Як вирішувати складні логарифмічні нерівності. Логарифмічні нерівності. Як вирішувати логарифмічні нерівності

Вирішуючи логарифмічні нерівності, ми користуємося властивістю монотонності логарифмічної функції. Також ми використовуємо визначення логарифма і основні логарифмічні формули.

Давайте повторимо, що таке логарифми:

логарифм позитивного числа за основою - це показник ступеня, в яку треба звести, щоб отримати.

При цьому

Основна логарифмічна тотожність:

Основні формули для логарифмів:

(Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів)

(Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів)

(Формула для логарифма ступеня)

Формула переходу до нового основи:

Алгоритм рішення логарифмічних нерівностей

Можна сказати, що логарифмічні нерівності вирішуються за певним алгоритмом. Нам потрібно записати область допустимих значень (ОДЗ) нерівності. Привести нерівність до виду Знак тут може бути будь-який: Важливо, щоб зліва і справа в нерівності перебували логарифми по одному і тій же підставі.

І після цього «відкидаємо» логарифми! При цьому, якщо підстава ступеня, знак нерівності залишається тим же. Якщо основа таке, що знак нерівності змінюється на протилежний.

Звичайно, ми не просто «відкидаємо» логарифми. Ми користуємося властивістю монотонності логарифмічної функції. Якщо основа логарифма більше одиниці, логарифмічна функція монотонно зростає, і тоді більшому значенню х відповідає більше значення виразу.

Якщо основа більше нуля і менше одиниці, логарифмічна функція монотонно убуває. Більшому значенню аргументу х буде відповідати менше значення

Важливе зауваження: найкраще записувати рішення у вигляді ланцюжка рівносильних переходів.

Перейдемо до практики. Як завжди, почнемо з найпростіших нерівностей.

1. Розглянемо нерівність log 3 x\u003e log 3 5.
Оскільки логарифми визначені тільки для позитивних чисел, необхідно, щоб x був позитивним. Умова x\u003e 0 називається областю допустимих значень (ОДЗ) даного нерівності. Тільки при таких x нерівність має сенс.

Що ж, це формулювання хвацько звучить і легко запам'ятовується. Але чому ми все-таки можемо це зробити?

Ми люди, ми володіємо інтелектом. Наш розум влаштований так, що всі логічне, зрозуміле, що має внутрішню структуру запам'ятовується і застосовується набагато краще, ніж випадкові і не пов'язані між собою факти. Ось чому важливо не механічно визубрити правила, як дресирована собачка-математик, а діяти усвідомлено.

Так чому ж ми все-таки «відкидаємо логарифми»?

Відповідь проста: якщо підстава більше одиниці (як в нашому випадку), логарифмічна функція монотонно зростає, значить, більшому значенню x відповідає більше значення y і з нерівності log 3 x 1\u003e log 3 x 2 слід, що x 1\u003e x 2.


Зверніть увагу, ми перейшли до алгебраическому нерівності, і знак нерівності при цьому - зберігається.

Отже, x\u003e 5.

Наступне логарифмічна нерівність теж просте.

2. log 5 (15 + 3x)\u003e log 5 2x

Почнемо з області допустимих значень. Логарифми визначені тільки для позитивних чисел, тому

Вирішуючи цю систему, отримаємо: x\u003e 0.

Тепер від логарифмічного нерівності перейдемо до алгебраическому - «відкинемо» логарифми. Оскільки підстава логарифма більше одиниці, знак нерівності при цьому зберігається.

15 + 3x\u003e 2x.

Отримуємо: x\u003e -15.

Відповідь: x\u003e 0.

А що ж буде, якщо підстава логарифма менше одиниці? Легко здогадатися, що в цьому випадку при переході до алгебраическому нерівності знак нерівності буде змінюватися.

Наведемо приклад.

Запишемо ОДЗ. Вирази, від яких беруться логарифми, повинні бути позитивно, тобто

Вирішуючи цю систему, отримаємо: x\u003e 4,5.

Оскільки, логарифмічна функція з основою монотонно убуває. А це означає, що більшому значенню функції відповідає менше значення аргументу:


І якщо, то
2x - 9 ≤ x.

Отримаємо, що x ≤ 9.

З огляду на, що x\u003e 4,5, запишемо відповідь:

У наступній завданню показове нерівність зводиться до квадратному. Так що тему «квадратні нерівності» рекомендуємо повторити.

Тепер більш складні нерівності:

4. Вирішіть нерівність

5. Вирішіть нерівність

Якщо то . Нам пощастило! Ми знаємо, що підстава логарифма більше одиниці для всіх значень х, що входять в ОДЗ.

зробимо заміну

Зверніть увагу, що спочатку ми повністю вирішуємо нерівність щодо нової змінної t. І тільки після цього повертаємося до змінної x. Запам'ятайте це і не помиляйтеся на іспиті!

Запам'ятаємо правило: якщо в рівнянні або нерівності присутні коріння, дробу або логарифми - рішення треба починати з області допустимих значень. Оскільки підстава логарифма повинно бути позитивно і не дорівнює одиниці, отримаємо систему умов:

Спростимо цю систему:

Це область допустимих значень нерівності.

Ми бачимо, що змінна втримується в підставі логарифма. Перейдемо до постійного основи. Нагадаємо, що

В даному випадку зручно перейти до основи 4.

зробимо заміну

Спростимо нерівність і вирішимо його методом інтервалів:

Повернемося до змінної x:

Ми додали умова x \u003e 0 (з ОДЗ).

7. Ще одне завдання теж вирішується за допомогою методу інтервалів

Як завжди, рішення логарифмічного нерівності починаємо з області допустимих значень. В даному випадку

Ця умова обов'язково має виконуватися, і до нього ми повернемося. Розглянемо поки саме нерівність. Запишемо ліву частину як логарифм за основою 3:

Праву частину теж можна записати як логарифм за основою 3, а потім перейти до алгебраическому нерівності:

Бачимо, що умова (тобто ОПЗ) тепер виконується автоматично. Що ж, це спрощує рішення нерівності.

Вирішуємо нерівність методом інтервалів:

відповідь:

Вийшло? Що ж, підвищуємо рівень складності:

8. Вирішіть нерівність:

Нерівність рівносильна системі:

9. Вирішіть нерівність:

Вираз 5 - x 2 нав'язливо повторюється в умові завдання. А це означає, що можна зробити заміну:

Оскільки показова функція приймає тільки позитивні значення, t \u003e 0. Тоді

Нерівність набуде вигляду:

Вже краще. Знайдемо область допустимих значень нерівності. Ми вже сказали, що t \u003e 0. Крім того, ( t - 3) (5 9 · t − 1) > 0

Якщо ця умова виконана, то і приватне буде позитивним.

А ще вираз під логарифмом в правій частині нерівності має бути позитивно, тобто (625 t − 2) 2 .

Це означає, що 625 t - 2 ≠ 0, тобто

Акуратно запишемо ОДЗ

і вирішимо отриману систему, застосовуючи метод інтервалів.

Отже,

Ну що ж, півсправи зроблено - розібралися з ОДЗ. Вирішуємо саме нерівність. Суму логарифмів в лівій частині представимо як логарифм твори.

логарифмічні нерівності

На попередніх уроках ми з вами познайомилися з логарифмічними рівняннями і тепер знаємо, що це таке і як їх вирішувати. А сьогоднішній урок буде присвячений вивченню логарифмічних нерівностей. Що ж це за такі нерівності і в чому різниця між рішенням логарифмічного рівняння і нерівності?

Логарифмічні нерівності - це нерівності, які мають змінну, що стоїть під знаком логарифма або в його підставі.

Або ж, можна ще сказати, що логарифмічна нерівність - це така нерівність, в якому його невідома величина, як і в логарифмічному рівнянні, буде стояти під знаком логарифма.

Найпростіші логарифмічні нерівності мають такий вигляд:

де f (x) і g (x) є деякими виразами, які залежать від x.

Давайте це розглянемо на такому прикладі: f (x) \u003d 1 + 2x + x2, g (x) \u003d 3x-1.

Рішення логарифмічних нерівностей

Перед рішенням логарифмічних нерівностей, варто відзначити, що вони при вирішенні мають схожість з показовими нерівностями, а саме:

По-перше, при переході від логарифмів до виразів, що стоять під знаком логарифма, нам також необхідно порівняти підставу логарифма з одиницею;

По-друге, вирішуючи логарифмічна нерівність, використовуючи заміну змінних, нам необхідно вирішувати нерівності щодо заміни до того моменту, поки ми не отримаємо найпростіше нерівність.

Але це ми з вами розглянули подібні моменти рішення логарифмічних нерівностей. А зараз звернемо увагу на досить таки суттєва відмінність. Нам з вами відомо, що логарифмічна функція має обмежену областю визначення, тому переходячи від логарифмів до виразів, що стоять під знаком логарифма, потрібно брати до уваги область допустимих значень (ОДЗ).

Тобто, слід враховувати, що вирішуючи логарифмічна рівняння ми з вами, можемо спочатку знаходити корені рівняння, а потім робити перевірку цього рішення. А ось вирішити логарифмічна нерівність так не вийде, оскільки переходячи від логарифмів до виразів, що стоять під знаком логарифма, необхідно буде записувати ОПЗ нерівності.

До того ж варто запам'ятати, що теорія нерівностей складається з дійсних чисел, якими є позитивні і негативні числа, а також і число 0.

Наприклад, коли число «а» є позитивним, то необхідно використовувати такий запис: a\u003e 0. У цьому випадку, як сума, так і твір таких цих чисел також будуть позитивними.

Основним принципом вирішення нерівності є його заміна на більш просте нерівність, але головне, щоб воно було рівносильно даному. Далі, також ми отримали нерівність і знову його замінили на те, яке має більш простий вигляд і т.д.

Вирішуючи нерівності зі змінною потрібно знаходити всі його рішення. Якщо два нерівності мають одну змінну х, то такі нерівності рівносильні, за умови, що їх рішення збігаються.

Виконуючи завдання на рішення логарифмічних нерівностей, необхідно запам'ятати, що коли a\u003e 1, то логарифмічна функція зростає, а коли 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Способи вирішення логарифмічних нерівностей

Зараз розглянемо деякі способи, які мають місце при вирішенні логарифмічних нерівностей. Для кращого розуміння і засвоєння, спробуємо в них розібратися на конкретних прикладах.

Нам з вами відомо, що найпростіше логарифмічне нерівність має такий вигляд:

У цьому нерівності V - є одним з таких знаків нерівності, як:<,>, ≤ або ≥.

Коли підстава даного логарифма більше одиниці (a\u003e 1), здійснюючи перехід від логарифмів до виразів, що стоять під знаком логарифма, то в цьому варіанті знак нерівності зберігається, і нерівність матиме такий вигляд:

що рівносильно такий ось системі:

У разі ж, коли підстава логарифма більше нуля і менше одиниці (0

Це рівносильно даній системі:

Подивимося ще приклади розв'язання найпростіших логарифмічних нерівностей, наведених на зображенні нижче:

рішення прикладів

Завдання. Давайте спробуємо вирішити таке ось нерівність:

Рішення області допустимих значень.

Тепер спробуємо помножити його праву частину на:

Дивимося, що у нас вийде:

Тепер, давайте з вами перейдемо до перетворення подлогаріфміческіх виразів. У зв'язку з тим, що підстава логарифма 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8\u003e 16;
3x\u003e 24;
х\u003e 8.

А з цього випливає, що інтервал, який ми отримали, цілком і повністю належить ОДЗ і є рішенням такого нерівності.

Ось яку відповідь у нас вийшов:

Що необхідно для вирішення логарифмічних нерівностей?

А тепер давайте спробуємо проаналізувати, що нам необхідно для успішного вирішення логарифмічних нерівностей?

По-перше, зосередити всю свою увагу і постаратися не допускати помилок при виконанні перетворень, які дані в цьому нерівності. Також, слід запам'ятати, що при вирішенні таких нерівностей потрібно не допускати розширень і звужень ОПЗ нерівності, які можуть привести до втрати або придбання сторонніх рішень.

По-друге, при вирішенні логарифмічних нерівностей необхідно навчитися мислити логічно і розуміти різницю між такими поняттями, як система нерівностей і сукупність нерівностей, щоб ви без проблем змогли здійснювати відбір рішень нерівності, при цьому керуючись його ОДЗ.

По-третє, для успішного вирішення таких нерівностей кожен з вас повинен відмінно знати всі властивості елементарних функцій і чітко розуміти їх зміст. До таких функцій відносяться не тільки логарифмічні, але і раціональні, статечні, тригонометричні і т.д., одним словом, всі ті, які ви вивчали протягом шкільного навчання алгебри.

Як бачите, вивчивши тему про логарифмічних нерівностях, в рішенні цих нерівностей немає нічого складного за умови, якщо ви будете уважні і наполегливі в досягненні поставлених цілей. Щоб у вирішенні нерівностей не виникало ніяких проблем, потрібно якомога більше тренуватися, вирішуючи різні завдання і при цьому запам'ятовувати основні способи вирішення таких нерівностей і їх систем. При невдалих рішеннях логарифмічних нерівностей, слід уважно проаналізувати свої помилки, щоб в майбутньому не повертатися до них знову.

Домашнє завдання

Для кращого засвоєння теми і закріплення пройденого матеріалу, вирішите наступні нерівності:

Серед усього різноманіття логарифмічних нерівностей окремо вивчають нерівності зі змінним підставою. Вони вирішуються за спеціальною формулою, яку чомусь рідко розповідають в школі:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (k (x) - 1) ∨ 0

Замість галки «∨» можна поставити будь-який знак нерівності: більше чи менше. Головне, щоб в обох нерівностях знаки були однаковими.

Так ми позбавляємося від логарифмів і зводимо задачу до раціонального нерівності. Останнє вирішується набагато простіше, але при відкиданні логарифмів можуть виникнути зайві корені. Щоб їх відсікти, досить знайти область допустимих значень. Якщо ви забули ОДЗ логарифма, настійно рекомендую повторити - см. «Що таке логарифм».

Все, що пов'язано з областю допустимих значень, треба виписати і вирішити окремо:

f (x)\u003e 0; g (x)\u003e 0; k (x)\u003e 0; k (x) ≠ 1.

Ці чотири нерівності становлять систему і повинні виконуватися одночасно. Коли область допустимих значень знайдена, залишається перетнути її з рішенням раціонального нерівності - і відповідь готова.

Завдання. Вирішіть нерівність:

Для початку випишемо ОДЗ логарифма:

Перші два нерівності виконуються автоматично, а останнім доведеться розписати. Оскільки квадрат числа дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли саме число дорівнює нулю, маємо:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Виходить, що ОДЗ логарифма - все числа, крім нуля: x ∈ (-∞ 0) ∪ (0; + ∞). Тепер вирішуємо основне нерівність:

Виконуємо перехід від логарифмічного нерівності до раціонального. У вихідному нерівності стоїть знак «менше», значить отримане нерівність теж має бути зі знаком «менше». маємо:

(10 - (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x 2) · x 2< 0;
(3 - x) · (3 + x) · x 2< 0.

Нулі цього виразу: x \u003d 3; x \u003d -3; x \u003d 0. Причому x \u003d 0 - корінь другого кратності, значить при переході через нього знак функції не змінюється. маємо:

Отримуємо x ∈ (-∞ -3) ∪ (3; + ∞). Дане безліч повністю міститься в ОДЗ логарифма, значить це і є відповідь.

Перетворення логарифмічних нерівностей

Часто вихідне нерівність відрізняється від наведеного вище. Це легко виправити за стандартними правилами роботи з логарифмами - см. «Основні властивості логарифмів». А саме:

1. Будь-яке число можна подати у вигляді логарифма з заданим підставою;
2. Суму і різницю логарифмів з однаковими підставами можна замінити одним логарифмом.

Окремо хочу нагадати про область допустимих значень. Оскільки в вихідному нерівності може бути кілька логарифмів, потрібно знайти ОДЗ кожного з них. Таким чином, загальна схема рішення логарифмічних нерівностей наступна:

1. Знайти ОДЗ кожного логарифма, що входить в нерівність;
2. Звести нерівність до стандартного за формулами додавання і віднімання логарифмів;
3. Вирішити отримане нерівність за схемою, наведеною вище.

Завдання. Вирішіть нерівність:

Знайдемо область визначення (ОДЗ) першого логарифма:

Вирішуємо методом інтервалів. Знаходимо нулі чисельника:

3x - 2 \u003d 0;
x \u003d 2/3.

Потім - нулі знаменника:

x - 1 \u003d 0;
x \u003d 1.

Відзначаємо нулі і знаки на координатної стрілі:

Отримуємо x ∈ (-∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). У другого логарифма ОДЗ буде таким же. Не вірите - можете перевірити. Тепер перетворимо другий логарифм так, щоб в основі стояла двійка:

Як бачите, трійки в підставі і перед логарифмом скоротилися. Отримали два логарифма з однаковим підставою. Складаємо їх:

log 2 (x - 1) 2< 2;
log 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

Отримали стандартне логарифмічна нерівність. Позбавляємося від логарифмів за формулою. Оскільки в вихідному нерівності стоїть знак «менше», отримане раціональне вираз теж має бути менше нуля. маємо:

(F (x) - g (x)) · (k (x) - 1)< 0;
((X - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(X - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Отримали два безлічі:

1. ОДЗ: x ∈ (-∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
2. Кандидат на відповідь: x ∈ (-1; 3).

Залишилося перетнути ці безлічі - отримаємо справжній відповідь:

Нас цікавить перетин множин, тому вибираємо інтервали, зафарбовані на обох стрілах. Отримуємо x ∈ (-1; 2/3) ∪ (1; 3) - всі крапки виколоті.

Мета уроку:

дидактичні:

• 1 рівень - навчити вирішувати найпростіші логарифмічні нерівності, застосовуючи визначення логарифма, властивості логарифмів;
• 2 рівень - вирішувати логарифмічні нерівності, вибираючи самостійно спосіб вирішення;
• 3 рівень - вміти застосовувати знання і вміння в нестандартних ситуаціях.

Розвиваючі: розвивати пам'ять, увагу, логічне мислення, навички порівняння, вміти узагальнювати і робити висновки

виховні:виховувати акуратність, відповідальність за яке виконує завдання, взаємодопомога.

Методи навчання: словесний , наочний , практичний , частково-пошуковий , самоврядування , контролю.

Форми організації пізнавальної діяльності учнів: фронтальний , індивідуальний , робота в парах.

устаткування: набір тестових завдань, опорний конспект, чисті аркуші для рішень.

Тип уроку: вивчення нового матеріалу.

Хід уроку

1. Організаційний момент. Оголошуються тема і мети уроку, схема проведення уроку: кожному учневі видається оціночний лист, який учень заповнює протягом уроку; для кожної пари учнів - друковані матеріали із завданнями, виконувати завдання потрібно в парах; чисті аркуші для рішень; опорні листи: визначення логарифма; графік логарифмічною функції, її властивості; властивості логарифмів; алгоритм вирішення логарифмічних нерівностей.

Всі рішення після самооцінки здаються вчителю.

Оціночний лист учня

2. Актуалізація знань.

Вказівки вчителя. Згадайте визначення логарифма, графік логарифмічною функції і її властивості. Для цього прочитайте текст на с.88-90, 98-101 підручника "Алгебра і початки аналізу 10-11» під редакцією Ш.А Алімова, Ю.М Колягина і ін.

Учням лунають листи, на яких записані: визначення логарифма; зображено графік логарифмічною функції, її властивості; властивості логарифмів; алгоритм вирішення логарифмічних нерівностей, приклад рішення логарифмічного нерівності, що зводиться до квадратному.

3. Вивчення нового матеріалу.

Рішення логарифмічних нерівностей засноване на монотонності логарифмічної функції.

Алгоритм рішення логарифмічних нерівностей:

А) Знайти область визначення нерівності (подлогаріфміческое вираз більше нуля).
Б) Уявити (якщо можливо) ліву і праву частини нерівності у вигляді логарифмів по одному і тій же підставі.
В) Визначити, зростаючій або спадної є логарифмічна функція: якщо t\u003e 1, то зростаюча; якщо 0 1, то спадна.
Г) Перейти до простішого нерівності (подлогаріфміческіх виразів), враховуючи, що знак нерівності збережеться, якщо функція зростає, і зміниться, якщо вона убуває.

Навчальний елемент № 1.

Мета: закріпити рішення найпростіших логарифмічних нерівностей

Форма організації пізнавальної діяльності учнів: індивідуальна робота.

Завдання для самостійної роботи на 10 хвилин. Для кожного нерівності є кілька варіантів відповідей, потрібно вибрати правильний і перевірити по ключу.

КЛЮЧ: 13321, максимальна к-ть балів - 6 б.

Навчальний елемент № 2.

Мета: закріпити рішення логарифмічних нерівностей, застосовуючи властивості логарифмів.

Вказівки вчителя. Згадайте основні властивості логарифмів. Для цього прочитайте текст підручника на с.92, 103-104.

Завдання для самостійної роботи на 10 хвилин.

КЛЮЧ: 2113, максимальна к-ть балів - 8 б.

Навчальний елемент № 3.

Мета: вивчити рішення логарифмічних нерівностей методом зведення до квадратного.

Вказівки вчителя: метод відомості нерівності до квадратному полягає в тому, що потрібно перетворити нерівність до такого виду, щоб деяку логарифмічну функцію позначити нової змінної, отримавши при цьому квадратне нерівність щодо цієї змінної.

Застосуємо метод інтервалів.

Ви пройшли перший рівень засвоєння матеріалу. Тепер вам доведеться самостійно вибрати метод вирішення логарифмічних рівнянь, використовуючи всі свої знання і можливості.

Навчальний елемент № 4.

Мета: закріпити рішення логарифмічних нерівностей, вибравши самостійно раціональний спосіб вирішення.

Завдання для самостійної роботи на 10 хвилин

Навчальний елемент № 5.

Вказівки вчителя. Молодці! Ви освоїли рішення рівнянь другого рівня складності. Метою подальшої вашої роботи є застосування своїх знань і умінь в більш складних і нестандартних ситуаціях.

Завдання для самостійного рішення:

Вказівки вчителя. Чудово, якщо ви впоралися з усім завданням. Молодці!

Оцінка за весь урок залежить від числа набраних балів з усіх навчальних елементів:

• якщо N ≥ 20, то ви отримуєте оцінку "5",
• при 16 ≤ N ≤ 19 - оцінка "4",
• при 8 ≤ N ≤ 15 - оцінка "3",
• при N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Оціночні лисиці здати вчителю.

5. Домашнє завдання: якщо ви набрали не більше 15 б - виконайте роботу над помилками (рішення можна взяти у вчителя), якщо ви набрали більше 15 б - виконайте творче завдання по темі "Логарифмічні нерівності".