Fibonacci számok. Arany arány és a Fibonacci -sorozat számai. Mi az aranyarány vagy isteni arány

A Fibonacci -sorozat, amely a legtöbb embernek a filmnek és a "The Da Vinci Code" című könyvnek köszönhetően vált ismertté, számsor, amelyet Pisa Leonardo olasz matematikus, ismertebb nevén Fibonacci fedett le a XIII. A tudós követői észrevették, hogy a képlet, amelynek ez a számsor alá van rendelve, visszatükröződik a minket körülvevő világban, és rezonál más matematikai felfedezésekre is, ezáltal megnyitja előttünk az utat az univerzum titkai felé. Ebben a cikkben elmondjuk Önnek, mi a Fibonacci -szekvencia, vegyen példákat arra, hogyan jelenik meg ez a minta a természetben, és hasonlítsa össze más matematikai elméletekkel.

A fogalom megfogalmazása és meghatározása

A Fibonacci sorozat egy matematikai sorozat, amelynek minden eleme egyenlő az előző kettő összegével. Jelöljük a sorozat egy bizonyos tagját x n -nek. Így egy képletet kapunk, amely a teljes sorozatra érvényes: x n + 2 = x n + x n + 1. Ebben az esetben a sorozat sorrendje így fog kinézni: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. A következő szám 55 lesz, mivel a 21 és 34 összege 55. És így tovább ugyanígy.

Példák a környezetben

Ha megnézzük a növényt, különösen a levelek koronáját, észrevesszük, hogy spirálisan virágoznak. A szomszédos levelek között szögek alakulnak ki, amelyek viszont a megfelelőt alkotják matematikai sorrend Fibonacci. Ennek a tulajdonságnak köszönhetően minden egyes fán növekvő levél megkapja maximális összeget napfényés melegség.

Fibonacci matematikai rejtvénye

A híres matematikus rejtvényként mutatta be elméletét. Ez így hangzik. Pár nyulat elhelyezhet zárt térben, hogy megtudja, hány pár nyúl születik egy év alatt. Tekintettel ezeknek az állatoknak a természetére, arra a tényre, hogy minden hónapban egy házaspár képes új párat produkálni, és két hónapos koruk után készen állnak a szaporodásra, ennek eredményeként megkapta híres számsorát: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 - ami az új nyúlpárok számát mutatja minden hónapban.

Fibonacci szekvencia és arányos arány

Ennek a sorozatnak számos matematikai árnyalata van, amelyeket figyelembe kell venni. Ő, lassabban és lassabban (aszimptotikusan) közeledve, hajlamos egy bizonyos arányos kapcsolatra. De ez irracionális. Más szavakkal, ez egy szám, amelynek kiszámíthatatlan és végtelen sorrendje van decimális számok tört részében. Például a sorozat bármely elemének aránya 1,618 körül változik, néha meghaladja, majd eléri azt. Az alábbiak hasonlóan megközelítik a 0.618 -at. Ami fordítottan arányos az 1.618 -as számmal. Ha az elemeket eggyel osztjuk, akkor 2,618 és 0,382 értékeket kapunk. Mint már megértette, ezek fordítottan arányosak is. A kapott számokat Fibonacci -arányoknak nevezzük. Most magyarázzuk el, miért végeztük ezeket a számításokat.

aranymetszés

Megkülönböztetünk minden tárgyat körülöttünk bizonyos kritériumok szerint. Az egyik a forma. Van, akit jobban vonzunk, van, aki kevésbé, és van, aki egyáltalán nem. Észre kell venni, hogy a szimmetrikus és arányos tárgyat sokkal könnyebben érzékeli az ember, és harmónia és szépség érzetét kelti. A teljes kép mindig tartalmaz különböző méretű részeket, amelyek bizonyos arányban vannak egymással. Ezért a válasz arra a kérdésre, hogy mit nevezünk aranymetszetnek. Ez a fogalom az egész és részei közötti kapcsolat tökéletességét jelenti a természetben, a tudományban, a művészetben stb. Matematikai szempontból vegye figyelembe a következő példát. Vegyünk egy tetszőleges hosszúságú szakaszt, és osszuk két részre úgy, hogy a kisebb rész a nagyobbhoz kapcsolódjon, mint az összeg (a teljes szakasz hossza) a nagyobbhoz. Vegyük tehát a szegmenst val velértékenként egy. Része a 0,618 lesz, a második rész b, mint kiderült, egyenlő 0,382-vel. Így megfelelünk az Arany arány feltételnek. Vonal arány c Nak nek a egyenlő: 1,618. És az alkatrészek aránya cés b- 2.618. Megkapjuk a már ismert Fibonacci arányokat. Az arany háromszög, az arany téglalap és az arany négyszög ugyanazon az elven épül fel. Azt is érdemes megjegyezni, hogy az emberi testrészek arányos aránya közel van az Arany -arányhoz.

A Fibonacci-sorozat az alapja mindennek?

Próbáljuk meg ötvözni az Aranymetszet elméletét és az olasz matematikus híres sorozatát. Kezdjük az első méret két négyzetével. Ezután tegyen egy másik, második méretű négyzetet a tetejére. Rajzoljon mellé ugyanazt az ábrát, amelynek oldalhossza megegyezik a két előző oldal összegével. Ugyanígy rajzoljunk egy ötödik méretű négyzetet. És így folytathatja a végtelenségig, amíg meg nem unja. A lényeg az, hogy minden következő négyzet oldalának mérete megegyezik a két előző oldal oldalainak összegével. Sokszög sorozatot kapunk, amelynek oldalhosszai Fibonacci -számok. Ezeket az ábrákat Fibonacci téglalapoknak nevezzük. Rajzoljunk egy sima vonalat sokszögeink sarkán, és kapjunk ... egy Archimedes spirált! Tudniillik egy adott ábra lépésének növekedése mindig egyenletes. Ha bekapcsolja a képzeletét, akkor a kapott rajz egy puhatestűhéjhoz társítható. Ebből arra következtethetünk, hogy a Fibonacci-sorozat a környező világ elemeinek arányos, harmonikus arányainak alapja.

Matematikai szekvencia és az univerzum

Ha alaposan megnézzük, akkor az Arkhimédész-spirál (valahol kifejezetten, de valahol rejtetten), és ezért a Fibonacci-elv számos ismerős természeti elemben nyomon követhető, amely az embert körülveszi. Például minden puhatestű héja, közönséges brokkoli, napraforgó virág, tűlevelű kúp és hasonlók virágzata. Ha tovább nézünk, látjuk a Fibonacci -sorozatot végtelen galaxisokban. Még a természettől ihletett, annak formáit átvevő ember is létrehoz olyan tárgyakat, amelyekben az említett sorozatok nyomon követhetők. Ideje emlékezni az Aranymetszésre. A Fibonacci -törvénnyel együtt ennek az elméletnek az elvei is nyomon követhetők. Létezik egy olyan változat, amely szerint a Fibonacci-szekvencia a természet egyfajta próbája, hogy alkalmazkodjanak az Aranymetszet tökéletesebb és alapvetőbb logaritmikus sorozatához, amely szinte azonos, de nincs kezdete és végtelen. A természet szabályszerűsége olyan, hogy meg kell, hogy legyen egy saját vonatkoztatási pontja, ahonnan elkezdhet valami újat alkotni. A Fibonacci -sorozat első elemeinek aránya messze nem áll az Aranymetszés elveitől. Azonban minél tovább folytatjuk, ez az eltérés annál inkább kisimul. A sorrend meghatározásához három elemét kell ismerni, amelyek követik egymást. Az Arany sorozathoz kettő is elég. Mivel ez egyszerre aritmetikai és geometriai progresszió.

Következtetés

Ennek ellenére a fentiek alapján meglehetősen logikus kérdéseket tehet fel: "Honnan jöttek ezek a számok? Ki az egész világ eszközének szerzője, aki megpróbálta tökéletesíteni? Minden mindig úgy volt, ahogy akarta? ? Ha igen, miért nem sikerült? "Mi lesz ezután?" Ha megtalálod a választ az egyik kérdésre, megkapod a következőt. Megoldódott - további kettő jelenik meg. Miután megoldotta őket, további hármat kap. Miután foglalkozott velük, öt megoldatlan dolgot kap. Aztán nyolc, majd tizenhárom, huszonegy, harmincnégy, ötvenöt...

