Для того, щоб через три будь-які точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій.

Розглянемо точки М 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) в загальній декартовій системі координат.

Для того, щоб довільна точка М (x, y, z) лежала в одній площині з точками М 1, М 2, М 3 необхідно, щоб вектори були компланарність.

(
) = 0

Таким чином,

Рівняння площини, що проходить через три точки:

Рівняння площини по двох точках і вектору, колінеарну площині.

Нехай задані точки М 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) і вектор
.

Складемо рівняння площини, що проходить через дані точки М 1 і М 2 і довільну точку М (х, у, z) паралельно вектору .

вектори
і вектор
повинні бути компланарність, тобто

(
) = 0

Рівняння площини:

Рівняння площини по одній точці і двох векторах,

колінеарну площині.

Нехай задані два вектори
і
, Колінеарні площині. Тоді для довільної точки М (х, у, z), що належить площині, вектори
повинні бути компланарність.

Рівняння площини:

Рівняння площини по точці і вектору нормалі .

Теорема. Якщо в просторі задана точка М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ), То рівняння площини, що проходить через точку М 0 перпендикулярно вектору нормалі (A, B, C) має вид:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Доведення. Для довільної точки М (х, у, z), що належить площині, складемо вектор. Оскільки вектор - вектор нормалі, то він перпендикулярний площині, а, отже, перпендикулярний і вектору
. Тоді скалярний твір

= 0

Таким чином, отримуємо рівняння площини

Теорема доведена.

Рівняння площини у відрізках.

Якщо в загальному рівнянні Ах + Ву + Сz + D \u003d 0 поділити обидві частини на (-D)

,

замінивши
, Отримаємо рівняння площини в відрізках:

Числа a, b, c є точками перетину площини відповідно з осями х, у, z.

Рівняння площини у векторній формі.

де

- радіус-вектор поточної точки М (х, у, z),

Одиничний вектор, який має напрямок, перпендикуляра, опущеного на площину з початку координат.

,  і  - кути, утворені цим вектором з осями х, у, z.

p - довжина цього перпендикуляра.

У координатах це рівняння має вигляд:

xcos + ycos + zcos - p \u003d 0.

Відстань від точки до площини.

Відстань від довільної точки М 0 (х 0, у 0, z 0) до площини Ах + Ву + Сz + D \u003d 0 дорівнює:

Приклад. Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р (4; -3; 12) - підстава перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.

Таким чином, A \u003d 4/13; B \u003d -3/13; C \u003d 12/13, скористаємося формулою:

A (x - x 0 ) + B (y - y 0 ) + C (z - z 0 ) = 0.

Приклад. Знайти рівняння площини, що проходить через дві точки P (2; 0; -1) і

Q (1; -1; 3) перпендикулярно площині 3х + 2у - z + 5 \u003d 0.

Вектор нормалі до площини 3х + 2у - z + 5 \u003d 0
паралельний шуканої площини.

отримуємо:

Приклад. Знайти рівняння площини, що проходить через точки А (2, -1, 4) і

В (3, 2, -1) перпендикулярно площині х + у + 2z – 3 = 0.

Шукане рівняння площини має вигляд: A x + B y + C z + D \u003d 0, вектор нормалі до цієї площини (A, B, C). вектор
(1, 3, -5) належить площині. Задана нам площину, перпендикулярна шуканої має вектор нормалі (1, 1, 2). Оскільки точки А і В належать обом площинам, а площині взаємно перпендикулярні, то

Таким чином, вектор нормалі (11, -7, -2). Оскільки точка А належить шуканої площини, то її координати повинні задовольняти рівняння цієї площини, тобто 112 + 71 - 24 + D \u003d 0; D \u003d -21.

Разом, отримуємо рівняння площині: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Приклад. Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р (4, -3, 12) - підстава перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.

Знаходимо координати вектора нормалі
\u003d (4, -3, 12). Шукане рівняння площини має вигляд: 4 x – 3y + 12z + D \u003d 0. Для знаходження коефіцієнта D підставимо в рівняння координати точки Р:

16 + 9 + 144 + D \u003d 0

Разом, отримуємо дані рівняння: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Приклад. Дано координати вершин піраміди А 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Знайти довжину ребра А 1 А 2.

