Ordbøker. Encyklopedi. Historie. Litteratur. russisk språk » Ordforråd » Slane kalles hvis den ikke har noen løsning. Hvordan finne en generell og privat løsning av et system med lineære ligninger. Løsningen på introduksjonen av en ny variabel

Slane kalles hvis den ikke har noen løsning. Hvordan finne en generell og privat løsning av et system med lineære ligninger. Løsningen på introduksjonen av en ny variabel

Matriksmetoden for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger er utgangen av formelen.

La for matrisen MEN rekkefølge n. på n. Det er en omvendt matrise. Multipliser begge deler av matrisen ligningen til venstre for Matrices-bestillinger En ⋅ X. og Itillat en slik operasjon, se artikkelen på matrisene, egenskapene til operasjonene). Ha . Siden for drift av å multiplisere matrisene av egnede ordrer, er eiendommen til associativet karakterisert, den siste likestillingen kan omskrives som , men i definisjon av returmatrisen ( E. - Enkelt matrise av rekkefølge n. på n.), Så

På denne måten, løsning av systemet med lineære algebraiske ligninger av matriksmetoden bestemmes av formelen . Med andre ord er løsningen en skråning ved hjelp av en omvendt matrise.

Vi kjenner kvadratmatrisen MEN rekkefølge n. på n. Den har bare en omvendt matrise når dens determinant ikke er null. Følgelig, systemet n.Lineære algebraiske ligninger med n. Ukjente kan bare løses av matriksmetoden når deter determinant av hovedmatrisen i systemet er forskjellig fra null.

Toppen av siden

Eksempler på å løse systemer av lineære algebraiske ligninger ved matriksmetoden.

Vurder matrisemetoden på eksemplene. I noen eksempler vil vi ikke beskrive prosessen med å beregne identifikatorene i matriser, om nødvendig, referer til artikkelen som beregner matrisen determinant.

Eksempel.

Ved hjelp av omvendt matrisen, finn løsningen av det lineære ligningssystemet .

Beslutning.

I matrisen er kildesystemet registrert som hvor . Vi beregner determinanten på hovedmatrisen og sørger for at den er forskjellig fra null. Ellers vil vi ikke kunne løse systemet av Matrix-metoden. Ha Derfor, for matrisen MEN En omvendt matrise kan bli funnet. Således, hvis vi finner den inverse matrisen, er den ønskede løsningen definert som. Så, oppgaven er redusert til konstruksjonen av en omvendt matrise. Vi finner det.

Vi vet det for matrisen Omvendt matrise kan bli funnet som hvor - algebraisk kosttilskudd av elementer.



I vårt tilfelle

Deretter

Utfør verifiseringen av beslutningen , Bølger den i matrisen av kildesystemet av ligninger. Denne likestillingen bør gjelde for identiteten, ellers ble det gjort en feil et sted.

Følgelig er løsningen funnet sant.

Svar:

eller i en annen plate .

Eksempel.

Bestemme Slava Matrix-metoden.

Beslutning.

Den første ligningen av systemet inneholder ikke en ukjent variabel x 2.sekund - x 1Tredje - x 3.. Det vil si at koeffisientene foran disse ukjente variablene er null. Omskrive systemet av ligninger som . Fra denne arten er det lettere å flytte til matrisen for å registrere slava . Pass på at dette systemet av ligninger kan løses med en omvendt matrise. Med andre ord, vil vi vise hva:

Vi konstruerer en omvendt matrise ved hjelp av en matrise fra algebraiske tillegg:

deretter,

Det gjenstår å finne en løsning på Slaya:

Svar:

.

Under overgangen fra den vanlige utsikten over systemet med lineære algebraiske ligninger til sin matriksform, bør den være oppmerksom på prosedyren for å følge ukjente variabler i systemets ligninger. For eksempel, Slava Du kan ikke skrive som . Du må først strømlinjeforme alle ukjente variabler i alle ligninger i systemet, og fortsett deretter til Matrix-posten:

eller

Vær også forsiktig med betegnelsen av ukjente variabler, i stedet x 1, x 2, ..., x n Det kan være noen andre bokstaver. For eksempel, Slava I matriksform vil bli registrert som .

Vi vil analysere et eksempel.

Eksempel.

Bruker omvendt matrise.

Beslutning.

Organisering av ukjente variabler i systemligninger som skriver den i en matfull form
. Vi beregner determinant av hovedmatrisen:

Det er forskjellig fra , så løsningen av ligningssystemet kan bli funnet ved hjelp av returmatrisen som . Finn en omvendt matrise med formelen :

Vi får den ønskede løsningen:

Svar:

x \u003d 0, y \u003d -2, z \u003d 3.

Eksempel.

Finn løsningen av et system med lineære algebraiske ligninger matriksmetode.

Beslutning.

Determinanten av hovedmatrisen i systemet er null

Derfor kan vi derfor ikke bruke matrisemetoden.

Å finne løsningen av slike systemer er beskrevet i seksjonsløsningen av lineære algebraiske ligninger.

Eksempel.

Løse Slava. Matriksmetoden er noe gyldig nummer.

Beslutning.

Systemet med ligninger i matriksform har skjemaet . Vi beregner determinanten på hovedmatrisen i systemet og sørger for at det er forskjellig fra null:

Firkantet tre-foreldet blir ikke til , uansett hvilke verdifulle verdier, siden dens diskriminerende er negativ, derfor er determinanten av hovedmatrisen i systemet ikke lik null under noen gyldige. På Matrix-metoden har vi . Vi konstruerer en omvendt matrise med formelen :

Deretter

Svar:

. På begynnelsen av siden

Oppsummerer.

Matriksmetoden er egnet for å løse en skråning der antall ligninger sammenfaller med antall ukjente variabler, og determinanten av hovedmatrisen av systemet er forskjellig fra null. Hvis systemet inneholder mer enn tre ligninger, så finner du omvendt matrise betydelig beregningsarbeid, derfor i dette tilfellet er det tilrådelig å bruke Gauss-metoden for å løse.

Linjære algebraiske ligningssystemer


1. Systemer av lineære algebraiske ligninger


Systemet med lineære algebraiske ligninger (slot) kalles typenesystemet

(4.1)

Løsning (4.1), en slik totalitet kalles n. tall

Ved erstatning som hver systemligning appellerer til den rette likestilling.

Løs systemet betyr å finne alle sine beslutninger eller bevise at det ikke er noen løsning.

Slane kalles felles hvis den har minst en løsning, og inkonsekvent, hvis den ikke har løsninger.

Hvis det felles systemet bare har en løsning, kalles det en viss, og usikker dersom den har mer enn en løsning.

For eksempel, systemet av ligninger felles og definert, som det har en enkelt beslutning ; system

ufullstendig og system felles og usikker, som det har mer enn en løsning.

To systemer av ligninger kalles ekvivalent eller tilsvarende hvis de har samme sett med løsninger. Spesielt betraktes to ufullstendige systemer som ekvivalente.

Hovedmatrisen i skråningen (4.1) kalles matrisen og størrelsen, hvorav elementene er koeffisienter på ukjent dette systemet, det vil si

.

Matrisen av ukjente bremser (4.1) kalles kolonne-kolonnen, hvor elementene er ukjente systemer (4.1):

Matrisen av frie medlemmer av Slava (4.1) kalles kolonnematrisen i, hvor elementene er frie medlemmer av denne slayaen:

Med tanke på konseptene av konseptene av Slava (4.1) kan skrives i en matriksform eller

.(4.2)

2. Løsning av systemer av lineære ligninger. Omvendt matriksmetode

Vi fortsetter til studiet av Slava (4.1), som tilsvarer matrisekvansen (4.2). Først vurderer vi en spesiell sak når antall ukjente er lik antall ligninger i dette systemet (), og det vil si at hovedmatrisen i systemet ikke degenerere. I dette tilfellet, i henhold til forrige gjenstand, er det en enkelt omvendt matrise for matrisen. Det er klart at det er i samsvar med matrices og. Vis det. For å gjøre dette, multipliser venstre for begge deler av matrisekvansen (4.2) på matrisen:

Derfor tar hensyn til egenskapene til multiplikasjon av matrices vi får

Siden, og da

.(4.3)

Sørg for at verdien som er funnet, er løsningen av kildesystemet. Erstatte (4.3) til ligning (4.2), vi får Hvor vi har.

