Графік логарифмічної функції за основою 1 3. Визначення логарифма і його властивості: теорія і рішення задач. Рівняння і нерівності

(Від грецького λόγος - «слово», «ставлення» і ἀριθμός - «число») числа b по підставі a (Log α b) Називається таке число c, і b= a c, Тобто записи log α b=c і b \u003d a c еквівалентні. Логарифм має сенс, якщо a\u003e 0, а ≠ 1, b\u003e 0.

Говорячи іншими словами логарифм числа b по підставі аформулюється як показник ступеня, в яку треба звести число a, Щоб отримати число b(Логарифм існує тільки у позитивних чисел).

З цього формулювання випливає, що обчислення x \u003d log α b, Рівнозначно рішенням рівняння a x \u003d b.

наприклад:

log 2 8 \u003d 3 тому, що 8 \u003d 2 3.

Виділимо, що зазначена формулювання логарифма дає можливість відразу визначити значення логарифма, Коли число під знаком логарифма виступає деяким ступенем підстави. І в правду, формулювання логарифма дає можливість обґрунтувати, що якщо b \u003d a з, То логарифм числа b по підставі a дорівнює з. Також ясно, що тема логарифмирования тісно взаємопов'язана з темою ступеня числа.

Обчислення логарифма називають логарифмування. Логарифмування - це математична операція взяття логарифма. При логарифмування, твори співмножників трансформується в суми членів.

потенціювання - це математична операція зворотна логарифмуванню. При потенціюванні заданий підставу зводиться до степеня вираження, над яким виконується потенцирование. При цьому суми членів трансформуються в твір співмножників.

Досить часто використовуються речові логарифми з підставами 2 (двійковий), е число Ейлера e ≈ 2,718 (натуральний логарифм) і 10 (десятковий).

На даному етапі доцільно розглянути зразки логарифмівlog 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

А записи lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 не мають сенсу, так як в першій з них під знаком логарифма поміщено негативне число, в другій - негативне число в підставі, а в третій - і негативне число під знаком логарифма і одиниця в підставі.

Умови визначення логарифма.

Варто окремо розглянути умови a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0.прі яких дається визначення логарифма. Розглянемо, чому взяті ці обмеження. У цей нам допоможе рівність виду x \u003d log α b , Зване основним логарифмическим тотожністю, яке безпосередньо випливає з даного вище визначення логарифма.

візьмемо умова a ≠ 1. Оскільки одиниця в будь-якого ступеня дорівнює одиниці, то рівність x \u003d log α b може існувати лише при b \u003d 1, Але при цьому log 1 + 1 буде будь-яким дійсним числом. Для виключення цієї неоднозначності і береться a ≠ 1.

Доведемо необхідність умови a\u003e 0. при a \u003d 0 за формулюванням логарифма може існувати тільки при b \u003d 0. І відповідно тоді log 0 0може бути будь-яким відмінним від нуля дійсним числом, так як нуль в будь-який відмінною від нуля ступеня є нуль. Виключити цю неоднозначність дає умова a ≠ 0. А при a<0 нам би довелося відкинути розбір раціональних і ірраціональних значень логарифма, оскільки ступінь з раціональним і ірраціональним показником визначена лише для невід'ємних підстав. Саме з цієї причини і обумовлено умова a\u003e 0.

І остання умова b\u003e 0 випливає з нерівності a\u003e 0, Оскільки x \u003d log α b, А значення ступеня з позитивним підставою a завжди позитивно.

Особливості логарифмів.

логарифми характеризуються відмінними особливостями, Які зумовили їх повсюдне вживання для значного полегшення кропітких розрахунків. При переході «в світ логарифмів» множення трансформується на значно більш легке складання, розподіл - на віднімання, а зведення в ступінь і добування кореня трансформуються відповідне в множення і ділення на показник ступеня.

Формулювання логарифмів і таблицю їх значень (для тригонометричних функцій) вперше видав в 1614 році шотландський математик Джон Непер. Логарифмічні таблиці, збільшені і деталізовані іншими вченими, широко використовувалися при виконанні наукових і інженерних обчислень, і залишалися актуальними поки не стали застосовуватися електронні калькулятори і комп'ютери.

Область допустимих значень (ОДЗ) логарифма

Тепер поговоримо про обмеження (ОДЗ - область допустимих значень змінних).

Ми пам'ятаємо, що, наприклад, квадратний корінь не можна витягати з негативних чисел; або якщо у нас дріб, то знаменник не може дорівнювати нулю. Подібні обмеження є і у логарифмів:

Тобто і аргумент, і підстава повинні бути більше нуля, а підстава ще і не може рівнятися.

Чому так?

Почнемо з простого: припустимо, що. Тоді, наприклад, число не існує, так як в яку б ступінь ми не зводили, завжди виходить. Більш того, не існує ні для кого. Але при цьому може дорівнювати чому завгодно (з тієї ж причини - в будь-якого ступеня одно). Тому об'єкт не становить ніякого інтересу, і його просто викинули з математики.

Схожа проблема у нас і в разі: в будь-якої позитивної ступеня - це, а в негативну його взагалі не можна зводити, так як вийде розподіл на нуль (нагадаю, що).

При ми зіткнемося з проблемою введення в дробовий ступінь (яка представляється у вигляді кореня:. Наприклад, (тобто), а ось не існує.

Тому і негативні підстави простіше викинути, ніж возитися з ними.

Ну а оскільки підставу a у нас буває тільки позитивне, то в яку б ступінь ми його ні зводили, завжди отримаємо число строго позитивне. Значить, аргумент повинен бути позитивним. Наприклад, не існує, так як ні в жодній ступеня не буде негативним числом (і навіть нулем, тому теж не існує).

У завданнях з логарифмами насамперед потрібно записати ОДЗ. Наведу приклад:

Вирішимо рівняння.

Згадаймо визначення: логарифм - це ступінь, в яку треба звести підстава, щоб отримати аргумент. І за умовою, ця ступінь дорівнює:.

Отримуємо звичайне квадратне рівняння:. Вирішимо його за допомогою теореми Вієта: сума коренів дорівнює, а твір. Легко підібрати, це числа і.

Але якщо відразу взяти і записати обидва цих числа у відповіді, можна отримати 0 балів за задачу. Чому? Давайте подумаємо, що буде, якщо підставити ці коріння в початкове рівняння?

Це явно невірно, так як підставу не може бути негативним, тобто корінь - «сторонній».

Щоб уникнути таких неприємних каверз, потрібно записати ОДЗ ще до початку вирішення рівняння:

Тоді, отримавши коріння і, відразу відкинемо корінь, і напишемо правильну відповідь.

приклад 1 (Спробуй вирішити самостійно) :

Знайдіть корінь рівняння. Якщо коренів декілька, у відповіді вкажіть менший з них.

Рішення:

В першу чергу напишемо ОДЗ:

Тепер згадуємо, що таке логарифм: в яку ступінь потрібно звести підставу, щоб отримати аргумент? У другу. Тобто:

Здавалося б, менший корінь дорівнює. Але це не так: відповідно до ОДЗ корінь - сторонній, тобто це взагалі не корінь даного рівняння. Таким чином, рівняння має тільки один корінь:.

відповідь: .

Основна логарифмічна тотожність

Згадаймо визначення логарифма в загальному вигляді:

Підставами в друге рівність замість логарифм:

Це рівність називається основним логарифмическим тотожністю. Хоча по суті це рівність - просто по-іншому записане визначення логарифма:

Це ступінь, в яку потрібно звести, щоб отримати.

наприклад:

Виріши ще такі приклади:

Приклад 2.

Знайдіть значення виразу.

Рішення:

Згадаймо правило з розділу:, тобто, при зведенні ступеня в ступінь показники перемножуються. Застосуємо його:

Приклад 3.

Доведіть, що.

Рішення:

властивості логарифмів

На жаль, завдання не завжди такі прості - найчастіше спершу потрібно спростити вираз, привести його до звичного вигляду, і тільки потім буде можливо порахувати значення. Це найпростіше зробити, знаючи властивості логарифмів. Так що давай вивчимо основні властивості логарифмів. Кожне з них я буду доводити, адже будь-яке правило простіше запам'ятати, якщо знати, звідки воно береться.

Всі ці якості необхідно обов'язково запам'ятати, без них більшість завдань з логарифмами вирішити не вийде.

А тепер про всі властивості логарифмів докладніше.

Властивість 1:

Доведення:

Нехай, тоді.

Маємо:, ч.т.д.

Властивість 2: Сума логарифмів

Сума логарифмів з однаковими підставами дорівнює логарифму твору: .

