Що таке вузли сітки | Метод вузлів у задачі B5. Для сітки із плоских складних вузлів

Існує чудова формула, яка дозволяє вважати площа багатокутникана координатній сітці майже без помилок. Це навіть не формула, а справжня теорема. На перший погляд вона може здатися складною. Але досить вирішити пару завдань – і ви зрозумієте, наскільки це крута фішка. Тож уперед!

Для початку введемо нове визначення:

Вузол координатного стеку - це будь-яка точка, що лежить на перетині вертикальних та горизонтальних ліній цієї сітки.

Позначення:

На першому малюнку вузли взагалі не позначені. На другій позначено 4 вузли. Нарешті, на третій картинці позначено всі 16 вузлів.

Який стосунок це має до завдання B5? Справа в тому, що вершини багатокутника в таких задачах завждилежать у вузлах сітки. Як наслідок, для них працює така теорема:

Теорема. Розглянемо багатокутник на координатній сітці, вершини якого лежать у вузлах цієї сітки. Тоді площа багатокутника дорівнює:

де n – число вузлів усередині даного багатокутника, k – число вузлів, що лежать на його межі (граничних вузлів).

Як приклад розглянемо звичайний трикутник на координатній сітці та спробуємо відзначити внутрішні та граничні вузли.

На першому малюнку дано звичайний трикутник. На другій відзначено його внутрішні вузли, число яких дорівнює n = 10. На третій картинці відзначені вузли, що лежать на кордоні, їх всього k = 6.

Можливо, багатьом читачам незрозуміло, як рахувати числа n і k . Почніть із внутрішніх вузлів. Тут все очевидно: зафарбовуємо трикутник олівцем і дивимося, скільки вузлів потрапило під фарбування.

З граничними вузлами трохи складніше. Кордон багатокутника - замкнута ламанаяка перетинає координатну сітку в багатьох точках. Найпростіше відзначити якусь «стартову» точку, а потім оминути решту.

Кордонними вузлами будуть ті точки на ламаною, у яких одночасно перетинаються три лінії:

1. Власне, ламана;
2. Горизонтальна лінія координатної сітки;
3. Вертикальна лінія.

Подивимося, як усе це працює у справжніх завданнях.

Завдання. Знайдіть площу трикутника, якщо розмір клітини дорівнює 1 x 1 см:

Для початку відзначимо вузли, що лежать усередині трикутника, а також на його межі:

Виходить, що внутрішній вузол лише один: n = 1. Граничних вузлів - цілих шість: три збігаються з вершинами трикутникаа ще три лежать на сторонах. Разом k = 6.

Тепер вважаємо площу за формулою:

От і все! Завдання вирішено.

Завдання. Знайдіть площу чотирикутника, зображеного на картатому папері з розміром клітини 1 см на 1 см. Відповідь дайте у квадратних сантиметрах.

Знову відзначаємо внутрішні та граничні вузли. Внутрішні вузли всього n = 2. Граничні вузли: k = 7, з яких 4 є вершинами чотирикутника, а ще три лежать на сторонах.

Залишається підставити числа n і k формулу площі:

Зверніть увагу на останній приклад. Це завдання реально пропонували на діагностичній роботі у 2012 році. Якщо працювати за стандартною схемою, доведеться робити багато додаткових побудов. А шляхом вузлів все вирішується майже усно.

Важливе зауваження щодо площ

Але формула – це ще не все. Давайте трохи перепишемо формулу, привівши доданки у правій частині до спільного знаменника. Отримаємо:

Числа n і k – це кількість вузлів, вони завжди цілі. Значить, чисельник теж цілий. Ми ділимо його на 2, з чого випливає важливий факт:

Площа завжди виражається цілим числом чи дробом. Причому наприкінці дробу завжди варто п'ять десятих: 10,5; 17,5 і т.д.

Таким чином, площа завдання B5 завжди виражається цілим числом або дробом виду ***,5. Якщо відповідь виходить іншим, значить, десь припустилася помилки. Пам'ятайте про це, коли складатимете справжній ЄДІ з математики!

Легкими, ажурними, з чітким малюнком вузла сітки бувають лише тоді, коли виконані з рівної та гладкої нитки (без ворсу): це кордова волосінь, лляні нитки, сильно кручена шерсть. Зменшуючи або збільшуючи відстань між вузлами, сітками обплітають об'ємні предмети, точно повторюючи їхню форму. Але найчастіше одноманітну ненабридливу фактуру сітки використовують як фон для основного візерунка.

Для плетіння сіток існують певні правила:

• чим більше проміжки між нитками, навішеними на основу, тим сітка ажурніша;
• число ниток, навішених на основу, має бути кратним кількості ниток в одному вузлі;
• вузликові та робочі нитки вузлів, сплетених у шаховому порядку, змінюються місцями після кожного ряду, тому витрачаються рівномірно;
• число рядів підраховують з бокового краю сітки (згори вниз) по крайніх вузлах, враховуючи, що вузли непарних рядів розташовані біля краю, а парних - відсунуті вглиб;
• число навішених ниток залежить від мотиву візерунка (мотив - певна кількість вузлів, що ритмічно повторюються у візерунку).

Сітка із простих вузлів (рис. 164, а).

Кінці навішених ниток для плетива сітки повинні бути вдвічі довші, ніж висота виробу в готовому вигляді. Роботу можна вести праворуч ліворуч, і ліворуч праворуч.

4 нитки довжиною по 1 м закріпіть на основі на відстані 2-3 см одна від одної, склавши їх навпіл (вийшло 8 ниток).

1-й ряд - відступивши від основи на 1 см, зав'яжіть на кожній парі ниток по одному лівому простому вузлу (рис. 164 б) і приколіть їх шпилькою до полушки - вийшло 4 вузла (рис. 164, в).

2-й ряд - відкладіть крайню ліву нитку і на наступних 2 (по 1 нитки від вузлів 1-го ряду) зав'яжіть лівий простий вузол, відступивши вниз від 1-го ряду на 2-3 см. Далі на кожних наступних 2 нитках Плетіть вузли, розташовуючи їх на одному рівні з 1-м вузлом. Остання крайня права нитка залишилася вільною. Утворилося 3 вузли, які розташовані у шаховому порядку стосовно вузлів 1-го ряду.

Ці вузли також приколіть до подушки.

3-й ряд - введіть у роботу по 1 крайній вільній нитці і на 2-3 см нижче 2-го ряду зав'яжіть на кожній парі ниток по простому вузлу. Утворилося 4 вузли (як у 1-му ряду).

4-й ряд - плетіть як 2-й, намагаючись витримати рівні відстані між рядами.

Малюнок 164, 165 та 166:

Щоб сітка не ковзала на подушці, не забувайте приколювати вузли шпильками – це допоможе уникнути перекосу рядів. Слідкуйте, щоб вільні нитки по краях сітки мали однаковий розмір у всіх рядах.

Сітку можна плести по колу, якщо зв'язати кінці основи. І тут вільних ниток немає, оскільки всі нитки беруть участь у плетінні кожного ряду.

Сітка з переплетених простих вузлів (рис. 165 а).

У цьому узорі на кожних 2 нитках зав'язують 2 простих вузла, переплітаючи їх між собою: спочатку на лівій нитці зав'язують (не туго) правий простий вузол, потім праву нитку протягують у петлю незатягнутого вузла (рис. 165 б) і зав'язують лівий простий вузол одночасно затягуючи правий. Обидва вузли повинні переплестися симетрично (рис. 165, в) - таке переплетення називають "любовним вузлом".

Сітка із краваткових вузлів (рис. 166).

Число кінців навішених ниток кратне 2. Довжина їх повинна бути в 2 рази більша за висоту сітки.

Сітки із вірменських вузлів.

Розрахунок для набору ниток такий самий, як у попередній сітці, якщо вузли зав'язують на 2 нитках (рис. 167, а). Інший варіант візерунка (рис. 167 б): вузли в непарних рядах виконують на 3 нитках, у парних - на 2. Число кінців навішених ниток в цьому візерунку повинно ділитися на 3. Довжина їх неоднакова (мал. 168): короткі нитки рівні Висота сітки, довга повинна бути в 2 рази більше.

Схема 167-168:

Сітки з петельних вузлів.

Вони бувають ажурними або щільнішими залежно від кількості вузлів у кожній ланці: чим менше вузлів, тим сітка щільніша.

Сітка із одинарних правих вузлів

(Щільна - рис. 169). Число кінців навішених ниток кратно 2, їх довжина повинна бути в 2 рази більша за висоту сітки.

Схема 169-172:

Для сітки з потрійних односторонніх вузлів

(Всі 3 праві) - рис. 170, число кінців навішених ниток кратно 4. Довжина непарних ниток повинна дорівнювати висоті сітки, парних - в 2,5 рази довше.

Ажурну сітку з поєднання правих та лівих петельних вузлів

(Рис. 171) виконують з ниток, які в 2,5 рази довші за її висоти, їх число має ділитися на 2.

Ажурна сітка з квадратними осередками

(мал. 172) плетуть з ланцюжків "змійок", кожна з яких складається з 4-6 петельних вузлів. "Змійки" попарно з'єднують подвійним плоским вузлом. Число кінців навішених ниток для сітки кратно 4, їх довжина повинна бути в 3 рази більша за висоту сітки.

Сітки із вузлів "фріволіте".

Вузли в них зав'язують і одинарною ниткою (рис. 173 а), і здвоєною (рис. 173 б). Довжина навішених ниток у цих двох сітках повинна бути в 3 рази більша за висоту сітки. Число кінців для першої сітки має ділитися на 2, для другої – на 4.

Схема 173-176:

Сітка-мережа із вузлів "фріволіте" (рис. 174).

Її плетут, чергуючи праві і ліві вузли "фриволіте": у непарних рядах на кожних 2 нитках зав'язують по лівому вузлу, у парних - на тих же вузликових зав'язують праві вузли, використовуючи робочі нитки протилежного вузла попереднього ряду. І тут вузли розташовуються над шаховому порядку, а вертикальними рядами друг під одним. Число кінців навішених ниток кратно 2 плюс 1 для симетрії, вузликові нитки повинні дорівнювати довжині сітки, робочі - в 2,5 рази довші.

Сітки із репсових вузлів.

Їх плетуть, використовуючи діагональні та вертикальні репсові вузли.

При плетінні сітки з великими осередками (рис. 175 а) непарні ряди виконують на кожних 2 нитях, зав'язуючи їх діагональними вузлами зліва направо (права нитка в лівій руці - вузликова, ліва нитка в правій руці - робоча). У парних рядах функції ниток змінюються: вузликові попереднього ряду стають робітниками. Вузли виконують праворуч наліво.

Якщо вузли сітки мають впритул один до одного, то поверхня плетіння виходить дрібно-букльованою (рис. 175, б). Таку сітку називають твідовою та буклею. Число кінців навішених ниток має ділитися на 2, їх довжина повинна бути в 4 рази більша за висоту сітки.

Плетіння сітки з трикутними осередками із вертикальних репсових вузлів

(Рис. 176) схоже з плетінням горизонтальної бриди з вертикальних репсових вузлів (див. Рис. 38, в).

Кінці наважених ниток повинні бути такої ж довжини, що і сітка, їх число має ділитися на 2. Перед роботою всі нитки ділять по 2 - зто вузликові, і в 1-му ряду додатковою ниткою як робочої завнзивают на кожній парі ниток по одному вертикальному репсовому вузлу (справа ліворуч). У наступному ряду вузликові нитки перерозподіляють у шаховому порядку і обплітають кожну пару вузликових зліва направо. Робочу нитку для плетіння можна нарізати по мірі необхідності.

Сітки із плоских вузлів.

Вони дуже популярні у плетінні. Одні з них нагадують мережива, інші, дуже щільні, бувають із хитромудрим переплетенням ниток.

Щільну сітку ід одинарних плоских вузлів плетуть, зав'язуючи вузли впритул один до одного. Сітку можна зробити більш рідкісною та рельєфною (рис. 177), якщо кожна ланка плести з кількох вузлів (їх має бути достатньо, щоб піночка повернулася на ребро).

Число кінців навішених ниток для обох сіток кратне 4. Довжина кінців для першої сітки повинна бути в 3 рази, а для другої сітки в 5 разів більша за її висоту.

Схема 177-180:

Сітка з подвійних плоских вузлів - "шахматка" (рис. 178)

Bмає більш чітку фактуру, якщо перекладинки всіх вузлів розташовані з одного боку. Число кінців навішених ниток кратно 4. їх довжина повинна бути в 4 рази більша за висоту сітки.

Структура подвійного плоского вузла дає змогу плести сітку без навішування ниток на основу. Замість неї використовують шпильки: нитки складають навпіл, приколюють петлею вгору до подушки і кожних 4 їх зав'язують подвійні плоскі вузли (рис. 179).

Цей прийом використовують під час плетіння одягу, шалей, тобто. коли потрібний еластичний край.

Для плетіння сітки з парних подвійних плоских вузлів на 6 нитках

(Рис. 180) кінці навішених ниток повинні бути в 3 рази довші висоти сітки, а їх число має ділитися на 6. Спочатку зав'язують подвійний плоский вузол на середніх 4 нитках (2, 3, 4 і 5-а) і відводять у сторони робітники нитки (2-а та 5-а), потім зав'язують 2-й вузол на тих же вузликових (3-я та 4-а) вільними нитками (1-я та 6-а). Починаючи і закінчуючи наступний ряд, перші та останні 3 нитки відводять убік, середні нитки перерозподіляють на шістки.

За цим принципом плетуть сітку з подвійних плоских вузлів, з'єднаних по 3 (рис. 181). Число кінців навішених ниток кратно 8, їх довжина повинна бути в 2-3 рази більша за висоту сітки.

Сітку з ажурних колії (рис. 182) виконують на такій же кількості ниток, що й попередню, але нитки перерозподіляють після того, як на одних і тих же вузликових зав'яжуть по 2 групи з 3 вузлів з проміжком між групами 0,5 см.

Схема 181-184:

У сітці з подвійних плоских вузлів - "полотнянка"

(рис. 183) - вузли розташовують над шаховому порядку, а друг під одним. Число кінців навішених ниток кратно 4, їх довжина повинна бути в 3 рази більша за висоту сітки.

Сітку-мережу

(рис. 184) виконують, перехрещуючи робочі нитки у кожному ряду. Довжина робочих ниток більше вузликових в 4-6 разів, довжина вузликових дорівнює висоті сітки. Число кінців навішених на основу ниток має ділитися на 4. Стежте за тим, щоб переплетення робочих ниток скрізь було однаковим: права поверх лівої.

Для сітки з великими осередками із подвійних плоских вузлів

(рис. 185) число кінців навішених ниток кратно 6 плюс 4 нитки для симетрії візерунка, довжина вузликових ниток (2, 3, 5 і 6-а) повинна дорівнювати висоті сітки, робочі нитки (1-я і 4-я) в 2 рази довша.

Схема 185-188

Для сітки з потрійних плоских вузлів

(Рис. 186) число кінців навішених ниток кратно 4, їх довжина повинна бути в 4 рази більше висоти сітки.

Для сітки із плоских складних вузлів

(Рис. 187) число кінців навішених ниток кратно 6, їх довжина повинна бути в 4 рази більше висоти сітки.

Для сітки з "мушками"

(Рис. 188) число кінців навішених ниток має ділитися на 4, їх довжина повинна бути в 3,5-4 рази більше висоти сітки. "Мушка" плетуть з 4 ниток (1-а і 4-а - робітники, 2-а і 3-я - вузликові): спочатку зав'язують лівий одинарний плоский вузол, потім на 2 вузликових - правий простий вузол (мал. 189, а ) і під ними - подвійний плоский вузол з лівою перекладинкою (рис. 189 б). Якщо "мушки" виконують на товстих нитках, то замість подвійного плоского вузла зав'язують правий одинарний плоский вузол (рис. 189, в).

Схема 189-191

Сітка з китайських вузлів (рис. 190).

Число кінців навішених ниток кратно 2, їх довжина повинна бути в 3 рази більша за висоту сітки (прийом зав'язування вузла див. на рис. 139, а, б). Якщо навісити нитки, чергуючи їх за кольором, то непарні ряди сітки будуть із двоколірних вузлів, а парні – однотонними (рис. 191).

Сітка із вузлів "жозефіну" (рис. 192).

Її краще виконувати з пучків ниток чи одинарних, але товстих ниток. Число кінців навішених ниток кратно 2, їх довжина повинна бути в 4 рази більша за висоту сітки.

Схема 192-193:

Сітка із плетінок (рис. 193).

Вона досить складна за виконанням, тому що при плетінні важко витримувати однакові відстані між плетінками. Число кінців навішених ниток кратно 2, їх довжина повинна бути в 4-5 разів більша за висоту сітки.

Геометричні фрагменти сіток.

Ритм вузлів сітки легко перебудовується на геометричні фігури: шестигранники (рис. 194, а), трикутники (рис. 194,б), ромби (рис. 194, в).

Техніка плетіння їх дуже проста. Наприклад, якщо плетуть трикутник, то на початку і в кінці кожного нового ряду не пров'язують по 2 крайні нитки і тоді в ряду стане на 1 вузол менше, ніж у попередньому. Так плетуть, поки не залишиться лише 1 вузол. Для плетіння трикутника вказують розподіл вузлів у рядах цифрами, наприклад 3, 2, 1. Якщо виконують ромб, то починають з 1 вузла: на 4 середніх нитках зав'язують 1 подвійний плоский вузол, розподіляють під ним нитки по 2 і, додавши ще по 2 вільні з країв, зав'язують під 1-м вузлом 2 подвійних плоских у шаховому порядку. У наступних рядах також приєднують по

2 нитки ліворуч і праворуч, і в результаті полотно розширюється після кожного ряду на 1 вузол. Виконавши верхню половину ромба, плетуть нижню. Кількість вузлів у лавах: 1,2, 3,2, 1.

Приклад іншого розподілу вузлів у рядах 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 - за цим рахунком сплетені ромби з вірменських (рис. 195 а), діагональних репсових (рис. 195 б) і піонерських вузлів (рис. 195, в) та з плоских ланцюжків (рис. 195, г).

Схема 194 – 195

Вузли сітки гармонійно вишиковуються в горизонтальну.

(рис. 196, а) та вертикальну (рис. 196, б) зигзагоподібні лінії. Горизонтальну зручніше плести окремими кутами, а потім їх з'єднати вузлом, використовуючи нитки сусідніх фрагментів. Плетуть кути так: спочатку зав'язують верхній центральний вузол, потім нитки під ним ділять порівну (наприклад, 2) і направляють 2 вліво, 2 вправо. Під 1-м вузлом зліва зав'язують новий вузол, використовуючи 2 ліві нитки від 1-го вузла і 2 вільні зліва. Аналогічно зав'язують вузол праворуч. Далі плетуть ще по 1 вузлу справа і зліва, використовуючи 2 вільні нитки та 2 нитки від попереднього вузла. Так плетуть по діагоналі до потрібного розміру кута з вершиною зверху. З'єднавши 2 кути з вершинами, спрямованими в протилежні сторони, отримують ромб, середина якого заповнена вільними нитками (рис. 197, а). За таким же принципом плетуть шестигранник (рис. 197, б).

Схема 196-199

Більш щільна діагональна лінія із вузлів

(рис. 198) виходить, якщо для кожного нового вузла використовувати 3 нитки від попереднього вузла (1 вузликова, 2 робітники) та 1 вільну.

Прийом з'єднання сітки із фрагментами інших візерунків.

Одноманітне полотно сітки використовують для створення нових орнаментів. На сітках різні плетені фрагменти здаються більш рельєфними, опуклими та виразними. Як вплітають у сітку комбінації з ланцюжків, вузлів та інші елементи? Ознайомтеся з цим прийомом на прикладі сітки "шахівниці" в середині із загальним подвійним плоским вузлом (рис. 199,а).

Спочатку малюють ескіз нового візерунка та визначають розмір та розташування вузла. Як правило, його вписують у ромб із вільних робочих ниток (рис. 199, б). Сітку плетуть до вершини ромба, потім не зав'язують вузли там, де намічений ромб: спочатку 1 вузол (вершина ромба), в наступному ряду підлога ще 2 в шаховому порядку, потім 3 вузла і так продовжують, поки не вийде потрібна ширина ромба. Після цього зав'язують загальний вузол. Чим більше ниток залишено для вузла, тим ефектніше (зав'язуючи, не перекосіть його: центр вузла повинен збігатися з центром ромба). Розправте під вузлом нитки і доплете нижню половину ромба, поступово включаючи в роботу по 2 крайні нитки від загального вузла.