A strukturális harmónia mindenre kiterjedő megnyilvánulása. Az univerzum minden szférájában megtalálható a természetben, a tudományban, a művészetben mindenben, amivel az ember kapcsolatba kerülhet. Miután az emberiség megismerte az aranyszabályt, többé nem csalt vele.

Bizonyára sokszor elgondolkodtál azon, miért képes a természet olyan csodálatos, harmonikus szerkezeteket létrehozni, amelyek elragadtatják és elragadják a szemet. Miért alkotnak művészek, költők, zeneszerzők, építészek évszázadok óta elragadó műalkotásokat. Mi a titka és milyen törvények rejlenek ezeknek a harmonikus lényeknek a szívében? Senki nem fog tudni egyértelműen válaszolni erre a kérdésre, de könyvünkben megpróbáljuk felnyitni a fátylat, és elmesélni az univerzum egyik titkát - az Aranymetszetet vagy más néven az Arany vagy Isteni Arányt. . Az aranymetszést PHI -számnak (Phi) nevezik a nagy ókori görög szobrász, Phidius tiszteletére, aki ezt a számot használta szobraiban.

A tudósok évszázadok óta használták a PHI-szám egyedülálló matematikai tulajdonságait, és ez a kutatás a mai napig tart. Ez a szám széles alkalmazást talált a modern tudomány minden területén, amelyről mi is megpróbálunk népszerűen beszélni az oldalakon. Számos és mi a fibonacci szekvencia Többet fog tanulni ...

Az aranymetszés meghatározása

Az aranymetszés legegyszerűbb és legtágasabb meghatározása az, hogy egy kis rész egy nagyobbra utal, a nagy pedig az egész egészre. Hozzávetőleges értéke 1.6180339887. Kerekített százalékban az egész részeinek aránya 62% és 38% között lesz. Ez a kapcsolat tér és idő formájában működik.

A régiek az aranymetszésben a kozmikus rend visszatükröződését látták, Johannes Kepler pedig a geometria egyik kincsének nevezte. A modern tudomány aszimmetrikus szimmetriának tekinti az aranymetszést, és tág értelemben egyetemes szabálynak nevezi, amely tükrözi világrendünk szerkezetét és rendjét.

Fibonacci számok a történelemben

Az ókori egyiptomiaknak volt elképzelésük az aranyarányokról, tudtak róluk Oroszországban, de először az aranymetszést tudományosan megmagyarázta Luca Pacioli szerzetes az Isteni arány című könyvben, amelyet állítólag Leonardo da Vinci illusztrált. . Pacioli az isteni háromságot látta az aranymetszésben: egy kis szegmens a Fiút, a nagy Atyát személyesítette meg, az egész pedig a Szentlelket.

Leonardo Fibonacci olasz matematikus neve közvetlenül kapcsolódik az aranymetszés szabályához. Az egyik probléma megoldásának eredményeként a tudós számok sorozatával állt elő, ma Fibonacci -sorozat néven: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 stb. A Fibonacci-sorozat szomszédos számainak aránya a határértékben lévő aranyarányhoz hajlik. Kepler felhívta a figyelmet ennek a sorozatnak az aranymetszethez való viszonyára: úgy van elrendezve, hogy ennek a végtelen aránynak a két legalacsonyabb tagja adja össze a harmadik tagot, és bármely két utolsó tag, ha hozzáadjuk, a következő tagot adja. . Most a Fibonacci-sorozat a számtani alap az aranymetszet arányainak kiszámításához minden megnyilvánulásában.

Sok időt szentelt az aranymetszet jellemzőinek tanulmányozására is, valószínűleg maga a kifejezés is hozzá tartozik. Szabályos ötszögekből kialakított sztereometrikus testet ábrázoló rajzai azt bizonyítják, hogy a vágással kapott téglalapok mindegyike ad oldalarányt arany osztásban.

Idővel a szabály egy szabály, a stressztől és a kontextustól függően, a következőket jelentheti: Szabály - az a feltétel, hogy a cselekvés (játék, Az aranymetszés akadémiai rutinná vált, és csak Adolf Zeising filozófus adott neki második életet 1855-ben. Az aranymetszet arányait az abszolútra hozta, univerzálissá téve őket a környező világ minden jelenségére. Matematikai esztétikája azonban sok kritikát kapott.

A természet univerzális kódja

Anélkül, hogy belemennénk a számításokba, az aranyarány és a Fibonacci-számok könnyen megtalálhatók a természetben. Tehát alatta esik a gyík farkának és testének aránya, az ágon a levelek közötti távolság, van egy aranymetszés és tojás formájában, ha hagyományos vonaláthalad a legszélesebb részén.

A fehérorosz tudós, Eduard Soroko, aki a természet aranyosztályainak formáit tanulmányozta, megjegyezte, hogy minden, ami növekszik és törekszik arra, hogy elfoglalja helyét az űrben, az aranymetszet arányaival rendelkezik. Véleménye szerint az egyik legérdekesebb forma a spirálcsavarás.
Még Arkhimédész is, odafigyelve a spirálra, a formája alapján levezetett egy egyenletet, amelyet a technika ma is használ. Goethe később megjegyezte a gravitációt természet az Univerzum anyagi világa lényegében a tanulmányozás fő tárgya természettudományok spirális formákra, a spirált az élet görbéjének nevezve. A modern tudósok azt találták, hogy a spirális formák ilyen megnyilvánulásai a természetben, mint például a csigahéj, a napraforgómag elrendezése, a pókháló mintázata, a hurrikán mozgása, a DNS szerkezete és még a galaxisok szerkezete is tartalmaz a Fibonacci sorozat.

Az aranymetszés képlete

A divattervezők és ruházati tervezők minden számítást az aranymetszés arányai alapján végeznek. Az ember egyetemes a nyomtatvány jelentheti: Az objektum alakja - az objektum, objektum határainak (kontúrjainak) egymáshoz viszonyított helyzete, valamint a vonal pontjainak relatív helyzete hogy teszteljék az aranymetszés törvényeit. Természetesen természeténél fogva nem minden ember rendelkezik ideális arányokkal, ami bizonyos nehézségeket okoz a ruhák kiválasztásakor.

Leonardo da Vinci naplójában van egy rajz meztelen emberről, körbe írva, két egymásra helyezett helyzetben. Leonardo Vitruvius római építész kutatásai alapján hasonló módon próbálta megállapítani az emberi test arányait. Később a francia építész, Le Corbusier Leonardo Vitruvian Man című művét felhasználva megalkotta saját harmonikus arányskáláját, amely befolyásolta a 20. századi építészet esztétikáját.

Adolf Zeising, aki az ember arányosságát vizsgálta, óriási munkát végzett. Körülbelül kétezer emberi testet, valamint sok antik szobrot mért meg, és arra a következtetésre jutott, hogy az aranymetszés az átlagos törvényt fejezi ki. V Férfi racionális társadalmi élet, társadalmi-történelmi tevékenység és kultúra tárgya szinte minden testrésze neki van alárendelve, de fő mutató Arany valami aranyból szakasz a felosztás test A matematikában: A test (algebra) egy halmaz két művelettel (összeadás és szorzás), amely bizonyos tulajdonságokat köldökpont.
A mérések eredményeként a kutató megállapította, hogy a férfi test 13:8 arányai közelebb állnak az aranyhoz keresztmetszet poliszemantikus kifejezés jelentése: metszet a rajzban - a metszettel ellentétben csak az alak képe, amelyet a test sík (síkok) által történő feldarabolása alkot, anélkül, hogy ábrázolná a mögötte lévő részeket mint a női test aránya 8: 5.

A térformák művészete

Vaszilij Szurikov művész elmondta, hogy a kompozícióban van egy megváltoztathatatlan törvény, amikor semmit sem lehet eltávolítani vagy hozzáadni a képhez, még pluszpontot sem lehet tenni, ez igazi matek... A művészek sokáig intuitív módon követték ezt a törvényt, de utána Leonardo di ser Piero da Vinci (ital da Vinci szerint a képi vászon létrehozásának folyamata ma már nem teljes döntés nélkül geometriai problémák... Például Albrecht Durer meghatározni pont jelentheti: A pont egy absztrakt objektum a térben, amelynek a koordinátákon kívül nincs más mérhető jellemzője az aranymetszés az általa kitalált arányos iránytűt használta.

FV Kovalev művészeti kritikus, miután részletesen megvizsgálta Nikolai Ge, Alekszandr Szergejevics Puskin festményét Mihailovskoje faluban, megjegyzi, hogy a vászon minden részlete, legyen az kandalló, könyvespolc, karosszék vagy maga a költő, szigorúan arany arányban feliratozva.

Az Arany -arány kutatói fáradhatatlanul tanulmányozzák és mérik az építészet remekeit, azt állítva, hogy azért lettek ilyenek, mert az arany kánon szerint születtek: listájukon a gízai nagy piramisok, a Notre Dame -székesegyház, a Szent Bazil -székesegyház, a Parthenon szerepel. .
Ma pedig a térformák bármely művészetében az aranymetszés arányait próbálják követni, hiszen a művészetkritikusok szerint megkönnyítik a mű észlelését és esztétikai érzést keltenek a nézőben.

Szó, hang és filmszalag

Az ideiglenes művészet formái a maguk módján az aranyfelosztás elvét mutatják be számunkra. Az irodalomtudósok például észrevették, hogy Puskin munkásságának késői időszakának verseiben a legnépszerűbb sorok száma a Fibonacci -sorozatnak felel meg, 5, 8, 13, 21, 34.

Az aranymetszés szabálya az orosz klasszikus egyes műveire is érvényes. Tehát a csúcspont Az ásókirálynő a Hermann és a grófnő drámai jelenete, amely utóbbi halálával végződik. A történetben 853 sor szerepel, és a csúcspont az 535 -ös soron van (853: 535 = 1,6), ez az aranymetszés pontja.

E. K. Rosenov szovjet zenetudós megjegyzi Johann Sebastian Bach műveinek szigorú és szabad formáiban az aranymetszés elképesztő pontosságát, amely megfelel a mester átgondolt, koncentrált, technikailag ellenőrzött stílusának. Ez más zeneszerzők kiemelkedő műveire is igaz, ahol a legszembetűnőbb vagy legváratlanabb zenei döntés általában az aranymetszésre esik.
Szergej Eisenstein filmrendező szándékosan összehangolta a Potjomkin csatahajó című film forgatókönyvét az aranymetszés szabályával, öt részre osztva a kazettát. Az első három szakaszban az akció a hajón játszódik, az utolsó kettőben pedig Odesszában. A városi jelenetekre való átmenet a film arany középútja.

Az aranymetszés harmóniája

A tudományos és technológiai fejlődés hosszú múltra tekint vissza, és eltelt történelmi fejlődés több szakasz (babiloni és ókori egyiptomi kultúra, kultúra Ősi Kínaés az ókori India, az ókori görög kultúra, a középkor, a reneszánsz, a 18. századi ipari forradalom, a 19. század nagy tudományos felfedezései, a 20. századi tudományos és technológiai forradalom) és belépett a 21. századba, amely megnyitja egy új korszak az emberiség történetében – a Harmónia korszaka. Az ókori időszakban számos kiemelkedő matematikai felfedezés született, amelyek döntően befolyásolták az anyagi és szellemi kultúra fejlődését, beleértve a babiloni 60-as számrendszert és a számok, a trigonometria és az euklideszi geometria pozicionálásának alapelvét. összehasonlíthatatlan szegmensek, az Arany -arány és a Platóni szilárd anyagok, a kezdetek számelmélete és a méréselmélet. És bár mindegyik szakasznak megvan a maga sajátossága, ugyanakkor szükségszerűen magában foglalja az előző szakaszok tartalmát. Ez a tudomány fejlődésének folyamatossága. Az utódlásnak sokféle formája lehet. Kifejezésének egyik lényeges formája az alapvető tudományos elképzelések, amelyek áthatják a tudományos és technológiai fejlődés és befolyás minden szakaszát különböző területeken tudomány, művészet, filozófia és technológia.

Az Aranymetszethez kapcsolódó Harmónia ötlete az ilyen alapvető eszmék kategóriájába tartozik. B.G. Kuznyecov, Albert Einstein munkásságának kutatója, a nagy fizikus szilárdan hitt abban, hogy a tudománynak, különösen a fizikának mindig is örök alapvető célja volt. „Objektív harmóniát találni a megfigyelt tények labirintusában”. A kiváló fizikus mélységes hitét a világegyetem harmóniájának egyetemes törvényeinek létezésében egy másik bizonyíték bizonyítja. híres mondás Einstein: "A tudós vallásossága a harmónia törvényei iránti lelkes csodálatból áll."

Az ókori görög filozófiában a Harmónia szembeszállt a káosszal, és az Univerzum, a Kozmosz szervezetét jelentette. A zseniális orosz filozófus, Alekszej Losev felméri az ókori görögök fő eredményeit ezen a területen:

„Platón és általában az összes ősi kozmológia szempontjából a világ egyfajta arányos egész, engedelmeskedik a harmonikus felosztás törvényének - az Aranymetszetnek ... Az ősi görögök rendszere a kozmikus méreteket gyakran a korlátlan és vad képzelet furcsa eredményeként ábrázolják az irodalomban. Ez a fajta magyarázat feltárja az állítók tudományellenes tehetetlenségét. Ezt a történelmi és esztétikai jelenséget azonban csak a történelem holisztikus megértésével lehet megérteni, vagyis a kultúra dialektikus materialista eszméjét felhasználva és az ókori társadalmi élet sajátosságaiban keresve a választ."

„Az aranyosztás törvényének dialektikus szükségszerűségnek kell lennie. Ez az a gondolat, hogy ha jól tudom, először dirigálok. ", - Losev meggyőződéssel beszélt több mint fél évszázaddal ezelőtt az elemzés kapcsán kulturális örökségókori görögök.

És itt van még egy nyilatkozat az Aranymetszetről. A 17. században készült, és Johannes Kepler ragyogó csillagászé, a három híres Kepler -törvény szerzője. Kepler a következő szavakkal fejezte ki csodálatát az aranymetszés iránt:

„A geometriában két kincs van – és egy szegmens felosztása szélsőséges és átlagos arányban. Az elsőt az arany értékéhez lehet hasonlítani, a másodikat drágakőnek nevezhetjük."

Emlékezzünk vissza, hogy az a régi probléma, hogy egy szegmenst szélsőséges és átlagos arányban osztunk fel, amely ebben a kijelentésben szerepel, az Aranymetszés!

Fibonacci számok a tudományban

V modern tudomány sok tudományos csoport foglalkozik professzionálisan az Arany -arány, a Fibonacci -számok és számos alkalmazásuk matematikában, fizikában, filozófiában, botanikában, biológiában, orvostudományban, informatikában. Sok művész, költő, zenész használja munkái során az "Aranymetszet elvét". A modern tudományban számos kiemelkedő felfedezés született a Fibonacci -számok és az Aranymetszés alapján. A „kvázi kristályok” felfedezése, amelyet 1982-ben Dan Shechtman izraeli tudós tett az Aranymetszet és az „ötszögletű” szimmetria alapján, forradalmi következményekkel jár a modern fizika számára. A biológiai objektumok kialakulásának természetére vonatkozó modern elképzelésekben áttörést hozott a 90-es évek elején Oleg Bodnar ukrán tudós, aki megalkotta a filotaxis új geometriai elméletét. Eduard Soroko fehérorosz filozófus az Aranymetszet alapján fogalmazta meg a „Rendszerek strukturális harmóniájának törvényét”, és fontos szerepet játszik az önszerveződési folyamatokban. Elliott, Prechter és Fisher amerikai tudósok kutatásainak köszönhetően a Fibonacci -számok aktívan beléptek az üzleti szférába, és az üzleti és kereskedelmi optimális stratégiák alapjává váltak. Ezek a felfedezések megerősítik D. Winter amerikai tudós, a "Planetary Heartbeats" csoport vezetőjének hipotézisét, amely szerint nemcsak a Föld energiakerete, hanem minden élőlény szerkezete is a dodekaéder tulajdonságain alapul. és ikozaéder - két "platonikus szilárd anyag", amelyek az Aranymetszethez kapcsolódnak. És végül talán a legfontosabb a DNS szerkezete. genetikai kódélet, egy forgó dodekaéder négydimenziós söprése (az időtengely mentén)! Így kiderül, hogy az egész Univerzum - a metagalaxistól az élő sejtig - ugyanazon elv szerint épül fel - dodekaéder és ikozaéder, végtelenül egymásba íródnak, amelyek az Aranymetszet arányában vannak!

