Řešení složitějšího systému nerovností. Nerovnosti. Typy nerovností. II. Opakování a upevnění materiálu

Co potřebujete vědět o Ikonách nerovnosti? Nerovnosti s odznakem více (> ), OR. méně (< ) Volala přísný. S ikonami více nebo rovnost (≥ ), menší nebo rovný (≤ ) Volala nebri. Ikona není roven (≠ ) Je to sídlo, ale je také neustále vyřešit příklady s takovým odznakem. A oholíme.)

Samotná ikona nemá zvláštní dopad na proces řešení. Ale na konci rozhodnutí, při výběru závěrečné odpovědi se projevuje význam ikony plná sílaDokázal se! Na příkladech uvidíme níže. Tam jsou vaše vtipy tam ...

Nerovnosti, stejně jako rovnost, existují věrní a nesprávné. Všechno je zde jednoduché, bez zaměření. Říci, 5. > 2 - Věrná nerovnost. Pět < 2 - Nesprávné.

Takové vzdělávání pro nerovnosti jakýkoliv druh A snadné hrůzy.) Potřebujete, jen správně provést dva (pouze dva!) Základní akce. Tyto akce jsou známé všem. Ale, to je charakteristická, hejna v těchto akcích - a existuje velká chyba při řešení nerovností, ano ... to bylo nutné opakovat tyto akce. Oni se nazývají tyto akce jako:

Identické transformace nerovností.

Identické transformace nerovností jsou velmi podobné identickým transformacím rovnic. Vlastně je to hlavní problém. Rozdíly urychlují kolem hlavy a ... přišli.) Proto budu tyto rozdíly vybudovat. První identická konverze nerovností:

1. Pro obě části nerovnosti lze přidat (odnést) stejné číslo nebo výraz. Žádný. Znamení nerovnosti se nezmění.

V praxi se toto pravidlo vztahuje jako převod členů z levé části nerovnosti vpravo (a naopak) se změnou znamení. Se změnou člena znamení, ne nerovnosti! Pravidlo, které člověk se shoduje s pravidlem pro rovnice. Následující totožné transformace v nerovnostech se významně liší od těch v rovnicích. Proto je zvýrazňuji v červené barvě:

2. Obě části nerovnosti mohou být vynásobeny (rozděleny) na stejnou věcpozitivní číslo. Na každémpozitivní Se nezmění.

3. Obě části nerovnosti mohou být vynásobeny (rozděleny)záporný číslo. Na každémzáporný číslo. Znamení nerovnostizměnit na opak.

Pamatujete si (doufám, že ...), že rovnice může být vynásobena / rozdělena do toho, co padl. A libovolné číslo a výraz s XA. Pokud není jen pro nulu. Je to rovnice, od něj není horká, ani studená.) Nemění se. Ale nerovnosti jsou citlivější na násobení / divize.

Vizuální příklad pro dlouhou paměť. Píšeme nerovnost, která nezpůsobuje pochybnosti:

5 > 2

Vynásobte obě části +3, Dostaneme:

15 > 6

Jsou nějaké námitky? Neexistují žádné námitky.) A pokud vynásobíte obě části počáteční nerovnosti -3, Dostaneme:

15 > -6

A to je již frank lež.) Plné lži! Projektování lidí! Ale stojí za to změnit znamení nerovnosti vůči opaku, jak se všechno stane na svém místě:

15 < -6

O lži a podvodu - nemám jen přísahám tolik.) "Zapomněl jsem změnit znamení nerovnosti ..." - tohle je hlavní Chyba při řešení nerovností. Jedná se o maličkost a jednoduché pravidlo tolika lidí bolí! Kdo zapomněl ...), takže přísahám. Možná si budu pamatovat ...)

Zvláště pozorné upozornění, že nerovnost nemůže být vynásobena výrazem s XA. Respektujte pozornost!) A proč ne? Odpověď je jednoduchá. Neznáme znamení tohoto výrazu s XA. To může být pozitivní, negativní ... stalo se, že nevíte, jaké znamení nerovnosti dal po násobení. Změňte ji nebo ne? Neznámý. Samozřejmě se jedná o omezení (Zákaz násobení / rozdělení nerovnosti vůči výrazu s ICOM) může být obchvat. Pokud je to velmi nutné. To je však téma pro další lekce.

Zde jsou všechny identické transformace nerovností. Připomeňme znovu, že pracují Žádný nerovnosti. A teď můžete jít na konkrétní druhy.

Lineární nerovnosti. Řešení, příklady.

Lineární nerovnosti se nazývají nerovnosti, ve kterých X je v prvním stupni a není divize na X. Typ:

x + 3. > 5x-5.

Jak jsou takové nerovnosti vyřešeny? Jsou řešeny velmi jednoduché! Jmenovitě: S pomocí snížení nejvíce tlumené lineární nerovnosti přímo na odpověď. To je celé rozhodnutí. Hlavními body rozhodnutí budu přidělit. Vyhnout se hloupým chybám.)

Vyřešíme tuto nerovnost:

x + 3. > 5x-5.

Řešíme stejně jako lineární rovnici. S jediným rozdílem:

Pečlivě sledujte znamení nerovnosti!

Prvním krokem je nejčastější. S dutinami - vlevo, bez ICS - vpravo ... Toto je první identická transformace, jednoduchá a bezproblémová.) Pouze známky z přenosných členů nezapomeňte změnit.

Značka nerovnosti je zachována:

x-5x. > -5-3

Dáváme podobné.

Značka nerovnosti je zachována:

4x. > -8

Zbývá platnost poslední konverze identity: rozdělit obě části na -4.

Delima záporný číslo.

Znamení nerovnosti se změní na opak:

h. < 2

To je odpověď.

Tak jsou vyřešeny všechny lineární nerovnosti.

Pozornost! Bod 2 je nakreslen bílým, tj. Zvýšení. Prázdný uvnitř. To znamená, že nezadá odpověď! Speciálně jsem ho namaloval. Takový bod (prázdný, ne zdravý!)) V matematice se nazývá Čištění bodu.

Zbývající čísla na ose lze zaznamenat, ale bez nutnosti. Outsidery, kteří nesouvisí s naší nerovností, mohou být zmateni, ano ... Stačí si pamatovat, že zvýšení čísel jde podél šipky, tj. Čísla 3, 4, 5 atd. jsou umístěny doprava Twos a čísla 1, 0, -1 atd. - vlevo, odjet.

Nerovnost X. < 2 - přísné. X je přísně menší než dva. Pokud existují pochybnosti, kontrola je jednoduchá. Nahrazujeme pochybné číslo do nerovnosti a odrážíme: "Dva méně než dva? Ne, samozřejmě!" Přesně tak. Nerovnost 2. < 2 neplatný. Dvojitý není vhodný.

A jedna věc je vhodná? Tak určitě. Méně ... a nula je vhodný, a -17 a 0,34 ... ano, všechna čísla, která jsou menší než dvě, jsou vhodná! A Dokonce i 1,9999 .... alespoň trochu, ano méně!

Takže všimneme všechna tato čísla na numerické ose. Jak? Existují možnosti. Možnost první - líhnutí. Nosíme myši na výkres (nebo se dotkněte obrázku na tabletu) a vidíme, že oblast všech ICS vhodný pod podmínkou X je zastíněna < 2 . To je vše.

Druhá možnost bude zvážit ve druhém příkladu:

h. ≥ -0,5

Nakreslíme osu, poznamenejte si číslo -0.5. Takhle:

Všiml si rozdíl?) No, ano, je těžké si všimnout ... Tento bod je černý! Maloval. To znamená, že -0.5 v odpověď. Mimochodem, zkontrolovat a zmást někoho. Nahrazujeme:

-0,5 ≥ -0,5

Jak to? -0,5 ne více -0,5! A je zde více ikon ...

Nic špatného. V non-přísné nerovnosti je vše vhodné pro ikonu. A stejně Je to dobré, I. více Je vhodný. V důsledku toho, -0,5 v reakci je zahrnuta.

Tak, -0.5 Zaznamenali jsme se na ose, bylo ještě všiml všechna čísla, která jsou více -0,5. Tentokrát oslavuji oblast vhodných hodnot ICS louka (ze slova oblouk), ne líhnutí. Přinášíme kurzor na výkres a vidíme tuto handcap.

Neexistuje žádný zvláštní rozdíl mezi vylíhnutím a zbraněmi. Udělejte to, jak učitel řekl. Pokud neexistuje žádný učitel - nakreslete rukojeť. Ve složitějších úkolech je šrafování méně vizuální. Můžete se zmocnit.

Jsou kresleny lineární nerovnosti na ose. Přejděte k dalšímu rysu nerovností.

Záznam odpovědi za nerovnosti.

V rovnicích bylo dobré.) Nalezeno x a zaznamenali odpověď, například: x \u003d 3. V nerovnostech existují dva formy záznamů odpovědí. Jeden - ve formě konečné nerovnosti. Dobré pro běžné případy. Například:

h.< 2.

To je plná odpověď.

Někdy je nutné psát stejnou věc, ale v jiné formě, přes numerické mezery. Nahrávka začne vypadat velmi vědecky):

x ∈ (-∞; 2)

Pod ikonou ∈ Skrývá slovo "patří".

Nahrávání je číst takto: x patří do mezery z mínus nekonečno do dvou neobsahuje. Je logické. X může být libovolný počet všech možných čísel z mínus nekonečna na dva. Dva IX nemohou být, že říkáme slovo "neobsahuje".

A kde se to zdá "neobsahuje"? Tato skutečnost je zaznamenána v reakci. kolo držák ihned po dvou. Pokud dvakrát zapnutý, držáku by byl náměstí. Tady je:]. V následujícím příkladu je taková ortéza použita.

Píšeme odpověď: x ≥ -0,5 prostřednictvím intervalů:

x ∈ [-0.5; + ∞)

Čtení: x je mezera z mínus 0,5, počítaje v to, plus nekonečno.

Infinity se nikdy nemůže zapnout. Toto není číslo, toto je symbol. Proto v těchto záznamech, nekonečno je vždy přilehlé k kulatému držáku.

Tato forma záznamu je vhodná pro složité odpovědi sestávající z několika intervalů. Ale - přesně pro konečné odpovědi. V průběhu prozatímních výsledků, kde se očekává další rozhodnutí, je lepší použít obvyklou formu ve formě jednoduché nerovnosti. Chápeme to v příslušných tématech.

Populární úkoly s nerovností.

Samy o sobě jsou lineární nerovnosti jednoduché. Proto jsou často komplikované úkoly. Tak to bylo nutné myslet. To, je-li s nezvyklým, není příliš pěkný.) Ale užitečné. Ukážu příklady těchto úkolů. Ne tak, abyste je naučili, je nadbytečný. A aby se nemají bát, když se schůzka s podobnými příklady. Jen myslet - a všechno je jednoduché!)

1. Najít všechna řešení inovace 3x - 3< 0

Pokud to není příliš jasné, co dělat, pamatovat hlavní pravidlo matematiky:

Nevíte, co potřebujete - do toho, co můžete!)

h. < 1

No a co? Nic zvláštního. Co jsme se zeptali? Jsme požádáni o nalezení dvou specifických čísel, která jsou řešení nerovnosti. Ty. Vhodný. Dva Žádný čísla. Vlastně je zmatená.) Pár 0 a 0,5 FIT. Pár -3 a -8. Ano, tyto páry jsou nekonečná sada! Jaká je správná odpověď?!

Odpovídám: všechno! Nějaká párová čísla, z nichž každá je menší než jedna, bude to správná odpověď. Napište, co chcete. Jít dál.

2. Vyřešte nerovnost:

4 - 3. ≠ 0

Úkoly v tomto formuláři jsou vzácné. Ale jako pomocné nerovnosti, když je OTZ, například, nebo když je nalezena funkce určování funkce, je rychle kolem. Taková lineární nerovnost může být vyřešena jako běžná lineární rovnice. Pouze všude, kromě znamení "\u003d" ( stejně) Dejte znak " ≠ " (není roven). Takže odpovědět a přijít, s náznakem nerovnosti:

h. ≠ 0,75

Ve více komplexní příkladyJe lepší udělat jinak. Učinit rovnost z nerovnosti. Takhle:

4 - 3. = 0

Tiše ho vyřešte, jak učil a získejte odpověď:

x \u003d 0,75.

Hlavní věc na samém konci, při nahrávání poslední odpovědi nezapomeňte, že jsme našli X, který dává rovnost. A potřebujeme - nerovnost. To se stalo, toto X není prostě potřeba.) A musíte ji napsat správnou ikonu:

h. ≠ 0,75

S tímto přístupem se získají méně chyb. Ti, kteří vyřeší rovnice na stroji. A ti, kteří nevyřeší rovnice, nerovnost, vlastně, pro nic ...) Další příklad populárního úkolu:

3. Najděte nejmenší celé řešení nerovnosti:

3 (x - 1) < 5x + 9.

Nejprve jednoduše řešíme nerovnost. Řezáme závorky, přenos, přinést podobné ... Dostaneme:

h. > - 6

Ne tak stalo!? A následuje znaky!? A za značkami členů a za značkou nerovnosti ...

Znovu si myslíme. Musíme najít konkrétní číslo, vhodné a řízené a pod podmínkou "Nejmenší celé číslo."Pokud to okamžitě nespadne, můžete jednoduše vzít libovolné číslo a odhad. Dva další mínus šest? Tak určitě! Existuje vhodné číslo menší? Samozřejmě. Například nula více -6. A ještě méně? Jsme nejmenší z možného! Mínus tři více mínus šest! Už můžete chytit vzor a zastavit hloupě třídění čísla, že?)

Vezměte číslo blíže k -6. Například -5. Odpověď je provedena, -5 > - 6. Můžete najít jiné číslo, méně -5, ale více -6? Můžete, například -5.5 ... zastávka! Je nám řečeno celýrozhodnutí! Nenechte se roll -5.5! A mínus šest? UH-UH! Nerovnost striktní, mínus 6 ne méně mínus 6!

Stala se správnou odpovědí: -5.

Doufám s výběrem hodnoty obecné řešení vše jasné. Další příklad:

4. Řešení nerovnosti:

7 < 3x + 1. < 13

V tom, jak! Tento výraz se nazývá trojnásobná nerovnost. Přísně řečeno, toto je zkrácený vstup systému nerovnosti. Ale je stále možné vyřešit takové trojité nerovnosti v některých úkolech ... je vyřešen bez jakýchkoliv systémů. Podle stejných transformací identity.

Je nutné zjednodušit, přinést tuto nerovnost k čistému ICA. Ale ... co nést!? Zde je čas na paměti, že převod vpravo dole, to je zkrácená forma první konverze identity.

ALE plný tvar Zní to jako: K obě části rovnice (nerovnost) můžete přidat / odnést libovolné číslo nebo výraz.

Zde jsou tři části. Takže použijeme identické transformace na všechny tři části!

Tak se zbavit jednoho ve střední části nerovnosti. Vzali jsme se od celé střední části. Takže nerovnost se nezmění, odnáší jednotku a ze zbývajících dvou částí. Takhle:

7 -1< 3x + 1-1 < 13-1

6 < 3x. < 12

Již lepší, že?) Zůstává rozdělit všechny tři části pro první tři:

2 < h. < 4

To je vše. To je odpověď. X může libovolné číslo z dvojic (ne, včetně) ke čtvrtému (ne včetně). Tato odpověď je také zaznamenána prostřednictvím intervalů, tyto záznamy budou v čtvercových nerovnostech. Tam jsou nejběžnější věc.

Na konci lekce opakuji nejdůležitější věc. Úspěch při řešení lineárních nerovností závisí na schopnosti převést a zjednodušit lineární rovnice. Pokud zároveň sledujte znamení nerovnosti Nebudou žádné problémy. Co vám přeji. Nedostatek problémů.)

Pokud se vám líbí tato stránka ...

Mimochodem, mám pro vás další pár zajímavých míst.)

To lze přistupovat k řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitou kontrolou. Naučte se - se zájmem!)

Můžete se seznámit s vlastnostmi a deriváty.

Například nerovnost je výraz (x\u003e 5).

Typy nerovností:

Pokud (a) a (b) jsou čísla nebo, pak se nazývá nerovnost numeric.. Ve skutečnosti je to jen srovnání dvou čísel. Takové nerovnosti jsou rozděleny do loajální a nesprávný.

Například:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

(17 + 3 geq 115) je nesprávná numerická nerovnost, protože \\ (17 + 3 \u003d 20) a (20) méně (115) (a ne více než nebo rovno).

Pokud (a) a (b) jsou výrazy obsahující proměnnou, pak máme nerovnost s proměnnou. Takové nerovnosti jsou rozděleny typy v závislosti na obsahu:

(2x + 1 geq4 (5-x) \\ t				Proměnná pouze v prvním stupni
(3x ^ 2-x + 5\u003e 0)				Existuje proměnná do druhého stupně (čtverec), ale neexistují starší stupně (třetí, čtvrtý atd.)
(log_ (4) ((x + 1))<3\)
(2 ^ (x) leq8 ^ (5x-2) \\) \\ t

... atd.

Jaké je řešení nerovnosti?

Pokud v nerovnosti namísto proměnné nahradit libovolné číslo, pak se změní na číselnou.

Pokud tato hodnota pro IKS transformuje původní nerovnost, je správná číslice, pak se nazývá rozhodnutím nerovnosti. Pokud ne - tato hodnota není řešení. A to vyřešit nerovnost - Je nutné najít všechna jeho řešení (nebo ukázat, že nejsou).

Například, Pokud jsme v lineární nerovnosti (x + 6\u003e 10), nahrazujeme místo čísla (7) - správnou numerickou nerovnost: (13\u003e 10). A pokud nahradíme (2), bude existovat nesprávná numerická nerovnost (8\u003e 10). To znamená, (7) je řešení počáteční nerovnosti a (2) není.

Nicméně, nerovnost (x + 6\u003e 10) má další řešení. Opravdu dostaneme věrné numerické nerovnosti při substituci a (5), a (12), a (138) ... a jak najdeme všechna možná řešení? Chcete-li to udělat, použijte pro náš případ:

(x + 6\u003e 10) (| -6) \\ t
(x\u003e 4)

To znamená, že budeme vyhovovat libovolnému číslu více než čtyři. Nyní potřebujete zaznamenat odpověď. Řešení nerovností zpravidla zaznamenávají numerické, navíc je zaznamenávají na numerické ose šrafování. Pro náš případ máme:

Odpovědět: (x v (4; + infty) \\ t

Kdy se znaménka změní nerovnost?

V nerovnosti je jedna velká past, ve kterém studenti milují "narazit:

Při násobení (nebo divize) nerovnosti pro záporné číslo, změny opačného ("více" na "méně", "více nebo rovno" na "méně nebo rovné" a tak dále)

Proč se tohle děje? Chcete-li to pochopit, podívejme se transformace numerické nerovnosti (3\u003e 1). Je to pravda, trojika je opravdu sjednocená. Nejprve se snaží zneplatit na jakékoli kladné číslo, například dva:

(3\u003e 1) (| cdot2)
\(6>2\)

Jak vidíte, po vynásobení, nerovnost zůstává pravdivá. A za jakékoli kladné číslo jsme násobeni - vždy dostaneme skutečnou nerovnost. Zkusme se násobit záporné čísloNapříklad Minus Troika:

(3\u003e 1) (| cdot (-3)) \\ t
\(-9>-3\)

Ukázalo se, že nesprávná nerovnost, protože mínus devět méně než mínus tři! To je, aby nerovnost byla věrná (a proto byla transformace násobení na negativu "legální"), musíte změnit srovnávací znamení, jako je tento: (- 9<− 3\).
S divizí se ukázalo podobně, můžete zkontrolovat sami.

Na výše uvedené pravidlo se vztahuje na všechny typy nerovností a ne jen numerické.

Příklad: Řešení nerovnosti (2 (x + 1) -1<7+8x\)
Rozhodnutí:

(2x + 2-1<7+8x\)	Přeneseme (8x) vlevo, a (2) a (- 1) vpravo, nezapomeňte na změnu značek
(2x-8x<7-2+1\)
(- 6x<6\) \(|:(-6)\)	Sdílíme obě části nerovnosti na (- 6), aniž bychom zapomněli na změnu "méně" na "více"
	Poznámka k ose číselné mezery. Nerovnost, takže hodnota (- 1) "roll out" a nebere v reakci
	Píšeme odpověď ve formě intervalu

Odpovědět: (x v (-1; \\ inty) \\ t

Nerovnosti a ...

Nerovnosti, stejně jako rovnice mohou mít omezení, to znamená, že hodnoty ICA. Tyto hodnoty, které jsou nepřijatelné OTZ, by tedy měly být vyloučeny z řešení.

Příklad: Řešení nerovnosti (SQRT (x + 1)<3\)

Rozhodnutí: Je jasné, že za účelem levé části je méně (3), exprese krmení by mělo být menší (9) (z důvodu (9) jen (3)). Dostaneme:

(x + 1<9\) \(|-1\)
\\ (X.<8\)

Všechno? Budeme vyhovovat jakémukoli významu ICA méně (8)? Ne! Protože pokud vezmeme například, zdá se, že hodnota je vhodná pro požadavek (- 5) - nebude řešení počáteční nerovnosti, protože nás zavede k výpočtu kořene z negativního číslo.

(SQRT (-5 + 1)<3\)
(Sqrt (-4)<3\)

Musíme proto ještě vzít v úvahu omezení hodnot ICA - nemůže být taková, že pod kořenem byl negativní číslo. Máme tedy druhý požadavek pro X:

(X + 1 geq0)
(X geq-1)

A tak, aby X je konečným rozhodnutím, mělo by okamžitě uspokojit obě požadavky: musí být méně (8) (být řešení) a více (- 1) (v zásadě přípustné). Žádost o numerickou osu máme konečnou odpověď:

Odpovědět: (vlevo [-1; 8 vpravo) \\ t

Mezi rozmanitost logaritmických nerovností jsou samostatně studovány nerovnosti s variabilní bází. Oni jsou vyřešeni speciálním vzorcem, který z nějakého důvodu zřídka hovořil s školou:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (k (x) - 1) ∨ 0

Místo Daw "∨", můžete dát jakékoli znamení nerovnosti: víceméně. Hlavní věc je, že v obou nerovnostech byly známky stejné.

Takže se zbavíme logaritmů a snížením úkolu racionální nerovnosti. Ten se rozhoduje mnohem snazší, ale při vyřazení logaritmů se mohou vyskytnout další kořeny. Chcete-li odříznout, stačí najít oblast přípustných hodnot. Pokud zapomenete Otz Logarithm, důrazně doporučuji opakovat - viz "Co je logaritmus".

Vše, co je spojeno s oblastmi přípustných hodnot, musí být zapsány samostatně:

f (x)\u003e 0; g (x)\u003e 0; k (x)\u003e 0; k (x) ≠ 1.

Tyto čtyři nerovnosti tvoří systém a musí být prováděny současně. Když byla zjištěna oblast přípustných hodnot, zůstane překročena s řešením racionální nerovnosti - a odpověď je připravena.

Úkol. Řešení nerovnosti:

Chcete-li začít, pijte Otz Logarithm:

První dvě nerovnosti se provádějí automaticky a tato bude muset být natřena. Vzhledem k tomu, čtverec čísla je nula, pokud a pouze v případě, že samotný počet je nula, máme:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Ukazuje se, že lichý logaritmus je všechna čísla, s výjimkou nuly: x ∈ (-∞ 0) ∪ (0; + ∞). Nyní řešíme hlavní nerovnost:

Provádíme přechod z logaritmické nerovnosti k racionálnímu. V počáteční nerovnost je "méně" znamení, to znamená, že získaná nerovnost by měla být také s "méně" znaménkem. My máme:

(10 - (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x 2) · x 2< 0;
(3 - x) · (3 + x) · x 2< 0.

ZEROS tohoto výrazu: x \u003d 3; X \u003d -3; X \u003d 0. Navíc X \u003d 0 je kořen druhé multiplicity, to znamená, že funkce se přes něj nezmění při přechodu. My máme:

Dostáváme x ∈ (-∞ -3) ∪ (3; + ∞). Tato sada je plně obsažena v Otz Logaritmm, pak je to odpověď.

Transformace logaritmických nerovností

Často se počáteční nerovnost liší od výše uvedeného. Snadno je správné podle standardních pravidel práce s logaritmy - viz "Hlavní vlastnosti logaritmů". A to:

1. Jakékoliv číslo je ideický jako logaritmus s danou základnou;
2. Součet a rozdíl mezi logaritmy se stejnými bázemi mohou být nahrazeny jedním logaritmem.

Samostatně, chci připomenout na oblast přípustných hodnot. Vzhledem k tomu, že v počáteční nerovnosti může být několik logaritmů, je nutné najít Otz každý z nich. Celkové schéma pro řešení logaritmických nerovností je tedy následující: \\ t

1. Najít OTz každého logaritmu zahrnuta v nerovnost;
2. Snižte nerovnost standardu vzorců a odečtením logaritmů;
3. Vyřešte výslednou nerovnost podle výše uvedeného schématu.

Úkol. Řešení nerovnosti:

Definiční oblast (OTZ) z prvního logaritmu najdeme:

Řešíme metodu intervalu. Najdeme nulové numatelátory:

3x - 2 \u003d 0;
x \u003d 2/3.

Pak - nuly jmenovatele:

x - 1 \u003d 0;
x \u003d 1.

Oslavujeme nuly a značky na šipkách souřadnic:

Dostáváme x ∈ (-∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). Druhý logaritmus OTZ bude stejný. Nevěřte - můžete zkontrolovat. Nyní transformujeme druhý logaritmus tak, že dvakrát stojící na základně:

Jak vidíte, nejlepší tři a před logaritmem se snížily. Dostal dva logaritmus se stejnou základnou. Skládáme je:

log 2 (X - 1) 2< 2;
Log 2 (X - 1) 2< log 2 2 2 .

Přijal standardní logaritmickou nerovnost. Zbavte se logaritmů podle vzorce. Vzhledem k tomu, že v počáteční nerovnost je "méně" znamení, výsledný racionální výraz by měl být také menší než nula. My máme:

(F (x) - g (x)) · (k (x) - 1)< 0;
((X - 1) 2 - 2 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Přijaté dvě soubory:

1. OTZ: x ∈ (-∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
2. Kandidát: X ∈ (-1; 3).

Zůstane překračovat tyto sady - dostaneme skutečnou odpověď:

Máme zájem o křižovatku sad, takže si vybereme intervaly namalované na obou šipkách. Dostáváme x ∈ (-1; 2/3) ∪ (1; 3) - všechny body obyvatelstva.

Účelem lekce: Zvažte řešení složitějších nerovností.

Během tříd

I. Témata a cíle lekce.

II. Opakování a upevnění materiálu prošel.

1. Odpovědi na otázky na domácí úkoly (analýza nevyřešených úkolů).

2. Řízení zvládnutí materiálu (test).

III. Studovat nový materiál.

Řešení složitých nerovností s přítomností modulů nebo parametrů v nich.

Nechte mě nerovnost | X - 1 | < 3.

Za prvé, budu vyřešit tuto nerovnost analyticky, zvažovat dvě případy:

a) Pokud x - 1\u003e 0, tj. X\u003e 1, pak | X - 1 | \u003d X - 1 a nerovnost má zobrazení x - 1< 3. Решение этого неравенства х < 4. Учитывая условие х > 1, dostáváme řešení v tomto případě 1< х < 4 или х [ 1; 4).

b) Pokud x - 1< 0, т. е. х < 1, то |x – 1| = – (х – 1) = 1 – х и неравенство имеет вид 1 – х < 3. Решение этого неравенства -2 < х. Учитывая условие х < 1, получаем в этом случае решение -2 <х < 1 или х (-2; 1).

Nacházíme kombinaci přijatých řešení.

Vzhledem k tomu, že vstup odpovědi je v úlohách s parametry velmi důležité (odpověď je zaznamenána v pořadí zvýšení parametru), poskytneme kompletní odpověď:

S.< 1 х [ а + 1; +); при а = 1 х (-; + ); при а > 1 x (-; a + 1].

Zvažte lineární nerovnosti se dvěma proměnnými. Tyto úkoly jsou zpravidla sníženy na obraz sady bodů, jejichž souřadnic splňuje nerovnost na souřadnicové rovině.

Na souřadnicová rovina Ukážu soubor bodů, jejichž souřadnice splňují nerovnost Y-2\u003e X-3.

Tuto nerovnost píšeme ve formě Y\u003e X-1. Za prvé, budujeme graf lineární funkce Y \u003d X-1 (přímka). Tato linka sdílí všechny body souřadnicového letadla do bodů umístěných na tomto přímém přímém a body umístěných pod touto přímkou. Zkontrolujte, které body splňují tuto nerovnost.

Z prvního regionu bereme například kontrolní bod a (0; 0) - začátek souřadnic. Je snadné ověřit, že pak se provádí nerovnost Y\u003e -1. Z druhé oblasti zvolíme například kontrolní bod v (1; -1). Pro takový bod není prováděna nerovnost Y\u003e X-1. V důsledku toho je tato nerovnost splněna s výše uvedenými body a rovnou Y \u003d X-1 (tj. Body podobné bodu A). Tyto body jsou stínované.

Za jakých hodnot parametru a rovnice AH 2 + X - 1 \u003d 0 nemá řešení?

Vzhledem k tomu, že starší koeficient rovnice závisí na parametru A, je nutné zvážit dvě případy.

a) Pokud je 0, pak AH 2 + X - 1 \u003d 0 je čtvercová. Taková rovnice nemá žádné řešení, pokud jeho diskriminační D< 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

b) Je-li A \u003d 0, pak je rovnice AH 2 + X - 1 \u003d 0 lineární a má formu X - 1 \u003d 0. Je zřejmé, že rovnice má jeden roztok x \u003d 1.

Tak, s (-; -) tato rovnice Řešení nemá č.

Nechte mě nerovnost | X - 1 | + x 2 + 2 x + 1< 0.

Píšeme nerovnost ve formuláři | X - 1 | + (x + 1) 2< 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а 2 < 0. Так как |a| > 0 a 2\u003e 0 pro všechny hodnoty A, pak součet

| A | + A 2\u003e 0 pro všechny, ale. Proto nerovnost, | a | + A 2.< 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем линейное уравнение х + 1 = 0, решение которого х = – 1. Итак, решение данного неравенства х = – 1.

Existuje podobný typ nerovnosti se dvěma proměnnými.

Souřadnická rovina ukáže různé body, jejichž souřadnice splňují nerovnost Y-1< х 2 .

Píšeme nerovnost ve formě Y< х 2 + 1 и построим параболу y = х 2 + 1 (этот график получается смещением графика y = х 2 на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

IV. Úkol na lekci a doma.

1. Analyticky řešit nerovnost:

2. Pro všechny hodnoty a vyřešení nerovnosti:

3. Na jaké hodnoty parametru a rovnice

a) 3x 2 - 2x + a \u003d 0 nemá kořeny;
b) 2x 2 - 3x + 5A \u003d 0 má dva různé kořeny;
c) 3ACH 2 - 4x + 1 \u003d 0 má dva různé kořeny;
d) AH 2 - 3x + 2 \u003d 0 má alespoň jeden kořen.

4. Analyticky se rozhodněte (a pokud je to možné, pak graficky) nerovnosti:

V článku zvážit rozhodnutí nerovností. Řekneme vám o tom jak vytvořit nerovnosti, O srozumitelných příkladech!

Před ohledem na řešení nerovností v příkladech se budeme zabývat základními pojmy.

Společné informace o nerovnostech

Nerovnost To se nazývá výraz, ve kterém jsou funkce spojeny znaky vztahu\u003e. Nerovnosti jsou číselné i abecedy.
Nerovnosti se dvěma známkami vztahů se nazývá dvojnásobná, se třemi trojdílnými atd. Například:
a (x)\u003e b (x),
a (x) a (x) b (x),
a (x) b (x).
A (x) nerovnosti obsahující znamení\u003e nebo nebo - ne-strategické.
Rozhodnutím nerovnosti Je to nějaká hodnota změny, ve které bude tato nerovnost správná.
"Vyřešit nerovnost"znamená, že potřebujete najít mnoho všech jeho řešení. Existují různé metody řešení nerovnosti. Pro Řešení nerovnosti Užijte si numerickou rovnou, což je nekonečné. Například, rozhodnutím nerovnosti X\u003e 3 Existuje mezera 3 až + a číslo 3 není součástí této mezery, takže bod roviny je indikován prázdným kruhem, protože Nerovnosti přísné.
+
Odpověď bude následovně: x (3; +).
Hodnota X \u003d 3 není zahrnuta v mnoha řešeních, takže držák je kulatý. Infinity znamení je vždy zvýrazněno kulatým držákem. Znaménko znamená "vlastněný".
Zvažte, jak řešit nerovnosti v jiném příkladu se znakem:
X 2.
-+
Hodnota X \u003d 2 vstupuje do mnoha řešení, takže držák je čtverec a bod roviny je indikován kruhem.
Odpověď bude následující: x)