Межа послідовності та межа функції по коші. Визначення кінцевої межі послідовності Як обчислити межу числової послідовності приклади

Наводяться формулювання основних теорем та властивостей числових послідовностей, що мають межу. Міститься визначення послідовності та її межі. Розглянуто арифметичні дії з послідовностями, властивості, пов'язані з нерівностями, критерії збіжності, властивості нескінченно малих та нескінченно великих послідовностей.

Зміст

Властивості кінцевих меж послідовностей

Основні властивості

Точка a є межею послідовності тоді і лише тоді, коли поза будь-якою околиці цієї точки знаходиться кінцева кількість елементівпослідовності або порожня множина.

Якщо число a не є межею послідовності, то існує така околиця точки a, за межами якої знаходиться нескінченна кількість елементів послідовності.

Теорема єдиності межі числової послідовності. Якщо послідовність має межу, він єдиний.

Якщо послідовність має кінцеву межу, вона обмежена.

Якщо кожен елемент послідовності дорівнює одному й тому ж числу C : , то ця послідовність має межу, що дорівнює числу C .

Якщо у послідовності додати, відкинути або змінити перші m елементів, то це не вплине на її збіжність.

Докази основних властивостейнаведено на сторінці
Основні властивості кінцевих меж послідовностей >>>.

Арифметичні дії з межами

Нехай існують кінцеві межі та послідовностей і . І нехай C – постійна, тобто задане число. Тоді
;
;
;
якщо .
Що стосується приватного передбачається, що з усіх n .

Якщо то .

Докази арифметичних властивостейнаведено на сторінці
Арифметичні властивості кінцевих меж послідовностей >>>.

Властивості, пов'язані з нерівностями

Якщо елементи послідовності, починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності , то межа a цієї послідовності задовольняє нерівності .

Якщо елементи послідовності, починаючи з деякого номера, належать замкнутому інтервалу (сегменту) , то межа a також належить цьому інтервалу: .

Якщо і елементи послідовностей, починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності , то .

Якщо і, починаючи з деякого номера, то .
Зокрема, якщо, починаючи з деякого номера, , то
якщо то ;
якщо то .

Якщо і, то.

Нехай і . Якщо a < b , то знайдеться таке натуральне число N , що всім n > Nвиконується нерівність.

Докази властивостей, пов'язаних із нерівностяминаведено на сторінці
Властивості меж послідовностей, пов'язані з нерівностями >>>.

Нескінченно велика і нескінченно мала послідовності

Нескінченна мала послідовність

Нескінченно мала послідовність - це послідовність, межа якої дорівнює нулю:
.

Сума та різницюКінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Добуток обмеженої послідовностіна нескінченно малу є нескінченно малою послідовністю.

Добуток кінцевого числаБезмежно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Для того, щоб послідовність мала межу a необхідно і достатньо, щоб , де - нескінченно мала послідовність.

Докази властивостей нескінченно малих послідовностейнаведено на сторінці
Нескінченно малі послідовності - визначення та властивості >>>.

Нескінченно велика послідовність

Нескінченно велика послідовність - це послідовність, що має нескінченно велику межу. Тобто якщо для будь-якого позитивного числа існує таке натуральне число N, що залежить від того, що для всіх натуральних виконується нерівність
.
У цьому випадку пишуть
.
Або при .
Кажуть, що прагне нескінченності.

Якщо, починаючи з деякого номера N, то
.
Якщо ж , то
.

Якщо послідовність є нескінченно великою, то, починаючи з деякого номера N визначена послідовність , яка є нескінченно малою. Якщо є нескінченно малою послідовністю з відмінними від нуля елементами, то послідовність є нескінченно великою.

Якщо послідовність нескінченно більша, а послідовність обмежена, то
.

Якщо абсолютні значення елементів послідовності обмежені знизу позитивним числом (), а - нескінченно мала з нерівними елементами нуля, то
.

Більш детально визначення нескінченно великої послідовності з прикладаминаводиться на сторінці
Визначення нескінченно великої послідовності >>>.
Докази властивостей нескінченно великих послідовностейнаведено на сторінці
Властивості нескінченно великих послідовностей >>>.

Критерії збіжності послідовностей

Монотонні послідовності

Суворо зростаюча послідовність - це послідовність, всім елементів якої виконуються нерівності:
.

Аналогічними нерівностями визначаються інші монотонні послідовності.

Строго спадна послідовність:
.
Неубутня послідовність:
.
Незростаюча послідовність:
.

Звідси випливає, що послідовність, що строго зростає, також є неубутньою. Строго спадна послідовність також є незростаючою.

Монотонна послідовність - це незнижуюча або незростаюча послідовність.

Монотонна послідовність обмежена, по крайнього заходу, з одного боку значенням . Незменшуюча послідовність обмежена знизу: . Незростаюча послідовність обмежена зверху: .

Теорема Вейєрштраса. Для того щоб незабутня (незростаюча) послідовність мала кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб вона була обмеженою зверху (знизу). Тут M - кілька.

Оскільки будь-яка неубутня (незростаюча) послідовність обмежена знизу (згори), то теорему Вейєрштрасса можна перефразувати так:

Для того, щоб монотонна послідовність мала кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб вона була обмеженою: .

Монотонна необмежена послідовністьмає нескінченну межу, рівну для незменшуючої і для незростаючої послідовності.

Доказ теореми Вейєрштрасанаведено на сторінці
Теорема Вейєрштрасса про межі монотонної послідовності >>>.

Критерій Коші збіжності послідовності

Умова Коші
Послідовність задовольняє умові Кошіякщо для будь - якого існує таке натуральне число , що для всіх натуральних чисел n і m , що задовольняють умові , виконується нерівність
.

Фундаментальна послідовність – це послідовність, що задовольняє умові Коші.

Критерій Коші збіжності послідовності. Для того щоб послідовність мала кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла умові Коші.

Доказ критерію збіжності Кошінаведено на сторінці
Критерій Коші збіжності послідовності >>>.

Підпослідовності

Теорема Больцано - Вейєрштраса. З будь-якої обмеженої послідовності можна виділити схожу підпослідовність. А з будь-якої необмеженої послідовності - нескінченно велику підпослідовність, що сходить до або до .

Доказ теореми Больцано - Вейєрштрасанаведено на сторінці
Теорема Больцано - Вейєрштрасса >>>.

Визначення, теореми та властивості підпослідовностей та часткових меж розглянуто на сторінці
Підпослідовності та часткові межі послідовностей >>>.

Використана література:
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.
Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.
В.А. Зорич. Математичний аналіз. Частина 1. Москва, 1997.
В.А. Ільїн, Е.Г. Позняк. Основи математичного аналізу. Частина 1. Москва, 2005.

Див. також:

Математика - наука, яка будує світ. Як вчений, так і проста людина - ніхто не зможе обійтися без неї. Спочатку маленьких дітей вчать рахувати, потім складати, віднімати, множити і ділити, до середньої школи в хід вступають літерні позначення, а старшій без них вже не обійтися.

Але сьогодні йтиметься про те, на чому будується вся відома математика. Про угруповання чисел під назвою «межі послідовностей».

Що таке послідовності і де їхня межа?

Значення слова "послідовність" трактувати неважко. Це така побудова речей, де хтось чи щось розташований у певному порядку чи черзі. Наприклад, черга за квитками до зоопарку — це послідовність. Причому вона може бути лише одна! Якщо, наприклад, подивитися на чергу в магазин, це одна послідовність. А якщо одна людина з цієї черги раптом піде, то це вже інша черга, інша лад.

Слово "межа" також легко трактується - це кінець чогось. Однак у математиці межі послідовностей — це такі значення на числовій прямій, яких прагне послідовність чисел. Чому прагне, а чи не закінчується? Все просто, у числової прямої немає кінця, а більшість послідовностей, як промені, мають тільки початок і виглядають так:

х 1, х 2, х 3, … х n …

Звідси визначення послідовності є функцією натурального аргументу. Простішими словами - це ряд членів деякої множини.

Як будується числова послідовність?

Найпростіший приклад числової послідовності може мати такий вигляд: 1, 2, 3, 4, …n…

Найчастіше для практичних цілей послідовності будуються з цифр, причому кожен наступний член низки, позначимо його Х, має своє ім'я. Наприклад:

х 1 - перший член послідовності;

х 2 - другий член послідовності;

х 3 - третій член;

х n - енний член.

У практичних методах послідовність задається загальною формулою, у якій є певна змінна. Наприклад:

Х n =3n, тоді сам ряд чисел виглядатиме так:

Варто не забувати, що при загальному запису послідовностей можна використовувати будь-які латинські літери, а не лише Х. Наприклад: y, z, k і т.д.

Арифметична прогресія як частина послідовностей

Перш ніж шукати межі послідовностей, доцільно глибше поринути у саме поняття подібного числового ряду, з яким усі стикалися, будучи середніх класах. Арифметична прогресія — це ряд чисел, у яких різниця між сусідніми членами стала.

Завдання: «Нехай а 1 = 15, а крок прогресії числового низки d=4. Побудуйте перші 4 члени цього ряду»

Рішення: а 1 = 15 (за умовою) – перший член прогресії (числового ряду).

а 2 = 15 + 4 = 19 - другий член прогресії.

а 3 = 19 + 4 = 23 - третій член.

а 4 = 23 +4 = 27 - четвертий член.

Однак подібним методом важко дістатися великих значень, наприклад до а 125. . Спеціально для таких випадків було виведено зручну для практики формулу: а n =a 1 +d(n-1). У разі а 125 =15+4(125-1)=511.

Види послідовностей

Більшість послідовностей нескінченні, це варто запам'ятати протягом усього життя. Існує два цікаві види числового ряду. Перший задається формулою а n = (-1) n. Математики часто називають цю послідовність мигалкою. Чому? Перевіримо її числовий ряд.

1, 1, -1 , 1, -1, 1 і т. д. На подібному прикладі стає ясно, що числа у послідовностях можуть легко повторюватися.

Факторіальна послідовність. Легко здогадатися - у формулі, що задає послідовність, є факторіал. Наприклад: а n = (n+1)!

Тоді послідовність буде виглядати так:

а 2 = 1х2х3 = 6;

а 3 = 1х2х3х4 = 24 і т.д.

Послідовність, задана арифметичною прогресією, називається нескінченно спадною, якщо всім її членів дотримується нерівність -1

а 3 = - 1/8 тощо.

Існує навіть послідовність, що складається з одного й того ж числа. Так, а n = 6 складається з нескінченної множини шісток.

Визначення межі послідовності

Межі послідовностей давно існують у математиці. Звичайно, вони заслужили на своє власне грамотне оформлення. Отже, час дізнатися про визначення меж послідовностей. Для початку докладно розглянемо межу для лінійної функції:

1. Усі межі позначаються скорочено lim.
2. Запис межі складається із скорочення lim, будь-якої змінної, що прагне до певного числа, нуля або нескінченності, а також із самої функції.

Легко зрозуміти, що визначення межі послідовності може бути сформульовано так: це деяке число, до якого нескінченно наближаються всі члени послідовності. Простий приклад: x = 4x+1. Тоді сама послідовність буде виглядати так.

5, 9, 13, 17, 21 ... x ...

Таким чином, дана послідовність нескінченно збільшуватиметься, а, значить, її межа дорівнює нескінченності при x→∞, і записувати це слід так:

Якщо ж взяти схожу послідовність, але їх буде прагнути до 1, то отримаємо:

А ряд чисел буде таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 і т. д. Щоразу потрібно підставляти число дедалі більше наближене до одиниці (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). З цього ряду видно, що межа функції це п'ять.

З цієї частини варто запам'ятати, що така межа числової послідовності, визначення та метод вирішення простих завдань.

Загальне позначення межі послідовностей

Розібравши межу числової послідовності, визначення його та приклади, можна приступити до складнішої теми. Абсолютно всі межі послідовностей можна сформулювати однією формулою, яку зазвичай розбирають у першому семестрі.

Отже, що означає цей набір букв, модулів і знаків нерівностей?

∀ — квантор загальності, який замінює фрази для всіх, для всього і т.п.

∃ — квантор існування, у разі означає, що існує деяке значення N, що належить безлічі натуральних чисел.

Довга вертикальна паличка, що йде за N, означає, що це безліч N «таке, що». Насправді вона може означати «така, що», «такі, що» тощо.

Для закріплення матеріалу прочитайте формулу вголос.

Невизначеність та визначеність межі

Метод знаходження межі послідовностей, який розглядався вище, нехай і простий у застосуванні, але не такий раціональний на практиці. Спробуйте знайти межу для такої функції:

Якщо підставляти різні значення "ікс" (з кожним разом збільшуються: 10, 100, 1000 і т. д.), то в чисельнику отримаємо ∞, але в знаменнику теж ∞. Виходить досить дивний дріб:

Але чи це так насправді? Обчислити межу числової послідовності у разі здається досить легко. Можна було б залишити все, як є, адже відповідь готова, і отримана вона на розумних умовах, однак є ще один спосіб спеціально для таких випадків.

Для початку знайдемо старший ступінь у чисельнику дробу - це 1, тому що х можна уявити як х 1 .

Тепер знайдемо старший ступінь у знаменнику. Теж 1.

Поділимо і чисельник, і знаменник на змінну найвищою мірою. У разі дроб ділимо на х 1 .

Далі знайдемо, якого значення прагне кожне доданок, що містить змінну. У разі розглядаються дроби. При х→∞ значення кожного дробу прагне нуля. При оформленні роботи в письмовому вигляді варто зробити такі виноски:

Виходить наступний вираз:

Звичайно, дроби, що містять х, не стали нулями! Але їх значення настільки мало, що можна не враховувати його при розрахунках. Насправді ж х ніколи не буде рівним 0 в даному випадку, адже на нуль ділити не можна.

Що таке околиця?

Припустимо, у розпорядженні професора складна послідовність, задана, очевидно, щонайменше складною формулою. Професор знайшов відповідь, але чи він підходить? Адже всі люди помиляються.

Огюст Коші свого часу вигадав відмінний спосіб для доведення меж послідовностей. Його спосіб назвали оперуванням околицями.

Припустимо, що є деяка точка а, її околиця в обидві сторони на числовій прямій дорівнює ε («епсілон»). Оскільки остання змінна — відстань, її значення завжди позитивно.

Тепер поставимо деяку послідовність х n і покладемо, що десятий член послідовності (x 10) входить в околицю а. Як записати цей факт математичною мовою?

Припустимо, х 10 знаходиться правіше від точки а тоді відстань х 10 -а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Тепер настав час роз'яснити практично ту формулу, про яку йшлося вище. Деяке число а справедливо називати кінцевою точкою послідовності, якщо для будь-якої її межі виконується нерівність ε>0, причому вся околиця має свій натуральний номер N, такий, що всі члени послідовності з більш значними номерами виявляться всередині послідовності | x n - a |< ε.

З такими знаннями легко здійснити вирішення меж послідовності, довести чи спростувати готову відповідь.

Теореми

Теореми про межі послідовностей - важлива складова теорії, без якої неможлива практика. Є лише чотири головні теореми, запам'ятавши які, можна в рази полегшити хід рішення чи докази:

1. Єдиність межі послідовності. Межа в будь-якій послідовності може бути тільки одна або не бути зовсім. Той самий приклад із чергою, у якої може бути лише один кінець.
2. Якщо ряд чисел має межу, то послідовність цих чисел обмежена.
3. Межа суми (різниці, твори) послідовностей дорівнює сумі (різниці, твору) їх меж.
4. Межа приватного від розподілу двох послідовностей дорівнює приватній межі тоді і тільки тоді, коли знаменник не звертається в нуль.

Доказ послідовностей

Іноді потрібно вирішити обернену задачу, довести задану межу числової послідовності. Розглянемо з прикладу.

Довести, що межа послідовності, заданої формулою, дорівнює нулю.

За розглянутим вище правилом, для будь-якої послідовності має виконуватися нерівність | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Виразимо n через «епсілон», щоб показати існування якогось номера та довести наявність межі послідовності.

На цьому етапі важливо нагадати, що «епсілон» та «ен» - числа позитивні і не дорівнюють нулю. Тепер можна продовжувати подальші перетворення, використовуючи знання про нерівності, отримані у середній школі.

Звідки виходить, що n> -3 + 1/ε. Оскільки варто пам'ятати, що йдеться про натуральні числа, то результат можна округлити, занісши його у квадратні дужки. Таким чином, було доведено, що для будь-якого значення околиці «епсілон» точки а=0 знайшлося таке, що виконується початкова нерівність. Звідси можна сміливо стверджувати, що число є межа заданої послідовності. Що й потрібно було довести.

Ось таким зручним методом можна довести межу числової послідовності, якою б складною вона на перший погляд не була. Головне — не впадати в паніку, побачивши завдання.

А може, його нема?

Існування межі послідовності необов'язково практично. Легко можна зустріти такі ряди чисел, які справді не мають кінця. Наприклад, та сама «мигалка» x n = (-1) n . Зрозуміло, що послідовність, що складається лише з двох цифр, циклічно повторюваних, неспроможна мати межі.

Та сама історія повторюється з послідовностями, що складаються з одного числа, дробовими, що мають у ході обчислень невизначеність будь-якого порядку (0/0, ∞/∞, ∞/0 тощо). Проте слід пам'ятати, що неправильне обчислення теж має місце. Іноді межа послідовностей визначити допоможе повторна перевірка свого рішення.

Монотонна послідовність

Вище розглядалися кілька прикладів послідовностей, методи їх вирішення, а тепер спробуємо взяти певніший випадок і назвемо його «монотонною послідовністю».

Визначення: будь-яку послідовність справедливо називати монотонно зростаючою, якщо для неї виконується сувора нерівність x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n+1.

Поряд із цими двома умовами існують також подібні несуворі нерівності. Відповідно, x n ≤ x n +1 (неубутня послідовність) і x n ≥ x n +1 (незростаюча послідовність).

Але легше розуміти таке на прикладах.

Послідовність, задана формулою х n = 2+n, утворює наступний ряд чисел: 4, 5, 6 тощо. буд. Це монотонно зростаюча послідовність.

А якщо взяти x n =1/n, то отримаємо ряд: 1/3, ¼, 1/5 і т. д. Це монотонно спадна послідовність.

Межа схожої та обмеженої послідовності

Обмежена послідовність - послідовність, що має межу. Сходящаяся послідовність — ряд чисел, що має нескінченно малу межу.

Таким чином, межа обмеженої послідовності – це будь-яке дійсне чи комплексне число. Пам'ятайте, що межа може бути лише одна.

Межа послідовності, що збігається - це величина нескінченно мала (дійсна або комплексна). Якщо накреслити діаграму послідовності, то певній точці вона буде сходитися, прагнути звернутися в певну величину. Звідси і назва - послідовність, що збігається.

Межа монотонної послідовності

Межа такої послідовності може бути, а може і не бути. Спочатку корисно зрозуміти, коли він є, звідси можна відштовхнутися за доказом відсутності межі.

Серед монотонних послідовностей виділяють схожу і розбіжну. Східна - це така послідовність, яка утворена безліччю х і має в даній множині дійсну або комплексну межу. Розбіжна - послідовність, що не має межі у своїй множині (ні дійсної, ні комплексної).

Причому послідовність сходиться, якщо з геометричному зображенні її верхній і нижній межі сходяться.

Межа схожої послідовності в багатьох випадках може дорівнювати нулю, так як будь-яка нескінченно мала послідовність має відому межу (нуль).

Яку послідовність, що сходить, не візьми, всі вони обмежені, проте далеко не всі обмежені послідовності сходяться.

Сума, різницю, добуток двох послідовностей, що сходяться, - також схожа послідовність. Однак приватне може бути також схожим, якщо воно визначено!

Різні дії з межами

Межі послідовностей - це така ж істотна (у більшості випадків) величина, як і цифри та числа: 1, 2, 15, 24, 362 і т. д. Виходить, що з межами можна проводити деякі операції.

По-перше, як і цифри та числа, межі будь-яких послідовностей можна складати та віднімати. Виходячи з третьої теореми про межі послідовностей, справедливо таку рівність: межа суми послідовностей дорівнює сумі їх меж.

По-друге, виходячи з четвертої теореми про межі послідовностей, справедливо таку рівність: межа добутку n-ої кількості послідовностей дорівнює добутку їх меж. Те ж справедливо і для розподілу: межа приватного двох послідовностей дорівнює приватному їх меж, за умови що межа не дорівнює нулю. Адже якщо межа послідовностей дорівнюватиме нулю, то вийде поділ на нуль, що неможливо.

Властивості величин послідовностей

Здавалося б, межа числової послідовності вже розібрано досить докладно, проте неодноразово згадуються такі фрази, як «нескінченно маленькі» і «нескінченно великі» числа. Очевидно, якщо є послідовність 1/х, де x→∞, то такий дріб нескінченно малий, а якщо той самий послідовність, але межа прагне нуля (х→0), то дріб стає нескінченно великою величиною. А такі величини мають свої особливості. Властивості межі послідовності, що має будь-які малі або великі величини, полягають у наступному:

1. Сума будь-якої кількості скільки завгодно малих величин буде також малою величиною.
2. Сума будь-якої кількості великих величин буде нескінченно великою величиною.
3. Твір як завгодно малих величин нескінченно мало.
4. Добуток скільки завгодно великих чисел — величина нескінченно більша.
5. Якщо вихідна послідовність прагне нескінченно великому числу, то величина, їй зворотна, буде нескінченно малою і йти до нуля.

Насправді обчислити межу послідовності – не таке складне завдання, якщо знати простий алгоритм. Але межі послідовностей — тема, яка потребує максимуму уваги та усидливості. Звичайно, досить просто вловити суть вирішення подібних виразів. Починаючи з малого, згодом можна досягти великих вершин.

Визначення меж послідовності та функції, властивості меж, перший та другий чудові межі, приклади.

Постійне число аназивається межею послідовності(x n), якщо для будь-якого скільки завгодно малого позитивного числа ε > 0 існує номер N, що всі значення x n, у яких n>N, задовольняють нерівності

Записують це так: або x n → a.

Нерівність (6.1) рівносильна подвійній нерівності

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, Починаючи з деякого номера n>N, лежать всередині інтервалу (a-ε, a+ε), тобто. потрапляють у будь-яку малу ε-околиця точки а.

Послідовність, що має межу, називається схожій, в іншому випадку - розходиться.

Поняття межа функції є узагальненням поняття межа послідовності, так як межа послідовності можна розглядати як межа функції x n = f(n) цілісного аргументу n.

Нехай дана функція f(x) та нехай a - гранична точкаобласті визначення цієї функції D(f), тобто. така точка, будь-яка околиця якої містить точки множини D(f), відмінні від a. Крапка aможе належати множині D(f), а може і не належати йому.

Визначення 1.Постійне число А називається межа функції f(x) при x→ a якщо для будь-якої послідовності (x n ) значень аргументу, що прагне до а, відповідні їм послідовності (f(x n)) мають одну й ту саму межу А.

Це визначення називають визначенням межі функції за Гейном,або “ мовою послідовностей”.

Визначення 2. Постійне число А називається межа функції f(x) при x→a, якщо, задавши довільне, як завгодно мале позитивне число ε, можна знайти таке δ >0 (що залежить від ε), що для всіх x, що лежать в ε-околиці числа а, тобто. для x, що задовольняють нерівності
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Це визначення називають визначенням межі функції по Коші,або “на мові ε - δ"

Визначення 1 та 2 рівносильні. Якщо функція f(x) за x → a має межа, рівний А, це записується як

У тому випадку, якщо послідовність (f(x n)) необмежено зростає (або зменшується) за будь-якого способу наближення xдо своєї межі а, то говоритимемо, що функція f(x) має нескінченна межа,і записувати це у вигляді:

Змінна величина (тобто послідовність або функція), межа якої дорівнює нулю, називається нескінченно малою величиною.

Змінна величина, межа якої дорівнює нескінченності, називається нескінченно великою величиною.

Щоб знайти межу практично користуються наступними теоремами.

Теорема 1 . Якщо існує кожна межа

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Зауваження. Вирази виду 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ є невизначеними, наприклад, відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих величин, і знайти межу такого виду називається “розкриття невизначеностей”.

Теорема 2.

тобто. можна переходити до межі на підставі ступеня за постійного показника, зокрема,

Теорема 3.

(6.11)

де e» 2.7 - основа натурального логарифму. Формули (6.10) і (6.11) звуться перша чудова межа і друга чудова межа.

Використовуються на практиці та наслідки формули (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

зокрема межа,

Якщо x → a і при цьому x > a, пишуть x →a + 0. Якщо, зокрема, a = 0, то замість символу 0+0 пишуть +0. Аналогічно, якщо x→a і при цьому x і називаються відповідно межа праворучі межа зліва функції f(x) у точці а. Щоб існувала межа функції f(x) при x→ a, необхідно і достатньо, щоб . Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 якщо межа

(6.15)

Умову (6.15) можна переписати у вигляді:

тобто можливий граничний перехід під знаком функції, якщо вона безперервна у цій точці.

Якщо рівність (6.15) порушена, то кажуть, що при x = x o функція f(x) має розрив.Розглянемо функцію y = 1/x. Областью визначення цієї функції є безліч R, Крім x = 0. Точка x = 0 є граничною точкою множини D(f), оскільки у будь-якій її околиці, тобто. у будь-якому відкритому інтервалі, що містить точку 0, є точки з D(f), але вона сама не належить цій множині. Значення f(x o)= f(0) не визначено, у точці x o = 0 функція має розрив.

Функція f(x) називається безперервної праворуч у точці x o якщо межа

і безперервної зліва в точці x o, якщо межа

Безперервність функції у точці x oрівносильна її безперервності в цій точці одночасно праворуч і ліворуч.

Для того, щоб функція була безперервною у точці x o, наприклад, справа, необхідно, по-перше, щоб існувала кінцева межа , а по-друге, щоб ця межа дорівнювала f(x o). Отже, якщо хоча б одна з цих двох умов не виконується, то функція матиме розрив.

1. Якщо межа існує і не дорівнює f(x o), то кажуть, що функція f(x) у точці x o має розрив першого роду,або стрибок.

2. Якщо межа дорівнює +∞ або -∞ або не існує, то кажуть, що в точці x o функція має розрив другого роду.

Наприклад, функція y = ctg x при x → +0 має межу, рівну +∞ , отже, у точці x=0 вона має розрив другого роду. Функція y = E(x) (ціла частина від x) У точках з цілими абсцисами має розриви першого роду, або стрибки.

Функція, безперервна в кожній точці проміжку, називається безперервнийв. Безперервна функція є суцільною кривою.

До другого чудовому межі наводять багато завдань, пов'язані з безперервним зростанням будь-якої величини. До таких завдань, наприклад, відносяться зростання вкладу за законом складних відсотків, зростання населення країни, розпад радіоактивної речовини, розмноження бактерій і т.п.

Розглянемо приклад Я. І. Перельмана, що дає інтерпретацію числа eу задачі про складні відсотки. Число eє межа . У ощадбанках відсоткові гроші приєднуються до основного капіталу щорічно. Якщо приєднання відбувається частіше, капітал зростає швидше, оскільки у освіті відсотків бере участь велика сума. Візьмемо суто теоретичний, дуже спрощений приклад. Нехай у банк покладено 100 ден. од. з розрахунку 100% річних. Якщо відсоткові гроші будуть приєднані до основного капіталу лише після закінчення року, то цього терміну 100 ден. од. перетворяться на 200 ден.од. Подивимося тепер, на що перетворяться 100 ден. од., якщо відсоткові гроші приєднувати до основного капіталу кожні півроку. Через півріччя 100 ден. од. зростуть у 100×1,5 = 150, а ще через півроку – у 150×1,5 = 225 (ден. од.). Якщо приєднання робити кожні 1/3 року, то через рік 100 ден. од. перетворяться на 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. од.). Будемо частішати терміни приєднання відсоткових грошей до 0,1 року, до 0,01 року, до 0,001 року тощо. Тоді зі 100 ден. од. через рік вийде:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. од.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. од.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. од.).

При безмежному скороченні термінів приєднання відсотків нарощений капітал не зростає безмежно, а наближається до певної межі, що дорівнює приблизно 271. Більш ніж у 2,71 раз капітал, покладений під 100% річних, збільшитися не може, навіть якби нарослі відсотки приєднувалися до капіталу. секунду, тому що межа

Приклад 3.1. Користуючись визначенням межі числової послідовності, довести, що послідовність x n =(n-1)/n має межу, що дорівнює 1.

Рішення.Нам треба довести, що, хоч би яке ε > 0 ми взяли, йому знайдеться натуральне число N, таке, що всім n > N має місце нерівність |x n -1|< ε

Візьмемо будь-яке ε > 0. Оскільки x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то знайти N достатньо вирішити нерівність 1/n<ε. Отсюда n>1/ε і, отже, N можна прийняти цілу частину від 1/ε N = E(1/ε). Ми тим самим довели, що .

Приклад 3.2.Знайти межу послідовності, заданої спільним членом .

Рішення. Застосуємо теорему межу суми та знайдемо межу кожного доданка. При n → ∞ чисельник і знаменник кожного доданка прагне нескінченності, і ми можемо безпосередньо застосувати теорему межа приватного. Тому спочатку перетворимо x n, розділивши чисельник і знаменник першого доданку на n 2, а другого на n. Потім, застосовуючи теорему межу частки та межу суми, знайдемо:

Приклад 3.3. . Знайти.