Доведення:

Нехай, тоді. Нехай, тоді.

приклад:Знайдіть значення виразу:.

Рішення: .

Тільки що вивчена формула допомагає спростити суму логарифмів, а не різницю, так що відразу ці логарифми не об'єднати. Але можна зробити навпаки - «розбити» перший логарифм на два: А ось обіцяне спрощення:
.
Навіщо це потрібно? Ну наприклад: чому дорівнює?

Тепер очевидно, що.

тепер спрости сам:

завдання:

відповіді:

Властивість 3: Різниця логарифмів:

Доведення:

Все точно так же, як і в пункті 2:

Нехай, тоді.

Нехай, тоді. маємо:

Приклад з минулого пункту тепер стає ще простіше:

Приклад складніше:. Здогадаєшся сам, як вирішити?

Тут потрібно зауважити, що у нас немає жодної формули про логарифми в квадраті. Це щось схоже на вираз - таке відразу не спростити.

Тому відвернемося від формул про логарифми, і подумаємо, які взагалі формули ми використовуємо в математиці найчастіше? Ще починаючи з 7 класу!

Це -. Потрібно звикнути до того, що вони всюди! І в показових, і в тригонометричних, і в ірраціональних завданнях вони зустрічаються. Тому їх потрібно обов'язково пам'ятати.

Якщо придивитися до перших двох складовою, стає ясно, що це різницю квадратів:

Відповідь для перевірки:

Спрости сам.

приклади

Відповіді.

Властивість 4: Винесення показника ступеня з аргументу логарифма:

Доведення:І тут теж використовуємо визначення логарифма: нехай, тоді. Маємо:, ч.т.д.

Можна зрозуміти це правило так:

Тобто ступінь аргументу виноситься вперед логарифма, як коефіцієнт.

приклад:Знайдіть значення виразу.

Рішення: .

Виріши сам:

приклади:

відповіді:

Властивість 5: Винесення показника ступеня з підстави логарифма:

Доведення:Нехай, тоді.

Маємо:, ч.т.д.
Запам'ятовуємо: з основи ступінь виноситься як зворотне число, на відміну від попереднього випадку!

Властивість 6: Винесення показника ступеня з підстави і аргументи логарифма:

Або якщо ступеня однакові:.

Властивість 7: Перехід до нового основи:

Доведення:Нехай, тоді.

Маємо:, ч.т.д.

Властивість 8: Заміна місцями підстави і аргументи логарифма:

Доведення:Це окремий випадок формули 7: якщо підставити, отримаємо:, ч.т.д.

Розглянемо ще кілька прикладів.

Приклад 4.

Знайдіть значення виразу.

Використовуємо властивість логарифмів № 2 - сума логарифмів з однаковим підставою дорівнює логарифму твору:

Приклад 5.

Знайдіть значення виразу.

Рішення:

Використовуємо властивість логарифмів № 3 і № 4:

Приклад 6.

Знайдіть значення виразу.

Рішення:

Використовуємо властивість № 7 - перейдемо до основи 2:

Приклад 7.

Знайдіть значення виразу.

Рішення:

Як тобі стаття?

Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти прочитав всю статтю.

І це круто!

А тепер розкажи нам як тобі стаття?

Навчився ти вирішувати логарифми? Якщо немає, то в чому проблема?

Пиши нам в коментах нижче.

І, так, удачі на іспитах.

На ЄДІ і ОГЕ і взагалі в житті

\\ (A ^ (b) \u003d c \\) \\ (\\ Leftrightarrow \\) \\ (\\ log_ (a) (c) \u003d b \\)

Пояснимо простіше. Наприклад, \\ (\\ log_ (2) (8) \\) дорівнює ступеню, в яку треба звести \\ (2 \\), щоб отримати \\ (8 \\). Звідси зрозуміло, що \\ (\\ log_ (2) (8) \u003d 3 \\).

приклади:		\\ (\\ Log_ (5) (25) \u003d 2 \\)		тому \\ (5 ^ (2) \u003d 25 \\)
		\\ (\\ Log_ (3) (81) \u003d 4 \\)		тому \\ (3 ^ (4) \u003d 81 \\)
		\\ (\\ Log_ (2) \\) \\ (\\ frac (1) (32) \\) \\ (\u003d - 5 \\)		тому \\ (2 ^ (- 5) \u003d \\) \\ (\\ frac (1) (32) \\)

Аргумент і підстава логарифма

Будь логарифм має наступну «анатомію»:

Аргумент логарифма зазвичай пишеться на його рівні, а підстава - підстрочним шрифтом ближче до знаку логарифма. А читається цей запис так: «логарифм двадцяти п'яти по підставі п'ять».

Як обчислити логарифм?

Щоб обчислити логарифм - потрібно відповісти на питання: в який ступінь слід звести підставу, щоб отримати аргумент?

наприклад, Обчисліть логарифм: а) \\ (\\ log_ (4) (16) \\) б) \\ (\\ log_ (3) \\) \\ (\\ frac (1) (3) \\) в) \\ (\\ log _ (\\ sqrt (5)) (1) \\) г) \\ (\\ log _ (\\ sqrt (7)) (\\ sqrt (7)) \\) д) \\ (\\ log_ (3) (\\ sqrt (3)) \\)

а) В який ступінь треба звести \\ (4 \\), щоб отримати \\ (16 \\)? Очевидно в другу. Тому:

\\ (\\ Log_ (4) (16) \u003d 2 \\)

\\ (\\ Log_ (3) \\) \\ (\\ frac (1) (3) \\) \\ (\u003d - 1 \\)

в) У який ступінь треба звести \\ (\\ sqrt (5) \\), щоб отримати \\ (1 \\)? А який ступінь робить будь-яке число одиницею? Нуль, звичайно!

\\ (\\ Log _ (\\ sqrt (5)) (1) \u003d 0 \\)

г) В який ступінь треба звести \\ (\\ sqrt (7) \\), щоб отримати \\ (\\ sqrt (7) \\)? В першу - будь-яке число в першого ступеня дорівнює самому собі.

\\ (\\ Log _ (\\ sqrt (7)) (\\ sqrt (7)) \u003d 1 \\)

д) В який ступінь треба звести \\ (3 \\), щоб отримати \\ (\\ sqrt (3) \\)? З ми знаємо, що - це подрібнена ступінь, і значить квадратний корінь - це ступінь \\ (\\ frac (1) (2) \\).

\\ (\\ Log_ (3) (\\ sqrt (3)) \u003d \\) \\ (\\ frac (1) (2) \\)

приклад : Обчислити логарифм \\ (\\ log_ (4 \\ sqrt (2)) (8) \\)

Рішення :

\\ (\\ Log_ (4 \\ sqrt (2)) (8) \u003d x \\)		Нам треба знайти значення логарифма, позначимо його за ікс. Тепер скористаємося визначенням логарифма: \\ (\\ Log_ (a) (c) \u003d b \\) \\ (\\ Leftrightarrow \\) \\ (a ^ (b) \u003d c \\)
\\ ((4 \\ sqrt (2)) ^ (x) \u003d 8 \\)		Що пов'язує \\ (4 \\ sqrt (2) \\) і \\ (8 \\)? Двійка, тому що і те, і інше число можна представити двійки: \\ (4 \u003d 2 ^ (2) \\) \\ (\\ sqrt (2) \u003d 2 ^ (\\ frac (1) (2)) \\) \\ (8 \u003d 2 ^ (3) \\)
\\ (((2 ^ (2) \\ cdot2 ^ (\\ frac (1) (2)))) ^ (x) \u003d 2 ^ (3) \\)		Зліва скористаємося властивостями ступеня: \\ (a ^ (m) \\ cdot a ^ (n) \u003d a ^ (m + n) \\) і \\ ((a ^ (m)) ^ (n) \u003d a ^ (m \\ cdot n) \\)
\\ (2 ^ (\\ frac (5) (2) x) \u003d 2 ^ (3) \\)		Підстави рівні, переходимо до рівності показників
\\ (\\ Frac (5x) (2) \\) \\ (\u003d 3 \\)		Помножимо обидві частини рівняння на \\ (\\ frac (2) (5) \\)
		Одержаний корінь і є значення логарифма

відповідь : \\ (\\ Log_ (4 \\ sqrt (2)) (8) \u003d 1,2 \\)

Навіщо придумали логарифм?

Щоб це зрозуміти, давайте вирішимо рівняння: \\ (3 ^ (x) \u003d 9 \\). Просто підберіть \\ (x \\), щоб рівність спрацювало. Звичайно, \\ (x \u003d 2 \\).

А тепер вирішите рівняння: \\ (3 ^ (x) \u003d 8 \\). Чому дорівнює ікс? Ось в тому-то й річ.

Самі догадливі скажуть: «ікс трохи менше двох». А як точно записати це число? Для відповіді на це питання і придумали логарифм. Завдяки йому, відповідь тут можна записати як \\ (x \u003d \\ log_ (3) (8) \\).

Хочу підкреслити, що \\ (\\ log_ (3) (8) \\), як і будь-який логарифм - це просто число. Так, виглядає незвично, але зате коротко. Тому що, якби ми захотіли записати його у вигляді десяткового дробу, то воно виглядало б ось так: \\ (+1,892789260714 ..... \\)

приклад : Розв'яжіть рівняння \\ (4 ^ (5x-4) \u003d 10 \\)

Рішення :

\\ (4 ^ (5x-4) \u003d 10 \\)		\\ (4 ^ (5x-4) \\) і \\ (10 \u200b\u200b\\) ніяк до одній підставі не привести. Значить тут не обійтися без логарифма. Скористаємося визначенням логарифма: \\ (A ^ (b) \u003d c \\) \\ (\\ Leftrightarrow \\) \\ (\\ log_ (a) (c) \u003d b \\)
\\ (\\ Log_ (4) (10) \u003d 5x-4 \\)		Дзеркально перевернемо рівняння, щоб ікс був зліва
\\ (5x-4 \u003d \\ log_ (4) (10) \\)		Перед нами . Перенесемо \\ (4 \\) вправо. І не лякайтеся логарифма, ставитеся до нього як до звичайного числа.
\\ (5x \u003d \\ log_ (4) (10) +4 \\)		Поділимо рівняння на 5
\\ (X \u003d \\) \\ (\\ frac (\\ log_ (4) (10) +4) (5) \\)		Ось наше коріння. Так, виглядає незвично, але відповідь не вибирають.

відповідь : \\ (\\ Frac (\\ log_ (4) (10) +4) (5) \\)

Десятковий і натуральний логарифми

Як зазначено у визначенні логарифма, його підставою може бути будь-яке позитивне число, крім одиниці \\ ((a\u003e 0, a \\ neq1) \\). І серед усіх можливих підстав є два зустрічаються настільки часто, що для логарифмів з ними придумали особливу коротку запис:

Натуральний логарифм: логарифм, у якого основа - число Ейлера \\ (e \\) (рівне приблизно \\ (2,7182818 ... \\)), і записується такою логарифм як \\ (\\ ln (a) \\).

Тобто, \\ (\\ Ln (a) \\) це те ж саме, що і \\ (\\ log_ (e) (a) \\)

Десятковий логарифм: логарифм, у якого основа дорівнює 10, записується \\ (\\ lg (a) \\).

Тобто, \\ (\\ Lg (a) \\) це те ж саме, що і \\ (\\ log_ (10) (a) \\), Де \\ (a \\) - деяке число.

Основна логарифмічна тотожність

У логарифмів є безліч властивостей. Одне з них носить назву «Основна логарифмічна тотожність» і виглядає ось так:

\\ (A ^ (\\ log_ (a) (c)) \u003d c \\)

Це властивість випливає безпосередньо з визначення. Подивимося як саме ця формула з'явилася.

Згадаймо коротку запис визначення логарифма:

якщо \\ (a ^ (b) \u003d c \\), то \\ (\\ log_ (a) (c) \u003d b \\)

Тобто, \\ (b \\) - це те ж саме, що \\ (\\ log_ (a) (c) \\). Тоді ми можемо в формулі \\ (a ^ (b) \u003d c \\) написати \\ (\\ log_ (a) (c) \\) замість \\ (b \\). Вийшло \\ (a ^ (\\ log_ (a) (c)) \u003d c \\) - основне логарифмічна тотожність.

Решта властивості логарифмів ви можете знайти. З їх допомогою можна спрощувати і обчислювати значення виразів з логарифмами, які «в лоб» порахувати складно.

приклад : Знайдіть значення виразу \\ (36 ^ (\\ log_ (6) (5)) \\)

Рішення :

відповідь : \(25\)

Як число записати у вигляді логарифма?

Як вже було сказано вище - будь-який логарифм це просто число. Вірно і зворотне: будь-яке число може бути записано як логарифм. Наприклад, ми знаємо, що \\ (\\ log_ (2) (4) \\) дорівнює двом. Тоді можна замість двійки писати \\ (\\ log_ (2) (4) \\).

Але \\ (\\ log_ (3) (9) \\) теж дорівнює \\ (2 \\), значить, також можна записати \\ (2 \u003d \\ log_ (3) (9) \\). Аналогічно і з \\ (\\ log_ (5) (25) \\), і з \\ (\\ log_ (9) (81) \\), і т.д. Тобто, виходить

\\ (2 \u003d \\ log_ (2) (4) \u003d \\ log_ (3) (9) \u003d \\ log_ (4) (16) \u003d \\ log_ (5) (25) \u003d \\ log_ (6) (36) \u003d \\ Таким чином, якщо нам потрібно, ми можемо де завгодно (хоч в рівнянні, хоч у виразі, хоч у нерівності) записувати двійку як логарифм з будь-якою основою - просто як аргумент пишемо підставу в квадраті.

Точно також і з трійкою - її можна записати як \\ (\\ log_ (2) (8) \\), або як \\ (\\ log_ (3) (27) \\), або як \\ (\\ log_ (4) (64) \\) ... Тут ми як аргумент пишемо підставу в кубі:

\\ (3 \u003d \\ log_ (2) (8) \u003d \\ log_ (3) (27) \u003d \\ log_ (4) (64) \u003d \\ log_ (5) (125) \u003d \\ log_ (6) (216) \u003d \\ І з четвіркою:

\\ (4 \u003d \\ log_ (2) (16) \u003d \\ log_ (3) (81) \u003d \\ log_ (4) (256) \u003d \\ log_ (5) (625) \u003d \\ log_ (6) (1296) \u003d \\ І з мінус одиницею:

\\ (- 1 \u003d \\) \\ (\\ log_ (2) \\) \\ (\\ frac (1) (2) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ log_ (3) \\) \\ (\\ frac (1) ( 3) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ log_ (4) \\) \\ (\\ frac (1) (4) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ log_ (5) \\) \\ (\\ frac (1 ) (5) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ log_ (6) \\) \\ (\\ frac (1) (6) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ log_ (7) \\) \\ (\\ frac (1) (7) \\) \\ (... \\)

І з однієї третьої:

\\ (\\ Frac (1) (3) \\) \\ (\u003d \\ log_ (2) (\\ sqrt (2)) \u003d \\ log_ (3) (\\ sqrt (3)) \u003d \\ log_ (4) (\\ sqrt ( 4)) \u003d \\ log_ (5) (\\ sqrt (5)) \u003d \\ log_ (6) (\\ sqrt (6)) \u003d \\ log_ (7) (\\ sqrt (7)) ... \\)

Будь-яке число \\ (a \\) може бути представлено як логарифм з основою \\ (b \\): \\ (a \u003d \\ log_ (b) (b ^ (a)) \\)

{!LANG-e07d88012eb0c2ac17400bda5f13c878!}

{!LANG-43168ddda86aeb37f2a40ba8c833e27a!}

{!LANG-c971f666df3230bd0f84ddf26c72c281!}

приклад : Знайдіть значення виразу \\ (\\ Frac (\\ log_ (2) (14)) (1+ \\ log_ (2) (7)) \\)

Рішення :

відповідь : \(1\)

У міру розвитку суспільства, ускладнення виробництва розвивалася і математика. Рух від простого до складного. Від звичайного обліку методом додавання і віднімання, при їх багаторазовому повторенні, прийшли до поняття множення і ділення. Скорочення багаторазово повторюваною операції множення стало поняттям зведення в ступінь. Перші таблиці залежності чисел від заснування і числа зведення в ступінь були складені ще в VIII столітті індійським математиком Варас. З них і можна відраховувати час виникнення логарифмів.

історичний нарис

Відродження Європи в XVI столітті стимулювало і розвиток механіки. Т ребовался великий обсяг обчислення, Пов'язаних з множенням і діленням багатозначних чисел. Стародавні таблиці надали велику послугу. Вони дозволяли замінювати складні операції на більш прості - додавання і віднімання. Великим кроком вперед стала робота математика Міхаеля Штіфеля, опублікована в 1544 році, в якій він реалізував ідею багатьох математиків. Що дозволило використовувати таблиці не тільки для ступенів у вигляді простих чисел, але і для довільних раціональних.

1614 року шотландець Джон Непер, розвиваючи ці ідеї, вперше ввів новий термін «логарифм числа». Були складені нові складні таблиці для розрахунку логарифмів синусів і косинусів, а також тангенсов. Це сильно скоротило працю астрономів.

Стали з'являтися нові таблиці, які успішно використовувалися вченими протягом трьох століть. Минуло чимало часу, перш ніж нова операція в алгебрі придбала свій завершений вигляд. Було дано визначення логарифма, і його властивості були вивчені.

Тільки в XX столітті з появою калькулятора і комп'ютера людство відмовилося від древніх таблиць, успішно працювали протягом XIII століть.

Сьогодні ми називаємо логарифмом b по підставі a число x, яке є ступенем числа а, щоб вийшло число b. У вигляді формули це записується: x \u003d log a (b).

Наприклад, log 3 (9) буде дорівнює 2. Це очевидно, якщо йти за визначенням. Якщо 3 звести в ступінь 2, то отримаємо 9.

Так, сформульоване визначення ставить тільки одне обмеження, числа a і b повинні бути речовими.

різновиди логарифмів

Класичне визначення носить назву речовинний логарифм і фактично є рішенням рівняння a x \u003d b. Варіант a \u003d 1 є прикордонним і не представляє інтересу. Увага: 1 в будь-якого ступеня дорівнює 1.

Речовий значення логарифма визначено тільки при підставі і аргументі більше 0, при цьому основа не повинна дорівнювати 1.

Особливе місце в області математики грають логарифми, які будуть називатися залежно від величини їх підстави:

Правила та обмеження

Основоположним властивістю логарифмів є правило: логарифм добутку дорівнює логарифмічною сумі. log abp \u003d lоg a (b) + log a (p).

Як варіант цього твердження буде: log з (b / p) \u003d lоg з (b) - log з (p), функція приватного дорівнює різниці функцій.

З попередніх двох правил легко видно, що: lоg a (b p) \u003d p * log a (b).

Серед інших властивостей можна виділити:

Зауваження. Не треба робити поширену помилку - логарифм суми не дорівнює сумі логарифмів.

Багато століть операція пошуку логарифма була досить трудомісткою завданням. Математики користувалися відомою формулою логарифмічною теорії розкладання на многочлен:

ln (1 + x) \u003d x - (x ^ 2) / 2 + (x ^ 3) / 3 - (x ^ 4) / 4 + ... + ((-1) ^ (n + 1)) * (( x ^ n) / n), де n - натуральне число більше 1, що визначає точність обчислення.

Логарифми з іншими підставами обчислювалися, використовуючи теорему про перехід від одного підстави до іншого і властивості логарифма твори.

Так як цей спосіб дуже трудомісткий і при вирішенні практичних завдань трудноосуществім, то використовували заздалегідь складені таблиці логарифмів, що значно прискорювало всю роботу.

У деяких випадках використовували спеціально складені графіки логарифмів, що давало меншу точність, але значно прискорювало пошук потрібного значення. Крива функції y \u003d log a (x), побудована за декількома точками, дозволяє за допомогою звичайної лінійки знаходити значення функції в будь-якій точці. Інженери тривалий час для цих цілей використовували так звану міліметровий папір.

У XVII столітті з'явилися перші допоміжні аналогові обчислювальні умови, які до XIX століття набули закінченого вигляду. Найбільш вдале пристрій одержав назву логарифмічна лінійка. При всій простоті пристрою, її поява значно прискорило процес всіх інженерних розрахунків, і це переоцінити важко. В даний час вже мало хто знайомий з цим пристроєм.

Поява калькуляторів і комп'ютерів зробило безглуздим використання будь-яких інших пристроїв.

Рівняння і нерівності

Для вирішення різних рівнянь і нерівностей з використанням логарифмів застосовуються такі формули:

• Перехід від одного підстави до іншого: lоg a (b) \u003d log c (b) / log c (a);
• Як наслідок попереднього варіанту: lоg a (b) \u003d 1 / log b (a).

