Зведення твори дробу і степеня в ступінь. Ступінь і її властивості. Вичерпний гід (2020). Обчислювальні значення виразів

основна ціль

Ознайомити учнів з властивостями ступенів з натуральними показниками і навчити виконувати дії зі ступенями.

Тема "Ступінь і її властивості"включає три питання:

• Визначення ступеня з натуральним показником.
• Множення і ділення ступенів.
• Піднесення до степеня твори і ступеня.

Контрольні питання

1. Сформулюйте визначення ступеня з натуральним показником, більшим 1. Наведіть приклад.
2. Сформулюйте визначення ступеня з показником 1. Наведіть приклад.
3. Який порядок виконання дій при обчисленні значення виразу, що містить ступеня?
4. Сформулюйте основну властивість ступеня. Наведіть приклад.
5. Сформулюйте правило множення ступенів з підставами. Наведіть приклад.
6. Сформулюйте правило ділення ступенів з однаковими підставами. Наведіть приклад.
7. Сформулюйте правило піднесення до степеня твори. Наведіть приклад. Доведіть тотожність (ab) n \u003d a n b n.
8. Сформулюйте правило зведення ступеня в ступінь. Наведіть приклад. Доведіть тотожність (а m) n \u003d а m n.

Визначення ступеня.

ступенем числа a з натуральним показником n, Великим 1, називається твір n множників, кожний з яких дорівнює а. ступенем числа а з показником 1 називається саме число а.

Ступінь з підставою а і показником n записується так: а n . читається " а у ступені n "; "N- я ступінь числа а ”.

За визначенням ступеня:

а 4 \u003d а а а а

. . . . . . . . . . . .

Знаходження значення ступеня називають зведенням до степеня .

1. Приклади зведення в ступінь:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Знайти значення виразів:

а) 3 10 3 \u003d 3 10 10 10 \u003d 3 1000 \u003d 3000

б) -2 4 + (-3) 2 \u003d 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Варіант 1

а) 0,3 0,3 0,3

в) b b b b b b b

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Уявіть у вигляді квадрата числа:

3. Уявіть у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 4 + (-2) 3

г) -4 3 + (-3) 2

д) 100 - 5 2 4

Множення ступенів.

Для будь-якого числа а і довільних чисел m і n виконується:

a m a n \u003d a m + n.

Доведення:

правило : При множенні ступенів з підставами підстави залишають колишнім, а показники ступенів складають.

a m a n a k \u003d a m + n a k \u003d a (m + n) + k \u003d a m + n + k

а) х 5 х 4 \u003d х 5 + 4 \u003d х 9

б) y y 6 \u003d y 1 y 6 \u003d y 1 + 6 \u003d y 7

в) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11

г) 3 4 9 \u003d 3 4 3 2 \u003d 3 6

д) 0,01 0,1 3 \u003d 0,1 2 0,1 3 \u003d 0,1 5

а) 2 3 2 \u003d 2 4 \u003d 16

б) 3 2 3 5 \u003d 3 7 \u003d 2187

Варіант 1

1. Уявити у вигляді ступеня:

а) х 3 х 4 е) х 2 х 3 х 4

б) а 6 а 2 ж) 3. 3 9

в) у 4 у з) 7 4 49

г) а а 8 і) 16 2 7

д) 2. 3 2 4 к) 0,3 3 0,09

2. Уявити у вигляді ступеня і знайти значення по таблиці:

а) 2 2 2 3 в) 8 2 5

б) 3. 4 3 2 г) 27 243

Розподіл ступенів.

Для будь-якого числа а 0 і довільних натуральних чисел m і n, таких, що m\u003e n виконується:

a m: a n \u003d a m - n

Доведення:

a m - n a n \u003d a (m - n) + n \u003d a m - n + n \u003d a m

з визначення приватного:

a m: a n \u003d a m - n.

правило: При розподілі ступенів з підставами підставу залишають колишнім, а з показника ступеня діленого віднімають показник ступеня дільника.

визначення: Ступінь числа а, чи не рівного нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці:

тому а n: a n \u003d 1 при а0.

а) х 4: х 2 \u003d х 4 - 2 \u003d х 2

б) у 8: у 3 \u003d у 8 - 3 \u003d у 5

в) а 7: а \u003d а 7: а 1 \u003d а 7 - 1 \u003d а 6

г) з 5: з 0 \u003d з 5: 1 \u003d з 5

а) 5 7: 5 5 \u003d 5 2 \u003d 25

б) 10 20:10 17 \u003d 10 3 \u003d 1000

в)

г)

д)

Варіант 1

1. Уявіть у вигляді ступеня приватне:

2. Знайдіть значення виразів:

Піднесення до степеня твори.

Для будь-яких а і b і довільного натурального числа n:

(Ab) n \u003d a n b n

Доведення:

За визначенням ступеня

(Ab) n \u003d

Згрупувавши окремо множники а й множники b, отримаємо:

=

Доведене властивість ступеня твори поширюється на ступінь твори трьох і більше множників.

наприклад:

(A b c) n \u003d a n b n c n;

(A b c d) n \u003d a n b n c n d n.

правило: При зведенні в ступінь твори зводять до цього степеня кожен множник і результат перемножують.

1. Звести в ступінь:

а) (a b) 4 \u003d a 4 b 4

б) (2 х у) 3 \u003d 2 3 х 3 у 3 \u003d 8 х 3 у 3

в) (3 а) 4 \u003d 3 4 а 4 \u003d 81 а 4

г) (-5 у) 3 \u003d (-5) 3 у 3 \u003d -125 у 3

д) (-0,2 х у) 2 \u003d (-0,2) 2 х 2 у 2 \u003d 0,04 х 2 у 2

е) (-3 a b c) 4 \u003d (-3) 4 a 4 b 4 c 4 \u003d 81 a 4 b 4 c 4

2. Знайти значення виразу:

а) (2 10) 4 \u003d 2 4 10 4 \u003d 16 1000 \u003d 16000

б) (3 5 20) 2 \u003d 3 2 100 2 \u003d 9 10000 \u003d 90000

в) 2 4 5 4 \u003d (2 5) 4 \u003d 10 4 \u003d 10000

г) 0,25 11 4 11 \u003d (0,25 4) 11 \u003d 1 11 \u003d 1

д)

Варіант 1

1. Звести в ступінь:

б) (2 а с) 4

д) (-0,1 х у) 3

2. Знайти значення виразу:

б) (5 7 20) 2

Піднесення до степеня ступеня.

Для будь-якого числа а і довільних натуральних чисел m і n:

(А m) n \u003d а m n

Доведення:

За визначенням ступеня

(А m) n \u003d

правило: При зведенні ступеня в ступінь підставу залишають тим же, а показники перемножують.

1. Звести в ступінь:

(А 3) 2 \u003d а 6 (х 5) 4 \u003d х 20

(У 5) 2 \u003d у 10 (b 3) 3 \u003d b 9

2. Спростіть вирази:

а) а 3 (а 2) 5 \u003d а 3 а 10 \u003d а 13

б) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13

в) (х 3) 2 (х 2) 4 \u003d х 6 х 8 \u003d х 14

г) (у у 7) 3 \u003d (у 8) 3 \u003d у 24

а)

б)

Варіант 1

1. Звести в ступінь:

а) (а 4) 2 б) (х 4) 5

в) (у 3) 2 г) (b 4) 4

2. Спростіть вирази:

а) а 4 (а 3) 2

б) (b 4) 3 b 5+

в) (х 2) 4 (х 4) 3

г) (у у 9) 2

3. Знайдіть значення виразів:

прикладна програма

Визначення ступеня.

Варіант 2

1ю Запишіть твір у вигляді ступеня:

а) 0,4 0,4 \u200b\u200b0,4

в) а а а а а а а а

г) (-у) (-у) (-у) (-у)

д) (bс) (bс) (bс)

2. Уявіть у вигляді квадрата числа:

3. Уявіть у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 3 + (-2) 4

г) -6 2 + (-3) 2

д) 4. 5 2 - 100

варіант 3

1. Запишіть твір у вигляді ступеня:

а) 0,5 0,5 0,5

в) з з з з з з з з з

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Уявіть у вигляді квадрата числа: 100; 0,49; .

3. Уявіть у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 5 + (-3) 2

г) -5 3 + (-4) 2

д) 5 4 2 - 100

варіант 4

1. Запишіть твір у вигляді ступеня:

а) 0,7 0,7 0,7

в) х х х х х х

г) (-а) (-а) (-а)

д) (bс) (bс) (bс) (bc)

2. Уявіть у вигляді квадрата числа:

3. Уявіть у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 4 + (-3) 3

г) -3 4 + (-5) 2

д) 100 - 3 2 5

Множення ступенів.