Vi viser at denne løsningen er den eneste. La matrisen ligningen (4.2) ha en annen løsning som tilfredsstiller likestillingen

Vi viser at matrisen er lik matrisen

Til dette formål, multipliser den forrige likestilling til venstre til matrisen.

Som et resultat får vi

En slik løsning av systemet med ligninger med ukjent kalles løsningen av systemet (4.1) ved hjelp av inverse matrisen.

Eksempel. Finn systemløsning

.

Vi skriver ned systemmatrisen:

,

For denne matrisen, tidligere (yrke 1) har vi allerede funnet det motsatte:

eller

Her gjorde vi en felles faktor, da vi trenger et arbeid i fremtiden.

Vi ser etter en beslutning ved formelen :.

3. Regel og cramer formler

Vurder et system med lineære ligninger med ukjent

Fra matriksformularen (4.3) vender vi seg til mer praktiske og i noen tilfeller enklere når de løser anvendt problemer med formlene for å finne løsninger av et system av lineære algebraiske ligninger.

Vurderer likestilling, eller i den utplasserte skjemaet

.

Dermed, etter å ha multiplikasjon av matrisene:

eller

.

Merk at mengden er dekomponering av determinant

i henhold til elementene i den første kolonnen, som er oppnådd fra determinanten ved å erstatte den første kolonne av kolonnekoeffisientene fra frie elementer.

Dermed kan det konkluderes med at

På samme måte: hvor mottatt fra erstatning av den andre kolonne kolonne kolonnen fra frie medlemmer, .

Derfor fant vi en løsning på et gitt system for likeverdige

, , ,

kjent og som en craver formel.

For å finne løsningen av Slava, kan den siste likestillingen skrives inn generell På følgende måte:

.(4.4)

Ifølge disse formlene har vi en crawlerregel for å løse Slava:

- systemmatrisen beregner systemet determinant;

- hvis, i matrisen i systemet, er hver kolonne sekvensielt erstattet av en kolonne av frie medlemmer, og determinanter beregnes. matriserne oppnådd samtidig;

- løsningssystemet er plassert i henhold til Cramer Formulas (4.4).

Eksempel. Bruker cramer formler for å løse systemet av ligninger

Beslutning. Determinanten av dette systemet

.

Siden cramerformulene er fornuftig, det vil si at systemet har en enkelt løsning. Vi finner determinanter:

, , .

Følgelig, ifølge formler (4.4) får vi:

, , .

De funnet verdiene til variablene er substitueres i systemligningen og sørger for at de er løsningen.

Øvelsen. Sjekk dette faktum selv.

Sangkriterium Slava (Cappeli Theorem)

Den utvidede matrisen av systemet (4.1) kalles matrisen som er oppnådd ved å legge til hovedmatrisen og til høyre kolonne av frie elementer med separasjonen av den vertikale funksjonen, det vil si, matrisen

.

Merk at når matrisen har nye kolonner, kan rangen øke, derfor . Den utvidede matrisen spiller en svært viktig rolle i spørsmålet om kompatibilitet (løselighet) av systemet av ligninger. Et omfattende svar på dette spørsmålet gir teoremet av Kappelie-teoret.

Formulere capera capera theorem. (uten bevis).

Systemet med lineære algebraiske ligninger (4.1) er i fellesskap og bare hvis rangen av systemmatrisen er lik rangen av en utvidet matrise . Hvis en - Antall ukjente systemer, så har systemet en enkelt løsning, og hvis Systemet har utallige løsninger.

Stole på Capera-Capeleli-teormen, formulerer vi algoritmen for å løse et vilkårlig system av lineære ligninger:

1. Beregn rekkene til de viktigste og utvidede matrices Slava. Hvis en Systemet har ikke løsninger (uforståelig).

2. Hvis en , Systemet er koordinert. I dette tilfellet tar det noen av null minor i hovedordre matrisen og vurderer ligningene hvis koeffisienter inngår i denne grunnleggende mindreårige, og de resterende ligningene kasseres. Ukjente koeffisienter som er inkludert i denne grunnleggende mindreårige, erklærer hoved eller grunnleggende, og resten er gratis (ikke-kjerne). Det nye systemet omskrives, slik at bare medlemmer som inneholder grunnleggende ukjente i de venstre delene av ligninger, og alle andre medlemmer av ligninger som inneholder ukjente, overføres til de riktige delene av ligningene.

3. Finn uttrykk for grunnleggende ukjente gjennom gratis. De oppnådde beslutninger av det nye systemet med grunnleggende ukjente kalles en generell løsning på Slava (4.1).

4. Å gi gratis ukjente noen numeriske verdier, finn de såkalte private løsningene.

Vi illustrerer bruken av Capera-Capeleli-teormen og ovennevnte algoritme på spesifikke eksempler.

Eksempel. Bestem foreningen av systemet av ligninger

Beslutning. Vi skriver systemmatrisen og bestemmer rangen.

Vi har:

Siden matrisen har en ordre, er den høyeste rekkefølgen av minororer lik 3. Antallet forskjellige mindreårige i den tredje orden er lett å sørge for at de er alle lik null (sjekk deg selv). Så. Rangeringen av hovedmatrisen er to, siden det er en annen mindre i den andre rekkefølgen av denne matrisen fra , for eksempel,

Rangeringen av en utvidet matrise av dette systemet er til tre, siden det er en utmerket mindre av den tredje rekkefølgen av denne matrisen, for eksempel,

Således, ifølge kriteriet for Kraceker-Capelli, er systemet uforståelig, det vil si ikke løsninger.

Eksempel. Utforsk foreningen av systemet av ligninger

Beslutning. Rangeringen av hovedmatrisen i dette systemet er to, siden for eksempel er mindreårige i den andre ordren lik

og alle mindreårige i den tredje rekkefølgen av hovedmatrisen er null. Rangeringen av den utvidede matrisen er også lik to, for eksempel,

og alle mindreårige i den tredje rekkefølgen av den utvidede matrisen er null (bekreft deg selv). Følgelig er systemet koordinert.

Ta for den grunnleggende mindreårige, for eksempel. Denne grunnleggende mindreårige inkluderer ikke elementene i den tredje ligningen, så vi kaster bort den.

Ukjent og erklære de grunnleggende, siden deres koeffisienter er inkludert i basen minor, ukjent for å erklære gratis.

I de to første ligningene som inneholder en variabel overføring til de riktige delene. Så får vi systemet

Vi løser dette systemet ved hjelp av Cramer-formelen.

,

.

Således er den generelle løsningen av kildesystemet det uendelige settet av typer typer ,

hvor - et gyldig nummer.

Privat avgjørelse av denne ligningen vil for eksempel et sett Opererer på.

