Привести рівняння прямої до рівняння у відрізках. Рівняння прямої на площині. Спрямовує вектор прямої. Вектор нормалі. Нормальне рівняння прямої

Властивості прямої в евклідової геометрії.

Через будь-яку точку можна провести нескінченно багато прямих.

Через будь-які дві незбіжні точки можна провести єдину пряму.

Дві неспівпадаючі прямі на площині або перетинаються в єдиній точці, або є

паралельними (випливає з попереднього).

В тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих:

• прямі перетинаються;

• прямі паралельні;

• прямі схрещуються.

пряма лінія - алгебраїчна крива першого порядку: у декартовій системі координат пряма лінія

задається на площині рівнянням першого ступеня (лінійне рівняння).

Загальне рівняння прямої.

визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С \u003d 0,

причому постійні А, В нерівні нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним

рівнянням прямої. Залежно від значень постійних А, В і З можливі наступні окремі випадки:

. C \u003d 0, А ≠ 0, В ≠ 0 - пряма проходить через початок координат

. А \u003d 0, В ≠ 0, С ≠ 0 (By + C \u003d 0)- пряма паралельна осі Ох

. В \u003d 0, А ≠ 0, С ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - пряма паралельна осі Оу

. В \u003d С \u003d 0, А ≠ 0 - пряма збігається з віссю Оу

. А \u003d С \u003d 0, В ≠ 0 - пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямої може бути представлено в різному вигляді в залежності від будь - яких заданих

початкових умов.

Рівняння прямої по точці і вектору нормалі.

визначення. У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В)

перпендикулярний прямій, заданої рівнянням

Ах + Ву + С \u003d 0.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А (1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Рішення. Складемо при А \u003d 3 і В \u003d -1 рівняння прямої: 3х - у + С \u003d 0. Для знаходження коефіцієнта С

підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C \u003d 0, отже

С \u003d -1. Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 \u003d 0.

Рівняння прямої, що проходить через дві точки.

Нехай в просторі задані дві точки M 1 (x 1, y 1, z 1)і M2 (x 2, y 2, z 2), тоді рівняння прямої,

що проходить через ці точки:

Якщо який-небудь з знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник. на

площині записане вище рівняння прямої спрощується:

якщо х 1 ≠ х 2 і х \u003d х 1 , якщо х 1 \u003d х 2 .

дріб \u003d k називається кутовим коефіцієнтом прямий.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А (1, 2) і В (3, 4).

Рішення. Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої по точці і кутовому коефіцієнту.

якщо загальне рівняння прямий Ах + Ву + С \u003d 0 привести до виду:

і позначити , То отримане рівняння називається

рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння прямої по точці і направляючої вектору.

За аналогією з пунктом, який розглядає рівняння прямої через вектор нормалі можна ввести завдання

прямий через точку і спрямовує вектор прямої.

визначення. Кожен ненульовий вектор (Α 1, α 2), Компоненти якого задовольняють умові

Аα 1 + Вα 2 \u003d 0 називається напрямних вектором прямої.

Ах + Ву + С \u003d 0.

приклад. Знайти рівняння прямої з напрямних вектором (1, -1) і проходить через точку А (1, 2).

Рішення. Рівняння шуканої прямої будемо шукати у вигляді: Ax + By + C \u003d 0. Відповідно до визначення,

коефіцієнти повинні задовольняти умовам:

1 * A + (-1) * B \u003d 0, тобто А \u003d В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C \u003d 0, або x + y + C / A \u003d 0.

при х \u003d 1, у \u003d 2отримуємо З / A \u003d -3, Тобто шукане рівняння:

х + у - 3 \u003d 0

Рівняння прямої у відрізках.

Якщо в загальному рівнянні прямої Ах + Ву + С \u003d 0 С ≠ 0, то, розділивши на -С, отримаємо:

або, де

геометричний сенс коефіцієнтів в тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину

прямий з віссю Ох, а b - координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

приклад. Задано загальне рівняння прямої х - у + 1 \u003d 0.Знайти рівняння цієї прямої в відрізках.

С \u003d 1,, а \u003d -1, b \u003d 1.

Нормальне рівняння прямої.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С \u003d 0 розділити на число , Яке називається

нормується множником, То отримаємо

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -нормальне рівняння прямої.

