Знаходження дуги. Формули площі сектора кола і довжини його дуги

Коло, його частини, їх розміри і співвідношення - речі, з якими ювелір постійно стикається. Кільця, браслети, касти, трубки, кулі, спіралі - багато всього круглого доводиться робити. Як же все це порахувати, особливо якщо тобі пощастило в школі прогуляти уроки геометрії? ..

Давайте спочатку розглянемо, які у кола бувають частини і як вони називаються.

• Окружність - лінія, що обмежує коло.
• Дуга - частина окружності.
• Радіус - відрізок, що з'єднує центр кола з будь-якої точкою кола.
• Хорда - відрізок, що з'єднує дві точки кола.
• Сегмент - частина круга, обмежена хордою і дугою.
• Сектор - частина круга, обмежена двома радіусами і дугою.

Цікавлять нас величини та їх позначення:

Тепер подивимося, які завдання, пов'язані з частинами кола, доводиться вирішувати.

• Знайти довжину розгортки будь-якої частини кільця (браслета). Заданий діаметр і хорда (варіант: діаметр і центральний кут), знайти довжину дуги.
• Є малюнок на площині, треба дізнатися його розмір в проекції після згинання в дугу. Задані довжина дуги і діаметр, знайти довжину хорди.
• Дізнатися висоту деталі, отриманої згинанням плоскою заготовки в дугу. Варіанти вихідних даних: довжина дуги і діаметр, довжина дуги і хорда; знайти висоту сегмента.

Життя підкаже й інші приклади, а ці я привів тільки для того, щоб показати необхідність завдання яких-небудь двох параметрів для знаходження всіх інших. Ось цим ми і займемося. А саме, візьмемо п'ять параметрів сегмента: D, L, X, φ і H. Потім, вибираючи з них всі можливі пари, будемо вважати їх вихідними даними і шляхом мозкового штурму знаходити всі інші.

Щоб даремно не вантажити читача, докладних рішень я наводити не буду, а наведу лише результати у вигляді формул (ті випадки, де немає формального рішення, я обмовлю по ходу справи).

І ще одне зауваження: про одиниці виміру. Всі величини, крім центрального кута, вимірюються в одних і тих же абстрактних одиницях. Це означає, що якщо, наприклад, ви задаєте одну величину в міліметрах, то іншу не треба ставити в сантиметрах, а результуючі значення будуть вимірюватися в тих же міліметрах (а площі - в квадратних міліметрах). Те ж саме можна сказати і про дюйми, фути і морські милі.

І тільки центральний кут у всіх випадках вимірюється в градусах і ні в чому іншому. Тому що, як показує практика, люди, які проектують що-небудь кругле, не схильні вимірювати кути в радіанах. Фраза «кут пі на чотири» багатьох ставить в тупик, тоді як «кут сорок п'ять градусів» - зрозуміла всім, так як це всього на п'ять градусів вище норми. Однак, у всіх формулах буде присутній в якості проміжної величини ще один кут - α. За змістом це половина центрального кута, виміряна в радіанах, але в цей сенс можна спокійно не вникати.

1. Дано діаметр D і довжина дуги L

; довжина хорди ;
висота сегмента ; центральний кут .

2. Дано діаметр D і довжина хорди X

; довжина дуги;
висота сегмента ; центральний кут .

Оскільки хорда ділить коло на два сегменти, у цій задачі не одне, а два рішення. Щоб отримати другу, потрібно в наведених вище формулах замінити кут α на кут.

3. Дано діаметр D і центральний кут φ

; довжина дуги;
довжина хорди ; висота сегмента .

4. Дано діаметр D і висота сегмента H

; довжина дуги;
довжина хорди ; центральний кут .

6. Дано довжина дуги L і центральний кут φ

; діаметр;
довжина хорди ; висота сегмента .

8. Дано довжина хорди X і центральний кут φ

; довжина дуги ;
діаметр; висота сегмента .

9. Дано довжина хорди X і висота сегмента H

; довжина дуги ;
діаметр; центральний кут .

10. Дано центральний кут φ і висота сегмента H

; діаметр ;
довжина дуги; довжина хорди .

