Побудова правильних багатокутників - технічне креслення. Побудова правильних багатокутників - технічне креслення Опуклий 10 кутник

Побудова вписаного в коло правильного шестикутника. Побудова шестикутника засноване на тому, що сторона його дорівнює радіусу описаного кола. Тому для побудови достатньо розділити окружність на шість рівних частин і з'єднати знайдені точки між собою (фіг. 60, а).

Правильний шестикутник можна побудувати, користуючись рейсшиною і косинцем 30X60 °. Для виконання цієї побудови приймаємо горизонтальний діаметр окружності за бісектрису кутів 1 і 4 (фіг. 60, б), будуємо боку 1 -6, 4-3, 4-5 і 7-2, після чого проводимо боку 5-6 і 3 2.

Побудова вписаного в коло рівностороннього трикутника. Вершини такого трикутника можна побудувати за допомогою циркуля і косинця з кутами в 30 і 60 ° або тільки одного циркуля.

Розглянемо два способи побудови вписаного в коло рівностороннього трикутника.

перший спосіб (Фіг. 61, a) заснований на тому, що всі три кути трикутника 7, 2, 3 містять по 60 °, а вертикальна пряма, проведена через точку 7, є одночасно висотою і бісектрисою кута 1. Так як кут 0-1- 2 дорівнює 30 °, то для знаходження сторони

1-2 досить побудувати по точці 1 і стороні 0-1 кут в 30 °. Для цього встановлюємо рейсшини і косинець так, як це показано на фігурі, проводимо лінію 1-2, яка буде однією зі сторін шуканого трикутника. Щоб побудувати сторону 2-3, встановлюємо рейсшини в положення, показане штриховими лініями, і через точку 2 проводимо пряму, яка визначить третю вершину трикутника.

другий спосіб заснований на тому, що, якщо побудувати правильний шестикутник, вписаний в коло, і потім з'єднати його вершини через одну, то вийде рівносторонній трикутник.

Для побудови трикутника (фіг. 61, б) намічаємо на діаметрі вершину-точку 1 і проводимо діаметральну лінію 1-4. Далі з точки 4 радіусом, рівним D / 2, описуємо дугу до перетину з колом в точках 3 і 2. Отримані точки будуть двома іншими вершинами шуканого трикутника.

Побудова квадрата, вписаного в коло. Це побудова можна виконати за допомогою кутника і циркуля.

Перший спосіб заснований на тому, що діагоналі квадрата перетинаються в центрі описаного кола і нахилені до його осях під кутом 45 °. Виходячи з цього, встановлюємо рейсшини і косинець з кутами 45 ° так, як це показано на фіг. 62, а, і відзначаємо точки 1 і 3. Далі через ці точки проводимо за допомогою рейсшини горизонтальні сторони квадрата 4-1 і 3-2. Потім за допомогою рейсшини по катету кутника проводимо вертикальні боку квадрата 1-2 і 4-3.

Другий спосіб заснований на тому, що вершини квадрата ділять навпіл дуги окружності, ув'язнені між кінцями діаметра (фіг. 62, б). Намічаємо на кінцях двох взаємно перпендикулярних діаметрів точки А, В і С і з них радіусом у описуємо дуги до взаємного їх перетину.

Далі через точки перетину дуг проводимо допоміжні прямі, відмічені на фігурі суцільними лініями. Точки їх перетину з колом визначать вершини 1 і 3; 4 і 2. Отримані таким чином вершини шуканого квадрата з'єднуємо послідовно між собою.

Побудова вписаного в коло правильного п'ятикутника.

Щоб вписати в коло правильний п'ятикутник (фіг. 63), виробляємо наступні побудови.

Намічаємо на колі точку 1 і приймаємо її за одну з вершин п'ятикутника. Ділимо відрізок АТ навпіл. Для цього радіусом АТ з точки А описуємо дугу до перетину з колом в точках M і В. Поєднавши ці точки прямої, отримаємо точку К, яку з'єднуємо потім з точкою 1. Радіусом, рівним відрізку A7, описуємо з точки До дугу до перетину з діаметральної лінією АТ в точці H. Поєднавши точку 1 з точкою H, отримаємо сторону п'ятикутника. Потім розчином циркуля, рівним відрізку 1H, описавши дугу з вершини 1 до перетину з колом, знайдемо вершини 2 і 5. Зробивши тим же розчином циркуля зарубки з вершин 2 і 5, отримаємо інші вершини 3 і 4. Знайдені точки послідовно з'єднуємо між собою.

Побудова правильного п'ятикутника по даній його стороні.

Для побудови правильного п'ятикутника по даній його стороні (фіг. 64) ділимо відрізок AB на шість рівних частин. З точок А і В радіусом AB описуємо дуги, перетин яких дасть точку К. Через цю точку і розподіл 3 на прямий AB проводимо вертикальну пряму.

Отримаємо точку 1-вершину п'ятикутника. Потім радіусом, рівним АВ, з точки 1 описуємо дугу до перетину з дугами, раніше проведеними з точок А і В. Точки перетину дуг визначають вершини п'ятикутника 2 і 5. Знайдені вершини з'єднуємо послідовно між собою.

Побудова вписаного в коло правильного семикутника.

Нехай дана окружність діаметра D; потрібно вписати в неї правильний семикутник (фіг. 65). Ділимо вертикальний діаметр окружності на сім рівних частин. З точки 7 радіусом, рівним діаметру окружності D, описуємо дугу до перетину з продовженням горизонтального діаметра в точці F. Точку F назвемо полюсом багатокутника. Прийнявши точку VII за одну з вершин семикутника, проводимо з полюса F через парні розподілу вертикального діаметра промені, перетин яких з окружністю визначать вершини VI, V і IV семикутника. Для отримання вершин /// - /// з точок IV, V і VI проводимо до перетину з колом горизонтальні прямі. Знайдені вершини з'єднуємо послідовно між собою. Семикутник може бути побудований шляхом проведення променів з полюса F і через непарні поділу вертикального діаметра.

Наведений спосіб придатний для побудови правильних багатокутників з будь-яким числом сторін.

Поділ кола на будь-яке число рівних частин можна проводити також, користуючись даними табл. 2, в якій наведено коефіцієнти, що дають можливість визначати розміри сторін правильних вписаних багатокутників.

З десятьма кутами і десятьма сторонами.

правильний десятіугольнік

У правильного десятіугольніка всі сторони рівної довжини, і кожен внутрішній кут становить 144 °.

Площа правильного десятіугольніка дорівнює (t - довжина сторони):

$A\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (5)\; (2)\; t\; ^\; 2\; \backslash \backslash \; cot\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; pi)\; (10)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (5t\; ^\; 2)\; (2)\; \backslash \backslash \; sqrt\; (5\; +\; 2\; \backslash \backslash \; sqrt\; (5))\; \backslash \backslash \; approx\; 7.694\; t\; ^\; 2.$

Альтернативна формула $A\; \backslash u003d\; 2.5dt$, Де d - відстань між паралельними сторонами або діаметр вписаного кола. В тригонометричних функціях він виражається так:

$d\; \backslash u003d\; 2t\; \backslash \backslash \; left\; (\backslash \backslash \; cos\; \backslash \backslash \; tfrac\; (3\; \backslash \backslash \; pi)\; (10)\; +\; \backslash \backslash \; cos\; \backslash \backslash \; tfrac\; (\backslash \backslash \; pi)\; (10)\; \backslash \backslash \; right),$

і може бути представлений в радикалах як

$d\; \backslash u003d\; t\; \backslash \backslash \; sqrt\; (5\; +\; 2\; \backslash \backslash \; sqrt\; (5)).$

Сторона правильного десятіугольніка, вписаного в одиничну окружність, дорівнює $\backslash \backslash \; Tfrac\; (\backslash \backslash \; sqrt\; (5)\; -1)\; (2)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; tfrac\; (1)\; (\backslash \backslash \; varphi)$, де $\backslash \backslash \; varphi$ - Золотий перетин .

Радіус описаного кола декагона дорівнює

$R\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; sqrt\; (5)\; +1)\; (2)\; t,$

а радіус вписаного кола

$r\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; sqrt\; (5\; +\; 2\; \backslash \backslash \; sqrt\; (5)))\; (2)\; t.$

побудова

Інакше його можна побудувати наступним чином:

1. Побудувати спочатку правильний п'ятикутник.
2. З'єднати все його вершини з центром описаного кола прямими до перетину з цієї ж окружністю на протилежному боці. У цих точках перетину і знаходяться інші п'ять вершин десятіугольніка.
3. З'єднати по порядку вершини п'ятикутника і п'ять точок, знайдені кроком раніше. Шуканий десятіугольнік побудований.

Розбиття правильного десятіугольніка

Напишіть відгук про статтю "Десятіугольнік"

посилання

За кількістю сторін правильні трикутники чотирикутники Див. також

багатокутники зірчасті багатокутники Паркети на площині правильні багатогранники і сферичні паркети Багатогранники Кеплера - Пуансо стільники чотиривимірні багатогранники

Уривок, що характеризує Десятіугольнік

- Ти змерзла. Ти вся тремтиш. Ти б лягала, - сказала вона.
- Лягати? Так, добре, я ляжу. Я зараз ляжу, - сказала Наташа.
З тих пір як Наташі в нинішній ранок сказали про те, що князь Андрій важко поранений і їде з ними, вона тільки в першу хвилину багато запитувала про те, куди? як? небезпечно він поранений? і чи можна їй бачити його? Але після того як їй сказали, що бачити його їй не можна, що він поранений важко, але що життя його не в небезпеці, вона, очевидно, не повіривши тому, що їй говорили, але переконавшись, що скільки б вона не говорила, їй будуть відповідати одне і те ж, перестала питати і говорити. Всю дорогу з великими очима, які так знала і яких вираження так боялася графиня, Наташа сиділа нерухомо в кутку карети і так же сиділа тепер на лавці, на яку села. Що то вона задумувала, що то вона вирішувала чи вже вирішила в своєму розумі тепер, - це знала графиня, але що це таке було, вона не знала, і це те лякало і мучило її.
- Наташа, роздягнись, голубонько, лягай на моє ліжко. (Тільки графині однієї була постелено постіль на ліжку; m me Schoss і обидві панянки повинні були спати на підлозі на сіні.)
- Ні, мама, я ляжу тут, на підлозі, - сердито сказала Наташа, підійшла до вікна і відчинила його. Стогін ад'ютанта з відкритого вікна почувся виразніше. Вона висунула голову в сире повітря ночі, і графиня бачила, як тонкі плечі її тремтіли від ридань і билися об раму. Наташа знала, що стогнав НЕ князь Андрій. Вона знала, що князь Андрій лежав в тій же зв'язку, де вони були, в іншій хаті через сіни; але цей страшний Незмовкаюча стогін змусив заплакати її. Графиня перезирнулася з Сонею.
- Лягай, голубонько, лягай, мій друже, - сказала графиня, злегка дотрогіваясь рукою до плеча Наташі. - Ну, лягай же.
- Ах, так ... Я зараз, зараз ляжу, - сказала Наташа, поспішно роздягаючись і обриваючи зав'язки спідниць. Скинувши плаття і надівши кофту, вона, підібгавши ноги, села на приготовлену на підлозі ліжко і, перекинувши через плече наперед свою недовгу тонку косу, стала переплітати її. Тонкі довгі звичні пальці швидко, вправно розбирали, плели, зав'язували косу. Голова Наташі звичним жестом поверталася то в одну, то в іншу сторону, але очі, гарячково відкриті, нерухомо дивилися прямо. Коли нічний костюм був закінчений, Наташа тихо опустилася на простирадло, постелили на сіно з краю від дверей.
- Наташа, ти в середину ляж, - сказала Соня.
- Ні, я тут, - промовила Наташа. - Так лягайте ж, - додала вона з досадою. І вона заховала обличчя в подушку.
Графиня, m me Schoss і Соня поспішно роздяглися і лягли. Одна лампадка залишилася в кімнаті. Але на дворі світлішало від пожежі Малих Митищах за дві версти, і гули п'яні крики народу в шинку, який розбили Мамоновского козаки, на перекоске, на вулиці, і все чувся невгамовної стогін ад'ютанта.
Довго прислухалася Наташа до внутрішніх і зовнішніх звуків, що долинали до неї, і не ворушилася. Вона чула спочатку молитву і зітхання матері, тріщання під нею її ліжка, знайомий з свистом хропіння m me Schoss, тихе дихання Соні. Потім графиня покликала Наташу. Наташа не відповідала їй.
- Здається, спить, мама, - тихо відповіла Соня. Графиня, помовчавши трохи, покликала ще раз, але вже ніхто їй не відгукнувся.
Скоро після цього Наташа почула рівне дихання матері. Наташа не ворушилася, незважаючи на те, що її маленька боса нога, вибившись з-під ковдри, мерзли на голій підлозі.
Як би святкуючи перемогу над усіма, в щілини закричав цвіркун. Проспівав півень далеко, відгукнулися близькі. В шинку затихли крики, тільки чувся той же стій ад'ютанта. Наташа підвелася.
- Соня? ти спиш? Мамо? - прошепотіла вона. Ніхто не відповів. Наташа повільно і обережно встала, перехрестилася і ступила обережно вузькою і гнучкою босий ступень на брудний холодну підлогу. Рипнули мостина. Вона, швидко перебираючи ногами, пробігла, як кошеня, кілька кроків і взялася за холодну дужку двері.
Їй здавалося, що то важке, рівномірно б'ючи, стукає в усі стіни хати: це билося її завмирає від страху, від жаху і любові розривається серце.
Вона відчинила двері, переступила поріг і ступила на сиру, холодну землю сіней. Обхват холод освіжив її. Вона обмацала босою ногою сплячої людини, переступила через нього і відчинила двері в хату, де лежав князь Андрій. У хаті цієї було темно. У задньому кутку біля ліжка, на якій лежало щось, на лавці стояла нагоревшая великим грибом сальна свічка.

Десятіугольнік, як і всі багатокутники, можна легко побудувати за допомогою циркуля і лінійки. Існує два нескладних способу для вирішення даної цікавою і незвичною завдання.

Вам знадобиться

• - циркуль;
• - лінійка.

Інструкція

Багатокутником називається замкнута ламана. Десятіугольнік, відповідно, - це замкнута ламана, що складається з 10 кутів і 10 відрізків. Побудувати довільний десятіугольнік нескладно. Для цього треба взяти 10 будь-яких точок, які не лежать на одній прямій, і з'єднати ці точки відрізками так, щоб вийшла замкнута фігура. Причому має виконуватися умова: дві будь-які точки всередині вийшла фігури повинні з'єднуватися лінією, не перетинає кордони фігури. Якщо ця умова не виконується, то побудована фігура не є багатокутником.

1 спосіб: За допомогою циркуля накресліть коло. Використовуючи транспортир, розділіть її на 10 рівних секторів по 36 градусів кожен (360: 10 \u003d 36). Потім з'єднайте послідовно всі точки, відмічені на окружності.

2 спосіб: Знову ж таки, за допомогою циркуля накресліть коло. Центр вийшла окружності позначте буквою О. Проведіть два перпендикулярні діаметру даної окружності СD і АВ. Розділіть один з 4-х радіусів на дві рівні частини. З малюнка видно, що радіус СО \u003d СМ + МО, де СМ \u003d МО.

Далі поставте ніжку циркуля в точку М і накресліть коло радіусом, рівним половині радіуса початкової окружності. За допомогою лінійки з'єднайте центр маленької кола М з будь-якої з 2-х точок (А або В) на перпендикулярному діаметрі. На малюнку центр маленької кола з'єднаний з точки А. Довжина, отриманого відрізка АМ дорівнюватиме довжині боку десятіугольніка. Залишилося тільки зробити розчин циркуля, що дорівнює довжині відрізка АМ, поставити ніжку циркуля в точку А і відзначити таку точку на колі. Далі перемістіть ніжку циркуля в нову точку і відзначте наступну. І так до тих пір, поки на окружності чи не з'явиться 10 рівновіддалених один від одного точок.