Поняття кореня n ступеня із дійсного числа. Урок «Поняття кореня n-го ступеня із дійсного числа. Квадратний корінь, арифметичний квадратний корінь

Вітаю: сьогодні ми розбиратимемо коріння — одну з найбільш мозковиносних тем 8-го класу.:)

Багато хто плутається в корінні не тому, що воно складне (чого там складного-то — пара визначень і ще пара властивостей), а тому що в більшості шкільних підручників коріння визначається через такі нетрі, що розібратися в цій писанині можуть хіба самі автори підручників. Та й то лише з пляшкою гарного віскі.

Тому зараз я дам найправильніше і найписьменніше визначення кореня - єдине, яке вам справді слід запам'ятати. А вже потім поясню: навіщо все це потрібно і як застосовувати на практиці.

Але спочатку запам'ятайте один важливий момент, про який багато укладачів підручників чомусь «забувають»:

Коріння бувають парного ступеня (наш улюблений $\sqrt(a)$, а також всякі $\sqrt(a)$ і навіть $\sqrt(a)$) і непарного ступеня (всякі $\sqrt(a)$, $\ sqrt(a)$ і т.д.). І визначення кореня непарного ступеня дещо відрізняється від парного.

Ось у цьому гребаном «дещо відрізняється» приховано, напевно, 95% усіх помилок та непорозуміння, пов'язаного з корінням. Тому давайте раз і назавжди розберемося з термінологією:

Визначення. Корінь парного ступеня nз $a$ - це будь-яке невід'ємнечисло $b$ таке, що $((b)^(n))=a$. А корінь непарного ступеня з того ж числа $a$ - це взагалі будь-яке число $b$, для якого виконується та сама рівність: $((b)^(n))=a$.

У будь-якому випадку корінь позначається так:

\(a)\]

Число $n$ у такому записі називається показником кореня, а число $a$ - підкореним виразом. Зокрема, за $n=2$ отримаємо наш «улюблений» квадратний корінь(До речі, це корінь парного ступеня), а при $ n = 3 $ - кубічний (ступінь непарна), який теж часто зустрічається в завданнях і рівняннях.

приклади. Класичні приклади квадратного коріння:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \ & \ sqrt (81) = 9; \ & \ sqrt (256) = 16. \\ \end(align)\]

До речі, $ \ sqrt (0) = 0 $, а $ \ sqrt (1) = 1 $. Це цілком логічно, оскільки $((0)^(2))=0$ і $((1)^(2))=1$.

Кубічні коріння теж часто зустрічаються - не треба їх боятися:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ \sqrt(-64)=-4; \ & \ sqrt (343) = 7. \\ \end(align)\]

Ну, і парочка «екзотичних прикладів»:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\&\sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Якщо ви не зрозуміли, у чому різниця між парним та непарним ступенем — перечитайте визначення ще раз. Це дуже важливо!

А ми тим часом розглянемо одну неприємну особливість коренів, через яку нам потрібно було вводити роздільне визначення для парних і непарних показників.

Навіщо взагалі потрібне коріння?

Прочитавши визначення, багато учнів запитають: Що курили математики, коли це вигадували? І справді: навіщо взагалі потрібне все це коріння?

Щоб відповісти на це питання, повернемося на хвилинку початкові класи. Згадайте: у ті далекі часи, коли дерева були зеленішими, а пельмені смачнішими, основна наша турбота була в тому, щоб правильно множити числа. Ну, щось на кшталт «п'ять на п'ять — двадцять п'ять», ось це все. Але можна множити числа не парами, а трійками, четвірками і взагалі цілими комплектами:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \ \ 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Проте суть не в цьому. Фішка в іншому: математики - люди ледачі, тому їм було в лом записувати множення десяти п'ятірок ось так:

Тому вони вигадали ступеня. Чому б замість довгого рядка не записати кількість множників у вигляді верхнього індексу? Типу ось такого:

Це дуже зручно! Всі обчислення скорочуються в рази, і можна не витрачати купу листів пергаменту блокнотиків на запис якогось 5 183 . Такий запис назвали ступенем числа, у неї знайшли купу властивостей, але щастя виявилося недовгим.

Після грандіозної п'янки, яку організували саме з приводу «відкриття» ступенів, якийсь особливо наполегливий математик раптом запитав: «А що, якщо нам відома міра числа, але невідомо саме число?» Ось, дійсно, якщо нам відомо, що якесь число $b$, припустимо, в 5-му ступені дає 243, то як нам здогадатися, чому одно саме число $b$?