4. Løsning av systemer av lineære algebraiske ligninger ved Gauss-metoden

En av de mest effektive og universelle løsningene metoder er Gauss-metoden. Gauss-metoden består av samme type sykluser, noe som gjør det mulig å eliminere ukjente bremser. Den første syklusen er rettet mot i alle ligninger, starter fra den andre, tilbakestill alle koeffisientene på . Vi beskriver den første syklusen. Å tro at i systemkoeffisienten(Hvis det ikke er slik, er det nødvendig å sette ligningen med et annet forhold fra null til x. 1 og konvertere koeffisientene), vi forvandler systemet (4.1) som følger: Den første ligningen endres ikke, og fra alle andre ligninger utelukker vi en ukjent x. 1 Bruke elementære transformasjoner. For å gjøre dette, multipliser begge deler av den første ligningen på og legge ned ved den andre systemligningen. Deretter multiplisere begge deler av den første ligningen på og brett med den tredje ligningen av systemet. Fortsetter denne prosessen, i det siste trinnet i syklusen, multipliserer vi begge deler av den første ligningen påog fold med den nyeste ligningen i systemet. Den første syklusen er fullført, som et resultat vil vi motta et tilsvarende system.

(4.5)

Kommentar. For enkelhets skyld brukes opptaket vanligvis en utvidet systemmatrise. Etter den første syklusen tar denne matrisen følgende skjema:

(4.6)

Den andre syklusen er repetisjonen av den første syklusen. Anta at koeffisienten . Hvis dette ikke er tilfelle, vil permutasjonen av ligningene oppnå det faktum at . Den første og andre ligningen av systemet (4.5) vil omskrive i nytt system (I fremtiden vil vi bare operere kun av en utvidet matrise).

Jeg multipliserer den andre ligningen (4.5) eller den andre strengen av matrisen (4.6) på , Bland med den tredje ligningen av systemet (4.5) eller den tredje linjen i matrisen (4.6). På samme måte gjør vi med resten av systemets ligninger. Som et resultat får vi et tilsvarende system:

(4.7)

Fortsetter prosessen med konsekvent utelukkelse av ukjent, etter trinn, vi får en utvidet matrise


(4.8)

Siste felles system ligninger (4.1) er identiteter. Hvis minst ett av tallene det er ikke lik , så den tilsvarende likestilling er motstridende, derfor er systemet (4.1) ufullstendig. I et felles system når det løser det sist ligninger kan ikke vurderes. Deretter er ekvivalent system oppnådd (4.9) og den tilsvarende ekspanderte matrisen (4.10)

(4.9)


(4.10)

Etter å ha kastet ut ligningene som er identiteter, kan antall gjenværende ligninger enten være lik antall variablereller være mindre enn antall variabler. I det første tilfellet har matrisen en trekantet utsikt, og i den andre - en trappet en. Overgangen fra systemet (4.1) til det ekvivalente systemet i systemet (4.9) kalles det direkte bevegelsen av Gauss-metoden, og finner ukjente fra systemet (4.9) - bakover.

Eksempel. Løs systemet av Gauss:

.

Beslutning. Den utvidede matrisen i dette systemet har skjemaet

.

Vi vil gjennomføre følgende transformasjoner av den utvidede systemmatrisen: Multipliser den første strengen påog brett med den andre linjen, så vel som multipliser den første strengen påog brett med den tredje linjen. Resultatet vil være en utvidet matrise av den første syklusen (i fremtiden, vil alle transformasjoner bli avbildet som et skjema)

.


På skolen studerte hver av oss ligningene og sikkert, systemet av ligninger. Men ikke mange vet at det er flere måter å løse dem på. I dag vil vi analysere alle metoder for å løse et system av lineære algebraiske ligninger, som består av mer enn to likeverdige.

Historie

Til dags dato er det kjent at kunsten å løse ligningene og deres systemer stammer fra det gamle Babylon og Egypt. Men likestilling i deres vanlige form dukket opp etter tegn på likestilling "\u003d", som ble introdusert i 1556 av den engelske matematiske posten. Forresten, dette skiltet ble ikke bare valgt: det betyr to parallelle like segmenter. Og sannheten, det beste eksempelet på likestilling kommer ikke opp med.

Grunnleggeren av moderne alfabetiske betegnelser Ukjent og tegn på grader er den franske matematikeren, men dets betegnelser var forskjellig vesentlig fra i dag. For eksempel indikerte kvadratet av det ukjente nummeret brevet q (Lat. "Quadratus"), og kuben C (Lat. "Cubus"). Disse betegnelsene virker nå ubehagelige, men da var det den mest forståelige måten å registrere system av lineære algebraiske ligninger.

Imidlertid var ulempen i de så metoder for løsninger at matematikk ble ansett som bare positive røtter. Det kan skyldes at negative verdier ikke hadde noen praktisk anvendelse. En eller annen måte, men den første til å vurdere negative røtter var de italienske matematikerne Niccolo Tartalia, Jerolamo Cardano og Rafael Bombelly i det 16. århundre. MEN moderne utsiktHovedløsningsmetoden (gjennom diskriminering) ble opprettet bare i det 17. århundre takket være verkene til Descartes og Newton.

I midten av det 18. århundre fant den sveitsiske matematikeren Gabriel Kramer en ny måte å gjøre løsningen av lineære ligninger lettere. Denne metoden ble deretter oppkalt etter det og i dag bruker vi dem. Men vi snakker om Driveman-metoden litt senere, men for nå skal vi diskutere lineære ligninger og metoder for å løse dem separat fra systemet.

Lineære ligninger

Lineære ligninger er de enkleste likestillingene med variabel (variabel). De antas å algebraiske. De er registrert i generell form: A 1 * x 1 + A 2 * x 2 + ... A N * x N \u003d b. Deres representasjon i dette skjemaet vil være nødvendig når du samler systemer og matriser lenger.

Linjære algebraiske ligningssystemer

Definisjonen av dette begrepet er: Dette er en kombinasjon av ligninger som har vanlige ukjente verdier og en generell løsning. Som regel i skolen løste alt systemer med to eller til og med tre ligninger. Men det er systemer med fire eller flere komponenter. La oss først finne ut, hvordan du registrerer dem slik at det i fremtiden er praktisk å bestemme. For det første vil systemet med lineære algebraiske ligninger se bedre ut hvis alle variabler registreres som x med den tilsvarende indeksen: 1,2,3 og så videre. For det andre bør alle ligninger for kanonisk utseende gis: en 1 * x 1 + A 2 * x 2 + ... A N * x N \u003d b.

Etter alle disse handlingene kan vi begynne å fortelle hvordan man finner løsninger på systemer av lineære ligninger. Veldig mye for dette vil vi bruke matrisen.

Matrians

Matrisen er et bord som består av rader og kolonner, og elementene er plassert på krysset. Disse kan være enten spesifikke verdier eller variabler. Mest å utpeke elementene, er de nedre indeksene plassert under dem (for eksempel en 11 eller en 23). Den første indeksen betyr linjenummeret, og den andre kolonnen. Over matematikk, som over et annet matematisk element, kan du gjøre ulike operasjoner. Dermed kan du:

2) Multipliser matrisen til et hvilket som helst nummer eller vektor.

3) Transpose: Vri linjene i matrisen i kolonnene, og kolonnene er i linjene.

4) Multipliser matrisen dersom antall linjer av en av dem er lik antall kolonner i en annen.

Vi vil diskutere alle disse teknikkene mer detaljert, da de kommer til oss senere. Subtraksjonen og tilsetning av matrices oppstår veldig enkelt. Siden vi tar matrisen av samme størrelse, tilsvarer hvert element i samme tabell til hvert element av en annen. Dermed folder vi (subtrahere) de to av disse elementene (det er viktig at de sto på de samme stedene i deres matrices). Når du multipliserer matrisen til et tall eller en vektor, multipliserer du bare hvert matriseelement til dette nummeret (eller vektoren). Transposisjon er en veldig interessant prosess. Det er veldig interessant å noen ganger se det i virkeligheten, for eksempel når du endrer orienteringen til en tablett eller telefon. Ikonene på skrivebordet er en matrise, og når posisjonen endres, blir den transponert og blir bredere, men reduseres i høyden.

