Az aranymetszés digitális sorozata. Kutatási cikk "Fibonacci-számok rejtvénye". a szomszédos számok négyzeteinek összege a Fibonacci-szám lesz, amely két pozícióval van a nagyobb négyzetes számok után

A Fibonacci-számok egy numerikus sorozat elemei.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, amelyben minden következő szám egyenlő az előző két szám összegével. A név a középkori Pisai Leonardo (vagy Fibonacci) matematikusról származik, aki kereskedőként és matematikusként élt és dolgozott az olasz Pisa városában. Korának egyik leghíresebb európai tudósa. Legnagyobb eredményei közé tartozik az arab számok bevezetése a római számok helyett. Fn = Fn-1 + Fn-2

A matematikai sorozat aszimptotikusan (vagyis egyre lassabban közeledve) állandó arányra hajlik. Ez a hozzáállás azonban irracionális; végeláthatatlan, megjósolhatatlan decimális értékek sorakoznak utána. Ezt soha nem lehet pontosan kifejezni. Ha a sorozat részét képező minden számot elosztunk az előző értékkel (például 13- ^ 8 vagy 21 -IS), a művelet eredménye olyan arányban lesz kifejezve, amely az 1,61803398875 irracionális szám körül ingadozik, valamivel több. vagy valamivel kevesebb, mint a sorozat szomszédos viszonyai. Az arány soha nem lesz a végtelenségig pontos az utolsó számjegyig (még a valaha készült legerősebb számítógépek esetén sem). A rövidség kedvéért Fibonacci-mutatóként 1,618-at használunk, és arra kérjük az olvasókat, hogy ne feledkezzenek meg erről a pontatlanságról.

A Fibonacci-számok az euklideszi algoritmus elemzése során is fontosak, hogy meghatározzuk két szám legnagyobb közös osztóját. A Fibonacci-számok a Pascal-háromszög átlójának képletében fordulnak elő (binomiális együtthatók).

Kiderült, hogy a Fibonacci-számok az "aranymetszet"-hez kapcsolódnak.

Az aranymetszés még az ókori Egyiptomban és Babilonban, Indiában és Kínában is ismert volt. Mi az "aranymetszés"? A válasz még mindig ismeretlen. A Fibonacci-számok nagyon fontosak korunk gyakorlatelméletében. A fontosság növekedése a 20. században ment végbe, és a mai napig tart. A Fibonacci-számok felhasználása a közgazdaságtanban és a számítástechnikában emberek tömegeit vonzotta tanulmányaikra.

Kutatásom módszertana a szakirodalom tanulmányozása és a kapott információk általánosítása, valamint saját kutatásom, a számok tulajdonságainak és felhasználási körének azonosítása volt.

Alatt tudományos kutatás meghatározta a Fibonacci-számok fogalmát, tulajdonságaikat. Érdekes mintákat fedeztem fel az élővilágban is, közvetlenül a napraforgómag szerkezetében.

A napraforgón a magok spirálban helyezkednek el, és a másik irányba haladó spirálok száma eltérő - ezek egymást követő Fibonacci-számok.

Ezen a napraforgón 34 és 55 található.

Ugyanez figyelhető meg az ananász termésein is, ahol 8 és 14 spirál található.A kukoricalevél a Fibonacci-számok egyedülálló tulajdonságával függ össze.

Az a / b formájú töredékek, amelyek a növényi szár lábai leveleinek spirális elrendezésének felelnek meg, gyakran az egymást követő Fibonacci-számok arányai. Mogyorónál ez az arány 2/3, tölgynél - 3/5, nyárnál 5/8, fűznél 8/13 stb.

Figyelembe véve a levelek elrendezését a növények szárán, látható, hogy az egyes levélpárok között (A és C) a harmadik az aranymetszet (B) helyén található.

A Fibonacci-szám másik érdekes tulajdonsága, hogy az egytől eltérő két különböző Fibonacci-szám szorzata és hányadosa soha nem Fibonacci-szám.

Kutatásom eredményeként a következő következtetésekre jutottam: A Fibonacci-számok egyediek számtani progresszió, amely a Kr.u. 13. században jelent meg. Ez a progresszió nem veszíti el relevanciáját, amit kutatásom során is megerősítettem. A Fibonacci-számok nem azonosak a programozásban és a gazdasági előrejelzésekben, a festészetben, az építészetben és a zenében. Olyan híres művészek festményei, mint Leonardo da Vinci, Michelangelo, Raphael és Botticelli, rejtik az aranymetszés varázsát. Még I. I. Shishkin is használta az aranymetszést a "Pine Grove" című festményén.

Nehéz elhinni, de az aranymetszés olyan nagy zeneszerzők zenei műveiben is megtalálható, mint Mozart, Beethoven, Chopin stb.

A Fibonacci-számok az építészetben is megtalálhatók. Például az aranymetszést a Parthenon és a Notre Dame katedrális építésekor használták.

Megállapítottam, hogy a Fibonacci-számokat a mi területünkön is használják. Például házak sávjai, oromfalak.

Sokkal több van az univerzumban megfejtetlen rejtélyek, amelyek közül néhányat a tudósoknak már sikerült azonosítaniuk és leírniuk. A Fibonacci-számok és az aranymetszés képezi az alapját a körülötte lévő világ megoldásának, alakjának és optimálisnak vizuális észlelés egy személy, amelynek segítségével meg tudja érezni a szépséget és a harmóniát.

aranymetszés

Az aranymetszet méretének meghatározásának elve az egész világ és részei szerkezetében és funkcióiban való tökéletesedésének alapja, megnyilvánulása a természetben, a művészetben és a technikában egyaránt megmutatkozik. Az aranymetszés tanát az ókori tudósok a számok természetéről szóló tanulmányai eredményeként alapították.

Az ókori filozófus és matematikus, Pythagoras által a szegmensek felosztásának arányainak és arányainak elméletén alapul. Bebizonyította, hogy ha egy szakaszt két részre osztunk: X (kisebb) és Y (nagyobb), a nagyobb és a kisebb aránya megegyezik az összegük (a teljes szakasz) arányával:

Az eredmény a következő egyenlet: x 2 - x - 1 = 0, ami úgy van megoldva x = (1 ± √5) / 2.

Ha figyelembe vesszük az arányt 1 / x, akkor egyenlő 1,618…

Az aranymetszés ókori gondolkodók általi használatának bizonyítéka Euklidész „Kezdetek” című könyve, amelyet még a 3. században írtak. Kr.e., aki ezt a szabályt alkalmazta szabályos 5-szögűek megalkotására. A pitagoreusok körében ezt az alakot szentnek tekintik, mivel szimmetrikus és aszimmetrikus is. A pentagram az életet és az egészséget jelképezi.

Fibonacci számok

1202-ben jelent meg egy olasz matematikus, Pisai Leonardo, aki később Fibonacci néven vált ismertté a Liber abaci című híres könyve, amelyben a tudós először hivatkozik a számok szabályosságára, amelyben minden szám a számok összege. 2 előző számjegy. A Fibonacci-számok sorrendje a következő:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 stb.

A tudós számos mintát is idézett:

• A sorozat bármely száma, osztva a következővel, egyenlő lesz egy olyan értékkel, amely 0,618-ra hajlamos. Ráadásul az első Fibonacci-számok nem adnak ilyen számot, de ahogy haladunk a sorozat elejétől, ez az arány egyre pontosabb lesz.
• Ha elosztjuk a sorozat számát az előzővel, akkor az eredmény 1,618-ra fog rohanni.
• Egy szám osztva az egy után következővel 0,382-re hajló értéket mutat.

Az összefüggés és az aranymetszés, a Fibonacci-szám (0,618) törvényeinek alkalmazása nemcsak a matematikában, hanem a természetben, a történelemben, az építészetben és az építőiparban és számos más tudományban is megtalálható.

Archimedes spirál és arany téglalap

A természetben igen elterjedt spirálokat Arkhimédész vizsgálta, és még az egyenletét is levezette. A spirál alakja az aranymetszés törvényein alapul. Ha kicsavarjuk, megkapjuk azt a hosszt, amelyre az arányokat és a Fibonacci számokat alkalmazhatjuk, a lépés egyenletesen növekszik.

A Fibonacci-számok és az aranyarány közötti párhuzam látható egy „arany téglalap” felépítésével, amelynek oldalai 1,618:1 arányosak. Úgy van megépítve, hogy egy nagy téglalapból a kicsikbe kerül úgy, hogy az oldalak hossza megegyezzen a sor számjaival. Felépítése fordított sorrendben történhet, az „1” doboztól kezdve. Ha ennek a téglalapnak a sarkait metszéspontjuk közepén lévő vonalak kötik össze, Fibonacci spirált vagy logaritmikus spirált kapunk.

Az aranyarányok használatának története

Egyiptom számos ősi építészeti emlékét arany arányban emelték: a híres Kheopsz piramisokat és mások. Építészek Ókori Görögország széles körben használták építészeti objektumok, például templomok, amfiteátrumok, stadionok építésénél. Ilyen arányokat alkalmaztak például az ókori Parthenon-templom (Athén) és más olyan objektumok építése során, amelyek az ókori építészet remekeivé váltak, és a matematikai törvényeken alapuló harmóniát demonstrálták.

A későbbi évszázadokban az aranymetszés iránti érdeklődés alábbhagyott, a minták feledésbe merültek, de a reneszánszban újra megjelentek L. Pacioli di Borgo ferences szerzetes „Isteni arány” című könyvével (1509) együtt. Leonardo da Vinci illusztrációit tartalmazta, aki megszilárdította az új „aranymetszés” nevet. Ezenkívül az aranymetszés 12 tulajdonságát tudományosan igazolták, és a szerző arról beszélt, hogyan nyilvánul meg a természetben, a művészetben, és "a világ és a természet felépítésének elvének" nevezte.

Vitruvius ember Leonardo

A rajz, amellyel Leonardo da Vinci 1492-ben Vitruvius könyvét illusztrálta, egy emberi alakot ábrázol 2 pozícióban széttárt karokkal. Az ábra körbe és négyzetbe van írva. Ezt a rajzot tekintik az emberi test (férfi) kanonikus arányainak, amelyet Leonardo ír le Vitruvius római építész tanulmányai alapján.

A köldök a test középpontjának tekintendő a karok és lábak végétől egyenlő távolságra lévő pontnak, a karok hossza megegyezik az ember magasságával, a maximális vállszélesség = a magasság 1/8-a, a távolság a mellkas tetejétől a hajig = 1/7, a mellkas tetejétől a fejtetőig = 1/6 stb.

Azóta a rajzot szimbólumként használják az emberi test belső szimmetriájának bemutatására.

Leonardo az "arany arány" kifejezést használta az arányos kapcsolatokra egy személy alakjában. Például a deréktól a lábig mért távolság a köldök és a korona közötti távolsághoz, valamint az első hosszhoz (deréktól lefelé) mért magassághoz kapcsolódik. Ez a számítás hasonlóan történik, mint a szegmensek aránya az aranymetszés kiszámításakor, és 1,618-ra hajlamos.

Mindezeket a harmonikus arányokat a művészek gyakran használják gyönyörű és lenyűgöző darabok létrehozására.

Tanulmányok az aranymetszésről a XVI-XIX

Az aranymetszés és a Fibonacci-számok felhasználásával az arányok kutatása évszázadok óta folyik. Leonardo da Vincivel párhuzamosan Albrecht Durer német művész is kidolgozta az emberi test helyes arányainak elméletét. Ehhez még egy speciális iránytűt is készített.

A 16. században. a Fibonacci-szám és az aranymetszés kapcsolatának kérdése I. Kepler csillagász munkáiban szerepelt, aki elsőként alkalmazta ezeket a szabályokat a botanikára.

Új „felfedezés” várt az aranymetszésre a XIX. Zeisig német tudós professzor „Esztétikai kutatás” című kiadványával. Ezeket az arányokat abszolútra emelte, és bejelentette, hogy mindenki számára univerzálisak. természetes jelenség... Rengeteg embert, pontosabban testarányukat (körülbelül 2 ezer fő) vizsgálta meg, amelyek eredményei alapján következtetéseket vontak le a különböző testrészek arányainak statisztikailag megerősített mintázataira: a vállak hossza, alkar, kéz, ujjak stb.

A műtárgyakat (vázák, építészeti szerkezetek), a zenei tónusokat, a versírás méreteit is tanulmányozták – Zeisig mindezt a szegmensek és számok hosszán keresztül tükrözte, bevezette a „matematikai esztétika” kifejezést is. Az eredmények kézhezvétele után kiderült, hogy Fibonacci sorozatot kapunk.

Fibonacci szám és az aranymetszés a természetben

A növény- és állatvilágban megfigyelhető a szimmetria formájában kialakuló formáció kialakulása, amely a növekedés és a mozgás irányában figyelhető meg. A szimmetrikus részekre osztás, amelyben az arany arányok figyelhetők meg, számos növény és állat mintája.

A minket körülvevő természet Fibonacci számokkal írható le, például:

• bármely növény leveleinek vagy ágainak elhelyezkedése, valamint a távolságok az 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 és további számok számához kapcsolódnak;
• napraforgómag (kúpok pikkelyei, ananászsejtek), két sorban, különböző irányokba csavart spirálok mentén elrendezve;
• a farok hosszának és a gyík teljes testének aránya;
• a tojás alakja, ha feltételesen vonalat húz a széles részén;
• az ujjak méretének aránya az ember kezén.

És persze a legérdekesebb formák a spirális csigaházak, a pókhálók mintái, a szél mozgása a hurrikán belsejében, a DNS kettős hélixe és a galaxisok szerkezete – ezek mindegyike tartalmazza a Fibonacci-számok sorozatát. .

Az aranymetszés alkalmazása a művészetben

Különféle építészeti tárgyakat, festményeket vizsgálnak részletesen a kutatók, akik példákat keresnek az aranymetszés művészeti felhasználására. Híres szobrászati ​​alkotások ismertek, amelyek alkotói ragaszkodtak az arany arányokhoz - Olimpiai Zeusz szobrai, Apollo Belvedere és

Leonardo da Vinci egyik alkotása - "Mona Lisa portréja" - évek óta a tudósok kutatásának tárgya. Azt találták, hogy a mű kompozíciója teljes egészében "arany háromszögekből" áll, amelyek egy szabályos ötszög csillagot alkotnak. Da Vinci minden munkája bizonyítja, hogy milyen mély ismeretekkel rendelkezett az emberi test felépítésében és arányaiban, aminek köszönhetően el tudta ragadni a La Gioconda hihetetlenül titokzatos mosolyát.

Aranymetszés az építészetben

Példaként a tudósok az "aranymetszet" szabályai szerint készült építészeti remekműveket tanulmányozták: az egyiptomi piramisokat, a Pantheont, a Parthenont, a Notre Dame de Paris katedrálist, a Szent Bazil-székesegyházat stb.

A Parthenon, az ókori Görögország egyik legszebb épülete (Kr. e. 5. század), 8 oszlopa és 17 oldala van, magasságának az oldalak hosszához viszonyított aránya 0,618. Homlokzatain a kiemelkedések az "aranymetszés" szerint készülnek (az alábbi fotó).

Le Corbusier francia építész volt az egyik tudós, aki feltalálta és sikeresen alkalmazta az építészeti objektumok moduláris arányrendszerének javítását (az úgynevezett "modulátort"). A modulátor egy olyan mérőrendszeren alapul, amely az emberi test részekre való feltételes felosztásához kapcsolódik.

M. Kazakov orosz építész, aki számos lakóépületet épített Moszkvában, valamint a Kremlben a Szenátus épületét és a Golicin Kórházat (ma NI Pirogovról elnevezett 1. Klinika), egyike volt azoknak az építészeknek, akik a törvényeket alkalmazták a tervezés és kivitelezés az aranymetszésről.

Arányok alkalmazása a tervekben

A ruhatervezésben minden divattervező az emberi test arányait és az aranymetszés szabályait figyelembe véve készít új képeket, modelleket, bár természeténél fogva nem minden ember rendelkezik ideális arányokkal.

A tájtervezés tervezésekor és a növények (fák és cserjék), szökőkutak és kis építészeti objektumok felhasználásával terjedelmes parkkompozíciók készítésekor az "isteni arányok" törvényei is alkalmazhatók. Hiszen a park kompozícióját arra kell összpontosítani, hogy benyomást keltsen a látogatóban, aki szabadon eligazodhat benne, és megtalálhatja a kompozíciós központot.

A park minden eleme olyan arányban van, hogy a geometriai szerkezet, a kölcsönös elrendezés, a megvilágítás és a fény segítségével a harmónia és a tökéletesség benyomását keltse az emberben.

Az aranymetszés alkalmazása a kibernetikában és a mérnöki tudományban

Az aranymetszés és a Fibonacci-számok mintázata energiaátmenetekben, azokkal végbemenő folyamatokban is megnyilvánul. elemi részecskék alkotó kémiai vegyületek, v űrrendszerek, a DNS génszerkezetében.

Hasonló folyamatok fordulnak elő az emberi testben is, amelyek életének bioritmusában, szervek, például az agy vagy a látás működésében nyilvánulnak meg.

Az arany arányú algoritmusokat és mintákat széles körben használják a modern kibernetikában és számítástechnikában. Az egyik egyszerű feladat, amelyet a kezdő programozóknak meg kell oldaniuk, egy képlet felírása és a Fibonacci-számok összegének meghatározása programozási nyelvek segítségével egy bizonyos számig.

Az aranymetszés elméletének modern kutatása

A 20. század közepe óta élesen megnőtt az érdeklődés a problémák és az aranyarányok mintáinak az emberi életre gyakorolt ​​hatása iránt, és számos különböző szakmát képviselő tudós részéről: matematikusok, néprajzkutatók, biológusok, filozófusok, orvosok. munkások, közgazdászok, zenészek stb.

Az 1970-es évek óta az Egyesült Államokban adják ki a The Fibonacci Quarterly magazint, ahol e témában publikálnak munkákat. A sajtóban olyan művek jelennek meg, amelyekben az aranymetszés általánosított szabályait és a Fibonacci-sort használják a különböző tudományágakban. Például információk kódolására, kémiai kutatásokra, biológiai stb.

Mindez megerősíti az ókori és a modern tudósok következtetéseit, miszerint az aranymetszés többoldalú kapcsolatban áll a tudomány alapvető kérdéseivel, és a minket körülvevő világ számos alkotásának és jelenségének szimmetriájában nyilvánul meg.

A "" kiadóval közösen adunk ki egy részletet a professzor könyvéből alkalmazott matematika Edward Scheinerman „Útmutató a matematika szerelmeseinek” című könyve a lenyűgöző matematika, a rejtvények, a számok és számok univerzumának nem szabványos kérdéseinek szentelve. Angolból fordította Alexey Ognev.

Ez a fejezet a híres Fibonacci-számokról szól: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 stb. Ezt a sorozatot Pisai Leonardoról nevezték el, ismertebb nevén Fibonacciról. Pisai Leonardo (1170–1250) - a középkori Európa egyik első nagy matematikusa. Fibonacci beceneve azt jelenti: "Bonacci fia". A tizedes számrendszert rögzítő "Abakusz könyve" szerzője.

Négyzetek és dominók

Kezdjük a négyzetek és dominók egymásra helyezésével. Képzeljünk el egy hosszú, 1 × 10 méretű vízszintes keretet. Teljesen ki akarjuk tölteni 1 × 1 négyzetekkel és 1 × 2 dominóval, anélkül, hogy egyetlen rést is hagynánk. Itt van egy kép:

A kérdés az: hányféleképpen lehet ezt megtenni?

A kényelem kedvéért az opciók számát F10-el jelöljük. Mindegyiket végignézni, majd megszámolni kemény munka, tele hibákkal. Sokkal jobb egyszerűsíteni a feladatot. Ne rögtön az F10-et kezdjük keresni, kezdjük az F1-gyel. Ez olyan egyszerű, mint a körte pucolása! Az 1 × 1-es keretet ki kell töltenünk 1 × 1-es négyzetekkel és 1 × 2-es dominókkal.A dominó nem fog elférni, csak a megoldás marad: vegyünk egy négyzetet. Más szavakkal, F1 = 1.

Most foglalkozzunk az F2-vel. Keret mérete 1 × 2. Megtöltheti két négyzettel vagy egy dominóval. Tehát két lehetőség van, és F2 = 2.

Következő: hányféleképpen lehet kitölteni egy 1 × 3-as keretet? Első lehetőség: három négyzet. Két másik lehetőség: egy dominó (kettő nem fér bele) és egy négyzet balra vagy jobbra. Tehát F3 = 3. Még egy lépés: vegyünk egy 1 × 4-es keretet Az ábrán az összes kitöltési lehetőség látható:

Találtunk öt lehetőséget, de hol a garancia, hogy nem hagytunk ki semmit? Van mód arra, hogy teszteld magad. A keret bal szélén lehet négyzet vagy dominó. Az ábra felső sorában - opciók, amikor a bal oldali négyzet, az alsó sorban - amikor a dominó a bal oldalon van.

Tegyük fel, hogy van egy négyzet a bal oldalon. A többit négyzetekkel és dominókkal kell kitölteni. Más szóval, a keretet 1 × 3-ban kell kitölteni. Ez 3 lehetőséget ad, mivel F3 = 3. Ha a bal oldalon van egy dominó, akkor a fennmaradó rész mérete 1 × 2, és ezt kitöltheti. két lehetőség, mivel F2 = 2.

Így 3 + 2 = 5 lehetőségünk van, és ügyeltünk arra, hogy F4 = 5.

Most te. Gondolkodjon néhány percig, és keresse meg az 1 × 5-ös keret összes kitöltési lehetőségét.Nem sok van belőlük. A megoldás a fejezet végén található. Elterelheti a figyelmét és gondolkodhat.

Térjünk vissza a tereinkre. Szeretném hinni, hogy 8 lehetőséget találtál, hiszen 5 fektetési mód van, ahol balra van egy négyzet, és további 3 mód, ahol balra van egy dominó. Tehát F5 = 8.

Foglaljuk össze. FN-nel jelöljük, hogy hány módon lehet kitölteni az 1 × n-es keretet négyzetekkel és dominókkal. Meg kell találnunk az F10-et. Íme, amit már tudunk:

Továbblépni. Mi az az F6? Az összes lehetőséget lerajzolhatja, de unalmas. Jobb, ha a kérdést két részre osztjuk. Hányféleképpen lehet kitölteni egy 1 × 6-os keretet, ha a bal oldalon (a) egy négyzet és (b) dominó van? Jó hír: már tudjuk a választ! Az első esetben öt négyzet marad, és tudjuk, hogy F5 = 8. A második esetben négy négyzetet kell kitöltenünk; tudjuk, hogy F4 = 5. Így F5 + F4 = 13.

Mi az az F7? Ugyanezen megfontolások alapján F7 = F6 + F5 = 13 + 8 = 21. Mi van az F8-cal? Nyilvánvaló, hogy F8 = F7 + F6 = 21 + 13 = 34. És így tovább. A következő összefüggést találtuk: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Még néhány lépés - és megtaláljuk a szükséges F10 számot. A helyes válasz a fejezet végén található.

Fibonacci számok

A Fibonacci-számok egy sorozat:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

A következő szabályok szerint épül fel:

- az első két szám 1 és 1;

- minden következő számot az előző kettő összeadásával kapunk.

Az Fn sorozat n-edik elemét jelöljük, nulláról indulva: F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, ... A következő elemet a következő képlettel számítjuk ki: Fn = Fn-1 + Fn-2 ...

Amint látjuk, a négyzetek és dominók egymásra helyezésének problémája elvezetett minket a Fibonacci-számok sorozatához [ 1 ]A négyzetek és dominók problémájában azt találtuk, hogy F1 = 1 és F2 = 2. De a Fibonacci számok F0 = 1-gyel kezdődnek. Hogyan egyezik ez a feladat feltételeivel? Hányféleképpen lehet kitölteni a 0 × 1-es keretet azonos feltételek mellett? A négyzet hossza és a dominó hossza, bármit is mondjunk, nagyobb nullánál, ezért van kísértés, hogy azt mondjuk, hogy a válasz nulla, de ez nem így van. A 0 × 1 téglalap már ki van töltve, nincsenek hézagok; nincs szükségünk négyzetre vagy dominóra. Így csak egy módja van a cselekvésnek: ne vegyél se négyzetet, se dominót. Érted? Ez esetben gratulálok. Matematikus lelked van!

Fibonacci-számok összege

Próbáljuk meg összeadni az első néhány Fibonacci-számot. Mit mondhatunk az F0 + F1 +… + Fn összegről bármely n esetén? Végezzünk néhány számítást, és nézzük meg, mi történik. Figyelje meg az alábbi összeadási eredményeket. Látsz mintát? Várj egy kicsit, mielőtt továbblépsz: jobb lesz, ha magad találod meg a választ, nem pedig egy kész megoldást olvasol.

Remélhetőleg látta, hogy az összegzési eredmények, ha hozzáadunk egyet, szintén Fibonacci-számok sorozatába kerülnek. Például, ha számokat F0-tól F5-ig adunk össze: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F7 - 1. Ha számokat F0-tól F6-ig adunk össze, akkor 33-at kapunk, melyikkel kisebb, mint F8 = 34. Felírhatjuk a képletet n nemnegatív egész számokra: F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. (*)

Valószínűleg Önnek személy szerint elég lesz látnia, hogy a képlet [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1.... tucatszor dolgozik, hogy elhiggye, hogy ez helyes, de a matematikusok éhesek a bizonyításra. Örömmel mutatunk be két lehetséges bizonyítást, hogy ez minden n nemnegatív egészre igaz.

Az elsőt indukciós bizonyításnak, a másodikat kombinatorikus bizonyításnak nevezzük.

Bizonyítás indukcióval

Képlet [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. végtelen számú képlet összecsukott formában. Bizonyítsd [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. igaz n adott értékére, mondjuk n = 6-ra – egyszerű számtani feladat. Elegendő lesz felírni a számokat F0-tól F6-ig, és összeadni őket: F0 + F2 +… + F6 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = 33.

Könnyen belátható, hogy F8 = 34, tehát a képlet működik. Térjünk át az F7-re. Ne vesztegessük az időt az összes szám összeadásával: már tudjuk az összeget F6-ig. Így (F0 + F1 +… + F6) + F7 = 33 + 21 = 54. Mint korábban, minden konvergál: F9 = 55.

Ha most elkezdjük ellenőrizni, hogy működik-e az n = 8 képlete, akkor végre elfogy az erőnk. De mégis lássuk, mit tudunk már, és mit szeretnénk megtudni:

F0 + F1 +… + F7 = F9.

F0 + F1 +… + F7 + F7 =?

Használjuk az előző eredményt: (F0 + F1 +… + F7) + F8 = (F9-1) + F8.

Az (F9-1) + F8-at természetesen számtanilag is ki tudjuk számolni. De ettől még jobban elfáradunk. Ugyanakkor tudjuk, hogy F8 + F9 = F10. Így nem kell semmit számolnunk, és nem kell belenéznünk a Fibonacci-számok táblázatába:

(F0 + F1 +… + F7) + F8 = (F9-1) + F8 = (F8 + F9-1) = F10-1.

Megbizonyosodtunk arról, hogy a képlet n = 8 esetén működik az alapján, amit n = 7-ről tudtunk.

n = 9 esetén ugyanúgy az n = 8 eredményre támaszkodunk (lásd magad). Természetesen, miután bebizonyította, hogy [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. n esetén biztosak lehetünk abban, hogy [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. n + 1-re is igaz.

Készek vagyunk a teljes bizonyításra. Mint már említettem, [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. végtelen számú képlet n minden értékéhez nullától a végtelenig. Lássuk, hogyan működik a bizonyítás.

Először is bebizonyítjuk [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. a legegyszerűbb esetben, ha n = 0. Egyszerűen ellenőrizzük, hogy F0 = F0 + 2 - 1. Mivel F0 = 1 és F2 = 2, nyilvánvalóan 1 = 2 - 1, és F0 = F2-1.

Továbbá elég megmutatnunk, hogy a képlet helyessége n egyik értékére (mondjuk n = k) automatikusan n + 1 helyességét jelenti (példánkban n = k + 1). Csak be kell mutatnunk, hogyan működik „automatikusan”. Mit kell tennünk?

Vegyünk egy k számot. Tegyük fel, hogy már tudjuk, hogy F0 + F1 +… + Fk = Fk + 2–1. Az F0 + F1 +… + Fk + Fk + 1 értéket keressük.

Már ismerjük a Fibonacci-számok összegét Fk-ig, így kapjuk:

(F0 + F1 +… + Fk) + Fk + 1 = (Fk + 2–1) + Fk + 1.

A jobb oldal egyenlő Fk + 2 - 1 + Fk + 1, és tudjuk, hogy a következő Fibonacci-számok összege mekkora:

Fk + 2–1 + Fk + 1 = (Fk + 2 + Fk + 1) - 1 = Fk + 3–1

Helyettesítsük be egyenlőségünkben:

(F0 + F1 +… + Fk) + Fk + 1 = Fk + 3–1

Most elmagyarázom, mit csináltunk. Ha tudjuk, hogy [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. igaz, ha a számokat Fk-ig összegezzük, akkor [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. igaznak kell lennie, ha hozzáadjuk az Fk + 1-et.

Összefoglaljuk:

Képlet [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. igaz n = 0-ra.

Ha a képlet [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. igaz n-re, igaz n + 1-re is.

Bátran kijelenthetjük, hogy [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. igaz az n bármely értékére. Ez igaz [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. ha n = 4987? Ez akkor van így, ha a kifejezés igaz n = 4986 esetén, ami az n = 4985 kifejezés helyességén alapul, és így tovább n = 0-ig. Ezért a képlet [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. minden lehetséges értékre igaz. Ezt a bizonyítási módot ún matematikai indukció (vagy bizonyítás indukcióval)... Ellenőrizzük az alapesetet és adunk egy sablont, amellyel minden következő eset igazolható az előző alapján.

Kombinatorikus bizonyítás

És itt van egy teljesen más személyazonossági bizonyíték [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1.... A fő megközelítés itt az, hogy kihasználjuk azt a tényt, hogy Fn az 1 × n méretű téglalap négyzetekkel és dominókkal való körülzárásának a száma.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy bizonyítanunk kell:

F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2-1. (*)

Az ötlet az, hogy az egyenlet mindkét oldalát a felmerülő probléma megoldásaként kezeljük. Ha bebizonyítjuk, hogy a bal és jobb oldali rész- megoldás ugyanarra a téglalapra, ezek egybeesnek. Ezt a technikát kombinatorikus bizonyításnak nevezik [ 2 ]A "kombinatorikus" szó a "kombinatorika" főnévből származik - a matematika egy ágának nevéből, amelynek tárgya a téglalap szembenézéséhez hasonló feladatokban a lehetőségek számolása. A „kombinatorika” szó pedig a „kombináció” szóból származik..

Milyen kérdésre vonatkozik a kombinatorika egyenlete [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. két helyes választ ad? Ez a rejtvény hasonló a Jeopardy-n találhatókhoz! [ 3 ]Népszerű játékbemutató az Egyesült Államokban. A Jeopardy megfelelői! menj ki hozzá különböző országok; Oroszországban ez a „saját játék”. - kb. szerk. ahol a résztvevőknek egy kérdést kell megfogalmazniuk, előre tudva a helyes választ.

A jobb oldal egyszerűbbnek tűnik, ezért kezdjük vele. Válasz: Fn + 2– 1. Mi a kérdés? Ha a válasz egyszerűen Fn + 2 lenne, akkor könnyen megfogalmazhatnánk a kérdést: hányféleképpen tudunk egy 1 × (n + 2) téglalapot négyzetek és dominó segítségével kiborítani? Ez majdnem az, amire szüksége van, de a válasz kevesebb. Próbáljuk meg finoman megváltoztatni a kérdést, és csökkenteni a választ. Távolítsunk el egy burkolati lehetőséget, és számítsuk újra a többit. A nehézség abban rejlik, hogy találunk egy olyan lehetőséget, amely gyökeresen különbözik a többitől. Van ilyen?

Minden burkoló módszer négyzetek vagy dominó használatát foglalja magában. Csak négyzeteket használnak egyetlen változatban, a többiben legalább egy dominó található. Vegyük ezt egy új kérdés alapjául.

Kérdés: Hány négyzet és dominó áll rendelkezésre egy 1 × (n + 2) téglalap alakú kerethez, amely legalább egy dominót tartalmaz?

Erre a kérdésre most két választ találunk. Mivel mindkettő helyes lesz, nyugodtan tehetünk egyenlőségjelet a számok közé.

Az egyik választ már megbeszéltük. Vannak Fn + 2 stíluslehetőségek. Csak az egyikben kizárólag négyzeteket használnak, dominó nélkül. Így kérdésünkre az 1. válasz: Fn + 2–1.

A második válasz – remélem – az egyenlet bal oldala [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1.... Lássuk, hogyan működik.

Újra kell számolni a keret kitöltésének lehetőségeit, beleértve legalább egy dominót. Gondoljuk végig, hol lesz a legelső csülök. n + 2 pozíció van, és az első lapka 1 és n + 1 közötti pozíciókban lehet.

Tekintsük az n = 4 esetet. Az 1 × 6-os doboz kitöltésének olyan változatait keressük, amelyekben legalább egy dominó szerepel. Tudjuk a választ: F6 - 1 = 13 - 1 = 12, de más módon kell megkapnunk.

Az első dominólapka a következő pozíciókat foglalhatja el:

Az első oszlop azt az esetet mutatja, amikor a csukló az első helyzetben van, a második, amikor a csukló a másodikban van, és így tovább.

Hány lehetőség van az egyes oszlopokban?

Az első oszlop öt lehetőséget tartalmaz. Ha eldobjuk a bal oldali dominókat, akkor egy 1 × 4-es téglalapra pontosan F4 = 5 opciót kapunk.A második oszlop három opciót tartalmaz. Dobd el a dominót és a négyzetet balra. Egy 1 × 3-as téglalapra F3 = 3 opciót kapunk, hasonlóan a többi oszlophoz. Íme, amit találtunk:

Így az 1 × 6-os téglalap alakú keret négyzetekkel és dominókkal (legalább egy csülökkel) F4 + F3 + F2 + F1 + F0 = 12 csempézési módja.

Következtetés: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 = 12 = F6-1.

Nézzük az általános esetet. Adunk egy n + 2 hosszúságú keretet. Hány olyan változata van a kitöltésének, amelyben az első dominólapka egy adott k pozícióban van? Ebben az esetben az első k - 1 pozíciókat négyzetek foglalják el. Így összesen k + 1 pozíció van elfoglalva [ 4 ]A k szám 1-től n + 1-ig vehet fel, de többet nem, mert különben az utolsó dominó kilóg a keretből.... A maradék (n + 2) - (k + 1) = n - k + 1 bármilyen módon kitölthető. Ez megadja az Fn-k + 1 opciókat. Készítsünk diagramot:

Ha k 1-ről n + 1-re változik, akkor n - k + 1 értéke 0-ról n-re változik. Így a keretünk legalább egy dominólapkával történő kitöltésének lehetőségei Fn + Fn-1 +… + F1 + F0.

Ha fordított sorrendbe tesszük a kifejezéseket, akkor a kifejezés bal oldalát (*) kapjuk. Így megtaláltuk a második választ a feltett kérdésre: F0 + F1 +… + Fn.

Tehát két válaszunk van a kérdésre. Az általunk levezetett két képlet segítségével kapott értékek egybeesnek, és az azonosság [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. igazolt.

Fibonacci-arány és aranymetszés

Két egymást követő Fibonacci-szám összeadása a következő Fibonacci-számot kapja. Ebben a részben egy érdekesebb kérdést érintünk: mi történik, ha a Fibonacci-számot elosztjuk a sorban előtte lévővel? Számítsuk ki az Fk1 arányt. A k értékének növeléséhez.

A táblázatban láthatja az F1 / F0 és F20 / 19 közötti arányokat.

Minél nagyobbak a Fibonacci-számok, annál közelebb van az Fk + 1 / Fk arány egy körülbelül 1,61803-nak megfelelő állandóhoz. Ez a szám - meg fog lepődni - eléggé ismert ahhoz, hogy ha beírja keresőmotor, sok oldal ki fog esni az aranymetszésről. Ami? A szomszédos Fibonacci-számok aránya nem azonos. Ez azonban majdnem ugyanaz, ha a számok elég nagyok. Keressünk egy képletet az 1,61803 számra, és ehhez egy ideig feltételezzük, hogy minden arány azonos. Vezessük be az x jelölést:

x = Fk + 1 / Fk = / Fk + 2 / Fk + 1 = Fk + 3 / Fk + 2 =…

Ez azt jelenti, hogy Fk + 1 = xFk, Fk + 2 = xFk + 1 stb. Újrafogalmazhatjuk:

Fk + 2 = xFk + 1 = x2> Fk.

De tudjuk, hogy Fk + 2 = Fk + 1 + Fk. Így x2> FkFk = xFk + Fk.

Ha mindkét oldalt elosztjuk Fk-val, és átrendezzük a feltételeket, akkor azt kapjuk másodfokú egyenlet: x2-x-1 = 0. Két megoldása van:

Az aránynak pozitívnak kell lennie. És így kaptunk egy ismerős számot. Általában a görög φ (phi) betűt használják az aranymetszés jelölésére:

Már észrevettük, hogy a szomszédos Fibonacci-számok aránya megközelíti (hajlik) φ-hez. Ez csodálatos. Ez egy másik módot ad a Fibonacci-számok hozzávetőleges értékének kiszámítására. A Fibonacci-számok sorozata F0 F1, F2, F3, F4, F5 ... Ha minden Fk + 1 / Fk arány azonos, akkor a következő képletet kapjuk:

Itt val vel egy másik állandó. Hasonlítsuk össze az Fn és φn kerekített értékeit különböző n-ekre:

Nagy n értékek esetén az arány Fn / φn≈0,723607. Ez a szám pontosan φ / root5. Más szavakkal,

Figyeljük meg, hogy ha a legközelebbi egész számra kerekítjük, akkor pontosan Fn-t kapunk.

Ha nem szeretnél egész számra kerekíteni, akkor a Jacques Binetről elnevezett képlet [ 5 ]Jacques Binet (1786–1856) francia matematikus, mechanikus és csillagász. A Fibonacci-számok képlete Binet nevéhez fűződik, bár Abraham de Moivre (1667–1754) származtatta majdnem száz évvel korábban. - kb. per., megadja a pontos értéket:

Keretkitöltés 1 × 5

Keretünket a következő módokon tölthetjük ki négyzetekkel és dominókkal:

Van F4 = 5 lehetőség, amikor egy négyzet van az elején, és F3 = 3 lehetőség, amikor egy dominó van az elején. Összességében ez F5 = F4 + F3 = 8 lehetőséget ad.

Az F10 érték(a válasz a következő, elhelyezéssel kapcsolatos kérdésre) 89.

Sziasztok kedves olvasók!

Aranymetszés – mi ez? Fibonacci számok? Ezekre a kérdésekre tömören és érthetően, egyszerű szavakkal ad választ a cikk.

Ezek a kérdések több évezred óta izgatják egyre több generáció elméjét! Kiderült, hogy a matematika nem unalmas, de izgalmas, érdekes, elbűvölő!

További hasznos cikkek:

Fibonacci számok – mi ez?

Az elképesztő tény az amikor egy numerikus sorozat minden következő számát elosztjuk az előzővel 1,618-ra hajló számot kapunk.

A szerencsés felfedezte ezt a titokzatos sorozatot középkori matematikus, Leonardo Pisa (ismertebb nevén Fibonacci)... Előtte Leonardo da Vinci az emberek, növények és állatok testének felépítésében meglepően ismétlődő arányt fedeztek fel Phi = 1,618... Ezt a számot (1,61) a tudósok "Isten számának" is nevezik.

Leonardo da Vinci előtt ez a számsorozat ismert volt Ősi Indiaés az ókori Egyiptom... Az egyiptomi piramisok arányok felhasználásával épülnek Phi = 1,618.

De ez még nem minden, kiderül a Föld és az űr természeti törvényei valahogy megmagyarázhatatlan módon engedelmeskednek a szigorú matematikai törvényeknek Fidonacci számsorozatok.

Például mind a földi héj, mind az űrben lévő galaxis Fibonacci-számok felhasználásával épül fel. A virágok túlnyomó többsége 5, 8, 13 szirmú. A napraforgóban, a növények szárán, a felhők kavargó örvényeiben, örvényekben és még a Forex valutaárfolyam-grafikonjaiban is mindenhol működnek a Fibonacci-számok.

Ebben a RÖVID VIDEÓBAN (6 perc) tekintse meg az egyszerű és szórakoztató magyarázatot arról, hogy mi a Fibonacci-sorozat és az aranyarány:

Mi az aranyarány vagy isteni arány?

Tehát mi az Aranyarány vagy Arany vagy Isteni Arány? Fibonacci azt is felfedezte, hogy a sorozat, amely Fibonacci-számok négyzeteiből áll ez még nagyobb rejtély. Próbáljuk meg grafikusan ábrázolja a sorozatot egy terület formájában:

1², 2², 3², 5², 8² ...

Ha beleírsz egy spirált grafikus kép Fibonacci-számok négyzeteinek sorozatát, akkor megkapjuk az Aranyarányt, aminek a szabályai szerint az univerzumban minden épül, beleértve a növényeket, állatokat, a DNS-spirált, az emberi testet,... Ez a lista a végtelenségig folytatható.

Aranymetszés és Fibonacci számok a természetben VIDEÓ

Azt javaslom, nézzen meg egy kisfilmet (7 perc), amely felfedi az Aranymetszés néhány titkát. Ha a Fibonacci számok törvényére gondolunk, mint az életvitelre és az életvitelre irányító elsődleges törvényre élettelen természet, felvetődik a kérdés: Magától jött létre ez az ideális képlet a makrokozmoszhoz és a mikrokozmoszhoz, vagy valaki létrehozta és sikeresen alkalmazta?

Mit gondolsz erről? Gondoljuk át együtt ezt a rejtvényt, és talán közelebb kerülünk hozzá.

Nagyon remélem, hogy a cikk hasznos volt számodra, és megtudtad mi az Aranyarány * és Fibonacci szám? Amíg újra nem találkozunk a blogoldalakon, iratkozz fel a blogra. A feliratkozási űrlap a cikk alatt található.

Mindenkinek sok új ötletet és inspirációt kívánok a megvalósításukhoz!

Nézzük meg, mi a közös az ókori egyiptomi piramisok, Leonardo da Vinci „Mona Lisa” festménye, a napraforgó, a csiga, a fenyőtoboz és az emberi ujjak között?

A válasz erre a kérdésre elképesztő számokban rejlik, amelyeket felfedeztek a középkori olasz matematikus, Pisai Leonardo, ismertebb nevén Fibonacci (született 1170 körül - 1228 után halt meg), olasz matematikus ... Keleten utazva megismerkedtem az arab matematika vívmányaival; hozzájárult Nyugatra való áthelyezésükhöz.

Felfedezése után ezeket a számokat nevén kezdték nevezni híres matematikus... A Fibonacci-szekvencia csodálatos lényege az hogy ebben a sorozatban minden számot a két előző szám összegéből kapunk.

Tehát a sorozatot alkotó számok:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

"Fibonacci-számoknak", magát a sorozatot pedig Fibonacci-sorozatnak nevezik.

Van egy nagyon érdekes tulajdonsága a Fibonacci-számoknak. Ha a sorozatból bármely számot elosztunk a sorban előtte lévő számmal, az eredmény mindig olyan érték lesz, amely az 1,61803398875 irracionális érték körül ingadozik, és időnként vagy emelkedik, vagy nem éri el. (Megjegyzés: irracionális szám, azaz olyan szám, amelynek decimális ábrázolása végtelen és nem periodikus)

Sőt, a sorrend 13. után ez a felosztási eredmény a végtelenségig állandóvá válik... Ezt a középkorban állandó osztásszámot hívták Isteni arány, és manapság aranymetszésnek, arany középútnak vagy aranyaránynak nevezik ... Az algebrában ezt a számot a görög phi betű (Ф) jelöli.

Így, Arany arány = 1: 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Az emberi test és az aranymetszés

Művészek, tudósok, divattervezők, tervezők az aranymetszés aránya alapján készítik számításaikat, rajzaikat vagy vázlataikat. Emberi testből származó méréseket használnak, amelyeket szintén az aranymetszés elve szerint hoztak létre. Leonardo Da Vinci és Le Corbusier remekműveik elkészítése előtt az emberi test paramétereit vették át, amelyeket az aranyarány törvénye szerint hoztak létre.

A legtöbb fő könyv A modern építészek közül E. Neufert "Épülettervezés" című kézikönyve tartalmazza az emberi test paramétereinek alapvető számításait, az aranyarányt is.

Testünk különböző részeinek arányai nagyon közel állnak az aranymetszethez. Ha ezek az arányok egybeesnek az aranymetszés képletével, akkor az ember megjelenése vagy teste tökéletesen összehajtottnak tekinthető. Az emberi test aranymértékének kiszámításának elve diagramként ábrázolható:

M/m=1,618

Az aranymetszés első példája az emberi test felépítésében:
Ha az emberi test középpontjának a köldökpontot vesszük, mértékegységnek pedig a lábfej és a köldökpont távolságát, akkor az ember magassága 1,618-nak felel meg.

Ezen kívül testünknek számos alapvető arany aránya van:

* az ujjbegyek és a csukló és a könyök közötti távolság 1:1,618;

* a vállmagasság és a fej búbja közötti távolság és a fej mérete 1:1,618;

* a köldökpont és a fej búbja, valamint a vállmagasság és a fej búbja közötti távolsága 1:1,618;

* a köldökpont távolsága a térdtől és a térdtől a lábfejig 1:1,618;

* az állhegy és a felső ajak hegye, valamint a felső ajak hegye és az orrlyukak távolsága 1:1,618;

* az állhegy és a szemöldök felső vonala, valamint a szemöldök felső vonala és a korona közötti távolság 1:1,618;

* az állhegy és a szemöldök felső vonala, valamint a szemöldök felső vonala és a koronája közötti távolság 1:1,618:

Az aranymetszés az emberi arcvonásokban, mint a tökéletes szépség kritériuma.

Az emberi arcvonások felépítésében is sok olyan példa van, amely megközelíti az aranymetszés képlet értékét. Azonban ne rohanjon azonnal az uralkodó után, hogy megmérje minden ember arcát. Mert az aranymetszés pontos megfelelése tudósok és művészek, művészek és szobrászok szerint csak a tökéletes szépségű emberekben létezik. Valójában az aranymetszés pontos jelenléte az ember arcán a szépség eszménye az emberi szem számára.

Például, ha összeadjuk a két elülső felső fog szélességét, és ezt elosztjuk a fogak magasságával, akkor az Aranymetszés számot kapva kijelenthetjük, hogy ezeknek a fogaknak a szerkezete ideális.

Az emberi arcon az aranymetszés szabályának más megtestesülései is vannak. Íme néhány ilyen kapcsolat:

* Arc magassága / arc szélessége;

* Az ajkak találkozási pontja az orr tövével / az orr hossza;

* Az arc magassága / távolsága az álla hegyétől az ajkak találkozási pontjának középpontjáig;

* A száj szélessége / az orr szélessége;

* Az orr szélessége / az orrlyukak közötti távolság;

* Pupillák közötti távolság / szemöldökök közötti távolság.

Emberi kéz

Elég, ha most közelebb viszi a tenyerét, és alaposan megnézi a mutatóujját, és azonnal megtalálja benne az aranymetszés képletét. A kezünk minden ujja három falangból áll.

* Az ujj első két falánkjának összege az ujj teljes hosszához viszonyítva, és megadja az aranymetszés számát (a hüvelykujj kivételével);

* Ezen kívül a középső ujj és a kisujj aránya is egyenlő az aranymetszéssel;

* Egy személynek 2 keze van, mindkét kéz ujjai 3 ujjból állnak (a hüvelykujj kivételével). Mindegyik kéznek 5 ujja van, azaz csak 10, de két biphalangealis hüvelykujj kivételével csak 8 ujj jön létre az aranymetszés elve szerint. Míg mindezek a 2, 3, 5 és 8 számok a Fibonacci-sorozat számai:

Az arany aránya az emberi tüdő szerkezetében

B.D. West amerikai fizikus és Dr. A.L. Goldberger fizikai és anatómiai vizsgálatok során megállapította, hogy az aranymetszés az emberi tüdő szerkezetében is létezik.

Az emberi tüdőt alkotó hörgők sajátossága az aszimmetriájukban rejlik. A hörgők két fő légútból állnak, amelyek közül az egyik (bal) hosszabb, a másik (jobb) rövidebb.

* Megállapítást nyert, hogy ez az aszimmetria a hörgők ágaiban, az összes kisebb légúton folytatódik. Ezenkívül a rövid és hosszú hörgők hosszának aránya szintén aranymetszés, és egyenlő 1: 1,618.

Az arany merőleges négyszög és spirál szerkezete

Az aranymetszés egy szakasznak olyan arányos felosztása egyenlőtlen részekre, amelyben az egész szakasz ugyanúgy a nagyobb részre vonatkozik, mint maga a nagyobb rész a kisebbre; vagy más szóval a kisebb szegmens a nagyobbhoz, mint a nagyobb mindenhez kapcsolódik.

A geometriában az ilyen oldalarányú téglalapot arany téglalapnak hívják. Hosszú oldalai 1,168:1 arányban hasonlítanak össze a rövid oldalakkal.

Az arany téglalapnak is sok van csodálatos tulajdonságok... Az arany téglalapnak számos szokatlan tulajdonsága van. Az arany téglalapból levágva egy négyzetet, amelynek oldala egyenlő a téglalap kisebbik oldalával, ismét egy kisebb arany téglalapot kapunk. Ez a folyamat a végtelenségig folytatható. Ahogy folytatjuk a négyzetek kivágását, egyre kisebb arany téglalapokat kapunk. Ezenkívül egy logaritmikus spirál mentén helyezkednek el, ami fontos a természeti objektumok (például csigaházak) matematikai modelljeiben.

A spirálpólus a kezdeti téglalap és az első vágandó függőleges vágás átlóinak metszéspontjában fekszik. Ezenkívül az összes későbbi csökkenő arany téglalap átlója ezeken az átlókon fekszik. Természetesen van egy arany háromszög is.

William Charlton angol tervező és esztétikus kijelentette, hogy az emberek a spirális formákat kellemesnek találják a szemnek, és évezredek óta használják őket, és ezt így magyarázta:

"Tetszik a spirál megjelenése, mert vizuálisan könnyen láthatjuk."

A természetben

* A spirál szerkezetének alapjául szolgáló aranymetszés szabálya a természetben nagyon gyakran megtalálható a páratlan szépségű alkotásokban. A legélénkebb példák - a spirális alak a napraforgómagok elrendezésében és a fenyőtobozokban, az ananászokban, a kaktuszokban, a rózsaszirom szerkezetében stb.

* A botanikusok megállapították, hogy a levelek elrendezésében egy ágon, napraforgómagban vagy fenyőtobozban egyértelműen megnyilvánul a Fibonacci sorozat, tehát az aranymetszés törvénye nyilvánul meg;

A Legfelsőbb Úr minden teremtményére külön mértéket és arányosságot határozott meg, amit a természetben fellelhető példák is megerősítenek. Nagyon sok példát lehet felhozni arra, amikor az élő szervezetek növekedési folyamata szigorúan a logaritmikus spirál alakjának megfelelően megy végbe.

A tekercsben lévő összes rugó azonos alakú. A matematikusok azt találták, hogy még a rugók méretének növekedésével is a spirál alakja változatlan marad. Nincs más olyan forma a matematikában, amely ugyanolyan egyedi tulajdonságokkal rendelkezik, mint a spirál.

A tengeri kagylók szerkezete

Tudósok, akik tanulmányozták a belső és külső szerkezet a tengerek fenekén élő puha testű puhatestűek kagylója a következőképpen nyilatkozott:

„A héjak belső felülete kifogástalanul sima, míg a külső felületet érdesség és egyenetlenségek borítják. A puhatestű a héjban volt, és ehhez a kagyló belső felületének tökéletesen simának kellett lennie. A héj külső sarkai-hajlításai növelik annak szilárdságát, keménységét és ezzel növelik szilárdságát. A héj (csiga) szerkezetének tökéletessége és elképesztő intelligenciája elképesztő. A kagylók spirálötlete tökéletes geometriai forma, és bámulatos csiszolt szépségében."

A legtöbb héjjal rendelkező csigában a héj logaritmikus spirálban nő. Kétségtelen azonban, hogy ezeknek az ésszerűtlen lényeknek fogalmuk sincs nemcsak logaritmikus spirálról, de még a legegyszerűbb matematikai ismeretekkel sem rendelkeznek ahhoz, hogy spirálhéjat alkossanak maguknak.

De akkor hogyan határozhatnák meg és választhatnák ki maguknak ezek az ésszerűtlen lények a növekedés és létezés ideális formáját egy spirálhéj formájában? Vajon ezek az élőlények, amelyeket a világ tudósai primitív életformáknak neveznek, ki tudják számítani, hogy egy héj logaritmikus formája ideális lenne létezésükhöz?

Természetesen nem, mert egy ilyen terv nem valósítható meg az ész és a tudás jelenléte nélkül. De sem primitív puhatestűek, sem öntudatlan természet, amelyet azonban egyes tudósok a földi élet megteremtőjének neveznek (?!)

A legprimitívebb életforma eredetét bizonyos természeti körülmények véletlenszerű egybeesésével próbálni magyarázni, legalábbis abszurd. Nyilvánvaló, hogy ez a projekt tudatos alkotás.

Sir D'arkey Thompson biológus tengeri kagylók növekedésének nevezi ezt a fajta növekedést – A gnómok növekedési formája.

Sir Thompson a következő megjegyzést teszi:

„Nincs egyszerűbb rendszer, mint a kagylók növekedése, amelyek az alak megtartásával arányosan nőnek és tágulnak. A legmeglepőbb módon a héj nő, de soha nem változtatja meg az alakját."

A néhány centiméter átmérőjű Nautilus a legtöbb kifejező példa gnóm típusú növekedés. S. Morrison a nautilus növekedési folyamatát a következőképpen írja le, amit még emberi elmével is meglehetősen nehéz megtervezni:

„A nautilus kagyló belsejében sok rekesz-szoba található gyöngyház válaszfalakkal, és maga a kagyló belsejében egy spirálisan tágul a középpontból. A nautilus növekedésével a kagyló elülső részében egy újabb, de az előzőnél már nagyobb szoba nő, a hátramaradt helyiség válaszfalait pedig gyöngyházréteg borítja. Így a spirál folyamatosan arányosan tágul."

Íme néhány spirálhéjtípus, amelyek tudományos nevüknek megfelelően logaritmikus növekedésűek:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Minden felfedezett kagylófosszíliának is volt spirális alakja.

A logaritmikus növekedési forma azonban az állatvilágban nem csak a puhatestűeknél található meg. Az antilopok, vadkecskék, kosok és más hasonló állatok szarvai is spirál alakban fejlődnek az aranymetszés törvényei szerint.

Az aranymetszés az emberi fülben

Az ember belső fülében van egy Cochlea ("Csiga") nevű szerv, amely a hangrezgés továbbítását végzi.. Ez a csontos szerkezet folyadékkal van megtöltve, és szintén csiga formájában jön létre, amely stabil logaritmikus spirál alakot tartalmaz = 73º 43 '.

Spirál alakban fejlődő állatok szarvai és agyarai

Az elefántok és a kihalt mamutok agyarai, az oroszlánok karmai és a papagájok csőrei logaritmikus formák, és egy spirálra hajlamos tengely alakjára emlékeztetnek. A pókok mindig logaritmikus spirálban forgatják hálóikat. Az olyan mikroorganizmusok szerkezete, mint a plankton (globigerinae, planorbis, vortex, terebra, sinullallae és trochida) szintén spirál alakú.

Az aranymetszés a mikrovilágok felépítésében

A geometriai formák nem korlátozódnak csupán háromszögekre, négyzetekre, ötszögekre vagy hatszögekre. Ha ezeket a figurákat különféle módon összekapcsoljuk egymással, akkor új háromdimenziós képet kapunk geometriai alakzatok... Ilyenek például az olyan formák, mint a kocka vagy a piramis. Rajtuk kívül azonban vannak más háromdimenziós figurák is, amelyekben nem kellett találkoznunk Mindennapi élet, és akinek a nevét halljuk, talán most először. Ezek a háromdimenziós figurák közé tartozik a tetraéder (egy szabályos négyoldalú alak), egy oktaéder, egy dodekaéder, egy ikozaéder stb. A dodekaéder 13 ötszögből, az ikozaéder 20 háromszögből áll. A matematikusok megjegyzik, hogy ezek az ábrák matematikailag nagyon könnyen átalakíthatók, és átalakulásuk az aranymetszés logaritmikus spiráljának képletével összhangban történik.

A mikrokozmoszban mindenütt elterjedtek az arany arányok szerint felépített háromdimenziós logaritmikus formák. ... Például sok vírus háromdimenziós geometriai alakzat ikozaéder. A vírusok közül talán a leghíresebb az Adeno vírus. Az adenovírus fehérjeköpenyét 252 egységnyi fehérjesejt alkotja, amelyek meghatározott szekvenciában vannak elrendezve. Az ikozaéder minden sarkában 12 egységnyi fehérjesejt található ötszögletű prizma formájában, és ezekből a sarkokból tüskeszerű struktúrák nyúlnak ki.

Először az 1950-es években fedezték fel a vírusok szerkezetének aranymetszetét. a londoni Birkbeck College tudósai, A. Klug és D. Kaspar. 13 Az első logaritmikus formában megjelent vírus a Polyo volt. Ennek a vírusnak a formája hasonló a Rhino 14 vírushoz.

Felmerül a kérdés, hogy a vírusok hogyan alkotnak olyan bonyolult háromdimenziós formákat, amelyek szerkezetében benne van az aranymetszés, amit még emberi elménknek is elég nehéz felépíteni? A vírusok ezen formáinak felfedezője, A. Klug virológus a következő megjegyzést teszi:

„Dr. Kaspar és én megmutattuk, hogy a vírus gömbburoka számára a legoptimálisabb forma a szimmetria, például az ikozaéder alakja. Ez az elrendezés minimálisra csökkenti az összekötő elemek számát... Buckminster Fuller geodéziai félgömb kockáinak többsége hasonló geometriai elven épül fel. 14 Az ilyen kockák felszerelése rendkívül pontos és részletes magyarázó diagramot igényel. Míg az öntudatlan vírusok maguk alkotnak egy ilyen összetett héjat rugalmas, rugalmas fehérje sejtegységekből."