Уважний читач не міг не помітити, що я пропустив два варіанти:

5. Дано довжина дуги L і довжина хорди X

7. Дано довжина дуги L і висота сегмента H

Це як раз ті два неприємних випадки, коли у завдання немає рішення, яке можна було б записати у вигляді формули. А завдання-то не така вже й рідкісна. Наприклад, у вас є плоска заготовка довжини L, і ви хочете зігнути її так, щоб її довжина стала X (або висота стала H). Якого діаметру взяти оправлення (ригель)?

Завдання це зводиться до вирішення рівнянь:
; - у варіанті 5
; - у варіанті 7
і хоч вони і не вирішуються аналітично, зате легко вирішуються програмним способом. І я навіть знаю, де взяти таку програму: на цьому самому сайті, під ім'ям. Все те, що я тут довго розповідаю, вона робить за мікросекунди.

Для повноти картини додамо до результатів наших обчислень довжину окружності і три значення площ - кола, сектора і сегмента. (Площі нам дуже допоможуть при обчисленні маси всяких круглих і напівкруглих деталей, але про це - в окремій статті.) Всі ці величини обчислюються за одним і тим же формулам:

довжина окружності ;
площа кола ;
площа сектора ;
площа сегмента ;

І на закінчення ще раз нагадаю про існування абсолютно безкоштовною програми, яка виконує всі перераховані обчислення, звільняючи вас від необхідності згадувати, що таке арктангенс і де його шукати.

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачі ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільної ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класу, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) і завдання 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтися ні стобалльніку, ні гуманітарію.

Вся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки і секрети ЄДІ. Розібрані всі актуальні завдання частини 1 з Банку завдань ФІПІ. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тим, за 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання і теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми вирішення задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, розбір всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми рішення, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня і логарифми, функція і похідна. База для вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Чи добре ти пам'ятаєш все назви, пов'язані з колом? Про всяк випадок нагадаємо - дивись на картинки - освіжай знання.

Ну, по-перше - центр окружності - така точка, відстані від якої до всіх точок кола однакові.

По-друге - радіус - відрізок, що з'єднує центр і точку на колі.

Радіусів дуже багато (стільки ж, скільки і точок на окружності), але довжина у всіх радіусів - однакова.

Іноді для стислості радіусом називають саме довжину відрізка «Центр - точка на окружності», а не сам відрізок.

А ось що вийде, якщо з'єднати дві точки на колі? Теж відрізок?

Так ось, цей відрізок називається «Хорда».

Так само, як і в випадку з радіусом, діаметром часто називають довжину відрізка, що з'єднує дві точки на колі і проходить через центр. До речі, а як пов'язані діаметр і радіус? Подивися уважно. Звичайно ж, радіус дорівнює половині діаметра.

Крім хорд бувають ще й січні.

Згадали найпростіше?

Центральний кут - кут між двома радіусами.

А тепер - вписаний кут

Вписаний кут - кут між двома хордами, які перетинаються в точці на колі.

При цьому говорять, що вписаний кут спирається на дугу (або на хорду).

Дивись на картинку:

Вимірювання дуг і кутів.

Довжина окружності. Дуги і кути вимірюються в градусах і радіанах. Спершу про градусах. Для кутів проблем немає - потрібно навчитися виміряти дугу в градусах.

Градусна міра (величина дуги) - це величина (в градусах) відповідного центрального кута

Що тут означає слово «відповідного»? Дивимося уважно:

Бачиш дві дуги і два центральних кута? Ну ось, більшою дузі відповідає більший кут (і нічого страшного, що він більше), а меншою дузі відповідає менший кут.

Отже, домовилися: в дузі міститься стільки ж градусів, скільки до відповідного центрального вугіллі.

А тепер про страшний - про радіанах!

Що ж це за звір такий «радіан»?

Уяви собі: радіани - це спосіб вимірювання кута ... в радіусах!

Кут величиною радіан - такий центральний кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу кола.

Тоді виникає питання - а скільки ж радіан в розгорнутому вугіллі?

Іншими словами: скільки радіусів «поміщається» в половині кола? Або ще по-іншому: у скільки разів довжина половини окружності більше радіусу?

Цим питанням задавалися вчені ще в Стародавній Греції.

І ось, після довгих пошуків вони виявили, що відношення довжини кола до радіусу ніяк не хоче висловлюватися «людськими» числами начебто і т.п.

І навіть не виходить висловити це відношення через коріння. Тобто, виявляється, не можна сказати, що половина окружності в рази або в раз більше радіуса! Уявляєш, як дивно це було виявити людям вперше ?! Для відношення довжини половини кола до радіусу на вистачило «нормальних» чисел. Довелося вводити букву.

Отже, - це число, що виражає відношення довжини півкола до радіусу.

Тепер ми можемо відповісти на питання: скільки радіан в розгорнутому вугіллі? У ньому радіан. Саме тому, що половина окружності в раз більше радіуса.

Стародавні (і не дуже) люди протягом століть (!) спробували точніше підрахувати це загадкове число, краще висловити його (хоч приблизно) через «звичайні» числа. А ми зараз до неможливості ліниві - нам достатньо двох знаків після зайнятої, ми звикли, що

Задумайся, це означає, наприклад, що y окружності з радіусом одиниця довжина приблизно дорівнює, а точно цю довжину просто неможливо записати «людським» числом - потрібна буква. І тоді ця довжина кола дорівнюватиме. І звичайно, довжина кола радіуса дорівнює.

Повернемося до радіанах.

Ми з'ясували вже, що в розгорнутому вугіллі міститься радіан.

Що маємо:

Значить, рад., Тобто радий. Таким же чином виходить табличка з найбільш популярними кутами.

Співвідношення між величинами вписаного і центрального кутів.

Має місце дивний факт:

Величина вписаного кута вдвічі менше, ніж величина відповідного центрального кута.

Подивися, як це твердження виглядає на картинці. «Відповідний» центральний кут, що матиме кінці збігаються з кінцями вписаного кута, а вершина в центрі. І при цьому «відповідний» центральний кут повинен «дивитися» на ту ж хорду (), що і вписаний кут.

Чому ж так? Давай розберемося спочатку на простому випадку. Нехай одна з хорд проходить через центр. Адже буває ж так іноді, вірно?

Що ж тут виходить? Розглянемо. Він рівнобедрений - адже і - радіуси. Значить, (позначили їх).

Тепер подивимося на. Це ж зовнішній кут для! Згадуємо, що зовнішній кут дорівнює сум двох внутрішніх, не суміжних з нею, і записуємо:

Тобто! Несподіваний ефект. Але і є центральний кут для вписаного.

Значить, для цього випадку довели, що центральний кут вдвічі більше вписаного. Але аж надто окремий випадок: правда адже, далеко не завжди хорда проходить прямо через центр? Але нічого, зараз цей окремий випадок нам здорово допоможе. Дивись: другий випадок: хай центр лежить всередині.

Давай зробимо ось що: проведемо діаметр. І тоді ... бачимо дві картинки, які вже розбирали в першому випадку. Тому вже маємо, що

Значить, (на кресленні, а)

Ну ось, і залишився останній випадок: центр поза кута.

Робимо те ж саме: проводимо діаметр через точку. Все те ж саме, але замість суми - різниця.

От і все!

Давай тепер сформуємо два головних і дуже важливих слідства з твердження про те, що вписаний кут вдвічі менше центрального.

слідство 1

Всі вписані кути, що спираються на одну дугу, рівні між собою.

ілюструємо:

Вписаних кутів, що спираються на одну й ту ж дугу (у нас ця дуга) - незліченна безліч, вони можуть виглядати зовсім по-різному, але у них у всіх один і той же центральний кут (), а значить, всі ці вписані кути рівні між собою.

слідство 2

Кут, який спирається на діаметр - прямий.

Дивись: який кут є центральним для?

Звісно, \u200b\u200b. Але він дорівнює! Ну ось, тому (а так само ще безліч вписаних кутів, що спираються на) і дорівнює.

Кут між двома хордами і січними

А що, якщо нас цікавить кут НЕ вписаний і НЕ центральний, а, наприклад, такий:

або такий?

Чи можна його якось висловити все-таки через якісь центральні кути? Виявляється, можна. Дивись: нас цікавить.

a) (як зовнішній кут для). Але - вписаний, спирається на дугу -. - вписаний, спирається на дугу -.

Для краси кажуть:

Кут між хордами дорівнює напівсумі кутових величин дуг, ув'язнених в цей кут.

Так пишуть для стислості, але звичайно, при використанні цієї формули потрібно мати на увазі центральні кути

b) А тепер - «зовні»! Як же бути? Так майже так само! Тільки тепер (знову застосовуємо властивість зовнішнього кута для). Тобто тепер.

І значить,. Наведемо красу і стислість в записах і формулюваннях:

Кут між січними дорівнює полуразность кутових величин дуг, ув'язнених в цей кут.

Ну ось, тепер ти озброєний усіма основними знаннями про кути, пов'язаних з колом. Вперед, на штурм завдань!

Коло і вписаний кут. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Що таке коло, знає і п'ятирічна дитина, чи не так? У математиків, як завжди, на цей рахунок є розумне визначення, але ми його наводити не будемо (дивися), а краще згадаємо, як називаються точки, лінії і кути, пов'язані з колом.

важливі терміни

Ну, по-перше:

центр окружності - така точка, відстані від якої до всіх точок кола однакові.

По-друге:

Тут є ще одне прийняте вираз: «хорда стягує дугу». Ось, тут на малюнку, наприклад, хорда стягує дугу. А якщо хорда раптом проходить через центр, то у неї є спеціальну назву: «діаметр».

До речі, а як пов'язані діаметр і радіус? Подивися уважно. Звичайно ж,

А тепер - назви для кутів.

Природно, чи не так? Сторони кута виходять з центру - значить, кут - центральний.

Ось тут іноді виникають складності. Зверни увагу - НЕ БУДЬ кут всередині кола - вписаний, а тільки такий, у якого вершина «сидить» на самій кола.

Давай побачимо різницю на картинках:

По-іншому ще кажуть:

Тут є один хитрий момент. Що таке «відповідний» або «свій» центральний кут? Просто кут з вершиною в центрі кола і кінцями в кінцях дуги? Не зовсім так. Глянь-но на малюнок.

Один з них, правда, і на кут-то не схожий - він більше. Але це в трикутнику не може бути кутів більше, а в окружності - цілком може! Так ось: меншою дузі AB відповідає менший кут (помаранчевий), а більшою - більший. Просто як, чи не так?

Співвідношення між величинами вписаного і центрального кута

Запам'ятай дуже важливе твердження:

У підручниках цей же факт люблять записувати так:

Правда, з центральним кутом формулювання простіше?

Але все ж давай знайдемо відповідність між двома формулюваннями, а заодно навчимося знаходити на малюнках «відповідний» центральний кут і дугу, на яку «спирається» вписаний кут.

Дивись: ось коло і вписаний кут:

Де ж його «відповідний» центральний кут?

Знову дивимося:

Яке ж правило?

Але! При цьому важливо, щоб вписаний і центральний кут «дивилися» з одного боку на дугу. Ось наприклад:

Як не дивно, блакитний! Тому що дуга-то довга, довше половини окружності! Ось і не плутай ніколи!

Яке ж наслідок можна вивести з «половинчастості» вписаного кута?

А ось, наприклад:

Кут, який спирається на діаметр

Ти вже встиг помітити, що математики дуже люблять про одне й те ж говорити різними словами? Навіщо це їм? Розумієш, мова математики хоч і формальний, але живий, а тому, як і в звичайній мові, кожен раз хочеться сказати так, як зручніше. Ну ось, що таке «кут спирається на дугу» ми вже бачили. І уяви собі, та ж сама картина називається «кут спирається на хорду». На яку? Так звичайно на ту, яка стягує цю дугу!

Коли ж спиратися на хорду зручніше, ніж на дугу?

Ну, зокрема, коли ця хорда - діаметр.

Для такої ситуації є дивно просте, красиве і корисне твердження!

Дивись: ось коло, діаметр і кут, який на нього спирається.

Коло і вписаний кут. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

1. Основні поняття.

3. Вимірювання дуг і кутів.

Кут величиною радіан - такий центральний кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу кола.

Це число, що виражає відношення довжини півкола до радіусу.

Довжина кола радіуса дорівнює.

4. Співвідношення між величинами вписаного і центрального кутів.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що тільки 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, значить ти потрапив в ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією по цій темі. І, повторюся, це ... це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього може не вистачити ...

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, НАЙГОЛОВНІШЕ, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ ...

Люди, які отримали гарну освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто його не отримав. Це статистика.

Але і це - не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам ...

Що потрібно, щоб бути напевно краще за інших на ЄДІ і бути в кінцевому підсумку ... щасливішим?

Набити руку, вирішуючи завдання ПО ЦІЙ ТЕМІ.

На іспиті у тебе не будуть питати теорію.

Тобі потрібно буде вирішувати завдання на час.

І, якщо ти не вирішував їх (БАГАТО!), Ти обов'язково десь нерозумно помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті - треба багато разів повторити, щоб виграти напевно.

Знайди де хочеш збірник, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково) і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань потрібно допомогти продовжити життя підручником YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованим завданням в цій статті -
2. Відкрий доступ до всіх прихованим завданням у всіх 99-ти статтях підручника - Купити підручник - 499 руб

Так, у нас в підручнику 99 таких статей і доступ для всіх завдань і всіх прихованих текстів в них можна відкрити відразу.

Доступ до всіх прихованим завданням надається на ВСЕ час існування сайту.

І на закінчення ...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це абсолютно різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

окружністю називають замкнуту, плоску криву, всі крапки якої, що лежать в одній площині, видалені на однаковій відстані від центру.

Крапка Про є центром кола, R є радіусом кола - відстанню від якої-небудь точки окружності до центру. За визначенням все радіуси замкнутої

мал. 1

кривої мають однакову довжину.

Відстань між двома точками кола називається хордою. Відрізок окружності, що проходить через її центр і з'єднує дві її точки, називається діаметром. Середина діаметра є центром кола. Точки кола ділять замкнуту криву на дві частини, кожна частина носить назву дуги окружності. Якщо кінці дуги належать діаметру, то така окружність називається півколом, довжину якої прийнято позначати π . Градусна міра двох кіл, що мають спільні кінці, становить 360 градусів.

Концентричні кола - це кола, які мають загальний центр. Ортогональні окружності - це кола, які перетинаються під кутом рівним 90 градусів.

Площина, яку обмежує коло, називається колом. Одна частина кола, яка обмежена двома радіусами і дугою - це круговий сектор. Дуга сектора - це дуга, що обмежує сектор.

Мал. 2

Взаємне розташування кола і прямої (рис.2).

Коло і пряма мають дві загальні точки, якщо відстань від прямої до центру кола менш радіусу кола. В такому випадку пряма по відношенню до кола називається січною.

Коло і пряма мають одну спільну точку, якщо відстань від прямої до центру кола дорівнює радіусу кола. В такому випадку пряма по відношенню до кола називається дотичною до кола. Їх загальна точка зветься точки дотику кола і прямої.

Основні формули окружності:

• C \u003d 2πR , де C - довжина окружності
• R \u003d С / (2π) \u003d D / 2 , де З / (2π) - довжина дуги кола
• D \u003d C / π \u003d 2R , де D - діаметр
• S \u003d πR2 , де S - площа кола
• S \u003d ((πR2) / 360) α , де S - площа кругового сектора

Коло і круг отримали свою назву в Стародавній Греції. Уже в давнину людини цікавили круглі тіла, тому коло ставала вінцем досконалості. Те, що кругле тіло могло рухатися саме по собі, стало поштовхом до винаходу колеса. Здавалося б, що особливого в цьому винаході? Але уявіть, якщо в одну мить колеса зникнуть з нашого життя. Надалі цей винахід і породило математичне поняття окружності.

Окружність - основна фігура в геометрії, властивості якої розглядають в школі в 8 класі. Одна з типових задач, пов'язаних з колом, полягає в знаходженні площі певної її частини, яка носить назву кругового сектора. У статті наводяться формули площі сектора і довжини його дуги, а також приклад їх використання для вирішення конкретного завдання.

Поняття про окружності і колі

Перед тим як приводити формулу площі сектора кола, розглянемо, що собою являє зазначена фігура. Згідно математичного визначенню, під окружністю розуміють таку фігуру на площині, всі крапки якої рівновіддалені від деякої однієї точки (центру).

Коли розглядають коло, то користуються такою термінологією:

• Радіус - відрізок, який проводиться від центральної точки до кривої окружності. Його прийнято позначати буквою R.
• Діаметр - це відрізок, який з'єднує дві точки кола, але при цьому проходить також через центр фігури. Його зазвичай позначають буквою D.
• Дуга - це частина кривої окружності. Вимірюють її або в одиницях довжини, або з використанням кутів.

Коло - ще одна важлива фігура геометрії, він являє собою сукупність точок, яка обмежена кривою окружності.

Площа круга та довжина кола

Зазначені в назві пункту величини розраховуються з використанням двох простих формул. Вони наведені нижче:

• Довжина кола: L \u003d 2 * pi * R.
• Площа круга: S \u003d pi * R 2.

У цих формулах pi - це деяка константа, яка називається числом Пі. Воно є ірраціональним, тобто не може бути точно виражено простий дробом. Приблизно число Пі одно 3,1416.

Як видно з наведених виразів, щоб розрахувати площа і довжину досить знати тільки радіус кола.

Площа сектора кола і довжина його дуги

Перед тим як розглядати відповідні формули, нагадаємо, що кут в геометрії прийнято виражати двома основними способами:

• в шестидесятеричной градусах, причому повний оборот навколо своєї осі дорівнює 360 o;
• в радіанах, які виражаються в частках числа pi і пов'язані з градусами наступним рівністю: 2 * pi \u003d 360 o.

Сектор круга - це фігура, обмежена трьома лініями: дугою кола і двома радіусами, що знаходяться на кінцях цієї дуги. Приклад кругового сектора зображений на фото нижче.

Отримавши уявлення про те, що таке сектор для кола, легко зрозуміти, як обчислити його площу і довжину відповідної дуги. З малюнка вище видно, що дузі сектора відповідає кут θ. Ми знаємо, що повна окружність відповідає 2 * pi радіанах, значить, формула площі кругового сектора набуде вигляду: S 1 \u003d S * θ / (2 * pi) \u003d pi * R 2 * θ / (2 * pi) \u003d θ * R 2/2. Тут кут θ виражений в радіанах. Аналогічна формула площі сектора в разі, якщо кут θ вимірюється в градусах, матиме вигляд: S 1 \u003d pi * θ * R 2/360.

Довжина дуги, що утворює сектор, обчислюється за формулою: L 1 \u003d θ * 2 * pi * R / (2 * pi) \u003d θ * R. І якщо θ відомий в градусах, тоді: L 1 \u003d pi * θ * R / 180.

Приклад рішення задачі

Покажемо на прикладі простої задачі, як користуватися формулами площі сектора кола і довжини його дуги.

Відомо, що колесо має 12 спиць. Коли колесо робить один повний оберт, то воно долає відстань 1,5 метра. Чому дорівнює площа, яка знаходиться між двома сусідніми спицями колеса, і чому дорівнює довжина дуги між ними?

Як видно з відповідних формул, щоб ними користуватися, необхідно знати дві величини: радіус кола і кут дуги. Радіус можна обчислити, виходячи з знання довжини окружності колеса, оскільки пройдене їм відстань за один оборот, точно їй відповідає. Маємо: 2 * R * pi \u003d 1,5, звідки: R \u003d 1,5 / (2 * pi) \u003d 0,2387 метра. Кут між найближчими спицями можна визначити, знаючи їх число. Вважаючи, що всі 12 спиць ділять рівномірно коло на рівні сектора, ми отримуємо 12 однакових секторів. Відповідно, кутова міра дуги між двома спицями дорівнює: θ \u003d 2 * pi / 12 \u003d pi / 6 \u003d 0,5236 радіан.

Ми знайшли всі необхідні величини, тепер їх можна підставити у формули і порахувати необхідні умовою завдання значення. Отримуємо: S 1 \u003d 0,5236 * (0,2387) 2/2 \u003d 0,0149 м 2, або 149 см 2; L 1 \u003d 0,5236 * 0,2387 \u003d 0,125 м, або 12,5 см.