Проблема ця виявилася набагато глобальнішою, ніж може здатися на перший погляд. Тому що з'ясувалося, що для більшості «готових» ступенів таких «вихідних» чисел немає. Судіть самі:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \ & ((b) ^ (3)) = 64 Rightarrow b = 4 cdot 4 cdot 4 Rightarrow b = 4. \\ \end(align)\]

А що якщо $((b)^(3))=50$? Виходить, що треба знайти якесь число, яке тричі помножене саме на себе дасть нам 50. Але що це за число? Воно явно більше за 3, оскільки 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Тобто. це число лежить десь між трійкою і четвіркою, але чому воно одно - фіг зрозумієш.

Саме для цього математики і вигадали коріння $n$-го ступеня. Саме для цього ввели піктограму радикала $\sqrt(*)$. Щоб позначити те саме число $b$, яке в даній мірі дасть нам заздалегідь відому величину

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Не сперечаюся: найчастіше це коріння легко вважається — ми бачили кілька таких прикладів вище. Але все-таки в більшості випадків, якщо ви загадаєте довільне число, а потім спробуєте витягти з нього корінь довільного ступеня, на вас чекає жорстокий облом.

Та що там! Навіть найпростіший і всім знайомий $\sqrt(2)$ не можна уявити у звичному нам вигляді - як ціле число або дрібничка. А якщо ви вб'єте це число в калькулятор, то побачите це:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Як бачите, після коми йде нескінченна послідовність цифр, які не підкоряються жодній логіці. Можна, звичайно, округлити це число, щоб швидко порівняти з іншими числами. Наприклад:

\[\sqrt(2)=1,4142...\approx 1,4 \lt 1,5\]

Або ось ще приклад:

\[\sqrt(3)=1,73205...\approx 1,7 \gt 1,5\]

Але ці округлення, по-перше, досить грубі; а по-друге, працювати з приблизними значеннями теж треба вміти, інакше можна впіймати купу неочевидних помилок (до речі, навичка порівняння та округлення в обов'язковому порядку перевіряють на профільному ЄДІ).

Тому в серйозній математиці без коріння не обійтися - вони є такими ж рівноправними представниками множини всіх дійсних чисел $\mathbb(R)$, як і давно знайомі нам дроби і цілі числа.

Неможливість уявити корінь як дробу виду $\frac(p)(q)$ означає, що це корінь перестав бути раціональним числом. Такі числа називаються ірраціональними, і їх не можна точно уявити інакше як за допомогою радикала або інших спеціально призначених для цього конструкцій (логарифмів, ступенів, меж тощо). Але про це — іншого разу.

Розглянемо кілька прикладів, де після всіх обчислень ірраціональні числа все ж таки залишаться у відповіді.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\end(align)\]

Звичайно, на вигляд кореня практично неможливо здогадатися про те, які числа будуть йти після коми. Втім, можна порахувати на калькуляторі, але навіть найдосконаліший калькулятор дат нам лише кілька перших цифр ірраціонального числа. Тому набагато правильніше записати відповіді у вигляді $\sqrt(5)$ та $\sqrt(-2)$.

Саме для цього їх і вигадали. Щоб зручно записувати відповіді.

Чому потрібні два визначення?

Уважний читач уже напевно помітив, що все квадратне коріння, наведене в прикладах, витягується з позитивних чисел. Ну в крайньому випадкуіз нуля. А ось кубічні корені незворушно витягуються абсолютно з будь-якого числа - хоч позитивного, хоч негативного.

Чому так відбувається? Погляньте на графік функції $y=((x)^(2))$:

Графік квадратичної функціїдає два корені: позитивний та негативний

Спробуємо за допомогою цього графіка порахувати $\sqrt(4)$. Для цього на графіку проведено горизонтальну лінію $y=4$ (позначено червоним кольором), яка перетинається з параболою у двох точках:$((x)_(1))=2$ і $((x)_(2)) =-2 $. Це цілком логічно, оскільки

З першим числом все зрозуміло - воно позитивне, тому воно є корінь:

Але що робити тоді з другою точкою? Типу у четвірки одразу два корені? Адже якщо звести до квадрата число −2, ми теж отримаємо 4. Чому б тоді не записати$\sqrt(4)=-2$? І чому вчителі дивляться на такі записи так, ніби хочуть вас зжерти?:)

У тому й біда, що якщо не накладати жодних додаткових умов, То квадратного коріння у четвірки буде два - позитивний і негативний. І у будь-якого позитивного числа їх також буде два. А ось у негативних чисел коріння взагалі не буде — це видно все за тим же графіком, оскільки парабола ніде не опускається нижче за осю y, тобто. не набуває негативних значень.