Знак ± нормує множники треба вибирати так, щоб μ * С< 0.

р - довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму,

а φ - кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямком осі Ох.

приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 \u003d 0. Потрібно написати різні типи рівнянь

цієї прямої.

Рівняння цієї прямої в відрізках:

Рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (Ділимо на 5)

рівняння прямої:

cos φ \u003d 12/13; sin φ \u003d -5/13; p \u003d 5.

Слід зазначити, що не кожного пряму можна представити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі,

паралельні осях або проходять через початок координат.

Кут між прямими на площині.

визначення. Якщо задані дві прямі y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 , То гострий кут між цими прямими

буде визначатися як

Дві прямі паралельні, якщо k 1 \u003d k 2. Дві прямі перпендикулярні,

якщо k 1 \u003d -1 / k 2 .

теорема.

прямі Ах + Ву + С \u003d 0і А 1 х + В 1 у + С 1 \u003d 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти

А 1 \u003d λА, В 1 \u003d λВ. Якщо ще й З 1 \u003d λС, То прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих

знаходяться як рішення системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даної прямий.

визначення. Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1) і перпендикулярна до прямої у \u003d kx + b

представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої.

теорема. Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С \u003d 0визначається як:

Доведення. нехай точка М 1 (х 1, у 1) - підстава перпендикуляра, опущеного з точки Мна задану

пряму. Тоді відстань між точками Мі М 1:

(1)

координати x 1 і у 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:

Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М 0 перпендикулярно

заданої прямої. Якщо перетворити перше рівняння системи до виду:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C \u003d 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази в рівняння (1), знаходимо:

Теорема доведена.

І детально розберемо особливий вид рівняння прямої -. Почнемо з виду рівняння прямої в відрізках і наведемо приклад. Після цього зупинимося на побудові прямої лінії, яка задана рівнянням прямої в відрізках. У висновку покажемо, як здійснюється перехід від повної загальної рівняння прямої до рівняння прямої в відрізках.

Навігація по сторінці.

Рівняння прямої у відрізках - опис і приклад.

Нехай на площині зафіксована Oxy.

Рівняння прямої у відрізках на площині в прямокутній системі координат Oxy має вигляд, де a і b - деякі відмінні від нуля дійсні числа.

Рівняння прямої у відрізках не випадково отримало таку назву - абсолютні величини чисел a і b рівні довжинах відрізків, які відсікає пряма на координатних осях Ox і Oy, рахуючи від початку координат.

Пояснимо цей момент. Ми знаємо, що координати будь-якої точки прямої задовольняють рівняння цієї прямої. Тоді чітко видно, що пряма, задана рівнянням прямої в відрізках, проходить через точки і, так як і . А точки і якраз розташовані на координатних осях Ox і Oy відповідно і видалені від початку координат на a і b одиниць. Знаки чисел a і b вказують напрямок, в якому слід відкладати відрізки. Знак «+» означає, що відрізок відкладається в позитивному напрямку координатної осі, знак «-» означає зворотне.

Зобразимо схематичне креслення, що пояснює все вищесказане. На ньому показано розташування прямих щодо фіксованої прямокутної системи координат Oxy в залежності від значень чисел a і b в рівнянні прямої в відрізках.

Тепер стало зрозуміло, що рівняння прямої в відрізках дозволяє легко проводити побудова цієї прямої лінії в прямокутній системі координат Oxy. Щоб побудувати пряму лінію, яка задана рівнянням прямої в відрізках виду, слід зазначити в прямокутній системі координат на площині точки і, після чого з'єднати їх прямою лінією за допомогою лінійки.

Наведемо приклад.

Приклад.

Побудуйте пряму лінію, задану рівнянням прямої в відрізках виду.

Рішення.

По заданому рівнянню прямої в відрізках видно, що пряма проходить через точки . Відзначаємо їх і з'єднуємо прямою лінією.

Приведення загального рівняння прямої до рівняння прямої в відрізках.

При вирішенні деяких завдань, пов'язаних з прямою на площині, зручно працювати з рівнянням прямої в відрізках. Однак існують інші види рівнянь, які задають пряму на площині. Тому доводиться здійснювати перехід від заданого рівняння прямої до рівняння цієї прямої в відрізках.