Знайти кут між ребрами А 1 А 2 і А 1 А 4.

Знайти кут між ребром А 1 А 4 і гранню А 1 А 2 А 3.

Спочатку знайдемо вектор нормалі до межі А 1 А 2 А 3 як векторний добуток векторів
і
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Знайдемо кут між вектором нормалі і вектором
.

-4 – 4 = -8.

Шуканий кут  між вектором і площиною буде дорівнює  \u003d 90 0 - .

Знайти площу грані А 1 А 2 А 3.

Знайти об'єм піраміди.

Знайти рівняння площини А 1 А 2 А 3.

Скористаємося формулою рівняння площини, що проходить через три точки.

2x + 2y + 2z - 8 \u003d 0

x + y + z - 4 \u003d 0;

При використанні комп'ютерної версії " Курсу вищої математики"Можна запустити програму, яка вирішить розглянутий вище приклад для будь-яких координат вершин піраміди.

Для запуску програми двічі клацніть на значку:

У вікні програми введіть координати вершин піраміди і, нажімітеEnter. Таким чином, по черзі можуть бути отримані всі пункти рішення.

Примітка: Для запуску програми необхідно щоб на комп'ютері була встановлена \u200b\u200bпрограма Maple ( Waterloo Maple Inc.) будь-якої версії, починаючи з MapleV Release 4.

Дана стаття дає уявлення про те, як скласти рівняння площини, що проходить через задану точку тривимірного простору перпендикулярно до заданої прямої. Розберемо наведений алгоритм на прикладі вирішення типових задач.

Знаходження рівняння площини, що проходить через задану точку простору перпендикулярно до заданої прямої

Нехай задано тривимірний простір і прямокутна система координат O x y z в ньому. Задані також точка М 1 (x 1, y 1, z 1), пряма a і площину α, що проходить через точку М 1 перпендикулярно прямій a. Необхідно записати рівняння площини α.

Перш ніж приступити до вирішення цього завдання, згадаємо теорему геометрії з програми 10 - 11 класів, в якій мовиться:

визначення 1

Через задану точку тривимірного простору проходить єдина площина, перпендикулярна до заданої прямої.

Тепер розглянемо, як же знайти рівняння цієї єдиної площини, що проходить через вихідну точку і перпендикулярної даній прямій.

Можливо записати загальне рівняння площини, якщо відомі координати точки, що належить цій площині, а також координати нормального вектора площини.

Умовою завдання нам задані координати x 1, y 1, z 1 точки М 1, через яку проходить площину α. Якщо ми визначимо координати нормального вектора площини α, то отримаємо можливість записати шукане рівняння.

Нормальним вектором площини α, так як він ненульовий і лежить на прямій a, перпендикулярній площині α, буде будь-який спрямовує вектор прямої a. Так, завдання знаходження координат нормального вектора площини α перетворюється в задачу визначення координат направляючого вектора прямої a.

Визначення координат направляючого вектора прямої a може здійснюватися різними методами: залежить від варіанта завдання прямої a в початкових умовах. Наприклад, якщо пряма a в умові завдання задана канонічними рівняннями виду

x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d z - z 1 a z

або параметричними рівняннями виду:

x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ z \u003d z 1 + a z · λ

то спрямовує вектор прямої буде мати координати а x, а y і а z. У разі, коли пряма a представлена \u200b\u200bдвома точками М 2 (x 2, y 2, z 2) і М 3 (x 3, y 3, z 3), то координати направляючого вектора буду визначатися як (x3 - x2, y3 - y2 , z3 - z2).

визначення 2

Алгоритм для знаходження рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданої прямої:

Визначаємо координати направляючого вектора прямої a: a → \u003d (а x, а y, а z) ;

Визначаємо координати нормального вектора площини α як координати направляючого вектора прямої a:

n → \u003d (A, B, C), де A \u003d a x, B \u003d a y, C \u003d a z;

Записуємо рівняння площини, що проходить через точку М 1 (x 1, y 1, z 1) і має нормальний вектор n → \u003d (A, B, C) у вигляді A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0. Це і буде необхідним рівнянням площини, яка проходить через задану точку простору і перпендикулярна до даної прямої.

Отримане загальне рівняння площини: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 дає можливість отримати рівняння площини в відрізках або нормальне рівняння площині.

Вирішимо кілька прикладів, використовуючи отриманий вище алгоритм.

приклад 1

Задана точка М 1 (3, - 4, 5), через яку проходить площину, і ця площина перпендикулярна координатної прямої Про z.

Рішення

напрямних вектором координатної прямої O z буде координатний вектор k ⇀ \u003d (0, 0, 1). Отже, нормальний вектор площини має координати (0, 0, 1). Запишемо рівняння площини, що проходить через задану точку М 1 (3, - 4, 5), нормальний вектор якої має координати (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 ⇔ ⇔ 0 · (x - 3) + 0 · (y - (- 4)) + 1 · (z - 5) \u003d 0 ⇔ z - 5 \u003d 0

відповідь: z - 5 \u003d 0.

Розглянемо ще один спосіб вирішити це завдання:

приклад 2

Площина, яка перпендикулярна прямий O z буде задана неповним загальним рівнянням площини виду С z + D \u003d 0, C ≠ 0. Визначимо значення C і D: такі, при яких площина проходить через задану точку. Підставами координати цієї точки в рівняння З z + D \u003d 0, отримаємо: З · 5 + D \u003d 0. Тобто числа, C і D пов'язані співвідношенням - D C \u003d 5. Прийнявши С \u003d 1, отримаємо D \u003d - 5.

Підставами ці значення в рівняння З z + D \u003d 0 і отримаємо необхідну рівняння площини, перпендикулярної до прямої O z і проходить через точку М 1 (3, - 4, 5).

Воно буде мати вигляд: z - 5 \u003d 0.

відповідь: z - 5 \u003d 0.

приклад 3

Складіть рівняння площини, що проходить через початок координат і перпендикулярної до прямої x - 3 \u003d y + 1 - 7 \u003d z + 5 2

Рішення

Спираючись на умови завдання, можна стверджувати, що за нормальний вектор n → заданої площині можна прийняти спрямовує вектор заданої прямої. Таким, чином: n → \u003d (- 3, - 7, 2). Запишемо рівняння площини, що проходить через точку О (0, 0, 0) і має нормальний вектор n → \u003d (- 3, - 7, 2):

3 · (x - 0) - 7 · (y - 0) + 2 · (z - 0) \u003d 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z \u003d 0

Ми набули необхідного рівняння площини, що проходить через початок координат перпендикулярно до заданої прямої.

відповідь: - 3 x - 7 y + 2 z \u003d 0

приклад 4

Задана прямокутна система координат O x y z в тривимірному просторі, в ній - дві точки А (2, - 1, - 2) і B (3, - 2, 4). Площина α проходить через точку A перпендикулярно прямий А В. Необхідно скласти рівняння площини α в відрізках.

Рішення

Площина α перпендикулярна до прямої А В, тоді вектор А В → буде нормальним вектором площини α. Координати цього вектора визначаються як різниці відповідних координат точок В (3, - 2, 4) і А (2, - 1, - 2):

A B → \u003d (3 - 2, - 2 - (- 1), 4 - (- 2)) ⇔ A B → \u003d (1, - 1, 6)

Загальне рівняння площини буде записано в наступному вигляді:

1 · x - 2 - 1 · y - (- 1 + 6 · (z - (- 2)) \u003d 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 \u003d 0

Тепер складемо шукане рівняння площини в відрізках:

x - y + 6 z + 9 \u003d 0 ⇔ x - y + 6 z \u003d - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 \u003d 1

відповідь: x - 9 + y 9 + z - 3 2 \u003d 1

Також потрібно відзначити, що зустрічаються завдання, вимога яких - написати рівняння площини, що проходить через задану точку і перпендикулярної до двох заданих площинах. Загалом, рішення цього завдання в тому, щоб скласти рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої, тому що дві площини, що перетинаються задають пряму лінію.

