Вектор прямий нормалі (нормальний вектор). Прямі на площині. Лінійність рівняння прямої та зворотне затвердження. Напрямний та нормальний вектори Вектор нормалі рівняння

Існує ряд завдань, яким для вирішення необхідно нормальний вектор на площині ніж саму площину. Тому в цій статті отримаємо відповідь на питання визначення нормального вектора з прикладами та наочними малюнками. Визначимо вектори тривимірного простору та площини за рівняннями.

Щоб матеріал легко засвоювався, необхідно попередньо вивчити теорію про пряму в просторі та представлення її на площині та вектори.

Визначення 1

Нормальний вектор плоскостівважається будь-який ненульовий вектор, який лежить на перпендикулярній до цієї площині прямий.

Звідси випливає, що є велика кількість нормальних векторів у цій площині. Розглянемо малюнку, наведеному нижче.

Нормальні вектори розташовуються на паралельних прямих, тому всі колінеарні. Тобто, при нормальному векторі n → розташованому в площині γ вектор t · n → , маючи ненульове значення параметра t також нормальний вектор площини γ . Будь-який вектор може бути розглянутий як напрямний вектор прямої, яка перпендикулярна до цієї площини.

Є випадки збігу нормальних векторів площин через перпендикулярність однієї з паралельних площин, так як пряма перпендикулярна і другої площини. Звідси випливає, що нормальні вектори перпендикулярних площин мають бути перпендикулярними.

Розглянемо з прикладу нормального вектора на площині.

Задано прямокутну систему координат О х у z у тривимірному просторі. Координатні вектори i → , j → , k → вважаються нормальними векторами площин O y z , O x z та O x y. Це судження правильне, оскільки i → j → k → ненульові і розташовані на координатних прямих O x , O y і O z . Ці прямі перпендикулярні координатним площинам O y z, O x z і O x y.

Координати нормального вектора площини – знаходження координат нормального вектора площини із рівняння площини

Стаття призначена для того, щоб навчити знаходити координати нормального вектора площини за відомого рівняння площини прямокутної системи координат О х у z . Для визначення нормального вектора n → = (A, B, C) у площині необхідна наявність загального рівняння площини, що має вигляд A x + B y + C z + D = 0 . Тобто достатньо мати рівняння площини, тоді з'явиться можливість знаходження координат нормального вектора.

Приклад 1

Знайти координати нормального вектора, що належить до площини 2 x - 3 y + 7 z - 11 = 0 .

Рішення

За умовою маємо рівняння площини. Необхідно звернути увагу на коефіцієнти, оскільки вони є координатами нормального вектора заданої площини. Звідси отримуємо, що n → = (2, - 3, 7) – це нормальний вектор площини. Всі вектори площини задаються за допомогою формули t · n → = 2 · t, - 3 · t, 7 · t, t є будь-яким дійсним числом не рівним нулю.

Відповідь: n → = (2, - 3, 7).

Приклад 2

Визначити координати напрямних векторів заданої площини x + 2 z – 7 = 0 .

Рішення

За умовою маємо, що дано неповне рівняння площини. Щоб побачити координати, необхідно перетворити рівняння x + 2 z – 7 = 0 до виду 1 · x + 0 · y + 2 z – 7 = 0 . Звідси отримаємо, що координати нормального вектора цієї площини рівні (1, 0, 2). Тоді безліч векторів матиме таку форму запису (t, 0, 2 · t), t ∈ R, t ≠ 0 .

Відповідь: (t , 0 , 2 · t) , t ∈ R , t ≠ 0 .

За допомогою рівняння площини у відрізках, що має вигляд x a + y b + z c = 1 і загального рівняння площини можлива запис нормального вектора цієї площини, де координати рівні 1 a , 1 b , 1 c .

Знання про нормальний вектор дозволяють легко вирішувати завдання. Завданнями, що часто зустрічаються, є завдання з доказами паралельності або перпендикулярності площин. Помітно спрощується розв'язання задач на складання рівнянь заданої площини. Якщо є питання про знаходження кута між площинами або між прямою та площиною, то формули нормального вектора та знаходження його координат допоможуть у цьому.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Способи завдання площини.

Взаємне розташування площин.

Дві площини у просторі можуть збігатися. У цьому випадку вони мають принаймні три загальні точки.

Дві площини у просторі можуть перетинатися. Перетином двох площин є пряма лінія, що встановлюється аксіомою: якщо дві площини мають спільну точку, вони мають спільну пряму, на якій лежать всі загальні точки цих площин.

У цьому випадку виникає поняття кута між площинами, що перетинаються. Окремий інтерес представляє випадок, коли кут між площинами дорівнює дев'яносто градусам. Такі поверхні називають перпендикулярними.

Нарешті, дві площини у просторі можуть бути паралельними, тобто не мати спільних точок.

Також цікаві випадки, коли кілька площин перетинаються по одній прямій та кілька площин перетинаються в одній точці.

Перелічимо основні способи завдання конкретної площини у просторі.

По-перше, площину можна задати, зафіксувавши три простори, що не лежать на одній прямій точці. Цей спосіб заснований на аксіомі: через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить єдина площина.

Якщо у тривимірному просторі зафіксована прямокутна система координат і задана площина за допомогою вказівки координат трьох її різних точок, що не лежать на одній прямій, ми можемо написати рівняння площини, яка проходить через три задані точки.

Два наступні способи завдання площини є наслідком попереднього. Вони засновані на слідствах з аксіоми про площину через три точки:

· Через пряму і не лежачу на ній точку проходить площину, причому лише одна;

· Через дві прямі, що перетинаються, проходить єдина площина.

Четвертий спосіб завдання площини у просторі ґрунтується на визначенні паралельних прямих. Нагадаємо, що дві прямі у просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині та не перетинаються. Таким чином, вказавши дві паралельні прямі у просторі, ми визначимо єдину площину, у якій ці прямі лежать.

Якщо у тривимірному просторі щодо прямокутної системи координат задана площина вказаним способом, то ми можемо скласти рівняння площини, що проходить через дві паралельні прямі.

Ознака паралельності двох площин дає нам ще один спосіб завдання площини. Згадаймо формулювання цієї ознаки: якщо дві прямі однієї площини, що перетинаються, відповідно паралельні двом прямим інший площині, то такі площини паралельні. Отже, ми можемо задати конкретну площину, якщо вкажемо точку, якою вона проходить і площину, якою вона паралельна.

У курсі середньої школи під час уроків геометрії доводиться така теорема: через фіксовану точку простору проходить єдина площина, перпендикулярна до цієї прямої. Таким чином, ми можемо задати площину, якщо вкажемо точку, якою вона проходить, і пряму, перпендикулярну до неї.

Якщо в тривимірному просторі зафіксована прямокутна система координат і задана площину вказаним способом, то можна скласти рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданої прямої.

Замість прямої, перпендикулярної до площини, можна вказати один із нормальних векторів цієї площини. І тут є можливість написати загальне рівняння площині.

Хороше уявлення про пряму лінію починається з моменту, коли разом з її чином одночасно виникають образи її напрямних та нормальних векторів. Аналогічно, при згадці про площину у просторі, вона має представлятися разом із своїм нормальним вектором. Чому так? Та тому що у багатьох випадках зручніше використовувати нормальний вектор площини, ніж саму площину.

Спочатку дамо визначення нормального вектора площині, наведемо приклади нормальних векторів та необхідні графічні ілюстрації. Далі помістимо площину прямокутну систему координат в тривимірному просторі і навчимося визначати координати нормального вектора площини за її рівнянням.

2.1. Нормальний вектор площини – визначення, приклади, ілюстрації.

Визначення. Нормальний вектор площині- це будь-який ненульовий вектор, що лежить на прямій перпендикулярній даній площині.

З визначення випливає, що існує безліч нормальних векторів даної площини.

Оскільки всі нормальні вектори заданої площини лежать на паралельних прямих, всі нормальні вектори площини коллинеарны. Інакше кажучи, якщо - нормальний вектор площини , то вектор при певному ненульовому дійсному значенні t є нормальним вектором площини .

Також слід зауважити, що будь-який нормальний вектор площини можна розглядати як напрямний вектор прямої, перпендикулярної до цієї площини.

Багато нормальних векторів паралельних площин збігаються, так як пряма, перпендикулярна до однієї з паралельних площин, перпендикулярна і до другої площини.

З визначення перпендикулярних площин та визначення нормального вектора площини слід, що нормальні вектори перпендикулярних площин перпендикулярні.

Приклад звичайний вектор плоскості.Нехай у тривимірному просторі зафіксовано прямокутну систему координат Oxyz. Координатні вектори є нормальними векторами площин Oyz, Oxz та Oxy відповідно. Це дійсно так, тому що вектори ненульові і лежать на координатних прямих Ox, Oy та Oz відповідно, які перпендикулярні координатним площинам Oyz, Oxz та Oxy відповідно.

2.2. Координати нормального вектора площини - Знаходження координат нормального вектора площини за рівнянням площини.

Знайдемо координати нормального вектора площини, якщо відомо рівняння площини прямокутної системі координат Oxyz.

Загальне рівняння площини виду визначає прямокутної системі координат Oxyz площину, нормальним вектором якої є вектор . Таким чином, щоб знайти координати нормального вектора площини, нам достатньо мати перед очима загальне рівняння цієї площини.

приклад.Знайдіть координати будь-якого нормального вектора площини.

Рішення.Нам дано загальне рівняння площини, коефіцієнти перед змінними x, y і z є відповідними координатами нормального вектора цієї площини. Отже, - один із нормальних векторів заданої площини. Багато всіх нормальних векторів цієї площини можна задати як , де t - довільне дійсне число, відмінне від нуля.

приклад.Площина задана рівнянням. Визначте координати напрямних векторів.

Рішення.Нам дано неповне рівняння площини. Щоб стали видно координати напрямного вектора, перепишемо рівняння у вигляді . Таким чином, нормальний вектор цієї площини має координати , а безліч нормальних векторів запишеться як .

Рівняння площини у відрізках виду, як і загальне рівняння площини, дозволяє одразу записати один із нормальних векторів цієї площини – він має координати.

Наприкінці скажемо, що з допомогою нормального вектора площині можна вирішити різні завдання. Найпоширенішими є завдання на доказ паралельності або перпендикулярності площин, задачі на складання рівняння площини, а також задачі на знаходження кута між площинами та на знаходження кута між прямою та площиною.

Вектор нормалі площини – це вектор, який перпендикулярний даній площині. Вочевидь, що з будь-якої площині нескінченно багато нормальних векторів. Але для вирішення завдань нам вистачатиме й одного.

Якщо площина задана загальним рівнянням , то вектор є вектором нормалі даної площини. Просто до неподобства. Все, що потрібно зробити – це зняти коефіцієнти з рівняння площини.

Обіцяного три екрани чекають, повернемося до Прімера №1 і виконаємо його перевірку. Нагадую, що там потрібно було побудувати рівняння площини по точці та двох векторів. В результаті рішення ми отримали рівняння. Перевіряємо:

По-перше, підставимо координати точки в отримане рівняння:

Отримано правильну рівність, отже, точка дійсно лежить у цій площині.

По-друге, із рівняння площини знімаємо вектор нормалі: . Оскільки вектори паралельні площині, а вектор перпендикулярний площині, то повинні мати місце такі факти: . Перпендикулярність векторів легко перевірити за допомогою скалярного твору:

Висновок: рівняння поверхні знайдено правильно.

У ході перевірки я фактично процитував таке твердження теорії: вектор паралельний площині у тому й лише тому випадку, коли .

Вирішимо важливе завдання, яке має відношення і до уроку:

Приклад 5

Знайти одиничний нормальний вектор площині .

Рішення: Одиничний вектор - це вектор, довжина якого дорівнює одиниці Позначимо цей вектор через . Принципово краєвид виглядає так:

Цілком зрозуміло, що вектори колінеарні.

Спочатку з рівняння поверхні знімемо вектор нормалі: .

Як знайти одиничний вектор? Для того, щоб знайти одиничний вектор , потрібно кожнукоординату вектора розділити на довжину вектора .

Перепишемо вектор нормалі у вигляді та знайдемо його довжину:

Відповідно до вищесказаного:

Відповідь:

Перевірка: , Що й потрібно перевірити.

Читачі, які уважно вивчили останній параграф уроку Скалярне твір векторів, мабуть, помітили, що координати одиничного вектора – це точно напрямні косинуси вектора :

Відвернемося від розібраного завдання: коли вам дано довільний ненульовий вектор, і за умовою потрібно знайти його напрямні косинуси (останні завдання уроку Скалярне твір векторів), то ви, по суті, знаходите і одиничний вектор, колінеарний даному.

Фактично два завдання в одному флаконі.

Необхідність знайти одиничний вектор нормалі виникає у деяких завданнях математичного аналізу.

З вивуджування нормального вектора розібралися, тепер відповімо на протилежне питання.

При вивченні рівнянь прямої лінії на площині та тривимірному просторі ми спираємося на алгебру векторів. При цьому особливе значення мають напрямний вектор прямий та нормальний вектор прямий. У статті ми докладно розглянемо нормальний вектор прямий. Почнемо з визначення нормального вектора прямої, наведемо приклади та графічні ілюстрації. Далі перейдемо до знаходження координат нормального вектора прямої за відомими рівняннями прямої, при цьому покажемо докладні розв'язки задач.

Навігація на сторінці.

Нормальний вектор прямий – визначення, приклади, ілюстрації.

Для розуміння матеріалу Вам необхідно мати чітке уявлення про пряму лінію, про площину, а також знати основні визначення, пов'язані з векторами. Тому рекомендуємо спочатку освіжити у пам'яті матеріал статей пряма на площині, пряма у просторі, уявлення про площину та .

Дамо визначення нормального вектора прямої.

Визначення.

Нормальний вектор прямий- це будь-який ненульовий вектор, що лежить на будь-якій прямій перпендикулярній даній.

З визначення нормального вектора прямої зрозуміло, що існує безліч нормальних векторів даної прямої.

Визначення нормального вектора прямої та визначення напрямного вектора прямої дозволяють укласти, що будь-який нормальний вектор даної прямої перпендикулярний будь-якому напрямному вектору цієї прямої.

Наведемо приклад нормального вектора прямої.

Нехай на площині задана Oxy. Одним із множини нормальних векторів координатної прямої Ox є координатний вектор. Дійсно, вектор ненульовий і лежить на координатній прямій Oy , яка перпендикулярна до осі Ox . Безліч всіх нормальних векторів координатної прямої Ox у прямокутній системі координат Oxy можна задати як .

У прямокутній системі координат Oxyz у тривимірному просторі нормальним вектором прямої Oz є вектор. Координатний вектор також є нормальним вектором прямої Oz. Очевидно, що будь-який ненульовий вектор, що лежить у будь-якій площині, перпендикулярної осі Oz буде нормальним вектором прямої Oz .

Координати нормального вектора прямої – знаходження координат нормального вектора прямої за відомими рівняннями цієї прямої.

Якщо розглядати пряму в прямокутній системі координат Oxy, то їй відповідатимуть рівняння прямої на площині деякого виду, а нормальні вектори прямої будуть визначатися своїми координатами (див. статтю). При цьому постає питання: «як знайти координати нормального вектора прямої, коли нам відоме рівняння цієї прямої»?

Знайдемо у відповідь поставлене питання прямих, заданих площині рівняннями різного виду.

Якщо пряму лінію на площині визначає загальне рівняння прямого виду , то коефіцієнти А і B є відповідними координатами нормального вектора цієї прямої.

приклад.

Знайдіть координати якогось нормального вектора прямої .

Рішення.

Оскільки пряма задана загальним рівнянням, ми можемо відразу записати координати її нормального вектора – ними є відповідні коефіцієнти перед змінними x і y . Тобто нормальний вектор прямий має координати .

Відповідь:

Один із чисел A або B у загальному рівнянні прямої може дорівнювати нулю. Це не повинно Вас бентежити. Розглянемо з прикладу.

приклад.

Вкажіть будь - який нормальний вектор прямий .

Рішення.

Нам дано неповне загальне рівняння прямої. Його можна переписати у вигляді , Звідки відразу видно координати нормального вектора цієї прямої: .

Відповідь:

Рівняння прямої у відрізках виду або рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом легко приводяться до загального рівняння прямої, звідки знаходяться координати нормального вектора цієї прямої.

приклад.

Знайдіть координати нормального вектора прямої.

Рішення.

Від рівняння прямої у відрізках дуже легко перейти до загального рівняння прямої: . Отже, нормальний вектор цієї прямої має координати .

Відповідь:

Якщо пряму визначає канонічне рівняння прямої на площині виду або параметричні рівняння прямої на площині виду то координати нормального вектора отримати трохи складніше. З цих рівнянь відразу видно координати напрямного вектора прямої -. Знайти координати нормального вектора цієї прямої дозволяє і .

Також можна отримати координати нормального вектора прямої, якщо привести канонічне рівняння прямої або параметри рівняння прямої до загального рівняння. Для цього виробляють такі перетворення:

Як спосіб віддати перевагу - вирішувати Вам.

Покажемо рішення прикладів.

приклад.

Знайдіть якийсь нормальний вектор прямий .

Рішення.

Напрямний вектор прямий є вектор. Нормальний вектор прямий перпендикулярний вектору , тоді і дорівнює нулю: . З цієї рівності, надавши n x довільне ненульове дійсне значення, знайдемо n y . Нехай n x =1 тоді Отже, нормальний вектор вихідної прямої має координати .

Другий спосіб вирішення.

Перейдемо від канонічного рівняння до загального рівняння: . Тепер стали видно координати нормального вектора цієї прямої.

Відповідь:

Прямі на площині.

Загальне рівняння прямої.

Перш ніж вводити загальне рівняння прямої на площині, введемо загальне визначення лінії.

Визначення. Рівняння виду

F (x ,y) = 0 (1)

називається рівнянням лінії Lу заданій системі координат, якщо цьому задовольняють координати хі убудь-якої точки, що лежить на лінії L, і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на цій лінії.

Ступінь рівняння (1) визначає порядок лінії. Говоритимемо, що рівняння (1) визначає (задає) лінію L.

Визначення. Рівняння виду

Ах + Ву + С = 0 (2)

при довільних коефіцієнтах А, В, З (Аі Водночасно не дорівнюють нулю) визначають деяку пряму в прямокутній системі координат. Це рівняння називається загальним рівнянням прямої.

Рівняння (2) є рівняння першого ступеня, таким чином кожна пряма є лінія першого порядку і, назад, кожна лінія першого порядку є пряма.

Розглянемо три окремі випадки, коли рівняння (2) є неповним, тобто. якийсь із коефіцієнтів дорівнює нулю.

1) Якщо З=0, то рівняння має вигляд Ах + Ву = 0і визначає пряму, яка проходить через початок координат, т.к. координати (0,0) задовольняють даному рівнянню.

2) Якщо В=0 (А≠0), то рівняння має вигляд Ах + С = 0і визначає пряму, паралельну до осі ординат. Дозволивши це рівняння щодо змінної хотримаємо рівняння виду х=а, де а=-З/А, а- Величина відрізка, який відсікає пряма на осі абсцис. Якщо а=0 (З=0 Оу(Рис.1а). Таким чином, пряма х = 0визначає вісь ординат.

3) Якщо А = 0 (В≠0), то рівняння має вигляд Ву+С=0і визначає пряму, паралельну осі абсцис. Дозволивши це рівняння щодо змінної уотримаємо рівняння виду у=b, де b =-С/В, b- Величина відрізка, який відсікає пряма на осі ординат. Якщо b =0 (З=0), то пряма збігається з віссю Ох(Рис.1б). Таким чином, пряма у=0визначає вісь абсцис.

а) б)

Рівняння прямої у відрізках.

Нехай дано рівняння Ах + Ву + С = 0за умови, що жоден з коефіцієнтів не дорівнює нулю. Перенесемо коефіцієнт Зу праву частину та розділимо на -Собидві частини.

Використовуючи позначення, введені в першому пункті, отримаємо рівняння прямої у відрізках»:

Воно має таку назву тому, що числа аі bє величинами відрізків, які відсікає пряма на осях координат.

Приклад 2х-3у+6=0. Скласти для цієї прямої рівняння «у відрізках» та побудувати цю пряму.

Рішення

Щоб збудувати цю пряму, відкладемо на осі Охвідрізок а=-3, а на осі Оувідрізок b =2. Через одержані точки проведемо пряму (рис.2).

Рівняння прямої із кутовим коефіцієнтом.

Нехай дано рівняння Ах + Ву + С = 0за умови, що коефіцієнт Вне дорівнює нулю. Виконаємо наступні перетворення

Рівняння (4), де k =-A /B, називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Визначення. Кутом нахилуданої прямийдо осі Охназвемо кут α , на який потрібно повернути вісь Ох, Щоб її позитивний напрямок збіглося з одним із напрямків прямий.

Тангенс кута нахилу прямої до осі Охдорівнює кутовому коефіцієнту, тобто k =tgα. Доведемо, що -А/Вдійсно одно k. З прямокутного трикутника ΔОАВ(рис.3) висловимо tgα,виконаємо необхідні перетворення та отримаємо:

Що і потрібно було довести.

Якщо k =0, то пряма паралельна осі Ох, і її рівняння має вигляд у=b.

Приклад. Пряма задана загальним рівнянням 4х+2у-2=0. Скласти для цієї прямої рівняння з кутовим коефіцієнтом.

Рішення. Виконаємо перетворення, аналогічні описаним вище, отримаємо:

де k=-2, b=1.

Рівняння прямої, що проходить через задану точку, з цим кутовим коефіцієнтом.

Нехай задана точка М 0 (х 0, у 0)прямий та її кутовий коефіцієнт k. Запишемо рівняння прямої у вигляді (4), де b-поки невідоме число. Оскільки точка М 0належить заданої прямої, її координати задовольняють рівнянню (4): . Підставляючи вираз для bв (4), отримуємо шукане рівняння прямої:

приклад.Записати рівняння прямої, що проходить через точку М(1,2) та під нахилом до осі Охпід кутом 45 0 .

Рішення. k =tgα =tg 45 0 = 1. Звідси: .

Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки.

Нехай дані дві точки М 1 (х 1, у 1)і М 2 (х 2, у 2). Запишемо рівняння прямої у вигляді (5), де kпоки що невідомий коефіцієнт:

Оскільки точка М 2належить заданої прямої, її координати задовольняють рівнянню (5): . Виражаючи звідси і підставивши його в рівняння (5), отримаємо шукане рівняння:

Якщо це рівняння можна переписати у вигляді, зручнішому для запам'ятовування:

приклад.Записати рівняння прямої, що проходить через точки М 1 (1,2) та М 2 (-2,3)

Рішення. . Використовуючи властивість пропорції і виконавши необхідні перетворення, отримаємо загальне рівняння прямої:

Кут між двома прямими

Розглянемо дві прямі l 1і l 2:

l 1: , , і

l 2: , ,

φ-кут між ними (). З рис.4 видно: .

Звідси, або

l 2 паралельні, то φ=0 і tgφ =0. з формули (7) випливає, що , звідки k 2 =k 1. Таким чином, умовою паралельності двох прямих є рівність їх кутових коефіцієнтів.

Якщо прямі l 1і l 2перпендикулярні, то φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 .. Таким чином, умова перпендикулярності двох прямих полягає в тому, що їх кутові коефіцієнти обернені за величиною та протилежні за знаком.

Лінійність рівняння прямої та зворотне затвердження.


Напрямний та нормальний вектори.

Нормальний вектор прямий- це будь-який ненульовий вектор, що лежить на будь-якій прямій перпендикулярній даній.

Напрямний вектор прямий- це будь-який ненульовий вектор, що лежить на даній прямій або паралельній їй прямій.