Vi vil analysere en slik prosess som selv om det ikke er nyttig for oss, men det vil være nyttig å vite det likevel. Multiple to matriser kan bare multipliseres under forutsetning av at antall kolonner i ett bord er lik antall forskjellige linjer. Nå tar vi elementene i en matrise og elementene i den tilsvarende kolonnen til den andre. Flytt dem til hverandre og legg deretter ned (det vil si for eksempel produktet av elementene A 11 og A 12 på B 12 og B22 vil være: A 11 * B 12 + A 12 * B22). Således oppnås ett element i tabellen, og den er fylt i samme fremgangsmåte videre.

Nå kan vi fortsette å vurdere hvordan systemet med lineære ligninger er løst.

Gauss metode

Dette emnet begynner å finne sted i skolen. Vi vet godt konseptet "system av to lineære ligninger" og kan løse dem. Men hva skal jeg gjøre hvis antall ligninger er mer enn to? Dette vil hjelpe oss

Selvfølgelig er denne metoden praktisk å bruke hvis du lager en matrise fra systemet. Men du kan ikke forvandle det og løse det i ren form.

Så, hvordan løses denne metoden ved hjelp av dette metodesystemet av lineære Gauss-ligninger? Forresten, i det minste denne metoden er oppkalt etter den, men de åpnet den i antikken. Gauss tilbyr følgende: Utfør operasjoner med ligninger for endelig å lede hele totaliteten til trinnvis. Det vil si at det er nødvendig at fra topp til bunn (hvis den er riktig plassert) fra den første ligningen til sistnevnte nektet en ukjent. Med andre ord må du gjøre det slik at vi lykkes, si tre ligninger: I de første - tre ukjente, i det andre - to, i den tredje. Deretter finner vi fra den siste ligningen den første ukjente, vi erstatter verdien i den andre eller den første ligningen, og finner deretter de resterende to variablene.

Cramer metode

For å mestre denne metoden, er det viktig å eie ferdighetene til tillegg, subtrahere matriser, og også være i stand til å finne determinanter. Derfor, hvis du egentlig ikke gjør alt eller i det hele tatt, må du lære og øve.

Hva er essensen av denne metoden, og hvordan å gjøre systemet med lineære korrera-ligninger? Alt er veldig enkelt. Vi må konstruere en matrise fra numeriske (praktisk) koeffisienter av et system av lineære algebraiske ligninger. For å gjøre dette, tar vi bare tallene foran ukjent og legger i tabellen i rekkefølgen som de er registrert i systemet. Hvis det er et tegn "-" før nummeret, skriv deretter en negativ koeffisient. Så, vi utgjorde en første matrise av koeffisienter på ukjent, ikke inkludert tall etter tegn på likestilling (det er naturlig at ligningen må gis til den kanoniske skjemaet når bare nummeret er plassert til høyre, og til venstre - alle ukjent med koeffisienter). Deretter må du gjøre flere matriser - en for hver variabel. For å gjøre dette, erstatter vi i den første matrisen i slår hver kolonne med koeffisienter kolonne av tall etter likestillingsskiltet. Dermed får vi flere matriser og finner dem derfor determinanter.

Etter at vi fant determinanter, er den liten. Vi har en innledende matrise, og det er flere matriser oppnådd, som tilsvarer forskjellige variabler. For å få systemløsninger deler vi determinanten av bordet mottatt til determinanten av startbordet. Det resulterende tallet er en av variablene. På samme måte finner vi alle ukjente.

Andre metoder

Det er flere metoder for å oppnå løsninger av systemer av lineære ligninger. For eksempel, den såkalte Gaussa Jordan-metoden, som brukes til å finne løsninger av systemet firkantede ligninger Og også forbundet med bruk av matriser. Det er også en Jacobi-metode for å løse et system av lineære algebraiske ligninger. Det er lettere alt tilpasset datamaskinen og brukes i databehandling.

Komplekse tilfeller

Kompleksiteten oppstår vanligvis hvis antall ligninger er mindre enn antall variabler. Da kan du sikkert si at eller systemet er uforståelig (det vil si det ikke har røttene), eller mengden av sine løsninger har en tendens til uendelig. Hvis vi har et sekund tilfelle - så må du skrive ned den generelle løsningen av systemet med lineære ligninger. Det vil inneholde minst en variabel.

Konklusjon

Så vi kom til en slutt. La oss oppsummere: Vi demonterte hvilket system og matrise, lærte å finne en generell løsning på et system med lineære ligninger. I tillegg ble det gjennomgått andre alternativer. Det ble funnet ut hvordan systemet med lineære ligninger er løst: Gauss-metoden og snakket om komplekse tilfeller og andre måter å finne løsninger på.

Faktisk er dette emnet mye mer omfattende, og hvis du vil finne det bedre i det, anbefaler vi deg å lese mer spesialisert litteratur.

System av lineære algebraiske ligninger. Grunnleggende vilkår. Matriksopptakskjema.

Definisjon av et system med lineære algebraiske ligninger. Løsningssystem. Klassifisering av systemer.

Under linjære algebraiske ligningssystem (Slava) innebærer systemet

AIJ-parametere kalles koeffisienterog bi - gratis medlemmer Slane. Noen ganger, for å understreke antall ligninger og ukjente, sier de at "m × n system av lineære ligninger", og derved indikerer at bakken inneholder M-ligninger og n ukjent.

Hvis alle gratis medlemmer bi \u003d 0 så kalles skråningen uniform. Hvis det er minst en av de frie medlemmene, kalles en skråning heterogen.

Beslutning av den skynde (1) de kaller et bestemt sett med tall (α1, α2, ..., αn) Hvis elementene i dette settet, erstattet i en gitt rekkefølge i stedet for ukjent X1, X2, ..., XN, legger til hver ligning til identiteten.

Enhver homogen Slava har minst en løsning: null (i annen terminologi - trivial), dvs. x1 \u003d x2 \u003d ... \u003d xn \u003d 0.

Hvis skråningen (1) har minst en løsning, kalles det leddHvis det ikke er noen løsninger - non-stop.. Hvis fellesskråningen har akkurat en løsning, kalles det definertHvis det uendelige settet av løsninger - usikker.

Matriksform for opptakssystemer av lineære algebraiske ligninger.

Med hver skråning kan flere matriser tilknyttes; Videre kan selve skråningen skrives i form av en matrisekvasjon. For slavaen (1), vurder slike matriser:

Matrisen A kalles systemmatrise. Elementene i denne matrisen er koeffisientene til den angitte skråningen.

Matrise en ~ kalt utvidet systemmatrise. Den oppnås ved å legge til et kolonnesystem i matrisen som inneholder frie medlemmer B1, B2, ..., BM. Vanligvis er denne kolonnen separert av en vertikal funksjon - for klarhet.

Matrix-kolonne B ringte matrisen av gratis medlemmer, og Matrix-kolonnen X - ukjent matrise.

Ved å bruke de ovennevnte betegnelsene, kan skråningen (1) skrives i form av en matrise-ligning: a⋅x \u003d b.

Merk

Matrisen assosiert med systemet kan skrives på ulike måter: alt avhenger av rekkefølgen av variablene og ligningene som er vurdert. Men i alle fall bør rekkefølgen av følgende ukjent i hver ligning av en gitt skråning være den samme

Theorem of the Kaperakera-Capelli. Studie av systemer av lineære ligninger for enheter.

Caperera capera theorem.

Systemet med lineære algebraiske ligninger koordineres da, og bare hvis rangen av systemmatrisen er lik rangen til en utvidet systemmatrise, dvs. Ranga \u003d Ranga.