У цьому пункті ми покажемо, як отримати рівняння прямої в відрізках, якщо дано повну загальну рівняння прямої.

Нехай нам відомо повну загальну рівняння прямої на площині . Так як А, В і С не дорівнюють нулю, то можна перенести число С в праву частину рівності, розділити обидві частини отриманого рівності на -С, а коефіцієнти при x і y відправити в знаменники:
.

(В останньому переході ми користувалися рівністю ).

Так ми від загального рівняння прямої перейшли до рівняння прямої в відрізках, де .

Приклад.

Пряма в прямокутній системі координат Oxy задана рівнянням . Напишіть рівняння цієї прямої в відрізках.

Рішення.

Перенесемо половину в праву частину заданого рівності: . Тепер розділимо на обидві частини отриманого рівності: . Залишилося перетворити отримане рівність до потрібного вигляду: . Так ми набули необхідного рівняння прямої в відрізках.

відповідь:

Якщо пряму визначає

Рівняння прямої виду, де a і b - деякі дійсні числа відмінні від нуля, називається рівнянням прямої в відрізках. Ця назва не випадкова, тому що абсолютні величини чисел а і b рівні довжинах відрізків, які пряма відсікає на координатних осях Ox і Oy відповідно (відрізки відраховуються від початку координат). Таким чином, рівняння прямої в відрізках дозволяє легко будувати цю пряму на кресленні. Для цього слід відзначити в прямокутній системі координат на площині точки з координатами і, і за допомогою лінійки з'єднати їх прямою лінією.

Для прикладу побудуємо пряму лінію, задану рівнянням у відрізках виду. Відзначаємо точки і з'єднуємо їх.

Детальну інформацію про цей вид рівняння прямої на площині Ви можете отримати в статті рівняння прямої в відрізках.

На початок сторінки

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Алгебра та аналітична геометрія. Поняття матриця, операції над матрицями та їх властивості

Поняття матриця операції над матрицями та їх властивості .. матриця це прямокутна таблиця складена з чисел які можна .. а додавання матриць поелементно операція ..

Якщо Вам потрібно додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що будемо робити з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним ля Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Твитнуть

Всі теми даного розділу:

визначення дифференцируемости
Операція знаходження похідної називається диференціюванням функції. Функція називається диференційованою в деякій точці, якщо вона має в цій точці кінцеву похідну, і

правило диференціювання
Слідство 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Геометричний зміст похідної. рівняння дотичної
Кутом нахилу прямої y \u003d kx + b називають кут, відлічуваний від полож

Геометричний зміст похідної функції в точці
Розглянемо січну АВ графіка функції y \u003d f (x) таку, що точки А і В мають відповідно координати

Рішення
Функція визначена для всіх дійсних чисел. Так як (-1; -3) - точка дотику, то

Необхідні умови екстремуму і достатні умови екстремуму
Визначення зростаючої функції. Функція y \u003d f (x) зростає на інтервалі X, якщо для будь-яких

Достатні ознаки екстремуму функції
Для знаходження максимумів і мінімумів функції можна користуватися будь-яким з трьох достатніх ознак екстремуму. Хоча найпоширенішим і зручним є перший з них.

Основні властивості визначеного інтеграла. Властивість 1. Похідна від визначеного інтеграла по верхній межі дорівнює підінтегральної функції, в яку замість змінної інтегрований

Формула Ньютона-Лейбніца (з доказом)
Формула Ньютона-Лейбніца. Нехай функція y \u003d f (x) неперервна на відрізку і F (x) - одна з первісних функції на цьому відрізку, тоді справедливо рав

Рівняння прямої у відрізках

Нехай дано загальне рівняння прямої:

Рівняння прямої у відрізках, де - відрізки, які відтинає пряма на відповідних осях координат.

Побудувати пряму, задану загальним рівнянням:

З чого, можна побудувати рівняння цієї прямої в відрізках:

Взаємне розміщення прямих на площині.

Затвердження 1.

Для того щоб прямі і, задані рівняннями:

Збігалися, необхідно і достатньо, щоб:

Доказ: і збігаються, їх направляють вектора і колінеарні, т. Е .:

Візьмемо точку М 0 цим прямим, тоді:

Помноживши перше рівняння на і додаючи до другого в силу (2) отримаємо:

Отже, формули (2), (3) і (4) еквівалентні. Нехай виконується (2), тоді рівняння системи (*) еквівалентні відповідні прямі збігаються.

