Як знайти радіус вписаного кола? Вписане і вписане коло. Візуальний гід з прикладами (2019)

Коло вважається вписаним у межі правильного багатокутникау випадку, якщо лежить усередині нього, торкаючись при цьому прямих, які проходять через усі сторони. Розглянемо, як знайти центр та радіус кола. Центром кола буде точка, в якій перетинаються бісектриси кутів багатокутника. Радіус розраховується: R=S/P; S – площа багатокутника, Р – напівпериметр кола.

У трикутнику

У правильний трикутник вписують лише одне коло, центр якого називається інцентром; він від усіх сторін віддалений на однакову відстань і є місцем перетину бісектрис.

У чотирикутнику

Часто доводиться вирішувати, як знайти радіус вписаного кола в цю геометричну фігуру. Вона має бути опуклою (якщо немає самоперетинів). Коло вписати до неї можна лише у разі рівності сум протилежних сторін: AB+CD=BC+AD.

При цьому центр вписаного кола, середини діагоналей, розташовані на одній прямій (відповідно до теореми Ньютона). Відрізок, кінці якого знаходяться там, де перетинаються протилежні сторони правильного чотирикутника, лежить на цій же прямій, що називається прямою Гаусса. Центром кола буде точка, у якій перетинаються висоти трикутника з вершинами, діагоналями (за теоремою Брокара).

У ромбі

Їм вважається паралелограм із однаковою довжиною сторін. Радіус кола, що вписується в нього, можна розрахувати кількома способами.

1. Щоб зробити це правильно, знайдіть радіус вписаного кола ромба, якщо відома площа ромба, довжина його боку. Застосовується формула r=S/(2Хa). Наприклад, якщо площа ромба становить 200 мм кв., Довжина сторони 20 мм, то R=200/(2Х20), тобто, 5 мм.
2. Відомий гострий кут однієї з вершин. Тоді необхідно використовувати формулу r=v(S*sin(α)/4). Наприклад, при площі 150 мм і відомому вугіллі 25 градусів, R= v(150*sin(25°)/4) ≈ v(150*0,423/4) ≈ v15,8625 ≈ 3,983 мм.
3. Усі кути у ромбі рівні. У цій ситуації радіус кола, вписаного в ромб, дорівнюватиме половині довжини однієї сторони даної фігури. Якщо міркувати по Евкліду, який стверджує, що сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360 градусів, то один кут дорівнюватиме 90 градусам; тобто. вийде квадрат.

Радіус - це відрізок, який сполучає будь-яку точку на колі з її центром. Це одна з найважливіших характеристик цієї фігури, оскільки на її основі можна обчислити всі інші параметри. Якщо знати, як знайти радіус кола, то можна розрахувати його діаметр, довжину, а також площу. У тому випадку, коли ця фігура вписана або описана навколо іншої, можна вирішити ще цілий ряд завдань. Сьогодні ми розберемо основні формули та особливості їх застосування.

Відомі величини

Якщо знати, як знайти радіус кола, який зазвичай позначають буквою R, його можна обчислити по одній характеристиці. До таких величин відносять:

• довжину кола (C);
• діаметр (D) – відрізок (вірніше, хорда), який проходить через центральну точку;
• площа (S) - простір, обмежений цією фігурою.

По довжині кола

Якщо задачі відома величина C, то R = З / (2 * П). Ця формула є похідною. Якщо ми знаємо, що з себе є довжиною кола, то її вже не потрібно запам'ятовувати. Припустимо, що завдання C = 20 м. Як знайти радіус кола у разі? Просто підставляємо відому величину вищенаведену формулу. Зазначимо, що у таких завданнях завжди мається на увазі знання числа П. Для зручності розрахунків приймемо його значення за 3,14. Рішення у разі виглядає так: записуємо, які величини дані, виводимо формулу і проводимо обчислення. У відповіді пишемо, що радіус дорівнює 20/(2*3,14) = 3,19 м. Важливо не забути про те, що ми вважали, і згадати назву одиниць виміру.

По діаметру

Відразу підкреслимо, що це найпростіший вид завдань, у яких питається про те, як знайти радіус кола. Якщо такий приклад попався вам на контрольній, можете бути спокійні. Тут навіть не потрібний калькулятор! Як ми вже говорили, діаметр - це відрізок або, точніше, хорда, яка проходить через центр. При цьому всі точки кола рівновіддалені. Тому ця хорда складається із двох половинок. Кожна з них є радіусом, що випливає з його визначення як відрізка, що з'єднує точку на колі та її центр. Якщо задачі відомий діаметр, то знаходження радіуса потрібно просто розділити цю величину на два. Формула виглядає наступним чином: R = D/2. Наприклад, якщо діаметр у задачі дорівнює 10 м, то радіус – 5 метрів.

За площею кола

Цей тип завдань зазвичай називають найскладнішим. Це пов'язано насамперед із незнанням формули. Якщо знати, як знайти радіус кола в цьому випадку, то решта – справа техніки. У калькуляторі потрібно лише заздалегідь знайти значок обчислення квадратного кореня. Площа кола - це твір числа П і радіусу, помноженого самого себе. Формула виглядає так: S = П * R 2 . Відокремивши радіус на одній із сторін рівняння, можна легко вирішити задачу. Він дорівнюватиме квадратному кореню з приватного відокремлення площі на число П. Якщо S = 10 м, то R = 1,78 метрів. Як і в попередніх завданнях, важливо не забути про одиниці вимірювання, що використовуються.

Як знайти радіус описаного кола

Припустимо, що a, b, c – це сторони трикутника. Якщо знати їх величини, то можна знайти радіус описаного навколо нього кола. Для цього потрібно спочатку знайти півпериметр трикутника. Щоб було легше сприйняття, позначимо його маленькою літерою p. Він дорівнюватиме половині суми сторін. Його формула: p = (a + b + c)/2.

Також обчислимо добуток довжин сторін. Для зручності позначимо його літерою S. Формула радіуса описаного кола буде виглядати так: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Розглянемо приклад задачі. У нас є коло, описане навколо трикутника. Довжини її сторін становлять 5, 6 та 7 см. Спочатку обчислюємо півпериметр. У нашому завданні він дорівнюватиме 9 сантиметрам. Тепер обчислимо добуток довжин сторін – 210. Підставляємо результати проміжних розрахунків у формулу та дізнаємося результат. Радіус описаного кола дорівнює 3,57 сантиметра. Записуємо відповідь, не забуваючи про одиниці виміру.

Як знайти радіус вписаного кола

Припустимо, що a, b, c – довжини сторін трикутника. Якщо знати їх величини, то можна знайти радіус вписаного в нього кола. Спершу потрібно знайти його напівпериметр. Для полегшення розуміння позначимо маленькою літерою p. Формула його обчислення виглядає так: p = (a + b + c) / 2. Цей тип завдання трохи простіше, ніж попередній, тому більше не потрібно жодних проміжних розрахунків.

Радіус вписаного кола обчислюється за такою формулою: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Розглянемо це на конкретному прикладі. Припустимо, в задачі описаний трикутник зі сторонами 5, 7 і 10 см. У нього вписано коло, радіус якого потрібно знайти. Спочатку знаходимо півпериметр. У нашій задачі він дорівнює 11 см. Тепер підставляємо його в основну формулу. Радіус виявиться рівним 1,65 сантиметрам. Записуємо відповідь і не забуваємо про правильних одиницяхвимірювання.

Окружність та її властивості

Кожна геометрична фігура має свої особливості. Саме від їхнього розуміння залежить правильність розв'язання задач. Є вони й коло. Найчастіше їх використовують при вирішенні прикладів з описаними або вписаними фігурами, оскільки вони дають чітке уявлення про таку ситуацію. Серед них:

• Пряма може мати нуль, одну або дві точки перетину з колом. У першому випадку вона з нею не перетинається, у другому є дотичною, у третьому – січною.
• Якщо взяти три точки, що не лежать на одній прямій, то через них можна навести лише одне коло.
• Пряма може бути відносною двох фігур. У цьому випадку вона проходитиме через точку, яка лежить на відрізку, що з'єднує центри кіл. Його довжина дорівнює сумі радіусів цих фігур.
• Через одну або дві точки можна провести нескінченну кількість кіл.

У цій статті популярно пояснено, як знайти радіус кола, вписаного в квадрат. Теоретичний матеріал допоможе вам розібратися у всіх пов'язаних із темою нюансах. Прочитавши цей текст, ви легко зможете вирішувати подібні завдання надалі.

Базова теорія

Перед тим як перейти безпосередньо до знаходження радіусу вписаного в квадрат кола, варто ознайомитися з деякими фундаментальними поняттями. Можливо, вони можуть здатися надто простими та очевидними, але вони необхідні для розуміння питання.

Квадрат - чотирикутник, усі сторони якого рівні між собою, а градусний захід усіх кутів становить 90 градусів.

Окружність - двомірна замкнута крива, розташована певному відстані від певної точки. Відрізок, один кінець якого лежить у центрі кола, а другий – на будь-якій її поверхні, називається радіусом.

З термінами ознайомилися, лишилося лише головне питання. Нам потрібно знайти радіус кола, вписаного в квадрат. Але що означає остання фраза? Тут також нічого складного. Якщо всі сторони деякого багатокутника стосуються кривої лінії, її вважають вписаною в цей багатокутник.

Радіус вписаний у квадрат кола

З теоретичним матеріаломзакінчили. Тепер необхідно розібратися у тому, як застосувати його на практиці. Скористаємося для цього малюнком.

Радіус, очевидно, перпендикулярний AB. Це означає, що він одночасно паралельний AD і BC. Грубо кажучи, можна накласти його на бік квадрата, щоб далі визначити довжину. Як видно, їй відповідатиме відрізок BK.

Один з його кінців r лежить у центрі кола, яке є точкою перетину діагоналей. Останні по одному зі своїх властивостей ділять один одного навпіл. Використовуючи теорему Піфагора, можна довести, що вони також поділяють і сторону фігури на дві однакові частини.

Приймаючи ці аргументи, робимо висновок.

Ромб – це паралелограм, у якого всі боки рівні. Отже, він успадковує всі властивості паралелограма. А саме:

• Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.
• Діагоналі ромба є бісектрисами його внутрішніх кутів.

Окружність можна вписати у чотирикутник тоді і лише тоді, коли суми протилежних сторін дорівнюють.
Отже, у будь-який ромб можна вписати коло. Центр вписаного кола збігається з центром перетину діагоналей ромба.
Радіус вписаного кола в ромб можна висловити декількома способами

1 спосіб. Радіуса вписаного кола в ромб через висоту

Висота ромба дорівнює діаметру вписаного кола. Це випливає з властивості прямокутника, який утворюють діаметр вписаного кола та висота ромба – у прямокутника протилежні сторони рівні.

Отже формула радіусу вписаного кола в ромб через висоту:

2 спосіб. Радіус вписаного кола в ромб через діагоналі

Площа ромба можна виразити через радіус вписаного кола
, де Р- Періметр ромба. Знаючи, що периметр – це сума всіх сторін чотирикутника маємо P= 4×а.Тоді
Але площа ромба також дорівнює половині твору його діагоналей
Прирівнявши праві частини формул площі, маємо таку рівність
В результаті отримуємо формулу, що дозволяє обчислити радіус вписаного кола на ромб через діагоналі.

Приклад розрахунку радіуса кола вписаного в ромб, якщо відомі діагоналі
Знайти радіус кола вписаного в ромб, якщо відомо, що довжина діагоналей 30 см і 40 см
Нехай ABCD-ромб, тоді ACі BDйого діагоналі. AC= 30 см , BD=40 см
Нехай точка Про- Це центр вписаної в ромб ABCDкола, тоді вона буде також і точкою перетину його діагоналей, що ділять їх навпіл.


оскільки діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, то трикутник AOBпрямокутний. Тоді за теоремою Піфагора
, підставляємо у формулу раніше отримані значення

AB= 25 см
Застосувавши раніше виведену формулу для радіусу описаного кола в ромб, отримуємо

3 спосіб. Радіус вписаного кола в ромб через відрізки m і n

Крапка F- точка торкання кола зі стороною ромба, яка ділить її на відрізки AFі BF. Нехай AF=m, BF=n.
Крапка O- Центр перетину діагоналей ромба і центр вписаного в нього кола.
Трикутник AOB- Прямокутний, так як діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом.
, т.к. є радіусом, проведеним у точку торкання кола. Отже OF- Висота трикутника AOBдо гіпотенузи. Тоді AFі BF –проекції катетів на гіпотенузу
Висота в прямокутному трикутнику, опущена на гіпотенузу, є середнє пропорційне між проекціями катетів на гіпотенузу.

Формула радіусу вписаного кола в ромб через відрізки дорівнює кореню квадратному з твору цих відрізків, на які ділить бік ромба.