Для вирішення нерівностей корисно знати:

• Значення логарифма буде позитивним тільки в тому випадку, коли підстава і аргумент одночасно більше або менше одиниці; якщо хоча б одна умова порушено, значення логарифма буде негативним.
• Якщо функція логарифма застосовується до правої і лівої частини нерівності, і підстава логарифма більше одиниці, то знак нерівності зберігається; в іншому випадку він змінюється.

приклади завдань

Розглянемо кілька варіантів застосування логарифмів і їх властивості. Приклади з рішенням рівнянь:

Розглянемо варіант розміщення логарифма в ступеня:

• Завдання 3. Обчислити 25 ^ log 5 (3). Рішення: в умовах завдання запис аналогічна наступної (5 ^ 2) ^ log5 (3) або 5 ^ (2 * log 5 (3)). Запишемо по-іншому: 5 ^ log 5 (3 * 2), або квадрат числа в якості аргументу функції можна записати як квадрат самої функції (5 ^ log 5 (3)) ^ 2. Використовуючи властивості логарифмів, цей вислів одно 3 ^ 2. Відповідь: в результаті обчислення отримуємо 9.

Практичне застосування

Будучи виключно математичним інструментом, здається далеким від реального життя, що логарифм несподівано придбав велике значення для опису об'єктів реального світу. Важко знайти науку, де його не застосовують. Це в повній мірі відноситься не тільки до природних, а й гуманітарних галузей знань.

логарифмічні залежності

Наведемо кілька прикладів числових залежностей:

Механіка і фізика

Історично механіка і фізика завжди розвивалися з використанням математичних методів дослідження і одночасно служили стимулом для розвитку математики, в тому числі логарифмів. Теорія більшості законів фізики написана мовою математики. Наведемо лише два приклади опису фізичних законів з використанням логарифма.

Вирішувати завдання розрахунку такої складної величини як швидкість ракети можна, застосовуючи формулу Ціолковського, яка поклала початок теорії освоєння космосу:

V \u003d I * ln (M1 / M2), де

• V - кінцева швидкість літального апарату.
• I - питома імпульс двигуна.
• M 1 - початкова маса ракети.
• M 2 - кінцева маса.

Інший важливий приклад - це використання у формулі іншого великого вченого Макса Планка, яка служить для оцінки рівноважного стану в термодинаміки.

S \u003d k * ln (Ω), де

• S - термодинамічна властивість.
• k - постійна Больцмана.
• Ω - статистичний вага різних станів.

хімія

Менш очевидним буде використання формул в хімії, що містять відношення логарифмів. Наведемо теж тільки два приклади:

• Рівняння Нернста, умова окислювально-відновного потенціалу середовища по відношенню до активності речовин і константою рівноваги.
• Розрахунок таких констант, як показник автопроліза і кислотність розчину теж не обходяться без нашої функції.

Психологія і біологія

І вже зовсім незрозуміло до чого тут психологія. Виявляється, сила відчуття добре описується цією функцією як зворотне відношення значення інтенсивності подразника до нижнього значення інтенсивності.

Після вищенаведених прикладів вже не дивує, що і в біології широко використовується тема логарифмів. Про біологічні форми, відповідні логарифмическим спіралям, можна писати цілі томи.

інші області

Здається, неможливо існування світу без зв'язку з цією функцією, і вона править усіма законами. Особливо, коли закони природи пов'язані з геометричною прогресією. Варто звернутися до сайту МатПрофі, і таких прикладів знайдеться безліч в наступних сферах діяльності:

Список може бути нескінченним. Освоївши основні закономірності цієї функції, можна зануритися в світ нескінченної мудрості.

Що таке логарифм?

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")

Що таке логарифм? Як вирішувати логарифми? Ці питання багатьох випускників вводять в ступор. Традиційно тема логарифмів вважається складною, незрозумілою і страшною. Особливо - рівняння з логарифмами.

Це абсолютно не так. Абсолютно! Не вірите? Добре. Зараз, за \u200b\u200bякісь 10 - 20 хвилин ви:

1. Зрозумієте, що таке логарифм.

2. Навчіться вирішувати цілий клас показових рівнянь. Навіть якщо нічого про них не чули.

3. Навчіться обчислювати прості логарифми.

Причому для цього вам потрібно буде знати тільки таблицю множення, так як зводиться число в ступінь ...

Відчуваю, сумніваєтеся ви ... Ну ладно, засікайте час! Поїхали!

Для початку вирішіть в розумі ось таке рівняння:

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.