Варіант 2

1. Уявити у вигляді ступеня:

а) х 4 x 5 е) х 3 х 4 х 5

б) а 7 а 3 ж) 2 3 4

в) у 5 у з) 4. 3 16

г) а а 7 і) 4 2 5

д) 2 2 2 5 к) 0,2 3 0,04

2. Уявити у вигляді ступеня і знайти значення по таблиці:

а) 3. 2 3 3 в) 16 2 3

б) 2. 4 2 5 г) 9 81

варіант 3

1. Уявити у вигляді ступеня:

а) а 3 а 5 е) у 2 у 4 у 6

б) х 4 х 7 ж) 3. 5 9

в) b 6 b з) 5 3 25

г) у у 8 і) 49 7 4

д) 2. 3 2 6 к) 0,3 4 0,27

2. Уявити у вигляді ступеня і знайти значення по таблиці:

а) 3 3 3 4 ст) 27 3 4

б) 2 4 2 6 г) 16 64

варіант 4

1. Уявити у вигляді ступеня:

а) а 6 а 2 е) х 4 х х 6

б) х 7 х 8 ж) 3 4 27

в) у 6 у з) 4. 3 16

г) х х 10 і) 36 6 3

д) 2 4 2 5 к) 0,2 2 0,008

2. Уявити у вигляді ступеня і знайти значення по таблиці:

а) 2. 6 Перша 2 3 в) 64 2 4

б) 3 5 3 2 г) 81 27

Розподіл ступенів.

Варіант 2

1. Уявіть у вигляді ступеня приватне:

2. Знайдіть значення виразів:

У продовження розмови про ступінь числа логічно розібратися з перебуванням значення ступеня. Цей процес отримав назву зведення в ступінь. У цій статті ми якраз вивчимо, як виконується зведення в ступінь, при цьому торкнемося всі можливі показники ступеня - натуральний, цілий, раціональний і ірраціональний. І за традицією докладно розглянемо рішення прикладів зведення чисел в різні ступені.

Навігація по сторінці.

Що значить «піднесення до степеня»?

Почати слід з пояснення, що називають зведенням до степеня. Ось відповідну ухвалу.

Визначення.

Зведення в ступінь - це знаходження значення ступеня числа.

Таким чином, знаходження значення ступеня числа a з показником r і зведення числа a до степеня r - це одне і те ж. Наприклад, якщо поставлено завдання «обчисліть значення ступеня (0,5) 5», то її можна переформулювати так: «Зведіть число 0,5 в ступінь 5».

Тепер можна переходити безпосередньо до правил, за якими виконується зведення в ступінь.

Зведення числа в натуральну ступінь

На практиці рівність на підставі зазвичай застосовується у вигляді. Тобто, при зведенні числа a в дробову ступінь m / n спочатку витягується корінь n-го ступеня з числа a, після чого отриманий результат зводиться в цілу ступінь m.

Розглянемо рішення прикладів введення в дробовий ступінь.

Приклад.

Розрахуйте значення ступеня.

Рішення.

Покажемо два способи вирішення.

Перший спосіб. За визначенням ступеня з дробовим показником. Обчислюємо значення ступеня під знаком кореня, після чого витягаємо кубічний корінь: .

Другий спосіб. За визначенням ступеня з дробовим показником і на підставі властивостей коренів справедливі рівності . Тепер витягаємо корінь , Нарешті, зводимо в цілу ступінь .

Очевидно, що отримані результати введення в дробовий ступінь збігаються.

відповідь:

Відзначимо, що дробовий показник ступеня може бути записаний у вигляді десяткового дробу або змішаного числа, в цих випадках його слід замінити відповідної звичайної дробом, після чого виконувати зведення в ступінь.

Приклад.

Обчисліть (44,89) 2,5.

Рішення.

Запишемо показник ступеня у вигляді звичайного дробу (при необхідності дивіться статтю): . Тепер виконуємо зведення в дробову ступінь:

відповідь:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Слід також сказати, що зведення чисел в раціональні мірою є досить трудомістким процесом (особливо коли в чисельнику і знаменнику дробового показника ступеня знаходяться досить великі числа), який зазвичай проводиться з використанням обчислювальної техніки.

На закінчення цього пункту зупинимося на зведенні числа нуль в дробову ступінь. Дробової ступеня нуля виду ми додали наступний сенс: при маємо , А при нуль в ступеня m / n не визначений. Отже, нуль в дробової позитивної ступеня дорівнює нулю, наприклад, . А нуль в дробової негативною ступеня не має сенсу, наприклад, не мають сенсу виразу і 0 -4,3.

