Рівняння нормальної площини

1.

4.

Дотична площина та нормаль до поверхні

Нехай дана деяка поверхня, A - фіксована точка поверхні та B - змінна точкаповерхні,

(Рис. 1).

Ненульовий вектор

→

n

називається нормальним вектором до поверхні в точці A якщо

lim B → A j = π 2 .

Точка поверхні F (x, y, z) = 0 називається звичайною, якщо в цій точці

1. приватні похідні F"x, F"y, F"z безперервні;
2. (F"x)2+(F"y)2+(F"z)2≠0.

При порушенні хоча б однієї з цих умов точка поверхні називається особливою точкою поверхні .

Теорема 1.Якщо M (x 0 , y 0 , z 0 ) - звичайна точка поверхні F (x, y, z) = 0, то вектор

→ n = grad F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F "x (x 0 , y 0 , z 0 ) → i + F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) → j + F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) → k

(1)

є нормальним до цієї поверхні в точці M (x 0, y 0, z 0).

Доведеннянаведено у книзі І.М. Петрушка, Л.А. Кузнєцова, В.І. Прохоренко, В.Ф. Сафонова `` Курс вищої математики: Інтегральне числення. Функції кількох змінних. Диференційне рівняння. М: Вид-во МЕІ, 2002 (стор. 128).

Нормаллю до поверхнів деякій її точці називається пряма, напрямний вектор якої нормальний до поверхні в цій точці і яка проходить через цю точку.

Канонічні рівняння нормаліможна уявити у вигляді

x − x 0 F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) = y − y 0 F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) .

(2)

Стосовною площиноюдо поверхні в деякій точці називається площина, яка проходить через цю точку перпендикулярно нормалі до поверхні у цій точці.

З цього визначення випливає, що рівняння дотичної площинимає вид:

(3)

Якщо точка поверхні є особливою, то цій точці нормальний до поверхні вектор може не існувати, і, отже, поверхня може не мати нормалі та дотичної площини.

Геометричний зміст повного диференціала функції двох змінних

Нехай функція z = f (x, y) диференційована в точці a (x0, y0). Її графіком є ​​поверхня

f (x, y) − z = 0.

Покладемо z 0 = f (x 0, y 0). Тоді точка A (x 0 y 0 z 0 ) належить поверхні.

Приватні похідні функції F (x, y, z) = f (x, y) − z суть

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

і в точці A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. вони безперервні;
2. F "2 x + F" 2 y + F "2 z = f" 2 x + f "2 y + 1 ≠ 0 .

Отже, A - звичайна точка поверхні F (x, y, z) і в цій точці існує дотична площина до поверхні. Відповідно до (3), рівняння дотичної площини має вигляд:

f " x ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) + f " y ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) − ( z − z 0 ) = 0 .

Вертикальне зміщення точки на дотичній площині при переході з точки a (x 0 , y 0 ) довільну точку p (x , y) є B Q (рис. 2). Відповідне збільшення аплікати є

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Тут у правій частині стоїть диференціал d z функції z = f (x, y) у точці a (x0, x0). Отже,
d f (x 0, y 0). є збільшення аплікати точки площини дотичної до графіка функції f (x , y) у точці (x 0 , y 0 , z 0 = f (x 0 , y 0 )).

З визначення диференціала слід, що відстань між точкою P на графіку функції та точкою Q на дотичній площині є нескінченно мала більш високого порядку, ніж відстань від точки p до точки a .

Графіком функції 2-х змінних z = f(x,y) є поверхня, що проектується на площину XOY область визначення функції D.
Розглянемо поверхню σ , задану рівнянням z = f(x,y) , де f(x,y) – функція, що диференціюється, і нехай M 0 (x 0 , y 0 ,z 0) – фіксована точка на поверхні σ , тобто. z 0 = f (x 0, y 0). Призначення. Онлайн-калькулятор призначений для знаходження рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні. Рішення оформляється у форматі Word. Якщо потрібно визначити рівняння дотичної до кривої (y = f(x)), необхідно використовувати даний сервіс .