приклад 5

Задана прямокутна система координат O x y z, в ній - точка М 1 (2, 0, - 5). Задані також рівняння двох площин 3 x + 2 y + 1 \u003d 0 і x + 2 z - 1 \u003d 0, які перетинаються по прямій a. Необхідно скласти рівняння площини, що проходить через точку М 1 перпендикулярно до прямої a.

Рішення

Визначимо координати направляючого вектора прямої a. Він перпендикулярний як нормальному вектору n 1 → (3, 2, 0) площині n → (1, 0, 2), так і нормальному вектору 3 x + 2 y + 1 \u003d 0 площині x + 2 z - 1 \u003d 0.

Тоді напрямних вектором α → прямий a візьмемо векторний добуток векторів n 1 → і n 2 →:

a → \u003d n 1 → × n 2 → \u003d i → j → k → 3 2 0 1 0 2 \u003d 4 · i → - 6 · j → - 2 · k → ⇒ a → \u003d (4, - 6, - 2 )

Таким чином, вектор n → \u003d (4, - 6, - 2) буде нормальним вектором площини, перпендикулярної до прямої a. Запишемо шукане рівняння площині:

4 · (x - 2) - 6 · (y - 0) - 2 · (z - (- 5)) \u003d 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 \u003d 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 \u003d 0

відповідь: 2 x - 3 y - z - 9 \u003d 0

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Щоб отримати загальне рівняння площини, розберемо площину, що проходить через задану точку.

Нехай в просторі є три вже відомі нам осі координат - Ox, Oy і Oz. Потримаємо аркуш паперу так, щоб він залишався плоским. Площиною буде сам лист і його продовження у всіх напрямках.

нехай P довільна площина в просторі. Всякий перпендикулярний їй вектор називається вектором нормалі до цієї площини. Природно, мова йде про ненулевом векторі.

Якщо відома якась точка площині P і який-небудь вектор нормалі до неї, то цими двома умовами площину в просторі цілком визначена (Через задану точку можна провести єдину площину, перпендикулярну даному вектору). Загальне рівняння площини буде мати вигляд:

Отже, умови, якими задається рівняння площині, є. Щоб отримати саме рівняння площини, Що має наведений вище вид, візьмемо на площині P довільну точку M зі змінними координатами x, y, z. Ця точка належить площині тільки в тому випадку, коли вектор перпендикулярний вектору (Рис. 1). Для цього, згідно з умовою перпендикулярності векторів, необхідно і достатньо, щоб скалярний добуток цих векторів дорівнювало нулю, тобто

Вектор заданий за умовою. Координати вектора знайдемо за формулою :

.

Тепер, використовуючи формулу скалярного твори векторів , Висловимо скалярний твір в координатної формі:

Так як точка M (x; y; z) обрана на площині довільно, то останнім рівнянням задовольняють координати будь-якої точки, що лежить на площині P. для точки N, Що не лежить на заданій площині,, тобто рівність (1) порушується.

Приклад 1. Скласти рівняння площини, що проходить через точку і перпендикулярної вектору.

Рішення. Використовуємо формулу (1), ще раз подивимося на неї:

У цій формулі числа A , B і C координати вектора, а числа x0 , y0 і z0 - координати точки.

Обчислення дуже прості: підставляємо ці числа в формулу і отримуємо

Множимо все, що потрібно помножити і складаємо просто числа (які без букв). результат:

.

Необхідну рівняння площини в цьому прикладі виявилося виражено загальним рівнянням першого ступеня щодо змінних координат x, y, z довільної точки площини.

Отже, рівняння виду

називається загальним рівнянням площини .

Приклад 2.Побудувати в прямокутній декартовій системі координат площину, задану рівнянням .

Рішення. Для побудови площини необхідно і достатньо знати будь-які три її точки, що не лежать на одній прямій, наприклад, точки перетину площини з осями координат.

Як знайти ці точки? Щоб знайти точку перетину з віссю Oz , Потрібно в рівняння, дане в умові завдання, замість ікс і Ігрека підставити нулі: x = y \u003d 0. Тому отримуємо z \u003d 6. Таким чином, задана площина перетинає вісь Oz в точці A(0; 0; 6) .

Точно так же знаходимо точку перетину площини з віссю Oy . при x = z \u003d 0 отримуємо y \u003d -3, тобто точку B(0; −3; 0) .

І, нарешті, знаходимо точку перетину нашої площині з віссю Ox . при y = z \u003d 0 отримаємо x \u003d 2, тобто точку C(2; 0; 0). З трьох отриманим в нашому рішенні точкам A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) і C(2; 0; 0) будуємо задану площину.

Розглянемо тепер окремі випадки загального рівняння площини. Це випадки, коли ті чи інші коефіцієнти рівняння (2) звертаються в нуль.

1. При D \u003d0 рівняння визначає площину, що проходить через початок координат, так як координати точки 0 (0; 0; 0) задовольняють цьому рівнянню.

2. При A \u003d0 рівняння визначає площину, паралельну осі Ox, Оскільки вектор нормалі цій площині перпендикулярний осі Ox (Його проекція на вісь Ox дорівнює нулю). Аналогічно, при B \u003d0 площину паралельна осі Oy, А при C \u003d0 площину паралельна осі Oz.

3. При A \u003d D \u003d 0 рівняння визначає площину, що проходить через вісь Ox, Оскільки вона паралельна осі Ox (A \u003dD \u003d 0). Аналогічно, площина проходить через вісь Oy, А площину через вісь Oz.

4. При A \u003d B \u003d0 рівняння визначає площину, паралельну координатної площини xOy, Оскільки вона паралельна осях Ox (A \u003d 0) і Oy (B \u003d 0). Аналогічно, площина паралельна площині yOz, А площину - площині xOz.

5. При A \u003d B \u003d D \u003d0 рівняння (або z \u003d0) визначає координатну площину xOy, Так як вона паралельна площині xOy (A \u003d B \u003d 0) і проходить через початок координат ( D \u003d0). Аналогічно, рівняння y \u003d0 в просторі визначає координатну площину xOz, А рівняння x \u003d0 - координатну площину yOz.

Приклад 3. Скласти рівняння площини P , Що проходить через вісь Oy і точку.

Рішення. Отже, площина проходить через вісь Oy . Тому в її рівнянні y \u003d 0 і це рівняння має вигляд. Для визначення коефіцієнтів A і C скористаємося тим, що точка належить площині P .

Тому серед її координат є такі, які можна підставити в рівняння площини, яке ми вже вивели (). Дивимося ще раз на координати точки:

M0 (2; −4; 3) .

Серед них x = 2 , z \u003d 3. Підставляємо їх в рівняння загального вигляду і отримуємо рівняння для нашого окремого випадку:

2A + 3C = 0 .

Ми залишаємо 2 A в лівій частині рівняння, переносимо 3 C в праву частину і отримуємо

A = −1,5C .

Підставивши знайдене значення A в рівняння, отримаємо

або.

Це і є рівняння, необхідне в умові прикладу.

Вирішити завдання на рівняння площини самостійно, а потім подивитися рішення

Приклад 4. Визначити площину (або площини, якщо більше однієї) щодо координатних осей або координатних площин, якщо площину (площині) задана рівнянням.

Рішення типових задач, які бувають на контрольних роботах - в посібнику "Завдання на площину: паралельність, перпендикулярність, перетин трьох площин в одній точці".

Рівняння площини, що проходить через три точки

Як уже згадувалося, необхідною і достатньою умовою для побудови площини, крім однієї точки і вектора нормалі, є також три точки, що не лежать на одній прямій.

Нехай дано три різні точки, і, що не лежать на одній прямій. Оскільки вказані три точки не лежать в одній прямий, вектори і не колінеарні, а тому будь-яка точка площині лежить в одній площині з точками, і тоді і тільки тоді, коли вектори, і компланарність, тобто тоді і тільки тоді, коли мішаний добуток цих векторів дорівнює нулю.

