanak ki.)

Az aritmetikai progresszió fogalma.

Aritmetikai progresszió - a koncepció nagyon egyszerű és világos. Kétség? Hiába.) Lásd magunkat.

Befejezetlen számokat fogok írni:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Meg tudja terjeszteni ezt a sorozatot? Milyen számok fognak továbblépni az első öt után? Mindegyik ... Uh-uh ... röviden mindenki kitalálja, hogy a 6, 7, 8, 9, stb. Számok tovább fognak menni.

Töltse ki a feladatot. Adok egy befejezetlen számot:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Tudsz kapni a szabályosságot, kiterjeszti a sor, és hívja hetedik sorok száma?

Ha rájöttél, hogy ez a 20. szám - gratulálok neked! Nem csak úgy érezte magát az aritmetikai progresszió kulcsfontosságú pontjai, De sikeresen használta őket az ügybe! Ha nem valósul meg - olvassuk tovább.

És most a matematika érzeteiből a kulcs pillanatokat fogjuk át.)

Első kulcs pillanat.

Az aritmetikai progresszió a számokkal foglalkozik. Ez először zavaros. Mi hozzászokunk az egyenlethez, hogy eldöntsék, építsünk grafikonokat és mindezt ..., majd kiterjeszti a számot, megtalálja a sorok számát ...

Semmi baj. Csak a progresszió az első ismerős a matematika új szakaszával. A szekciót "soroknak" nevezik, és pontosan a számok és kifejezések soraival működnek. Hozzászokni.)

A második kulcs pillanat.

Az aritmetikai progresszióban bármely szám különbözik az előzőtől ugyanolyan nagyságrendben.

Az első példában ez a különbség az egyik. Milyen számot nem vesz, ez több, mint az előző egységenként. A második - trojka. Bármely szám több, mint az előző. Valójában ez a pillanat, és lehetőséget ad arra, hogy elkapják a mintát, és kiszámítsák a későbbi számokat.

Harmadik kulcspont.

Ez a pillanat nem feltűnő, igen ... de nagyon, nagyon fontos. Itt van: minden progresszió száma a helyén van. Van az első szám, van hetedik, van negyvenötöd, stb. Ha összezavarodnak, ahogy esett, a minta eltűnik. Az aritmetikai progresszió eltűnik. Csak több szám lesz.

Ez az egész pont.

Természetesen az új téma és a jelölés az új témában jelenik meg. Tudniuk kell. Ellenkező esetben nem fogom megérteni a feladatot. Például el kell döntenie valamit, mint például:

Írja be az aritmetikai progresszió első hat tagját (A n), ha 2 \u003d 5, D \u003d -2,5.

Inspirálja?) Cooks, néhány index ... és a feladat, az úton - nem könnyebb. Csak meg kell értened a feltételek és megnevezések jelentését. Most meg fogjuk kinálni ezt a dolgot, és visszatérünk a feladathoz.

Feltételek és kijelölések.

Aritmetikai progresszió - Ez számos olyan szám, amelyben minden szám különbözik az előzőtől ugyanolyan nagyságrendben.

Ezt az értéket hívják . Tegyünk észre ezt a koncepciót részletesebben.

Az aritmetikai progresszió különbsége.

Az aritmetikai progresszió különbsége - Ez az érték, amely szerint bármilyen progresszió több az előző.

Egy fontos pillanat. Kérjük, figyeljen a szóra "több". Matematikailag ez azt jelenti, hogy minden progresszió számát kapják hozzáfal Az aritmetikai progresszió különbsége az előző számra.

Kiszámítjuk, mondjuk második sorok száma, szükség van első Szám hozzáad Ez az aritmetikai progresszió nagyon különbsége. Számításra Ötödik - a különbség szükséges hozzáad nak nek negyedik Jól stb.

Az aritmetikai progresszió különbsége lehet pozitív Akkor minden sorban minden sor valójában több, mint az előző. Az ilyen progressziónak hívják növekvő. Például:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Itt minden olyan szám, amely kiderül hozzáfal Pozitív szám, +5 az előzőhez.

A különbség lehet negatív Ezután minden sorban megjelenik kevesebb, mint az előző. Egy ilyen progresszió (nem fogja elhinni!) csökkenő.

Például:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Itt minden szám is beszerezhető hozzáfal Az előző, de már negatív szám, -5.

By the way, amikor az előrehaladás során nagyon hasznos, hogy azonnal meghatározza annak jellegét - növekszik, vagy csökken. Nagymértékben segít navigálni a döntésben, károsíthatja a hibáit és javíthatja őket, amíg túl késő.

Az aritmetikai progresszió különbsége jelöli, szabályként a levél d.

Hogyan kell megtalálni d. ? Nagyon egyszerű. El kell távolítani bármely számból előző szám. Levonási. By the way, a kivonás eredménye "különbség".)

Például meghatározzuk d. Az aritmetikai progresszió növelése érdekében:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Vegyünk semmilyen sor sor, amint azt szeretnénk, például 11. vegye el tőle előző szám azok. nyolc:

Ez a helyes válasz. Ehhez az aritmetikai progresszióhoz a különbség három.