Правила введення функцій:

Правила введення функцій:

1. Усі змінні виражаються через x,y,z

Стосовною площиною до поверхні σ у її точці М 0 називається площина, в якій лежать дотичні до всіх кривих, проведених на поверхні σ через точку М 0 .
Рівняння дотичної площини до поверхні, заданої рівнянням z = f(x,y) , у точці M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) має вигляд:

z – z 0 = f' x (x 0, y 0)(x – x 0) + f' y (x 0, y 0) (y – y 0)

Вектор називається вектором нормалі до поверхні σ у точці М 0 . Вектор нормалі перпендикулярний дотичній площині.
Нормаллю до поверхні σ у точці М 0 називається пряма, що проходить через цю точку і має напрямок вектора N.
Канонічні рівняння нормалі до поверхні, заданої рівнянням z = f(x,y) у точці M 0 (x 0 , y 0 ,z 0), де z 0 = f(x 0 , y 0), мають вигляд:

Приклад №1. Поверхня задана рівнянням x3+5y. Знайти рівняння дотичної площини до поверхні точки M 0 (0;1).
Рішення. Запишемо рівняння дотичної в загальному вигляді: z - z 0 = f" x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
За умовою задачі x 0 = 0 , y 0 = 1 тоді z 0 = 5
Знайдемо приватні похідні функції z = x^3+5*y:
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" y = 5
У точці М 0 (0,1) значення приватних похідних:
f" x (0; 1) = 0
f" y (0; 1) = 5
Користуючись формулою, отримуємо рівняння дотичної площини до поверхні в точці М 0: z - 5 = 0 (x - 0) + 5 (y - 1) або -5 y + z = 0

Приклад №2. Поверхня задана неявним чином y2-1/2*x3-8z. Знайти рівняння дотичної площини до поверхні точки M 0 (1;0;1).
Рішення. Знаходимо приватні похідні функції. Оскільки функція задана в неявному вигляді, похідні шукаємо за формулою:

Для нашої функції:

Тоді:

У точці М 0 (1,0,1) значення приватних похідних:
f" x (1; 0; 1) = -3 / 16
f" y (1; 0; 1) = 0
Користуючись формулою, отримуємо рівняння дотичної площини до поверхні в точці М 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) або 3 / 16 x + z-19 / 16 = 0

Приклад. Поверхня σ задана рівнянням z= y/x + xy – 5x 3 . Знайти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні σ у точці М 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), що належить їй, якщо x 0 = –1, y 0 = 2.
Знайдемо приватні похідні функції z= f(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x '( x,y) = (y/x + xy – 5x 3) x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f y ' ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)' y = 1/x + x.
Крапка М 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) належить поверхні σ тому можна обчислити z 0 , підставивши задані x 0 = -1 і y 0 = 2 рівняння поверхні:

z= y/x + xy – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
У точці М 0 (–1, 2, 1) значення приватних похідних:
f x '( М 0) = -1/(-1) 2 + 2 - 15 (-1) 2 = -15; f y ’( М 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Користуючись формулою (5), отримуємо рівняння дотичної площини до поверхні. σ у точці М 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Користуючись формулою (6), отримуємо канонічні рівняння нормалі до поверхні. σ у точці М 0: .
Відповіді: рівняння дотичної площини: 15 x + 2y + z+ 10 = 0; рівняння нормалі: .

Приклад №1. Дана функція z = f (x, y) і дві точки А (х 0, y 0) і (х 1, y 1). Потрібно: 1) обчислити значення z 1 функції у точці; 2) обчислити наближене значення z 1 функції в точці В виходячи зі значення z 0 функції в точці А, замінивши збільшення функції при переході від точки А до точки В диференціалом; 3) скласти рівняння дотичної площини до поверхні z = f(x,y) у точці C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Рішення.
Запишемо рівняння дотичної у загальному вигляді:
z - z 0 = f" x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
За умовою задачі x 0 = 1, y 0 = 2, тоді z 0 = 25
Знайдемо приватні похідні функції z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x, y) = (x 2 +3 x y + y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x, y) = (x 2 +3 x y + y 2)" y = 9 x y 2
У точці М 0 (1,2) значення приватних похідних:
f" x (1; 2) = 26
f" y (1; 2) = 36
Користуючись формулою, отримуємо рівняння дотичної площини до поверхні точки М 0:
z - 25 = 26 (x - 1) + 36 (y - 2)
або
-26 x-36 y+z+73 = 0

Приклад №2. Написати рівняння дотичної площини та нормалі до еліптичного параболоїда z = 2x 2 + y 2 у точці (1; -1; 3).

Дотичні площини грають велику роль геометрії. Побудова дотичних площин у практичному відношенні має важливе значення, оскільки наявність їх дозволяє визначити напрямок нормалі до поверхні у точці дотику. Це завдання знаходить широке застосування інженерної практиці. До допомоги дотичних площин звертаються також для побудови нарисів геометричних фігур, обмежені замкненими поверхнями. В теоретичному планіплощини, що стосуються поверхні, використовуються в диференціальній геометрії при вивченні властивостей поверхні в районі точки торкання.

Основні поняття та визначення

Площину, що стосується поверхні, слід розглядати як граничне положення січної площини (за аналогією з прямою, що стосується кривої, яка також визначається як граничне положення січної).

Площина, дотична до поверхні в заданій поверхні точці, є безліч всіх прямих - дотичних, проведених до поверхні через цю точку.

У диференціальній геометрії доводиться, що псі дотичні до поверхні, проведені у звичайній точці, компланарні (належать одній площині).

З'ясуємо, як проводиться пряма, яка стосується поверхні. Стосовна t до поверхні β у заданій на поверхні точці М (рис. 203) представляє граничне положення січної l j , що перетинає поверхню в двох точках (ММ 1 , ММ 2 , ..., ММ n), коли точки перетину збігаються (М ≡ М n , l n ≡ l M). Очевидно (M 1 , М 2 ..., М n ) ∈ g, тому що g ⊂ β. Зі сказаного вище випливає таке визначення: дотичної до поверхні називається пряма, дотична до будь-якої кривої, що належить поверхні.

Так як площина визначається двома прямими, що перетинаються, то для завдання площини, дотичної до поверхні в заданій точці, достатньо провести через цю точку дві довільні лінії, що належать поверхні (бажано прості формою), і до кожної з них побудувати дотичні в точці перетину цих ліній. Побудовані дотичні однозначно визначають площину. Наочне уявлення про проведення площини α, що стосується поверхні β в заданій точці М, дає рис. 204. На цьому малюнку показано також нормаль n до поверхні β.

Нормлю до поверхні в заданій точці називається пряма, перпендикулярна до дотичної площини і проходить через точку торкання.

Лінію перетині поверхні площиною, що проходить через нормаль, називають нормальним перетином поверхні. Залежно від виду поверхні дотична площина може мати з поверхнею як одну, так і безліч точок (лінію). Лінія торкання може бути одночасно і лінією перетину поверхні з площиною.

Можливі також випадки, коли на поверхні є точки, на яких неможливо провести дотику до поверхні; такі точки називають особливими. В якості прикладу особливих точокможна навести точки, що належать ребру повернення торсової поверхні, або точку перетину меридіана поверхні обертання з її віссю, якщо меридіан та вісь перетинаються не під прямим кутом.

Види торкання залежить від характеру кривизни поверхні.

Кривизна поверхні

Питання кривизни поверхні було досліджено французьким математиком Ф. Дюпеном (1784- 1873), який запропонував наочний спосіб зображення зміни кривизни нормальних перерізів поверхні.

Для цього в площині, що стосується розгляданої поверхні в точці М (рис. 205, 206), на дотичних до нормальних перерізів по обидва боки від цієї точки відкладаються відрізки, рівні корінням квадратним з величин відповідних радіусів кривизни цих перерізів. Безліч точок - кінців відрізків задають криву, звану індикатриса Дюпена. Алгоритм побудови індикатриси Дюпена (рис. 205) можна записати:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

де R – радіус кривизни.

(A 1 ∪ А 2 ∪ ... ∪ А n) - індикатриса Дюпена.

Якщо індикатриса Дюпена поверхні – еліпс, то точка М називається еліптичною, а поверхня – поверхнею з еліптичними точками(Рис. 206). У цьому випадку дотична площина має з поверхнею тільки одну загальну точку, а всі лінії, що належать поверхні і перетинаються в точці, розташовані по одну сторону від дотичної площини. Прикладом поверхонь з еліптичними точками можуть бути: параболоїд обертання, еліпсоїд обертання, сфера (у разі індикатрису Дюпена - окружність та інших.).

При проведенні дотичної площини до торсової поверхні площина буде торкатися цієї поверхні прямої твірної. Крапки цієї прямої називаються параболічними, а поверхня - поверхнею з параболічними точками. Індикатриса Дюпена у разі - дві паралельні прямі (рис. 207*).

На рис. 208 показана поверхня, що складається з точок, в кото

* Крива другого порядку - парабола - за певних умов може розпадатися на дві дійсні паралельні прямі, дві уявні паралельні прямі, дві прямі. На рис. 207 ми маємо справу з двома дійсними паралельними прямими.

рих дотична площина перетинає поверхню. Така поверхня називається гіперболічної, А що належать їй точки - гіперболічними точками. Індикатриса Дюпена в даному випадку – гіпербола.

Поверхня, всі точки якої є гіперболічними, має форму сідла (коса площина, однопорожнинний гіперболоїд, увігнуті поверхні обертання та ін.).

Одна поверхня може мати точки різних видів, наприклад, біля торсової поверхні (рис. 209) точка М еліптична; точка N – параболічна; точка К – гіперболічна.

У курсі диференціальної геометрії доводиться, що нормальні перерізи, у яких величини кривизни K j = 1/ R j (де R j радіус кривизни аналізованого перерізу) мають екстремальні значення, розташовані у двох взаємно перпендикулярних площинах.

Такі кривизни К1 = 1/R max. К 2 = 1/R min називаються головними, а значення Н = (К 1 + К 2)/2 і К = К 1 К 2 - відповідно середньої кривизної поверхні та повної (гаусової) кривизної поверхні в точці, що розглядається. Для еліптичних точок К > 0, гіперболічних К

Завдання площини дотичної до поверхні на епюрі Монжа

Нижче на конкретних прикладах покажемо побудову площини, що стосується поверхні з еліптичними (приклад 1), параболічними (приклад 2) і гіперболічними (приклад 3) точками.

ПРИКЛАД 1. Побудувати площину α, що стосується поверхні обертання β, з еліптичними точками. Розглянемо два варіанти розв'язання цього завдання, а) точка М ∈ β та б) точка М ∉ β

Варіант а (рис. 210).

Дотична площина визначається двома дотичними t 1 і t 2 проведеними в точці М до паралелі і меридіану поверхні β.

Проекції дотичної t 1 до паралелі h поверхні β будуть t" 1 ⊥ (S"M") та t" 1 || осі х. Горизонтальна проекція дотичної t" 2 до меридіана d поверхні β, що проходить через точку М, збігається з горизонтальною проекцією меридіана. Щоб знайти фронтальну проекцію дотичної t" 2 , меридіональну площину γ(γ ∋ М) шляхом обертання навколо осі поверхні γ 1 , паралельне площиніπ 2 . У цьому випадку точка М → M 1 (М" 1 , М" 1).Проекція дотичної t" 2 rarr; t" 2 1 визначається (M" 1 S"). Якщо ми тепер повернемо площину 1 в початкове положення, то точка S" залишиться на місці (як належить осі обертання), а М" 1 → М" і фронтальна проекція дотичної t" 2 визначиться (M"S")

Дві перетинаються в точці М ∈ β дотичні t 1 і t 2 визначають площину α, що стосується поверхні β.

Варіант б (рис. 211)

Для побудови площини, що стосується поверхні, що проходить через точку, що не належить поверхні, потрібно виходити з таких міркувань: через точку поза поверхнею, що складається з еліптичних точок, можна провести безліч площин, що стосуються поверхні. Огинає цих поверхонь буде деяка конічна поверхня. Тому, якщо немає додаткових вказівок, завдання має безліч рішень і в такому випадку зводиться до проведення конічної поверхні γ, що стосується даної поверхні β.

На рис. 211 показано побудову конічної поверхні γ, що стосується сфери β. Будь-яка площина α, що стосується конічної поверхні γ, буде дотичною до поверхні β.

Для побудови проекцій поверхні з точок М" і М" проводимо дотичні до кіл h" і f" - проекціям сфери. Зазначаємо точки торкання 1 (1" та 1"), 2 (2" та 2"), 3 (3" і 3") та 4 (4" і 4"). Горизонтальна проекція кола - лінія торкання конічної поверхні та сфери спроектується в [1"2"] Для знаходження точок еліпса, в який це коло спроектується на фронтальну площину проекцій, скористаємося паралелями сфери.

На рис. 211 у такий спосіб визначено фронтальні проекції точок Е та F (Е" та F"). Маючи конічну поверхню γ, будуємо до неї дотичну площину α. Характер і послідовність графіки

ких побудов, які необхідно для цього виконати, наведено в наступному прикладі.

ПРИКЛАД 2 Побудувати площину α, що стосується поверхні β з параболічними точками

Як у прикладі 1 розглянемо два варіанти розв'язання.а) точка N ∈ β; б) точка N ∉ β

Варіант а (рис 212).

Конічна поверхня відноситься до поверхонь з параболічними точками (див. рис. 207.) Площина, дотична до конічної поверхні, стосується її прямолінійної утворюючої. Для її побудови необхідно:

1) через дану точку N провести утворюючу SN (S"N" і S"N");

2) відзначити точку перетину утворюючої (SN) з напрямною d: (SN) ∩ d = А;

3) провіє і дотичну t до d у точці А.

Утворююча (SA) і перетинає її дотична t визначають площину α , що стосується конічної поверхні β в даній точці N *.

Для проведення площини α, що стосується конічної поверхні β і проходить через точку N, не належить

* Оскільки поверхня β складається з параболічних точок (крім вершини S), то дотична до неї площина буде мати спільну з нею не одну точку N, а пряму (SN).

спрагу заданої поверхні, необхідно:

1) через дану точку N і вершину S конічної поверхні β провести пряму а (а" та а");

2) визначити горизонтальний слід цієї прямої Н a ;

3) через Н a провести дотичні t" 1 і t" 2 кривою h 0β - горизонтальному сліду конічної поверхні;

4) точки дотику А (А" та А") і В (В" і В") з'єднати з вершиною конічної поверхні S (S" і S").

Прямі t 1 , (AS) і t 2 , (BS), що перетинаються, визначають шукані дотичні площини α 1 і α 2

ПРИКЛАД 3. Побудувати площину α, що стосується поверхні β з гіперболічними точками.

Крапка К (рис. 214) знаходиться на поверхні глобоїда (внутрішня поверхня кільця).

Для визначення положення дотичної площини необхідно:

1) провести через точку К паралель поверхні β h(h", h");

2) через точку К" провести дотичну t" 1 (t" 1 ≡ h") ;

3) для визначення напрямків проекцій дотичної до меридіонального перерізу необхідно провести через точку К і вісь поверхні площину γ, горизонтальна проекція t" 2 збігається з h 0γ ; для побудови фронтальної проекції дотичної t" 2 попередньо переведемо площину γ шляхом обертання її навколо осі поверхні обертання у положення γ 1 || π 2 . У цьому випадку меридіональний переріз площиною γ поєднається з лівою нарисовою дугою фронтальної проекції - півколо g".

Точка К (К", К"), що належить кривій меридіонального перерізу, переміститься в положення K 1 (К "1, К" 1). Через К" 1 проводимо фронтальну проекцію дотичної t" 2 1 в суміщеному з площиною γ 1 || π 2 положенні і відзначаємо точку її перетину з фронтальною проекцією осі обертання S" 1 . Повертаємо площину γ 1 у вихідне положення, точка К" 1 → К" (точка S" 1 ≡ S"). К" та S".

Дотичні t 1 і t 2 визначають потрібну дотичну площину α, яка перетинає поверхню β по кривій l .

ПРИКЛАД 4. Побудувати площину α, що стосується поверхні β у точці К. Точка К знаходиться на поверхні однопорожнинного гіперболоїда обертання (рис. 215).

Це завдання можна вирішити, дотримуючись алгоритму, використаного в попередньому прикладі, але враховуючи, що поверхня однопорожнинного гіперболоїда обертання є лінійчастою поверхнею, яка має два сімейства прямолінійних утворюючих, причому кожна з тих, що утворюють одного сімейства, перетинає всі утворюють іншого сімейства (див. § 32, рис. 138). Через кожну точку цієї поверхні можна провести дві прямі, що перетинаються, - утворюючі, які будуть одночасно дотичні до поверхні однопорожнинного гіперболоїда обертання.

Ці дотичні визначають дотичну площину, тобто площину, що стосується поверхні однопорожнинного гіперболоїда обертання, перетинає цю поверхню за двома прямими g 1 і g 2 . Для побудови проекцій цих прямих достатньо горизонтальної проекціїточки До пронести дотичні t" 1 і t" 2 до горизон-

тальної проекції кола d" 2 - горла поверхні однопорожнинного гіперболоїда обертання; визначити точки 1" і 2 , в яких t" 1 і t" 2 перетинають одну іт напрямних поверхні d 1 . По 1" і 2" знаходимо 1" і 2", які спільно з К" визначають фронтальні проекції шуканих прямих.

У певній точці і має в ній безперервні приватні похідні, принаймні одна з яких не звертається в нуль, то на околиці цієї точки поверхня, задана рівнянням (1), буде правильною поверхнею.

Крім зазначеного вище неявного способу завданняповерхня може бути визначена явноякщо одну з змінних, наприклад z, можна виразити через інші:

Також існує параметричнийспосіб завдання. В цьому випадку поверхня визначається системою рівнянь:

Поняття про просту поверхню

Більш точно, простою поверхнею називається образ гомеоморфного відображення (тобто взаємно однозначного та взаємно безперервного відображення) начинки одиничного квадрата. Цьому визначенню можна надати аналітичний вираз.

Нехай на площині з прямокутною системою координат u і v заданий квадрат , координати внутрішніх точок якого задовольняють нерівності 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Прикладом простий поверхніє півсфера. Вся ж сфера не є простою поверхнею. Це викликає необхідність узагальнення поняття поверхні.

Підмножина простору, у кожної точки якого є околиця, що є простою поверхнею, називається правильною поверхнею .

Поверхня у диференціальній геометрії

Гелікоїд

Катеноїд

Метрика не визначає однозначно форму поверхні. Наприклад, метрика гелікоїда і катеноїда, параметризованих відповідним чином, збігається, тобто між їхніми областями існує відповідність, що зберігає всі довжини (ізометрія). Властивості, що зберігаються при ізометричних перетвореннях, називаються внутрішньою геометрієюповерхні. Внутрішня геометрія не залежить від положення поверхні в просторі і не змінюється при її згинанні без розтягування та стиску (наприклад, при згинанні циліндра в конус).

Метричні коефіцієнти визначають як довжини всіх кривих, а й взагалі результати всіх вимірів всередині поверхні (кути, площі, кривизна та інших.). Тому все, що залежить лише від метрики, відноситься до внутрішньої геометрії.

Нормаль та нормальний переріз

Вектори нормалі у точках поверхні

Однією з основних характеристик поверхні є її нормаль- одиничний вектор, перпендикулярний дотичній площині заданої точки:

.

Знак нормалі залежить від вибору координат.

Перетин поверхні площиною, що містить нормаль (у даній точці), утворює деяку криву на поверхні, що називається нормальним перетиномповерхні. Головна нормаль для нормального перерізу збігається із нормаллю до поверхні (з точністю до знака).

Якщо ж крива лежить на поверхні перестав бути нормальним перетином, її головна нормаль утворює з нормаллю поверхні певний кут θ . Тоді кривизна kкривою пов'язана з кривизною k nнормального перерізу (з тією ж дотичною) формулою Меньє:

Координати орта нормалі для різних способів завдання поверхні наведені в таблиці:

	Координати нормалі у точці поверхні
неявне завдання
явне завдання
параметричне завдання

Кривизна

Для різних напрямківу заданій точці поверхні виходить різна кривизна нормального перерізу, яка називається нормальною кривизною; їй приписується знак плюс, якщо головна нормаль кривої йде у тому напрямі, як і нормаль до поверхні, чи мінус, якщо напрями нормалей протилежні.

Взагалі кажучи, у кожній точці поверхні існують два перпендикулярні напрямки e 1 та e 2 , у яких нормальна кривизна набуває мінімального та максимального значення; ці напрямки називаються головними. Виняток становить випадок, коли нормальна кривизна за всіма напрямками однакова (наприклад, у сфери або на торці еліпсоїда обертання), тоді всі напрямки у точці – головні.

Поверхні з негативною (ліворуч), нульовою (у центрі) та позитивною (праворуч) кривизною.

Нормальні кривизни у головних напрямках називаються головними кривизнами; позначимо їх 1 і 2 . Величина:

K= κ 1 κ 2

називається гаусової кривизною, повною кривизноюабо просто кривизноюповерхні. Зустрічається також термін скаляр кривизни, який має на увазі результат згортки тензора кривизни; при цьому скаляр кривизни вдвічі більший, ніж гаусова кривизна.

Гауссова кривизна може бути обчислена через метрику, і тому є об'єктом внутрішньої геометрії поверхонь (зазначимо, що головні кривизни до внутрішньої геометрії не ставляться). За знаком кривизни можна класифікувати точки поверхні (див. малюнок). Кривизна площини дорівнює нулю. Кривизна сфери радіуса R всюди дорівнює. Існує і поверхня постійної негативної кривизни – псевдосфера.

Геодезичні лінії, геодезична кривизна

Крива на поверхні називається геодезичною лінією, або просто геодезичноюякщо у всіх її точках головна нормаль до кривої збігається з нормаллю до поверхні. Приклад: на площині геодезичними будуть прямі та відрізки прямих, на сфері – великі кола та їх відрізки.

Еквівалентне визначення: у геодезичної лінії проекція її головної нормалі на площину, що стикається, є нульовий вектор. Якщо крива не є геодезичною, то вказана ненульова проекція; її довжина називається геодезичною кривизною k gкриві на поверхні. Має місце співвідношення:

,

де k- кривизна даної кривої, k n- кривизна її нормального перерізу із тією ж дотичною.

Геодезичні лінії відносяться до внутрішньої геометрії. Перерахуємо їх основні характеристики.

• Через цю точку поверхні у заданому напрямку проходить одна і лише одна геодезична.
• На досить малій ділянці поверхні дві точки завжди можна поєднати геодезичною, і до того ж лише однією. Пояснення: на сфері протилежні полюси з'єднує нескінченну кількість меридіанів, а дві близькі точки можна з'єднати не лише відрізком великого кола, а й його доповненням до повного кола, тому однозначність дотримується лише в малому.
• Геодезична є найкоротшою. Суворіше: на малому шматку поверхні найкоротший шлях між заданими точками лежить по геодезичній.

Площа

Ще один важливий атрибут поверхні – її площаяка обчислюється за формулою:

Зокрема, про те, що ви бачите в заголовку. Фактично, це «просторовий аналог» завдання знаходження дотичноїі нормалідо графіку функції однієї змінної, і тому жодних труднощів виникнути повинно.

Почнемо з базових питань: ЩО ТАКЕ дотична площина і ЩО ТАКЕ нормаль? Багато хто усвідомлює ці поняття на рівні інтуїції. Найпростіша модель, що спадає на думку – це куля, на якій лежить тонка плоска картонка. Картонка розташована максимально близько до сфери та стосується її в єдиній точці. Крім того, в точці торкання вона закріплена голкою, що стирчить строго вгору.

Теоретично існує досить дотепне визначення дотичної площині. Уявіть довільну поверхняі точку, що належить їй. Очевидно, що через точку проходить багато просторових лінійщо належать даній поверхні. У кого які асоціації? =) … особисто я представив восьминога. Припустимо, що кожна така лінія існує просторова дотичнау точці.

Визначення 1: дотична площинадо поверхні у точці – це площина, Що містить дотичні до всіх кривих, які належать даній поверхні і проходять через точку .

Визначення 2: нормальдо поверхні у точці – це пряма, що проходить через дану точку перпендикулярно дотичній площині.

Просто та витончено. До речі, щоб ви не померли з нудьги від простоти матеріалу, трохи пізніше я поділюся з вами одним витонченим секретом, який дозволяє РАЗ І НАЗАВЖДИ забути про зубріжку різних визначень.

З робочими формулами та алгоритмом рішення познайомимося прямо на конкретному прикладі. У переважній більшості завдань потрібно скласти і рівняння дотичної площини, і рівняння нормалі:

Приклад 1

Рішення:якщо поверхня задана рівнянням (тобто неявно), то рівняння дотичної площини до даної поверхні в точці можна знайти за такою формулою:

Особливу увагу звертаю на незвичайні приватні похідні. не слід плутатиз приватними похідними неявно заданої функції (хоча поверхня задана неявно). При знаходженні цих похідних слід керуватися правилами диференціювання функції трьох змінних, тобто, при диференціюванні по будь-якій змінній, дві інші літери вважаються константами:

Не відходячи від каси, знайдемо приватну похідну в точці:

Аналогічно:

Це був найнеприємніший момент вирішення, в якому помилка якщо не допускається, то постійно здається. Тим не менш, тут існує ефективний прийом перевірки, про який я розповідав на уроці Похідна за напрямком та градієнт.

Усі «інгредієнти» знайдені і тепер справа за акуратною підстановкою з подальшими спрощеннями:

– загальне рівнянняшуканої дотичної площини.

Настійно рекомендую проконтролювати цей етап рішення. Спочатку потрібно переконатися, що координати точки торкання справді задовольняють знайденому рівнянню:

- Правильна рівність.

Тепер «знімаємо» коефіцієнти загального рівнянняплощині і перевіряємо їх щодо збігу чи пропорційності з відповідними значеннями . У разі пропорційні. Як ви пам'ятаєте з курсу аналітичної геометрії, - це вектор нормалідотичної площині, і він же – напрямний векторнормальної прямої. Складемо канонічні рівняннянормалі по точці та напрямному вектору:

В принципі, знаменники можна скоротити на «двійку», але особливої ​​потреби в цьому немає

Відповідь:

Рівняння можна позначити якими-небудь літерами, однак, знову ж таки – навіщо? Тут і так гранично зрозуміло, що до чого.

Наступні два приклади для самостійного вирішення. Невелика «математична скоромовка»:

Приклад 2

Знайти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці.

І завдання, цікаве з технічного погляду:

Приклад 3

Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці

У точці.

Тут є всі шанси не тільки заплутатися, а й зіткнутися із труднощами під час запису канонічних рівнянь прямої. А рівняння нормалі, як ви, мабуть, зрозуміли, записано саме в такому вигляді. Хоча, через забудькуватість або незнання деяких нюансів більш ніж прийнятна і параметрична форма.

Зразки чистового оформлення рішень наприкінці уроку.

У будь-якій точці поверхні існує дотична площина? Загалом, звичайно ж, ні. Класичний приклад– це конічна поверхня і точка - дотичні у цій точці безпосередньо утворюють конічну поверхню, і, зрозуміло, не лежать в одній площині. У негараздах легко переконатися і аналітично: .

Іншим джерелом проблем є факт неіснуваннябудь-якої приватної похідної у точці. Однак це ще не означає, що в даній точці немає єдиної площини.

Але це була, швидше, науково-популярна, ніж практично значуща інформація, і ми повертаємось до справ насущних:

Як скласти рівняння дотичної площини та нормалі у точці,
якщо поверхня задана явною функцією?

Перепишемо її в неявному вигляді:

І за тими ж принципами знайдемо приватні похідні:

Таким чином, формула дотичної площини трансформується на наступне рівняння:

І, відповідно, канонічні рівняння нормалі:

Як неважко здогадатися, – це вже «справжні» приватні похідні функції двох змінниху точці , які ми звикли позначати буквою «зет» і знаходили 100 500 разів.

Зауважте, що у цій статті досить запам'ятати найпершу формулу, з якої у разі потреби легко вивести все інше (зрозуміло, володіючи базовим рівнемпідготовки). Саме такий підхід слід використовувати під час вивчення точних наук, тобто. з мінімуму інформації треба прагнути «витягувати» максимум висновків та наслідків. «Розумів» і вже наявні знання на допомогу! Цей принцип корисний ще й тим, що з великою ймовірністю врятує критичної ситуації, коли ви знаєте дуже мало.

Відпрацюємо «модифіковані» формули кількома прикладами:

Приклад 4

Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці.

Невелика тут накладка вийшла з позначеннями – тепер буква позначає точку площини, але що вдієш – така вже популярна буква….

Рішення: рівняння шуканої дотичної площини складемо за формулою:

Обчислимо значення функції у точці:

Обчислимо приватні похідні 1-го порядкуу цій точці:

Таким чином:

акуратно, не поспішаємо:

Запишемо канонічні рівняння нормалі в точці:

Відповідь:

І останній приклад для самостійного вирішення:

Приклад 5

Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці.

Останній – тому, що практично всі технічні моменти я пояснив і додати особливо нічого. Навіть самі функції, пропоновані в даному завданні, сумні й одноманітні – майже гарантовано на практиці вам трапиться «багаточлен», і в цьому сенсі Приклад №2 з експонентою виглядає як «біла ворона». До речі, набагато ймовірніше зустріти поверхню, задану рівнянням і це ще одна причина, через яку функція увійшла до статті «другим номером».

І наостанок обіцяний секрет: як же уникнути зубріння визначень? (я, звичайно, не маю на увазі ситуацію, коли студент щось гарячково зубрит перед іспитом)

Визначення будь-якого поняття/явлення/об'єкта насамперед дає відповідь на наступне запитання: ЩО ЦЕ ТАКЕ? (хто/така/ такий/такі). Усвідомленовідповідаючи на це питання, ви повинні постаратися відобразити суттєвіознаки, однозначноідентифікують те чи інше поняття/явище/об'єкт. Так, спочатку це виходить дещо недорого, неточно і надмірно (викладає поправить =)), але з часом розвивається цілком гідна наукова мова.

Потренуйтеся на самих абстрактних об'єктах, наприклад, дайте відповідь на запитання: хто такий Чебурашка? Не так все просто;-) Це «казковий персонаж з великими вухами, очима і коричневою шерстю»? Далеко і дуже далеко від визначення - чи мало персонажів з такими характеристиками. А ось це вже набагато ближче до визначення: «Чебурашка – це персонаж, придуманий письменником Едуардом Успенським у 1966 р., який…(перерахування основних відмінних ознак)». Зверніть увагу, як грамотно розпочато