Використовуючи вираз змішаного твори в координатах, отримаємо рівняння площини

(3)

Після розкриття визначника це рівняння стає рівнянням виду (2), тобто загальним рівнянням площини.

Приклад 5. Скласти рівняння площини, що проходить через три дані точки, що не лежать на одній прямій:

і визначити окремий випадок загального рівняння прямої, якщо такий має місце.

Рішення. За формулою (3) маємо:

Нормальне рівняння площині. Відстань від точки до площини

Нормальним рівнянням площини називається її рівняння, записане у вигляді

Рівняння площини. Як скласти рівняння площини?
Взаємне розташування площин. завдання

Просторова геометрія не набагато складніше «плоскою» геометрії, і наші польоти в просторі починаються з даної статті. Для засвоєння теми необхідно добре розібратися в векторах, Крім того, бажано бути знайомим з геометрією площині - буде багато схожого, багато аналогій, тому інформація перетравиться значно краще. У серії моїх уроків 2D-світ відкривається статтею Рівняння прямої на площині. Але зараз Бетмен зійшов з плоского екрану телевізора і стартує з космодрому Байконур.

Почнемо з креслень і позначень. Схематично площину можна намалювати у вигляді паралелограма, що створює враження простору:

Площина нескінченна, але у нас є можливість зобразити лише її шматочок. На практиці крім паралелограма також прорисовують овал або навіть хмарка. Мені з технічних причин зручніше зображати площину саме так і саме в такому положенні. Реальні площині, які ми розглянемо в практичних прикладах, можуть розташовуватися як завгодно - подумки візьміть креслення в руки і покрутіть його в просторі, надавши площині будь-який нахил, будь-який кут.

позначення: Площині прийнято позначати маленькими грецькими буквами, мабуть, щоб не плутати їх з прямий на площині або з прямої в просторі. Я звик використовувати букву. На кресленні саме буква «сигма», а зовсім не дірочка. Хоча, дірява площину, це, безумовно, дуже забавно.

У ряді випадків для позначення площин зручно використовувати ті ж грецькі літери з нижніми підрядковими індексами, наприклад,.

Очевидно, що площина однозначно визначається трьома різними точками, що не лежать на одній прямій. Тому досить популярні трьохбуквені позначення площин - за належними їм точкам, наприклад, і т.д. Нерідко букви беруть у круглі дужки: , Щоб не переплутати площину з іншого геометричною фігурою.

Для досвідчених читачів наведу меню швидкого доступу:

• Як скласти рівняння площини по точці і двох векторах?
• Як скласти рівняння площини по точці і вектору нормалі?

і ми не будемо нудитися довгими очікуваннями:

Загальне рівняння площини

Загальне рівняння площини має вигляд, де коефіцієнти одночасно не рівні нулю.

Ряд теоретичних викладок і практичних завдань справедливі як для звичного ортонормированного базису, так і для афінного базису простору (якщо масло - масляне, поверніться до уроку Лінійна (не) залежність векторів. базис векторів). Для простоти будемо вважати, що всі події відбуваються в ортонормированном базисі і декартовій прямокутній системі координат.

А тепер трохи потренуємо просторову уяву. Нічого страшного, якщо у вас воно погане, зараз трохи розвинемо. Навіть для гри на нервах потрібні тренування.

У найзагальнішому випадку, коли числа не рівні нулю, площина перетинає всі три координатні осі. Наприклад, так:

Ще раз повторю, що площину нескінченно триває на всі боки, і у нас є можливість зобразити тільки її частину.

Розглянемо найпростіші рівняння площин:

Як розуміти дане рівняння? Вдумайтеся: «зет» ЗАВЖДИ, при будь-яких значеннях «ікс» і «ігрек» дорівнює нулю. Це рівняння «рідний» координатної площини. Дійсно, формально рівняння можна переписати так: , Звідки добре видно, що нам по барабану, які значення приймають «ікс» і «ігрек», важливо, що «зет» дорівнює нулю.

аналогічно:
- рівняння координатної площини;
- рівняння координатної площини.

Трохи ускладнити завдання, розглянемо площину (тут і далі в параграфі припускаємо, що числові коефіцієнти не рівні нулю). Перепишемо рівняння у вигляді:. Як його розуміти? «Ікс» ЗАВЖДИ, при будь-яких значеннях «ігрек» та «зет» дорівнює деякому числу. Ця площина паралельна координатній площині. Наприклад, площина паралельна площині і проходить через точку.

аналогічно:
- рівняння площини, яка паралельна координатній площині;
- рівняння площини, яка паралельна координатній площині.

Додамо членів:. Рівняння можна переписати так:, тобто «зет» може бути будь-яким. Що це означає? «Ікс» і «ігрек» пов'язані співвідношенням, яке прокреслює в площині деяку пряму (впізнаєте рівняння прямої на площині?). Оскільки «зет» може бути будь-яким, то ця пряма «тиражується» на будь-якій висоті. Таким чином, рівняння визначає площину, паралельну координатної осі

аналогічно:
- рівняння площини, яка паралельна координатної осі;
- рівняння площини, яка паралельна координатної осі.

Якщо вільні члени нульові, то площини будуть безпосередньо проходити через відповідні осі. Наприклад, класична «пряма пропорційність»:. Накресліть в площині пряму і подумки розмножте її вгору і вниз (так як «зет» any). Висновок: площину, задана рівнянням, проходить через координатну вісь.

Завершуємо огляд: рівняння площини проходить через початок координат. Ну, тут абсолютно очевидно, що точка задовольняє даному рівнянню.

І, нарешті, випадок, який зображений на кресленні: - площину дружить з усіма координатними осями, при цьому вона завжди «відсікає» трикутник, який може розташовуватися в будь-якому з восьми октантів.

Лінійні нерівності в просторі

Для розуміння інформації необхідно добре вивчити лінійні нерівності на площині, Оскільки багато речей буду схожі. Параграф носитиме короткий оглядовий характер з декількома прикладами, так як матеріал на практиці зустрічається досить рідко.

Якщо рівняння задає площину, то нерівності
задають півпростору. Якщо нерівність Нечитка (два останніх у списку), то в рішення нерівності крім полупространства входить і сама площина.

приклад 5

Знайти одиничний нормальний вектор площини .

Рішення: Єдиний вектор - це вектор, довжина якого дорівнює одиниці. Позначимо цей вектор через. Цілком зрозуміло, що вектори колінеарні:

Спочатку з рівняння площині знімемо вектор нормалі:.

Як знайти одиничний вектор? Для того щоб знайти одиничний вектор, потрібно кожну координату вектора розділити на довжину вектора.

Перепишемо вектор нормалі в вигляді і знайдемо його довжину:

Відповідно до вищесказаного:

відповідь:

Перевірка:, що і було потрібно перевірити.

Читачі, які уважно вивчили останній параграф уроку, напевно, помітили, що координати одиничного вектора - це в точності напрямні косинуси вектора:

Відвернемося від розібраної завдання: коли вам дано довільний ненульовий вектор, І за умовою потрібно знайти його напрямні косинуси (див. Останні завдання уроку Скалярний добуток векторів), То ви, по суті, знаходите і одиничний вектор, колінеарний даному. Фактично два завдання в одному флаконі.

Необхідність знайти одиничний вектор нормалі виникає в деяких задачах математичного аналізу.

З Вивуджування нормального вектора розібралися, тепер відповімо на протилежний питання:

Як скласти рівняння площини по точці і вектору нормалі?

Цю жорстку конструкцію вектора нормалі і точки добре знає мету для гри в дартс. Будь ласка, витягніть руку вперед і подумки виберіть довільну точку простору, наприклад, маленьку кішечку в серванті. Очевидно, що через дану точку можна провести єдину площину, перпендикулярну вашій руці.

Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору, виражається формулою: