Безліч дійсних чисел. Операції над множинами. Геометричне зображення дійсних чисел Запис числових множин

Комплексні числа

Основні поняття

Початкові дані про число відносяться до епохи кам'яного віку - палеомеліта. Це «один», «мало» і «багато». Записувалися вони у вигляді зарубок, вузликів і т.д. Розвиток трудових процесів і поява власності змусили людини винайти числа і їх назви. Першими з'явилися натуральні числа N, Одержувані при рахунку предметів. Потім, поряд з необхідністю рахунки, у людей з'явилася потреба вимірювати довжини, площі, обсяги, час і інші величини, де доводилося враховувати і частини вживається заходи. Так виникли дроби. Формальне обгрунтування понять дрібного і негативного числа було здійснено в 19 столітті. Безліч цілих чисел Z- це натуральні числа, натуральні зі знаком мінус і нуль. Цілі і дробові числа утворили сукупність раціональних чисел Q,але і вона виявилася недостатньою для вивчення безперервно змінюються змінних величин. Буття знову показало недосконалість математики: неможливість вирішити рівняння виду х 2 = 3, в зв'язку з чим з'явилися ірраціональні числа I.Об'єднання безлічі раціональних чисел Qі ірраціональних чисел I- безліч дійсних (або речових) чисел R. В результаті числова пряма заповнилася: кожному дійсному числу відповідала на ній точка. Але на безлічі Rнемає можливості вирішити рівняння виду х 2 = – а 2. Отже, знову виникла необхідність розширення поняття числа. Так в 1545 році з'явилися комплексні числа. Їх творець Дж. Кардано називав їх «чисто негативними». Назва «уявні» ввів в 1637 році француз Р. Декарт, в 1777 році Ейлер запропонував використовувати першу букву французького числа iдля позначення уявної одиниці. Цей символ увійшов до загального вжитку завдяки К. Гауса.

Протягом 17 - 18 століть тривало обговорення арифметичної природи мнимостей, їх геометричного тлумачення. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган і німець К. Гаусс незалежно один від одного запропонували зображати комплексне число точкою на координатній площині. Пізніше виявилося, що ще зручніше зображати число не самою точкою, а вектором, що йде в цю точку з початку координат.

Лише до кінця 18 - початку 19 століття комплексні числа зайняли гідне місце в математичному аналізі. Перше їх використання - в теорії диференціальних рівнянь і в теорії гідродинаміки.

Визначення 1.комплексним числомназивається вираз виду, де xі y- дійсні числа, а i- уявна одиниця,.

Два комплексних числа і рівнітоді і тільки тоді, коли,.

Якщо, то число називають чисто уявним; якщо, то число є дійсним числом, це означає, що безліч R З, де З- безліч комплексних чисел.

зв'язанихдо комплексного числа називається комплексне число.

Геометричне зображення комплексних чисел.

Будь-яке комплексне число можна зобразити точкою М(x, y) площині Oxy.Парою дійсних чисел позначаються і координати радіус-вектора , Тобто між безліччю векторів на площині та безліччю комплексних чисел можна встановити взаємно-однозначна відповідність:.

Визначення 2.дійсною частиною х.

позначення: x= Re z(Від латинського Realis).

Визначення 3.уявною частиноюкомплексного числа називається дійсне число y.

позначення: y= Im z(Від латинського Imaginarius).

Re zвідкладається на осі ( Ох), Im zвідкладається на осі ( Оy), Тоді вектор, відповідний комплексному числу - це радіус-вектор точки М(x, y), (Або М(Re z, Im z)) (Рис. 1).

Визначення 4.Площина, точкам якої поставлено у відповідність безліч комплексних чисел, називається комплексної площиною. Вісь абсцис називається дійсною віссю, Так як на ній лежать дійсні числа. Вісь ординат називається уявною віссю, На ній лежать чисто уявні комплексні числа. Безліч комплексних чисел позначається З.

Визначення 5.модулемкомплексного числа z = (x, y) Називається довжина вектора:, тобто .

Визначення 6.аргументомкомплексного числа називається кут між позитивним напрямом осі ( Ох) І вектором: .

Виразний геометричне уявлення системи раціональних чисел може бути отримано наступним чином.

Мал. 8. Числова вісь

На деякій прямій лінії, «числовій осі», відзначимо відрізок від 0 до 1 (рис. 8). Тим самим встановлюється довжина одиничного відрізка, яка, взагалі кажучи, може бути обрана довільно. Позитивні і негативні цілі числа тоді зображуються сукупністю рівновіддалених точок на числовій осі, саме, позитивні числа відзначаються вправо, а негативні - вліво від точки 0. Щоб зобразити числа зі знаменником розділимо кожен з отриманих відрізків одиничної довжини на рівних частин; точки поділу будуть зображувати дроби зі знаменником Якщо зробимо так для значень відповідних всім натуральним числам, то кожне раціональне число буде зображено деякою точкою числової осі. Ці точки ми домовимося називати «раціональними»; взагалі терміни «раціональне число» і «раціональна точка» вживатимемо як синоніми.

У розділі I, § 1 було визначено співвідношення нерівності для натуральних чисел. На числової осі це співвідношення відображено так: якщо натуральне число А менше, ніж натуральне число В, то точка А лежить лівіше точки В. Так як вказане геометричне співвідношення встановлюється для будь-якої пари раціональних точок, то природно намагатися узагальнити арифметичне відношення нерівності таким чином, щоб зберегти цей геометричний порядок для розглянутих точок. Це вдається, якщо прийняти таке визначення: кажуть, що раціональне число А менше, ніж Раціональне число або що число В більше, ніж число якщо різниця позитивна. Звідси випливає (при), що точки (числа) між це ті, які

одночасно Кожна така пара точок разом з усіма точками між ними, називається сегментом (або відрізком) і позначається (а безліч одних тільки проміжних точок - інтервалом (або проміжком), що позначається

Відстань довільної точки А від початку 0, розглядається як позитивне число, називається абсолютним значенням А і позначається символом

Поняття «абсолютне значення» визначається наступним чином: якщо, то якщо то Ясно, що якщо числа мають один і той же знак, то справедливо рівність якщо ж мають різні знаки, то. Поєднуючи ці два результату разом, ми приходимо до спільного нерівності

яке справедливо незалежно від знаків

Факт фундаментальної важливості виражається таким реченням: раціональні точки розташовані на числової прямої всюди щільно. Сенс цього твердження той, що всередині будь-якого інтервалу, як би він не був малий, містяться раціональні точки. Щоб переконатися в справедливості висловленого твердження, досить взяти число настільки велике, що інтервал (буде менше, ніж даний інтервал; тоді щонайменше одна з точок виду виявиться усередині даного інтервалу. Отже, не існує такого інтервалу на числової осі (навіть самого маленького, який тільки можна уявити), всередині якого не було б раціональних точок. звідси випливає подальше слідство: у всякому інтервалі міститься безліч раціональних точок. Дійсно, якби в деякому інтервалі містилося лише кінцеве число раціональних точок, то всередині інтервалу, утвореного двома сусідніми такими точками, раціональних точок вже не було б, а це суперечить тому, що тільки що було доведено.

ДІЙСНІ ЧИСЛА II

§ 37 Геометричне зображення раціональних чисел

нехай Δ є відрізок, прийнятий за одиницю довжини, а l - довільна пряма (рис. 51). Візьмемо на ній якусь точку і позначимо її буквою О.

Кожному позитивної раціональному числу m / n поставимо у відповідність точку прямої l , Що лежить праворуч від С на відстані в m / n одиниць довжини.

Наприклад, числа 2 буде відповідати точка А, що лежить праворуч від О на відстані в 2 одиниці довжини, а числу 5/4 точка В, що лежить праворуч від О на відстані в 5/4 одиниць довжини. Кожному негативного раціональному числу k / l поставимо у відповідність точку прямої, що лежить зліва від О на відстані в | k / l | одиниць довжини. Так, числу - 3 буде відповідати точка С, що лежить зліва від О на відстані в 3 одиниці довжини, а числу - 3/2 точка D, що лежить зліва від О на відстані в 3/2 одиниць довжини. Нарешті, раціональному числу «нуль» поставимо у відповідність точку О.

Очевидно, що при обраному відповідно рівним раціональним числам (наприклад, 1/2 і 2/4) буде відповідати одна і та ж точка, а не рівним між собою числах різні точки прямої. Припустимо, що числу m / n відповідає точка P, а числу k / l точка Q. Тоді, якщо m / n > k / l , То точка Р лежатиме правіше точки Q (рис. 52, а); якщо ж m / n < k / l , То точка Р буде знаходитися лівіше точки Q (рис. 52, б).

Отже, будь-який раціональне число можна геометрично зобразити у вигляді деякої, цілком певної точки прямої. А чи правильно зворотне твердження? Будь-яку чи точку прямої можна розглядати як геометричний образ деякого раціонального числа? Вирішення цього питання ми відкладемо до § 44.

вправи

296. Зобразити точками прямої наступні раціональні числа:

3; - 7 / 2 ; 0 ; 2,6.

297. Відомо, що точка А (риc. 53) служить геометричним зображенням раціонального числа 1/3. Які числа зображують точки В, С і D?

298. На прямій задані дві точки, які служать геометричним зображенням раціональних чисел а і b а + b і а - b .

299. На прямій задані дві точки, які служать геометричним зображенням раціональних чисел а + b і а - b . Знайти на цій прямій точки, що зображують числа а і b .

КВИТОК 1

раціональнічисла - числа, що записуються у вигляді p / q, де q - натурал. число, а p- ціле.

Два числа a = p1 / q1 і b = p2 / q2 звані рівними якщо p1q2 = p2q1, а p2q1 і а> b якщо p1q2 Опр- два дійств покладе числа α = а0, а1, а2 ..., β = b0, b1, b2 ... кажуть що число α<β если a0β. модулемчисла α назив | α | = | + -а0, а1, а2 ... an | = а0, а1, а2 ... an. Кажуть що негативні число α = -а0, а1, а2< отриц числа β=-b0,b1,b2 если |α|>| Β |. Якщо β і α дійств числа причому α<β то сущ-ет рац число R такое что αГеметр інтерпретаціядійств чисел. Дійств вісь - числову вісь. Початок корд- 0. Вся вісь (-∞; + ∞), інтервал - xЄR. Відрізок __, M1 __, 0 __, __, M2 __, __; M1<0 x=a0,a1, M2>0 x = -a0, a1.

КВИТОК 2

Комплексні числа.Комплексні числа

Алгебраїчним рівнянням називається рівняння виду: P n ( x) = 0, де P n ( x) - многочлен n- го ступеня. Пару дійсних чисел xі уназвемо впорядкованої, якщо вказано, яке з них вважається першим, а яке - другим. Позначення впорядкованої пари: ( x, y). Комплексним числом назвемо довільну упорядковану пару дійсних чисел. z = (x, y) -Комплексное число.

x-вещественная частина z, y-мнімая частина z. якщо x= 0 і y= 0, то z= 0. Розглянемо z 1 = (x 1, y 1) і z 2 = (x 2, y 2).

Визначення 1. z 1 = z 2, якщо x 1 = x 2 і y 1 = y 2.

Поняття> і< для комплексных чисел не вводятся.

Геометричне зображення і тригонометрическая форма комплексних чисел.

M ( x, y) « z = x + iy.

½ OM½ = r = ½ z½ =. (Малюнок)

r називається модулем комплексного числа z.

j називається аргументом комплексного числа z. Він визначений з точністю до ± 2p n.

х= Rcosj, y= Rsinj.

z= x+ iy= R (cosj + i sinj) - тригонометрическая форма комплексних чисел.

Затвердження 3.

= (Cos + i sin),

= (Cos + i sin), то

= (Cos (+) + i sin (+)),

= (Cos (-) + i sin (-)) при ¹0.

Затвердження 4.

якщо z= R (cosj + i sinj), то "натурального n:

= (Cos nj + i sin nj),

КВИТОК 3

нехай X-чісловое безліч, що містить хоча б одне число (непорожня множина).

xÎ X- xміститься в Х. ; xÏ X- xне належить Х.

визначення: Безліч Хназивається обмеженим зверху (знизу), якщо існує число М(m) Таке, що для будь-якого x Î Xвиконується нерівність x £ M (x ³ m), При цьому число Мназивається верхньою (нижньою) межею безлічі Х. безліч Хназивається обмеженим зверху, якщо $ M, " x Î Х: x £ M. визначеннянеобмеженого зверху множини. безліч Xназивається необмеженою зверху, якщо " M $ x Î Х: x> M. Визначеннябезліч Xназивається огранич., якщо воно обмежене зверху і знизу, тобто $ М, mтакі, що " x Î Х: m £ x £ M.Еквівалентну визначення огр мн-ва: Безліч Xназивається обмеженим, якщо $ A > 0, " x Î X: ½ x½£ A. Визначення: Найменша з верхніх граней обмеженого зверху безлічі Хназивається його точної верхньою межею, і позначається Sup Х

(Супремум). = Sup Х. Аналогічно можна визначити точну

нижню межу. еквівалентну визначенняточної верхньої межі:

Число називається точною верхньою межею безлічі Х, Якщо: 1) " x Î X: х£ (ця умова показує, що - одна з верхніх граней). 2) " < $ x Î X: х> (Ця умова показує, що -

найменша з верхніх граней).

Sup X= :

1. " xÎ X: x £ .

2. " < $ xÎ X: x> .

inf X(Інфімум) -це точна нижня грань. Поставимо питання: всяке чи обмежене безліч має точні межі?

приклад: Х= {x: x> 0) не має найменшого числа.

Теорема про сущ-ванні точної верх (ниж) межі. Будь-яке непорожнє огранич зверху (знизу) мн-во xÎR має точ верх (ниж) грань.

Теорема про отделимости числових мн-в:▀▀▄

КВИТОК 4

Якщо кожному натурі числу n (n = 1,2,3 ..) поставлено в соотв-е нек число Xn, то кажуть що визна-на і задана послідовність x1, x2 ..., пишуть (Xn), (Xn) .Приклад: Xn = (- 1) ^ n: -1,1, -1,1, ... Після-ть звані огранич. зверху (знизу) якщо мн-во точок x = x1, x2, ... xn лежащия на числової осі огранич зверху (знизу), тобто $ З: Xn £ C " Межа остан-ти:число а звані межею остан-ти, якщо для люб-го ε> 0 $: N (N = N / (ε)). "N> N викон-ся нерівність | Xn-a |<ε. Т.е. – εа-ε Аназивається межею числової послідовності {a n), Якщо

при n> N.

Единственность межіобмеженою і сходящейся послідовності

Свойство1: Збіжна послідовність має тільки один межа.

Доказ: від противного нехай аі bмежі сходящейся послідовності (x n), причому a не дорівнює b. розглянемо нескінченно малі послідовності (α n) = (x n -a) і (β n) = (x n -b). Оскільки всі елементи б.м. послідовності (α n -β n) мають одне і теж значення b-a, то за властивістю б.м. послідовності b-a = 0 тобто b = a і ми прийшли до протиріччя.

Властивість2: Збіжна послідовність обмежена.

Доказ: Нехай а - межа сходящейся послідовності (x n), тоді α n = x n -a є елемент б.м. послідовності. Візьмемо будь-яке ε> 0 і за нього знайдемо N ε: / x n -a /< ε при n>N ε. Позначимо через b найбільше з чисел ε + / а /, / х1 /, / х2 /, ..., / г N ε-1 /, х N ε. Очевидно, що / г n /

Зауваження: обмежена послідовність може і не бути сходиться.

КВИТОК 6

Послідовність а n називається нескінченно малою, це означає, що межа цієї послідовності після дорівнює 0.

a n - нескінченно мала Û lim (n ® + ¥) a n = 0 тобто для будь-якого ε> 0 існує N, таке що для будь-якого n> N виконується | a n |<ε

Теорема.Сума нескінченно малої є нескінченно мале.

a n b n ®бесконечно мале Þ a n + b n - нескінченно мале.

Доведення.

a n - нескінченно мале Û "ε> 0 $ N 1:" n> N 1 Þ | a n |<ε

b n - нескінченно мале Û "ε> 0 $ N 2:" n> N 2 Þ | b n |<ε

Покладемо N = max (N 1, N 2), тоді для будь-якого n> N Þ одночасно виконується обидві нерівності:

| A n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N

Задамо "ε 1> 0, покладемо ε = ε 1/2. Тоді для будь-якого ε 1> 0 $ N = maxN 1 N 2:" n> N Þ | a n + b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то

є a n + b n - нескінченно мале.

теоремаТвір нескінченно малого є нескінченно мале.

a n, b n - нескінченно мале Þ a n b n - нескінченно мале.

докозательство:

Задамо "ε 1> 0, покладемо ε = Öε 1, так як a n і b n - нескінченно мале для цього ε> 0, то знайдеться N 1:" n> N Þ | a n |<ε

$ N 2: "n> N 2 Þ | b n |<ε

Візьмемо N = max (N 1; N 2), тоді "n> N = | a n |<ε

| A n b n | = | a n || b n |<ε 2 =ε 1

"Ε 1> 0 $ N:" n> N | a n b n |<ε 2 =ε 1

lim a n b n = 0 Û a n b n - нескінченно мале, що й треба було довести.

теоремаТвір обмеженою послідовності на нескінченно малу послідовність є нескінченно мала послідовність

а n - обмежена послідовність

a n -нескінченно мала послідовність Þ a n a n - нескінченно мала послідовність.

Доказ: Так як а n - обмежена Û $ З> 0: "nÎ NÞ | a n | £ C

Задамо "ε 1> 0; покладемо ε = ε 1 / C; так як a n - нескінченно мала, то ε> 0 $ N:" n> NÞ | a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n |

"Ε 1> 0 $ N:" n> N Þ | a n a n | = Cε = ε 1 Þ lim (n ® ¥) a n a n = 0Û a n a n - нескінченно мале

послідовність називається ББП(Послідовністю) якщо Пишуть. Очевидно, ББП не обмежена. Зворотне ж твердження взагалі кажучи невірно (приклад). Якщо для великих nчлени, то пишуть це значить, що як тільки.

Аналогічно визначається зміст запису

Нескінченно великі послідовності a n = 2 n ; b n = (- 1) n 2 n; c n = -2 n

визначення(Нескінченно великі послідовності)

1) lim (n ® ¥) a n = + ¥, якщо "ε> 0 $ N:" n> N Þ a n> ε де ε- як завгодно мале.

2) lim (n ® ¥) a n = - ¥, якщо "ε> 0 $ N:" n> N Þ a n<-ε

3) lim (n ® ¥) a n = ¥ Û "ε> 0 $ N:" n> N Þ | a n |> ε

КВИТОК 7

Теорема "Про збіжність монотон. остан-ти "

Будь-яка монотонна остан-ть явл-ся сходящейся, тобто має межі. Док-воНехай остан-ть (xn) монотонно возр. і обмежена зверху. X - все мн-во чисел яке приймає ел-т цієї остан-ти згідно ум. Теореми це мн-во огранич., Тому по соотв. Теоремі воно має кінцеву точну верх. грань supX xn®supX (позначимо supX через х *). Оскільки х * точна верх. грань, то xn £ x * "n." e> 0 вип-ся нер-во $ xm (нехай m- це n з кришкою): xm> x * -e при "n> m => із зазначених 2-х нерівностей отримуємо друга нерівність x * -e £ xn £ x * + e при n> m еквівалентно ½xn-x * ½ m. Це означає, що x * явл. межею остан-ти.

КВИТОК 8

Експонента або число е

Р-рим числ. остан-ть із загальним членом xn = (1 + 1 / n) ^ n (в ступені n) (1). Виявляється, що остан-ть (1) монотонно возр-ет, обмежена зверху і сл-но явл-ся сходящейся, межа цієї пос-ти наз-ся експонентою і позначається символом е »2,7128 ... число е

КВИТОК 9

Принцип вкладених відрізків

Нехай на числовій прямій задана остан-ть відрізків ,, ... ,, ...

Причому ці відрізки удовл-ють сл. ум .:

1) кожен остан-щий вкладений в попередній, тобто Ì, "n = 1,2, ...;

2) Довжини відрізків ®0 з ростом n, тобто lim (n® ¥) (bn-an) = 0. Остан-ть із зазначеними св-вами наз-ют вкладеними.

теоремаБудь-яка остан-ть вкладених відрізків містить єдину т-ку з належить всім відрізкам посл-ти одночасно, з загальна точка всіх відрізків до якої вони стягуються.

Док-во(An) -після-ть лівих кінців відрізків явл. монотонно не убуває і обмеженої зверху числом b1.

(Bn) -після-ть правих кінців монотонно не збільшується, тому ці остан-ти явл. сходяться, тобто сущ-ют числа з1 = lim (n® ¥) an і с2 = lim (n® ¥) bn => c1 = c2 => c - їх загальне значення. Дійсно має межу lim (n® ¥) (bn-an) = lim (n® ¥) (bn) - lim (n® ¥) (an) в силу умови 2) o = lim (n® ¥) (bn- an) = с2-з1 => с1 = с2 = з

Ясно що т. З загальна для всіх відрізків, оскільки "n an £ c £ bn. Тепер доведемо що вона одна.

Припустимо що $ інша з 'до якої стягуються всі відрізки. Якщо взяти будь-які не перетинаються відрізки з і з ', то з одного боку весь "хвіст" остан-тей (an), (bn) повинен нах-ся в околицях т-ки з' '(т.к. An і bn сходяться до з і з 'одночасно). Протиріччя док-ет т-му.

КВИТОК 10

Теорема Больцано-Вейєрштрасса З будь-якої огран. остан-ти можна вибрати сход. подпосл-ть.

1. Оскільки остан-ть обмежена, то $ m і M, таке що "m £ xn £ M," n.

D1 = - відрізок, в якому лежать все т-ки остан-ти. Розділимо його навпіл. Принаймні в одній з половинок буде нах-ся нескінченне число т-к посл-ти.

D2 - та половина, де лежить нескінченне число т-к посл-ти. Ділимо його навпіл. За крани міру в одній з половинок отр. D2 нах-ся нескінченне число т-к посл-ти. Ця половина - D3. Ділимо відрізок D3 ... і т.д. отримуємо остан-ть вкладених відрізків, довгі яких прагнуть до 0. Согластно про т-ме про вкладені відрізках, $ єдностей. т-ка С, кіт. принадл. всім відрізкам D1, будь-яку т-ку Dn1. У відрізку D2 вибираю т-ку xn2, так щоб n2> n1. У відрізку D3 ... і т.д. В результаті пів-му остан-ть xnkÎDk.

КВИТОК 11

КВИТОК 12

фундаментальної

Наприкінці розглянемо питання критерію збіжності числової послідовності.

Нехай тобто .: на ряду з натуральним числом можна підставити в останню нерівність інше натуральне число , тоді

Ми отримали наступне твердження:

Якщо послідовність сходиться, виконується умова Коші:

Числова послідовність задовольняє умові Коші називається фундаментальної. Можна довести, що і справедлива і зворотне твердження. Таким чином ми маємо критерій (необхідна і достатня умова) збіжності послідовності.

Критерій Коші.

Для того, щоб послідовність мала межа необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальною.

Друге значення критерію Коші.Члени послідовності і де nі m- будь-які необмежено зближуються при.

КВИТОК 13

Односторонні межі.

Визначення 13.11.число Аназивається межею функції у = f (x) при х, Яка прагне до х 0зліва (справа), якщо таке, що | f (x) -A|<ε при x 0 - х< δ (х - х 0< δ ).

позначення:

Теорема 13.1 (друге визначення меж).функція y = f (x)має при х,яка прагне до х 0, межа, рівний А, В тому і тільки в тому випадку, якщо обидва її односторонніх межі в цій точці існують і рівні А.

Доведення.

1) Якщо, то і для x 0 - х< δ, и для х - х 0< δ |f (x) - A|<ε, то есть

1) Якщо, то існує δ 1: | f (x) - A| < ε при x 0 - x< δ 1 и δ 2: |f (x) - A| < ε при х - х 0< δ 2. Вибравши з чисел δ 1 і δ 2 менше і прийнявши його за δ, отримаємо, що при | x - x 0| < δ |f (x) - A| < ε, то есть . Теорема доказана.

Зауваження. Оскільки доведено еквівалентність вимог, що містяться у визначенні меж 13.7 і умови існування та рівності односторонніх меж, ця умова можна вважати другим визначенням меж.

Визначення 4 (по Гейне)

число Аназивається межею функції при якщо будь-який ББП значень аргументу послідовність відповідних значень функції сходиться до А.

Визначення 4 (по Коші).

число Аназивається якщо. Доводиться, що ці визначення рівносильні.

КВИТОК 14 і 15

Властивості межі ф-ції в точці

1) Якщо межа в т-ке сущ-ет, то він єдиний

2) Якщо в тке х0 межа ф-ції f (x) lim (x®x0) f (x) = A

lim (x®x0) g (x) £ B => то тоді в цій т-ке $ межа суми, різниці, добутку і частки. Відділення цих 2-х ф-цій.

а) lim (x®x0) (f (x) ± g (x)) = A ± B

б) lim (x®x0) (f (x) * g (x)) = A * B

в) lim (x®x0) (f (x): g (x)) = A / B

г) lim (x®x0) C = C

д) lim (x®x0) C * f (x) = C * A

Теорема 3.

якщо ( resp A ) То $ околиця в якій виконується нерівність > B (resp нехай A> Bпокладемо тоді При обраному ліва з цих нерівностей має вигляд > B respдоводиться 2 частина теореми тільки в цьому випадку беремо Слідство (збереження функції знаки своєї межі).

Вважаючи в теоремі 3 B = 0, Отримуємо: якщо ( resp), То $, у всіх точках, якій буде > 0 (resp<0), тобто функція зберігає знак своєї межі.

теорема 4(Про граничний перехід у нерівності).

Якщо в деякому околі точки (крім можливо самої цієї точки) виконується умова і дані функції мають в точці межі, то. Мовою і. Введемо функцію. Ясно, що в околиці т.. Тоді по теоремі про збереження функції значенні своєї межі маємо, але

Теорема 5.(Про межі проміжної функції).

(1) Якщо і в деякому околі т. (крім можливо самої т.) виконується умова (2), то функція має в т. межа і ця межа дорівнює А.за умовою (1) $ для (тут - найменша околиця точки). Але тоді в силу умови (2) для значення так само буде знаходиться в - околиці точки А,тобто .

КВИТОК 16

Визначення 14.1.функція у = α (х) Називається нескінченно малою при х → х 0,якщо

Властивості нескінченно малих.

1. Сума двох нескінченно малих є нескінченно мала.

Доведення. якщо α (х) і β (х) - нескінченно малі при х → х 0, То існують δ 1 і δ 2 такі, що | α (x)|<ε/2 и |β(x)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α (x) + β (x) | ≤ | α (x) | + | β (x)|<ε, то есть |(α (x) + β (x))-0|<ε. Следовательно, , тобто α (х) + β (х) - нескінченно мала.

Зауваження. Звідси випливає, що сума будь-якого кінцевого числа нескінченно малих є нескінченно мала.

2. Якщо α ( х) - нескінченно мала при х → х 0, а f (x) - функція, обмежена в деякому околі х 0, то α (х) f (x) - нескінченно мала при х → х 0.

Доведення. виберемо число Мтаке, що | f (x) | при | x-x 0 |< δ 1, і знайдемо таке δ 2, що | α (x) |<ε/M при | x-x 0|<δ 2 . Тогда, если выбрать в качестве δ меньшее из чисел δ 1 и δ 2 , |α(X) · f (x) | , тобто α (х) · f (x)- нескінченно мала.

Слідство 1. Твір нескінченно малої на кінцеве число є нескінченно мала.

Слідство 2. Твір двох або декількох нескінченно малих є нескінченно мала.

Слідство 3. Лінійна комбінація нескінченно малих є нескінченно мала.

3. (Третє визначення меж). Якщо, то необхідною і достатньою умовою цього є те, що функцію f (x) Можна представити у вигляді f (x) = A + α (x), Де α (х) - нескінченно мала при х → х 0.

Доведення.

1) Нехай Тоді | f (x) -A|<ε при х → х 0, тобто α (х) = f (x) -A- нескінченно мала при х → х 0.отже , F (x) = A + α (x).

2) Нехай f (x) = A + α (x). тоді значить, | f (x) -A|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, .

Зауваження. Тим самим отримано ще одне визначення меж, еквівалентну двом попереднім.

Нескінченно великі функції.

Визначення 15.1. Функція f (x) називається нескінченно великою при х х 0, якщо

Для нескінченно великих можна ввести таку ж систему класифікації, як і для нескінченно малих, а саме:

1. Нескінченно великі f (x) і g (x) вважаються величинами одного порядку, якщо

2. Якщо, то f (x) вважається нескінченно великою більш високого порядку, ніж g (x).

3. Нескінченно велика f (x) називається величиною k-го порядку щодо нескінченно великою g (x), якщо.

Зауваження. Відзначимо, що а х - нескінченно велика (при а> 1 і х) вищого порядку, ніж x k для будь-якого k, а log a x - нескінченно велика нижчого порядку, ніж будь-яка ступінь х k.

Теорема 15.1. Якщо α (х) - нескінченно мала при х → х 0, то 1 / α (х) - нескінченно велика при х → х 0.

Доведення. Доведемо, що при | x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно,

| 1 / α (x) |> M. Значить,, тобто 1 / α (х) - нескінченно велика при х → х 0.

КВИТОК 17

Теорема 14.7 (перший чудовий межа). .

Доведення. Розглянемо окружність одиничного радіуса з центром в початку координат і будемо вважати, що кут АОВ дорівнює х (радіан). Порівняємо площі трикутника АОВ, сектора АОВ і трикутника АОС, де пряма ОС - дотична до кола, що проходить через точку (1; 0). Очевидно, що .

Використовуючи відповідні геометричні формули для площ фігур, отримаємо звідси, що , Або sinx 0), запишемо нерівність у вигляді:. Тоді, і по теоремі 14.4.