Рішення.

Тут ми скористалися теоремою про межу ступеня: межа ступеня дорівнює ступеню від межі основи.

Приклад 3.4. Знайти ( ).

Рішення. Застосовувати теорему межу різниці не можна, оскільки маємо невизначеність виду ∞-∞. Перетворимо формулу загального члена:

Приклад 3.5. Дана функція f(x)=2 1/x. Довести, що межі немає.

Рішення.Скористаємося визначенням 1 межі функції через послідовність. Візьмемо послідовність ( x n ), що сходить до 0, тобто. Покажемо, що величина f(x n)= для різних послідовностей поводиться по-різному. Нехай xn = 1/n. Очевидно, що тоді межа Виберемо тепер як x nпослідовність із загальним членом x n = -1/n, що також прагне до нуля. Тому межі немає.

Приклад 3.6. Довести, що межі немає.

Рішення.Нехай x 1 , x 2 ,..., x n ,... - послідовність, для якої
. Як поводиться послідовність (f(x n)) = (sin x n ) при різних x n → ∞

Якщо x n = p n то sin x n = sin (p n) = 0 при всіх nі межа Якщо ж
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 всім nі отже межа. Отже, немає.

Xn елементами чи членами послідовності, n – члена послідовності. Якщо функція f(n) задана аналітично, тобто формулою, xn=f(n) називають формулою члена послідовності.

Число а називається межею послідовності (xn), якщо для будь-якого ε>0 існує номер n=n(ε), починаючи з якого виконується нерівність | xn-a |

Приклад 2. Довести, що за умов прикладу 1 число а=1 не є межею послідовності попереднього прикладу. Рішення. Знову спростіть спільний член послідовності. Візьміть ε=1 (це будь-яке число >

Завдання безпосереднього обчислення межі послідовності досить однакові. Усі вони містять відносини поліномів щодо n або ірраціональних виразів щодо цих поліномів. Приступаючи до рішення, винесіть за дужки (символ радикала) складову, що знаходиться в старшому ступені. Нехай для чисельника вихідного виразу це призведе до появи множника a^p, а знаменника b^q. Очевидно, що всі складові, що залишилися, мають вигляд С/(n-k) і прагнуть до нуля при n>

Перший спосіб обчислення межі послідовності заснований на її визначенні. Правда слід запам'ятати, що шляхів безпосереднього пошуку межі він не дає, а дозволяє лише довести, що якесь число а є (або не є) межею.Приклад 1. Довести, що послідовність (xn)=((3n^2-2n) -1) / (n ^ 2-n-2)) має межу а = 3. Рішення. Проводьте доказ шляхом застосування ухвали у зворотному порядку. Тобто праворуч наліво. Попередньо перевірте – чи немає можливості спростити формулу для xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+2) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2). Розгляньте нерівність |(3n+1)/(n+2)-3|0 можна знайти будь-яке натуральне число nε, більше -2+ 5/ε.

Приклад 2. Довести, що за умов прикладу 1 число а=1 не є межею послідовності попереднього прикладу. Рішення. Знову спростіть спільний член послідовності. Візьміть ε=1 (це будь-яке число >0).Запишіть нерівність загального визначення, що укладає |

Завдання безпосереднього обчислення межі послідовності досить однакові. Усі вони містять відносини поліномів щодо n або ірраціональних виразів щодо цих поліномів. Приступаючи до рішення, винесіть за дужки (символ радикала) складову, що знаходиться в старшому ступені. Нехай для чисельника вихідного виразу це призведе до появи множника a^p, а знаменника b^q. Очевидно, що всі складові, що залишилися, мають вигляд С/(n-k) і прагнуть до нуля при n>k (n прагне до нескінченності). Після цього напишіть відповідь: 0, якщо pq.

Вкажемо не традиційний спосіб знаходження межі послідовності та нескінченних сум. Будемо використовувати функціональні послідовності (їх члени функції, визначені на деякому проміжку (a, b)). Приклад 3. Знайти суму 1+1/2! +1/3! +…+1/n! + ... = S. Рішення. Будь-яке число а ^ 0 = 1. Покладіть 1=exp(0) і розгляньте функціональну послідовність (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}