Systemet kalles samarbeid hvis det har minst en løsning. Kekekekera Capereli Theorem sier at hvis Ranga \u003d Ranga, så er det en løsning; Hvis Ranga ≠ Ranga, så har denne skråningen ingen løsninger (uforståelig). Svaret på spørsmålet om antall av disse beslutningene gir en konsekvens av Kronkener-Capelli Teorer. I ordlyden av konsekvensen brukes brevet N, som er lik antall variabler av den angitte skråningen.

Konsekvensen av Kepekener-Capelie Theorem

    Hvis Ranga ≠ Ranga, så er skråningen ufullstendig (ikke løsninger).

    Hvis Ranga \u003d Ranga

    Hvis Ranga \u003d Ranga \u003d N, så er skråningen definert (den har akkurat en løsning).

Legg merke til at formulert teorem og konsekvensen av det ikke angir hvordan man finner en løsning på Slava. Med deres hjelp kan du bare finne ut, det er ingen disse løsningene, og hvis vi eksisterer - hvor mye.

Metoder for å løse slava

    Cramer metode

Cramer-metoden er utformet for å løse disse systemene for lineære algebraiske ligninger (spor), hvor systemmatrisen determinant er forskjellig fra null. Naturligvis er det forstått at matrisen på firkantet systemet (begrepet determinanten bare eksisterer for firkantede matriser). Essensen av Cramer-metoden kan uttrykkes i tre punkter:

    Lag en determinant av systemmatrisen (det kalles også determinant av systemet), og sørg for at det ikke er , dvs. Δ ≠ 0.

    For hver variabel XI er det nødvendig å gjøre en determinant Δ x I, oppnådd fra Δ-determinanten med en erstatning av I-th-kolonnen med en kolonne med frie elementer av den angitte sklien.

    Finn verdiene av ukjente med formel XI \u003d Δ x i / δ

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger ved hjelp av en omvendt matrise.

Løsning av systemer av lineære algebraiske ligninger (helling) med en returmatrise (Noen ganger kalles denne metoden en annen matrise-metode eller metode for returmatrisen) krever foreløpig kjennskap med et slikt konsept som en matriksform av et spor. Den omvendte matriksmetoden er utformet for å løse disse systemene for lineære algebraiske ligninger, hvor determinant av systemmatrisen er forskjellig fra null. Naturligvis er det forstått at matrisen på firkantet systemet (begrepet determinanten bare eksisterer for firkantede matriser). Essensen av omvendt matriksmetode kan uttrykkes i tre punkter:

    Skriv tre matriser: Systemmatrise A, en ukjent matrise X, en matrise av frie medlemmer B.

    Finn en omvendt matrise A -1.

    Bruk likestilling X \u003d A -1 ⋅B for å oppnå en løsning på den angitte skråningen.

Gauss metode. Eksempler på å løse systemer av lineære algebraiske ligninger ved Gauss-metoden.

Gauss-metoden er en av de mest visuelle og enkle måtene å løse. lineære algebraiske ligninger (Slava): både homogen og inhomogen. Kort sagt, essensen av denne metoden består i den konsekvente utelukkelsen av ukjent.

Transformasjoner tillatt i Gauss-metoden:

    Skift steder av to linjer;

    Multiplisere alle radelementer for noe nummer, ikke lik null.

    Justering til elementene i en linje av de tilsvarende elementene i en annen linje multiplisert med noen multiplikator.

    Slukningstrengen, alle elementene som er null.

    Utforsk gjentatte linjer.

Som for de to siste punktene: Gjentatte linjer kan rengjøres på et hvilket som helst stadium av å løse Gauss-metoden - naturlig, forlater en av dem. For eksempel, hvis rader # 2, №5, №6 gjentas, kan en av dem bli igjen, for eksempel linje nr. 5. Samtidig vil rader nummer 2 og №6 bli slettet.

Null linjer fjernes fra den utvidede systemmatrisen som de vises.


Løsningen av systemer av lineære algebraiske ligninger (Slava) er utvilsomt det viktigste temaet for linjen med lineær algebra. Et stort antall oppgaver fra alle deler av matematikk er redusert til å løse systemer av lineære ligninger. Disse faktorene forklarer årsaken til å skape denne artikkelen. Artikkelen artikkelen er valgt og strukturert slik at du kan

  • velg den optimale metoden for å løse systemet med lineære algebraiske ligninger,
  • utforsk teorien om den valgte metoden,
  • løs systemet med lineære ligninger, undersøkt i detalj demontert løsninger av karakteristiske eksempler og oppgaver.

Kort beskrivelse av materialet i artikkelen.

Først vil vi gi alle nødvendige definisjoner, konsepter og introdusere notat.

Deretter vurderer vi metoder for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger, hvor antallet ligninger er lik antall ukjente variabler og som har en enkelt løsning. Først vil vi fokusere på Cramer-metoden, for det andre, vi vil vise matrisemetoden for å løse slike systemer av ligninger, for det tredje, vil vi analysere Gauss-metoden (metode for konsistent utelukkelse av ukjente variabler). For å sikre teorien, vil den nødvendigvis løse flere bremser på ulike måter.

Etter det fortsetter vi å løse systemer av lineære algebraiske ligninger av en vanlig form hvor antall ligninger ikke sammenfaller med antall ukjente variabler eller hovedmatrisen i systemet er degenerert. Vi formulerer teoremet til krocecker-Capelli, som lar deg etablere en kompatibilitet av Slava. Vi vil analysere løsningen av systemer (i tilfelle av deres kompatibilitet) ved hjelp av begrepet grunnleggende mindreårig i matrisen. Vi vil også vurdere Gauss-metoden og beskrive i detalj løsningene i eksemplene.

Vi vil definitivt fokusere på strukturen av den samlede løsningen av homogene og inhomogene systemer av lineære algebraiske ligninger. Vi gir konseptet om et grunnleggende løsningssystem og viser hvordan den generelle løsningen er skrevet til Slava ved hjelp av vektorene i det grunnleggende løsningssystemet. For en bedre forståelse vil vi analysere flere eksempler.

Til slutt vurderer vi systemet med ligninger som er redusert til lineære, samt ulike oppgaver, når de løser hvilken skråningen oppstår.

Navigeringsside.

Definisjoner, konsepter, notasjon.

Vi vil vurdere systemer fra P lineære algebraiske ligninger med n Ukjente variabler (P kan være lik n)

Ukjente variabler - koeffisienter (noen gyldige eller komplekse tall) - gratis medlemmer (også gyldige eller komplekse tall).

En slik form for skrev kalles koordinere.

I matrix form Records Dette systemet med ligninger har skjemaet
Hvor - Hovedmatrisen til systemet, - en matrisekolonne av ukjente variabler, - en matrisekolonne av frie medlemmer.

Hvis du legger til matrisen og legger til en matrise-kolonne-kolonne av gratis medlemmer, så får vi den såkalte utvidet matrise Systemer av lineære ligninger. Vanligvis er den utvidede matrisen betegnet ved bokstaven T, og kolonnen av frie elementer er adskilt av den vertikale linjen fra de gjenværende kolonnene, det vil si

Ved å løse systemet med lineære algebraiske ligninger Ring et sett med verdier av ukjente variabler, og legg til alle ligninger i systemet i identiteter. Matrix-ligningen for disse verdiene av ukjente variabler adresserer også identitet.

Hvis systemet med ligninger har minst en løsning, kalles det ledd.

Hvis systemet med løsninger ikke har, kalles det non-stop..

Hvis den eneste løsningen har en enkelt beslutning, kalles det definert; Hvis løsninger er mer enn en, så - usikker.

Hvis gratis vilkår for alle systemligninger er null så kalles systemet uniform, ellers - heterogen.

Løsningen av elementære systemer av lineære algebraiske ligninger.

Hvis antall systemligninger er lik antall ukjente variabler og determinant av hovedmatrisen ikke er , så vil en slik skråning bli kalt elementær. Slike systemer av ligninger har en enkelt løsning, og i tilfelle av et homogent system er alle ukjente variabler null.

Vi begynte å studere i videregående skole slik en skalle. Da de ble løst, tok vi en slags ligning, uttrykte en ukjent variabel gjennom andre og erstattet den i de gjenværende ligningene, fulgte følgende ligning, uttrykte den følgende ukjente variabelen og erstattet i andre ligninger og så videre. Eller brukte tilleggsmetoden, det vil si at to eller flere ligninger foldet for å utelukke noen ukjente variabler. Vi vil ikke stoppe i detalj på disse metodene, da de er i hovedsak modifikasjoner av Gauss-metoden.

Hovedmetodene for å løse elementære systemer av lineære ligninger er cramermetoden, matriksmetoden og Gauss-metoden. Vi vil analysere dem.

Løsning av systemer av lineære ligninger ved cramermetoden.

La oss må løse et system med lineære algebraiske ligninger

Hvor antallet ligninger er lik antall ukjente variabler og determinant av hovedmatrisen i systemet er forskjellig fra , det vil si.

La - determinant av hovedmatrisen i systemet, og - Determinanter av matriser som er oppnådd fra en erstatning 1., 2dre, ..., n-wow Kolonne, henholdsvis på kolonnen av frie medlemmer:

Med en slik notasjon beregnes ukjente variabler ved hjelp av formlene i Cramer-metoden som . Så det er en løsning på systemet med lineære algebraiske ligninger ved Cramer-metoden.

Eksempel.

Cramer metode .

Beslutning.

Hovedmatrisen i systemet har skjemaet . Vi beregner dets determinant (hvis nødvendig, se artikkelen):

Siden determinant av hovedmatrisen i systemet er forskjellig fra , har systemet en enkelt løsning som kan bli funnet av Cramer-metoden.

Vi vil komponere og beregne de nødvendige determinanter (Vi oppnår determinant, erstatter i matrisen og den første kolonnen på kolonnen av frie medlemmer, determinanten - erstatter den andre kolonnen på kolonnen frielementer, - erstatter den tredje kolonnen i matrisen og på kolonnen frielementer ):

Vi finner ukjente variabler av formler :

Svar:

Den største ulempen med Cramer-metoden (hvis den kan kalles en ulempe) er kompleksiteten til å beregne determinanter, når antall systemligninger er mer enn tre.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger ved matriksmetoden (ved hjelp av en omvendt matrise).

La systemet av lineære algebraiske ligninger angitt i matrisen, hvor matrisen A har dimensjonen n på n og dets determinant er forskjellig fra null.

Siden, så er matrisen A reversibel, det vil si at det er en omvendt matrise. Hvis du multipliserer begge deler av likestilling til venstre, får vi formelen for å finne en kolonne-kolonne av ukjente variabler. Så vi oppnådde en løsning av et system av lineære algebraiske ligninger av matrisemetoden.

Eksempel.

Bestem systemet med lineære ligninger matriksmetode.

Beslutning.

Jeg skriver om systemet av ligninger i matriksskjemaet:

Som

At skråningen kan løses av matriksmetoden. Med hjelp av omvendt matrise kan løsningen av dette systemet bli funnet som .

Vi konstruerer en invers matrise ved hjelp av en matrise fra algebraiske tillegg av elementene i matrisen A (hvis nødvendig, se artikkelen):

Det gjenstår å beregne - matrisen av ukjente variabler, multiplisere returmatrisen På matrisen-kolonnen av gratis medlemmer (se artikkelen om nødvendig):

Svar:

Eller i en annen plate x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Hovedproblemet Ved løsningen av lineære algebraiske ligninger, består matriksmetoden i kompleksiteten til den inverse matrisen, spesielt for firkantede matriser i ordren over den tredje.

Løse systemer av lineære ligninger ved Gauss-metoden.

La oss må finne en løsning av et system fra n lineære ligninger med n ukjente variabler
Determinanten av hovedmatrisen er forskjellig fra null.

Essensen av Gauss-metoden Den består i den sekvensielle utelukkelsen av ukjente variabler: utelukker først x 1 av alle ligningene i systemet, som starter fra den andre, deretter x 2 av alle ligninger, starter fra den tredje, og så videre, til bare den ukjente variabelen XN forblir i den siste ligningen. En slik prosess med å konvertere systemligninger for konsistent utelukkelse av ukjente variabler kalles direkte kjøring av Gauss-metoden. Etter at fjerningen av den direkte bevegelsen av Gauss-metoden fra den siste ligningen er X N, ved hjelp av denne verdien fra den nest siste ligningen, er X N-1 beregnet, og så videre beregnes x 1 fra den første ligningen. Prosessen med å beregne ukjente variabler ved kjøring fra den siste ligningen av systemet til den første kalles retur av Gauss-metoden.

Beskriv kort en algoritme for å utelukke ukjente variabler.

Vi vil anta det, siden vi alltid kan oppnå denne permutasjonen av systemet ligningene. Bortsett fra en ukjent variabel X 1 av alle ligninger i systemet, starter fra den andre. For å gjøre dette vil den andre ligningen av systemet legge til den første, multiplisert med, til den tredje ligningen, tilsett den første, multiplisert med, og så videre til N-ligningen for å legge til den første, multiplisert med. Systemet med ligninger etter at slike transformasjoner vil ta skjemaet

hvor en. .

Vi ville ha kommet til samme resultat hvis x 1 ville uttrykte x 1 gjennom andre ukjente variabler i den første ligningen av systemet og det resulterende uttrykket som er substituert i alle andre ligninger. Således er variabelen X 1 utelukket fra alle ligninger, starter fra det andre.

Deretter opptrer vi på samme måte, men bare med en del av det oppnådde systemet, som er merket i figuren

For å gjøre dette, legger vi til den andre, multiplisert med den fjerde ligningen til den fjerde ligningen, den andre, multiplisert med, og så videre, til N-ligningen, legg til den andre, multiplisert med. Systemet med ligninger etter at slike transformasjoner vil ta skjemaet

hvor en. . Således er variabelen X 2 ekskludert fra alle ligninger, starter fra den tredje.

Deretter fortsetter du til utelukkelsen av en ukjent x 3, mens du også virker på samme måte som systemet som er merket i figuren

Så vi fortsetter direkte bevegelsen av Gauss-metoden mens systemet ikke tar

Fra det øyeblikket begynner vi omvendt kurs av Gauss-metoden: Beregn XN fra den siste ligningen, som å bruke den resulterende XN, finner vi X N-1 fra den nest siste ligningen, og så videre finner vi X 1 fra den første ligning.

Eksempel.

Bestem systemet med lineære ligninger Gauss metode.

Beslutning.

La oss utelukke en ukjent variabel x 1 fra den andre og tredje systemligningen. For å gjøre dette legger vi til de tilsvarende delene av den første ligningen til begge deler av andre og tredje ligninger, multiplisert med og på henholdsvis:

Nå, fra den tredje ligningen, ekskludere x 2, legger til venstre og høyre deler venstre og høyre deler av den andre ligningen multiplisert med:

På dette er det direkte bevegelsen av Gauss-metoden ferdig, vi begynner det motsatte.

Fra den siste ligningen av det oppnådde systemet av ligninger finner vi x 3:

Fra den andre ligningen får vi.

Fra den første ligningen finner vi den gjenværende ukjente variabelen, og disse fullfører det bakre bevegelsen til Gauss-metoden.

Svar:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger med generell form.

I det generelle tilfellet faller antallet av systemet P-ligningene ikke sammen med antall ukjente variabler n:

En slik skråning kan ikke ha løsninger, ha en enkelt beslutning eller har uendelig mange løsninger. Denne utsagnet refererer også til ligningssystemene, hvor hovedmatrisen er firkantet og degenerert.

Theorem of the Kronkera - Capelli.

Før du finner en løsning av et system med lineære ligninger, er det nødvendig å etablere sin kompatibilitet. Svaret på spørsmålet når Slava er sammen, og når det er ufullstendig, gir koncheker Theorem - Capelli:
For at systemet fra P-ligninger med n ukjent (P kan være lik n), er det nødvendig og nok at rangen av hovedmatrisen i systemet var lik rangen av en utvidet matrise, det vil si, rang ( A) \u003d rang (t).

Tenk på eksemplet som bruken av Theorem of the Kraceker - Capelli for å bestemme samlingen av systemet med lineære ligninger.

Eksempel.

Finn ut om systemet med lineære ligninger har løsninger.

Beslutning.

. Vi bruker metoden for travle mindreårig. Mindre av andre ordre Forskjellig fra null. Vi vil overvinne den tredje ordens mindreårige fra forkant:

Siden alle tredjeorders grunnleggende mindreårige er , er rangen av hovedmatrisen to.

I sin tur er rangen av en utvidet matrise lik tre, som mindre av den tredje rekkefølgen

Forskjellig fra null.

På denne måten, Rang (A), derfor på Krakecker theorem - Capelli, kan det konkluderes med at det opprinnelige systemet med lineære ligninger er ufullstendige.

Svar:

Systemet med løsninger har nei.

Så, vi lærte hvordan å etablere ufullstendigheten til systemet ved hjelp av Klekeker - Capelli Theorem.

Men hvordan finner du en løsning på Slava, hvis kompatibiliteten er installert?

For å gjøre dette trenger vi konseptet med basen Minor i matrisen og theoremen på ringingen av matrisen.

Mindre av høyeste rekkefølge av matrisen A, forskjellig fra , kalles basis.

Fra definisjonen av den grunnleggende mindre, følger det at bestillingen er lik marginen på matrisen. For en ikke-nullmatrise, men det kan være flere grunnleggende minororer, er en grunnleggende mindre alltid.

For eksempel, vurder matrisen .

Alle mindreårige i den tredje rekkefølgen av denne matrisen er , siden elementene i den tredje linjen i denne matrisen er summen av de tilsvarende elementene i første og andre linjer.

Den grunnleggende er følgende mindreårige i den andre ordren, som de er forskjellige fra null

Minora. Den grunnleggende er ikke, som de er null.

Teoremet på rangeringen av matrisen.

Hvis ringen i ordren P per n er lik R, blir alle elementene i strengene (og kolonnene) av matrisen som ikke danner den valgte basen, lineært uttrykt gjennom de tilsvarende elementene i strenger (og kolonner) som danner basen mindre.

Hva gir oss teoremet på rangeringen av matrisen?

Hvis vi, på theorem of the Kreconeker - Capelli, setter vi enhetene i systemet, velger vi en hvilken som helst grunnleggende mindre i hovedmatrisen i systemet (bestillingen er lik R), og utelukker fra systemet alle ligninger som ikke gjør det danner den valgte basen mindre. Den således oppnådde skråningen vil være ekvivalent med originalen, siden de kasserte ligningene fortsatt er unødvendige (de er den lineære kombinasjonen av de gjenværende ligningene i retning av matrisens rangovering).

Som et resultat, etter å ha kastet overskytende ligninger i systemet, er to tilfeller mulige.

    Hvis antall R-ligninger i det resulterende systemet er lik antall ukjente variabler, vil det være en viss, og den eneste løsningen kan bli funnet av Cramer-metoden, Matrix-metoden eller Gauss-metoden.

    Eksempel.

    .

    Beslutning.

    Rang Main System Matrix lik to, som den andre rekkefølgen mindre Forskjellig fra null. Rangen av en utvidet matrise Også lik to, siden den eneste mindreårige av den tredje orden er null

    Og den første rekkefølgen mindre diskutert ovenfor er forskjellig fra null. Basert på teoremet til krocecker-Capelli, er det mulig å godkjenne delingen av det opprinnelige systemet med lineære ligninger, siden rangering (a) \u003d rangering (t) \u003d 2.

    Som en grunnleggende mindre, ta . Den danner koeffisientene til de første og andre ligningene:

    Den tredje ligningen av systemet er ikke involvert i dannelsen av en base mindre, derfor vil vi ekskludere den fra systemet basert på theoremen på ringmatrisen:

    Så fikk vi et elementært system av lineære algebraiske ligninger. Ved å løse det ved hjelp av krateret:

    Svar:

    x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

    Hvis antall R-ligninger i den resulterende skråningen er mindre enn antall ukjente variabler n, så i de venstre delene av ligningene, forlater vi komponentene som danner basen minor, resten av komponentene overføres til de riktige delene av systemets ligninger med motsatt tegn.

    Ukjente variabler (deres R-stykker) som er igjen i venstre deler av ligningene kalles grunnleggende..

    Ukjente variabler (deres N - R-stykker), som var i de riktige delene, kalles gratis.

    Nå tror vi at gratis ukjente variabler kan gjøre vilkårlige verdier, mens R grunnleggende ukjente variabler vil bli uttrykt gjennom gratis ukjente variabler av den eneste måten. Deres uttrykk kan bli funnet å løse den resulterende prøven ved drivmetoden, matriksmetoden eller metoden for Gauss.

    Vi vil analysere på eksemplet.

    Eksempel.

    Bestem systemet med lineære algebraiske ligninger .

    Beslutning.

    Vi finner rangen av hovedmatrisen i systemet Metoden for travle mindreårige. Som en ikke-null mindre i den første rekkefølgen, ta en 1 1 \u003d 1. La oss starte søket etter en andre rekkefølge ikke-null mindre, som kutter denne mindreården:

    Så vi fant nonsens mindre i den andre bestillingen. La oss starte søket etter nonzero som grenser til den tredje ordren:

    Dermed er rangen av hovedmatrisen tre. Rangeringen av en utvidet matrise er også lik tre, det vil si at systemet koordineres.

    Den grunnleggende nonzero mindre i den tredje orden vil ta som en grunnleggende en.

    For klarhet viser vi elementene som danner basen Minor:

    Vi forlater komponentene i systemet i den venstre delen av ligningene som er involvert i basen, resten overføres med motsatte tegn til de riktige delene:

    Gi de gratis ukjente variablene x 2 og x 5 vilkårlig verdier, det vil si, vi vil ta hvor - vilkårlig tall. På samme tid vil skråningen ta

    Det resulterende elementære systemet med lineære algebraiske ligninger ved å løse kontrollsystemet:

    Dermed.

    Som svar, ikke glem å spesifisere gratis ukjente variabler.

    Svar:

    Hvor - vilkårlig tall.

Oppsummerer.

For å løse et system med lineære algebraiske ligninger av en vanlig type, finner vi først sin kompatibilitet ved hjelp av Konpeker's Theorem - Capelli. Hvis rangen på hovedmatrisen ikke er lik rangen til en utvidet matrise, så konkluderer vi den ufullstendigheten av systemet.

Hvis rangen på hovedmatrisen er lik rangen av en utvidet matrise, velger vi basen mindre og kasserer ligningen av systemet som ikke deltar i dannelsen av den valgte basen mindre.

Hvis rekkefølgen av basen mindre er lik antall ukjente variabler, har Slava en enkelt løsning som vi finner noen metode som er kjent for oss.

Hvis rekkefølgen av basen mindre er mindre enn antall ukjente variabler, så i den venstre delen av systemets ligninger, forlater vi komponentene med de viktigste ukjente variablene, de resterende komponentene overføres til de riktige delene og gir gratis ukjente variabler vilkårlig verdier. Fra det resulterende systemet med lineære ligninger finner vi de viktigste ukjente variablene av produsenten, matriksmetoden eller metoden til Gauss.

Gauss-metoden for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger med generell form.

Gauss-metoden kan løse systemet med lineære algebraiske ligninger av noe slag uten før deres forskning på enheter. Prosessen med konsekvent utelukkelse av ukjente variabler gjør at vi kan konkludere med både kompatibiliteten og ufullstendigheten til Slava, og i tilfelle av eksistensen av løsningen gjør det mulig å finne den.

Fra punktet av beregningsoperasjon er Gauss-metoden foretrukket.

Se hans detaljerte beskrivelse og demonterte eksempler i Gauss-metoden for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger med generell form.

Registrere generell løsning på homogene og inhomogene systemer av lineær algebraisk ved bruk av vektorene i det grunnleggende løsningssystemet.

I denne delen vil vi diskutere de felles homogene og inhomogene systemene av lineære algebraiske ligninger som har uendelige settløsninger.

Vi vil forstå først med homogene systemer.

Grunnleggende systemløsninger Det homogene systemet fra P-lineære algebraiske ligninger med n Ukjente variabler kalles et sett (N-R) lineært uavhengige løsninger av dette systemet, hvor R er rekkefølgen av basen Minor i hovedmatrisen i systemet.

Hvis du betegner lineært uavhengige løsninger av en homogen skråning som X (1), X (2), ..., X (NR) (X (1), X (2), ..., X (NR) - Disse er matrisene i dimensjonskolonnene n med 1), den generelle løsningen av dette homogene systemet presenteres i form av en lineær kombinasjon av vektorer av det grunnleggende system av løsninger med vilkårlig konstant koeffisienter med 1, C2, ..., C (nr), det vil si.

Hva betegner begrepet generell løsning av et homogent system av lineære algebraiske ligninger (orostal)?

Betydningen er enkel: Formelen setter alle mulige løsninger på den opprinnelige slavaen, med andre ord, tar noen sett med verdier av vilkårlig konstanter C 1, C2, ..., C (nr), i henhold til formelen, Vi får en av løsningene til den første homogene skråningen.

Således, hvis vi finner et grunnleggende system av løsninger, vil vi kunne spørre alle løsninger på denne homogene skråningen som.

La oss vise prosessen med å bygge et grunnleggende løsningssystem med en homogen skråning.

Vi velger den grunnleggende minor i det opprinnelige systemet med lineære ligninger, vi utelukker alle andre ligninger fra systemet og overføres til de riktige delene av systemlikningene med motsatte tegn, alle vilkår som inneholder gratis ukjente variabler. La oss gi en gratis ukjent variabel verdi på 1,0,0, ..., 0 og beregne de viktigste ukjent, løse det resulterende elementære systemet med lineære ligninger på noen måte, for eksempel av drivmetoden. Så x (1) vil bli oppnådd - den første løsningen av det grunnleggende systemet. Hvis du gir en gratis ukjent verdi på 0.1.0.0, ..., 0 og beregner de viktigste ukjent, så får vi x (2). Etc. Hvis de frie ukjente variablene gir verdien av 0,0, ..., 0,1 og beregner de viktigste ukjent, får vi X (N-R). Dette vil bli bygget et grunnleggende system av løsninger på en homogen skråning, og dens generelle løsning kan registreres.

For inhomogene systemer av lineære algebraiske ligninger er en generell løsning representert i form, hvor er den generelle løsningen av det tilsvarende homogene systemet, og den private løsningen av den opprinnelige inhomogene skråningen, som vi får, noe som gir en fri ukjent verdi på 0,0, ..., 0 og beregne verdiene til de viktigste ukjente.

Vi vil analysere på eksemplene.

Eksempel.

Finn et grunnleggende løsninger system og en generell løsning av et homogent system av lineære algebraiske ligninger. .

Beslutning.

Rangeringen av hovedmatrisen av homogene systemer av lineære ligninger er alltid lik rangen av en utvidet matrise. Vi finner rangen av hovedmatrisen ved hjelp av travle mindreårige. Som en ikke-null mindre i den første rekkefølgen, ta elementet en 1 1 \u003d 9 av hovedmatrisen i systemet. Vi finner den grenser til ikke-null minor i den andre bestillingen:

Mindre av andre ordre, forskjellig fra , funnet. Vi vil overvinne den tredje rekkefølgen mindre mat på jakt etter ikke-null:

Alle tredjeorders fokusinærer er , derfor er rangen av hoved og utvidet matrise to. Vi tar den grunnleggende mindreårige. Vi merker for klarhet elementene i systemet som danner det:

Den tredje ligningen av den opprinnelige skråningen deltar ikke i dannelsen av den grunnleggende mindreårige, derfor kan det utelukkes:

Vi forlater justeringene som inneholder de viktigste ukjente i de riktige delene av ligningene, og vi bærer vilkårene med gratis ukjente i de riktige delene:

Vi konstruerer et grunnleggende system av løsninger av det første homogene systemet med lineære ligninger. Det grunnleggende systemet med løsninger på denne skråningen består av to løsninger, siden den opprinnelige skråningen inneholder fire ukjente variabler, og rekkefølgen av den grunnleggende minoraen er to. For å finne x (1), la oss gi en gratis ukjent variabel verdi x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, så de viktigste ukjent for å finne fra systemet av ligninger
.

Ved å løse det ved hjelp av krateret:

På denne måten, .

Nå konstruere x (2). For å gjøre dette, la oss gi den frie ukjent variabelverdien x 2 \u003d 0, x 4 \u003d 1, da de viktigste ukjente personene finner fra systemet med lineære ligninger
.

Vi vil bruke Craver-metoden igjen:

Vi får.

Så vi fikk to vektormoduser av løsningene, og nå kan vi skrive ned den generelle løsningen av et homogent system av lineære algebraiske ligninger:

hvor C 1 og C 2 - vilkårlig tall.er null. Også, vi vil ta en mindre som en grunnleggende, eliminere den tredje ligningen fra systemet og overføre vilkårene med gratis ukjent for de riktige delene av systemet ligningene:

For å finne, la oss gi den frie ukjent variabelverdien x 2 \u003d 0 og x 4 \u003d 0, så vil systemet av ligningene ta skjemaet Fra hvor cramermetoden finner de viktigste ukjent variablene:

Ha dermed,

hvor C 1 og C 2 er vilkårlig tall.

Det skal bemerkes at løsninger på ubestemt homogent system av lineære algebraiske ligninger genererer lineær plass

Beslutning.

Den kanoniske ligningen av ellipsoid i et rektangulært kartesisk koordinatsystem har skjemaet . Vår oppgave er å bestemme parametrene A, B og P. Siden ellipsoid passerer gjennom punkter A, B og C, så når de erstatter koordinatene til den kanoniske ellipsoid-ligningen, bør den inkluderes i identiteten. Så vi vil få et system med tre ligninger:

Betegne , så vil systemet bli et system av lineære algebraiske ligninger .

Vi beregner determinant av hovedmatrisen i systemet:

Siden det er forskjellig fra , kan løsningen bli funnet av Cramer-metoden:
). Tydeligvis er x \u003d 0 og x \u003d 1 røttene til dette polynomet. Privat fra Divisjon på er en . Dermed har vi en dekomponering og innledende uttrykk vil ta skjemaet .

Vi bruker metoden for usikre koeffisienter.

Etter å ha likestilt de tilsvarende koeffisientene til numeratorer, kommer vi til systemet med lineære algebraiske ligninger . Hennes beslutning vil gi oss de ønskede ubestemte koeffisientene A, B, C og D.

Løsning av systemet av Gauss:

I omvendt kurs av Gauss-metoden finner vi D \u003d 0, C \u003d -2, B \u003d 1, A \u003d 1.

Vi får

Svar:

.

Lignende artikler