Інтеграл довгий логарифм висновок формули. Що таке логарифм? Рішення логарифмів. Приклади. Властивості логарифмів. Умови застосування рядів Тейлора

Таблиця первісних.

Властивості невизначеного інтеграла дозволяють за відомим диференціалу функції знайти її первісну. Таким чином, використовуючи рівності і можна з таблиці похідних основних елементарних функцій скласти таблицю первісних.

Нагадаємо таблицю похідних, Запишемо її ще в вигляді диференціалів.

Для прикладу знайдемо невизначений інтеграл статечної функції.

Використовуємо таблицю диференціалів , Отже, за властивостями невизначеного інтеграла маємо. Тому або в іншому записі

Знайдемо безліч первісних статечної функції при p = -1. маємо . Звертаємося до таблиці диференціалів для натурального логарифма , Отже, . Тому .

Сподіваюся, принцип Ви вловили.

Таблиця первісних (невизначених інтегралів).

Формули з лівого стовпця таблиці називають основними первісних. Формули з правого стовпчика основними не є, але дуже часто використовуються при знаходженні невизначених інтегралів. Їх можна перевірити диференціюванням.

Безпосереднє інтегрування.

Безпосереднє інтегрування базується на використанні властивостей невизначених інтегралів ,, Правила інтегрування і таблиці первісних.

Зазвичай, підінтегральний вираз спочатку потрібно злегка перетворити, щоб можна було використовувати таблицю основних інтегралів та властивості інтегралів.

Приклад.

знайти інтеграл .

Рішення.

Коефіцієнт 3 можна винести з-під знака інтеграла на підставі властивості:

Перетворимо підінтегральної функції (за формулами тригонометрії):

Так як інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів, то

Прийшов час звернутися до таблиці первісних:

відповідь:

.

Приклад.

Знайти безліч первісних функції

Рішення.

Звертаємося до таблиці первісних для показової функції: . Тобто, .

Якщо керуватися правилом інтегрування , То маємо:

Таким чином, таблиця первісних разом з властивостями і правилом інтегрування дозволяють знайти масу невизначених інтегралів. Однак, далеко не завжди можна перетворити підінтегральної функції, щоб використовувати таблицю первісних.

Наприклад, в таблиці первісних відсутня інтеграл від функції логарифма, функції арксинуса, арккосинуса, арктангенса і арккотангенса, функції тангенса і котангенс. Для їх знаходження застосовуються спеціальні методи. Але про це в наступному розділі:

Що таке логарифм?

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")

Що таке логарифм? Як вирішувати логарифми? Ці питання багатьох випускників вводять в ступор. Традиційно тема логарифмів вважається складною, незрозумілою і страшною. Особливо - рівняння з логарифмами.

Це абсолютно не так. Абсолютно! Не вірите? Добре. Зараз, за ​​якісь 10 - 20 хвилин ви:

1. Зрозумієте, що таке логарифм.

2. Навчіться вирішувати цілий клас показових рівнянь. Навіть якщо нічого про них не чули.

3. Навчіться обчислювати прості логарифми.

Причому для цього вам потрібно буде знати тільки таблицю множення, так як зводиться число в ступінь ...

Відчуваю, сумніваєтеся ви ... Ну ладно, засікайте час! Поїхали!

Для початку вирішіть в розумі ось таке рівняння:

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.

Таблиця первісних ( "інтегралів"). Таблиця інтегралів. Табличні невизначені інтеграли. (Найпростіші інтеграли і інтеграли з параметром). Формули інтегрування частинами. Формула Ньютона-Лейбніца.

Таблиця первісних ( "інтегралів"). Табличні невизначені інтеграли. (Найпростіші інтеграли і інтеграли з параметром).
Інтеграл статечної функції.	Інтеграл статечної функції.
Інтеграл, що зводиться до інтеграла статечної функції, якщо загнати х під знак діффференціала.
	Інтеграл експоненти, де a-постійне число.
Інтеграл складної експоненціальної функції.	Інтеграл експоненційної функції.
Інтеграл, що дорівнює натуральному логоріфму.	Інтеграл: "Довгий логарифм".
	Інтеграл: "Довгий логарифм".
Інтеграл: "Високий логарифм".	Інтеграл, де х в чисельнику заводиться під знак диференціала (константу під знаком можна як додавати, так і віднімати), в результаті схожий з інтегралом, рівним натуральному логоріфму.
Інтеграл: "Високий логарифм".
Інтеграл косинуса.	Інтеграл синуса.
Інтеграл, рівний тангенсу.	Інтеграл, рівний Котангенс.
Інтеграл, рівний як арксинуса, так і арккосинуса
Інтеграл, рівний як арксинуса, так і арккосинуса.	Інтеграл, рівний як арктангенс, так і арккотангенса.
Інтеграл рівний косеканс.	Інтеграл, рівний секансу.
Інтеграл, рівний арксекансу.	Інтеграл, рівний арккосекансу.
Інтеграл, рівний арксекансу.	Інтеграл, рівний арксекансу.
Інтеграл, рівний гіперболічному синусу.	Інтеграл, рівний гіперболічному косинусу.
Інтеграл, рівний гіперболічному синусу, де sinhx - гіперболічний синус в Ангийский версії.	Інтеграл, рівний гіперболічному косинусу, де sinhx - гіперболічний синус в Ангийский версії.
Інтеграл, рівний гіперболічному тангенсу.	Інтеграл, рівний гіперболічному Котангенс.
Інтеграл, рівний гіперболічному секансу.	Інтеграл, рівний гіперболічному косеканс.

Формули інтегрування частинами. Правила інтегрування.

Формули інтегрування частинами. Формула Ньютона-Лейбніца.Правіла інтегрування.
Інтегрування твори (функції) на постійну:
Інтегрування суми функцій:
невизначені інтеграли:
Формула інтегрування частинами певні інтеграли:
Формула Ньютона-Лейбніца певні інтеграли:	Де F (a), F (b) -Значення первісних в точках b і a відповідно.

Таблиця похідних. Табличні похідні. Похідна твори. Похідна приватного. Похідна складної функції.

Якщо x - незалежна змінна, то:

Таблиця похідних. Табличні похідні. "Таблиця похідний" -так, на жаль, саме так їх і шукають в інтернеті
	Похідна статечної функції
	похідна експоненти
Похідна складної експоненціальної функції	Похідна експоненційної функції
Похідна логарифмічної функції	Похідна натурального логарифма
	Похідна натурального логарифма функції
похідна синуса	похідна косинуса
похідна косеканс	похідна секанса
похідна арксинуса	похідна арккосинуса
похідна арксинуса	похідна арккосинуса
похідна тангенса	похідна котангенс
похідна арктангенса	похідна арккотангенса
похідна арктангенса	похідна арккотангенса
похідна арксеканса	похідна арккосеканса
похідна арксеканса	похідна арккосеканса
Похідна гіперболічного синуса Похідна гіперболічного синуса в англійській версії	Похідна гіперболічного косинуса Похідна гіперболічного косинуса в англійській версії
Похідна гіперболічного тангенса	Похідна гіперболічного котангенса
Похідна гіперболічного секанса	Похідна гіперболічного косеканс

Правила диференціювання. Похідна твори. Похідна приватного. Похідна складної функції.
Похідна твори (функції) на постійну:
Похідна суми (функцій):
Похідна твори (функцій):
Похідна приватного (функцій):
Похідна складної функції:

Властивості логарифмів. Основні формули логарифмів. Десяткові (lg) і натуральні логарифми (ln).

Основна логарифмічна тотожність
Покажемо як можна будь-яку функцію виду a b зробити експоненційної. Оскільки функція виду е х називається експоненціальною, то
Будь-яка функція виду a b може бути представлена ​​у вигляді ступеня десяти

Натуральний логарифм ln (логарифм за основою е = +2,718281828459045 ...) ln (e) = 1; ln (1) = 0

Ряд Тейлора. Розкладання функції в ряд Тейлора.

Виявляється, більшість практично зустрічаютьсяматематичних функцій можуть бути з будь-якою точністю представлені в околицях деякої точки у вигляді статечних рядів, що містять ступеня змінної в порядку зростання. Наприклад, в околиці точки х = 1:

При використанні рядів, званих рядами Тейлора,змішані функції, що містять, скажімо, алгебраїчні, тригонометричні і експоненціальні функції, можуть бути виражені у вигляді чисто алгебраїчних функцій. За допомогою рядів часто можна швидко здійснити диференціювання та інтегрування.

Ряд Тейлора в околиці точки a розраховує:

1) , Де f (x) - функція, що має при х = а похідні всіх порядків. R n - залишковий член в ряді Тейлора визначається виразом

2)

k-тий коефіцієнт (при х k) ряду визначається формулою

3) Окремим випадком ряду Тейлора є ряд Маклорена (= Макларена) (Розкладання відбувається навколо точки а = 0)

при a = 0

члени ряду визначаються по формулі

Умови застосування рядів Тейлора.

1. Для того, щоб функція f (x) могла бути розкладена в ряд Тейлора на інтервалі (-R; R) необхідно і достатньо, щоб залишковий член у формулі Тейлора (Маклорена (= Макларена)) для даної функції, наближався до нуля при k → ∞ на зазначеному інтервалі (-R; R).

2. Необхідно щоб існували похідні для даної функції в точці, в околиці якої ми збираємося будувати ряд Тейлора.

Властивості рядів Тейлора.

Якщо f є аналітична функція, то її ряд Тейлора в будь-якій точці а області визначення f сходиться до f в деякому околі а.

Існують нескінченно диференціюються, ряд Тейлора яких сходиться, але при цьому відрізняється від функції в будь-який околиці а. наприклад:

Ряди Тейлора застосовуються при апроксимації (наближення - науковий метод, що полягає в заміні одних об'єктів іншими, в тому чи іншому сенсі близькими до вихідних, але більш простими) функції многочленами. Зокрема, лінеаризація ((від linearis - лінійний), один з методів наближеного представлення замкнутих нелінійних систем, при якому дослідження нелінійної системи замінюється аналізом лінійної системи, в деякому сенсі еквівалентній вихідної.) Рівнянь відбувається шляхом розкладання в ряд Тейлора і відсікання всіх членів вище першого порядку.

Таким чином, практично будь-яку функцію можна представити у вигляді полінома із заданою точністю.

Приклади деяких поширених розкладів статечних функцій в ряди Маклорена (= Макларена, Тейлора в околицях точки 0) і Тейлора в околицях точки 1. Перші члени розкладів основних функцій в ряди Тейлора і Макларена.

Приклади деяких поширених розкладів статечних функцій в ряди Маклорена (= Макларена, Тейлора в околицях точки 0)

Приклади деяких поширених розкладів в ряди Тейлора в околицях точки 1