A statisztikák normál eloszlása. Normál eloszlás és paraméterei. Egydimenziós normál eloszlás diagramja

A normál eloszlás a leggyakoribb eloszlás típusa. Meg kell találkoznia vele, amikor elemzi a mérési hibákat, az irányítást technológiai folyamatok és módok, valamint különböző jelenségek elemzése és előrejelzése biológia , gyógyszer és a tudás egyéb területei.

A "normál eloszlás" kifejezést a feltételes értelemben alkalmazzák, amint azt a szakirodalomban általában elfogadják, bár nem teljesen sikeres. Tehát az állítás, hogy a jelek, hogy a normál elosztási törvény hatálya alá tartozik, egyáltalán nem jelenti azt, hogy a jelenség alapjául szolgáló nemkívánatos normák jelenléte, amelynek tükrözi a jelét, és más forgalmazási törvények alárendeltsége nem jelent ez a jelenség rendellenességét.

A normál eloszlás fő jellemzője az, hogy ez az a határ, amelyre más eloszlások közelednek. Normál eloszlás az első alkalommal nyíltan Moavrome 1733-ban. Csak a folyamatos véletlen változók normál jognak vannak kitéve. A normál elosztási törvény sűrűsége megtekinthető.

A normál elosztási törvény matematikai várakozása egyenlő. A diszperzió egyenlő.

A normál eloszlás fő tulajdonságai.

1. Az elosztási sűrűség funkció a teljes numerikus tengelyen van meghatározva Oh , vagyis minden érték h. megfelel egy teljesen meghatározott funkciónak.

2. Minden érték esetében h. (mind pozitív, mind negatív) A sűrűségfüggvény pozitív értékeket vesz igénybe, azaz a normál görbe a tengely felett helyezkedik el Oh .

3. A sűrűségfüggvény korlátlan növekedésével korlátozott h. nulla .

4. A normál eloszlás sűrűsége a ponton maximum .

5. A sűrűség funkció grafikonja szimmetrikus a közvetlen.

6. Az elosztási görbe két pontot tartalmaz a koordinátákkal és .

7. A divat és a medián normál eloszlás egybeesik a matematikai elvárásokkal de .

8. A normál görbe formája nem változik, ha a paraméter megváltozik de .

9. Fókusz aszimmetria és túlzott A normál eloszlás nulla.

Nyilvánvaló, hogy ezeknek az együtthatóknak az empirikus elosztási sorozat kiszámításának fontosságát jelentik, mivel ezek a sorozat bekerülése és a sorozat keringése a normálhoz képest.

Az intervallum kapcsolatfelvételének valószínűsége a képleten van hol Páratlan táblázatos funkció.

Meghatározzuk annak valószínűségét, amely általában elosztott véletlenszerű érték eltér a matematikai elvárásaitól a nagyságrend szerint, vagyis megtaláljuk az egyenlőtlenség valószínűségét , vagy a kettős egyenlőtlenség valószínűsége. Helyettesítjük a képletben, kapunk

A véletlen változó eltérése kifejezése H. Az átlagos kvadratikus eltérés részvényeiben, azaz az utolsó egyenlőségbe helyezésre kerülünk.

Akkor kapsz

amikor kapunk

amikor kapunk.

Az utolsó egyenlőtlenségből következik, hogy egy normálisan elosztott véletlen változó gyakorlatilag szétszóródása a helyszínen zárul. A véletlenszerű fajta valószínűsége, hogy a véletlenszerű fajta nem esik bele ezen a területen, nagyon kicsi, nevezetesen 0,0027, vagyis ez az esemény csak három esetben fordulhat elő 1000-ből. Az ilyen események szinte lehetetlennek tekinthetők. Az érvek alapján treja uralom Sigmamely a következőképpen alakul ki: ha egy véletlenszerű érték normális eloszlással rendelkezik, akkor az érték eltérése az abszolút értékű matematikai várakozásból nem haladja meg a hármas közepes négyzetes eltérést.

28. példa. Az automatikusan készített rész alkalmasnak tekinthető, ha az ellenőrzött méretének eltérése a projektből nem haladja meg a 10 mm-t. Random eltérései az ellenőrzött méretet a projekt vannak alárendelve a normális eloszlás törvény átlagos négyzetes eltérése MM és a matematikai elvárás. A megfelelő részek hány százaléka teszi a gépet?

Döntés. Véletlen összeget kell figyelembe venni H. - A projekt méretének eltérése. Az elemet megfelelőnek kell tekinteni, ha a véletlen érték az intervallumhoz tartozik. A megfelelő rész gyártásának valószínűsége a képlet által talál . Következésképpen az Automatt által megfelelő alkatrészek százalékos aránya 95,44%.

Binomiális eloszlás

Binomial a megjelenés valószínűségeinek eloszlása m. Eseményszámok B. p független vizsgálatok, amelyek mindegyikében az esemény megjelenésének valószínűsége állandó és egyenlő r . A lehetséges események valószínűségét Bernoulli Formula számítja ki:

hol. Állandó p és R Ebben a kifejezésben szerepel a binomiális törvény paraméterei. A binomiális eloszlás leírja a diszkrét véletlen változó valószínűségeinek eloszlását.

A binomiális eloszlás fő numerikus jellemzői. A matematikai elvárások egyenlőek. Diszperzió egyenlő . Az aszimmetria és a túlzott mértékű együtthatók egyenlőek és . A tesztek számának korlátlan növekedésével DE és E. Ezért nullára keresnek, ezért feltételezhető, hogy a binomiális eloszlás normálisra konvergálja a tesztek számának növekedését.

29. példa. A független teszteket ugyanolyan valószínűséggel gyártják DE Minden tesztben. Keresse meg az események valószínűségét DE Egy tesztben, ha a megjelenések számának három tesztben történő diszperziója 0,63.

Döntés. A binomiális eloszláshoz . Az értékeket helyettesítjük Innen vagy Akkor és.

Poisson elosztás

A ritka jelenségek eloszlásának törvénye

Poisson elosztás Leírja az események számát m. amely ugyanabban az időszakokban történt, feltéve, hogy az események egymástól függetlenül fordulnak elő állandó átlagos intenzitással. A tesztek számával p Nagyszerű, és az események valószínűsége minden tesztben r Mala. Ezért a Poisson eloszlását ritka jelenségek törvényének vagy a legegyszerűbb áramlásnak nevezik. Poisson elosztási paraméter az események intenzitásának jellemző értéke p Tesztek. A Poisson eloszlásának képlete .

A Poisson elosztását jól leírták a biztosítási összegek évente fizetésére vonatkozó követelmények számával, a telefoncserére beérkezett hívások száma egy bizonyos idő alatt, az elemek meghibásodási hibáinak száma, a megbízhatóság, a hibás termékek száma és hamar.

A Poisson eloszlásának fő numerikus jellemzői. A matematikai elvárások megegyezik a diszperzióval és egyenlőek de . Azaz . Ez megkülönböztető tulajdonság Ez az eloszlás. Az aszimmetria és a túlzott mértékű együtthatók egyenlőek.

30. példa. A biztosítási összegek átlagos száma naponta kettő. Keresse meg annak valószínűségét, hogy öt napon belül meg kell fizetnie: 1) 6 biztosítási összeg; 2) kevesebb, mint hat összeg; 3) legalább hat. vagy exponenciálisterjesztés.

Ezt az eloszlást gyakran megfigyeljük a különböző eszközök szolgáltatásainak időzítésének tanulmányozásakor, az egyes elemek, a rendszer részei és a rendszer egészének problémamentes működésének időzítése során, amikor véletlenszerű intervallumokat vizsgálnak két egymást követő ritka megjelenése között események.

Az indikatív eloszlás sűrűségét a hívott paraméter határozza meg a hibák intenzitása. Ez a kifejezés egy adott alkalmazási területhez kapcsolódik - megbízhatósági elmélet.

Az indikatív eloszlás integrált funkciójának expressziója megtalálható a differenciálmű tulajdonságok használatával:

Az indikatív eloszlás, diszperzió, az átlagos négyzetes eltérés matematikai várakozása. Így ez az eloszlás szempontjából jellemző, hogy az átlagos négyzetes eltérés numerikusan egyenlő a matematikai várakozással. A paraméter bármely értékével az aszimmetria és a túlzott mértékű együtthatók állandó értékek.

31. példa. A TV átlagos üzemideje az első elutasításra 500 óra. Keresse meg annak a valószínűségét, hogy a mauditu címkézett televízió több mint 1000 óra elteltével fog működni.

Döntés. Mivel az első elutasítás előtti átlagos munkaidő 500, akkor . A kívánt valószínűség megtalálható a képlet által.

Meghatározás 1.

A $ x $ véletlenszerű mennyisége normális eloszlással rendelkezik (Gauss Distribution), ha az eloszlási sűrűségét a képlet határozza meg:

\\ [\\ varfi \\ lib (x \\ jobb) \u003d \\ frac (1) (1) (\\ SQRT (2 \\ pi) \\ sigma) e ^ (\\ frac (- ((xa)) ^ 2) (2 (\\ sigma) ^ 2))) \\ t

Itt $ aεr $ egy matematikai elvárás, és $ \\ sigma\u003e 0 $ másodlagos négyzetes eltérés.

A normál eloszlás sűrűsége.

Megmutatjuk, hogy ez a funkció valóban elosztási sűrűség. Ehhez ellenőrizze a következő állapotot:

Fontolgat integrál $ \\ int \\ limits ^ (+ \\ ferty) _ (- \\ ferty) (\\ frac (1) (\\ sqrt (2) \\ sigma) e ^ (\\ frac (- (xa)) ^ 2) ( 2 (\\ sigma) ^ 2)) DX) $.

Cseréljük: $ \\ frac (x-a) (\\ sigma) \u003d t, \\ x \u003d sigma t + a, \\ dx \u003d sigma dt $.

Mivel $ f \\ lent (t \\ jobb) \u003d e ^ (\\ frac (-t ^ 2) (2)) $ aktuális funkció, akkor

Az egyenlőség történik, ez azt jelenti, hogy a funkció $ \\ varfi bal (x \\ jobbra) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (2 \\ pi) \\ sigma) e ^ (\\ frac (- ((xa)) ^ 2) (2 (\\ sigma) ^ 2)) $ Valóban a véletlen változó eloszlásának sűrűsége.

Tekintsük a normál eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvényének néhány egyszerű tulajdonságait:

1. A normál eloszlás valószínűségi sűrűségének funkciójának grafikonja szimmetrikus a közvetlen $ x \u003d a $.
2. A $ \\ varphi \\ lib (x \\ jobb) $ (X \\ Jobb) $ eléri a $ X \u003d A $ -t és a $ \\ ls Varphi-t (a \\ pont) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (2 \\ pi) \\ sigma ) E ^ (\\ frac (- (aa)) ^ 2) (2 (\\ sigma) ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (\\ SQRT (2 \\ pi) \\ sigma) $
3. $ \\ Varphi \\ lib funkció (X \\ Jobb) $ csökken a $ x\u003e egy $ -t, és növekszik $ x
4. A $ \\ Varphi \\ Bal funkció (x \\ jobb) $ infekvési pont a $ x \u003d A + \\ sigma $ és $ x \u003d a- \\ sigma $.
5. A $ \\ Varphi \\ Bal funkció (X \\ Jobb) $ aszimptotikusan megközelíti a $ OX $ $ tengelyt $ X \\ pm \\ ferty $ -val.
6. A vázlatos grafikon a következő (1. ábra).

1. ábra. Ábra. 1. A normál eloszlás sűrűségének ütemezése

Ne feledje, hogy ha $ A \u003d 0 $, akkor a funkciógrafikon szimmetrikus a $ OY $ tengelyéhez képest. Következésképpen a funkció a $ \\ varfi bal (x \\ jobb) $ is.

A normál valószínűségi eloszlás funkciója.

A valószínűségi eloszlás funkció megkereséséhez normál eloszlás esetén a következő képletet használjuk:

Ennélfogva,

2. meghatározás.

A $ f (x) $ funkciót szabványos normál eloszlásnak nevezzük, ha $ a \u003d 0, \\ sigma \u003d 1 $, azaz:

Itt $ f jel (x \\ jobb) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (2 \\ pi)) \\ int \\ limits ^ x_0 (e ^ (\\ frac (-t ^ 2) (2)) DT) $ - Laplasses funkció.

3. meghatározás.

Funkció $ f \\ lib (x \\ jobb) \u003d \\ frac (1) (1) (\\ sqrt (2 \\ pi)) \\ int \\ limits ^ x_0 (e ^ (\\ frac (-t ^ 2) (2)) DT) $ az integrált valószínűségnek nevezik.

A normál eloszlás numerikus jellemzői.

Matematikai elvárás: $ m bal (x \\ jobb) \u003d egy $.

Diszperzió: $ d bal (x \\ jobb) \u003d (\\ sigma) ^ 2 $.

Az átlagos kvadratikus eloszlás: $ \\ sigma \\ lib (x \\ jobb) \u003d \\ sigma $.

1. példa.

Példa a probléma megoldására a normál eloszlás koncepcióján.

1. feladat.: A $ x $ elérési hossza véletlenszerű folyamatos nagyságrend. $ X $ megfelelően oszlik meg a normális eloszlás jog átlagos értéke, ami $ 4 $ 2 kilométeres, és az átlagos négyzetes eltérés $ 100 $ méter.

1. Keresse meg a $ x $ elosztási sűrűségének funkcióját.
2. Építsen vázlatos eloszlássűrűség ütemezését.
3. Keresse meg az X $ véletlenszerű változó eloszlásának funkcióját.
4. Találjon diszperziót.

1. Kezdje el, képzelje el az összes értéket egy dimenzióban: 100m \u003d 0,1km

Az 1. fogalommeghatározásból kapunk:

\\ [\\ varfi \\ lib (x \\ jobb) \u003d \\ frac (1) (0,1 \\ sqrt (2 \\ pi)) e ^ (\\ frac (- (((x-4)) ^ 2) (0,02)) \\]

($ A \u003d 4 / km, \\ Sigma \u003d 0,1 / km) $

1. Az ingatlan az eloszlás sűrűségfüggvénye, van, hogy a menetrend függvényében $ \\ varphi \\ left (x \\ right) $ szimmetrikus a közvetlen $ x \u003d $ 4.

A maximális funkció eléri a $ \\ maradék pontot (A, \\ frac (1) (\\ SQRT (2 \\ pi) \\ sigma) \\ jobbra) \u003d (4, \\ frac (1) (0,1 \\ sqrt (2 \\ pi)) ) $

A vázlatos grafika:

2. ábra.

1. Az elosztási funkció meghatározásával $ F \\ bal (x \\ jobb) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (2 \\ pi) \\ sigma) \\ int \\ limits ^ x _ (- \\ ferty) (e ^ (\\ frac ( - ((TA)) ^ 2) (2 (\\ sigma) ^ 2)) DT) $, mi:

\

1. $ D bal (x \\ jobbra) \u003d (\\ sigma) ^ 2 \u003d 0,01 $.

A cikk részletesen bemutatja, hogy mi a szokásos törvény a véletlenszerű eltérés megoszlásának és a gyakorlatilag feladatok használatának megoldása során.

A statisztikák normál eloszlása

A törvény története 300 évvel rendelkezik. Az első nyitó Abraham de Moavr lett, aki egy másik 1733-as közelítéssel jött létre. Sok év elteltével Karl Friedrich Gauss (1809) és Pierre Simon Laplace (1812) matematikai funkciókat hozott.

A Laplace csodálatos mintázatot is felfedezett és megfogalmazott központi limit tétel (TPT.), amely szerint az összeg nagyszámú A kis és független értékek normál eloszlással rendelkeznek.

A normál törvény nem egy rögzített egyenlet az egyik változó függőségétől a másiktól. Csak ennek a függőségnek a természetét rögzítik. Az eloszlás speciális formáját speciális paraméterek állapítják meg. Például, y \u003d ax + b - Ez a közvetlen egyenlet. Azonban, ahol pontosan áthalad, és milyen mértékben meghatározzák a paraméterek de és b.. Szintén normál eloszlás mellett. Nyilvánvaló, hogy ez egy olyan funkció, amely leírja a középpontban lévő magas értékek nagy koncentrációjának tendenciáját, de pontos formáját speciális paraméterek állítja be.

A Gauss normál eloszlásának görbéje a következő formában van.

A normál eloszlás diagramja hasonlít egy csengőre, így találkozhat a névvel harang alakú görbe. A grafikonnak van egy "hump" a középső és éles csökkenés a sűrűség a széleken. Ez a normál eloszlás lényege. Az a valószínűsége, hogy a véletlen érték közel lesz a központ közelében, sokkal magasabb, mint amilyennek a közepétől erősen eltér.

A fenti ábra két parcellát mutat a Gauss görbe alatt: kék és zöld. Bázisok, vagyis Intervallumok mindkét helyen egyenlőek. De észrevehetően különböző magasságok. A kék telek eltávolításra kerül a központból, és lényegesen alacsonyabb magasságú, mint a zöld, amely az eloszlás középpontjában található. Ezért vannak négyzetek is, akkor a kijelölt időközökbe való belépés valószínűségeit jelenti.

A normál eloszlás (sűrűség) képlete a következő.

A képlet két matematikai konstansból áll:

π - a PI 3,142 szám;

e. - a természetes logaritmus alapja 2,718;

két változó paraméter, amely meghatározza az adott görbe formáját:

m. - matematikai elvárások (in különböző források Más megnevezések használhatók például, µ vagy a.);

Σ 2. - diszperzió;

nos, maga a változó x.Amelyre a valószínűségi sűrűség kiszámítása.

A normál eloszlás konkrét formája 2 paramétertől függ: ( m.) és ( Σ 2.). Röviden kijelölt N (m, σ 2) vagy N (m, σ). Paraméter m. (Mathabin) meghatározza az elosztóközpontot, amely megfelel maximális magasság grafika. Diszperzió Σ 2. Ez jellemzi a változatváltozást, azaz az adatok "összecsukását".

A matematikai elvárások paramétere jobbra vagy balra néz, anélkül, hogy befolyásolná a sűrűséggörbe formáját.

De a diszperzió határozza meg a görbe polaritását. Ha az adatok kicsi szétszóródnak, akkor a teljes tömegük koncentrálódik a központba. Ha az adatok nagy szóródást tartalmaznak, széles körben "elkenőd".

Az elosztási sűrűség nem közvetlen praktikus alkalmazás. A valószínűségek kiszámításához integrálnia kell a sűrűség funkciót.

Annak a valószínűsége, hogy a véletlen érték kisebb lesz, mint valamilyen érték x.határozott a normál eloszlás funkciója:

A folyamatos eloszlás matematikai tulajdonságai segítségével könnyen kiszámítható más valószínűségeket, mivel

P (A ≤ x< b) = Ф(b) – Ф(a)

Szabványos normál eloszlás

A normál eloszlás az átlag és a diszperzió paramétereitől függ, ezért a tulajdonságai rosszul láthatóak. Jó lenne, ha van néhány olyan eloszlás, amely nem függ a skálától. És létezik. Hívott szabványos normál eloszlás. Valójában ez a szokásos normál normális eloszlás, csak a matematikai várakozás paramétereivel, és a diszperzió 1, n (0, 1) röviden írva.

Bármely normál eloszlás könnyen átalakítható a szabványnak az adagolással:

hol z. - az újonnan használt új változó x;
m. - várható érték;
σ - szórás.

A mintaadatok esetében az értékelés megtörténik:

Az új változó átlagos aritmetikai és diszperziója z. Ez most 0 és 1. Ez könnyen biztosítható az elemi algebrai transzformációk felhasználásával.

A cím megtalálható az irodalomban z-pontszám. Ez a legjelentősebb adat. Z-értékelés közvetlenül az elméleti valószínűségekhez képest, mert A skála egybeesik a referenciaértékkel.

Lássuk most, hogy mi a sűrűség a szabványos normál eloszlás (mert z-becslések). Hadd emlékeztessem meg, hogy a Gauss funkció:

Helyettesítő helyett (X - m) / σ levél z.és helyette σ - egység, kap a standard normál eloszlás sűrűségének függvénye:

Sűrűség ütemezése:

A várt módon, a vártnál, a 0. pontban található. Ugyanezen a ponton a Gauss funkció eléri a maximális értékét, amely megfelel az átlagérték véletlen értékének elfogadásához (azaz. x-m \u003d 0). A sűrűség ezen a ponton 0,3989, ami az elmeben is kiszámítható, mert E 0 \u003d 1, és csak az 1-es arány 1 pi gyökerének kiszámításához marad.

Így az ütemterv szerint egyértelműen látható, hogy az értékek, amelyek kis eltérésekkel rendelkeznek a középső esiktől gyakrabban, mint mások, és azok, amelyek a központtól erősen távol vannak, sokkal kevésbé gyakoriak. Az abszcissza tengely skáláját standard eltérésekkel mérjük, ami lehetővé teszi a mérőegységekből való elvezetést, és megkapja a normál eloszlás univerzális szerkezetét. Gauss görbe a normalizált adatokhoz tökéletesen bemutatja a normál eloszlás egyéb tulajdonságait. Például, hogy szimmetrikus az ordinát tengelyhez képest. A középső aritmetikától ± 1σ-n belül a legtöbb érték koncentrálódik (a szemet úgy teszünk). ± 2σ belül a legtöbb adat van. ± 3σ belül szinte minden adat van. Az utolsó ingatlan széles körben ismert szabály három sigmnormál eloszlás esetén.

A szabványos normál elosztási funkció lehetővé teszi a valószínűség kiszámítását.

Nyilvánvaló, hogy manuálisan senki sem tartja. Mindent kiszámítanak és kiküldik a speciális táblázatokban, amelyek a statisztikai tankönyvek végén vannak.

Normál eloszlás táblázat

A normál eloszlás táblázata két típus:

- Asztal sűrűség;

- Asztal funkciók (integrál a sűrűségtől).

asztal sűrűség Ritkán használják. Nézzük azonban, hogyan néz ki. Tegyük fel, hogy sűrűséget kell kapnia z \u003d 1.. A mérkőzés 1 Sigma-tól elválasztott érték sűrűsége. Az alábbiakban egy asztali asztal.

A keresett adatok megszervezésétől függően a kívánt érték Az oszlop és a vonalak nevével. Példánkban vegye be a karakterláncot 1,0 és oszlop 0 mivel Nincs század. A kívánt érték 0,2420 (0 előtt 2420 elhagyatott).

A Gauss funkció szimmetrikus az ordinát tengelyről. ebből kifolyólag φ (z) \u003d φ (-z). Sűrűség 1 azonos sűrűség -1 Mi a jól látható a képen.

Annak érdekében, hogy ne töltsön be hiába papír, az asztalok csak pozitív értékekre nyomtathatók.

A gyakorlatban gyakrabban használják az értékeket funkciók standard normál eloszlás, azaz a különböző esetleges valószínűségek z..

Ezek a táblázatok csak pozitív értékeket is tartalmaznak. Így a megértés és a megállapítás bármi szükség van a valószínűségekre a standard normál eloszlás tulajdonságai.

Funkció F Z) Szimmetrikus a 0,5-es értékhez képest (és nem az ordinát tengelyek sűrűsége). Ezért az egyenlőség igaz:

Ez a tény a képen látható:

Funkcióértékek F Z) és F Z) Tegyen egy ütemtervet 3 részre. Ezenkívül a felső és az alsó részek egyenlőek (kullancsokkal vannak jelölve). A valószínűség kiegészítése érdekében F Z) Legfeljebb 1, elég ahhoz, hogy hozzáadja a hiányzó értéket F Z). Kiderült, hogy az egyenlőség kissé fent látható.

Ha meg kell találnia az esélyt az intervallum kapcsolatba lépése (0; z), vagyis az eltérés valószínűsége nulláról pozitív oldalra egy bizonyos számú standard eltérésekre, kellően a standard normál eloszlás funkció értékétől 0,5:

Az egyértelműség érdekében megnézheti a rajzot.

A Gauss görbeen ugyanaz a helyzet úgy néz ki, mint a középponttól a jobb oldalig z..

Elég gyakran az elemzők érdeklődnek az eltérések valószínűségét mindkét irányban nulla. És mivel a funkció szimmetrikus a központban, az előző képletet meg kell szorozni 2:

Az alábbi ábra.

A Gauss görbe alatt ez a kiválasztott értékkel korlátozott központi rész. -Z. Bal I. z. jobb oldalon.

Ezeket a tulajdonságokat figyelembe kell venni, mert A táblázat értékei ritkán megfelelnek az intervallumnak.

A tankönyvek feladatának megkönnyítése érdekében a táblázatok általában a típusú táblákat közzéteszik:

Ha szüksége van a valószínűsége eltérések mindkét irányban nulla, akkor, amint azt láthattuk, táblázatos érték Ez a funkció egyszerűen megszorozzák 2.

Most nézd meg különleges példák. A standard normál eloszlás táblázata az alábbiakban látható. Keresse meg az asztali értékeket háromra z.: 1.64, 1.96 és 3.

Hogyan értem a számok jelentését? Kezdjük S. z \u003d 1,64.amelyre a táblázat értéke van 0,4495 . A legegyszerűbb módja annak, hogy megmagyarázzuk a képet a képen.

Vagyis az a valószínűség, hogy a szabványosított normálisan elosztott véletlen változó az intervallumba esik 0 előtt 1,64 egyenrangú 0,4495 . A problémák megoldásakor általában szükség van az eltérés valószínűségének kiszámítására mindkét irányban, így sokszorosítani kell az értéket 0,4495 2 és körülbelül 0,9. A Gauss görbe alatti elfoglalt terület az alábbiakban látható.

Így az összes normálisan elosztott érték 90% -a lép be az intervallumba ± 1,64σ. A középső aritmetikától. Nem véletlenül választottam ki az értéket z \u003d 1,64.mivel A környező területet a középső aritmetika körül, amely a teljes terület 90% -át foglalja el, néha felhasználja és kiszámítja a konfidenciaintervallumokat. Ha az érvényes érték nem esik be a kijelölt területre, akkor támadó nem valószínű (csak 10%).

A hipotézisek teszteléséhez azonban az intervallumot az értékek 95% -át használják gyakrabban. Fél valószínűség OT 0,95 - ez 0,4750 (Lásd a táblázatban elosztott második értéket).

Erre a valószínűségre z \u003d 1,96. Azok. szinte szinte ± 2σ. A közepétől az értékek 95% -a van. Csak 5% -kal esik ki ezekre a határértékekre.

Egy másik érdekes és gyakran használt táblázatos érték megfelel z \u003d 3., ez egyenlő az asztalunkkal 0,4986 . Szorozzon 2 és kap 0,997 . Így belül ± 3σ Szinte minden érték az átlagos aritmetikumból zárul.

Ez az, hogy a 3. szabály úgy néz ki, mint egy normál eloszlás a diagramban.

A statisztikai táblázatok segítségével bármilyen valószínűséget kaphat. Ez a módszer azonban nagyon lassú, kényelmetlen és erősen elavult. Ma minden a számítógépen történik. Ezután menjen az Excel számítások gyakorlatába.

Normál elosztás Excelben

Az Excelnek számos funkciója a normál eloszlás valószínűségének vagy hátrameneti értékeinek kiszámításához.

Function Norms.St.Rasp

Funkció NORM.ST.SP. A sűrűség kiszámítására tervezték φ (z) valószínűséggel Φ (z) A normalizált adatok szerint ( z.).

\u003d Norm.st.sp (z, integrális)

z. - Érték szabványosított változó

integrál - ha 0, akkor a sűrűség kiszámításaφ (z) Ha az 1 az F (z) függvény értéke, azaz azaz valószínűség P (z

Számítsa ki a különböző funkciók sűrűségét és értékét z: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 (Jelöljük őket az A2-es sejtben).

A sűrűség kiszámításához a képlet szükséges \u003d normák.st.sp (A2; 0). Az alábbi ábra piros pont.

A funkció értékének kiszámítása \u003d normjs.sp (A2; 1). A diagram egy normál görbe alatt festett terület.

A valóságban gyakrabban kell kiszámítani annak valószínűségét, hogy a véletlen értéket az átlagból nem szabad megengedni (az ország folytatásai, amelyek megfelelnek a változónak z.), vagyis P (| z | .

Meghatározzuk, mi egyenlő a véletlenszerű eltérés valószínűségével a korlátokhoz ± 1Z, ± 2Z és ± 3Z nulla. A képletre lesz szükség 2f (z) -1, az Excel \u003d 2 * Norm.st.SP. (A2; 1) -1.

A diagram tökéletesen látható a normál eloszlás fő tulajdonságai, beleértve a három sigms szabályt is. Funkció NORM.ST.SP. - Ez az excel normál eloszlás funkciójának automatikus értéke.

Lehet, hogy inverz probléma: a valószínűség szerint P (Z. Keressen egy szabványosított értéket z. , vagyis kvantilis standard normál eloszlás.

Function Norms.sh.sh.oB.

Norm.st. Isten Számítsa ki a normál normál eloszlás funkciójának fordított értékét. A szintaxis egy paraméterből áll:

\u003d Norm.shob (valószínűség)

valószínűség - Ez valószínűsége.

Ezt a képletet olyan gyakran használják, mint az előző, mert ugyanazon táblázatok szerint nemcsak valószínűségét kell keresni, hanem kvantit is.

Például, ha a kiszámítása konfidenciaintervallumok bizalom valószínűséget adott, amelyben meg kell számítani az értékét z..

Tekintettel arra, hogy a bizalmi intervallum a felső és az alsó határokból áll, és az a tény, hogy a normál eloszlás szimmetrikusan nullához viszonyul, elegendő a felső határ (pozitív eltérés) megszerzése. Az alsó határ negatív jelzéssel történik. Megbízható valószínűséget jelöl γ (Gamma), akkor a konfidenciaintervallum felső határa a következő képlet szerint kerül kiszámításra.

Kiszámítja az Excel értékeket z. (Amely megfelel az eltérést a közepes szigma) néhány valószínűségek, beleértve azokat is, akik tudják, minden statisztika: 90%, 95% és 99%. A B2 sejtben megadjuk a képletet: \u003d normák .tere. Prof ((1 + A2) / 2). A változó értékének megváltoztatása (valószínűség az A2 cellában) különböző határokat kapunk az intervallumok.

A 95% -os konfidenciaintervallum 1,96, azaz közel 2 RMS eltérés. Innen könnyű megbecsülni a normál véletlen változó lehetséges szórását. Általánosságban elmondható, hogy a 90%, 95% és 99% -os bizalmi valószínűségek megfelelnek a ± 1,64, ± 1,96 és ± 2,58 σ konfidenciaintervallumoknak.

Általában a normák normái. De a cselekvések számának megkönnyítése és csökkentése érdekében számos más funkció van az Excelben. Például a konfidenciaintervallumok kiszámításához az átlag megbízható. NORM. Az átlagos aritmetikai ellenőrzéséhez Z.TEST formula van.

Tekintsünk néhány hasznos képletet példákkal.

Normál funkció

Funkció Norm.Rasp különbözik NORM.ST.SP. Csak azért, mert bármilyen méretű adatokat feldolgozni, és nem csak normalizált. A normál elosztási paramétereket a szintaxis tartalmazza.

\u003d Norm.spp (x; átlag, standard_ater; integrált)

átlagos - matematikai várakozás, amelyet a normál eloszlás modell első paramétere

standard_tack - sugárzó eltérés - a modell második paramétere

integrál - ha 0, akkor a sűrűség kiszámítása, ha az 1 a funkció értéke, azaz. P (X.

Például egy 15 értékű sűrűség, amelyet a normál mintából eltávolítottak, a 10-es mérkőzéses 10-es, egy standard eltérés, a következőképpen számított:

Ha az utolsó paraméter az 1, akkor megkapjuk a valószínűségét, hogy a normál véletlen érték kevesebb, mint 15, meghatározott elosztási paraméterekkel. Így a valószínűségek közvetlenül kiszámíthatók a forrásadatokra.

Funkció normák

Ez egy kvantilis normál eloszlás, azaz A visszajelzési értéket. A szintaxis a következő.

\u003d Normák. Prof (valószínűség, átlag, standard_oc)

valószínűség - valószínűség

átlagos - Mathabin

standard_tack - rivalált eltérés

A találkozó ugyanaz, mint a Norm.st. Isten, Csak a funkció bármilyen méretű adataival működik.

A cikk végén egy példa látható a görgőben.

A normál eloszlás szimulációja

Néhány feladat igényli a normál véletlen számok létrehozását. Ehhez nincs kész funkció. Az Excel azonban két funkcióval rendelkezik, amelyek véletlenszerű számokat kapnak: Jólétés DíszítettAz első a véletlenszerűen elosztott egész számokat adja meg a megadott határokon belül. A második funkció egyenletesen elosztott véletlenszerű számokat generál 0 és 1. között, hogy mesterséges mintát bármely adott eloszlással készítsen, függvényre van szüksége Ragasztóanyag.

Tegyük fel, hogy egy mintát szerezzen egy mintát egy normálisan elosztott általános populációból százpolitikával 10 és egy standard eltérés 3. Egy véletlenszerű értékre írjuk a képletet Excelben.

NORM. Gyártás (adhesis (); 10; 3)

A szükséges számú sejtszámra lőtték, és a normál minta készen áll.

A szabványosított adatok szimulálásához használjon normákat.

Az egységes számok normálra történő átalakításának folyamata a következő ábrán látható. Az adhéziós képlet által generált egyenletes valószínűségekből vízszintes vonalakat végeztünk a normál eloszlás funkció grafikonjához. Ezután a vízszintes tengelyre vetített előrejelzések csökkentik a valószínűségek metszéspontjától az ütemtervvel.