Лінійна залежність та лінійна незалежність векторів.
Векторні бази. Афінна система координат

В аудиторії знаходиться візок із шоколадками, і кожному відвідувачу сьогодні дістанеться солодка парочка – аналітична геометрія з лінійною алгеброю. У цій статті будуть порушені відразу два розділи вищої математики, і ми подивимося, як вони вживаються в одній обгортці. Зроби паузу, з'їж «Твікс»! …млинець, ну і нісенітниця суперечок. Хоча гаразд, забивати не буду, зрештою, на навчання має бути позитивний настрій.

Лінійна залежність векторів, лінійна незалежність векторів, базис векторівта ін терміни мають не тільки геометричну інтерпретацію, але, перш за все, алгебраїчний сенс. Саме поняття «вектор» з погляду лінійної алгебри – це далеко не завжди той «звичайний» вектор, який ми можемо зобразити на площині чи просторі. За доказом далеко не треба ходити, спробуйте намалювати вектор п'ятивимірного простору. . Або вектор погоди, за яким я щойно сходив на Гісметео: – температура та атмосферний тиск відповідно. Приклад, звичайно, некоректний з точки зору властивостей векторного простору, проте ніхто не забороняє формалізувати дані параметри вектором. Дихання осені.

Ні, я не збираюся вантажити вас теорією, лінійними векторними просторами, завдання полягає в тому, щоб зрозумітивизначення та теореми. Нові терміни (лінійна залежність, незалежність, лінійна комбінація, базис і т.д.) придатні до всіх векторів з точки зору алгебри , але приклади будуть дані геометричні. Таким чином, все просто, доступно та наочно. Крім завдань аналітичної геометрії ми розглянемо деякі типові завдання алгебри. Для освоєння матеріалу бажано ознайомитись з уроками Вектори для чайниківі Як визначити обчислювач?

Лінійна залежність та незалежність векторів площини.
Базис площини та афінна система координат

Розглянемо площину комп'ютерного столу (просто столу, тумбочки, підлоги, стелі, кому що подобається). Завдання полягатиме в наступних діях:

1) Вибрати базис площини. Грубо кажучи, стільниця має довжину і ширину, тому інтуїтивно зрозуміло, що для побудови базису потрібно два вектори. Одного вектора явно мало, три вектори – зайва.

2) На основі обраного базису встановити систему координат(координатну сітку), щоб присвоїти координати всім предметам, що знаходяться на столі.

Не дивуйтесь, спочатку пояснення будуть на пальцях. Причому на ваших. Будь ласка, помістіть вказівний палець лівої рукина край стільниці так, щоб він дивився на монітор. Це буде вектор. Тепер помістіть мізинець правої рукина край столу так само - щоб він був спрямований на екран монітора. Це буде вектор. Усміхніться, ви чудово виглядаєте! Що можна сказати про вектори? Дані вектори колінеарні, а значить, лінійновиражаються один через одного:
, ну, чи навпаки: , де – деяке число, відмінне від нуля.

Картинку цього дійства можна переглянути на уроці Вектори для чайниківде я пояснював правило множення вектора на число.

Чи будуть ваші пальчики задавати базис на площині комп'ютерного столу? Очевидно, що ні. Колінеарні вектори подорожують туди-сюди одномунапрямку, а площина має довжину і ширину.

Такі вектори називають лінійно залежними.

Довідка: Слова «лінійний», «лінійно» позначають те що, що у математичних рівняннях, висловлюваннях немає квадратів, кубів, інших ступенів, логарифмів, синусів тощо. Є тільки лінійні (1-го ступеня) вирази та залежності.

Два векторні площині лінійно залежнітоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Схрестіть пальці на столі, щоб між ними був будь-який кут крім 0 або 180 градусів. Два векторні площинілінійно незалежні в тому і лише тому випадку, якщо вони не колінеарні. Отже, базис отримано. Не треба бентежитись, що базис вийшов «косим» з неперпендикулярними векторами різної довжини. Незабаром ми побачимо, що для його побудови придатний не тільки кут 90 градусів, і не тільки одиничні, рівні за довжиною вектори.

Будь-якийвектор плоскості єдиним чиномрозкладається по базису:
, де - дійсні числа. Числа називають координатами векторау цьому базисі.

Також кажуть, що векторпредставлений у вигляді лінійної комбінаціїбазисних векторів. Тобто вираз називають розкладання векторапо базисуабо лінійною комбінацієюбазових векторів.

Наприклад, можна сказати, що вектор розкладений за ортонормованим базисом площини, а можна сказати, що він представлений у вигляді лінійної комбінації векторів.

Сформулюємо визначення базисуформально: Базисом площининазивається пара лінійно незалежних (неколлінеарних) векторів, , при цьому будь-якийВектор площини є лінійною комбінацією базисних векторів.

Істотним моментом визначення є той факт, що вектори взяті у певному порядку. Базиси – це два абсолютно різні базиси! Як то кажуть, мізинець лівої руки не переставиш на місце мізинця правої руки.

З базисом розібралися, але його недостатньо, щоб задати координатну сітку та присвоїти координати кожному предмету вашого комп'ютерного столу. Чому замало? Вектори є вільними та блукають по всій площині. То як привласнити координати тим маленьким брудним точкам столу, які залишилися після бурхливих вихідних? Необхідний відправний орієнтир. І таким орієнтиром є знайома всім точка – початок координат. Розбираємось із системою координат:

Почну зі «шкільної» організації. Вже на вступному уроці Вектори для чайниківя виділяв деякі відмінності між прямокутною системою координат та ортонормованим базисом. Ось стандартна картина:

Коли говорять про прямокутної системи координат, то найчастіше мають на увазі початок координат, координатні осі та масштаб по осях. Спробуйте набрати в пошуковій системі «прямокутна система координат», і ви побачите, що багато джерел вам розповідатимуть про знайомі з 5-6-го класу координатні осі і про те, як відкладати точки на площині.

З іншого боку, складається враження, що прямокутну систему координат цілком можна визначити через ортонормований базис. І це майже так. Формулювання звучить так:

початком координат, і ортонормованийбазис задають декартову прямокутну систему координат площини . Тобто прямокутна система координат однозначновизначається єдиною точкою та двома одиничними ортогональними векторами. Саме тому ви бачите креслення, яке я привів вище – в геометричних завданнях часто (але далеко не завжди) малюють і вектори, і координатні осі.

Думаю, всім зрозуміло, що за допомогою точки (початку координат) та ортонормованого базису БУДЬ-ЯКІЙ ТОЧЦІ площині і БУДЬ-ЯКОМУ ВЕКТОРУ площиніможна присвоїти координати. Образно кажучи, "на площині все можна пронумерувати".

Чи мають координатні вектори бути одиничними? Ні, вони можуть мати довільну ненульову довжину. Розглянемо точку та два ортогональні вектори довільної ненульової довжини:

Такий базис називається ортогональним. Початок координат з векторами задають координатну сітку, і будь-яка точка площини будь-який вектор мають свої координати в даному базисі. Наприклад, або . Очевидна незручність полягає в тому, що координатні вектори у загальному випадкумають різні довжини, відмінні від одиниці. Якщо довжини дорівнюють одиниці, то виходить звичний ортонормований базис.

! Примітка : в ортогональному базисі, а також нижче в афінних базисах площини та простору одиниці по осях вважаються УМОВИМИ. Наприклад, в одній одиниці по осі абсцис міститься 4 см, в одній одиниці по осі ординат 2 см. Даної інформації достатньо, щоб при необхідності перевести «нестандартні» координати «наші звичайні сантиметри».

І друге питання, на яке вже насправді дана відповідь – чи обов'язково кут між базисними векторами має дорівнювати 90 градусам? Ні! Як свідчить визначення, базові вектори повинні бути лише неколінеарними. Відповідно кут може бути будь-яким, крім 0 та 180 градусів.

Точка площини, яка називається початком координат, і неколінеарнівектори , , задають афінну систему координат площини :

Іноді таку систему координат називають косокутноїсистемою. Як приклади на кресленні зображені точки та вектори:

Як розумієте, афінна система координат ще менш зручна, у ній не працюють формули довжин векторів та відрізків, які ми розглядали у другій частині уроку Вектори для чайників, багато смачні формули, пов'язані з скалярним твором векторів. Зате справедливі правила складання векторів і множення вектора на число, формули поділу відрізка в даному відношенні, а також деякі типи завдань, які ми швидко розглянемо.

А висновок такий, що найзручнішим окремим випадком афінної системи координат є декартова прямокутна система. Тому її, рідну, найчастіше і доводиться бачити. …Втім, все в цьому житті відносно – існує чимало ситуацій, в яких доречна саме косокутна (або якась інша, наприклад, полярна) система координат. Та й гуманоїдам такі системи можуть прийтись до смаку =)

Переходимо до практичної частини. Усі завдання даного уроку справедливі як прямокутної системи координат, так загального афінного випадку. Складного тут немає, весь матеріал доступний навіть школяру.

Як визначити колінеарність векторів площини?

Типова річ. Для того, щоб два вектори площині були колінеарні, необхідно і достатньо, щоб їхні відповідні координати були пропорційними. Фактично, це покоординатная деталізація очевидного співвідношення .

Приклад 1

а) Перевірити, чи колінеарні вектори .
б) Чи утворюють базис вектори ?

Рішення:
а) З'ясуємо, чи існує для векторів коефіцієнт пропорційності, такий, щоб виконувались рівності:

Обов'язково розповім про «піжонський» різновид застосування цього правила, який цілком прокочує на практиці. Ідея полягає в тому, щоб одразу скласти пропорцію і подивитися, чи буде вона вірною:

Складемо пропорцію із відносин відповідних координат векторів:

Скорочуємо:
, таким чином, відповідні координати пропорційні, отже,

Ставлення можна було скласти і навпаки, це рівноцінний варіант:

Для самоперевірки можна використовувати те, що колінеарні вектори лінійно виражаються один через одного. У цьому випадку мають місце рівності . Їхня справедливість легко перевіряється через елементарні дії з векторами:

б) Два вектори площини утворюють базис, якщо вони колінеарні (лінійно незалежні). Досліджуємо на колінеарність вектори . Складемо систему:

З першого рівняння випливає, що , з другого рівняння випливає, що , отже, система несумісна(Рішень немає). Таким чином, відповідні координати векторів не є пропорційними.

Висновок: вектори лінійно незалежні та утворюють базис.

Спрощена версія рішення виглядає так:

Складемо пропорцію з відповідних координат векторів :
, Отже, ці вектори лінійно незалежні і утворюють базис.

Зазвичай такий варіант бракують рецензенти, але виникає проблема у випадках, коли деякі координати дорівнюють нулю. Ось так: . Або так: . Або так: . Як тут діяти через пропорцію? (Справді, на нуль ж ділити не можна). Саме з цієї причини я назвав спрощене рішення «піжонським».

Відповідь:а), б) утворюють.

Невеликий творчий приклад для самостійного вирішення:

Приклад 2

При якому значенні параметра вектори будуть колінеарні?

У зразку рішення параметр знайдено через пропорцію.

Існує витончений алгебраїчний спосіб перевірки векторів на колінеарність., систематизуємо наші знання і п'ятим пунктом додамо його:

Для двох векторів площини еквівалентні наступні твердження:

2) вектори утворюють базис;
3) вектори не колінеарні;

+ 5) визначник, складений із координат даних векторів, відмінний від нуля.

Відповідно, еквівалентні наступні протилежні твердження:
1) вектори лінійно залежні;
2) вектори не утворюють базис;
3) вектори колінеарні;
4) вектори можна лінійно виразити один через одного;
+ 5) визначник, складений з координат даних векторів, дорівнює нулю.

Я дуже і дуже сподіваюся, що на даний момент вам вже зрозумілі всі терміни і твердження, що зустрілися.

Розглянемо докладніше новий, п'ятий пункт: два вектори площині колінеарні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений з координат даних векторів, дорівнює нулю:. Для застосування цієї ознаки, природно, потрібно вміти знаходити визначники.

ВирішимоПриклад 1 другим способом:

а) Обчислимо визначник, складений координат векторів :
, Отже, ці вектори колінеарні.

б) Два вектори площини утворюють базис, якщо вони колінеарні (лінійно незалежні). Обчислимо визначник, складений координат векторів :
, Отже, вектори лінійно незалежні і утворюють базис.

Відповідь:а), б) утворюють.

Виглядає значно компактніше та симпатичніше, ніж рішення з пропорціями.

З допомогою розглянутого матеріалу можна встановлювати як колінеарність векторів, а й доводити паралельність відрізків, прямих. Розглянемо пару завдань із конкретними геометричними фігурами.

Приклад 3

Дано вершини чотирикутника. Довести, що чотирикутник є паралелограмом.

Доведення: Креслення в задачі будувати не потрібно, оскільки рішення буде чисто аналітичним Згадуємо визначення паралелограма:
Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

Таким чином, необхідно довести:
1) паралельність протилежних сторін та ;
2) паралельність протилежних сторін та .

Доводимо:

1) Знайдемо вектори:

2) Знайдемо вектори:

Вийшов той самий вектор («по шкільному» – рівні вектори). Колінеарність дуже очевидна, але рішення таки краще оформити з толком, з розстановкою. Обчислимо визначник, складений координат векторів :
, Отже, ці вектори колінеарні, і .

Висновок: Протилежні сторони чотирикутника попарно паралельні, отже, він є паралелограмом за визначенням. Що й потрібно було довести.

Більше фігур хороших та різних:

Приклад 4

Дано вершини чотирикутника. Довести, що чотирикутник є трапецією.

Для суворішого формулювання докази краще, звичайно, роздобути визначення трапеції, але досить і просто згадати, як вона виглядає.

Це завдання самостійного рішення. Повне рішення наприкінці уроку.

А тепер настав час потихеньку перебиратися з площини в простір:

Як визначити колінеарність векторів простору?

Правило дуже схоже. Для того щоб два вектори простору були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх відповідні координати були пропорційними.

Приклад 5

З'ясувати, чи колінеарні будуть наступні вектори простору:

а);
б)
в)

Рішення:
а) Перевіримо, чи є коефіцієнт пропорційності для відповідних координат векторів:

Система не має рішення, отже вектори не колінеарні.

«Спрощенка» оформляється перевіркою пропорції. В даному випадку:
– відповідні координати не пропорційні, отже вектори не колінеарні.

Відповідь:вектори не колінеарні.

б-в) Це пункти самостійного рішення. Спробуйте оформити його двома способами.

Існує метод перевірки просторових векторів на колінеарність та через визначник третього порядку, даний спосіб висвітлено у статті Векторний твір векторів.

Аналогічно плоскому випадку розглянутий інструментарій може застосовуватися з метою дослідження паралельності просторових відрізків і прямих.

Ласкаво просимо до другого розділу:

Лінійна залежність та незалежність векторів тривимірного простору.
Просторовий базис та афінна система координат

Багато закономірностей, які ми розглянули на площині, будуть справедливими і простору. Я постарався мінімізувати конспект з теорії, оскільки левова частка інформації вже розжована. Тим не менш, рекомендую уважно прочитати вступну частину, оскільки з'являться нові терміни та поняття.

Тепер замість площини комп'ютерного столу досліджуємо тривимірний простір. Спочатку створимо його базис. Хтось зараз знаходиться в приміщенні, хтось на вулиці, але в будь-якому разі нам нікуди не подітися від трьох вимірів: ширини, довжини та висоти. Тому для побудови базису потрібно три просторові вектори. Одного-двох векторів мало, четвертий – зайвий.

І знову розминаємось на пальцях. Будь ласка, підніміть руку вгору і розчепірте в різні боки великий, вказівний та середній палець. Це будуть вектори, вони дивляться у різні боки, мають різну довжину та мають різні кути між собою. Вітаю, базис тривимірного простору готовий! До речі, не потрібно демонструвати таке викладачам, як не крути пальцями, а від визначень нікуди не подітися =)

Далі поставимо важливе питання, будь-які три вектори утворюють базис тривимірного простору? Будь ласка, щільно притисніть три пальці до стільниці комп'ютерного столу. Що сталося? Три вектори розташувалися в одній площині, і, грубо кажучи, у нас зник один із вимірів – висота. Такі вектори є компланарнимиі цілком очевидно, що базису тривимірного простору не створюють.

Слід зазначити, що компланарні вектори нічого не винні лежати у одній площині, можуть перебувати у паралельних площинах (тільки робіть цього з пальцями, так відривався лише Сальвадор Далі =)).

Визначення: вектори називаються компланарнимиякщо існує площина, якою вони паралельні. Тут логічно додати, що якщо такої площини не існує, то вектори будуть не компланарні.

Три компланарні вектори завжди лінійно залежнітобто лінійно виражаються один через одного. Для простоти знову припустимо, що вони лежать в одній площині. По-перше, вектори мало того, що компланарні, можуть бути ще колінеарні, тоді будь-який вектор можна виразити через будь-який вектор. У другому випадку, якщо, наприклад, вектори не колінеарні, то третій вектор виражається через них єдиним чином: (а чому легко здогадатися за матеріалами попереднього розділу).

Справедливе та зворотне твердження: три некомпланарні вектори завжди лінійно незалежні, тобто аж ніяк не виражаються один через одного. І, очевидно, лише такі вектори можуть утворити базис тривимірного простору.

Визначення: Базисом тривимірного просторуназивається трійка лінійно незалежних (некомпланарних) векторів, взятих у певному порядкупри цьому будь-який вектор простору єдиним чиномрозкладається по даному базису , де координати вектора в даному базисі

Нагадую, також можна сказати, що вектор представлений у вигляді лінійної комбінаціїбазових векторів.

Поняття системи координат вводиться так само, як і для плоского випадку, достатньо однієї точки та будь-яких трьох лінійно незалежних векторів:

початком координат, і некомпланарнівектори , взяті у певному порядку, задають афінну систему координат тривимірного простору :

Звичайно, координатна сітка «коса» і малозручна, але побудована система координат дозволяє нам однозначновизначити координати будь-якого вектора та координати будь-якої точки простору. Аналогічно площині, в афінній системі координат простору не працюватимуть деякі формули, про які я вже згадував.

Найбільш звичним і зручним окремим випадком афінної системи координат є прямокутна система координат простору:

Точка простору, яка називається початком координат, і ортонормованийбазис задають декартову прямокутну систему координат простору . Знайоме зображення:

Перед тим, як перейти до практичних завдань, знову систематизуємо інформацію:

Для трьох векторів простору еквівалентні наступні твердження:
1) вектори лінійно незалежні;
2) вектори утворюють базис;
3) вектори не компланарні;
4) вектори не можна лінійно виразити один через одного;
5) визначник, складений координат даних векторів, відмінний від нуля.

Протилежні висловлювання, гадаю, зрозумілі.

Лінійна залежність/незалежність векторів простору традиційно перевіряється за допомогою визначника (пункт 5). Практичні завдання, що залишилися, носитимуть яскраво виражений алгебраїчний характер. Пора повісити на цвях геометричну ключку і орудувати бейсбольною битою лінійною алгебри:

Три вектор просторукомпланарні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений координат даних векторів, дорівнює нулю : .

Звертаю увагу на невеликий технічний нюанс: координати векторів можна записувати не тільки у стовпці, а й у рядки (значення визначника від цього не зміниться – див. властивості визначників). Але набагато краще у стовпці, оскільки це вигідніше для вирішення деяких практичних завдань.

Тим читачам, які трошки забули методи розрахунку визначників, а може і взагалі слабо в них орієнтуються, рекомендую один із моїх найстаріших уроків: Як визначити обчислювач?

Приклад 6

Перевірити, чи утворюють базис тривимірного простору такі вектори:

Рішення: Фактично все рішення зводиться до обчислення визначника

а) Обчислимо визначник, складений із координат векторів (визначник розкритий по першому рядку):

, Отже, вектори лінійно незалежні (не компланарні) і утворюють базис тривимірного простору.

Відповідь: дані вектори утворюють базис

б) Це пункт самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Трапляються і творчі завдання:

Приклад 7

За якого значення параметра вектори будуть компланарні?

Рішення: Вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений координат даних векторів дорівнює нулю:

Фактично, потрібно вирішити рівняння з визначником. Налітаємо на нулі як шуліки на тушканчиків - визначник найвигідніше розкрити по другому рядку і відразу ж позбутися мінусів:

Проводимо подальші спрощення та зводимо справу до найпростішого лінійного рівняння:

Відповідь: при

Тут легко виконати перевірку, для цього потрібно підставити отримане значення у вихідний визначник та переконатися, що , розкривши його наново.

На закінчення розглянемо ще одну типову задачу, яка носить більше алгебраїчний характер і зазвичай включається до курсу лінійної алгебри. Вона настільки поширена, що заслуговує на окремий топік:

Довести, що 3 вектори утворюють базис тривимірного простору
та знайти координати 4-го вектора в даному базисі

Приклад 8

Дано вектори. Показати, що вектори утворюють базис тривимірного простору та знайти координати вектора у цьому базисі.

Рішення: Спочатку розбираємось з умовою За умовою дано чотири вектори, і, як бачите, вони вже мають координати в деякому базисі. Який це базис – нас не цікавить. А цікавить така річ: три вектори цілком можуть утворювати новий базис. І перший етап повністю збігається з рішенням Прикладу 6, необхідно перевірити, чи вектори справді лінійно незалежні:

Обчислимо визначник, складений координат векторів :

, Отже, вектори лінійно незалежні і утворюють базис тривимірного простору.

! Важливо : координати векторів обов'язковозаписуємо у стовпцівизначника, а не в рядки. Інакше буде плутанина у подальшому алгоритмі розв'язання.

Визначення. Лінійна комбінація векторів a 1 , ..., a n з коефіцієнтами x 1 , ..., x n називається вектор

x 1 a 1 + ... + x n a n.

тривіальноюякщо всі коефіцієнти x 1 , ..., x n рівні нулю.

Визначення. Лінійна комбінація x 1 a 1 + ... + x n a n називається нетривіальною, якщо хоча б один з коефіцієнтів x 1, ..., x n не дорівнює нулю.

лінійно незалежними, якщо немає нетривіальної комбінації цих векторів рівної нульовому вектору .

Тобто вектора a 1 ..., a n лінійно незалежні якщо x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 тоді і тільки тоді, коли x 1 = 0, ..., x n = 0.

Визначення. Вектори a 1 , ..., a n називаються лінійно залежнимиякщо існує нетривіальна комбінація цих векторів дорівнює нульовому вектору.

Властивості лінійно залежних векторів:

Для 2-х та 3-х мірних векторів.

Два лінійно залежні вектори - колінеарні. (Колінеарні вектори - лінійно залежні.) .

Для трьох мірних векторів.

Три лінійно залежні вектори - компланарні. (Три компланарні вектори - лінійно залежні.)

• Для n-мірних векторів.

  n + 1 вектор завжди лінійно залежні.

Приклади завдань на лінійну залежність та лінійну незалежність векторів:

Приклад 1. Перевірити чи вектора a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) лінійно незалежними.

Рішення:

Вектори будуть лінійно залежними, оскільки розмірність векторів менша за кількість векторів.

Приклад 2. Перевірити чи вектора a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) лінійно незалежними.

Рішення:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

з першого рядка віднімемо другий; до третього рядка додамо другий:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Дане рішення показує, що система має безліч рішень, тобто існує не нульова комбінація значень чисел x 1 x 2 x 3 таких, що лінійна комбінація векторів a, b, c дорівнює нульовому вектору, наприклад:

A + b + c = 0

а це означає вектори a, b, c лінійно залежні.

Відповідь:вектора a, b, c лінійно залежні.

Приклад 3. Перевірити чи вектора a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) лінійно незалежними.

Рішення:Знайдемо значення коефіцієнтів при якому лінійна комбінація цих векторів дорівнюватиме нульовому вектору.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Це векторне рівняння можна записати у вигляді системи лінійних рівнянь

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Вирішимо цю систему використовуючи метод Гауса

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

з другого рядка віднімемо перший; з третього рядка віднімемо перший:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

з першого рядка віднімемо другий; до третього рядка додамо другий.

Завдання 1.З'ясувати, чи система векторів є лінійно незалежною. Систему векторів задаватимемо матрицею системи, стовпці якої складаються з координат векторів.

.

Рішення.Нехай лінійна комбінація дорівнює нулю. Записавши цю рівність у координатах, отримаємо таку систему рівнянь:

.

Така система рівнянь називається трикутною. Вона має єдине рішення . Отже, вектори лінійно незалежні.

Завдання 2.З'ясувати, чи є лінійно незалежною система векторів.

.

Рішення.Вектори лінійно незалежні (див. задачу 1). Доведемо, що вектор є лінійною комбінацією векторів . Коефіцієнти розкладання за векторами визначаються із системи рівнянь

.

Ця система як трикутна має єдине рішення.

Отже, система векторів лінійно залежна.

Зауваження. Матриці, такого виду, як у задачі 1, називаються трикутними , а задачі 2 – східчасто-трикутними . Питання лінійної залежності системи векторів легко вирішується, якщо матриця, складена з координат цих векторів, є східчасто трикутною. Якщо матриця не має спеціального вигляду, то за допомогою елементарних перетворень рядків , Що зберігають лінійні співвідношення між стовпцями, її можна привести до східчасто-трикутного вигляду.

Елементарними перетвореннями рядківматриці (ЕПС) називаються наступні операції над матрицею:

1) перестановка рядків;

2) множення рядка на відмінне від нуля число;

3) додавання до рядка іншого рядка, помноженого на довільне число.

Завдання 3.Знайти максимальну лінійно незалежну підсистему та обчислити ранг системи векторів

.

Рішення.Наведемо матрицю системи за допомогою ЕПС до східчасто-трикутного вигляду. Щоб пояснити порядок дій, рядок з номером матриці, що перетворюється, позначимо символом . У стовпці після стрілки вказані дії над рядками матриці, які потрібно виконати для отримання рядків нової матриці.

.

Очевидно, що перші два стовпці отриманої матриці лінійно незалежні, третій стовпець є їхньою лінійною комбінацією, а четвертий не залежить від двох перших. Вектори називаються базисними. Вони утворюють максимальну лінійно незалежну підсистему системи , А ранг системи дорівнює трьом.

Базис, координати

Завдання 4.Знайти базис та координати векторів у цьому базисі на безлічі геометричних векторів, координати яких задовольняють умові .

Рішення. Багато є площиною, що проходить через початок координат. Довільний базис на площині складається із двох неколлінеарних векторів. Координати векторів у вибраному базисі визначаються розв'язком відповідної системи лінійних рівнянь.

Існує й інший спосіб вирішення цього завдання, коли знайти базис можна за координатами.

Координати простори є координатами на площині , оскільки пов'язані співвідношенням тобто не є незалежними. Незалежні змінні і (вони називаються вільними) однозначно визначають вектор на площині і, отже, можуть бути обрані координатами в . Тоді базис складається з векторів, що лежать у відповідних наборах вільних змінних і , тобто .

Завдання 5.Знайти базис і координати векторів у цьому базисі на багатьох векторів простору , у яких непарні координати рівні між собою.

Рішення. Виберемо, як і в попередній задачі, координати у просторі .

Так як , то вільні змінні однозначно визначають вектор і, отже, є координатами. Відповідний базис складається з векторів.

Завдання 6.Знайти базис і координати векторів у цьому базисі на безлічі всіх матриць виду , де - Довільні числа.

Рішення. Кожна матриця з однозначно представлена ​​у вигляді:

Це співвідношення є розкладанням вектора з базису
з координатами .

Завдання 7.Знайти розмірність та базис лінійної оболонки системи векторів

.

Рішення.Перетворимо за допомогою ЕПС матрицю з координат векторів системи до східчасто-трикутного вигляду.

.

Стовпці останньої матриці лінійно незалежні, а стовпці лінійно виражаються крізь них. Отже, вектори утворюють базис , і .

Зауваження. Базис у вибирається неоднозначно. Наприклад, вектори також утворюють базис .

Визначення 1. Лінійною комбінацією векторівназивається сума творів цих векторів на скаляри
:

Визначення 2. Система векторів
називається лінійно залежною системою, якщо лінійна комбінація їх (2.8) перетворюється на нуль:

причому серед чисел
існує хоча б одне, відмінне від нуля.

Визначення 3. Вектори
називаються лінійно незалежними, якщо їхня лінійна комбінація (2.8) звертається в нуль лише у випадку, коли всі числа.

З цих визначень можна одержати такі наслідки.

Наслідок 1. У лінійно залежній системі векторів хоча один вектор може бути виражений як лінійна комбінація інших.

Доведення. Нехай виконано (2.9) та нехай для визначеності, коефіцієнт
. Маємо тоді:
. Зауважимо, що справедливе та зворотне твердження.

Наслідок 2.Якщо система векторів
містить нульовий вектор, то ця система (обов'язково) лінійно залежна – доказ очевидний.

Наслідок 3. Якщо серед nвекторів
якісь k(
) векторів лінійно залежні, то й усі nвекторів лінійно залежні (опустимо доказ).

2 0 . Лінійні комбінації двох, трьох та чотирьох векторів. Розглянемо питання лінійної залежності та незалежності векторів на прямій, площині та у просторі. Наведемо відповідні теореми.

Теорема 1. Для того, щоб два вектори були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були колінеарними.

Необхідність. Нехай вектори і лінійно залежні. Це означає, що їхня лінійна комбінація
=0 і (заради визначеності)
. Звідси випливає рівність
, та (за визначенням множення вектора на число) вектори і колінеарні.

Достатність. Нехай вектори і колінеарні ( ║) (Припускаємо, що вони відмінні від нульового вектора; інакше їхня лінійна залежність очевидна).

По теоремі (2.7) (див. §2.1, п.2 0) тоді
таке, що
, або
- Лінійна комбінація дорівнює нулю, причому коефіцієнт при дорівнює 1 – вектори і лінійно залежні.

З цієї теореми випливає таке слідство.

Слідство. Якщо вектори і не колінеарні, всі вони лінійно незалежні.

Теорема 2. Для того, щоб три вектори були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були компланарними.

Необхідність. Нехай вектори ,і лінійно залежні. Покажемо, що вони є компланарними.

З визначення лінійної залежності векторів випливає існування чисел
і таких, що лінійна комбінація
, і при цьому (для визначеності)
. Тоді з цієї рівності можна виразити вектор :=
, тобто вектор дорівнює діагоналі паралелограма, побудованого на векторах, що стоять у правій частині цієї рівності (рис.2.6). Це означає, що вектори ,і лежать у одній площині.

Достатність. Нехай вектори ,і компланарні. Покажемо, що вони є лінійно залежними.

Виключимо випадок колінеарності будь-якої пари векторів (бо тоді ця пара лінійно залежна і за наслідком 3 (див.п.1 0) всі три вектори лінійно залежні). Зауважимо, що таке припущення виключає існування нульового вектора серед зазначених трьох.

Перенесемо три компланарні вектори в одну площину і приведемо їх до загального початку. Через кінець вектора проведемо прямі, паралельні векторам і ; отримаємо при цьому вектори і (рис.2.7) – їх існування забезпечене тим, що вектори і не колінеарні за припущенням вектори. Звідси випливає, що вектор =+. Переписавши цю рівність у вигляді (–1) ++=0, укладаємо, що вектори ,і лінійно залежні.

З доведеної теореми випливає два наслідки.

Наслідок 1. Нехай і не колінеарні вектори, вектор - довільний, що лежить у площині, що визначається векторами і , вектор. Існують тоді числа і такі, що

=+. (2.10)

Наслідок 2. Якщо вектори ,і не компланарні, всі вони лінійно незалежні.

Теорема 3. Будь-які чотири вектори лінійно залежні.

Доказ опустимо; з деякими змінами воно копіює доказ теореми 2. Наведемо слідство цієї теореми.

Слідство. Для будь-яких некомпланарних векторів ,,та будь-якого вектора
і такі, що

. (2.11)

Зауваження. Для векторів у (тривимірному) просторі поняття лінійної залежності та незалежності мають, як це випливає з наведених вище теорем 1-3, простий геометричний зміст.

Нехай є два лінійно залежні вектори і . У такому разі один із них є лінійною комбінацією другого, тобто просто відрізняється від нього чисельним множником (наприклад,
). Геометрично це означає, що обидва вектори знаходяться на загальній прямій; вони можуть мати однакове чи протилежне напрями (рис.2.8 хх).

Якщо ж два вектори розташовані під кутом один до одного (рис.2.9 хх), то в цьому випадку не можна отримати один із них множенням іншого на число – такі вектори лінійно незалежні. Отже, лінійна незалежність двох векторів і означає, що ці вектори не можуть бути покладені на одну пряму.

З'ясуємо геометричний зміст лінійної залежності та незалежності трьох векторів.

Нехай вектори ,і лінійно залежні і нехай (для певності) вектор є лінійною комбінацією векторів і , тобто розташований у площині, що містить вектори і . Це означає, що вектори ,і лежать у одній площині. Справедливе та зворотне твердження: якщо вектори ,і лежать у одній площині, всі вони лінійно залежні.

Таким чином, вектори ,і лінійно незалежні в тому і тільки в тому випадку, якщо вони не лежать в одній площині.

3 0 . Поняття базису. Одним із найважливіших понять лінійної та векторної алгебри є поняття базису. Введемо визначення.

Визначення 1. Пара векторів називається упорядкованою, якщо зазначено, який вектор цієї пари вважається першим, а яким другим.

Визначення 2.Упорядкована пара ,Неколлінеарних векторів називається базисом на площині, що визначається заданими векторами.

Теорема 1. Будь-який вектор на площині може бути представлений як лінійна комбінація базової системи векторів ,:

(2.12)

і це уявлення єдине.

Доведення. Нехай вектори і утворюють базис. Тоді будь-який вектор можна уявити у вигляді
.

Для доказу єдиності припустимо, що є ще одне розкладання
. Маємо тоді = 0, причому хоча б одна з різниць відмінна від нуля. Останнє означає, що вектори і лінійно залежні, тобто колінеарні; це суперечить твердженню, що вони утворюють базис.

Але тоді – розкладання єдине.

Визначення 3. Трійка векторів називається впорядкованою, якщо зазначено, який вектор її вважається першим, яким другим, а яким третім.

Визначення 4. Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається базисом у просторі.

Тут також справедлива теорема розкладання та єдиності.

Теорема 2. Будь-який вектор може бути представлений як лінійна комбінація базисної системи векторів ,,:

(2.13)

і це уявлення єдине (опустимо доказ теореми).

У розкладах (2.12) та (2.13) величини називаються координатами вектора у заданому базисі (точніше, афінними координатами).

При фіксованому базисі
і
можна писати
.

Наприклад, якщо заданий базис
і дано, що
, то це означає, що має місце уявлення (розкладання)
.

4 0 . Лінійні операції над векторами у координатній формі. Введення базису дозволяє лінійні операції над векторами замінити звичайними лінійними операціями над числами – координатами цих векторів.

Нехай заданий деякий базис
. Очевидно, завдання координат вектора у цьому базисі повністю визначає сам вектор. Мають місце такі пропозиції:

а) два вектори
і
рівні тоді і лише тоді, коли рівні їхні відповідні координати:

б) при множенні вектора
на число його координати множаться на це число:

; (2.15)

в) при складанні векторів складаються їх відповідні координати:

Докази цих властивостей опустимо; доведемо лише для прикладу властивість б). Маємо

==

Зауваження. У просторі (на площині) можна вибрати безліч базисів.

Наведемо приклад переходу від одного базису до іншого, встановимо співвідношення між координатами вектора різних базисах.

Приклад 1. У базовій системі
задані три вектори:
,
і
. У базисі ,,вектор має розкладання. Знайти координати вектора у базисі
.

Рішення. Маємо розкладання:
,
,
; отже,
=
+2
+
= =
, тобто
у базисі
.

Приклад 2. Нехай у деякому базисі
чотири вектори задані своїми координатами:
,
,
і
.

З'ясувати, чи утворюють вектори
базис; у разі позитивної відповіді знайти розкладання вектора у цьому базисі.

Рішення. 1) вектори утворюють базис, якщо вони є лінійно незалежними. Складемо лінійну комбінацію векторів
(
) і з'ясуємо, за яких
і вона звертається в нуль:
=0. Маємо:

=
+
+
=

За визначенням рівності векторів у координатній формі отримаємо наступну систему (лінійних однорідних алгебраїчних) рівнянь:
;
;
, визначник якої
=1
тобто система має (лише) тривіальне рішення
. Це означає лінійну незалежність векторів
і, отже, вони утворюють базис.

2) розкладемо вектор у цьому базисі. Маємо: =
чи координатної формі.

Переходячи до рівності векторів у координатній формі, отримаємо систему лінійних неоднорідних рівнянь алгебри:
;
;
. Вирішуючи її (наприклад, за правилом Крамера), отримаємо:
,
,
і (
)
. Маємо розкладання вектора у базисі
:=.

5 0 . Вектор проекції на вісь. Властивості проекцій.Нехай є деяка вісь lтобто пряма з обраним на ній напрямом і нехай заданий деякий вектор . Визначимо поняття проекції вектора на вісь l.

Визначення. Проекція вектора на вісь lназивається добуток модуля цього вектора на косинус кута між віссю lта вектором (рис.2.10):

. (2.17)

Наслідком цього визначення є твердження про те, що рівні вектори мають рівні проекції (на ту саму вісь).

Зазначимо властивості проекцій.

1) проекція суми векторів на деяку вісь lдорівнює сумі проекцій доданків векторів на ту ж вісь:

2) проекція добутку скаляра на вектор дорівнює добутку цього скаляра на проекцію вектора на ту ж вісь:

=
. (2.19)

Слідство. Проекція лінійної комбінації векторів на вісь дорівнює лінійній комбінації їх проекцій:

Докази властивостей опустимо.

6 0 . Прямокутна декартова система координат у просторі.Розкладання вектора по ортах осей.Нехай як базис обрані три взаємно перпендикулярні орти; для них вводимо спеціальні позначення
. Помістивши їх початку в крапку O, направимо по них (відповідно до орт
) координатні осі Ox,ОйіO z(вісь з обраним на ній позитивним напрямком, початком відліку та одиницею довжини називається координатною віссю).

Визначення. Упорядкована система трьох взаємно перпендикулярних координатних осей із загальним початком та загальною одиницею довжини називається прямокутною декартовою системою координат у просторі.

Ось Ox називається віссю абсцис, Ой- віссю ординат іO z – віссю аплікат.

Займемося розкладанням довільного вектора за базисом
. З теореми (див.§2.2, п.3 0, (2.13)) випливає, що
може бути і єдиним чином розкладений за базисом
(тут замість позначення координат
вживають
):

. (2.21)

(2.21)
суть (декартові прямокутні) координати вектора . Сенс декартових координат встановлює таку теорему.

Теорема. Декартові прямокутні координати
вектора є проекціями цього вектора відповідно на осі Ox,ОйіO z.

Доведення.Помістимо вектор на початок системи координат – точку O. Тоді його кінець співпадатиме з деякою точкою
.

Проведемо через точку
три площини, паралельні координатним площинам Oyz,Oxzі Oxy(Рис.2.11 хх). Отримаємо тоді:

. (2.22)

В (2.22) вектори
і
називаються складовими вектора
по осях Ox,ОйіO z.

Нехай через
і позначені відповідно кути, утворені вектором з ортами
. Тоді для складових отримаємо такі формули:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

З (2.21), (2.22) (2.23) знаходимо:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

– координати
вектора є проекції цього вектора на координатні осі Ox,ОйіO zвідповідно.

Зауваження. Числа
називаються напрямними косинусами вектора .

Модуль вектор (Діагональ прямокутного паралелепіпеда) обчислюється за формулою:

. (2.24)

З формул (2.23) і (2.24) випливає, що напрямні косинуси можуть бути обчислені за формулами:

=
;
=
;
=
. (2.25)

Зводячи обидві частини кожної з рівностей (2.25) і складаючи почленно ліві та праві частини отриманих рівностей, прийдемо до формули:

– не будь-які три кути утворюють деякий напрямок у просторі, але лише ті, косинуси яких пов'язані співвідношенням (2.26).

7 0 . Радіус-вектор та координати точки.Визначення вектора на його початку і в кінці. Введемо визначення.

Визначення. Радіусом-вектором (позначається ) називається вектор, що з'єднує початок координат Oз цією точкою (рис.2.12 хх):

. (2.27)

Будь-якій точці простору відповідає певний радіус-вектор (і назад). Таким чином, точки простору представляються у векторній алгебрі радіус-векторами.

Очевидно, координати
крапки Mє проекціями її радіус-вектора
на координатні осі:

(2.28’)

і таким чином,

(2.28)

– радіус-вектор точки є вектором, проекції якого на осі координат дорівнюють координатам цієї точки. Звідси випливає два записи:
і
.

Отримаємо формули для обчислення проекцій вектора
за координатами його початку – точці
і кінця – точці
.

Проведемо радіус-вектори
та вектор
(Рис.2.13). Отримаємо, що

=
=(2.29)

– проекції вектора на координатні орти рівні різницям відповідних координат кінця та початку вектора.

8 0 . Деякі завдання на декартові координати.

1) умови колінеарності векторів . З теореми (див.§2.1,п.2 0 формула (2.7)) випливає, що для колінеарності векторів і необхідно і достатньо, щоб виконувалось співвідношення: =. З цієї векторної рівності отримуємо три в координатній формі рівності:, звідки випливає умова колінеарності векторів у координатній формі:

(2.30)

– для колінеарності векторів і необхідно і достатньо, щоб відповідні координати були пропорційні.

2) відстань між точками . З уявлення (2.29) випливає, що відстань
між точками
і
визначається формулою

=
=. (2.31)

3) розподіл відрізка в цьому відношенні . Нехай дані точки
і
та відношення
. Потрібно знайти
– координати точки M (Рис.2.14).

Маємо з умови колінеарності векторів:
, звідки
і

. (2.32)

З (2.32) отримаємо в координатній формі:

З формул (2.32') можна отримати формули для обчислення координат середини відрізка
, вважаючи
:

Зауваження. Вважатимемо відрізки
і
позитивними чи негативними залежно від того, збігається їхній напрямок із напрямком від початку
відрізка до кінця
, чи не збігається. Тоді за формулами (2.32) – (2.32”) можна знаходити координат точки, що ділить відрізок
зовнішнім чином, тобто так, що крапка, що ділить Mзнаходиться на продовженні відрізка
а не всередині його. При цьому, звичайно,
.

4) рівняння сферичної поверхні . Складемо рівняння сферичної поверхні – геометричного місця точок
, рівновіддалених на відстань від деякого фіксованого центру – точки
. Очевидно, що в цьому випадку
та з урахуванням формули (2.31)

Рівняння (2.33) і є рівняння сферичної поверхні, що шукається.

Введені нами лінійні операції над векторамидають можливість складати різні вирази для векторних величинта перетворювати їх за допомогою встановлених для цих операцій властивостей.

З заданого набору векторів а 1 , ..., а n , можна скласти вираз виду

де а 1 ..., а n - довільні дійсні числа. Цей вираз називають лінійною комбінацією векторіва 1, ..., а n. Числа α i , i = 1, n , являють собою коефіцієнти лінійної комбінації. Набір векторів називають ще системою векторів.

У зв'язку з введеним поняттям лінійної комбінації векторів виникає задача опису безлічі векторів, які можуть бути записані у вигляді лінійної комбінації даної системи векторів а 1 ..., а n . Крім того, закономірні питання про умови, за яких існує уявлення вектора у вигляді лінійної комбінації, та про єдиність такого уявлення.

Визначення 2.1.Вектори а 1 ..., а n називають лінійно залежнимиякщо існує такий набір коефіцієнтів α 1 , ... , α n , що

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

і при цьому хоча б один із цих коефіцієнтів ненульовий. Якщо зазначеного набору коефіцієнтів немає, то вектори називають лінійно незалежними.

Якщо α 1 = ... = α n = 0, то, очевидно, α 1 а 1 + ... + α n а n = 0. Маючи це на увазі, можемо сказати так: вектори а 1 , ..., а n лінійно незалежні, якщо з рівності (2.2) випливає, що всі коефіцієнти 1, ... , n рівні нулю.

Наступна теорема пояснює, чому нове поняття названо терміном "залежність" (або "незалежність") і дає простий критерій лінійної залежності.