Pontosan megteheti bármilyen progresszió Mivel A specifikus progresszióhoz d -mindig ugyanaz. Bár valahol a sor elején, még a közepén is, legalábbis bárhol. Nem csak az első számot veszi figyelembe. Csak azért, mert az első számban Nincs előző.)

Az úton, tudva, hogy d \u003d 3.Ez nagyon egyszerű megtalálni a progresszió hetedik számát. Hozzáadunk 3-at az ötödik számhoz - kapunk hatodik, ez lesz 17. Hozzáadom az első három hatodik számát, megkapjuk a hetedik számot - húsz.

Meghatároz d. Az aritmetikai progresszió csökkentésére:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Emlékeztetem arra, hogy a jelek függetlenül, hogy meghatározzam d. szükség van bármely számból vegye el az előzőt. Válasszon bármilyen előrehaladást, például -7-et. Az előzőnek van egy -2 száma. Azután:

d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5

Az aritmetikai progresszió különbsége lehet bármely szám: egész, frakcionális, irracionális, mindenféle.

Más kifejezések és kijelölések.

Minden sor számát hívják az aritmetikai progresszió tagja.

A progresszió minden tagja a számod. A szobák szigorúan néhány, fókusz nélkül. Az első, a második, a harmadik, a negyedik stb. Például a progresszió 2, 5, 8, 11, 14, ... két - ez az első tag, az öt, a második, tizenegy - a negyedik, nos, megértette ...) Kérlek, hogy egyértelműen rájöjjön - maguk is lehet teljesen, egész, frakcionált, negatív, ami esett, de számozási számok - Szigorúan rendben!

Hogyan írjunk előre haladást általános formában? Nincs mit! A sorok minden számát a levél formájában írják. Az aritmetikai progresszió jelzésére általában a levél a.. A tagszámot az index alul jobbra jelzi. A tagok egy vesszővel (vagy egy vesszővel rendelkező pont) írnak, mint ez:

a 1, A 2, A 3, A 4, A 5, .....

a 1.- Ez az első szám a 3. - harmadik, stb. Stb. Semmi ravasz. Rögzítse ezt a sorozatokat, amivel röviden tetszik: (A N.).

Progresszió van Véges és végtelen.

Véges A progressziónak korlátozott számú tagja van. Öt, harmincnyolc, amennyire csak tetszik. De - véges szám.

Végtelen Progresszió - Végtelen számú tagja van, amennyit csak tudsz.)

Jegyezze fel a végső előrehaladást egy sorozaton keresztül, mint ez, az összes tag és a pont a végén:

a 1, A 2, A 3, A 4, A 5.

Vagy igen, ha sok tag:

a 1, A 2, ... A 14, A 15.

Egy rövid rekordban meg kell adnia a tagok számát. Például (húsz tag), mint ez:

(A n), n \u003d 20

A végtelen progresszió megtalálható a kiadásban a sor végén, mint a lecke példái.

Most felállíthatja a feladatokat. A feladatok egyszerűek, pusztán megérteni az aritmetikai progresszió jelentését.

Példák az aritmetikai progresszióra vonatkozó feladatokra.

Elemezzük a fenti részletes feladatot:

1. Távolítsa el az aritmetikai progresszió első hat tagját (A n), ha 2 \u003d 5, D \u003d -2,5.

A feladatot érthető nyelvre fordítjuk. Dana végtelen aritmetikai progresszió. A progresszió második számának ismert: a 2 \u003d 5. A progresszió különbsége ismert: d \u003d -2,5. Meg kell találni a progresszió első, harmadik, negyedik, ötödik és hatodik tagját.

Az egyértelműségért írjon a feladat feltételét. Az első hat tag, ahol a második tag ötödik:

a 1, 5, A 3, A 4, A 5, A 6, ....

a 3. = a 2. + d.

Mi helyettesítjük a kifejezést a 2 \u003d 5 és d \u003d -2,5. Ne felejtsd el a mínuszot!

a 3.=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

A harmadik tag kevesebb, mint a második. Minden logikus. Ha a szám nagyobb, mint az előző negatív Az összeg, akkor a szám maga is csökken, mint az előző. A progresszió csökken. Oké, fontolja meg.) A sorozatunk negyedik tagját tekintjük:

a 4. = a 3. + d.

a 4.=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5. = a 4. + d.

5.=0+(-2,5)= - 2,5

a 6. = 5. + d.

a 6.=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Így a harmadik taggal rendelkező tagokat a hatodik. Egy ilyen sorozat kiderült:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Továbbra is megtalálja az első tagot a 1. Egy jól ismert második. Ez egy lépés a másik oldalra, balra.) Tehát az aritmetikai progresszió különbsége d. Nem kellene hozzáadnunk a 2., de elvitel:

a 1. = a 2. - d.

a 1.=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Ez minden dolog. Quest Válasz:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Közvetlenül jegyezzük meg, hogy megoldottuk ezt a feladatot visszatérő út. Ez egy szörnyű szó azt jelenti, hogy csak egy tagja a progressziónak az előző (szomszédos) szám szerint. Más módon dolgozni az előrehaladással, tovább fogjuk nézni.