Затвердження 2.

Прямі та, задані рівняннями (*) паралельні і не збігаються тоді і тільки тоді, коли:

Доведення:

Нехай і не збігаються:

Несумісна, т. Е., По теоремі Кронекера-Капеллі:

Це можливо лише за умови:

Т. е., При виконанні умови (5).

При виконанні першої рівності (5), - невиконання другого рівності дає несумісні системи (*) прямі паралельні і не збігаються.

Зауваження 1.

Полярна система координат.

Зафіксуємо на площині точку і назвемо її полюсом. Промінь, що виходить з полюса, назвемо полярною віссю.

Виберемо масштаб для вимірювання довжин відрізків і домовимося, що поворот навколо т. Проти годинникової стрілки будемо вважати позитивним. Розглянемо будь-яку точку на заданій площині, позначимо через її відстань до полюса і назвемо полярним радіусом. Кут, на який потрібно повернути полярну вісь, щоб вона збіглася з позначимо через і назвемо полярним кутом.

Визначення 3.

Полярними координатами точки називається її полярний радіус і полярний кут:

Зауваження 2. в полюсі. Значення для точок, відмінних від точки визначено з точністю до доданка.

Розглянемо декартову прямокутну систему координат: полюс збігається з початком, а полярна вісь - з позитивною полуосью. Тут. тоді:

Що є зв'язком між прямокутної декартової і полярної системами координат.

Рівняння лемніскати Бернуллі. Записати його в полярній системі координат.

Нормальне рівняння прямої на площині. Нехай полярна вісь збігається з, - вісь, що проходить через початок координат. нехай:

Нехай, тоді:

Умова (**) для того, щоб точка:

Рівняння прямої в полярній системі координат.

Тут - довжина, проведеного від початку координат на пряму, - кут нахилу нормалі до осі.

Рівняння (7) можна переписати:

Нормальне рівняння прямої на площині.

Нехай задана деяка афинная система координат OXY.

Теорема 2.1. Будь-яка пряма l системі координат ОX задається лінійним рівнянням виду

А x+ B y+ С \u003d О, (1)

де А, В, С R і А 2 + В 2 0. Назад, будь-яке рівняння виду (1) задає пряму.

Рівняння виду (1) - загальне рівняння прямої .

Нехай в рівнянні (1) всі коефіцієнти А, В і С відмінні від нуля. тоді

Ах-By \u003d -С, і.

Позначимо -С / А \u003d а, -С / B \u003d b. отримаємо

-рівняння у відрізках .

Дійсно, числа | а | і | b | вказують на величини відрізків, що відсікаються прямій l на осях ОХ і OY відповідно.

нехай пряма l задана загальним рівнянням (1) в прямокутній системі координат і нехай точки M 1 (x 1, у 1) і М 2 (х 2, у 2) належить l. тоді

А x 1 + В у 1 + С \u003d А х 2 + В у 2 + С, тобто A ( x 1 -x 2) + В ( у 1 -у 2) = 0.

Остання рівність означає, що вектор \u003d (А, В) ортогонален вектору \u003d (x 1 -x 2, у 1-у 2). тобто Вектор (А, В) називається нормальним вектором прямої l.

Розглянемо вектор \u003d (- В, А). тоді

А (-В) + ВА \u003d 0. тобто ^.

Отже, вектор \u003d (- В, А) є напрямних вектором пряної l.

Параметричний і канонічне рівняння прямої

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

Нехай в афинной системі координат (0, X, Y) задана пряма l, Її направляють вектор \u003d (m, n) і точка M 0 ( x 0 ,y 0) належить l. Тоді для довільної точки M ( x,у) Цієї прямої маємо

і так як то .

Якщо позначити і

Радіус-вектори відповідно точок M і M 0, то

- рівняння прямої у векторній формі.

Так як \u003d ( х,у), =(х 0 ,у 0), то

x= x 0 + mt,

y= y 0 + nt

- параметричне рівняння прямої .

Звідси слідує що

- канонічне рівняння прямої .