Теорема 2.1.Щоб вектори а 1 , ..., а n , n > 1, були лінійно залежні, потрібно й достатньо, щоб одне із них був лінійної комбінацією інших.

◄ Необхідність. Припустимо, що вектори а 1 ..., а n лінійно залежні. Згідно з визначенням 2.1 лінійної залежності, рівності (2.2) зліва є хоча б один ненульовий коефіцієнт, наприклад α 1 . Залишивши перше доданок в лівій частині рівності, перенесемо інші в праву частину, змінюючи, як завжди, у них знаки. Розділивши отриману рівність на α 1 , отримаємо

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

тобто. подання вектора a 1 як лінійної комбінації інших векторів а 2 , ..., а n .

Достатність. Нехай, наприклад, перший вектор а 1 можна подати у вигляді лінійної комбінації інших векторів: а 1 = β 2 а 2 + ... + β n а n. Перенісши всі складові з правої частини ліву, отримаємо а 1 - β 2 а 2 - ... - β n а n = 0, тобто. лінійну комбінацію векторів а 1 , ..., а n з коефіцієнтами α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , рівну нульовий вектор.У цій лінійній комбінації не всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Відповідно до визначення 2.1, вектори а 1 ..., а n лінійно залежні.

Визначення та критерій лінійної залежності сформульовані так, що мають на увазі наявність двох або більше векторів. Однак можна говорити про лінійну залежність одного вектора. Щоб реалізувати таку можливість, потрібно замість "вектори лінійно залежні" говорити "система векторів лінійно залежна". Неважко переконатися, що вираз "система з одного вектора лінійно залежна" означає, що цей єдиний вектор є нульовим (у лінійній комбінації є лише один коефіцієнт, і він не повинен дорівнювати нулю).

Поняття лінійної залежності має просту геометричну інтерпретацію. Цю інтерпретацію проясняють такі три твердження.

Теорема 2.2.Два вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли вони колінеарні.

◄ Якщо вектори а і b лінійно залежні, один із них, наприклад а, виражається через інший, тобто. а = b для деякого дійсного числа . Відповідно до визначення 1.7 творивектора на число, вектори і b є колінеарними.

Нехай тепер вектори а та b колінеарні. Якщо вони обидва нульові, то очевидно, що вони лінійно залежні, тому що будь-яка їхня лінійна комбінація дорівнює нульовому вектору. Нехай один із цих векторів не дорівнює 0, наприклад вектор b. Позначимо через λ відношення довжин векторів: λ = |а|/|b|. Колінеарні вектори можуть бути односпрямованимиабо протилежно спрямованими. В останньому випадку у λ змінимо знак. Тоді, перевіряючи визначення 1.7, переконуємось, що а = b. Відповідно до теореми 2.1, вектори а та b лінійно залежні.

Зауваження 2.1.У разі двох векторів, враховуючи критерій лінійної залежності, доведену теорему можна переформулювати так: два вектори колінеарні тоді і лише тоді, коли один з них представляється як твір іншого на число. Це є зручним критерієм колінеарності двох векторів.

Теорема 2.3.Три вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли вони компланарні.

◄ Якщо три вектори а, Ь, з лінійно залежними, то згідно з теоремою 2.1 один з них, наприклад а, є лінійною комбінацією інших: а = βb + γс. Сумісний початок векторів b і с у точці A. Тоді вектори βb, γс матимуть загальний початок у точці A і по правилу паралелограма їх сума,тобто. вектор а, буде вектор з початком A і кінцем, що є вершиною паралелограма, побудованого на векторах складових. Отже, всі вектори лежать у одній площині, т. е. компланарны.

Нехай вектори а, b, компланарні. Якщо один із цих векторів є нульовим, то очевидно, що він буде лінійною комбінацією інших. Достатньо всі коефіцієнти лінійної комбінації взяти рівними нулю. Тому можна вважати, що всі три вектори не є нульовими. Сумісний початкуцих векторів у загальній точці O. Нехай їх кінцями будуть відповідно точки A, B, C (рис. 2.1). Через точку C проведемо прямі, паралельні прямим, що проходить через пари точок O, A і O, B. Позначивши точки перетину через A" та B", отримаємо паралелограм OA"CB", отже, OC" = OA" + OB" . OA" і ненульовий вектор а = OA колінеарні, а тому перший з них може бути отриманий множенням другого на дійсне число α:OA" = αOA . Аналогічно OB" = βOB , β ∈ R. + βOB , тобто вектор є лінійною комбінацією векторів а і b.

Теорема 2.4.Будь-які чотири вектори лінійно залежні.

◄ Доказ проводимо за тією самою схемою, що й у теоремі 2.3. Розглянемо довільні чотири вектори a, b, c і d. Якщо один із чотирьох векторів є нульовим, або серед них є два колінеарні вектори, або три з чотирьох векторів компланарні, то ці чотири вектори лінійно залежні. Наприклад, якщо вектори а і b колінеарні, то ми можемо скласти їх лінійну комбінацію αa + βb = 0 з ненульовими коефіцієнтами, а потім до цієї комбінації додати два вектори, взявши в якості коефіцієнтів нулі. Отримаємо рівну 0 лінійну комбінацію чотирьох векторів, де є ненульові коефіцієнти.

Таким чином, ми можемо вважати, що серед обраних чотирьох векторів немає нульових, жодні два не колінеарні і ніякі три не є компланарними. Виберемо як їхній загальний початок точку О. Тоді кінцями векторів a, b, с, d будуть деякі точки A, B, С, D (рис. 2.2). Через точку D проведемо три площини, паралельні площин ОВС, OCA, OAB, і нехай A", B", С" - точки перетину цих площин з прямими OA, OB, ОС відповідно. Ми отримуємо паралелепіпед OA"C"B"C" B"DA", і вектори a, b, з лежать на його ребрах, що виходять з вершини О. Так як чотирикутник OC"DC" є паралелограмом, то OD = OC" + OC". У свою чергу, відрізок ОС є діагоналлю. паралелограма OA"C"B", так що OC" = OA" + OB" , а OD = OA" + OB" + OC" .

Залишається помітити, що пари векторів OA ≠ 0 і OA" , OB ≠ 0 і OB" , OC ≠ 0 і OC колінеарні, і, отже, можна підібрати коефіцієнти α, β, γ так, що OA" = αOA , OB" = βOB і OC" = γOC. Остаточно отримуємо OD = αOA + βOB + γOC. Отже, вектор OD виражається через решту трьох векторів, а всі чотири вектори, згідно з теоремою 2.1, лінійно залежні.