Що таке корінь з числа визначення. Арифметичний квадратний корінь (8 клас). Зведення в ступінь

• Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

Формули коренів. Властивості квадратних коренів.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")

У попередньому уроці ми розібралися, що таке квадратний корінь. Прийшла пора розібратися, які існують формули для коренів, які властивості коренів, І що з усім цим можна робити.

Формули коренів, властивості коренів і правила дій з корінням- це, по суті, одне і те ж. Формул для квадратних коренів на подив небагато. Що, безумовно, радує! Вірніше, понаписували всяких формул можна багато, але для практичної і впевненої роботи з корінням достатньо всього трьох. Все інше з цих трьох виникає. Хоча і в трьох формулах коренів багато блудять, так ...

Почнемо з найпростішої. Ось вона:

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.

У цій статті ми введемо поняття кореня з числа. Будемо діяти послідовно: почнемо з квадратного кореня, від нього перейдемо до опису кубічного кореня, після цього узагальнимо поняття кореня, визначивши корінь n-го ступеня. При цьому будемо вводити визначення, позначення, наводити приклади коренів і давати необхідні пояснення і коментарі.

Квадратний корінь, арифметичний квадратний корінь

Щоб зрозуміти визначення кореня з числа, і квадратного кореня зокрема, потрібно мати. У цьому пункті ми часто будемо стикатися з другої ступенем числа - квадратом числа.

Почнемо з визначення квадратного кореня.

визначення

Квадратний корінь з числа a- це число, квадрат якого дорівнює a.

Щоб привести приклади квадратних коренів, Візьмемо кілька чисел, наприклад, 5, -0,3, 0,3, 0, і зведемо їх в квадрат, отримаємо відповідно числа 25, 0,09, 0,09 і 0 (5 2 = 5 · 5 = 25, (-0,3) 2 = (- 0,3) · (-0,3) = 0,09, (0,3) 2 = 0,3 · 0,3 = 0,09 і 0 2 = 0 · 0 = 0). Тоді за даним вище визначенням число 5 є квадратним коренем з числа 25, числа -0,3 і 0,3 є квадратний корінь з 0,09, а 0 - це квадратний корінь з нуля.

Слід зазначити, що не для будь-якого числа a існує, квадрат якого дорівнює a. А саме, для будь-якого негативного числа a не існує жодного дійсного числа b, квадрат якого дорівнював би a. Справді, рівність a = b 2 неможливо для будь-якого негативного a, так як b 2 - невід'ємне число при будь-якому b. Таким чином, на множині дійсних чисел не існує квадратного кореня з негативного числа. Іншими словами, на множині дійсних чисел квадратний корінь з від'ємного числа не визначається і не має сенсу.

Звідси випливає логічне запитання: «А для будь-якого чи неотрицательного a існує квадратний корінь з a»? Відповідь - так. Обгрунтуванням цього факту можна вважати конструктивний спосіб, який використовується для знаходження значення квадратного кореня.

Тоді постає наступне логічне запитання: «Яке число всіх квадратних коренів з даного невід'ємного числа a - один, два, три, або ще більше»? Ось відповідь на нього: якщо a дорівнює нулю, то єдиним квадратним коренем з нуля є нуль; якщо ж a - деяке позитивне число, то кількість квадратних коренів з числа a дорівнює двом, причому коріння є. Обґрунтуємо це.

Почнемо з випадку a = 0. Спочатку покажемо, що нуль дійсно є квадратним коренем з нуля. Це випливає з очевидного рівності 0 2 = 0 · 0 = 0 і визначення квадратного кореня.

Тепер доведемо, що 0 - єдиний квадратний корінь з нуля. Скористаємося методом від противного. Припустимо, що існує певна кількість b, відмінне від нуля, яке є квадратним коренем з нуля. Тоді має виконуватися умова b 2 = 0, що неможливо, так як при будь-якому відмінному від нуля b значення виразу b 2 є позитивним. Ми прийшли до протиріччя. Це доводить, що 0 - єдиний квадратний корінь з нуля.

Переходимо до випадків, коли a - позитивне число. Вище ми сказали, що завжди існує квадратний корінь з будь-якого невід'ємного числа, нехай квадратним коренем з a є число b. Припустимо, що існує число c, яке теж є квадратним коренем з a. Тоді за визначенням квадратного кореня справедливі рівності b 2 = a і c 2 = a, з них випливає, що b 2 -c 2 = a-a = 0, але так як b 2 -c 2 = (b-c) · ( b + c), то (b-c) · (b + c) = 0. Отримане рівність в силу властивостей дій з дійсними числамиможливо лише тоді, коли b-c = 0 або b + c = 0. Таким чином, числа b і c рівні або протилежні.

Якщо ж припустити, що існує число d, що є ще одним квадратним коренем з числа a, то міркуваннями, аналогічними вже наведеним, доводиться, що d дорівнює числу b або числу c. Отже, число квадратних коренів з позитивного числа дорівнює двом, причому квадратні корені є протилежними числами.

Для зручності роботи з квадратними коренями негативний корінь «відділяється» від позитивного. З цією метою вводиться визначення арифметичного квадратного кореня.

визначення

Арифметичний квадратний корінь з невід'ємного числа a- це невід'ємне число, квадрат якого дорівнює a.

Для арифметичного квадратного кореня з числа a прийнято позначення. Знак називається знаком арифметичного квадратного кореня. Його також називають знаком радикала. Тому можна частину чути як «корінь», так і «радикал», що означає один і той же об'єкт.

Число під знаком арифметичного квадратного кореня називають подкоренное числом, А вираз під знаком кореня - подкоренное виразом, При цьому термін «підкореневе число» часто замінюють на «подкоренное вираз». Наприклад, у записі число 151 - це підкореневе число, а в запису вираз a є подкоренное виразом.

При читанні слово «арифметичний» часто опускається, наприклад, запис читають як «квадратний корінь з семи цілих двадцяти дев'яти сотих». Слово «арифметичний» вимовляють лише тоді, коли хочуть наголосити, що мова йде саме про позитивний квадратному корені з числа.

У світлі введеного позначення з визначення арифметичного квадратного кореня випливає, що і для будь-якого невід'ємного числа a.

Квадратні корені з позитивного числа a за допомогою знака арифметичного квадратного кореня записуються як і. Наприклад, квадратний корінь з числа 13 є і. Арифметичний квадратний корінь з нуля дорівнює нулю, тобто,. Для негативних чисел a записи ми не будемо надавати сенсу аж до вивчення комплексних чисел. Наприклад, позбавлені сенсу виразу і.

На базі визначення квадратного кореня доводяться властивості квадратних коренів, які часто застосовуються на практиці.

На закінчення цього пункту зауважимо, що квадратні корені з числа a є рішеннями виду x 2 = a щодо змінної x.

Кубічний корінь з числа

Визначення кубічного кореняз числа a дається аналогічно визначенню квадратного кореня. Тільки воно базується на понятті куба числа, а не квадрата.

визначення

Кубічним коренем з числа aназивається число, куб якого дорівнює a.

Наведемо приклади кубічних коренів. Для цього візьмемо кілька чисел, наприклад, 7, 0, -2/3, і зведемо їх в куб: 7 3 = 7 · 7 · 7 = 343, 0 3 = 0 · 0 · 0 = 0, . Тоді, грунтуючись на визначенні кубічного кореня, можна стверджувати, що число 7 - це кубічний корінь з 343, 0 є кубічний корінь з нуля, а -2/3 є кубічним коренем з -8/27.

Можна показати, що кубічний корінь з числа a, на відміну від квадратного кореня, завжди існує, причому не тільки для невід'ємних a, але і для будь-якого дійсного числа a. Для цього можна використовувати той же спосіб, про який ми згадували при вивченні квадратного кореня.

Більш того, існує тільки єдиний кубічний корінь з даного числа a. Доведемо останнє твердження. Для цього окремо розглянемо три випадки: a - позитивне число, a = 0 і a - негативне число.

Легко показати, що при позитивному a кубічний корінь з a не може бути ні негативним числом, ні нулем. Дійсно, нехай b є кубічним коренем з a, тоді за визначенням ми можемо записати рівність b 3 = a. Зрозуміло, що це рівність не може бути вірним при негативних b і при b = 0, так як в цих випадках b 3 = b · b · b буде негативним числом або нулем відповідно. Отже, кубічний корінь з позитивного числа a є позитивним числом.

Тепер припустимо, що крім числа b існує ще один кубічний корінь з числа a, позначимо його c. Тоді c 3 = a. Отже, b 3 -c 3 = a-a = 0, але b 3 -c 3 = (b-c) · (b 2 + b · c + c 2)(Це формула скороченого множення різницю кубів), Звідки (b-c) · (b 2 + b · c + c 2) = 0. Отримане рівність можливо тільки коли b-c = 0 або b 2 + b · c + c 2 = 0. З першої рівності маємо b = c, а друга рівність не має рішень, так як ліва його частина є позитивним числом для будь-яких позитивних чисел b і c як сума трьох позитивних доданків b 2, b · c і c 2. Цим доведено єдиність кубічного кореня з позитивного числа a.

При a = 0 кубічним коренем з числа a є тільки число нуль. Дійсно, якщо припустити, що існує число b, яке є відмінним від нуля кубічним коренем з нуля, то повинно виконуватися рівність b 3 = 0, яке можливе лише за b = 0.

Для негативних a можна навести міркування, аналогічні нагоди для позитивних a. По-перше, показуємо, що кубічний корінь з від'ємного числа не може бути дорівнює ні позитивному числу, ні нулю. По-друге, припускаємо, що існує другий кубічний корінь з від'ємного числа і показуємо, що він обов'язково буде збігатися з першим.

Отже, завжди існує кубічний корінь з будь-якого даного дійсного числа a, причому єдиний.

дамо визначення арифметичного кубічного кореня.

визначення

Арифметичним кубічним коренем з невід'ємного числа aназивається невід'ємне число, куб якого дорівнює a.

Арифметичний кубічний корінь з невід'ємного числа a позначається як, знак називається знаком арифметичного кубічного кореня, число 3 в цьому записі називається показником кореня. Число під знаком кореня - це підкореневе число, Вираз під знаком кореня - це подкоренное вираз.

Хоча арифметичний кубічний корінь визначається лише для невід'ємних чисел a, але зручно також використовувати записи, в яких під знаком арифметичного кубічного кореня знаходяться негативні числа. Розуміти їх будемо так:, де a - позитивне число. наприклад, .

Про властивості кубічних коренів ми поговоримо в загальній статті властивості коренів.

Обчислення значення кубічного кореня називається витяганням кубічного кореня, це дія розібрано в статті вилучення коренів: способи, приклади, рішення.

На закінчення цього пункту скажімо, що кубічний корінь з числа a є рішенням виду x 3 = a.

Корінь n-го ступеня, арифметичний корінь ступеня n

Узагальнимо поняття кореня з числа - введемо визначення кореня n-го ступенядля n.

визначення

Корінь n-го ступеня з числа a- це число, n-я ступінь якого дорівнює a.

З даного визначення зрозуміло, що корінь першого ступеня з числа a є саме число a, так як при вивченні ступеня з натуральним показником ми прийняли a 1 = a.

Вище ми розглянули окремі випадки кореня n-го ступеня при n = 2 і n = 3 - квадратний корінь і кубічний корінь. Тобто, квадратний корінь - це корінь другого ступеня, а кубічний корінь - корінь третього ступеня. Для вивчення коренів n-го ступеня при n = 4, 5, 6, ... їх зручно розділити на дві групи: перша група - коріння парних ступенів (тобто, при n = 4, 6, 8, ...), друга група - коріння непарних ступенів (тобто, при n = 5, 7, 9, ...). Це пов'язано з тим, що коріння парних ступенів аналогічні квадратному кореню, а коріння непарних ступенів - кубічному. Розберемося з ними по черзі.

Почнемо з коренів, ступенями яких є парні числа 4, 6, 8, ... Як ми вже сказали, вони аналогічні квадратному кореню з числа a. Тобто, корінь будь-парного степеня з числа a існує лише для неотрицательного a. Причому, якщо a = 0, то корінь з a єдиний і дорівнює нулю, а якщо a> 0, то існує два кореня парного степеня з числа a, причому вони є протилежними числами.

Обґрунтуємо останнє твердження. Нехай b - корінь парного степеня (позначимо її як 2 · m, де m - деяке натуральне число) з числа a. Припустимо, що існує число c - ще один корінь ступеня 2 · m з числа a. Тоді b 2 · m -c 2 · m = a-a = 0. Але ми знаємо виду b 2 · m -c 2 · m = (b-c) · (b + c) · (B 2 · m-2 + b 2 · m-4 · c 2 + b 2 · m-6 · c 4 + ... + c 2 · m-2), Тоді (b-c) · (b + c) · (B 2 · m-2 + b 2 · m-4 · c 2 + b 2 · m-6 · c 4 + ... + c 2 · m-2) = 0. З цієї рівності випливає, що b-c = 0, або b + c = 0, або b 2 · m-2 + b 2 · m-4 · c 2 + b 2 · m-6 · c 4 + ... + c 2 · m-2 = 0. Перші два рівності означають, що числа b і c рівні або b і c - протилежні. А остання рівність справедливо лише при b = c = 0, так як в його лівій частині знаходиться вираз, яке неотрицательно при будь-яких b і c як сума невід'ємних чисел.

Що стосується коренів n-го ступеня при непарних n, то вони аналогічні кубічному кореню. Тобто, корінь будь-непарного степеня з числа a існує для будь-якого дійсного числа a, причому для даного числа a він є єдиним.

