Повна площа кулі. Як знайти площу та об'єм кулі. Січна, хорда, січна площина сфери та їх властивості

Ми даємо тут дуже простий, хоч і не зовсім суворий висновок формули для площі сферичної поверхні; за своєю ідеєю він дуже близький до методів інтегрального обчислення. Отже, нехай дана деяка куля радіуса R. Виділимо на його поверхні якусь малу область (рис. 412) і розглянемо піраміду або конус з вершиною в центрі кулі О, що мають цю область своєю основою; строго кажучи, ми лише умовно говоримо про конус або піраміду, оскільки основа не плоска, а сферична. Але при малих розмірах підстави в порівнянні з радіусом кулі воно буде мало відрізнятися від плоского (так, наприклад, при вимірюванні невеликої земельної ділянки нехтують тим, що вона лежить не на площині, а на сфері).

Тоді, позначаючи через площу цієї ділянки - основу «піраміди», знайдемо її обсяг як добуток однієї третини висоти на площу основи (заввишки служить радіус кулі):

Якщо тепер всю поверхню кулі розкласти на дуже велике число N таких малих областей, тим самим об'єм кулі на N об'ємів «пірамід», що мають ці області своїми підставами, весь обсяг представиться сумою

де остання сума дорівнює повній поверхні кулі:

Отже, обсяг кулі дорівнює одній третині твору його радіусу на площу поверхні. Звідси для площі поверхні маємо формулу

Останній результат формулюється так:

Площа поверхні кулі дорівнює вчетверо площі його великого кола.

Наведений висновок придатний і для площі поверхні сектора кулі (маємо на увазі тільки основу, тобто сферичну поверхню, або «шапочки»; див. рис. 409). І в цьому випадку обсяг сектора дорівнює одній третині твору радіусу кулі на площу його сферичної основи:

звідки знаходимо для площі шапочки формулу

Кульовим поясом (див. рис. 408) називають сферичну поверхню шарового шару. Щоб обчислити площу поверхні кульового пояса, знаходимо різницю поверхонь двох сферичних шапочок:

де – висота шару. Отже, площа поверхні шарового пояса для цієї кулі залежить тільки від висоти відповідного шару, але не від його положення на кулі.

Завдання. Бічна поверхня конуса, описаного навколо кулі, має площу, що дорівнює півторній площі поверхні кулі. Знайти висоту конуса, якщо радіус кулі дорівнює .

Рішення. Введемо для зручності кут між висотою і утворює конуса (рис. 413). Знайдемо для висоти, радіусу основи та утворює конуса виразу

Ми даємо тут дуже простий, хоч і не зовсім суворий висновок формули для площі сферичної поверхні; за своєю ідеєю він дуже близький до методів інтегрального обчислення. Отже, нехай дана деяка куля радіуса R. Виділимо на його поверхні якусь малу область (рис. 412) і розглянемо піраміду або конус з вершиною в центрі кулі О, що мають цю область своєю основою; строго кажучи, ми лише умовно говоримо про конус або піраміду, оскільки основа не плоска, а сферична. Але при малих розмірах підстави в порівнянні з радіусом кулі воно буде мало відрізнятися від плоского (так, наприклад, при вимірюванні невеликої земельної ділянки нехтують тим, що вона лежить не на площині, а на сфері).

Тоді, позначаючи через площу цієї ділянки - основу «піраміди», знайдемо її обсяг як добуток однієї третини висоти на площу основи (заввишки служить радіус кулі):

Якщо тепер всю поверхню кулі розкласти на дуже велике число N таких малих областей, тим самим об'єм кулі на N об'ємів «пірамід», що мають ці області своїми підставами, весь обсяг представиться сумою

де остання сума дорівнює повній поверхні кулі:

Отже, обсяг кулі дорівнює одній третині твору його радіусу на площу поверхні. Звідси для площі поверхні маємо формулу

Останній результат формулюється так:

Площа поверхні кулі дорівнює вчетверо площі його великого кола.

Наведений висновок придатний і для площі поверхні сектора кулі (маємо на увазі тільки основу, тобто сферичну поверхню, або «шапочки»; див. рис. 409). І в цьому випадку обсяг сектора дорівнює одній третині твору радіусу кулі на площу його сферичної основи:

звідки знаходимо для площі шапочки формулу

Кульовим поясом (див. рис. 408) називають сферичну поверхню шарового шару. Щоб обчислити площу поверхні кульового пояса, знаходимо різницю поверхонь двох сферичних шапочок:

де – висота шару. Отже, площа поверхні шарового пояса для цієї кулі залежить тільки від висоти відповідного шару, але не від його положення на кулі.

Завдання. Бічна поверхня конуса, описаного навколо кулі, має площу, що дорівнює півторній площі поверхні кулі. Знайти висоту конуса, якщо радіус кулі дорівнює .