Ukrán professzor és a tudományok doktora Stakhov A.P. Sikerült alkotnom valamit. Ennek az általánosításnak a lényege rendkívül egyszerű. Ha nem negatív egész számot állít be, p = 0, 1, 2, 3, ... és az AB szegmenst osztja el a C ponttal olyan arányban, hogy:

Hogy univerzális formula az aranymetszés a következő kifejezés:

x p + 1 = x p + 1

Hallottál már arról, hogy a matematikát "minden tudomány királynőjének" nevezik? Egyetért ezzel az állítással? Amíg a matematika számodra unalmas feladatokból áll egy tankönyvben, addig aligha érzed ennek a tudománynak a szépségét, sokoldalúságát, sőt humorát.

De a matematikában vannak olyan témák, amelyek segítenek érdekes megfigyeléseket tenni a számunkra megszokott dolgokról és jelenségekről. És még próbáljon is áthatolni Univerzumunk teremtésének titkainak fátylán. Vannak furcsa minták a világon, amelyeket matematikával lehet leírni.

Bemutatjuk a Fibonacci számokat

Fibonacci számok hívja meg a numerikus sorozat elemeit. Ebben a sor minden következő számát a két előző szám összegzésével kapjuk meg.

Példa a sorozatra: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...

Írhatod így:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Fibonacci számok sorozatát negatív értékekkel indíthatja el. n... Ebben az esetben a szekvencia ebben az esetben kétoldalú (vagyis negatív és pozitív számokat takar), és mindkét irányban a végtelenség felé hajlik.

Példa egy ilyen sorozatra: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

A képlet ebben az esetben így néz ki:

F n = F n + 1 - F n + 2 vagy más módon megteheti ezt: F -n = (-1) n + 1 Fn.

Amit ma „Fibonacci-számoknak” nevezünk, az ókori indiai matematikusok már jóval azelőtt ismerték, hogy Európában használták volna őket. És ezzel a névvel általában egy folyamatos történelmi anekdota... Először is, maga Fibonacci élete során soha nem nevezte magát Fibonaccinak – ezt a nevet a pisai Leonardora csak néhány évszázaddal halála után használták. De beszéljünk mindent sorban.

Pisai Leonardo, más néven Fibonacci

Egy kereskedő fia, aki matematikus lett, majd a leszármazottak elismerést kaptak Európa első nagy matematikusaként a középkorban. Nem utolsósorban a Fibonacci -számoknak köszönhetően (amelyeket akkor emlékezetünk szerint még nem így hívtak). Amelyet a XIII. század elején írt le "Liber abaci" ("Az abakusz könyve", 1202) című művében.

Apjával Keletre utazott Leonardo matematikát tanult arab tanároknál (és akkoriban ebben a szakmában, és sok más tudományban is a legjobb szakemberek). Az ókori és az ókori indiai matematikusok műveit olvasta arab fordításokban.

Miután mindent alaposan megértett, amit olvasott, és összekapcsolta saját kíváncsi elméjét, Fibonacci számos tudományos értekezést írt a matematikáról, köztük a már említett "Abakusz könyvét". Rajta kívül létrehozta:

• Practica geometriae (Geometria gyakorlata, 1220);
• "Flos" ("Virág", 1225 - tanulmány a köbös egyenletekről);
• "Liber quadratorum" ("Négyzetek könyve", 1225 - problémák a határozatlan másodfokú egyenletekről).

Nagy rajongója volt a matematikai tornáknak, ezért traktátusaiban nagy figyelmet fordított a különféle matematikai problémák elemzésére.

Nagyon kevés életrajzi információ található Leonardo életéről. Ami a Fibonacci nevet illeti, amely alatt belépett a matematika történetébe, ez csak a XIX.

Fibonacci és feladatai

Miután Fibonacci elhagyta nagy szám problémák, amelyek nagyon népszerűek voltak a matematikusok körében a következő évszázadokban. Megfontoljuk a nyulak problémáját, amelynek megoldásában Fibonacci -számokat használunk.

A nyulak nemcsak értékes szőrmék

A Fibonacci a következő feltételeket határozta meg: van egy pár újszülött nyúl (hím és nőstény), olyan érdekes fajta, hogy rendszeresen (a második hónaptól kezdve) utódokat szülnek - mindig egy új nyúlpárt. Továbbá, mint sejtheti, férfi és nő.

Ezeket a feltételes nyulakat zárt térben helyezik el, és lelkesen szaporodnak. Azt is kikötötték, hogy egyetlen nyúl sem pusztul el valamilyen rejtélyes nyúlbetegség miatt.

Ki kell számolnunk, hogy hány nyulat kapunk egy évben.

• 1 hónap elején 1 pár nyúlunk van. A hónap végén párosodnak.
• A második hónap - már van 2 pár nyulak (egy pár - szülők + 1 pár - utódaik).
• Harmadik hónap: Az első pár új párt szül, a második pár társat. Összesen - 3 pár nyúl.
• A negyedik hónap: Az első pár új párt szül, a második pár nem veszít időt, és új párt is szül, a harmadik pár egyelőre csak párosodik. Összesen - 5 pár nyúl.

A nyulak száma n-. hónap = az előző hónap nyúlpárjainak száma + újszülött párok száma (2 hónappal a jelen előtt ugyanannyi nyúlpár van). És mindezt a fent már megadott képlet írja le: F n = F n-1 + F n-2.

Így visszatérő (magyarázatot kapunk kb rekurzió- lent) egy numerikus sorozat. Amelyben minden következő szám egyenlő az előző két szám összegével:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

A sorozatot sokáig folytathatja: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>... De mivel konkrét határidőt szabtunk meg - egy évet, a 12. "költözésen" kapott eredmény érdekel bennünket. Azok. A sorozat 13. tagja: 377.

A válasz a feladatban rejlik: 377 nyulat kapunk, ha minden feltétel teljesül.

A Fibonacci-számsorozat egyik tulajdonsága nagyon érdekes. Ha két egymást követő párt veszünk egy sorból és osztjuk több kevesebbre, az eredmény fokozatosan közeledik aranymetszés(erről később a cikkben olvashat).

A matematika nyelvén, "Kapcsolati korlát a n + 1 Nak nek a n egyenlő az aranymetszés".

Több probléma a számelméletben

1. Keress egy számot, amely osztható 7-tel. Ha elosztod 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal, a maradék egy lesz.
2. megtalálja négyzetszám... Róla köztudott, hogy ha 5 -öt adunk hozzá vagy kivonunk 5 -öt, akkor ismét négyzetszámot kapunk.

Javasoljuk, hogy ezekre a problémákra maga keressen választ. A cikkhez fűzött megjegyzésekben hagyhatja ránk a lehetőségeket. És akkor megmondjuk, hogy helyesek -e a számítások.

A rekurzió magyarázata

Rekurzió- egy tárgy vagy folyamat meghatározása, leírása, képe, amely magát a tárgyat vagy folyamatot tartalmazza. Vagyis lényegében egy tárgy vagy folyamat önmaga része.

A rekurziót széles körben használják a matematikában és a számítástechnikában, sőt a művészetben és a populáris kultúrában is.

A Fibonacci -számokat ismétlődési reláció segítségével határozzák meg. A számra n> 2 n- e szám az (n - 1) + (n - 2).

Az Arany arány magyarázata

aranymetszés - az egész (például egy szegmens) felosztása részekre, amelyek a következő elv szerint kapcsolódnak egymáshoz: a nagyobb rész ugyanúgy utal a kisebbre, mint a teljes érték (például két szegmens összege) nagyobb része.

Az aranymetszés első említése Eukleidésznél található a "Kezdetek" című értekezésében (kb. ie 300). Szabályos téglalap építésének összefüggésében.

A számunkra ismerős kifejezést 1835-ben Martin Ohm német matematikus vezette be a forgalomba.

Ha megközelítőleg leírjuk az aranymetszést, akkor ez arányos felosztás két egyenlőtlen részre: körülbelül 62% és 38%. Számszerűen az aranymetszés a szám 1,6180339887 .

Az aranymetszés talál gyakorlati használat a képzőművészetben (Leonardo da Vinci és más reneszánsz festők festményei), az építészetben, a moziban (S. Ezenstein "Potjomkin csatahajója") és más területeken. Sokáig azt hitték, hogy az aranymetszés a legesztétikusabb arány. Ez a vélemény ma népszerű. Bár a kutatási eredmények szerint a legtöbben vizuálisan nem látják ezt az arányt a legsikeresebb lehetőségnek, és túlságosan elnyújtottnak (aránytalannak) tartják.

• Szegmens hossza val vel = 1, a = 0,618, b = 0,382.
• Hozzáállás val vel Nak nek a = 1, 618.
• Hozzáállás val vel Nak nek b = 2,618

Most térjünk vissza a Fibonacci-számokhoz. Vegyünk két egymást követő kifejezést a sorozatából. Osszuk el a nagyobb számot a kisebb számmal, így körülbelül 1,618-at kapunk. És most ugyanazt a nagyobb számot és a sorozat következő tagját használjuk (vagyis még nagyobb számot) - arányuk 0,618 eleji.

Íme egy példa: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 és 233/377 = 0,618

Mellesleg, ha ugyanazt a kísérletet a sorozat elejétől kezdődő számokkal próbálja elvégezni (például 2, 3, 5), semmi sem fog működni. Majdnem. A sorozat kezdetekor szinte nem tartják be az aranymetszés szabályát. De remekül működik, ahogy haladsz a sorban, és növeled a számokat.

A Fibonacci -számok teljes sorozatának kiszámításához elegendő, ha a sorozat három tagját ismerjük egymás után. Láthatod magad!

Arany téglalap és Fibonacci spirál

Egy másik furcsa párhuzam a Fibonacci-számok és az aranymetszés között lehetővé teszi, hogy megrajzoljuk az úgynevezett "arany téglalapot": oldalai 1,618 és 1 arányban korrelálnak. De már tudjuk, mi a szám 1,618, ugye?

Vegyük például a Fibonacci -sorozat két egymást követő tagját - 8 és 13 -, és készítsünk egy téglalapot a következő paraméterekkel: szélesség = 8, hossz = 13.

És akkor a nagy téglalapot kisebbekre osztjuk. Feltétel: a téglalapok oldalainak hosszának meg kell egyeznie a Fibonacci -számokkal. Azok. a nagyobb téglalap oldalhosszának meg kell egyeznie a két kisebb téglalap oldalainak összegével.

Ennek az ábrának a módja (a kényelem kedvéért a számokat latin betűkkel írják alá).

Egyébként fordított sorrendben építhet téglalapokat. Azok. kezdje el az építést az 1. oldalú négyzetekkel, amelyekhez a fent említett elv alapján az oldalas ábrák elkészülnek, egyenlő számokat Fibonacci. Elméletileg ez a végtelenségig folytatható – elvégre a Fibonacci-sorozat formailag végtelen.

Ha az ábrán kapott téglalapok sarkait sima vonallal összekötjük, logaritmikus spirált kapunk. Inkább különleges esete a Fibonacci spirál. Különösen az jellemzi, hogy nincs határa, és nem változtatja meg az alakját.

Hasonló spirál gyakran megtalálható a természetben. A kagylóhéj az egyik legszembetűnőbb példa. Ezenkívül néhány, a Földről látható galaxis spirál alakú. Ha figyel az időjárás -előrejelzésekre a tévében, akkor valószínűleg észrevette, hogy a ciklonok hasonló spirál alakúak, amikor műholdakról forgatják őket.

Érdekes, hogy a DNS-spirál is engedelmeskedik az aranymetszet szabályának - a megfelelő mintázat látható a hajlítások intervallumában.

Az ilyen elképesztő "véletlenek" csak felizgathatják az elméket, és beszélgetéseket indíthatnak el egy bizonyos egységes algoritmusról, amelynek az Univerzum életének minden jelensége engedelmeskedik. Most már érti, hogy miért hívják így ezt a cikket? És milyen csodálatos világokat nyithat meg előtted a matematika?

Fibonacci számok a természetben

A Fibonacci -számok és az aranymetszés közötti összefüggés érdekes mintákat sugall. Annyira kíváncsi, hogy csábító megpróbálni a Fibonacci -számokhoz hasonló szekvenciákat találni a természetben és még közben is történelmi események... És a természet valóban okot ad ilyen feltételezésekre. De vajon mindent meg lehet -e magyarázni és leírni életünkben a matematika segítségével?

Példák a Fibonacci -szekvenciával leírható élővilágra:

• a levelek (és ágak) elrendezésének sorrendje a növényekben - a köztük lévő távolságok korrelálnak a Fibonacci-számokkal (phyllotaxis);

• napraforgómag elrendezése (a magokat két sor spirálba csavarják be eltérő irányba: az egyik sor az óramutató járásával megegyező, a másik az óramutató járásával ellentétes irányba);

• fenyőtoboz pikkelyek elrendezése;
• virágszirom;
• ananász sejtek;
• az emberi kéz ujjainak falangeinek aránya (megközelítőleg) stb.

Kombinatorikus problémák

A Fibonacci -számokat széles körben használják a kombinatorikus problémák megoldásában.

Kombinatorika A matematika egyik ága, amely egy meghatározott halmaz elemeiből egy kijelölt halmazból, felsorolásból stb.

Nézzünk példákat a középiskolai szintre tervezett kombinatorikus problémákra (forrás - http://www.problems.ru/).

1. feladat:

Lesha felmászik a lépcsőn 10 lépcsőfokon. Egyszerre felugrik egy vagy két lépést. Hányféleképpen tud Lesha felmászni a lépcsőn?

Lesha felmászhat a lépcsőn n lépések, jelölje és n. Ezért ebből következik egy 1 = 1, a 2= 2 (elvégre Lesha vagy egy vagy két lépést ugrik).

Azt is kikötötték, hogy Lesha felugrik a lépcsőn n> 2 lépések. Tegyük fel, hogy először ugrott két lépést. Tehát a probléma állapotának megfelelően neki kell ugrania egy másikra n - 2 lépések. Ezután az emelkedő befejezésének módjait a következőképpen írjuk le a n - 2... És ha feltételezzük, hogy Lesha először csak egy lépést ugrott, akkor leírjuk a mászás befejezésének módjait: a n - 1.

Így a következő egyenlőséget kapjuk: a n = a n – 1 + a n – 2(ismerősnek tűnik, nem?).

Ha egyszer megtudjuk egy 1és a 2és ne feledje, hogy a probléma feltétele szerint 10 lépés van, mindent sorrendben számítottunk ki a n: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, egy 6 = 13, a 7 = 21, egy 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.

Válasz: 89 módon.

2. feladat:

Meg kell találni a 10 betű hosszú szavak számát, amelyek csak "a" és "b" betűkből állnak, és nem tartalmazhatnak két "b" betűt egymás után.

Jelöljük ezzel a n hosszú szavak száma n olyan betűk, amelyek csak az "a" és "b" betűkből állnak, és nem tartalmaznak két "b" betűt egymás után. Eszközök, egy 1= 2, a 2= 3.

Sorban egy 1, a 2, <…>, a n minden következő kifejezést az előzőeken keresztül fogunk kifejezni. Ezért a hosszú szavak száma n betűk, amelyek ráadásul nem tartalmaznak duplázott "b" betűt és "a" betűvel kezdődnek, ez a n - 1... És ha hosszú a szó n a betűk a "b" betűvel kezdődnek, logikus, hogy egy ilyen szó következő betűje "a" (elvégre a problémajelentés szerint nem lehet két "b"). Ezért a hosszúságú szavak száma n betűket ebben az esetben úgy jelöljük a n - 2... Mind az első, mind a második esetben bármilyen szó (hosszúsága: n - 1és n - 2 betűk), dupla "b" nélkül.

Meg tudtuk indokolni, hogy miért a n = a n – 1 + a n – 2.

Számoljunk most a 3= a 2+ egy 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, a 10= a 9+ egy 8= 144. És megkapjuk az ismerős Fibonacci -szekvenciát.

Válasz: 144.

3. feladat:

Képzelje el, hogy van egy cellákra osztott szalag. Jobbra megy, és végtelenül sokáig tart. Helyezzen szöcskét a szalag első négyzetére. Bármelyik cellán is van a szalagon, csak jobbra tud mozogni: vagy egy cellát, vagy kettőt. Hányféleképpen ugorhat a szöcske a szalag elejéről n sejt?

Határozzuk meg a szöcske mozgatásának számos módját az öv mentén n th cell as a n... Ebben az esetben egy 1 = a 2= 1. Benne is n + 1-edik ketrec, a szöcske bármelyiket megkaphatja n-edik sejt, vagy átugorva. Innen a n + 1 = a n - 1 + a n... Ahol a n = F n - 1.

Válasz: F n - 1.

Hasonló feladatokat saját maga is összeállíthat, és matematika órán megpróbálhatja megoldani őket osztálytársaival.

Fibonacci számok a populáris kultúrában

Természetesen egy ilyen szokatlan jelenség, mint a Fibonacci -számok, nem vonhatja magára a figyelmet. Még mindig van valami vonzó és még titokzatos is ebben a szigorúan ellenőrzött mintában. Nem meglepő, hogy a Fibonacci -sorozat valahogy "kigyulladt" a modern modern művekben tömegkultúra műfajok széles választéka.

Elmondunk néhányat közülük. És próbáld újra keresni magad. Ha megtalálod, oszd meg velünk kommentben - mi is kíváncsiak vagyunk!

• Fibonacci-számokat említ Dan Brown A Da Vinci-kód című bestseller: a Fibonacci-sorozat szolgál kódként, amellyel a könyv főszereplői kinyitják a széfet.
• A 2009-es, Mr. Nobody című amerikai filmben az egyik epizódban a ház címe a Fibonacci-szekvencia része - 12358. Ráadásul egy másik epizódban A főszereplő fel kell hívnia a telefonszámot, amely lényegében ugyanaz, de kissé torz (további számjegy az 5-ös szám után): 123-581-1321.
• A 2012 -es "Kommunikáció" sorozatban a főszereplő, egy autista fiú képes megkülönböztetni a világban zajló események mintáit. Beleértve a Fibonacci -számokat is. És ezeket az eseményeket számok segítségével is kezelni.
• Java játékfejlesztők számára mobiltelefonok A Doom RPG titkos ajtót helyezett el az egyik pályán. A kód, amely megnyitja, a Fibonacci sorozat.
• 2012-ben az orosz "Spleen" rockegyüttes kiadott egy koncepcióalbumot "Optical Illusion". A nyolcadik szám a "Fibonacci". A csoport vezetőjének, Alekszandr Vasziljevnek a verseiben a Fibonacci -számok sorrendjét játsszák. Mind a kilenc egymást követő taghoz megfelelő számú sor tartozik (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 A vonat elindult

1 Egy csukló kattant

1 Az egyik ujja megrándult

2 Minden, vedd meg a cuccot

Mindent, hozd a cuccot

3 Forró vizet kérve

A vonat a folyóhoz megy

A vonat a taigában megy<…>.

• James Lyndon limerick (egy bizonyos formájú rövid költemény - általában ötsoros, bizonyos rímrendszerrel, komikus tartalommal, amelyben az első és az utolsó sor ismétlődik vagy részben megkettőződik) James Lyndontól szintén a Fibonacci-szekvenciára utal. humoros motívumként:

Fibonacci sűrű étele

Csak a javukra ment, másként nem.

A feleségek a pletykák szerint súlyt mértek,

Mindegyik olyan, mint az előző kettő.

Összegezve

Reméljük, hogy ma sok érdekes és hasznos információt tudtunk elmondani. Például most megkeresheti a Fibonacci spirált a körülötte lévő természetben. Hirtelen te leszel képes megfejteni az "élet titkát, az univerzumot és általában".

Használja a Fibonacci formulát kombinatorikus feladatok megoldása során. A cikkben leírt példákra építhet.

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásával, a forrás hivatkozása szükséges.

Ez a harmónia lenyűgöző a méretében ...

Hello barátok!

Hallott valamit az isteni harmóniáról vagy az aranymetszésről? Gondolkoztál már azon, hogy miért tűnik valami ideálisnak és szépnek számunkra, de valami taszít?

Ha nem, akkor sikeresen eljutott ehhez a cikkhez, mert ebben megvitatjuk az aranymetszést, megtudjuk, mi ez, hogyan néz ki a természetben és az emberekben. Beszéljünk az alapelveiről, megtudjuk, mi a Fibonacci sorozat, és még sok más, beleértve az arany téglalap és az arany spirál fogalmát.

Igen, a cikkben rengeteg kép, képlet van, elvégre az aranymetszés is a matematika. De mindent eléggé leírtak egyszerű nyelv, tisztán. És a cikk végén megtudhatja, miért szereti mindenki annyira a macskákat =)

Mi az arany arány?

Egyszerűen fogalmazva, az aranymetszés egy bizonyos arányszabály, amely harmóniát teremt? Vagyis ha nem sértjük meg ezen arányok szabályait, akkor nagyon harmonikus összetételt kapunk.

Az aranymetszés legnagyobb kapacitású definíciója azt mondja, hogy a kisebbik rész a nagyobbra vonatkozik, a nagy az egészre.

De ezen kívül az aranymetszés a matematika: sajátos képlete és meghatározott száma van. Sok matematikus általában az isteni harmónia képletének tartja, és "aszimmetrikus szimmetriának" nevezi.

Az aranymetszés az idők óta a kortársainké Ókori Görögország azonban úgy vélik, hogy maguk a görögök is kémkedtek az egyiptomiak aranymetszése után. Mert az ókori Egyiptom számos műalkotása egyértelműen ennek az aránynak a kánonjai szerint épült.

Úgy gondolják, hogy Pitagorasz vezette be először az aranymetszet fogalmát. Euklidész munkái a mai napig fennmaradtak (ő építette rendes ötszögek, ezért hívják az ilyen ötszöget "aranynak"), az aranymetszés számát pedig Phidias ókori görög építészről nevezték el. Vagyis ez a "phi" számunk (a görög φ betűvel jelölve), és egyenlő: 1,6180339887498948482... Természetesen ez az érték kerekítve van: φ = 1,618 vagy φ = 1,62, százalékban pedig az aranymetszés. úgy néz ki, mint 62% és 38%.

Mi ennek az aránynak az egyedisége (és hidd el, ez az)? Először próbáljuk meg kitalálni egy szegmens példáján. Tehát veszünk egy szegmenst, és egyenlőtlen részekre osztjuk úgy, hogy kisebb része a nagyobbhoz tartozik, és nagy az egész egészhez. Megértem, hogy még nem nagyon világos, hogy mi az, szegmensek példáján megpróbálom tisztábban bemutatni:

Vegyünk tehát egy szegmenst, és osszuk két másikra úgy, hogy a kisebb szegmens a nagyobb b szegmensre utaljon, ugyanúgy, mint a b szegmens az egészre, azaz a teljes vonalra (a + b ). Matematikailag így néz ki:

Ez a szabály korlátlanul működik, a szegmenseket addig oszthatja, ameddig csak akarja. És látod, milyen egyszerű. A lényeg, hogy egyszer megértsük, és ennyi.

De most fontolja meg többet összetett példa, ami nagyon gyakran előfordul, hiszen az aranymetszés még mindig arany téglalap formájában van ábrázolva (amelynek oldalaránya φ = 1,62). Ez egy nagyon érdekes téglalap: ha "levágunk" belőle egy négyzetet, akkor ismét arany téglalapot kapunk. És oly sokszor. Lát:

De a matematika nem lenne matematika, ha nem lennének képletei. Szóval, barátok, most egy kicsit "fájdalmas" lesz. Az aranymetszés megoldását a spoiler alá rejtettem, sok képlet létezik, de nem akarom nélkülük hagyni a cikket.

Fibonacci sorozat és az aranymetszés

Továbbra is megteremtjük és megfigyeljük a matematika varázslatát és az aranymetszést. A középkorban volt egy ilyen barát - Fibonacci (vagy Fibonacci, mindenhol mást írnak). Imádta a matematikát és a problémákat, volt egy érdekes problémája a nyulak szaporodásával is =) De nem ez a lényeg. Felfedezett egy numerikus sorozatot, a benne található számokat "Fibonacci -számoknak" nevezik.

Maga a sorozat így néz ki:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ... és a végtelenségig.

Szavakban a Fibonacci -sorozat egy ilyen számsor, ahol minden következő szám megegyezik a két előző összegével.

Mi köze ehhez az aranymetszésnek? Most meglátod.

Fibonacci spirál

Ahhoz, hogy a Fibonacci -sorozat és az aranymetszés közötti teljes kapcsolatot láthassa és érezze, újra meg kell néznie a képleteket.

Más szóval, a Fibonacci -sorozat 9. tagjától kezdjük megkapni az aranymetszés értékeit. És ha ezt az egész képet vizualizáljuk, látni fogjuk, hogy a Fibonacci sorozat hogyan hoz létre téglalapokat egyre közelebb az arany téglalaphoz. Itt van egy ilyen kapcsolat.

Most beszéljünk a Fibonacci spirálról, amelyet "arany spirálnak" is neveznek.

Az aranyspirál logaritmikus spirál, amelynek növekedési üteme φ4, ahol φ az aranymetszés.

Mindent összevetve, matematikailag az aranymetszés a tökéletes arány. De itt kezdődnek csak a csodái. Szinte az egész világ alá van rendelve az aranymetszés elveinek, ezt az arányt maga a természet hozta létre. Még az ezoterikusok és azok is számszerű erőt látnak benne. De erről ebben a cikkben biztosan nem fogunk beszélni, így annak érdekében, hogy ne maradjon le semmiről, feliratkozhat a webhely frissítéseire.

Arany arány a természetben, emberben, művészetben

Mielőtt elkezdenénk, szeretnék tisztázni néhány pontatlanságot. Először is, maga az aranymetszés meghatározása ebben az összefüggésben nem teljesen helyes. A tény az, hogy a "szakasz" fogalma geometriai kifejezés, amely mindig síkot jelöl, de semmiképpen sem Fibonacci -számok sorozatát.

Másodszor pedig számsorozat az egyik és a másik aránya pedig persze egyfajta sablont csinált, amit mindenre rá lehet húzni, ami gyanúsnak tűnik, és nagyon lehet örülni, ha véletlenek vannak, de ennek ellenére nem szabad elveszíteni a józan eszét.

Azonban "minden vegyes a mi királyságunkban", és az egyik szinonimává vált a másikkal. Tehát általában ennek értelme nem vész el. És most a lényegre.

Meg fogsz lepődni, de az aranymetszet, vagy inkább a hozzá legközelebb eső arányok szinte mindenhol láthatók, még a tükörben is. Ne higgy nekem? Kezdjük ezzel.

Tudod, amikor rajzolni tanultam, elmagyarázták nekünk, hogy mennyire egyszerű felépíteni az ember arcát, testét stb. Mindent máshoz képest kell kiszámítani.

Minden, abszolút minden arányos: csontok, ujjaink, tenyerünk, távolságok az arcon, a kinyújtott karok távolsága a testhez képest stb. De még ez sem minden belső szerkezet testünk, még az is, az aranymetszésnek felel meg, vagy majdnem egyenlővé tesz. Íme a távolságok és az arányok:

válltól koronáig fejméret = 1: 1.618

a köldöktől a koronáig a válltól a koronáig terjedő szegmensig = 1: 1,618

a köldöktől a térdig és a térdtől a lábig = 1: 1.618

állától -ig szélső pont felső ajak és attól az orrig = 1: 1,618

Hát nem elképesztő!? Tiszta harmónia kívül -belül. És pontosan ez az oka annak, hogy bizonyos tudatalatti szinten bizonyos emberek nem tűnnek szépnek számunkra, még akkor sem, ha erős tónusú testük, bársonyos bőrük, gyönyörű hajuk, szemeik stb., és minden más. De mindazonáltal a test arányainak legkisebb megsértése, és a megjelenés már kissé "fáj a szemnek".

Röviden: minél szebbnek tűnik számunkra egy ember, annál közelebb állnak az ideális arányokhoz. És ez egyébként nem csak az emberi testnek tudható be.

Az aranymetszés a természetben és jelenségeiben

A klasszikus példa az aranymetszésre a természetben a Nautilus pompilius puhatestű héja és az ammónia. De ez még nem minden, van még sok példa:

az emberi fül fürtjeiben aranyspirált láthatunk;

őt (vagy közel hozzá) a spirálokban, amelyek mentén a galaxisok csavarodnak;

és a DNS-molekulában;

a napraforgó közepe a Fibonacci sorozat mentén helyezkedik el, tobozok, virágok közepe, ananász és sok más gyümölcs nő.

Barátaim, annyi példa van, hogy itt hagyok egy videót (ez csak lent van), hogy ne terhelje túl a cikket szöveggel. Mert ha ásni ezt a témát, akkor bele lehet ásni egy ilyen dzsungelbe: az ókori görögök azzal érveltek, hogy a Világegyetemet és általában az egész teret az aranymetszés elve szerint tervezték.

Meg fogsz lepődni, de ezek a szabályok még hangban is megtalálhatóak. Lát:

A fülünkben fájdalmat és kényelmetlenséget okozó hang legmagasabb pontja 130 decibel.

A 130 -as hányaddal elosztjuk az aranymetszet number = 1,62 számával, és 80 decibelt kapunk - egy emberi sikoly hangját.

Továbbra is arányosan osztunk, és mondjuk az emberi beszéd normál hangosságát kapjuk: 80 / φ = 50 decibel.

Nos, és az utolsó hang, amelyet a képletnek köszönhetően kapunk, egy kellemes suttogó hang = 2,618.

Ezen elv szerint lehetséges az optimális-kényelmes, minimális és maximális hőmérséklet, nyomás, páratartalom meghatározása. Nem teszteltem, és nem tudom, mennyire helyes ez az elmélet, de látod, lenyűgözően hangzik.

Abszolút minden élőben és nem élőben a legmagasabb szépség és harmónia olvasható ki.

A lényeg csak az, hogy ne ragadja el magát, mert ha valamit látni akarunk valamiben, akkor látni fogjuk, akkor is, ha nincs ott. Például felhívtam a figyelmet a PS4 dizájnjára, és ott láttam az aranymetszést =) Azonban ez a konzol annyira klassz, hogy nem lepődnék meg, ha a tervező nagyon trükkös lenne ebben.

Aranymetszés a művészetben

Ez is egy nagyon nagy és kiterjedt téma, amelyet külön kell megvizsgálni. Íme néhány alapvető pont. A legfigyelemreméltóbb az, hogy az ókor (és nem csak) számos műalkotása és építészeti remeke az aranymetszet elvei szerint készül.

Egyiptomi és maja piramisok, Notre Dame de Paris, görög Parthenon és így tovább.

Mozart, Chopin, Schubert, Bach és mások zenei műveiben.

A festészetben (ott jól látható): híres művészek összes leghíresebb festménye az aranymetszés szabályainak figyelembevételével készül.

Ezek az elvek Puskin verseiben és a gyönyörű Nefertiti mellszobrában egyaránt megtalálhatók.

Még most is használják az aranymetszés szabályait, például a fotózásban. És természetesen minden más művészetben, beleértve az operatőrt és a dizájnt is.

Fibonacci arany macskák

És végül a macskákról! Gondolkozott már azon, miért szereti mindenki ennyire a cicákat? Végül is elárasztották az internetet! A pecsétek mindenhol ott vannak, és csodálatos =)

A lényeg az, hogy a macskák tökéletesek! Ne higgy nekem? Most matematikailag bebizonyítom neked!

Lát? A titok kiderül! A macskák ideálisak a matematika, a természet és az Univerzum szempontjából =)

* Viccelek, persze. Nem, a macskák valóban tökéletesek) De valószínűleg senki sem mérte őket matematikailag.

Ebben általában mindent, barátaim! Találkozunk a következő cikkekben. Sok szerencsét!

P. S. A képek a media.com webhelyről származnak.

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Fibonacci számok és az aranymetszés megalapozzák a környező világ megoldását, alakjának és optimálisának kialakítását vizuális észlelés olyan ember, akinek segítségével meg tudja érezni a szépséget és a harmóniát.

Az aranymetszet méretének meghatározásának elve alapozza meg az egész világ és részei szerkezetének és funkcióinak tökéletességét, megnyilvánulását a természetben, a művészetben és a technológiában láthatjuk. Az aranymetszés tanát az ókori tudósok a számok természetével kapcsolatos tanulmányai eredményeként határozták meg.

Az aranymetszés ókori gondolkodók általi használatára vonatkozó bizonyítékokat Euklidész "Kezdetek" című könyve adja, amely még a 3. században íródott. BC, aki ezt a szabályt alkalmazta a rendszeres 5-gonok felépítésére. A pitagoraiak körében ezt az alakot szentnek tekintik, mivel szimmetrikus és aszimmetrikus is. A pentagram az életet és az egészséget szimbolizálta.

Fibonacci számok

1202-ben jelent meg egy olasz matematikus, Pisai Leonardo híres Liber abaci című könyve, aki később Fibonacci néven vált ismertté. Ebben hivatkozik a tudós először a számok szabályosságára, amelyben minden szám a számok összege. 2 előző számjegy. A Fibonacci -számok sorrendje a következő:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 stb.

A tudós számos mintát is idézett:

A sorozat bármely száma, elosztva a következővel, megegyezik egy 0,618 -ra. Sőt, az első Fibonacci -számok nem adnak ilyen számot, de ahogy haladunk a sorozat elejétől, ez az arány egyre pontosabb lesz.

Ha elosztjuk a sorból származó számot az előzővel, akkor az eredmény 1.618 -ra rohan.

Egy szám osztva az egy után következővel 0,382-re hajló értéket mutat.

Az összefüggés és az aranymetszés törvényeinek alkalmazása, a Fibonacci -szám (0,618) nemcsak a matematikában, hanem a természetben, a történelemben, az építészetben és az építőiparban, valamint sok más tudományban is megtalálható.

Gyakorlati okokból csak Φ = 1,618 vagy Φ = 1,62 közelítő értékre korlátozódik. Kerekített százalékban az aranymetszés tetszőleges értékű osztás 62% és 38% arányban.

Történelmileg kezdetben az aranymetszést úgy hívták, hogy az AB szegmenst egy C pont két részre osztja (egy kisebb AC szegmensre és egy nagyobb BC szegmensre), így az AC / BC = BC / AB megfelel a szegmensek hosszának. . Beszélő egyszerű szavakkal, az aranymetszet által a szegmenst két egyenlőtlen részre vágják úgy, hogy a kisebb rész a nagyobbra, a nagyobb pedig az egész szegmensre utal. Később ezt a fogalmat kiterjesztették tetszőleges értékekre is.

A Φ számot is hívják arany szám.

Az aranymetszés sok figyelemre méltó tulajdonságok, de emellett számos kitalált tulajdonságot tulajdonítanak neki.

Most a részletek:

A ZS definíciója egy szakasz két részre osztása olyan arányban, hogy a nagyobb rész a kisebbre, az összegük (a teljes szakasz) a nagyobbra vonatkozik.

Vagyis ha a teljes c szakaszt 1-nek vesszük, akkor az a szegmens 0,618, a b szegmens pedig 0,382 lesz. Így ha egy szerkezetet, például egy templomot veszünk, amelyet a ZS elve szerint építettek, akkor magasságával, mondjuk 10 méterrel, a dob magassága a kupolával együtt 3,82 cm és az alap magassága a szerkezet 6, 18 cm lesz. (Nyilvánvaló, hogy az ábrák az áttekinthetőség kedvéért laposra szedve)

És mi a kapcsolat a ZS és a Fibonacci számok között?

A Fibonacci sorszámok a következők:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

A számok szabályszerűsége az, hogy minden következő szám megegyezik a két előző szám összegével.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 stb.,

a szomszédos számok aránya pedig megközelíti a ZS arányát.
Tehát 21:34 = 0,617 és 34: 55 = 0,618.

Vagyis a ZS a Fibonacci -sorozat számain alapul.

Úgy tartják, hogy az „arany arány” kifejezést Leonardo Da Vinci vezette be, aki azt mondta: „Matematikus lévén senki ne merje elolvasni a műveimet”, és bemutatta az emberi test arányait híres rajzán „Vitruvius Man” ”. „Ha egy emberi alakot - az Univerzum legtökéletesebb teremtményét - egy övvel kötünk össze, majd megmérjük a derék és a láb közötti távolságot, akkor ez az érték ugyanazon öv és a fej búbja közötti távolságra vonatkozik, mint az ember teljes magassága a deréktól a lábig terjedő hosszúságig ”.

Számos Fibonacci-számot vizuálisan modelleznek (materializálnak) spirál formájában.

És a természetben a GS spirál így néz ki:

Ugyanakkor a spirált mindenhol megfigyelik (a természetben és nem csak):

A magvak a legtöbb növényben spirálisan vannak elrendezve
- A pók spirálszerűen hálót sző
- Egy hurrikán spirálban forog
- Ijedt rénszarvascsorda spirálban szétszóródik.
- A DNS-molekula kettős hélixben van csavarva. A DNS -molekula két függőlegesen összefonódó spirálból áll, amelyek 34 angström hosszúak és 21 angström szélesek. A 21 és 34 számok követik egymást a Fibonacci sorrendben.
- Az embrió spirál alakban fejlődik
- A spirál "csiga a belső fülben"
- A víz spirálisan folyik a lefolyóba
- A spiráldinamika spirálisan mutatja az ember személyiségének és értékeinek fejlődését.
- És persze maga a Galaxis is spirál alakú

Így vitatható, hogy maga a természet az Aranymetszet elve szerint épül fel, ezért ezt az arányt az emberi szem harmonikusabban érzékeli. Nem igényel „javítást” vagy az így létrejövő világkép kiegészítését.

Film. Isten száma. Isten cáfolhatatlan bizonyítéka; Isten száma. Isten megdönthetetlen bizonyítéka.

Arany arányok a DNS-molekula szerkezetében

Minden információ erről élettani jellemzői az élőlényeket egy mikroszkopikus DNS -molekula tárolja, amelynek szerkezete az aranymetszés törvényét is tartalmazza. A DNS -molekula két függőlegesen összefonódó spirálból áll. Mindegyik spirál hossza 34 angström, szélessége 21 angström. (1 angström centiméter százmilliomodrésze).

A 21. és 34. a Fibonacci -számok sorozatában egymást követő számok, vagyis a DNS -molekula logaritmikus spiráljának hosszának és szélességének aránya hordozza az 1: 1,618 aranymetszés képletét

Az aranymetszés a mikrovilágok felépítésében

A geometriai formák nem korlátozódnak csak háromszögekre, négyzetekre, ötszögekre vagy hatszögekre. Ha ezeket a figurákat különféle módon összekapcsoljuk egymással, akkor új háromdimenziós képet kapunk geometriai alakzatok... Ilyenek például az olyan formák, mint a kocka vagy a piramis. Rajtuk kívül azonban vannak más háromdimenziós figurák is, amelyekben nem kellett találkoznunk Mindennapi élet, és akinek a nevét halljuk, talán először. Ezek a háromdimenziós figurák közé tartozik a tetraéder (szabályos négyoldalú ábra), egy oktaéder, egy dodekaéder, egy ikozaéder stb. A dodekaéder 13 ötszögből, az ikozaéder 20 háromszögből áll. A matematikusok megjegyzik, hogy ezek az adatok matematikailag nagyon könnyen átalakíthatók, és átalakításuk az aranymetszés logaritmikus spiráljának képletével történik.

A mikrokozmoszban mindenütt elterjedtek az arany arányok szerint épített háromdimenziós logaritmikus formák. Például sok vírus háromdimenziós geometriai alakja van az ikozaédernek. E vírusok közül talán a leghíresebb az Adeno vírus. Az adenovírus fehérjeköpenyét 252 egységnyi fehérjesejt alkotja, amelyek meghatározott szekvenciában vannak elrendezve. Az ikozaéder minden sarkában 12 egység fehérje található ötszögű prizma formájában, és ezekből a sarkokból tüskeszerű szerkezetek nyúlnak ki.

Először az 1950 -es években fedezték fel az aranymetszést a vírusok szerkezetében. a Londoni Birkbeck College tudósai A. Klug és D. Kaspar. 13 A poliovírus jelent meg elsőként logaritmikus formában. Ennek a vírusnak a formája hasonló volt az Rhino 14 vírushoz.

Felmerül a kérdés, hogyan képeznek a vírusok ilyen bonyolult háromdimenziós formákat, amelyek szerkezete tartalmazza az aranymetszést, amelyet még az emberi elménk is meglehetősen nehéz felépíteni? E vírusformák felfedezője, A. Klug virológus a következő megjegyzést teszi:

„Dr. Kaspar és én megmutattuk, hogy a vírus gömbburkolata esetében a legoptimálisabb forma a szimmetria, például az ikozaéder alakja. Ez az elrendezés minimálisra csökkenti az összekötő elemek számát... A Buckminster Fuller geodéziai félgömb kockák többsége hasonló geometriai elven épül fel. 14 Az ilyen kockák felszerelése rendkívül pontos és részletes magyarázó diagramot igényel. Míg az öntudatlan vírusok maguk alkotnak egy ilyen összetett héjat rugalmas, rugalmas fehérje sejtegységekből."