Знайти площу правильної піраміди. Як знайти площу бічної поверхні піраміди

- це фігура, в основі якої лежить довільний багатокутник, а бічні грані представлені трикутниками. Їх вершини лежать в одній точці і відповідають вершині піраміди.

Піраміда може бути різноманітною - трикутної, чотирикутної, шестикутної і т.д. Її назву можна визначити в залежності від кількості кутів, прилеглих до основи.
правильною пірамідою називається піраміда, в якій рівні сторони підстави, кути, і ребра. Також в такій піраміді буде дорівнює площа бічних граней.
Формула площі бічної поверхні піраміди являє собою суму площ всіх її граней:
Тобто, щоб розрахувати площа бічної поверхні довільної піраміди, необхідно знайти площу кожного окремого трикутника і скласти їх між собою. Якщо піраміда усічена, то її межі представлені трапеціями. Для правильної піраміди існує інша формула. У ній площа бічної поверхні розраховується через напівпериметр підстави і довжину апофеми:

Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні піраміди.
Нехай дана правильна чотирикутна піраміда. сторона підстави b \u003d 6 см, а апофема a\u003d 8 см. Знайдіть площу бічної поверхні.

У підставі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. Для початку знайдемо його периметр:

Тепер можемо прорахувати площу бічної поверхні нашої піраміди:

Для того щоб знайти повну площу багатогранника, потрібно знайти площу його заснування. Формула площі підстави піраміди може відрізнятися, в залежності від того, який багатокутник лежить в основі. Для цього використовуються формули площі трикутника, площі паралелограма і т.д.

Розглянь приклад розрахунку площі підстави піраміди, заданої нашими умовами. Так як піраміда правильна, в її основі лежить квадрат.
Площа квадрата розраховується за формулою:,
де a - сторона квадрата. У нас вона дорівнює 6 см. Значить площа основи піраміди:

Тепер залишається тільки знайти повну площу багатогранника. Формула площі піраміди складається з суми площі її заснування і бічній поверхні.

Площа поверхні піраміди. У цій статті ми розглянемо з вами завдання з правильними пірамідами. Нагадаю, що правильна піраміда - це піраміда, підставою якої є правильний багатокутник, вершина піраміди проектується в центр цього багатокутника.

Бічна грань такої піраміди це трикутник.Висота цього трикутника, проведена з вершини правильної піраміди, називається апофемой, SF - апофема:

У представленому нижче типі завдань потрібно знайти площу поверхні всієї піраміди або площа її бічної поверхні. На блозі вже розглянуто кілька завдань з правильними пірамідами, де ставилося питання про знаходження елементів (висоти, ребра підстави, бічного ребра),.

У завданнях ЄДІ, як правило, розглядаються правильні трикутні, чотирикутні і шестикутні піраміди. Завдань з правильними п'ятикутними і семикутна пірамідами не зустрічав.

Формула площі всієї поверхні проста - потрібно знайти суму площі підстави піраміди і площі її бічної поверхні:

Розглянемо завдання:

Сторони підстави правильної чотирикутної піраміди дорівнюють 72, бічні ребра рівні 164. Знайдіть площу поверхні цієї піраміди.

Площа поверхні піраміди дорівнює сумі площ бічної поверхні і підстави:

* Бічна поверхня складається з чотирьох рівних по площі трикутників. Підстава піраміди це квадрат.

Площа бічної сторони піраміди можемо обчислити скориставшись:

Таким чином, площа поверхні піраміди дорівнює:

Відповідь: 28224

Сторони підстави правильної шестикутної піраміди рівні 22, бічні ребра рівні 61. Знайдіть площу бічної поверхні цієї піраміди.

Підставою правильної шестикутної піраміди є правильний шестикутник.

Площа бічної поверхні цієї піраміди складається з шести площ рівних трикутників з сторонами 61,61 і 22:

Знайдемо площу трикутника, скористаємося формулою Герона:

Таким чином, площа бічної поверхні дорівнює:

Відповідь: 3240

* У представлених вище задачах площа бічної грані можна було знайти використовуючи іншу формулу трикутника, але для цього потрібно обчислити апофему.

27155. Знайдіть площу поверхні правильної чотирикутної піраміди, сторони підстави якої рівні 6 і висота дорівнює 4.

Для того, щоб знайти площу поверхні піраміди нам необхідно знати площу підстави і площа бічної поверхні:

Площа підстави дорівнює 36, так як це квадрат зі стороною 6.

Бічна поверхня складається з чотирьох граней, які є рівними трикутниками. Для того, щоб знайти площу такого трикутника потрібно знати його підставу і висоту (апофему):

* Площа трикутника дорівнює половині твори підстави і висоти проведеної до цього підстави.

Підстава відомо, воно дорівнює шести. Знайдемо висоту. Розглянемо прямокутний трикутник (він виділений жовтим):

Один катет дорівнює 4, так як це висота піраміди, інший дорівнює 3, тому що він дорівнює половині ребра підстави. Чи можемо знайти гіпотенузу, по теоремі Піфагора:

Значить площа бічної поверхні піраміди дорівнює:

Таким чином, площа поверхні всієї піраміди дорівнює:

Відповідь: 96

27069. Сторони підстави правильної чотирикутної піраміди дорівнюють 10, бічні ребра рівні 13. Знайдіть площу поверхні цієї піраміди.

27070. Сторони підстави правильної шестикутної піраміди рівні 10, бічні ребра рівні 13. Знайдіть площу бічної поверхні цієї піраміди.

Існують ще формули площі бічної поверхні правильної піраміди. У правильній піраміді підставу є ортогональною проекцією бічній поверхні, тому:

P - периметр підстави, l - апофема піраміди

* Ця формула ґрунтується на формулі площі трикутника.

Якщо хочете дізнатися докладніше як ці формули виводяться, не пропустіть, стежте за публікацією статей.На цьому все. Успіху Вам!

З повагою, Олександр Крутицький.

P.S: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт в соціальних мережах.

З поняттям піраміда учні стикаються ще задовго до вивчення геометрії. Виною всьому знамениті великі єгипетські чудеса світу. Тому, починаючи вивчення цього чудового багатогранника, більшість учнів уже наочно представляють її собі. Всі вищезгадані пам'ятки мають правильну форму. Що таке правильна піраміда, І які властивості вона має і піде мова далі.

Вконтакте

визначення

Визначень піраміди можна зустріти досить багато. Починаючи ще з давніх часів, вона користувалася великою популярністю.

Наприклад, Евклід визначав її як тілесну фігуру, що складається з площин, які, починаючи від однієї, сходяться в певній точці.

Герон представив більш точне формулювання. Він наполягав на тому, що це фігура, яка має підставу і площини у вигляді трикутників, сходяться в одній точці.

Спираючись на сучасне тлумачення, піраміду представляють, як просторовий багатогранник, що складається з певного k-кутника і k плоских фігур трикутної форми, що має одну спільну точку.

Розберемося більш детально, з яких елементів вона складається:

• k-кутник вважають основою фігури;
• фігури 3-вугільної форми виступають гранями бічній частині;
• верхня частина, з якої беруть початок бічні елементи, називають вершиною;
• всі відрізки, що з'єднують вершину, називають ребрами;
• якщо з вершини на площину фігури опустити пряму під кутом в 90 градусів, то її частина, укладена у внутрішньому просторі - висота піраміди;
• в будь-якому бічному елементі до сторони нашого багатогранника можна провести перпендикуляр, званий апофемой.

Число ребер обчислюється за формулою 2 * k, де k - кількість сторін k-кутника. Скільки граней у такого многогранника, як піраміда, можна визначити за допомогою виразу k + 1.

Важливо! Пірамідою правильної форми називають стереометрическую фігуру, площина основи якої є k-кутник з рівними сторонами.

Основні властивості

правильна піраміда має безліч властивостей, які притаманні тільки їй. Перерахуємо їх:

1. Основа - фігура правильної форми.
2. Ребра піраміди, що обмежують бічні елементи, мають рівні числові значення.
3. Бічні елементи - трикутник.
4. Підстава висоти фігури потрапляє в центр багатокутника, при цьому він одночасно є центральною точкою вписаною і описаної.
5. Всі бічні ребра нахилені до площини основи під однаковим кутом.
6. Всі бічні поверхні мають однаковий кут нахилу по відношенню до основи.

Завдяки всім перерахованим властивостям, виконання обчислень елементів набагато спрощується. Виходячи з наведених властивостей, звертаємо увагу на дві ознаки:

1. У тому випадку, коли багатокутник вписується в коло, бічні грані матимуть з основою рівні кути.
2. При описі окружності близько багатокутника, всі ребра піраміди, які виходять із вершини, матимуть рівну довжину і рівні кути з основою.

В основі лежить квадрат

Правильна чотирикутна піраміда - багатогранник, у якого в основі лежить квадрат.

У неї чотири бічних межі, які за своїм виглядом є рівнобокими.

На площині квадрат зображують, але ґрунтуються на всіх властивостях правильного чотирикутника.

Наприклад, якщо необхідно пов'язати сторону квадрата з його діагоналлю, то використовують наступну формулу: діагональ дорівнює добутку сторони квадрата на корінь квадратний з двох.

В основі лежить правильний трикутник

Правильна трикутна піраміда - багатогранник, в основі якого лежить правильний 3-кутник.

Якщо основа є правильним трикутником, а бічні ребра рівні ребрам підстави, то така фігура називається тетраедром.

Всі грані тетраедра є рівносторонніми 3-косинцями. В даному випадку необхідно знати деякі моменти і не витрачати на них час при обчисленнях:

• кут нахилу ребер до будь-якої підстави дорівнює 60 градусів;
• величина всіх внутрішніх граней також становить 60 градусів;
• будь-яка грань може виступити підставою;
• , Проведені всередині фігури, це рівні елементи.

перетину многогранника

У будь-якому многограннике розрізняють кілька видів перетинуплощиною. Найчастіше в шкільному курсі геометрії працюють з двома:

• осьовий;
• паралельне основі.

Осьовий переріз отримують при перетині площиною многогранника, яка проходить через вершину, бічні ребра і вісь. В даному випадку віссю є висота, проведена з вершини. Січна площина обмежується лініями перетину з усіма гранями, в результаті отримуємо трикутник.

Увага!У правильній піраміді осьовим перерізом є трикутник.

Якщо січна площина проходить паралельно підставі, то в результаті отримуємо другий варіант. У цьому випадку маємо в розрізі фігуру, подібну основі.

Наприклад, якщо в основі лежить квадрат, то перетин паралельно основі також буде квадратом, тільки менших розмірів.

При вирішенні завдань за такої умови використовують ознаки і властивості подібності фігур, засновані на теоремі Фалеса. В першу чергу необхідно визначити коефіцієнт подібності.

Якщо площину проведена паралельно основі, і вона відсікає верхню частину багатогранника, то в нижній частині отримують правильну усічену піраміду. Тоді кажуть, що основи усіченого багатогранника є подібними багатокутниками. У цьому випадку бічні грані є равнобокой трапеціями. Осьовим перерізом також є равнобокая.

Для того щоб визначити висоту усіченого багатогранника, необхідно провести висоту в осьовому перерізі, тобто в трапеції.

площі поверхонь

Основні геометричні завдання, які доводиться вирішувати в шкільному курсі геометрії, це знаходження площ поверхні і об'єму у піраміди.

Значення площі поверхні розрізняють двох видів:

• площі бічних елементів;
• площі всієї поверхні.

Із самої назви зрозуміло, про що йде мова. Бічна поверхня включає в себе тільки бічні елементи. З цього випливає, що для її знаходження необхідно просто скласти площі бічних площин, тобто площі рівнобедрених 3-кутників. Спробуємо вивести формулу площі бічних елементів:

1. Площа рівнобедреного 3-кутника дорівнює Sтр \u003d 1/2 (aL), де а - сторона підстави, L - апофема.
2. Кількість бічних площин залежить від виду k-го кутника в підставі. Наприклад, правильна чотирикутна піраміда має чотири бічні площини. Отже, необхідно скласти площі чотирьох фігур Sбок \u003d 1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) \u003d 1/2 * 4а * L. Вираз спрощено таким способом тому, що значення 4а \u003d Росн, де Росн - периметр основи. А вираз 1/2 * Росн є її напівпериметр.
3. Отже, робимо висновок, що площа бічних елементів правильної піраміди дорівнює добутку напівпериметр підстави на апофему: Sбок \u003d Росн * L.

Площа повної поверхні піраміди складається з суми площ бічних площин і підстави: Sп.п. \u003d Sбок + Sосн.

Що стосується площі підстави, то тут формула використовується відповідно до виду багатокутника.

Обсяг правильної пірамідидорівнює добутку площі площині підстави на висоту, розділену на три: V \u003d 1/3 * Sосн * Н, де Н - висота багатогранника.

Що таке правильна піраміди в геометрії

Властивості правильної чотирикутної піраміди

Інструкція

Перш за все, варто зрозуміти, що бокова поверхня піраміди представлена \u200b\u200bкількома трикутниками, площі яких можна знайти за допомогою самих різних формул, в залежності від відомих даних:

S \u003d (a * h) / 2, де h - висота, опущена на сторону a;

S \u003d a * b * sinβ, де a, b - сторони трикутника, а β - кут між цими сторонами;

S \u003d (r * (a + b + c)) / 2, де a, b, c - сторони трикутника, а r - радіус вписаного в цей трикутник кола;

S \u003d (a * b * c) / 4 * R, де R - радіус описаної навколо кола трикутника;

S \u003d (a * b) / 2 \u003d r² + 2 * r * R (якщо трикутник - прямокутний);

S \u003d S \u003d (a² * √3) / 4 (якщо трикутник - рівносторонній).

Насправді, це лише основні з відомих формул для знаходження площі трикутника.

Розрахувавши за допомогою зазначених вище формул площі всіх трикутників, що є гранями піраміди, можна приступити до обчислення площі даної піраміди. Робиться це дуже просто: необхідно скласти площі всіх трикутників, що утворюють бічну поверхню піраміди. Формулою це можна виразити так:

Sп \u003d ΣSi, де Sп - площа бічної, Si - площа i-ого трикутника, що є частиною її бічній поверхні.

Для більшої ясності можна розглянути невеликий приклад: дана правильна піраміда, бічні грані якої утворені рівносторонніми трикутниках, а в підставі її лежить квадрат. Довжина ребра цієї піраміди складає 17 см. Потрібно знайти площу бічної поверхні цієї піраміди.

Рішення: відома довжина ребра цієї піраміди, відомо, що межі її - рівносторонні трикутники. Таким чином, можна сказати, що всі сторони всіх трикутників бічній поверхні дорівнюють 17 см. Тому для того, щоб розрахувати площа кожного з цих трикутників, потрібно застосувати формулу:

S \u003d (17² * √3) / 4 \u003d (289 * 1.732) / 4 \u003d 125.137 см²

Відомо, що в основі піраміди лежить квадрат. Таким чином, зрозуміло, що даних рівносторонніх трикутників чотири. Тоді площа бічної поверхні піраміди розраховується так:

125.137 см² * 4 \u003d 500.548 см²

Відповідь: площа бічної поверхні піраміди складає 500.548 см²

Спочатку обчислимо площу бічної поверхні піраміди. Під бічною поверхнею мається на увазі сума площ всіх бічних граней. Якщо ви маєте справу з правильною пірамідою (тобто такий, в основі якої лежить правильний багатокутник, а вершина проектується в центр цього багатокутника), то для обчислення всієї бічної поверхні досить помножити периметр підстави (тобто суму довжин усіх сторін багатокутника, що лежить в основі піраміди) на висоту бічній грані (інакше званої апофемой) і розділити отримане значення на 2: Sб \u003d 1 / 2P * h, де Sб - це площа бічної поверхні, P - периметр підстави, h - висота бічної грані (апофема).

Якщо ж перед вами довільна піраміда, то доведеться окремо обчислювати площі всіх граней, а потім їх складати. Оскільки бічними гранями піраміди є трикутники, скористайтеся формулою площі трикутника: S \u003d 1 / 2b * h, де b - це підстава трикутника, а h - висота. Коли площі всіх граней обчислені, залишається тільки скласти їх, щоб отримати площа бічної поверхні піраміди.

Потім необхідно обчислити площу основи піраміди. Вибір формули для розрахунку залежить від того, який багатокутник лежить в основі піраміда: правильний (тобто такий, всі сторони якого мають однакову довжину) або неправильний. Площа правильного багатокутника можна обчислити, помноживши периметр на радіус вписаного в багатокутник кола і поділивши отримане значення на 2: Sn \u003d 1 / 2P * r, де Sn - це площа багатокутника, P - це периметр, а r - це радіус вписаного в багатокутник кола .

Усічена піраміда - це багатогранник, який утворюється пірамідою і її перетином, паралельним основи. Знайти площу бічної поверхні піраміди зовсім нескладно. Її дуже проста: площа дорівнює добутку половини суми підстав по. Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні. Припустимо, дана правильна піраміда. Довжини підстави рівні b \u003d 5 см, c \u003d 3 см. Апофема a \u003d 4 см. Щоб знайти площу бічної поверхні піраміди, потрібно спочатку знайти периметр підстав. У великому підставі він буде дорівнює p1 \u003d 4b \u003d 4 * 5 \u003d 20 см. У меншому підставі формула буде наступною: p2 \u003d 4c \u003d 4 * 3 \u003d 12 см. Отже, площа буде дорівнює: s \u003d 1/2 (20 + 12 ) * 4 \u003d 32/2 * 4 \u003d 64 см.

- це багатогранна фігура, в основі якої лежить багатокутник, а інші грані представлені трикутниками із загальною вершиною.

Якщо в основі лежить квадрат, то піраміду називається чотирикутної, Якщо трикутник - то трикутної. Висота піраміди проводиться з її вершини перпендикулярно основи. Також для розрахунку площі використовується апофема - висота бічної грані, опущена з її вершини.
Формула площі бічної поверхні піраміди являє собою суму площ її бічних граней, які рівні між собою. Однак цей спосіб розрахунку застосовується дуже рідко. В основному площа піраміди розраховується через периметр підстави і апофему:

Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні піраміди.

Нехай дана піраміда з підставою ABCDE і вершиною F. AB \u003d BC \u003d CD \u003d DE \u003d EA \u003d 3 см. Апофема a \u003d 5 см. Знайти площу бічної поверхні піраміди.
Знайдемо периметр. Так як всі грані підстави рівні, то периметр п'ятикутника буде дорівнює:
Тепер можна знайти бічну площа піраміди:

Площа правильної трикутної піраміди

Правильна трикутна піраміда складається з підстави, в якому лежить правильний трикутник і трьох бічних граней, які дорівнюють за площею.
Формула площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди може бути розрахована різними способами. Можна застосувати звичайну формулу розрахунку через периметр і апофему, а можна знайти площу однієї грані і помножити її на три. Так як грань піраміди - це трикутник, то можна застосувати формулу площі трикутника. Для неї потрібно апофема і довжина підстави. Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди.

Дана піраміда з апофемой a \u003d 4 см і гранню підстави b \u003d 2 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Для початку знаходимо площа однієї з бічних граней. В даному випадку вона буде:
Підставляємо значення в формулу:
Так як в правильній піраміді всі бічні сторони однакові, то площа бічної поверхні піраміди буде дорівнює сумі площ трьох граней. відповідно:

Площа усіченої піраміди

усіченої пірамідою називається багатогранник, який утворюється пірамідою і її перетином, паралельним основи.
Формула площі бічної поверхні зрізаної піраміди дуже проста. Площа дорівнює добутку половини суми периметрів підстав на апофему: