X 2 egyenlet 1. Az X2 egyenlet megoldásai \u003d a. Nem teljes négyzetes egyenletek

((3 * x - 1) \u003d 0;

- (3 * x - 1) \u003d 0;

Innen beszerzük, hogy van egy egyenlet 3 * x - 1 \u003d 0.

3 * x - 1 \u003d 0 formájában lineáris egyenletet kapott

Az egyenlet megoldásához meghatározzuk az egyenlet mely tulajdonságait:

• Az egyenlet lineáris, és * x + b \u003d 0, ahol az A és B bármilyen szám;
• A \u003d B \u003d 0 esetében az egyenlet végtelen megoldásokat tartalmaz;
• Ha a \u003d 0, b ≠ 0, az egyenletnek nincs megoldása;
• Ha egy ≠ 0, b \u003d 0, az egyenlet megoldást tartalmaz: x \u003d 0;
• Ha, A és B - bármilyen szám, kivéve 0, a gyökér a következő X \u003d - B / A formátum szerint helyezkedik el.

Itt kapjuk, hogy a \u003d 3, b \u003d - 1, ez azt jelenti, hogy az egyenletnek van egy gyökere.

A megoldások egyenletének ellenőrzése

Az X \u003d 1/3 értéket helyettesítjük a kezdeti kifejezésben 3 * X - 1 | \u003d 0, akkor kapunk:

|3 * 1/3 - 1| = 0;

Annak érdekében, hogy megtalálják a kifejezés értékét, először a sorrendben a sorban számítsa ki a szorzás vagy osztás, akkor az intézkedés összeadás vagy a kivonás végzik. Ez az, kapunk:

Tehát x \u003d 1/3 az egyenlet gyökere | 3 * X - 1 | \u003d 0.

| 3 * X - 1 | \u003d 0;

A modul plusz és mínusz jelzéssel történik. 2 egyenletet kapunk:

1) 3 * x - 1 \u003d 0;

A híres értékek az egyik oldalra kerülnek, és a másik oldalon ismeretlenek. Az értékek átvitele során a jelek az ellenkező jelre váltanak. Ez az, kapunk:
3 * x \u003d 0 + 1;
3 * x \u003d 1;
x \u003d 1/3;

2) - (3 * x - 1) \u003d 0;

Távolítsa el a zárójeleket. Mivel a zárójelek előtt mínusz jele van, akkor az értékek, az értékek jelei az ellenkező jelre változnak. Ez az, kapunk:
- 3 * x + 1 \u003d 0;
- 3 * x \u003d - 1;
x \u003d - 1 / (- 3);
x \u003d 1/3;
Válasz: x \u003d 1/3.

Tekintsük az x ^ 2 \u003d a, ahol minőségi a, tetszőleges szám is elvégezhető. Három esetben megoldják ezt az egyenletet, attól függően, hogy az a (A0) szám értéke.

Tekintsük az egyes eseteket külön-külön.

Példák az x ^ 2 egyenlet különböző eseteire \u003d a

x ^ 2 \u003d a, a<0

Mivel a tényleges szám négyzete nem lehet negatív szám, az x ^ 2 \u003d a, a

x ^ 2 \u003d A, A \u003d 0

Ebben az esetben az egyenletnek van egy gyökere. Ez a gyökér a 0. számú Mivel a egyenlet átírható formájában x * x \u003d 0, akkor néha azt mondják, hogy ez az egyenlet két gyökereket, amelyek egyenlő egymás között, és értéke 0, az.

x ^ 2 \u003d A, A\u003e 0

Ebben az esetben az x ^ 2 \u003d a egyenlet, amikor az alábbiak szerint állítható. Először átszállunk és a bal oldalon.

A négyzetgyökezésének meghatározásából következik, hogy a a következő formában írható: a \u003d (√a) ^ 2. Ezután az egyenlet a következőképpen írható át:

x ^ 2 - (√a) ^ 2 \u003d 0.

A bal oldalon a négyzetek méretének képletét látjuk, helyezze el.

(x + √a) * (x - √a) \u003d 0;

A két konzol terméke nulla, ha legalább egyikük nulla. Ennélfogva,

Ezért, x1 \u003d √a x2 \u003d -sa.

Ez a megoldás ellenőrizhető és ütemezhető.

Például az X ^ 2 \u003d 4 egyenletért fogjuk megtenni.

Ehhez két grafikát meg kell építeni Y \u003d X ^ 2 és Y \u003d 4. És nézze meg a kereszteződési pontok koordinátáit. A gyökereknek ki kell kapcsolódnia 2 és -2. A képen minden jól látható.

Segítségre van szükségünk?

Előző téma:

A 7. számú matematikai fokozat során először találkoznak egyenletek két változóvalDe csak a két ismeretlen egyenletrendszerek keretében vizsgálták őket. Ezért, a nézőpontból számos feladat esik ki, amelyben az egyenlet együtthatókhoz korlátozott bizonyos feltételek kerülnek bevezetésre. Ezenkívül figyelmen kívül hagyják a "természetes vagy egész számok megoldására" típusú problémák megoldásának módszereit, bár eME anyagok és tovább belépő vizsgák Az ilyen jellegű feladatok egyre gyakrabban vannak.

Milyen egyenletet fognak hívni két változóval?

Például az 5x + 2y \u003d 10, x 2 + y 2 \u003d 20 vagy xy \u003d 12 egyenletek két változóval rendelkeznek.

Fontolja meg a 2X - Y \u003d 1-es egyenletet.

Így a megoldás minden egyenlet két változót egy álló rendezett párokat (x; y), változók értékei, amelyek ezt az egyenletet kell venni a jobb oldali numerikus egyenlőség.

Az egyenlet két ismeretlen:

de) van egy megoldás. Például az X 2 + 5Y 2 \u003d 0 egyenlet egyetlen megoldással rendelkezik (0; 0);

b) több megoldás. Például (5 - | x |) 2 + (| y | - 2) 2 \u003d 0 4 oldat: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

ban ben) nincs megoldásai. Például az X 2 + Y 2 + 1 \u003d 0 egyenlet nem rendelkezik megoldásokkal;

d) végtelenül sok megoldást tettek. Például x + y \u003d 3. Az egyenlet megoldásai olyan számok lesznek, amelyek összege 3 sok megoldás e egyenletből Ez formájában (K, 3 - K) írható, ahol k érvényes szám.

A fő megoldási módjainak az egyenletek két változó alapuló eljárások bomlását kifejezések szorzók, a kibocsátás teljes tér, a használata a tulajdonságait egy négyzet egyenlet korlátozott kifejezéseket, az értékelési módszereket. Az egyenlet, mint általában átalakul az űrlapra, ahonnan megkaphatja a rendszert, hogy megtalálja az ismeretleneket.

Faktorizáció

1. példa.

Az egyenlet megoldása: xy - 2 \u003d 2x - y.

Döntés.

A tényezők lebomlásához szükséges feltételek csoportosítása:

(XY + Y) - (2x + 2) \u003d 0. Minden tartóból összefoglaljuk:

y (x + 1) - 2 (x + 1) \u003d 0;

(x + 1) (Y - 2) \u003d 0. Van:

y \u003d 2, X bármilyen érvényes szám vagy X \u003d -1, Y - érvényes szám.

Ilyen módon a válasz az (X, 2), X € R és (-1, Y), Y € R.

EGYÉB MEGHATÁROZÁSI NEM NON-Negatív számok

2. példa.

Az egyenlet megoldása: 9x 2 + 4Y 2 + 13 \u003d 12 (x + y).

Döntés.

Csoport:

(9x 2 - 12x + 4) + (4Y 2 - 12Y + 9) \u003d 0. Most minden konzol összeomlik a négyzet alakú.

(3x - 2) 2 + (2Y - 3) 2 \u003d 0.

A két nem negatív kifejezés összege nulla, csak akkor, ha a 3x 2 \u003d 0 és 2Y - 3 \u003d 0.

Tehát x \u003d 2/3 és y \u003d 3/2.

Válasz: (2/3; 3/2).

Értékelési módszer

3. példa.

Az egyenlet megoldása: (x 2 + 2x + 2) (Y 2 - 4Y + 6) \u003d 2.

Döntés.

Minden tartóban jelölje ki a teljes négyzetet:

((x + 1) 2 + 1) ((Y - 2) 2 + 2) \u003d 2. megállapítja a zárójelben lévő kifejezések értéke.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 és (Y-2) 2 + 2 + 2 ≥ 2, akkor az egyenlet bal oldala mindig legalább 2. Az egyenlőség akkor lehetséges, ha:

(x + 1) 2 + 1 \u003d 1 és (Y-2) 2 + 2 \u003d 2, ami azt jelenti, hogy X \u003d -1, Y \u003d 2.

Válasz: (-1; 2).

Megismerkedünk egy másik módszerrel a második fokozat két változójának egyenleteinek megoldására. Ez a módszer az, hogy az egyenletet úgy tekintik négyzet alakú változóhoz képest.

4. példa.

Az egyenlet megoldása: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 \u003d 0.

Döntés.

Az egyenletet négyzetként oldom meg az X-hez viszonyítva. Megkülönböztetést találunk:

D \u003d 36 - 4 (Y - 4√Y + 13) \u003d -4Y + 16√EY - 16 \u003d -4 (√Y - 2) 2. Az egyenlet csak d \u003d 0, azaz, ha igen, ha y \u003d 4. Mi helyettesítjük az Y értékét az eredeti egyenlethez, és úgy találjuk, hogy x \u003d 3.

Válasz: (3; 4).

Gyakran két ismeretlen egyenletekben jeleznek a változók korlátozása.

5. példa.

Az egész számok egyenletének megoldása: x 2 + 5Y 2 \u003d 20x + 2.

Döntés.

Átírom az egyenletet az x 2 \u003d -5Y 2 + 20x + 2 formában. Igazrész Az így létrejövő egyenlet az 5-ös felosztás során adja meg a 2. maradékot. Ezért az x 2 nem osztható 5-vel. De a szám, amely nem osztja meg az 5-ös számot, 1 vagy 4-et ad a maradékban, így az egyenlőség lehetetlen, és nincs megoldások.

Válasz: Nincs gyökér.

6. példa.

Az egyenlet megoldása: (x 2 - 4 | x | + 5) (Y 2 + 6Y + 12) \u003d 3.

Döntés.

Minden egyes tartóban teljes négyzeteket kiemelünk:

((| x | - 2) 2 + 1) ((y + 3) 2 + 3) \u003d 3. Az egyenlet bal oldala mindig nagyobb vagy egyenlő. 3. Egyenlőség lehetséges, - 2 \u003d 0 és Y + 3 \u003d 0. Így x \u003d ± 2, Y \u003d -3.

Válasz: (2; -3) és (-2; -3).

7. példa.

Minden egyes integrációs negatív szám (x; y), az egyenlet kielégítése
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y \u003d 33, kiszámolja az összeget (x + y). Válaszul adja meg a legkisebb összefoglalót.

Döntés.

Kiemeljük a teljes négyzeteket:

(x 2 - 2xy + y 2) + (Y 2 + 4Y + 4) \u003d 37;

(X - Y) 2 + (Y + 2) 2 \u003d 37. Mivel X és Y egész számok, akkor négyzetük is egész számok. A 37-es két egész négyzet négyzetének összege, ha 1 + 36-ot hajtunk végre. Következésképpen:

(x - y) 2 \u003d 36 és (Y + 2) 2 \u003d 1

(x - y) 2 \u003d 1 és (Y + 2) 2 \u003d 36.

Megoldása ezeket a rendszereket és figyelembe véve, hogy X és Y jelentése a negatív, megoldásokat találni: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Válasz: -17.

Nem szükséges kétségbeesés, ha nehézségei vannak két ismeretlen egyenletek megoldása. Egy kis gyakorlat, és bármilyen egyenletekkel megbirkózhatsz.

Kérdése van? Nem tudom, hogyan lehet megoldani az egyenleteket két változóval?
A tanár segítségnyújtásához.
Az első lecke ingyenes!

az oldal, teljes vagy részleges másolás az anyagi hivatkozás az eredeti forrásra.

Kényelmes ingyenes online számológép a négyzetes egyenletek megoldására. Gyorsan megkaphatja és rendezheti, hogyan oldódnak meg, érthető példákon.
Termelni a négyzetes egyenlet online megoldása, először hozza az egyenletet Általános nézet:
AX 2 + BX + C \u003d 0
Töltse ki az űrlapmezőket ennek megfelelően:

Hogyan lehet megoldani egy négyzetes egyenletet

A négyzetes egyenlet megoldása:	Gyökerek típusai:
1. Hozzon létre egy négyzetes egyenletet a megosztott elme-hoz: Általános nézet AX 2 + BX + C \u003d 0 Példa: 3x - 2x 2 + 1 \u003d -1 vezet -2x 2 + 3x + 2 \u003d 0 2. Megkülönböztető diszkriminált D. D \u003d B 2 -4 * A * c. A mi példa: D \u003d 9- (4 * (- 2) * 2) \u003d 9 + 16 \u003d 25. 3. Megtaláljuk az egyenlet gyökereit. X1 \u003d (- B + D 1/2) / 2a. Az X1 \u003d (- 3 + 5) / (- 4) \u003d - 0,5 x2 \u003d (- d 1/2) / 2a. Az X2 \u003d (- 3-5) / (- 4) \u003d 2 Ha be van jelentő szám, akkor a diszkriminancia és a gyökerek kényelmesebbek a képletek szerint: D \u003d k 2 -ac x1 \u003d (- K + D 1/2) / a x2 \u003d (- K-d 1/2) / a, Ahol k \u003d b / 2	1. Érvényes gyökerek. És. x1 nem egyenlő x2 A helyzet akkor fordul elő, ha a d\u003e 0 és a nem egyenlő 0. 2. A tényleges gyökerek egybeesnek. x1 egyenlő x2 A helyzet akkor fordul elő, ha d \u003d 0. Ugyanakkor ugyanakkor, sem, sem pedig sem egyenlő 0-nak. 3. Két komplex gyökér. X1 \u003d D + EI, X2 \u003d D-EI, ahol i \u003d - (1) 1/2 A helyzet akkor fordul elő, amikor D 4. Az egyenletnek van egy megoldása. A \u003d 0, B és C nulla nem egyenlő. Az egyenlet lineáris lesz. 5. Az egyenlet számtalan megoldással rendelkezik. A \u003d 0, B \u003d 0, C \u003d 0. 6. A megoldások egyenlete nincs. A \u003d 0, B \u003d 0, C NEM 0.

Hogy biztosítsa az algoritmust, itt van még néhány példák a négyzetes egyenletek megoldására.

1. példa A hagyományos négyzetes egyenlet döntése különböző érvényes gyökerekkel.
x 2 + 3x -10 \u003d 0
Ebben az egyenletben
A \u003d 1, B \u003d 3, C \u003d -10
D \u003d B 2 -4 * A * C \u003d 9-4 * 1 * (- 10) \u003d 9 + 40 \u003d 49
négyzetgyök Az 1/2 számot fogjuk jelölni!
x1 \u003d (- in + d 1/2) / 2a \u003d (-3 + 7) / 2 \u003d 2
x2 \u003d (- d 1/2) / 2a \u003d (-3-7) / 2 \u003d -5

Az ellenőrzéshez helyettesítjük:
(X-2) * (x + 5) \u003d x2 -2x + 5x - 10 \u003d x2 + 3x -10

2. példa A négyzetes egyenlet megoldása az érvényes gyökerek egybeesésével.
X 2 - 8x + 16 \u003d 0
A \u003d 1, B \u003d -8, C \u003d 16
D \u003d K 2 - AC \u003d 16 - 16 \u003d 0
X \u003d -k / a \u003d 4

Helyettes
(X-4) * (X-4) \u003d (X-4) 2 \u003d x 2 - 8x + 16

3. példa A négyzetes egyenlet megoldása komplex gyökerekkel.
13x 2 - 4x + 1 \u003d 0
A \u003d 1, B \u003d -4, C \u003d 9
D \u003d B 2 - 4AC \u003d 16 - 4 * 13 * 1 \u003d 16 - 52 \u003d -36
A diszkrimináció negatív - a gyökerek integrálódnak.

X1 \u003d (- in + d 1/2) / 2a \u003d (4 + 6i) / (2 * 13) \u003d 2/13 + 3i / 13
x2 \u003d (- in - d 1/2) / 2a \u003d (4-6i) / (2 * 13) \u003d 2 / 13-3i / 13
ahol négyszögletes gyökér van -1

Hogy valójában a négyzetes egyenletek megoldása.
Reméljük, hogy a miénk online számológép Nagyon hasznos az Ön számára.
Ha az anyag hasznos volt, akkor