Рішення. Введемо для зручності кут між висотою і утворює конуса (рис. 413). Знайдемо для висоти, радіусу основи та утворює конуса виразу

Маючи при собі одну формулу і знаючи спочатку, чому дорівнює діаметр або радіус, можна з легкістю обчислити площу поверхні кулі. Формула матиме вигляд S =4πR2де число «пі» множиться на 4, потім на радіус кулі в квадратному ступені. Але перед безпосередніми обчисленнями слід одразу розібратися у термінах.

Трактування значень

Це слід знати:

• Куля– геометричний об'єкт, що вийшов у результаті обертових напівкругових рухів навколо центру. Будь-яка точка поверхні кулі знаходиться на однаковій відстані від центру.
• Сфера– не те саме, що куля. Якщо той є об'ємним об'єктом і включає внутрішній простір, то сфера – це лише поверхня даного об'єкта і має тільки свою площу. Іншими словами – не можна сказати, що сфера має такий обсяг, на відміну від кулі.
• Число Пі"- це постійне число, що дорівнює відношенню довжини кола до її діаметру. У скороченому вигляді його прийнято позначати числом, що дорівнює 3,14. Але насправді після трійки йде більше тисячі цифр!
• Радіус кулі дорівнює ½ його діаметру. Точний діаметр можна обчислити з використанням кількох плоских та рівних предметів. Потрібно лише затиснути кулю між цими предметами, які затискають кулю і розташовані перпендикулярно один до одного, а потім виміряти діаметр, що вийшов.
• Квадратний ступіньпозначається у вигляді двійки і означає те, що це число треба помножити на себе один раз. Якби ступінь числа був у вигляді трійки, то множити на себе потрібно було б двічі. Записавши вираз на папері, можна зрозуміти, чому використовуються саме двійка та трійка, а не одиниця та двійка.
• Обсяг- Величина, що позначає розмір у просторі, що займає об'єктом. Від діаметра залежить обсяг кулі. Формула дорівнюватиме чотири третини, помноженим на число «пі» і знову помноженим на його радіус у кубі.
• Площа- Величина, що позначає розмір поверхні об'єкта, але не внутрішнього простору.

Цікаві факти

Це цікаво:

1. У «пі» є власні фан-клуби по всьому світу. Члени суспільства намагаються запам'ятати якнайбільше знаків із цього числа, а також намагаються розгадати всесвітні таємниці, приховані в числі.
2. Площа суші Землі становить лише 29,2 % від її загальної поверхні. Точну кількість площі складно назвати через нерівномірний рельєф Землі, такі як западини та гори.
3. Знання про формулу площі кулі можна застосовувати й у побуті. Також цими знаннями можна придушувати суперника у суперечці.

Продемонструвавши обсяг своїх знань у галузі геометрії, можна спочатку змусити вас поважати, а ремонтникам та продавцям можна дати зрозуміти, що вас просто так не обдурити.

Застосування формули

Розглянемо з прикладу, як обчислити площу круглої кулі, Діаметр якого дорівнює 50 см. За формулою, потрібно 50 розділити на два (щоб отримати радіус), звести отримане число в квадрат і помножити всю цю справу спочатку на 4, потім на 3,14. У результаті отримаємо число 7 850 квадратних сантиметрів.

Формула обчислення площізастосовується не лише серед вчителів у школі та наукових співробітників у лабораторії. Ця формула може стати в нагоді звичайному маляру. Адже якщо куля велика, а фарби мало, то виникає питання - чи вистачить йому цієї суміші, щоб пофарбувати весь об'єкт. І це далеко не єдиний побутовий випадок, де може стати в нагоді формула.

Формула обчислення обсягуможе стати в нагоді і будівельній бригаді, що робить ремонт. І неважливо, який це об'єкт – промислова будівля, невеликий будинок чи звичайна квартира. Цим і відрізняються професіонали – вони вміють застосовувати свої знання практично.

Але як бути, якщо неможливо виміряти об'єкт?Таке питання може виникнути у разі великих розмірів об'єкта чи його недосяжності. У цьому випадку можуть допомогти електронні технології, в основі яких лежить сканування простору певними частотами і лазерами. Із сучасними технологіями необов'язково знати всі формули напам'ять. Достатньо мати підключення до інтернету та зайти на будь-який онлайн-калькулятор.

Прийнято вважати, що перший, хто знайшов і вивів формулу об'єму та площі кулі , був Архімед. Це найбільший давньогрецький вчений, який жив за 300 років до нашої ери. Він був не тільки математиком, а й фізиком та інженером. Він один із перших людей, хто спробував «оцифрувати» навколишній світ. Його теореми та праці використовуються досі.

Саме Архімед визначив межі числа "пі"і позначив їх, не маючи жодних сучасних гаджетів. Сам Архімед дуже пишався знайденою формулою, за допомогою якої обчислюється об'єм кулі. Його нащадки на честь цього зобразили на його могильному камені циліндр та кулю.

Якби якимось дивом він переродився в наш час, то він одразу зміг би перетворити цей світ і вивести його на новий рівень.

Відео

На прикладі цього відео вам буде легко зрозуміти, як знайти площу поверхні кулі.

Визначення.

Сфера (поверхня кулі) - це сукупність усіх точок у тривимірному просторі, які знаходяться на однаковій відстані від однієї точки, яка називається центром сфери(О).

Сферу можна описати, як об'ємну фігуру, яка утворюється обертанням кола навколо свого діаметра на 180 ° або півкола навколо свого діаметра на 360 °.

Визначення.

Куля- це сукупність усіх точок у тривимірному просторі, відстань від яких не перевищує певної відстані до точки, званої центром кулі(О) (сукупність всіх точок тривимірного простору обмежених сферою).

Кулю можна описати як об'ємну фігуру, яка утворюється обертанням кола навколо свого діаметра на 180 ° або півкола навколо свого діаметра на 360 °.

Визначення. Радіус сфери (кулі)(R) - це відстань від центру сфери (кулі) Oдо будь-якої точки сфери (поверхні кулі).

Визначення. Діаметр сфери (кулі)(D) - це відрізок, що з'єднує дві точки сфери (поверхні кулі) та проходить через її центр.

Формули. Об'єм кулі:

V =	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Формули. Площа поверхні сферичерез радіус або діаметр:

S = 4π R 2 = π D 2

Рівняння сфери

1. Рівняння сфери з радіусом R та центром на початку декартової системи координат:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Рівняння сфери з радіусом R та центром у точці з координатами (x 0 , y 0 , z 0) у декартовій системі координат:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Визначення. Діаметрально протилежними точкаминазиваються будь-які дві точки на поверхні кулі (сфері), які з'єднані діаметром.

Основні властивості сфери та кулі

1. Усі точки сфери однаково віддалені від центру.

2. Будь-який переріз сфери площиною є коло.

3. Будь-яке перетин кулі площиною є кругом.

4. Сфера має найбільший обсяг серед усіх просторових постатей з однаковою площею поверхні.

5. Через будь-які дві діаметрально протилежні точки можна провести безліч великих кіл для сфери або кіл для кулі.

6. Через будь-які дві точки, крім діаметрально протилежних точок, можна провести тільки одне велике коло для сфери або велике коло для кулі.

7. Будь-які два великі кола однієї кулі перетинаються по прямій, що проходить через центр кулі, а кола перетинаються у двох діаметрально протилежних точках.

8. Якщо відстань між центрами будь-яких двох куль менше суми їх радіусів і більше модуля різниці їх радіусів, то такі кулі перетинаються, а площині перетину утворюється коло.

Січна, хорда, січна площина сфери та їх властивості

Визначення. Поточна сфера- це пряма, яка перетинає сферу у двох точках. Точки перетину називаються точками протиканняповерхні або точками входу та виходу на поверхні.

Визначення. Хорда сфери (кулі)- Це відрізок, що сполучає дві точки сфери (поверхні кулі).

Визначення. Сікуча площина– це площина, яка перетинає сферу.

Визначення. Діаметральна площина- це січна площина, що проходить через центр сфери або кулі, сеченме утворює відповідно велике колоі велике коло. Велике коло та велике коло мають центр, який збігаються з центром сфери (кулі).

Будь-яка хорда, що проходить через центр сфери (кулі) є діаметром.

Хорда є відрізком прямої.

Відстань d від центру сфери до січної завжди менша ніж радіус сфери:

d< R

Відстань m між січною площиною та центром сфери завжди менша за радіус R:

m< R

Місцем перерізу сіючої площини на сфері завжди буде мале коло, а на кулі місцем перерізу буде мале коло. Мале коло і малий круг мають свої центри, які збігаються з центром сфери (кулі). Радіус r такого кола можна знайти за формулою:

r = √R 2 - m 2,

Де R – радіус сфери (кулі), m – відстань від центру кулі до січної площини.

Визначення. Півсфера (півкуля)- Це половина сфери (кулі), яка утворюється при її перерізі діаметральною площиною.

Дотична, дотична площина до сфери та їх властивості

Визначення. Стосовно сфери- це пряма, що стосується сфери лише в одній точці.

Визначення. Дотична площина до сфери- це площина, що стикається зі сферою тільки в одній точці.

Дотична пряма (площина) завжди перпендикулярна радіусу сфери, проведеному до точки дотику.

Відстань від центру сфери до дотичної прямої (площини) дорівнює радіусу сфери.

Визначення. Сегмент кулі- це частина кулі, яка відсікається від кулі площею. Основою сегментаназивають коло, яке утворилося у місці перерізу. Висотою сегмента h називають довжину перпендикуляра, проведеного з середини основи сегмента до поверхні сегмента.

Формули. Площа зовнішньої поверхні сегмента сфериз висотою h через радіус сфери R:

S = 2π Rh