Радіус кола, вписаного в квадрат. Теорія і рішення. Як знайти радіус кола. Вписана і описана окружність

У цій статті популярно пояснено, як знайти радіус кола, вписаного в квадрат. Теоретичний матеріал допоможе вам розібратися у всіх пов'язаних з темою нюансах. Прочитавши цей текст, ви з легкістю зможете вирішувати подібні завдання в подальшому.

Базова теорія

Перед тим як перейти безпосередньо до знаходження радіуса вписаного в квадрат кола, варто ознайомитися з деякими фундаментальними поняттями. Можливо, вони можуть здатися занадто простими і очевидними, але вони необхідні для розуміння питання.

Квадрат - чотирикутник, всі сторони якого рівні між собою, а градусна міра всіх кутів становить 90 градусів.

Окружність - двовимірна замкнута крива, розташована на певній відстані від деякої точки. Відрізок, один кінець якого лежить в центрі кола, а другий - на будь-який її поверхні, називається радіусом.

З термінами ознайомилися, залишився лише головне питання. Нам потрібно знайти радіус кола, вписаного в квадрат. Але що означає остання фраза? Тут теж нічого складного. Якщо всі сторони деякого багатокутника стосуються кривої лінії, то її вважають вписаною в цей багатокутник.

Радіус вписаного в квадрат кола

З теоретичним матеріалом закінчили. Тепер необхідно розібратися в тому, як застосувати його на практиці. Скористаємося для цього малюнком.

Радіус, очевидно, перпендикулярний AB. Це означає, що в той же час він паралельний AD і BC. Грубо кажучи, можна "накласти" його на сторону квадрата, щоб далі визначити довжину. Як видно, їй буде відповідати відрізок BK.

Один з його кінців r лежить в центрі кола, яка є точкою перетину діагоналей. Останні по одному зі своїх властивостей ділять один одного навпіл. Використовуючи теорему Піфагора, можна довести, що вони також ділять і сторону фігури на дві однакові частини.

Беручи ці доводи, робимо висновок.

Ромб - це паралелограм, у якого всі сторони рівні. Отже, він успадковує всі властивості паралелограма. А саме:

• Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.
• Діагоналі ромба є биссектрисами його внутрішніх кутів.

Окружність можна вписати в чотирикутник тоді і тільки тоді, коли суми протилежних сторін рівні.
Отже, в будь-який ромб можна вписати коло. Центр вписаного кола збігається з центром перетину діагоналей ромба.
Радіус вписаного кола в ромб можна висловити кількома способами

1 спосіб. Радіуса вписаного кола в ромб через висоту

Висота ромба дорівнює діаметру вписаного кола. Це випливає з властивості прямокутника, який утворюють діаметр вписаного кола і висота ромба - у прямокутника протилежні сторони рівні.

Отже формула радіуса вписаного кола в ромб через висоту:

2 спосіб. Радіус вписаного кола в ромб через діагоналі

Площа ромба можна виразити через радіус вписаного кола
, де Р- периметр ромба. Знаючи, що периметр це сума всіх сторін чотирикутника маємо P \u003d4× а.тоді
Але площа ромба також дорівнює половині твори його діагоналей
Прирівняти праві частини формул площі, маємо наступне рівність
В результаті отримуємо формулу, що дозволяє обчислити радіус вписаного кола в ромб через діагоналі

Приклад розрахунку радіусу кола вписаною в ромб, якщо відомі діагоналі
Знайти радіус кола вписаного в ромб, якщо відомо, що довжина діагоналей 30 см і 40 см
нехай ABCD-ромб, тоді AC і BD його діагоналі. AC \u003d30 см , BD\u003d 40 см
нехай точка Про - це центр вписаною в ромб ABCD окружності, тоді вона буде також бути і точкою перетину його діагоналей, що поділяють їх навпіл.


т.к діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, то трикутник AOBпрямокутний. Тоді по теоремі Піфагора
, Підставляємо в формулу раніше отримані значення

AB \u003d 25 см
Застосувавши раніше виведену формулу для радіуса описаного кола в ромб, отримуємо

3 спосіб. Радіус вписаного кола в ромб через відрізки m і n

Крапка F - точка дотику кола зі стороною ромба, яка ділить її на відрізки AF і BF. нехай AF \u003dm, BF \u003d n.
Крапка O - центр перетину діагоналей ромба і центр вписаного в нього кола.
трикутник AOB - прямокутний, так як діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом.
, Тому що є радіусом, проведеним в точку дотику кола. отже OF - висота трикутника AOB до гіпотенузи. тоді AF і BF -проекції катетів на гіпотенузу.
Висота в прямокутному трикутнику, опущена на гіпотенузу є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу.

Формула радіусу вписаного кола в ромб через відрізки дорівнює кореню квадратному з добутку цих відрізків, на які ділить сторону ромба точка дотику кола

Окружність вважається вписаною в межі правильного багатокутника, в разі, якщо лежить всередині нього, торкаючись при цьому прямих, які проходять через усі сторони. Розглянемо, як знайти центр і радіус кола. Центром кола буде точка, в якій перетинаються бісектриси кутів багатокутника. Радіус розраховується: R \u003d S / P; S - площа багатокутника, Р - напівпериметр окружності.

У трикутнику

У правильний трикутник вписують лише одне коло, центр якої називається інцентром; він від усіх сторін видалений на однакову відстань і є місцем перетину биссектрис.

У чотирикутнику

Часто доводиться вирішувати, як знайти радіус вписаного кола в цю геометричну фігуру. Вона повинна бути опуклою (якщо немає самоперетинів). Окружність вписати в неї можна тільки в разі рівності сум протилежних сторін: AB + CD \u003d BC + AD.

При цьому центр вписаного кола, середини діагоналей, розташовані на одній прямій (згідно з теоремою Ньютона). Відрізок, кінці якого знаходяться там, де перетинаються протилежні сторони правильного чотирикутника, лежить на цій же прямій, званої прямий Гаусса. Центром кола буде точка, в якій перетинаються висоти трикутника з вершинами, діагоналями (по теоремі Брокара).

У ромбі

Їм вважається паралелограм з однаковою довжиною сторін. Радіус кола, що вписується в нього, можна розрахувати кількома способами.

1. Щоб зробити це правильно, знайдіть радіус вписаного кола ромба, якщо відома площа ромба, довжина його боку. Застосовується формула r \u003d S / (2Хa). Наприклад, якщо площа ромба становить 200 мм кв., Довжина сторони 20 мм, то R \u003d 200 / (2х20), тобто, 5 мм.
2. Відомий гострий кут одного з вершин. Тоді необхідно використовувати формулоу r \u003d v (S * sin (α) / 4). Наприклад, при площі в 150 мм і відомому вугіллі в 25 градусів, R \u003d v (150 * sin (25 °) / 4) ≈ v (150 * 0,423 / 4) ≈ v15,8625 ≈ 3,983 мм.
3. Всі кути в ромбі рівні. У цій ситуації радіус кола, вписаного в ромб, буде дорівнює половині довжини одного боку даної фігури. Якщо міркувати по Евклиду, який стверджує, що сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360 градусів, то один кут буде дорівнює 90 градусам; тобто вийде квадрат.

Радіус - це відрізок, який з'єднує будь-яку точку на колі з її центром. Це одна з найважливіших характеристик даної фігури, оскільки на її основі можна обчислити всі інші параметри. Якщо знати, як знайти радіус кола, то можна розрахувати її діаметр, довжину, а також площа. У тому випадку, коли дана фігура вписана або описана навколо іншої, то можна вирішити ще цілий ряд завдань. Сьогодні ми розберемо основні формули і особливості їх застосування.

відомі величини

Якщо знати, як знайти радіус кола, який зазвичай позначають буквою R, то його можна обчислити по одній характеристиці. До таких величинам відносять:

• довжину окружності (C);
• діаметр (D) - відрізок (вірніше, хорда), який проходить через центральну точку;
• площа (S) - простір, який обмежений даної фігурою.

По довжині окружності

Якщо в задачі відома величина C, то R \u003d С / (2 * П). Ця формула є похідною. Якщо ми знаємо, що з себе представляє довжина кола, то її вже не потрібно запам'ятовувати. Припустимо, що в завданні C \u003d 20 м. Як знайти радіус кола в цьому випадку? Просто підставляємо відому величину в вищенаведену формулу. Відзначимо, що в таких завданнях завжди мається на увазі знання числа П. Для зручності розрахунків приймемо його значення за 3,14. Рішення в цьому випадку виглядає наступним чином: записуємо, які величини дані, виводимо формулу і проводимо обчислення. У відповіді пишемо, що радіус дорівнює 20 / (2 * 3,14) \u003d 3,19 м. Важливо не забути про те, що ми вважали, і згадати назву одиниць виміру.

по діаметру

Відразу підкреслимо, що це найпростіший вид завдань, в яких запитується про те, як знайти радіус кола. Якщо такий приклад попався вам на контрольній, то можете бути спокійні. Тут навіть не потрібен калькулятор! Як ми вже говорили, діаметр - це відрізок або, правильніше сказати, хорда, яка проходить через центр. При цьому всі точки кола рівновіддалені. Тому дана хорда складається з двох половинок. Кожна з них є радіусом, що випливає з його визначення як відрізка, який з'єднує точку на колі і її центр. Якщо в задачі відомий діаметр, то для знаходження радіуса потрібно просто розділити цю величину на два. Формула виглядає наступним чином: R \u003d D / 2. Наприклад, якщо діаметр в завданні дорівнює 10 м, то радіус - 5 метрів.

За площею кола

Цей тип завдань зазвичай називають найскладнішим. Це пов'язано в першу чергу з незнанням формули. Якщо знати, як знайти радіус кола в цьому випадку, то інше - справа техніки. У калькуляторі тільки потрібно заздалегідь знайти значок обчислення квадратного кореня. Площа круга - це твір числа П і радіуса, помноженого на самого себе. Формула виглядає наступним чином: S \u003d П * R 2. Відокремити радіус на одній зі сторін рівняння, можна з легкість вирішити задачу. Він буде дорівнює квадратному кореню з частки від ділення площі на число П. Якщо S \u003d 10 м, то R \u003d 1,78 метрів. Як і в попередніх задачах, важливо не забути про використовувані одиницях виміру.

Як знайти радіус описаного кола

Припустимо, що a, b, c - це сторони трикутника. Якщо знати їх величини, то можна знайти радіус описаного навколо нього кола. Для цього спочатку потрібно знайти напівпериметр трикутника. Щоб було легше для сприйняття, позначимо його маленькою літерою p. Він буде дорівнює половині суми сторін. Його формула: p \u003d (a + b + c) / 2.

Також обчислимо твір довжин сторін. Для зручності позначимо його буквою S. Формула радіусу описаного кола буде виглядати так: R \u003d S / (4 * √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Розглянемо приклад завдання. У нас є коло, описане навколо трикутника. Довжини її сторін складають 5, 6 і 7 см. Спочатку обчислюємо напівпериметр. У нашій задачі він буде дорівнює 9 сантиметрам. Тепер обчислимо твір довжин сторін - 210. Підставляємо результати проміжних розрахунків в формулу і дізнаємося результат. Радіус описаного кола дорівнює 3,57 сантиметра. Записуємо відповідь, не забуваючи про одиниці виміру.

Як знайти радіус вписаного кола

Припустимо, що a, b, c - довжини сторін трикутника. Якщо знати їх величини, то можна знайти радіус вписаного в нього кола. Спочатку потрібно знайти його напівпериметр. Для полегшення розуміння позначимо його маленькою літерою p. Формула його обчислення виглядає наступним чином: p \u003d (a + b + c) / 2. Цей тип завдання дещо простіше, ніж попередній, тому більше не потрібно ніяких проміжних розрахунків.

Радіус вписаного кола обчислюється за такою формулою: R \u003d √ ((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Розглянемо це на конкретному прикладі. Припустимо, в завданню описаний трикутник зі сторонами 5, 7 і 10 см. У нього вписане коло, радіус якої і потрібно знайти. Спочатку знаходимо напівпериметр. У нашій задачі він буде дорівнює 11 см. Тепер підставляємо його в основну формулу. Радіус виявиться рівним 1,65 сантиметрам. Записуємо відповідь і не забуваємо про правильні одиницях виміру.

Коло і її властивості

У кожної геометричної фігури є свої особливості. Саме від їх розуміння залежить правильність вирішення завдань. Є вони і у колі. Найчастіше їх використовують при вирішенні прикладів з описаними або вписаними фігурами, оскільки вони дають чітке уявлення про таку ситуацію. Серед них:

• Пряма може мати нуль, одну або дві точки перетину з колом. У першому випадку вона з нею не перетинається, у другому є дотичною, в третьому - січною.
• Якщо взяти три точки, що не лежать в одній прямий, то через них можна привести тільки одне коло.
• Пряма може бути дотичній відразу двох фігур. В цьому випадку вона буде проходити через точку, яка лежить на відрізку, що з'єднує центри кіл. Його довжина дорівнює сумі радіусів даних фігур.
• Через одну або дві точки можна провести нескінченну кількість кіл.

Дотримання Вашої конфіденційності важливо для нас. З цієї причини, ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо і зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності і повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір і використання персональної інформації

Під персональною інформацією розуміються дані, які можуть бути використані для ідентифікації певної особи або зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації в будь-який момент, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведені деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваші ім'я, номер телефону, адреса електронної пошти тощо

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Зібрана нами персональна інформація дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інших заходах і найближчі події.
• Час від часу, ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для відправки важливих повідомлень і повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних і різних досліджень з метою поліпшення послуг, що надаються нами і надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь в розіграші призів, конкурсі або подібному стимулюючому заході, ми можемо використовувати надану вами інформацію для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

винятки:

• У разі якщо необхідно - відповідно до закону, у судовому порядку, в судовому розгляді, і / або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно в цілях безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати зібрану нами персональну інформацію відповідній третій особі - правонаступнику.

Захист особистих даних

Ми вживаємо заходів обережності - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки, і недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності і безпеки до наших співробітників, і строго стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.