Піднесення до ірраціональну ступінь

Іноді виникає необхідність дізнатися значення ступеня числа з ірраціональним показником. При цьому в практичних цілях зазвичай досить отримати значення ступеня з точністю до деякого знака. Відразу відзначимо, що це значення на практиці обчислюється за допомогою електронної обчислювальної техніки, так як зведення в ірраціональну ступінь вручну вимагає великої кількості громіздких обчислень. Але все ж опишемо в загальних рисах суть дій.

Щоб отримати наближене значення ступеня числа a з ірраціональним показником, береться деякий десяткове наближення показника ступеня, і обчислюється значення ступеня. Це значення і є наближеним значенням ступеня числа a з ірраціональним показником. Чим точніше десяткове наближення числа буде взято з самого початку, тим точніше значення ступеня буде отримано в результаті.

Як приклад обчислимо наближене значення ступеня 2 1,174367 .... Візьмемо наступне десяткове наближення ірраціонального показника:. Тепер зведемо 2 в раціональну ступінь 1,17 (суть цього процесу ми описали в попередньому пункті), отримуємо 2 1,17 ≈2,250116. Таким чином, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Якщо взяти більш точне десяткове наближення ірраціонального показника ступеня, наприклад,, то отримаємо більш точне значення вихідної ступеня: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Список літератури.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. МатематікаЖ підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
• Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх установ.
• Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
• Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 9 кл. загальноосвітніх установ.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

Ми розібралися, що взагалі з себе представляє ступінь числа. Тепер нам треба зрозуміти, як правильно виконувати її обчислення, тобто зводити числа в ступінь. У цьому матеріалі ми розберемо основні правила обчислення ступеня в разі цілого, натурального, дрібного, раціонального і ірраціонального показника. Всі визначення будуть проілюстровані прикладами.

Поняття зведення в ступінь

Почнемо з формулювання базових визначень.

визначення 1

Зведення в ступінь - це обчислення значення ступеня деякого числа.

Тобто слова "обчислення значення ступеня" і "піднесення до степеня" означають одне і те ж. Так, якщо в задачі варто "Зведіть число 0, 5 в п'яту ступінь", це слід розуміти як "обчисліть значення ступеня (0, 5) 5.

Тепер наведемо основні правила, яким потрібно дотримуватися при таких обчисленнях.

Згадаймо, що таке ступінь числа з натуральним показником. Для ступеня з основою a і показником n це буде твір n -ного числа множників, кожний з яких дорівнює a. Це можна записати так:

Щоб обчислити значення ступеня, потрібно виконати дію множення, тобто перемножити підстави ступеня вказане число раз. На умінні швидко множити і засноване саме поняття ступеня з натуральним показником. Наведемо приклади.

приклад 1

Умова: зведіть - 2 в ступінь 4.

Рішення

Використовуючи визначення вище, запишемо: (- 2) 4 \u003d (- 2) · (- 2) · (- 2) · (- 2). Далі нам потрібно просто виконати зазначені дії і отримати 16.

Візьмемо приклад складніше.

приклад 2

Розрахуйте значення 3 2 7 2

Рішення

Цей запис можна переписати у вигляді 3 2 7 • 3 2 7. Раніше ми розглядали, як правильно множити змішані числа, згадані в умови.

Виконаємо ці дії і отримаємо відповідь 3 2 7 · 3 2 7 \u003d 23 7 · 23 7 \u003d 529 49 \u003d 10 39 49

Якщо в задачі вказана необхідність зводити ірраціональні числа в натуральну ступінь, нам буде потрібно попередньо округлити їх підстави до розряду, який дозволить нам отримати відповідь потрібної точності. Розберемо приклад.

приклад 3

Виконайте зведення в квадрат числа π.

Рішення

Для початку округлимо його до сотих. Тоді π 2 ≈ (3, 14) 2 \u003d 9, 8596. Якщо ж π ≈ 3. 14159, то ми отримаємо більш точний результат: π 2 ≈ (3, 14159) 2 \u003d 9, 8695877281.

Відзначимо, що необхідність вираховувати ступеня ірраціональних чисел на практиці виникає порівняно рідко. Ми можемо тоді записати відповідь у вигляді самої ступеня (ln 6) 3 або перетворити, якщо це можливо: 5 +7 \u003d 125 5.

Окремо слід вказати, що таке перша ступінь числа. Тут можна просто запам'ятати, що будь-яке число, зведена в першу ступінь, залишиться самим собою:

Це зрозуміло з записи .

Від заснування мірою це не залежить.

приклад 4

Так, (- 9) 1 \u003d - 9, а 7 3, зведена в першу ступінь, залишиться дорівнює 7 3.

Для зручності розберемо окремо три випадки: якщо показник ступеня - ціле позитивне число, якщо це нуль і якщо це ціле негативне число.

Спочатку випадку це те ж саме, що і зведення в натуральну ступінь: адже цілі позитивні числа належать до безлічі натуральних. Про те, як працювати з такими ступенями, ми вже розповіли вище.

Тепер подивимося, як правильно зводити в нульову ступінь. При підставі, яке відрізняється від нуля, це обчислення завжди дає на виході 1. Раніше ми вже пояснювали, що 0 -я ступінь a може бути визначена для будь-якого дійсного числа, які не рівного 0, і a 0 \u003d 1.

приклад 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0: 0 - не визначено.

У нас залишився тільки випадок ступеня з цілим від'ємним показником. Ми вже розбирали, що такі міри можна записати у вигляді дробу 1 a z, де а - будь-яке число, а z - цілий від'ємний показник. Ми бачимо, що знаменник цього дробу є не що інше, як звичайна ступінь з цілим позитивним показником, а її обчислювати ми вже навчилися. Наведемо приклади завдань.

приклад 6

Зведіть 2 до степеня - 3.

Рішення

Використовуючи визначення вище, запишемо: 2 - 3 \u003d 1 2 3

Підрахуємо знаменник цього дробу і отримаємо 8: 2 +3 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 8.

Тоді відповідь така: 2 - 3 \u003d 1 2 3 \u003d 1 8

приклад 7

Зведіть 1, 43 до степеня - 2.

Рішення

Переформулюємо: 1, 43 - 2 \u003d 1 (1, 43) 2

Обчислюємо квадрат в знаменнику: 1,43 · 1,43. Десяткові дроби можна помножити таким способом:

В результаті у нас вийшло (1, 43) - 2 \u003d 1 (1, 43) 2 \u003d 1 2, 0449. Цей результат нам залишилося записати у вигляді звичайного дробу, для чого необхідно помножити її на 10 тисяч (див. Матеріал про перетворення дробів).

Відповідь: (1, 43) - 2 \u003d 10000 20449

Окремий випадок - зведення числа в мінус перший ступінь. Значення такої міри дорівнює числу, зворотному початкового значення підстави: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

приклад 8

Приклад: 3 - 1 \u003d 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Як звести число в дробову ступінь

Для виконання такої операції нам потрібно згадати базове визначення ступеня з дробовим показником: a m n \u003d a m n при будь-якому позитивному a, загалом m і натуральному n.

визначення 2

Таким чином, обчислення дробової ступеня потрібно виконувати в два дії: зведення в цілу ступінь і знаходження кореня n -ної ступеня.

У нас є рівність a m n \u003d a m n, яке, з огляду на властивості коренів, зазвичай застосовується для вирішення завдань у вигляді a m n \u003d a n m. Це означає, що якщо ми зводимо число a в дробову ступінь m / n, то спочатку ми витягаємо корінь n -ної ступеня з а, потім зводимо результат в ступінь з цілим показником m.

Проілюструємо на прикладі.

приклад 9

Обчисліть 8 - 2 3.

Рішення

Спосіб 1. Відповідно до основного визначенням, ми можемо уявити це у вигляді: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Тепер підрахуємо ступінь під коренем і винесемо корінь третього ступеня з результату: 8 - 2 3 \u003d 1 64 3 \u003d 1 3 3 64 3 \u003d 1 3 3 4 3 3 \u003d 1 4

Спосіб 2. Перетворимо основне рівність: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Після цього винесемо корінь 8 3 - 2 \u003d 2 3 3 - 2 \u003d 2 - 2 і результат зведемо в квадрат: 2 - 2 \u003d 1 2 2 \u003d 1 4

Бачимо, що рішення ідентичні. Можна користуватися будь-яким вподобаним способом.

Бувають випадки, коли ступінь має показник, виражений змішаним числом або десятковим дробом. Для простоти обчислень його краще замінити звичайною дробом і вважати, як зазначено вище.

приклад 10

Зведіть 44, 89 в ступінь 2, 5.

Рішення

Перетворимо значення показника в звичайну дріб: 44, 89 2, 5 \u003d 44, 89 5 2.

А тепер виконуємо по порядку всі дії, зазначені вище: 44, 89 5 2 \u003d 44, 89 5 \u003d 44, 89 5 \u003d 4489 100 5 \u003d 4489 100 5 \u003d 67 2 10 2 5 \u003d 67 10 5 \u003d \u003d 1350125107 100000 \u003d 13 501, 25107

Відповідь: 13, 501, 25107.

Якщо в чисельнику і знаменнику дробового показника ступеня стоять великі числа, то обчислення таких ступенів с раціональними показниками - досить складна робота. Для неї зазвичай потрібно обчислювальна техніка.

Окремо зупинимося на ступеня з нульовим підставою і дробовим показником. Висловом виду 0 m n можна надати такий зміст: якщо m n\u003e 0, то 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0; якщо m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Як звести число в ірраціональну ступінь

Необхідність обчислити значення ступеня, в показнику якої стоїть ірраціональне число, виникає не так часто. На практиці зазвичай завдання обмежується обчисленням приблизного значення (до деякої кількості знаків після коми). Зазвичай це вважають на комп'ютері через складність таких підрахунків, тому детально зупинятися на цьому не будемо, зазначимо лише основні положення.

Якщо нам потрібно обчислити значення ступеня a з ірраціональним показником a, то ми беремо десяткове наближення показника і вважаємо за нього. Результат і буде наближеним відповіддю. Чим точніше узяте десяткове наближення, тим точніше відповідь. Покажемо на прикладі:

приклад 11

Обчисліть наближене значення 2 певною мірою 1,174367 ....

Рішення

Обмежимося десятковим наближенням a n \u003d 1, 17. Проведемо обчислення з використанням цього числа: 2 1, 17 ≈ 2, 250 116. Якщо ж взяти, наприклад, наближення a n \u003d 1, 1743, то відповідь буде трохи точніше 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256 833.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Піднесення до степеня - операція, тісно пов'язана з множенням, це операція - результат багаторазового множення будь-якого числа на саме себе. Зобразимо формулою: a1 * a2 * ... * an \u003d an.

Наприклад, а \u003d 2, n \u003d 3: 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8.

Взагалі спорудження до рівня часто використовується в різних формулах з математики та фізики. Ця функція має більш наукове призначення, ніж чотири основні: Додавання, Віднімання, Множення, Ділення.

Зведення числа в ступінь

Зведення числа в ступінь - операція не складна. Воно пов'язане з множенням подібно зв'язку множення і складання. Запис an - короткий запис n-ого кількість чисел «а» помножених один на одного.

Розглянь спорудження до рівня на найпростіших прикладах, переходячи до складних.

Наприклад, 42. 42 \u003d 4 * 4 \u003d 16. Чотири в квадраті (в другому ступені) одно шістнадцяти. Якщо вам не зрозуміло множення 4 * 4, то читайте нашу стати про примноження.

Розглянемо ще один приклад: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . П'ять в кубі (в третього ступеня) одно ста двадцяти п'яти.

Ще один приклад: 9 ^ 3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Дев'ять в кубі дорівнює семи сотням двадцяти дев'яти.

Формули зведення в ступінь

Щоб грамотно підносити до степеня потрібно пам'ятати і знати формули, зазначені нижче. В цьому немає нічого надприродного, головне зрозуміти суть і тоді вони не тільки запам'ятаються, а й здадуться легкими.

Зведення одночлена в ступінь

Що з себе являє одночлен? Цей твір чисел і змінних в будь-якій кількості. Наприклад, двох - одночлен. І ось саме про зведення в ступінь таких одночленним дана стаття.

Користуючись формулами зведення в ступінь обчислити зведення одночлена в ступінь буде не важко.

наприклад, (3x ^ 2y ^ 3) ^ 2 \u003d 3 ^ 2 * x ^ 2 * 2 * y ^ (3 * 2) \u003d 9x ^ 4y ^ 6; Якщо зводити одночлен до степеня, то в ступінь зводиться кожна складова одночлена.

Зводячи в ступінь змінну вже має ступінь, то ступеня перемножуються. Наприклад, (x ^ 2) ^ 3 \u003d x ^ (2 * 3) \u003d x ^ 6;

Піднесення до негативну ступінь

Негативна ступінь - зворотне число. Що таке зворотне число? Будь-якому числу Х зворотним буде 1 / X. Тобто Х-1 \u003d 1 / X. Це і є суть негативною ступеня.

Розглянемо приклад (3Y) ^ - 3:

(3Y) ^ - 3 \u003d 1 / (27Y ^ 3).

Чому так? Так як в ступеня є мінус, то просто переносимо в знаменник цей вислів, а потім зводимо в його в третю ступінь. Просто не так?

Піднесення до дробову ступінь

Почнемо розгляд питання на конкретному прикладі. 43/2. Що означає ступінь 3/2? 3 - чисельник, означає зведення числа (в даному випадку 4) в куб. Число 2 - знаменник, це витяг кореня другого ступеня з числа (в даному випадку 4).

Тоді отримуємо квадратний корінь з 43 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8. Відповідь: 8.

Отже, знаменник дробової ступеня може бути, як 3, так і 4 і до безкінечності будь-яким числом і це число визначає ступінь квадратного кореня, що витягується з заданого числа. Звичайно ж, знаменник не може бути рівним нулю.

Зведення кореня в ступінь

Якщо корінь зводиться до степеня, однаковою мірою самого кореня, то відповіддю буде подкоренное вираз. Наприклад, (√х) 2 \u003d х. І так в будь-якому випадку рівності ступеня кореня і ступеня зведення кореня.

Якщо (√x) ^ 4. Те (√x) ^ 4 \u003d x ^ 2. Щоб перевірити рішення переведемо вираз у вираз з дробової ступенем. Так як корінь квадратний, то знаменник дорівнює 2. А якщо корінь зводиться в четверту ступінь, то чисельник 4. Отримуємо 4/2 \u003d 2. Відповідь: x \u003d 2.

У будь-якому випадку кращий варіант просто перевести вираз у вираз з дробової ступенем. Якщо не буде скорочуватися дріб, значить така відповідь і буде, за умови, що корінь з заданого числа не виділяється.

Піднесення до степеня комплексного числа

Що таке комплексне число? Комплексне число - вираз, що має формулу a + b * i; a, b - дійсні числа. i - число, яке при зведення в квадрат дає число -1.

Розглянемо приклад. (2 + 3i) ^ 2.

(2 + 3i) ^ 2 \u003d 22 +2 * 2 * 3i + (3i) ^ 2 \u003d 4 + 12i ^ -9 \u003d -5 + 12i.

Запишіться на курс "Прискорюємо усний рахунок, НЕ ментальна арифметика", щоб навчитися швидко і правильно складати, віднімати, множити, ділити, зводити числа в квадрат і навіть отримувати коріння. За 30 днів ви навчитеся використовувати легкі прийоми для спрощення арифметичних операцій. У кожному уроці нові прийоми, зрозумілі приклади і корисні завдання.

Піднесення до степеня онлайн

За допомогою нашого калькулятора, Ви зможете порахувати зведення числа в ступінь:

Піднесення до степеня 7 клас

Піднесення до степеня починають проходити школярі тільки в сьомому класі.

Піднесення до степеня - операція, тісно пов'язана з множенням, це операція - результат багаторазового множення будь-якого числа на саме себе. Зобразимо формулою: a1 * a2 * ... * an \u003d an.

наприклад, а \u003d 2, n \u003d 3: 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8.

Приклади для вирішення:

Піднесення до степеня презентація

Презентація по зведенню в ступінь, розраховану на семикласників. Презентація може роз'яснити деякі незрозумілі моменти, але, ймовірно, таких моментів не буде завдяки нашій статті.

підсумок

Ми розглянули лише верхівку айсберга, щоб зрозуміти математику краще - записуйтеся на наш курс: Прискорюємо усний рахунок - НЕ ментальна арифметика.

З курсу ви не просто дізнаєтеся десятки прийомів для спрощеного та швидкого множення, додавання, множення, ділення, вираховування відсотків, але і відпрацюєте їх в спеціальних завданнях і розвиваючих іграх! Усний рахунок теж вимагає багато уваги і концентрації, які активно тренуються при вирішенні цікавих завдань.

Тема урока: Піднесення до степеня твори, приватного і ступеня

Тип уроку: Урок узагальнення і систематизації знань

Формуються результати:

Предметні. Закріпити навички застосування властивостей степеня з натуральним показником

Особистісні. Формувати вміння планувати свої дії відповідно до навчального завданням

Метапредметние. розвивати розуміння сутності алгебраїчних приписів і вміння діяти відповідно до запропонованого алгоритму

Плановані результати: Учні навчиться застосовувати властивості степеня з натуральним показником для обчислення значення виразів і перетворення виразів, що містять ступеня.

устаткування: картки, мультимедійний проектор, сигнальні картки для рефлексії.

Організаційна структура уроку:

1 . Організаційний момент.

Привіт, дорогі хлопці! Я дуже рада вас бачити. Почнемо урок математики

Які труднощі були при виконанні д / з?

Рефлексія.

Перед кожним учнем лежать гуртки трьох кольорів: червоний, зелений, синій.

Розкажіть мені про свій настрій за допомогою кольорових кружечків (червоний - радісне, я впевнений, що на уроці дізнаюся багато нового, впевнений у своїх знаннях.

зелений -спокійне; я впевнений у своїх знаннях.

синій - тривожне; я не впевнений в собі).

Я трохи підніму вам настрій словами Пуассона: «Життя прикрашається двома речами: заняттям математикою і її викладанням».

Давайте прикрашати наше життя!

2. Повідомлення теми і мети уроку.

Сьогодні ми продовжимо вивчення теми: «Піднесення до степеня твори приватного і ступеня»,

закріпимо все вивчені дії зі ступенями,

будемо вчитися розмірковувати, логічно мислити і доводити свою точку зору.

3. Бліц-опитування за правилами теми.

Як перемножити ступеня з однаковими підставами? Наведіть приклади.

Як поділити ступеня з однаковими підставами?

Чому дорівнює ступінь числа а, чи не рівного 0, з нульовим показником?

Як звести в ступінь твір?

Як звести ступінь в ступінь?

4. Усний рахунок.

Кому належать ці слова?

«Серед усіх наук, які відкривають людині шлях до пізнання законів природи, наймогутніша, найбільша наука - математика».

/ Софія Василівна Ковалевська /

Перша жінка - вчений-математик.

Ви дізнаєтеся, виконавши завдання усного рахунку.

К - Чому дорівнює сторона квадрата, якщо його площа дорівнює 49см 2. (7см)

Про - Квадрат якого числа дорівнює? ()

В - х 3 х 4 (х 7)

А - х 6 : х 2 (х 4)

Л - (х 3) 3 (х 9)

Е -
(m 3 )

В -
(m 8 )

С -
(m 10 )

К - (- 2) 3 (-8)

А - - 2 + 2 (-4)

Я - 2 0 (1)

5. Закріплення вивченого.

Ми повторили правила зведення твори в ступінь і ступеня в ступінь.

Тепер закріпимо на практичних завданнях.

Кілька людей займутьсядослідженням. (Слайд)

Робота в парах.

1) Доведіть, що квадрати протилежних чисел рівні.

2) Доведіть, що куби протилежних чисел протилежні.

3) Як зміниться площа квадрата, якщо його сторону збільшити в 2 рази; в 3 рази; в 10 разів; в n раз?

4) Як зміниться обсяг куба, якщо його ребро збільшити в 2 рази; в 3 рази; в 10 разів; в n раз?

6. Рефлексія: покажіть мені свій настрій.

7. Физминутку: «Згоден - не згоден»

Качніть головою, якщо згодні зі мною чи ні.

1) (у 2) 3 \u003d у 5 (немає)

2) (-3) 3 \u003d -27 (та)

3) (х) 2 \u003d х 2 (немає)

4) Графік функції у \u003d 1,3х проходить через початок координат. (Та)

8.

3 · () 2 – 0,5 2

а) -1; б) - 1 ; в 1 ; г) 1

2) Спростіть вираз:

а) m 10; б) m 4; в) m 2; г) m 8.

3) Розрахуйте:

А) 3; б) 9; в): г)

4) Який вираз треба підставити замість (*), щоб вийшло тотожність:

Х 8 : (*) \u003d Х 4

А) х 4; б) х 2; в) х 8; г) х 12

Перевірка тесту по слайду:

9. Пограємо «Знайди помилку!»

1) а 15 : а 3 \u003d а 5

2) -z · z 5 · z 0 \u003d - z 6 - вірно

3)
=

4) (у 4 у) 2 \u003d у 10 - вірно

Випишіть невірні завдання і вирішіть вірно.

10. Підсумок уроку.

Чого навчилися на уроці?

11. Д / з

№ 458, 457 (слайд)

Доповіді про С.В. Ковалевської.

12. Рефлексія.

Покажіть, з якими почуттями ви йдете з уроку?

Слайд: Удачі!

ФМ:

Самостійна робота. (Тест)

1) Знайдіть значення виразу:

3 · () 2 - 0,5 2

а) -1; б) - 1 ; в 1 ; г) 1

2) Спростіть вираз:

а) m 10; б) m 4; в) m 2; г) m 8.

3) Розрахуйте:

а) 3; б) 9; в): г)

4) Який вираз треба підставити замість (*), щоб вийшло тотожність:

х 8: (*) \u003d х 4

а) х 4; б) х 2; в) х 8; г) х 12

оцінка:

Самостійна робота. (Тест)

1) Знайдіть значення виразу:

3 · () 2 - 0,5 2

а) -1; б) - 1 ; в 1 ; г) 1

2) Спростіть вираз: