Kényelmesebb az eredményt a 9.6. táblázat formájában bemutatni.

9.6. táblázat

A kezdeti momentumokra és a 9.3. és 9.4. táblázat eredményeire vonatkozó képleteket használjuk, és kiszámítjuk a komponensek matematikai elvárásait. xés Y:

A varianciát a második kezdeti momentum és a táblázat eredményei alapján számítjuk ki. 9.3 és 9.4:

A kovariancia kiszámításához NAK NEK(X, Y) hasonló képletet használunk a kezdeti pillanatban:

A korrelációs együtthatót a következő képlet határozza meg:

A kívánt valószínűséget a síkon lévő területre való esés valószínűségeként határozzuk meg, amelyet a megfelelő egyenlőtlenség határoz meg:

9.2. A hajó "SOS" üzenetet sugároz, amelyet két rádióállomás is képes fogni. Ezt a jelet az egyik rádióállomás a másiktól függetlenül foghatja. Annak a valószínűsége, hogy a jelet az első rádióállomás veszi, 0,95; annak a valószínűsége, hogy a jelet a második rádióállomás veszi, 0,85. Határozzuk meg a két rádióállomás jelvételét jellemző kétdimenziós valószínűségi változó eloszlásának törvényét! Írd fel az eloszlásfüggvényt!

Megoldás: Legyen x- az az esemény, hogy a jelet az első rádióállomás vette. Y- az esemény az, hogy a jelet a második rádióállomás veszi.

Sok jelentése .

NS= 1 - a jelet az első rádióállomás veszi;

NS= 0 - a jelet nem vette az első rádióállomás.

Sok jelentése .

Y= l - a jelet a második rádióállomás veszi,

Y= 0 - a jelet nem veszi a második rádióállomás.

Annak a valószínűsége, hogy sem az első, sem a második rádióállomás nem veszi a jelet, egyenlő:

Annak a valószínűsége, hogy az első rádióállomás jelet vesz:

Annak a valószínűsége, hogy a jelet a második rádióállomás veszi:

Annak a valószínűsége, hogy a jelet az első és a második rádióállomás is veszi, egyenlő:.

Ekkor egy kétdimenziós valószínűségi változó eloszlási törvénye a következő:

NS,y) jelentése F(NS,y) egyenlő a valószínűségi változó azon lehetséges értékei valószínűségeinek összegével ( x,Y), amelyek a megadott téglalapon belülre esnek.

Ekkor az elosztási függvény a következő formában lesz:

9.3. A két cég ugyanazt a terméket gyártja. Mindegyik egymástól függetlenül dönthet a termelés korszerűsítéséről. Annak a valószínűsége, hogy az első cég ilyen döntést hozott, 0,6. Annak a valószínűsége, hogy a második cég ilyen döntést hoz, 0,65. Írja fel az eloszlási törvényt egy kétdimenziós valószínűségi változóra, amely két cég termelésének modernizálására vonatkozó döntést jellemzi! Írd fel az eloszlásfüggvényt!

Válasz: Elosztási törvény:

A pont minden rögzített értékéhez koordinátákkal ( x,y) az érték egyenlő azoknak a lehetséges értékeknek a valószínűségeinek összegével, amelyek a megadott téglalapon belülre esnek .

9.4. Az automata esztergagép dugattyúgyűrűket gyárt autómotorokhoz. A gyűrű vastagságát mérik (véletlen változó x) és a furat átmérője (véletlen változó Y). Ismeretes, hogy az összes dugattyúgyűrű körülbelül 5%-a hibás. Sőt, a selejtezések 3%-a nem szabványos furatátmérő miatt, 1%-a nem szabványos vastagság miatt, 1%-a pedig mindkét okból elutasításra kerül. Keresse meg: egy kétdimenziós valószínűségi változó együttes eloszlása ​​( x,Y); komponensek egydimenziós eloszlásai NSés Y a komponensek matematikai elvárásai xés Y; a komponensek közötti korrelációs momentum és korrelációs együttható xés Y kétdimenziós valószínűségi változó ( NS,Y).

Válasz: Elosztási törvény:

; ; ; ; ; .

9.5. A gyár termékeiben meghibásodás miatt hibás A 4%, és egy hiba miatt V- 3,5%. A standard termelés 96%. Határozza meg, hogy az összes termék hány százalékában van mindkét típusú hiba.

9.6. Véletlenszerű érték ( x,Y) állandó sűrűségű eloszlású egy négyzet belsejében R amelyek csúcsainak koordinátái (–2; 0), (0; 2), (2; 0), (0; –2). Határozzuk meg egy valószínűségi változó eloszlássűrűségét ( x,Y) és a feltételes eloszlássűrűségek R(NS\nál nél), R(nál nél\NS).

Megoldás.Építsünk a repülőre x 0y adott egy négyzet (9.5. ábra), és határozzuk meg az ABCD négyzet oldalainak egyenleteit egy két adott ponton átmenő egyenes egyenletével: A csúcsok koordinátáinak behelyettesítése Aés V egymás után megkapjuk az oldalegyenletet AB: vagy .

Hasonlóképpen megtaláljuk az oldalegyenletet Nap: oldalak CD: és oldalai DA:. : .D X, Y) egy félgömb, amelynek középpontja a sugár origója R.Határozza meg a valószínűségi eloszlás sűrűségét.

Válasz:

9.10. Adott egy diszkrét kétdimenziós valószínűségi változó:

Keresse meg: a) a feltételes elosztási törvényt x, feltéve, hogy y = 10;

b) feltételes elosztási törvény Y, feltéve, hogy x =10;

c) matematikai elvárás, variancia, korrelációs együttható.

9.11. Folyamatos kétdimenziós valószínűségi változó ( x,Y) egyenletesen oszlik el egy csúcsokkal rendelkező derékszögű háromszögben O(0;0), A(0;8), V(8,0).

Határozzuk meg: a) a valószínűségi eloszlás sűrűségét;

Meghatározás 2.7. ez egy véletlen számpár (X, Y), vagy egy pont a koordinátasíkon (2.11. ábra).

Rizs. 2.11.

A kétdimenziós valószínűségi változó egy többdimenziós valószínűségi változó vagy egy véletlen vektor speciális esete.

Meghatározás 2.8. Véletlenszerű vektor - véletlenszerű függvény?, (/) lehetséges argumentumértékek véges halmazával t, amelynek értéke bármely értékre t egy valószínűségi változó.

Egy kétdimenziós valószínűségi változót folytonosnak nevezünk, ha koordinátái folytonosak, és diszkrétnek, ha a koordinátái diszkrétek.

A kétdimenziós valószínűségi változók eloszlási törvényének beállítása azt jelenti, hogy megfeleltetést kell létrehozni a lehetséges értékek és ezen értékek valószínűsége között. A beállítási módszerek szerint a valószínűségi változókat folytonosra és diszkrétre osztják, bár vannak általános módszerek bármely RV eloszlási törvényének beállítására.

Diszkrét kétdimenziós valószínűségi változó

Egy diszkrét kétdimenziós valószínűségi változót egy eloszlási táblázat segítségével adunk meg (2.1. táblázat).

2.1. táblázat

Felosztási táblázat (közös allokáció) SV ( x, Y)

A táblázat elemeit a képlet határozza meg

Az eloszlási tábla elemeinek tulajdonságai:

Az egyes koordináták mentén való eloszlást nevezzük egydimenziós vagy marginális:

R 1> = P (X =.d,) - az SV marginális eloszlása x;

p ^ 2) = P (y = y,)- az SV U marginális eloszlása.

Az SV közös elosztása xés Y a valószínűségek halmaza adja meg [р ()), i = 1,..., n, j = 1,..., T(eloszlási táblázat), és határeloszlás.

Hasonlóan az SV U-hoz p-2)= X p, r

2.14. feladat. Adott:

Folyamatos kétdimenziós valószínűségi változó

/(NS, y) dxdy- a valószínűség eleme egy kétdimenziós valószínűségi változóhoz (X, Y) - annak valószínűsége, hogy egy valószínűségi változót (X, Y) egy oldalú téglalapban találunk cbc, dy nál nél dx, dy -* 0:

f (x, y) - eloszlási sűrűség kétdimenziós valószínűségi változó (X, Y). A feladat / (x, y) teljes információt adunk egy kétdimenziós valószínűségi változó eloszlásáról.

A határeloszlásokat a következőképpen határozzuk meg: X mentén - az RV X /, (x) eloszlási sűrűségével; tovább Y- az SV U eloszlási sűrűsége f> (y).

Kétdimenziós valószínűségi változó eloszlási törvényének beállítása eloszlásfüggvénnyel

Egy diszkrét vagy folytonos kétdimenziós valószínűségi változó eloszlási törvényének meghatározásának univerzális módja az eloszlásfüggvény. F (x, y).

Meghatározás 2.9. F eloszlási függvény (x, y)- az események együttes előfordulásának valószínűsége (Xy), i.e. F (x 0, y n) = = P (X y), a koordinátasíkra dobva egy végtelen negyedbe kerül, amelynek csúcsa az M (x 0, y és)(a 2.12. ábrán az árnyékolt területen).

Rizs. 2.12. Az F eloszlásfüggvény illusztrációja ( x, y)

Funkció tulajdonságai F (x, y)

• 1) 0 1;
• 2) F (-oo,-oo) = F (x,-oo) = F (-oo, y) = 0; F ( oo, oo) = 1;
• 3) F (x, y)- nem csökkenő minden argumentumnál;
• 4) F (x, y) - folyamatos balról és alulról;
• 5) az eloszlások konzisztenciája:

F (x, X: F (x, oo) = F, (x); F (y, oo) - határeloszlás felett Y F (ó, y) = F2(y). Kapcsolat / (x, y) val vel F (x, y):

Az ízületi sűrűség és a határsűrűség kapcsolata. Dana f (x, y). Megkapjuk a határeloszlási sűrűségeket f (x), f 2 (y)".

Egy kétdimenziós valószínűségi változó független koordinátáinak esete

Meghatározás 2.10. SV xés Yfüggetlen(nz) ha az egyes SV-kkel kapcsolatos események függetlenek. Az ns SV definíciójából ez következik:

• 1 ) Pij = p X) pf
• 2 ) F (x, y) = F l (x) F 2 (y).

Kiderült, hogy a független SW-k számára xés Y elkészült és

3 ) f (x, y) = J (x) f, (y).

Bizonyítsuk be ezt független lakóautókra xés I 2) 3). Bizonyíték, a) Legyen 2) tartsa, azaz.

eközben F (x, y) = f J f (u, v) dudv, honnan következik 3);

b) most 3) tartsa, akkor

azok. igaz 2).

Gondoljuk át a feladatokat.

2.15. feladat. Az eloszlást a következő táblázat adja meg:

Margóeloszlásokat készítünk:

Kapunk P (X = 3, Y = 4) = 0,17 * P (X = 3) P (Y = 4) = 0,1485 => => CB xés Függő.

Elosztási funkció:

2.16. feladat. Az eloszlást a következő táblázat adja meg:

Kapunk P tl = 0,2 0,3 = 0,06; P 12 = 0,2? 0,7 = 0,14; P 2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; R 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => CB xés Y nz.

2.17. feladat. Dana / (x, y) = 1 / I exp | -0,5 (d "+ 2xy + 5d / 2)]. megtalálja Ó)és / igen) -

Megoldás

(számold meg magad).

kétváltozós diszkrét eloszlási véletlen

Egy kísérlet eredményét gyakran több valószínűségi változó írja le:. Például egy adott helyen egy adott napszakban az időjárás a következő valószínűségi változókkal jellemezhető: NS 1 - hőmérséklet, NS 2 - nyomás, NS 3 - levegő páratartalma, NS 4 - szélsebesség.

Ebben az esetben többdimenziós valószínűségi változóról vagy valószínűségi változók rendszeréről beszélünk.

Vegyünk egy kétdimenziós valószínűségi változót, amelynek lehetséges értékei számpárok. Geometriailag egy kétdimenziós valószínűségi változó egy véletlenszerű pontként értelmezhető a síkon.

Ha a komponensek NSés Y diszkrét valószínűségi változók, akkor egy diszkrét kétdimenziós valószínűségi változó, és ha NSés Y- folytonos, majd - folytonos kétdimenziós valószínűségi változó.

A kétdimenziós valószínűségi változó valószínűség-eloszlásának törvénye a lehetséges értékek és azok valószínűségei közötti megfelelés.

Egy kétdimenziós diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye megadható egy táblázat formájában dupla bemenettel (lásd 6.1. táblázat), ahol annak a valószínűsége, hogy a komponens NS felvette a jelentését x én, és a komponens Y- jelentése y j .

6.1.1. táblázat.

Mivel az események páronként összeférhetetlen események teljes csoportját alkotják, a valószínűségek összege 1, azaz.

A 6.1 táblázatból megtalálhatja az egydimenziós komponensek eloszlási törvényeit NSés Y.

Példa 6.1.1 ... Keresse meg az összetevők eloszlási törvényeit! NSés Y, ha egy kétdimenziós valószínűségi változó eloszlását táblázat formájában adjuk meg 6.1.2.

6.1.2. táblázat.

Ha rögzítjük például az egyik argumentum értékét, akkor a kapott mennyiség eloszlást NS feltételes eloszlásnak nevezzük. A feltételes eloszlást hasonlóan definiáljuk Y.

Példa 6.1.2 ... A táblázatban megadott kétdimenziós valószínűségi változó eloszlása ​​szerint. 2, keresse meg: a) a komponens feltételes eloszlási törvényét NS azzal a feltétellel; b) feltételes elosztási törvény Y feltéve, hogy.

Megoldás. Összetevők feltételes valószínűségei NSés Y képletekkel számítjuk ki

Feltételes elosztási törvény NS feltétel alatt a formája van

Vezérlés: .

Egy kétdimenziós valószínűségi változó eloszlási törvénye a formában adható meg elosztási függvények, amely minden számpárra meghatározza annak a valószínűségét NS egy értékkel kisebb lesz NS, és ahol Y egy értékkel kisebb lesz y:

Geometriailag a függvény egy végtelen csúcsú négyzet véletlen pontjának eltalálásának valószínűségét jelenti egy pontban (6.1.1. ábra).

Jegyezzük meg a tulajdonságokat.

• 1. A - függvény értéktartománya, pl. ...
• 2. Függvény – nem csökkenő függvény minden argumentumhoz.
• 3. Vannak korlátozó arányok:

At, a rendszer eloszlásfüggvénye egyenlővé válik a komponens eloszlásfüggvényével NS, azaz ...

Hasonlóképpen,.

Ennek ismeretében megtalálhatja annak valószínűségét, hogy az ABCD téglalapon belül egy véletlenszerű pontot találunk.

Ugyanis,

6.1.3. példa... Eloszlástáblázat által megadott kétdimenziós diszkrét valószínűségi változó

Keresse meg az eloszlási függvényt.

Megoldás. Érték diszkrét komponensek esetén NSés Y Az összes valószínűséget indexekkel összegezve kapjuk meg énés j amelyekre,. Akkor, ha és, akkor (események és lehetetlenek). Hasonlóképpen kapjuk:

ha te, akkor;

ha te, akkor;

ha te, akkor;

ha te, akkor;

ha te, akkor;

ha te, akkor;

ha te, akkor;

ha te, akkor;

ha te, akkor.

A kapott eredményeket táblázat formájában (6.1.3) mutatjuk be:

Mert kétdimenziós folytonos valószínűségi változót, bevezetjük a valószínűségi sűrűség fogalmát

A geometriai valószínűségi sűrűség egy eloszlási felület a térben

A kétdimenziós valószínűségi sűrűség a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

3. Az eloszlásfüggvény a képlettel fejezhető ki

4. Egy folytonos valószínűségi változó eltalálásának valószínűsége a tartományban egyenlő

5. A függvény (4) tulajdonságának megfelelően a következő képletek játszódnak le:

6.1.4. példa. Adott egy kétdimenziós valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

Az X és Y valószínűségi változók rendezett párját (X, Y) kétdimenziós valószínűségi változónak, vagy egy kétdimenziós tér valószínűségi vektorának nevezzük. A kétdimenziós valószínűségi változót (X, Y) X és Y valószínűségi változók rendszerének is nevezik. Egy diszkrét valószínűségi változó összes lehetséges értékének halmazát a valószínűségükkel együtt e valószínűségi változó eloszlási törvényének nevezzük. Egy diszkrét kétdimenziós valószínűségi változót (X, Y) adottnak tekintünk, ha ismert az eloszlási törvénye:

P (X = x i, Y = y j) = p ij, i = 1,2 ..., n, j = 1,2 ..., m

A szolgáltatás célja... A szolgáltatást adott forgalmazási törvény szerint használva a következőket találhatja:

• X és Y eloszlássorozat, M [X], M [Y] matematikai elvárás, D [X], D [Y] variancia;
• kovariancia cov (x, y), korrelációs együttható r x, y, feltételes eloszlássor X, feltételes matematikai elvárás M;

Utasítás. Adja meg a valószínűségi eloszlási mátrix dimenzióját (sorok és oszlopok számát) és típusát! Az eredményül kapott megoldás egy Word fájlba kerül mentésre.

1. példa. Egy kétdimenziós diszkrét valószínűségi változónak van egy eloszlási táblázata:

Megoldás. A q mennyiséget a Σp ij = 1 feltételből találjuk meg
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 +… + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91 + q = 1. Ahonnan q = 0,09

A ∑P (x én, y j) = p én(j = 1..n), megtaláljuk az X eloszlássorozatot.

Kovariancia cov (X, Y) = M - M [X] · M [Y] = 2 · 10 · 0,11 + 3 · 10 · 0,12 + 4 · 10 · 0,03 + 2 · 20 · 0,13 + 3 · 20 · 0,09 + 4 20 0,02 + 1 30 0,02 + 2 30 0,11 + 3 30 0,08 + 4 30 0,01 + 1 40 0,03 + 2 40 0,11 + 3 40 0,05 + 4 40 0,05 + 4 40 0,09 - 25,8
Korrelációs együttható r xy = cov (x, y) / σ (x) és szigma (y) = -0,068 / (11,531 * 0,801) = -0,00736

2. példa Két X és Y mutatóra vonatkozó információ statisztikai feldolgozásának adatait a korrelációs táblázat tartalmazza. Kívánt:

1. írja fel X és Y eloszlási sorozatát, és számítsa ki ezekre a minta átlagát és a minta szórását;
2. írja be az Y / x eloszlás feltételes sorozatát és számítsa ki az Y / x feltételes átlagokat;
3. grafikusan ábrázolja a feltételes átlagok Y / x függését X értékétől;
4. kiszámítja a minta Y–X korrelációs együtthatóját;
5. írja fel a regressziós egyenes mintaegyenletét;
6. geometrikusan ábrázolja a korrelációs táblázat adatait és építse fel a regressziós egyenest.

Feltételes elvárás M = 11 * 0,33 + 16 * 0,67 + 21 * 0 + 26 * 0 + 31 * 0 + 36 * 0 = 14,33
Feltételes variancia D = 11 2 * 0,33 + 16 2 * 0,67 + 21 2 * 0 + 26 2 * 0 + 31 2 * 0 + 36 2 * 0 - 14,33 2 = 5,56
Feltételes elosztási törvény X (Y = 30).
P (X = 11 / Y = 30) = 0/9 = 0
P (X = 16 / Y = 30) = 6/9 = 0,67
P (X = 21 / Y = 30) = 3/9 = 0,33
P (X = 26 / Y = 30) = 0/9 = 0
P (X = 31 / Y = 30) = 0/9 = 0
P (X = 36 / Y = 30) = 0/9 = 0
Feltételes elvárás M = 11 * 0 + 16 * 0,67 + 21 * 0,33 + 26 * 0 + 31 * 0 + 36 * 0 = 17,67
Feltételes variancia D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0,67 + 21 2 * 0,33 + 26 2 * 0 + 31 2 * 0 + 36 2 * 0 - 17,67 2 = 5,56
Feltételes elosztási törvény X (Y = 40).
P (X = 11 / Y = 40) = 0/55 = 0
P (X = 16 / Y = 40) = 0/55 = 0
P (X = 21 / Y = 40) = 6/55 = 0,11
P (X = 26 / Y = 40) = 45/55 = 0,82
P (X = 31 / Y = 40) = 4/55 = 0,0727
P (X = 36 / Y = 40) = 0/55 = 0
Feltételes elvárás M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0,11 + 26 * 0,82 + 31 * 0,0727 + 36 * 0 = 25,82
Feltételes variancia D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0,11 + 26 2 * 0,82 + 31 2 * 0,0727 + 36 2 * 0 - 25,82 2 = 4,51
Feltételes elosztási törvény X (Y = 50).
P (X = 11 / Y = 50) = 0/16 = 0
P (X = 16 / Y = 50) = 0/16 = 0
P (X = 21 / Y = 50) = 2/16 = 0,13
P (X = 26 / Y = 50) = 8/16 = 0,5
P (X = 31 / Y = 50) = 6/16 = 0,38
P (X = 36 / Y = 50) = 0/16 = 0
Feltételes elvárás M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0,13 + 26 * 0,5 + 31 * 0,38 + 36 * 0 = 27,25
Feltételes variancia D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0,13 + 26 2 * 0,5 + 31 2 * 0,38 + 36 2 * 0 - 27,25 2 = 10,94
Feltételes elosztási törvény X (Y = 60).
P (X = 11 / Y = 60) = 0/14 = 0
P (X = 16 / Y = 60) = 0/14 = 0
P (X = 21 / Y = 60) = 0/14 = 0
P (X = 26 / Y = 60) = 4/14 = 0,29
P (X = 31 / Y = 60) = 7/14 = 0,5
P (X = 36 / Y = 60) = 3/14 = 0,21
Feltételes elvárás M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0 + 26 * 0,29 + 31 * 0,5 + 36 * 0,21 = 30,64
Feltételes variancia D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0 + 26 2 * 0,29 + 31 2 * 0,5 + 36 2 * 0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Feltételes elosztási törvény Y.
Y feltételes elosztási törvény (X = 11).
P (Y = 20 / X = 11) = 2/2 = 1
P (Y = 30 / X = 11) = 0/2 = 0
P (Y = 40 / X = 11) = 0/2 = 0
P (Y = 50 / X = 11) = 0/2 = 0
P (Y = 60 / X = 11) = 0/2 = 0
Feltételes elvárás M = 20 * 1 + 30 * 0 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 0 = 20
Feltételes variancia D = 20 2 * 1 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 20 2 = 0
Y feltételes elosztási törvény (X = 16).
P (Y = 20 / X = 16) = 4/10 = 0,4
P (Y = 30 / X = 16) = 6/10 = 0,6
P (Y = 40 / X = 16) = 0/10 = 0
P (Y = 50 / X = 16) = 0/10 = 0
P (Y = 60 / X = 16) = 0/10 = 0
Feltételes elvárás M = 20 * 0,4 + 30 * 0,6 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 0 = 26
Feltételes variancia D = 20 2 * 0,4 + 30 2 * 0,6 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 26 2 = 24
Y feltételes elosztási törvény (X = 21).
P (Y = 20 / X = 21) = 0/11 = 0
P (Y = 30 / X = 21) = 3/11 = 0,27
P (Y = 40 / X = 21) = 6/11 = 0,55
P (Y = 50 / X = 21) = 2/11 = 0,18
P (Y = 60 / X = 21) = 0/11 = 0
Feltételes elvárás M = 20 * 0 + 30 * 0,27 + 40 * 0,55 + 50 * 0,18 + 60 * 0 = 39,09
Feltételes variancia D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0,27 + 40 2 * 0,55 + 50 2 * 0,18 + 60 2 * 0 - 39,09 2 = 44,63
Y feltételes elosztási törvény (X = 26).
P (Y = 20 / X = 26) = 0/57 = 0
P (Y = 30 / X = 26) = 0/57 = 0
P (Y = 40 / X = 26) = 45/57 = 0,79
P (Y = 50 / X = 26) = 8/57 = 0,14
P (Y = 60 / X = 26) = 4/57 = 0,0702
Feltételes elvárás M = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0,79 + 50 * 0,14 + 60 * 0,0702 = 42,81
Feltételes variancia D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0,79 + 50 2 * 0,14 + 60 2 * 0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Y feltételes elosztási törvény (X = 31).
P (Y = 20 / X = 31) = 0/17 = 0
P (Y = 30 / X = 31) = 0/17 = 0
P (Y = 40 / X = 31) = 4/17 = 0,24
P (Y = 50 / X = 31) = 6/17 = 0,35
P (Y = 60 / X = 31) = 7/17 = 0,41
Feltételes elvárás M = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0,24 + 50 * 0,35 + 60 * 0,41 = 51,76
Feltételes variancia D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0,24 + 50 2 * 0,35 + 60 2 * 0,41 - 51,76 2 = 61,59
Y feltételes elosztási törvény (X = 36).
P (Y = 20 / X = 36) = 0/3 = 0
P (Y = 30 / X = 36) = 0/3 = 0
P (Y = 40 / X = 36) = 0/3 = 0
P (Y = 50 / X = 36) = 0/3 = 0
P (Y = 60 / X = 36) = 3/3 = 1
Feltételes elvárás M = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 1 = 60
Feltételes variancia D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 1 - 60 2 = 0
Kovariancia.
cov (X, Y) = M - M [X] · M [Y]
cov (X, Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 50 3 6 + 60 31 7 + 60 36 3) / 100 - 25,3 42,3 = 38,11
Ha a valószínűségi változók függetlenek, akkor a kovarianciájuk nulla. Esetünkben cov (X, Y) ≠ 0.
Korrelációs együttható.


Az y-tól x-ig terjedő lineáris regressziós egyenlet:

A lineáris regressziós egyenlet x-től y-ig:

Keressük meg a szükséges numerikus jellemzőket.
Mintaátlagok:
x = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3)) / 100 = 42,3
y = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3)) / 100 = 25,3
Diszperziók:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) ) / 100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3)) / 100 - 25,3 2 = 24,01
Honnan kapjuk a szórásokat:
σ x = 9,99 és σ y = 4,9
és kovariancia:
Cov (x, y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3) / 100 - 42,3 25,3 = 38,11
Határozzuk meg a korrelációs együtthatót:


Írjuk fel az y (x) regressziós egyenesek egyenleteit:

és kiszámolva a következőket kapjuk:
y x = 0,38 x + 9,14
Írjuk fel az x (y) regressziós egyenesek egyenleteit:

és kiszámolva a következőket kapjuk:
x y = 1,59 y + 2,15
Ha ábrázolja a táblázat és a regressziós egyenesek által meghatározott pontokat, látni fogjuk, hogy mindkét egyenes átmegy a (42.3; 25.3) koordinátájú ponton, és a pontok a regressziós egyenesekhez közel helyezkednek el.
A korrelációs együttható jelentősége.

A Student-féle táblázat szerint α = 0,05 szignifikanciaszinttel és k = 100-m-1 = 98 szabadságfokkal t crit:
t-krit (n-m-1; α/2) = (98; 0,025) = 1,984
ahol m = 1 a magyarázó változók száma.
Ha t obs> t kritikus, akkor a kapott korrelációs együttható értéket szignifikánsnak ismerjük el (azt a nullhipotézist, amely szerint a korrelációs együttható nulla, elvetjük).
Mivel t obs> t crit, elvetjük azt a hipotézist, hogy a korrelációs együttható 0. Más szóval, a korrelációs együttható statisztikailag szignifikáns.

Gyakorlat... Az X és Y valószínűségi változók értékpárjainak találatainak számát a megfelelő intervallumokban a táblázat tartalmazza. Ezen adatok alapján keresse meg a mintakorrelációs együtthatót és az Y regressziós egyenesek mintaegyenleteit X-en és X-en Y-n.
Megoldás

Példa... Egy kétdimenziós valószínűségi változó (X, Y) valószínűségi eloszlását a táblázat tartalmazza. Határozza meg az X, Y alkotó mennyiségek és a p (X, Y) korrelációs együttható eloszlási törvényeit!
Töltse le a megoldást

Gyakorlat... A kétdimenziós diszkrét mennyiséget (X, Y) az eloszlási törvény adja meg. Keresse meg az X és Y komponensek eloszlási törvényeit, a kovariancia és a korrelációs együtthatót!