Нарешті, якщо на прямій lзадані дві точки M 1 ( х 1 ,у 1) і

M 2 ( x 2 ,у 2), то вектор \u003d ( х 2 -х 1 ,y 2 -у 1) є напрямних вектором прямої l. тоді

- рівняння прямої що проходить через дві задані точки.

Взаємне розташування двох прямих.

нехай прямі l 1 і l 2 задані своїми загальними рівняннями

l 1: А 1 х+ В 1 у+ З 1 \u003d 0, (1)

l 2: А 2 х+ В 2 у+ З 2 \u003d 0.

теорема. нехай прямі l 1 і l 2 задані рівняннями (1). Тоді і тільки тоді:

1) прямі перетинаються, коли не існує такого числа λ, що

A 1 \u003d λA 2, В 1 \u003d λB 2;

2) прямі співпадають, коли знайдеться таке число λ, що

А 1 \u003d λA 2, B 1 \u003d λB 2, С 1 \u003d λС 2;

3) прямі різні і паралельні, коли знайдеться таке числі λ, що

А 1 \u003d λA 2, В 1 \u003d λВ 2, С 1 λС 2.

пучок прямих

пучком прямих називається сукупність всіх прямих на площині, що проходять через деяку точку, звану центром пучка.

Для завдання рівняння пучка досить знати будь-які дві прямі l 1 і l 2, що проходять через центр пучка.

Нехай в аффинной системі координат прямі l 1 і l 2 задані рівняннями

l 1: A 1 x+ B 1 y+ C 1 \u003d 0,

l 2: A 2 x+ B 2 y+ C 2 \u003d 0.

рівняння:

A 1 x + B 1 y + З + λ (A 2 х + В 2 y + C) \u003d 0

- рівняння пучка прямих, що визначається рівняннями l 1 і l 2.

Надалі, під системою координат будемо розуміти прямокутну систему координат .

Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих

Нехай задані прямі l 1 і l 2. своїми загальними рівняннями; \u003d (А 1, B 1), \u003d (А 2, В 2) - нормальні вектори цих прямих; k 1 \u003d tgα 1, k 2 \u003d tgα 2 - кутові коефіцієнти; \u003d ( m 1 ,n 1), (m 2 ,n 2) - напрямні вектори. Тоді, прямі l 1 і l 2 паралельні, в тому і тільки тому випадку, якщо виконується одна з наступних умов:

або або k 1 =k 2, або.

Нехай тепер прямі l 1 і l 2 перпендикулярні. Тоді, очевидно,, тобто А 1 А 2 + В 1 В 2 \u003d 0.

якщо прямі l 1 і l 2 задані відповідно рівняннями

l 1: у=k 1 x+ b 1 ,

l 2: у=k 2 x+ b 2 ,

то tgα 2 \u003d tg (90º + α) \u003d .

Звідси слідує що

Нарешті, якщо і напрямні вектори прямих, то ^, тобто

m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0

Останнє співвідношення висловлюють необхідна і достатня умова перпендикулярності двох площин.

Кут між двома прямими

Під кутом φ між двома прямими l 1 і l 2 будемо розуміти найменший кут, на який треба повернути одну пряму, щоб вона стала паралельною інший прямий або збіглася з нею, тобто 0 £ φ £

Нехай прямі задані загальними рівняннями. Очевидно, що

cosφ \u003d

Нехай тепер прямі l 1 і l 2 задана рівняннями з кутовими коефіцієнтами k 1 в k 2 відповідно. тоді

Очевидно, що, тобто ( х-х 0) + В ( у-у 0) + C ( z-z 0) = 0

Розкриємо дужки і позначимо D \u003d -А x 0 - В у 0 - C z 0. отримаємо

A x + B y + З z + D \u003d 0 (*)

- рівняння площини в загалом вигляді або загальне рівняння площини.

теорема 3.1 лінійне рівняння (*) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) є рівнянням площини і назад, будь-яке рівняння площині є лінійним.

1) D \u003d 0, тоді площина проходить через початок координат.

2) А \u003d 0, тоді площина паралельна осі ОХ

3) А \u003d 0, В \u003d 0, тоді площина паралельна площині OXY.

Нехай в рівнянні всі коефіцієнти відмінні від нуля.

- рівняння площини в відрізках. Числа | а |, | b |, | з | вказують на величини відрізків, що відсікаються площиною на координатних осях.