Подібна проблема виникає у всіх коренів з парним показником:

1. Строго кажучи, коріння з парним показником $n$ у кожного позитивного числа буде відразу дві штуки;
2. З негативних чисел корінь із парним $n$ взагалі не вилучається.

Саме тому у визначенні кореня парного ступеня $n$ спеціально обговорюється, що відповідь має бути негативним числом. Так ми позбавляємося неоднозначності.

Зате для непарних $n$ такої проблеми немає. Щоб переконатися в цьому, погляньмо на графік функції $y=((x)^(3))$:

Кубічна парабола набуває будь-яких значень, тому кубічний корінь витягується з будь-якого числа.

З цього графіка можна зробити два висновки:

1. Гілки кубічної параболи, на відміну від звичайної, йдуть на нескінченність в обидві сторони - і вгору, і вниз. Тому на якій би висоті ми не проводили горизонтальну пряму, ця пряма обов'язково перетнеться з нашим графіком. Отже, кубічний корінь можна витягти завжди, з будь-якого числа;
2. Крім того, таке перетин завжди буде єдиним, тому не потрібно думати, яке число вважати «правильним» коренем, а на яке забити. Саме тому визначення коренів для непарного ступеня простіше, ніж для парної (відсутня вимога невід'ємності).

Жаль, що ці прості речі не пояснюють у більшості підручників. Замість цього нам починають парити мозок будь-якими арифметичними корінням та їх властивостями.

Так, я не сперечаюся: що таке арифметичний корінь теж треба знати. І я докладно розповім про це в окремому уроці. Сьогодні ми теж поговоримо про нього, оскільки без нього всі роздуми про коріння $n$-й кратності були б неповними.

Але спочатку треба чітко засвоїти те визначення, яке дав вище. Інакше через велику кількість термінів у голові почнеться така каша, що в результаті взагалі нічого не зрозумієте.

А всього-то і потрібно зрозуміти різницю між парними та непарними показниками. Тому ще раз зберемо все, що дійсно потрібно знати про коріння:

1. Корінь парної міри існує лише з неотрицательного числа і сам є неотрицательным числом. Для негативних чисел такий корінь невизначений.
2. А ось корінь непарного ступеня існує з будь-якого числа і може бути будь-яким числом: для позитивних чисел він позитивний, а для негативних - як натякає кеп, негативний.

Хіба це важко? Ні, не складно. Зрозуміло? Та взагалі очевидно! Тому зараз ми трохи потренуємось із обчисленнями.

Основні властивості та обмеження

У коріння багато дивних властивостей та обмежень — про це буде окремий урок. Тому зараз ми розглянемо лише найважливішу «фішку», яка відноситься лише до коріння з парним показником. Запишемо цю властивість у вигляді формули:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x \right|\]

Іншими словами, якщо звести число на парний ступінь, а потім з цього витягти корінь того ж ступеня, ми отримаємо не вихідне число, яке модуль . Це проста теорема, яка легко доводиться (досить окремо розглянути невід'ємні $x$, потім окремо — негативні). Про неї постійно говорять вчителі, її дають у кожному шкільному підручнику. Але як тільки справа доходить до вирішення ірраціональних рівнянь (тобто рівнянь, що містять знак радикала), учні дружно забувають цю формулу.

Щоб детально розібратися у питанні, давайте на хвилину забудемо всі формули та спробуємо порахувати два числа напролом:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Це дуже прості приклади. Перший приклад вирішить більшість людей, а ось на другому багато хто залипає. Щоб без проблем вирішити будь-яку хрень, завжди враховуйте порядок дій:

1. Спочатку число зводиться у четвертий ступінь. Ну, це нескладно. Вийде нове число, яке навіть у таблиці множення можна знайти;
2. І ось вже з цієї нової кількості необхідно витягти корінь четвертого ступеня. Тобто. ніякого «скорочення» коріння та ступенів не відбувається — це послідовні дії.

Розберемося з першим виразом: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Очевидно, що спочатку треба порахувати вираз, що стоїть під коренем:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Потім витягаємо корінь четвертого ступеня з числа 81:

Тепер зробимо те саме з другим виразом. Спочатку зводимо число −3 у четверту міру, навіщо потрібно помножити його саме він 4 разу:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ left(-3 \right)=81\]

Отримали позитивне число, оскільки загальна кількість мінусів у творі — 4 штуки, і всі вони взаємно знищиться (адже мінус на мінус дає плюс). Далі знову вилучаємо корінь:

У принципі, цей рядок можна було не писати, оскільки і їжу зрозуміло, що відповідь вийде одна і та сама. Тобто. парний корінь з тієї ж парної міри «спалює» мінуси, і в цьому сенсі результат не відрізняється від звичайного модуля:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]

Ці обчислення добре узгоджуються з визначенням кореня парного ступеня: результат завжди негативний, та й під знаком радикала теж завжди стоїть негативне число. Інакше корінь не визначено.

Зауваження щодо порядку дій

1. Запис $\sqrt(((a)^(2)))$ означає, що ми спочатку зводимо число $a$ у квадрат, а потім витягуємо з отриманого значення квадратний корінь. Отже, ми можемо бути впевнені, що під знаком кореня завжди сидить невід'ємне число, оскільки $((a)^(2))\ge 0$ у будь-якому разі;
2. А ось запис $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, навпаки, означає, що ми спочатку витягуємо корінь з деякого числа $a$ і лише потім зводимо результат у квадрат. Тому число $a$ в жодному разі не може бути негативним - це обов'язкова вимога, закладена у визначення.

Таким чином, у жодному разі не можна бездумно скорочувати коріння та ступеня, тим самим нібито «спрощуючи» вихідне вираження. Тому що якщо під корінням стоїть негативне число, а його показник є парним, ми отримаємо купу проблем.

Втім, усі ці проблеми є актуальними лише для парних показників.

Винесення мінуса з-під знака кореня

Природно, коріння з непарними показниками теж має свою фішку, якої в принципі не буває у парних. А саме:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Коротше кажучи, можна виносити мінус з-під знаку коріння непарного ступеня. Це дуже корисна властивість, яка дозволяє «викинути» всі мінуси назовні:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \ sqrt (32) = \ \ & = 3 \ cdot 2 = 6. \end(align)\]

Ця проста властивість значно спрощує багато обчислень. Тепер не треба переживати: раптом під коренем затесалося негативне вираження, а ступінь у кореня виявився парним? Достатньо лише «викинути» всі мінуси за межі коріння, після чого їх можна буде множити один на одного, ділити і взагалі робити багато підозрілих речей, які у випадку з «класичним» корінням гарантовано приведуть нас до помилки.

І ось тут на сцену виходить ще одне визначення — те саме, з якого здебільшого шкіл і починають вивчення ірраціональних виразів. І без якого наші міркування були б неповними. Зустрічайте!

Арифметичний корінь

Давайте припустимо на хвилину, що під знаком кореня можуть бути лише позитивні числа або в крайньому випадку нуль. Заб'ємо на парні/непарні показники, заб'ємо на всі визначення, наведені вище - працюватимемо тільки з негативними числами. Що тоді?

А тоді ми отримаємо арифметичний корінь — він частково перетинається з нашими «стандартними» визначеннями, але все ж таки відрізняється від них.

Визначення. Арифметичним коренем $n$-й ступеня з неотрицательного числа $a$ називається таке неотрицательное число $b$, що $((b)^(n))=a$.

Як бачимо, нас більше не цікавить парність. Натомість її з'явилося нове обмеження: підкорене вираз тепер завжди неотрицательно, та й сам корінь теж негативний.

Щоб краще зрозуміти, чим арифметичний корінь відрізняється від звичайного, погляньте на вже знайомі нам графіки квадратної та кубічної параболи:

Область пошуку арифметичного кореня- Невід'ємні числа

Як бачите, відтепер нас цікавлять ті шматки графіків, які розташовані в першій координатній чверті — там, де координати $x$ і $y$ позитивні (або хоча б нуль). Більше не потрібно дивитися на показник, щоб зрозуміти: чи маємо ми право ставити під корінь негативне число чи ні. Тому що негативні числа більше, у принципі, не розглядаються.

Можливо, ви запитаєте: "Ну і навіщо нам таке кастроване визначення?" Або: «Чому не можна обійтися стандартним визначенням, даним вище?»

Що ж, наведу лише одну властивість, через яку нове визначення стає доцільним. Наприклад, правило зведення в ступінь:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Зверніть увагу: ми можемо звести підкорене вираз у будь-який ступінь і одночасно помножити на цей же ступінь показник кореня — і в результаті вийде те саме число! Ось приклади:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\\end(align)\]

І що в цьому такого? Чому ми не могли це зробити раніше? А ось чому. Розглянемо простий вираз: $\sqrt(-2)$ — це цілком нормальне у нашому класичному розумінні, але абсолютно неприпустимо з погляду арифметичного кореня. Спробуємо перетворити його:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Як бачите, у першому випадку ми винесли мінус з-під радикала (маємо повне право, тому що показник непарний), а в другому – скористалися зазначеною вище формулою. Тобто. з погляду математики все зроблено за правилами.

WTF? Як і те саме число може бути і позитивним, і негативним? Ніяк. Просто формула зведення в ступінь, який чудово працює для позитивних чисел і нуля, починає видавати повну брехню у випадку з негативними числами.

Ось для того, щоб позбутися подібної неоднозначності, і вигадали арифметичні корені. Їм присвячений окремий великий урок, де докладно розглядаємо всі їхні властивості. Отже зараз не будемо на них зупинятися — урок і так вийшов занадто затягнутим.

Алгебраїчне коріння: для тих, хто хоче знати більше

Довго думав: виносити цю тему до окремого параграфу чи ні. Зрештою вирішив залишити тут. Цей матеріалпризначений для тих, хто хоче зрозуміти коріння ще краще – вже не на середньому «шкільному» рівні, а на наближеному до олімпіадного.

Так от: крім «класичного» визначення кореня $n$-го ступеня з числа і пов'язаного з ним поділу на парні та непарні показники є більш «доросле» визначення, яке взагалі не залежить від парності та інших тонкощів. Це називається алгебраїчним коренем.

Визначення. Алгебраїчний корінь $n$-й ступеня з-поміж будь-якого $a$ — це безліч всіх чисел $b$ таких, що $((b)^(n))=a$. Для такого коріння немає усталеного позначення, тому просто поставимо рисочку зверху:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Принципова відмінність від стандартного визначення, наведеного на початку уроку, полягає в тому, що корінь алгебри — це не конкретне число, а безліч. А оскільки ми працюємо з дійсними числами, це безліч буває лише трьох типів:

1. Порожнє безліч. Виникає у разі, коли потрібно знайти алгебраїчний корінь парного ступеня негативного числа;
2. Безліч, що складається з одного-єдиного елемента. Усі коріння непарних ступенів, а також корені парних ступенів з нуля потрапляють у цю категорію;
3. Нарешті, безліч може включати два числа - ті самі $((x)_(1))$ і $((x)_(2))=-((x)_(1))$, яке ми бачили на графіку квадратичні функції. Відповідно, такий розклад можливий лише за вилучення кореня парного ступеня з позитивного числа.

Останній випадок заслуговує на докладніший розгляд. Порахуємо кілька прикладів, щоб зрозуміти різницю.

приклад. Обчисліть вирази:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Рішення. З першим виразом все просто:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Саме два числа входять до складу множини. Тому що кожне з них у квадраті дає четвірку.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Тут бачимо безліч, що складається лише з одного числа. Це цілком логічно, оскільки показник кореня непарний.

Нарешті, останній вираз:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Отримали пусте безліч. Тому що немає жодного дійсного числа, яке при зведенні в четвертий (тобто парний!) ступінь дасть нам негативне число −16.

Фінальне зауваження. Зверніть увагу: я не випадково скрізь зазначав, що ми працюємо з дійсними числами. Тому що є ще комплексні числа- Там цілком можна порахувати і $ \ sqrt (-16) $, і багато інших дивних речей.

Однак у сучасному шкільному курсіматематики комплексні числа майже зустрічаються. Їх викреслили з більшості підручників, оскільки наші чиновники вважають цю тему «надто складною для розуміння».

На цьому все. У наступному уроці ми розглянемо всі ключові властивості коренів і навчимося, нарешті, спрощувати ірраціональні вирази.

Розв'яжемо графічно рівняння (ікс шостою рівно одиниці), для цього побудуємо в одній системі координат наступні графіки функцій: (гравець дорівнює ікс шостою мірою)

Як бачимо, вони перетинаються у двох точках А і З, де абсциси точок перетину є корінням рівняння, тобто. .(рис.2)

З вирішення двох рівнянь ми бачимо, що з них має два корені, причому ці числа взаємно протилежні.

У цих двох рівняннях коріння знаходиться досить легко.

Розглянемо рівняння 7 (ікс шостою мірою дорівнює семи) ( рис.3)

Будуємо в одній системі координат графіки функції та у = 7

По кресленню видно, що рівняння має два корені ікс один і ікс два, але точні їх значення вказати не можна, а лише наближені: вони розташовуються на осі х, один корінь трохи лівіше від точки -1, а другий — трохи правіше від точки 1.

Для того, щоб вирішити аналогічні ситуації, математики ввели новий символ, корінь шостого ступеня. І за допомогою цього символу коріння даного рівнянняможна записати так: (ікс один дорівнює корінь шостого ступеня із семи та ікс два дорівнює мінус корінь шостого ступеня із семи).

Розглянемо розв'язання рівнянь з непарним ступенем

і (Рис.4)

Як видно з креслень, кожне із рівнянь має один корінь, але в першому рівнянні коренем є ціле число два, а в другому точно вказати значення не можна, отже, для нього введемо позначення (корінь п'ятого ступеня із шести).

З розглянутих прикладів зробимо висновок і дамо визначення:

1.Рівняння (ікс у ступені ен дорівнює а), де n(ен) - будь-яке натуральне парне число, а має два корені:

(корінь енного ступеня з числа а та мінус корінь енного ступеня з числа а)

2.Рівняння (ікс у ступені ен дорівнює а), де n(ен) - будь-яке натуральне непарне число, а (а більше нуля) має один корінь: (корінь енного ступеня з числа а)

3.Рівняння (ікс у ступені ен дорівнює нуль) має єдиний корінь х = 0 (ікс дорівнює нулю).

Визначення: Коренем n-й (енної) ступеня з ненегативного числа а (n = 2,3,34,5 ...) називають таке ненегативне число, яке при зведенні в ступінь n (ен) дає в результаті число а.

Це число позначають (коренем енного ступеня у складі а). Число а при цьому називають підкореним числом, а число n(ен) – показником кореня.

(Приватний випадок ви вивчали в алгебрі 8-го класу, коли n=2: пишуть (корінь квадратний а)).

Необхідно запам'ятати, якщо

(якщо а невід'ємне число, n - натуральне число, Більше одиниці, то корінь енного ступеня з числа а є невід'ємне число і якщо корінь енного ступеня з числа а звести в енний ступінь, то отримаємо число а, тобто підкорене число).

Іншими словами, визначення можна перефразувати так:

(коренем енного ступеня з числа а називається число бе, енний ступінь якого дорівнює а).

Під терміном вилучення з-під коренярозуміють знаходження кореня з негативного числа. Іншими словами, необхідно виконати зворотну дію до зведення у відповідний ступінь. Розглянемо таблицю:

Будьте уважні, згідно з визначенням кореня енного ступеня, у таблиці розглядаються лише позитивні числа.

Розглянемо приклад 1: Обчисліть

а) (корінь шостого ступеня з шістдесяти чотирьох дорівнює двом, тому що два - позитивне число і два в шостому ступені дорівнює шістдесяти чотирьох).

(корінь третього ступеня з нуля цілих двісті шістнадцяти тисячних дорівнює нуль цілих шість десятих, тому що знайдене число позитивно і в третій мірі дає підкорене число)

Оскільки =

г) Згідно з визначенням кореня енного ступеня запишемо дві рівності: і

Отже, нам потрібно знайти число, яке в четвертому ступені дорівнює 55, але два в четвертому ступені дорівнює шістнадцяти, що менше 55,

І три в четвертому ступені дорівнює вісімдесяти одному, що більше 55, . Значить, точного значення не можна вказати, тому скористаємося знаком наближеної рівності з точністю до сотих.

Для отримання кореня з негативного числа користуються другим визначенням:

Визначення: Коренем непарного ступеня n з від'ємного числа а (n = 3,5,7, ...) називають таке від'ємне число m, яке, будучи зведене в ступінь n, дає в результаті число а.

число а у своїй називають підкореним числом, а число n (ен) - показником кореня.

Для кореня непарної міри справедливі дві властивості:

(якщо а - негативне число,n- натуральне непарне число, більше одиниці, то корінь енного ступеня з числа а є негативне число, і якщо корінь енного ступеня з числа а звести в енний ступінь, то отримаємо число а, тобто підкорене число).

Проаналізувавши визначення та властивості кореня енного ступеня з числа, зробимо висновок:

Корінь парного ступеня має сенс (тобто визначений) лише невід'ємного підкореного висловлювання;

Корінь непарного ступеня має сенс для будь-якого підкореного виразу

Тема:«Коріння та ступеня. Концепція кореня n-йступеня з дійсного числа.

Цілі уроку:

освітня: вивчити поняття арифметичного кореня натурального ступеня, зокрема непарного ступеня; освоїти обчислення арифметичних коренів.

виховна: активізувати роботу учнів під час уроку, виховувати інтерес до предмета;

розвиваюча: розвивати інтелектуальні здібності, уміння переносити знання у нові ситуації.

Тип уроку:Вивчення нового матеріалу.

Метод:пояснювально-ілюстративний.

Обладнання:комп'ютер, інтерактивна дошка, презентація.

Хід уроку

1. Організаційна частина

Вітання. Готовність до уроку. Перевірка домашнього завдання.

2. Мотивація навчальної діяльності, повідомлення теми та постановка мети заняття.

Сьогодні ми вивчатимемо тему «Коріння та ступеня. Поняття кореня n-го ступеняіз дійсного числа». Хочу звернути вашу увагу на слова Анатоль Франс (1844-1924) , які будуть епіграфом нашого уроку Ми будемо працювати з виразами, що містять коріння. Ви розширите свої знання про коріння. Наприкінці уроку проведемо невелику самостійну роботу, щоб перевірити, як ви вмієте самостійно застосовувати знання на цю тему.

«Вчитися можна лише весело…

Щоб перетравлювати знання, треба поглинати їх із апетитом».

Пояснення нового матеріалу.

Визначення 1.Коренемn-й ступеня з неотрицательного числа а(n=2,3,4,5 …) називають таке неотрицательное число, яке за зведенні ступінь n дає у результаті число а.

Позначення: - Корінь n-го ступеня.

Число n називається ступенем арифметичного кореня.

Якщо n=2, то рівень кореня не вказується і пишеться

Корінь другого ступеня прийнято називати квадратним, а корінь третього ступеня – кубічним.

Зведення в ступінь та добування кореня - це та сама залежність:

Основні властивості коренів

Закріплення вивченого матеріалу:

№ 1063 усно,

№ 1067 – 1069,

№ 1070 – 1071 (а, б)

№1072 -1073 (а, б)

№ 1076 (а, в)

№ 1078 (а, б)

№ 1079 (а, в)

Самостійна робота:

Варіант 1

№1070 -1071 (в)

№1072 -1073 (г)

Варіант 2

№1070 -1071 (г)

№1072 -1073 (в)

Домашнє завдання: № 1076 (г) , № 1078 (в), № 1079 (б)

Підбиття підсумків уроку:

Сьогодні на уроці ми вивчили поняття арифметичного кореня n-го ступеня та закріпили рішенням прикладів.

Виставлення оцінок за урок.

Література

1.А.Г. Мордкович. Алгебра та початку математичного аналізу. 10-11 класи. У 2 год. Підручник для учнів загальноосвітніх установ(базовий рівень). - М: Мнемозіна, 2012 р.

2. Александрова Л.А. Алгебра та початку аналізу. 11 кл. Самостійні роботи: посібник для загальноосвітніх закладів/під. ред. Мордковича А.Г.-М.: Мнемозіна, 2014р.

3. Т.І. Купорова. Алгебра та початку аналізу. 11 кл.: Поурочні планиза підручником Мордковича А.Г. - Волгоград: Вчитель, 2008.

4. Рурукін А. Н. Поурочні розробки з алгебри та початків аналізу: 11 клас. - М.: ВАКО,2014.

5. Нечаєв М.П. Уроки з курсу "Алгебра - 11". - М.: 5 за знання, 2007

Cлайд 1

МОУ ліцей №10 міста Радянська Калінінградської областівчитель математики Разыграева Тетяна Миколаївна Поняття кореня n-го ступеня з дійсного числа.

Cлайд 2

Яка крива є графіком функції y = x? Яка крива є графіком функції y = x⁴? Розглянемо рівняння x⁴ = 1. Побудуємо графіки функцій y = x⁴ та y = 1. Відповідь: x = 1, x = -1. Аналогічно: x⁴ = 16. Відповідь: x = 2, x = -2. Аналогічно: x⁴ = 5. y = 5 Відповідь:

Cлайд 3

Розглянемо рівняння x⁵ = 1. Побудуємо графіки функцій y = x⁵ та y = 1. Аналогічно: x⁵ = 7. Відповідь: x = 1. Відповідь: Розглянемо рівняння: де a > 0, n N, n >1. Якщо n – парне, то рівняння має два корені: Якщо n – непарне, то один корінь:

Cлайд 4

Визначення 1: Коренем n - й ступеня з негативного числа a (n = 2,3,4,5, ...) називають таке невід'ємне число, яке при зведенні в ступінь n дає в результаті число a. Це число позначають: a n - підкорене вираз - показник кореня Операцію знаходження кореня з негативного числа називають вилученням кореня. Якщо a 0, n = 2,3,4,5, ..., то

Cлайд 5

Операція вилучення кореня є зворотною по відношенню до зведення у відповідний ступінь. 5² = 25 10³ = 1000 0,3⁴ = 0,0081 25 = 5 3 4 Іноді вираз a називають радикалом від латинського слова radix – «корінь». n Символ - це стилізована літера r. Виведення в ступінь Вилучення кореня

Cлайд 6

Приклад 1: Обчислити: а) 49; б) 0,125; в) 0; г) 17 3 7 4 Рішення: а) 49 = 7, оскільки 7 > 0 та 7² = 49; 3 б) 0,125 = 0,5, оскільки 0,5 > 0 і 0,5? = 0,125; в) 0; г) 17 ≈ 2,03 4 Визначення 2: Коренем непарного ступеня n із негативного числа a (n = 3,5,…) називають таке негативне число, яке при зведенні в ступінь n дає в результаті число a.

Cлайд 7

Отже, Висновок: Корінь парного ступеня має сенс (тобто визначений) тільки для невід'ємного підкореного виразу; корінь непарного ступеня має сенс будь-якого підкореного висловлювання. Приклад 2: Розв'яжіть рівняння: Якщо a< 0, n = 3,5,7,…, то

Щоб успішно використовувати практично операцію вилучення кореня, потрібно познайомитися з властивостями цієї операції.
Усі властивості формулюються і доводяться лише для невід'ємних значень змінних, які під знаками коренів.

Теорема 1. Корінь n-го ступеня (n=2, 3, 4,...) з добутку двох невід'ємних чипсел дорівнює твору коріння n-йступеня з цих чисел:

Зауваження:

1. Теорема 1 залишається справедливою і для випадку, коли підкорене вираз є твір більш ніж двох невід'ємних чисел.

Теорема 2.Якщо, і n - натуральне число, більше 1, то справедлива рівність

Коротка(хоча і неточне) формулювання, яке зручніше використовувати на практиці: корінь із дробу дорівнює дробу від коріння.

Теорема 1 дозволяє нам перемножувати т тільки коріння однакового ступеня , тобто. тільки коріння з однаковим показником.

Теорема 3.Якщо ,k - натуральне число і n - натуральне число, більше 1, то справедлива рівність

Іншими словами, щоб звести корінь у натуральний ступінь, Досить звести в цей ступінь підкорене вираз.
Це - наслідок теореми 1. Справді, наприклад, для к = 3 отримуємо: Так само можна міркувати у разі будь-якого іншого натурального значення показника до.

Теорема 4.Якщо ,k, n - натуральні числа, більші за 1, то справедлива рівність

Іншими словами, щоб витягти корінь, досить перемножити показники коренів.
Наприклад,

Будьте уважні!Ми дізналися, що над корінням можна здійснювати чотири операції: множення, розподіл, зведення у ступінь та вилучення кореня (з кореня). А як же справа зі складанням і відніманням коріння? Ніяк.
Наприклад, замість не можна написати Справді, Але ж очевидно, що

Теорема 5. Якщо показники кореня і підкореного виразу помножити або розділити на те саме натуральне число, то значення кореня не зміниться, тобто.

Приклади вирішення завдань

приклад 1.Обчислити

Рішення.Скориставшись першою властивістю коріння (теорема 1), отримаємо:

приклад 2.Обчислити
Рішення.Звернемо змішане числов неправильний дріб.
Маємо Скориставшись другою властивістю коріння ( теорема 2 ), отримаємо:

Приклад 3.Обчислити:

Рішення.Будь-яка формула в алгебрі, як вам добре відомо, використовується не лише «зліва направо», а й «справа наліво». Так, перше властивість коренів означає, що можна у вигляді і, навпаки, можна замінити виразом . Те саме відноситься і до другої якості коренів. Враховуючи це, виконаємо обчислення.