Ebből az egyszerű feladatból egy fontos kimenetet hozhat létre.

Emlékezik:

Ha legalább egy tagot ismerünk, és az aritmetikai progresszió különbsége, akkor megtaláljuk a progresszió bármely tagját.

Emlékezik? Ez az egyszerű következtetés lehetővé teszi, hogy megoldja a legtöbb feladatot iskolai tanfolyam. ebben a témában. Minden feladat három fő paraméter körül forog: az aritmetikai progresszió tagja, a progresszió különbsége, a progresszió tagja. Minden.

Természetesen a teljes előző algebra nem kapcsol ki.) A progresszió egyenlőtlenségek, és egyenletek, és egyéb dolgok csapdába. De maga a progresszióért - Minden három paraméter körül forog.

Például fontolja meg néhány népszerű feladatot ebben a témában.

2. Jegyezze fel a végső aritmetikai előrehaladást sorozat formájában, ha n \u003d 5, d \u003d 0,4 és egy 1 \u003d 3.6.

Minden itt egyszerű. Minden már megadott. Emlékeztetni kell arra, hogy az aritmetikai progresszió tagjait figyelembe vegyék, hogy kiszámítsák és írjanak. Javasoljuk, hogy ne hagyja ki a szavakat a megbízási feltételben: "végleges" és " n \u003d 5."Hogy ne számítson a befejezésre.) Ebben a progresszióban csak 5 (öt) tag:

a 2 \u003d A 1 + D \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d A 2 + D \u003d 4 + 0,4 \u003d 4.4

a 4. = a 3. + d \u003d 4,4 + 0,4 \u003d 4.8

5. = a 4. + d \u003d 4,8 + 0,4 \u003d 5.2

A válasz rögzítéséhez:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

További feladat:

3. Határozza meg, hogy a szám 7 tagja az aritmetikai progressziónak (A N), ha 1 \u003d 4.1; D \u003d 1.2.

Hmm ... aki ismeri őt? Hogyan lehet meghatározni valamit?

Hogyan hasonlít ... Igen, írjon egy haladást egy sor formájában, és nézze meg, lesz egy hét ott, vagy sem! Úgy véljük:

a 2 \u003d A 1 + D \u003d 4,1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d A 2 + D \u003d 5,3 + 1.2 \u003d 6,5

a 4. = a 3. + d \u003d 6,5 + 1,2 \u003d 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Most egyértelműen látható, hogy csak elcsúszott 6,5 és 7,7 között! Hét behozta a számok számát, és azt jelenti, hogy a hét nem lesz egy adott progresszió tagja.

Válasz: Nem.

De a feladat a GIA valós verzióján alapul:

4. Az aritmetikai progresszió több egymást követő tagja van:

...; tizenöt; x; kilenc; 6; ...

Itt van rögzítve egy sor vége és elindítása nélkül. Nincsenek tagszámok, sem a különbség d.. Semmi baj. A feladat megoldásához elegendő az aritmetikai progresszió jelentésének megértése. Megnézzük és gondoljuk, hogy tudsz felfedez Ebből a sorozatból? Melyek a három fő paraméterei?

Tagok száma? Nincs egyetlen szám.

De van három szám és figyelem! Szó "Következetes" Állapotban. Ez azt jelenti, hogy a számok szigorúan mennek, ugrás nélkül. Van két kettő ebben a sorban szomszédos Híres számok? Igen van! Ez 9 és 6. Lett, kiszámíthatjuk a különbséget az aritmetikai progresszióban! Sixtur Találdából előző szám, azaz Kilenc:

Megmaradtak a maradékok. Milyen szám lesz az előző az IKSA számára? Tizenöt. Tehát x könnyen megtalálható. 15-ig adja meg a különbséget az aritmetikai progresszióban:

Ez minden. Válasz: x \u003d 12.

A következő feladatok megoldják magukat. Megjegyzés: Ezek a feladatok nem a képletek. Kizárólag az aritmetikai progresszió jelentésének megértése.) Csak írjon egy sor számot, nézd meg, és gondoljuk.

5. Keresse meg az aritmetikai progresszió első pozitív tagját, ha 5 \u003d -3; D \u003d 1.1.

6. Ismeretes, hogy az 5.5-ös szám az aritmetikai progresszió (A N) tagja, ahol az 1 \u003d 1,6; D \u003d 1.3. Meghatározza a tag n számát.

7. Ismeretes, hogy a 2 \u003d 4 aritmetikai progresszióban; 5 \u003d 15.1. Keressen egy 3-at.

8. Az aritmetikai progresszió számos egymást követő tagja van írva:

...; 15.6; x; 3.4; ...

Keresse meg az x betű által jelzett progresszió tagját.

9. A vonat elkezdett mozogni az állomásról, egyenletesen növelte a sebességet 30 méter per percen. Mi lesz a vonat sebessége öt perc alatt? Válasz Km / h.

10. Ismeretes, hogy a 2 \u003d 5 aritmetikai progresszióban; A 6 \u003d -5. Keressen egy 1-et..

Válaszok (rendellenességben): 7.7; 7.5; 9.5; kilenc; 0,3; Négy.

Minden dolgozott ki? Csodálatos! Az aritmetikai progresszió felfedezéséhez több magas szintA következő órákban.

Nem minden történt? Nincs mit. Egy speciális 555. szakaszban mindezen feladatokat szétszerelték a csontok körül.) És természetesen egyszerű gyakorlati felvételt ismertetnek, ami azonnal kiemeli az ilyen feladatok megoldását egyértelműen, világos, hogyan kell tenyerelni!

Egyébként a vonat problémájában két probléma merül fel, hogy az emberek gyakran megbotlik. Az egyik kizárólag a progresszió, a második pedig a matematika és a fizika problémái is. Ez egy dimenziók fordítása az egyikről a másikig. Megmutatjuk, hogyan oldja meg ezeket a problémákat.

Ebben a leckében áttekintettük az aritmetikai progresszió elemi jelentését és a fő paramétereit. Ez elég ahhoz, hogy szinte minden feladatot megoldani ezen a témában. Beállítani d. A számokhoz írjon egy sorot, mindent el fog dönteni.

Az "ujjakon" megoldás nagyon rövid darabszámra alkalmas, mint a lecke példái. Ha egy sor teljesebb, a számítások bonyolultak. Például, ha a 9. feladatban cserélje ki "öt perc" a "harminc öt perc", A feladat elengedhetetlen lesz.)

És létezik egy egyszerű feladat lényegében, de nem érvényes számítások, például:

Az aritmetikai progresszió (n) adódik. Keresse meg a 121-et, ha egy 1 \u003d 3 és d \u003d 1/6.

És mi, sokkal többet fogunk hozzáadni 1/6? Meg tudod ölni!

Lehet.) Ha nem tudod simulaAmellyel egy perc alatt megoldhat az ilyen feladatokat. Ez a képlet a következő leckében lesz. És ez a feladat megoldódott ott. Egy perc.)

Ha tetszik ez az oldal ...

By the way, van még egy pár érdekes webhelye.)

A példák megoldásához érhető el, és megtudhatja a szintjét. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Ismerje meg - érdeklődéssel!)

Megismerhetjük a funkciókat és a származékokat.

Sokan hallottak az aritmetikai fejlődésről, de nem mindenki képzelni, hogy mi az. Ebben a cikkben adja meg a megfelelő meghatározást, valamint fontolja meg, hogyan lehet megtalálni a különbséget az aritmetikai progresszióban, és adjon meg számos példát.

Matematikai meghatározás

Tehát, ha az aritmetikai vagy algebrai progressziójáról beszélünk (ezek a fogalmak ugyanazt határozzák meg), ez azt jelenti, hogy van néhány numerikus sorA következő törvény kielégítése: Minden két szomszédos szám ugyanabban az értékben különbözik egymástól. Matematikailag, ezt írják:

Itt n az a n-es elem számát jelenti, és a D szám a progresszió különbsége (a neve a bemutatott képletből következik).

Mit mond a különbség D monda? Arról, hogy a "messze" egymástól a szomszédos számok. A D tudás azonban szükséges, de nem elegendő az összes progresszió meghatározásához. Tudnia kell egy másik számot, amely teljesen a vizsgált sorozat bármely eleme lehet, például a 4, A10, de szabályként használja az első számot, azaz egy 1-et.

A progresszió elemeinek meghatározására szolgáló képletek

Általánosságban elmondható, hogy az információ elég magasabb ahhoz, hogy a konkrét feladatok megoldására szolgáljon. Mindazonáltal, mielőtt az aritmetikai progresszió meg fog adni, és szükség lesz arra, hogy különbséget találjon, néhány hasznos képletet adunk, ezáltal megkönnyítve a problémák megoldásának későbbi folyamatát.

Könnyű megmutatni, hogy az N számú szekvenciaelem az alábbiak szerint található:

n \u003d egy 1 + (n - 1) * d

Valójában ez a képlet ellenőrzésére használható.

A feltételek sok feladatot állítunk elő oly módon, hogy az ismert számpár, amelyeknek a számait is adott a sorozat, meg kell visszaállítani a teljes numerikus sorozat (megtalálni a különbséget, és az első elem). Most már megoldjuk ezt a feladatot általában.

Tehát hagyja, hogy két elem N és M számokkal. A fenti képlet alkalmazásával két egyenlet rendszert készíthet:

n \u003d 1 + (n - 1) * d;

a m \u003d 1 + (m - 1) * D

Ismeretlen értékeket találunk, a híres egyszerű vétel Egy ilyen rendszer megoldásai: Elolvastam a bal és a jobb részeket párban, az egyenlőség tisztességes lesz. Nekünk van:

n \u003d 1 + (n - 1) * d;

n - A M \u003d (N - 1) * D - (M - 1) * D \u003d D * (N-M)

Így kizártuk az egyik ismeretlen (egy 1). Most meg tudod írni a végső kifejezést D:

d \u003d (n - a m) / (n-m), ahol n\u003e m

Nagyon egyszerű képletet kaptunk: a D különbség kiszámítása A feladat feltételeinek megfelelően csak a maguk és a szekvenciaszámok közötti különbséget kell tennie. Figyelmet kell fordítani egy fontos pontra: a különbségeket az "idősek" és a "fiatalabb" tagok között kell bevenni, azaz n\u003e m ("Senior" - jelentése a sorozatok elejétől, abszolút értéke lehet mindössze kevésbé több "junior" elem).

A progresszió D különbségének expresszióját a feladatoldat elején az egyenletek bármelyikébe kell helyettesíteni, hogy megkapja az első tag értékét.

A fejlesztés korunkban számítógépes technológia Sok iskola megpróbálja megtalálni a megoldásokat az interneten, így gyakran vannak ilyen jellegű kérdések: Keresse meg az aritmetikai progresszió online különbségét. Az ilyen kérelem szerint a keresőmotor számos weboldalt ad meg, ha az adott állapotból származó adatokat be kell vezetni (ez két tagja lehet a progresszió és a számuk összege), és azonnal megkapja a válasz. Mindazonáltal a probléma megoldásának ilyen megközelítése az iskolás kialakulásának szempontjából a probléma megoldása, és megérti az előtte álló feladat lényegét.

A formulák használata nélkül

Eldöntjük az első feladatot, és nem fogjuk használni a fenti képletek bármelyikét. Legyen a sor elemei: A6 \u003d 3, A9 \u003d 18. Keresse meg a különbséget az aritmetikai progresszióban.

A híres elemek egymáshoz közel vannak egymáshoz. Hányszor kell hozzáadnia egy D különbséget a legkisebbnek, hogy megkapja a legnagyobbat? Háromszor (első alkalommal, D, a 7. elemet, a második alkalommal - a nyolcadik, végül a harmadik alkalommal - a kilencedik). Milyen számot kell hozzáadni háromszor, hogy 18-at kapjon? Ez az öt szám. Igazán:

Így az ismeretlen különbség D \u003d 5.

Természetesen a döntést a megfelelő képlet segítségével lehet elvégezni, de ezt nem szándékosan végezték el. Részletes magyarázat A feladatmegoldásoknak világosnak és feltűnő példának kell lenniük, ami aritmetikai progresszió.

Feladat, mint az előző

Most megoldunk egy hasonló feladatot, de megváltoztatom a bemeneti adatokat. Tehát meg kell találnia, hogy az A3 \u003d 2, A9 \u003d 19.

Természetesen ismét a "homlok" megoldás módszerére is igénybe vehet. De mivel egy viszonylag messze lévő sorozat elemei vannak megadva, ez a módszer nem fog elég kényelmes. De a kapott képlet használata gyorsan vezet minket a válaszhoz:

d \u003d (A 9 - A 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17/6 ≈ 2.83

Itt kerekítettük a végső számot. Amennyire a kerekítés hibától vezetett, akkor megítélhető a kapott eredmény ellenőrzésével:

a 9 \u003d A 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Ez az eredmény csak az állapotban megadott érték 0,1% -a. Ezért a használt kerekítés a századok számára sikeres választásnak tekinthető.

Feladatok a tag képletének alkalmazására

Vegyünk egy klasszikus példát az ismeretlen definícióra vonatkozó feladatra: Keresse meg az aritmetikai progresszió különbségét, ha A1 \u003d 12, A5 \u003d 40.

Ha két ismeretlen algebrai szekvencia két számát adják meg, az egyik elem egy 1, akkor nem kell hosszú ideig gondolkodni, és azonnal alkalmazza a képletet egy n tagra. Ebben az esetben:

a 5 \u003d A 1 + D * (5 - 1) \u003d\u003e d \u003d (A 5 - A 1) / 4 \u003d (40 - 12) / 4 \u003d 7

Van pontos számunk a megosztásban, ezért nincs értelme ellenőrizni a kívánt eredmény pontosságát, amint az előző bekezdésben történt.

Egy másik hasonló problémát döntünk: az aritmetikai progresszió különbségét meg kell találni, ha A1 \u003d 16, A8 \u003d 37.

Hasonló korábbi megközelítést használunk és kapunk:

a 8 \u003d A 1 + D * (8 - 1) \u003d\u003e d \u003d (A 8 - A 1) / 7 \u003d (37-16) / 7 \u003d 3

Mi másnak kellene tudnia az aritmetikai előrehaladásnak

Amellett, hogy ismeretlen különbséget vagy egyéni elemeket találnak, gyakran szükséges az első szekvencia tagok összegének problémáinak megoldása. Ezeknek a feladatoknak a figyelembevétele túlmutat a cikk tárgyában, azonban az információ teljességének köszönhetően a N-számok általános képletét adjuk meg:

Σ n i \u003d 1 (A i) \u003d n * (A 1 + A N) / 2

A numerikus szekvencia fogalma minden egyes érvényes érték természetes számának megfelelőségét jelenti. Ilyen számok lehetnek önkényesek, mind rendelkeznek meghatározott tulajdonságok - Progresszió. Az utóbbi esetben a szekvencia minden egyes eleme (tag) az előzővel számítható.

Az aritmetikai progresszió olyan számszerű értékek sorozata, amelyekben a szomszédos tagjai különböznek egymástól ugyanazon a számon (egy sorozat valamennyi eleme, a másodiktól kezdve, a 2. \\ t Ez a szám az előző és a későbbi tagok közötti különbség - folyamatosan, és a progresszió különbsége.

Progresszió különbség: Meghatározás

Tekintsünk olyan szekvenciát, amely J értékek A \u003d A (1), A (2), A (3), A (4) ... A (J), J tartozik a készlethez természetes számok N. A számtani progresszió meghatározása szerint olyan szekvencia, amelyben a (3) - A (2) \u003d A (4) - A (3) \u003d A (5) - A (4) \u003d ... \u003d a (J) - A (J-1) \u003d d. A D értéke a kívánt különbség ebben a progresszióban.

d \u003d A (j) - A (J-1).

Kioszt:

• A progresszió növelése, ebben az esetben d\u003e 0. Példa: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Csökkentő progresszió, majd D< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

A progresszió és az önkényes elemek különbsége

Ha a progresszió két önkényes tagja van (I-TH, KH), akkor a szekvencia különbsége a kapcsolaton alapulhat:

a (I) \u003d A (K) + (I - K) * D, ez azt jelenti, d \u003d (A (I) - A (K) / (I - K).

A progresszió és az első tag különbsége

Ez a kifejezés segít az ismeretlen érték meghatározásában csak olyan esetekben, amikor a szekvenciaelem száma ismert.

A progresszió és annak összegének különbsége

A progresszió mennyisége tagjai összege. Az első J elemek teljes értékének kiszámításához használja a megfelelő képletet:

S (j) \u003d ((A (1) + A (J) / 2) / 2) * J, hanem azért, mert a (j) \u003d A (1) + D (J-1), majd s (j) \u003d ((A (1) + A (1) + D (J - 1)) + D (J - 1)) / 2) * j \u003d (( 2A (1) + D (- 1)) / 2) * j.

Az algebra tanulmányozásakor középiskola (9. osztály) Az egyik fontos téma a numerikus szekvenciák tanulmányozása, amelyekhez a progresszió -ometrikus és aritmetika. Ebben a cikkben fontolja meg az aritmetikai fejlődést és a példákat megoldásokkal.

Mi az aritmetikai progresszió?

Ennek megértéséhez meg kell határozni a progresszió progresszióját, valamint az alapvető képleteket, amelyeket tovább fognak használni a problémák megoldása során.

Az aritmetikai vagy algebrai progresszió olyan rendezett racionális számok, amelyek minden tagja különbözik az előzőektől bizonyos állandó értékről. Ezt az értéket különbségnek hívják. Vagyis, tudva, hogy a megrendelt számsorozatok és a különbség bármely tagjának ismerete, az összes aritmetikai progresszió visszaállítása.

Adunk egy példát. A következő számsorozat az aritmetika előrehaladása: 4, 8, 12, 16, ..., mivel a különbség ebben az esetben 4 (8 - 4 \u003d 12-8 \u003d 16-12). De a 3., 5., 8., 12., 17. számok sorozata nem tulajdonítható a vizsgált progresszió típusának, mivel a különbség nem állandó érték (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Fontos formulák

Most bemutatjuk az alapvető képleteket, amelyekre az aritmetikai progresszióval kapcsolatos problémák megoldásához szükségesek. Jelölje meg a szekvencia N n n-t tagjának szimbólumát, ahol n értéke egész szám. A különbségeket jelölik latin levél d. Ezután a következő kifejezések igazak:

1. Az N-TH tag értékének meghatározásához a képlet alkalmas: A N \u003d (N - 1) * D + A 1.
2. Az összetevők első n mennyiségének meghatározásához: s N \u003d (A N + A 1) * N / 2.

Az aritmetikai progresszió példáinak megértése a 9. fokozat szerinti döntéssel, elegendő emlékezni ezekre a két képletre, mivel a figyelembe vett típusú feladatok a használatukra épülnek. Azt is elfelejtsük, hogy a progresszió különbségét a következő képlet határozza meg: D \u003d A N - A N-1.

Példa №1: Ismeretlen tag keresése

Egyszerű példát adunk az aritmetikai és képletek progressziójára, amelyeket fel kell használni megoldani.

Hagyja, hogy a sorozat 10, 8, 6, 4, ..., meg kell találni öt tagot benne.

A probléma állapotából már következik, hogy az első 4 komponens ismert. Az ötödik kétféleképpen definiálható:

1. Számítsa ki a különbséget. Van: D \u003d 8 - 10 \u003d -2. Hasonlóképpen, akkor két másik tagot vehetsz, Állandó közelben együtt. Például D \u003d 4 - 6 \u003d -2. Mivel ismert, hogy D \u003d A N - A N-1, majd D \u003d A 5 - A 4, ahonnan kapunk: A 5 \u003d A 4 \u200b\u200b+ D. Helyettes híres értékek: A 5 \u003d 4 + (-2) \u003d 2.
2. A második módszer megköveteli a vizsgált progresszió különbségének ismeretét is, ezért először meg kell határozni, amint azt fentebb említettük (D \u003d -2). Tudva, hogy az első kifejezés 1 \u003d 10, a N-számú szekvencia formáját használjuk. Van: A N \u003d (N - 1) * D + A 1 \u003d (N - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Az N \u003d 5 utolsó expressziójában helyettesítő: A 5 \u003d 12-2 * 5 \u003d 2.

Amint látható, mindkét megoldás módszere ugyanolyan eredményhez vezetett. Ne feledje, hogy ebben a példában a progresszió D különbsége negatív érték. Az ilyen szekvenciákat csökkennek, mivel minden egyes kifejezés kisebb, mint az előző.

2. példa: A progresszió különbsége

Most bonyolítsuk egy kis feladatot, példát adunk

Ismeretes, hogy néhány tagban 6, és a hetedik tag 18 éves. Meg kell találni a különbséget és visszaállítani ezt a sorozatot legfeljebb 7 tagig.

A képletet az ismeretlen tag meghatározásához használjuk: A N \u003d (N - 1) * D + A 1. Mi helyettesítjük a jól ismert adatokat az állapotból, azaz az A1 és a 7 számok: 18 \u003d 6 + 6 * d. Ebből a kifejezésből könnyen kiszámolhatja a különbséget: D \u003d (18-6) / 6 \u003d 2. Így válaszoltak a probléma első részére.

Legfeljebb 7 tagú szekvenciát visszaállítva az algebrai progresszió meghatározásával kell használni, azaz a 2 \u003d egy 1 + D, a 3 \u003d 2 + D és így tovább. Ennek eredményeként visszaállítjuk a teljes szekvenciát: A 1 \u003d 6, A 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, A 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, A 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, A 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14 , A 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, A 7 \u003d 18.

3. példa: Progresszió előállítása

Engedje meg, hogy még erősebb legyen a feladat állapota. Most meg kell válaszolni a kérdésre, hogyan kell megtalálni az aritmetikai haladást. A következő példát adhatja meg: két számot adunk meg, például - 4 és 5. Szükséges az algebrai progresszió, hogy három több tag van elhelyezve.

Mielőtt elkezdené megoldani ezt a feladatot, meg kell érteni, hogy milyen hely lesz az adott számok a jövőbeni progresszióban. Mivel háromszor három tag van közöttük, akkor egy 1 \u003d -4 és 5 \u003d 5. A telepítéssel az előzőhez hasonló feladathoz fordulunk. Ismét az N-TH taghoz használjuk a képletet, kapunk: A 5 \u003d A 1 + 4 * D. Helyszín: D \u003d (A 5 - A 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Itt nem kaptuk meg a különbség egész értékét, azonban racionális szám, így az algebrai progresszió formulái ugyanolyan maradnak.

Most adja hozzá a különbséget egy 1-nek, és visszaállítja a progresszió hiányzó tagját. Kapunk: A 1 \u003d - 4, A 2 \u003d - 4 + 2,25 \u003d - 1,75, A 3 \u003d -1,75 + 2,25 \u003d 0,5, A 4 \u003d 0,5 + 2,25 \u003d 2,75, 5 \u003d 5, + 2,25 \u003d 5, amely egybeesett a probléma állapotával.

Példa №4: Először a progresszió tagja

Továbbra is példát mutatunk az aritmetikai progresszióra a megoldással. Minden korábbi feladatban az első számú algebrai progresszió ismert volt. Most vegye figyelembe a különböző típusú feladatot: Hagyja két számot adni, ahol 15 \u003d 50 és 43 \u003d 37. Meg kell találni, hogy melyik időpontból kezdődik.

Az eddig használt képletek azt sugallják, hogy az 1 és D. A számok problémájának állapotában semmi sem ismeretlen. Mindazonáltal megírjuk az egyes tagok kifejezéseit, amelyek vannak információ: A 15 \u003d A 1 + 14 * D és A 43 \u003d A 1 + 42 * D. Két egyenletet kaptunk, amelyekben 2 ismeretlen érték (A 1 és D). Ez azt jelenti, hogy a feladat csökkenti a lineáris egyenletek rendszerének megoldását.

A megadott rendszer a legegyszerűbb eldönteni, hogy az 1-es egyenletben kifejezze, majd hasonlítsa össze a kapott kifejezéseket. Az első egyenlet: A 1 \u003d A 15 - 14 * D \u003d 50 - 14 * D; A második egyenlet: A 1 \u003d A 43 - 42 * D \u003d 37 - 42 * D. Ezeknek a kifejezéseknek köszönhetően: 50 - 14 * D \u003d 37 - 42 * D, ahol D \u003d (37 - 50) / (42-14) \u003d - 0,464 (42-14) \u003d - 0,464 (csak 3 karakter pontosság) a vessző után) megadott.

D Tudás D, használhatja a fenti 2 kifejezések közül 1. Például először: A 1 \u003d 50 - 14 * D \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ha kétségek merülnek fel az eredményből, akkor ellenőrizheti, például a progresszió 43 tagjának meghatározására, amely az állapotban van beállítva. Mi kapunk: A 43 \u003d A 1 + 42 * D \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Egy kis hiba kapcsolódik azzal a ténnyel, hogy amikor az ezer frakciókra kerekített számítások.

5. példa: Összeg: Összeg

Most fontolja meg több példát az aritmetikai progresszió mennyiségére vonatkozó megoldásokkal.

Legyen a következő progresszióját az alábbi formában: 1, 2, 3, 4, ...,. Hogyan számoljuk ki a számok 100 mennyiségét?

A számítógépes technológiák fejlesztésének köszönhetően eldöntheti, hogy ez a feladat, vagyis egymás után összecsukható, hogy a számítástechnikai gép azonnal azonnal meg fogja nyomni az Enter billentyűt. Azonban a feladat azonban szem előtt tartható, ha figyelmet fordít arra, hogy a bemutatott számok száma az algebrai progresszió, és különbsége 1. Az összeg képletének felhasználása: S N \u003d n * (1 + An) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

Kíváncsi lehet megjegyezni, hogy ezt a feladatot "Gaussian" -nak nevezik, mivel a XVIII. Század elején a híres német még mindig 10 évesen képes volt megoldani az elmében néhány másodperc múlva. A fiú nem tudta, a képlet az összeg algebrai előrehaladását, de észrevette, hogy ha mi hajtsa a számot a széleit a szekvencia, akkor az egyik eredmény mindig kapunk, azaz 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ..., és mivel ezek az összegek pontosan 50 (100/2) lesznek, akkor elegendő 50-től 101-ig szaporodni a helyes válasz megszerzéséhez.

Példa :6: A tagok mennyisége n-től m

Egy másik tipikus példája az összeg számtani sorozat a következő: Dan ilyen számok tartománya: 3, 7, 11, 15, ..., meg kell találni, mi az összeg tagjainak 8-14 egyenlő lesz.

A feladat két módon megoldódik. Az első 8-14 éves ismeretlen tagok megállapítását jelenti, majd következetes összegzésüket. Mivel a kifejezések egy kicsit, akkor ez a módszer nem eléggé nehéz. Mindazonáltal javasoljuk, hogy megoldja ezt a problémát a második módszerrel, ami sokoldalúbb.

Az ötlet az, hogy az M és N tagok algebrai progressziójának összegét kapja, ahol N\u003e M egész számok. Két kifejezést ivottunk mindkét esetben:

1. S m \u003d m * (A M + A 1) / 2.
2. S n \u003d n * (egy n + a 1) / 2.

Mivel N\u003e M, nyilvánvaló, hogy az összeg összege tartalmazza az első. Az utolsó következtetés azt jelenti, hogy ha különbséget tesz az összegek között, és adjon hozzá egy tagot hozzá (különbség esetén az S összegből levonásra kerül), akkor megkapjuk a szükséges választ a feladathoz. Van: S Mn \u003d S N - S M + AM \u003d N * (A 1 + A) / 2 - M * (A 1 + AM) / 2 + AM \u003d A 1 * (N - M) / 2 + A * N / 2 + AM * (1- m / 2). Ebben a kifejezésben az N és A m. Ezután kapunk: S Mn \u003d A 1 * (N-M) / 2 + N * (1 + (N - 1) * D) / 2 + (1 + (M - 1) * D) * (1 - m / 2) \u003d A 1 * (N - M + 1) + D * N * (N - 1) / 2 + D * (3 * M - M 2 - 2) / 2.

Az így kapott képlet kissé nehézkes, ugyanakkor az összeg S Mn attól függ, csak n, m, A 1 és d. A mi esetünkben egy 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8. Ezen számok helyettesítjük: S Mn \u003d 301.

Amint az a megadott megoldásokból látható, az összes feladat az N-TH tag expressziójának ismeretén alapul, és az első komponensek készletének mennyiségének képlete. Mielőtt elkezdené megoldani ezeket a feladatokat, javasoljuk, hogy gondosan olvassa el az állapotot, világos, hogy megértsük, mit kell találni, és csak akkor lépjen a megoldásra.

Egy másik tanács az egyszerűség iránti vágy, vagyis, ha válaszolhat a kérdésre, anélkül, hogy összetett matematikai számításokat alkalmazna, akkor így kell eljárnia, mivel ebben az esetben a valószínűség kevesebb, mint egy hiba. Például, a példában a számtani sorozat a döntési szám 6, lehetséges lenne, hogy lakjanak a képletben az S Mn \u003d n * (1 + AN) / 2 - M * (1 + AM) / 2 + AM, és összetör Általános feladat Külön alcsoportokon (ebben az esetben először találja meg a tagokat egy n és a m).

Ha kétségek merülnek fel az eredményről, javasoljuk, hogy ellenőrizze, amint az adott példákban történt. Hogyan találhatjuk meg az aritmetikai fejlődést, kiderült. Ha kitalálod, akkor nem olyan nehéz.