Единственность кореня непарного степеня 2 · m + 1 з числа a доводиться по аналогії з доказом єдиності кубічного кореня з a. Тільки тут замість рівності a 3 -b 3 = (a-b) · (a 2 + a · b + c 2)використовується рівність виду b 2 · m + 1 -c 2 · m + 1 = (B-c) · (b 2 · m + b 2 · m-1 · c + b 2 · m-2 · c 2 + ... + c 2 · m). Вираз в останній скобці можна переписати як b 2 · m + c 2 · m + b · c · (b 2 · m-2 + c 2 · m-2 + b · c · (b 2 · m-4 + c 2 · m-4 + b · c · (... + (b 2 + c 2 + b · c)))). Наприклад, при m = 2 маємо b 5 -c 5 = (b-c) · (b 4 + b 3 · c + b 2 · c 2 + b · c 3 + c 4) = (B-c) · (b 4 + c 4 + b · c · (b 2 + c 2 + b · c)). Коли a і b обидва позитивні або обидва негативні їх твір є позитивним числом, тоді вираз b 2 + c 2 + b · c, що знаходиться в дужках найвищого ступеня вкладеності, є позитивним як сума позитивних чисел. Тепер, просуваючись послідовно до виразів в дужках попередніх ступенів вкладеності, переконуємося, що вони також є позитивними як суми позитивних чисел. У підсумку отримуємо, що рівність b 2 · m + 1 -c 2 · m + 1 = (B-c) · (b 2 · m + b 2 · m-1 · c + b 2 · m-2 · c 2 + ... + c 2 · m) = 0можливо тільки тоді, коли b-c = 0, тобто, коли число b дорівнює числу c.

Прийшов час розібратися з позначеннями коренів n-го ступеня. Для цього дається визначення арифметичного кореня n-го ступеня.

визначення

Арифметичним коренем n-го ступеня з невід'ємного числа aназивається невід'ємне число, n-я ступінь якого дорівнює a.

Арифметичний корінь n-го ступеня з невід'ємного числа a позначається як. Число a називають подкоренное числом, а число n - показником кореня. Для прикладу розглянемо запис, тут подкоренное числом є 125,36, а показник кореня дорівнює 5.

Зауважимо, що при n = 2 ми маємо справу з квадратним коренем з числа, в цьому випадку показник кореня прийнято не записувати, тобто, записи і означають одне і те ж число.

Незважаючи на те, що визначення арифметичного кореня n-го ступеня, а також його позначення введені для невід'ємних підкореневих чисел, ми з метою зручності для непарних показників кореня і негативних підкореневих чисел будемо використовувати записи виду, які будемо розуміти як. наприклад, і .

Коріння ж парного степеня з негативними подкоренного числами ми не будемо надавати ніякого сенсу (до початку вивчення комплексних чисел). Наприклад, вирази і не мають сенсу.

На підставі даного вище визначення обґрунтовуються властивості коренів n-го ступеня, які мають широке практичне застосування.

На закінчення варто сказати, що коріння n-го ступеня є корінням рівнянь виду x n = a.

Практично важливі результати

Перший практично важливий результат: .

Цей результат по суті відображає визначення кореня парного степеня. Знак ⇔ означає еквівалентність. Тобто, наведену запис варто розуміти так: якщо, то, і якщо, то. А тепер те ж саме, але словами: якщо b є корінь парного степеня 2 · k з числа a, то b - це невід'ємне число, яке задовольняє рівності b 2 · k = a, і назад, якщо b - невід'ємне число, яке задовольняє рівності b 2 · k = a, то b є корінь парного степеня 2 · k з числа a.

З першої рівності системи зрозуміло, що число a - невід'ємне, так як воно дорівнює невід'ємне число b, зведеному в парну ступінь 2 · k.

Таким чином, в школі розглядають коріння парних ступенів тільки з невід'ємних чисел, розуміють їх як , А коріння парних ступенів з негативних чисел не надають ніякого сенсу.

Другий практично важливий результат: .

Він по суті об'єднує визначення арифметичного кореня непарного степеня і визначення кореня непарного степеня з від'ємного числа. Пояснимо це.

З визначень, даних в попередніх пунктах, зрозуміло, що надають сенс коріння непарних ступенів з будь-яких дійсних чисел, не тільки невід'ємних, але і негативних. Для невід'ємних чисел b вважають, що . З останньої системи випливає умова a≥0. Для негативних чисел -a (при цьому a - позитивне число) приймають . Зрозуміло, що при такому визначенні - негативне число, так як воно дорівнює, а є позитивне число. Також зрозуміло, що зведення в ступінь 2 · k + 1 кореня дає підкореневе число -a. Дійсно, з огляду на таке визначення і властивості ступенів, маємо

З цього робимо висновок, що корінь непарного степеня 2 · k + 1 з негативного числа -a є таке негативне число b, ступінь 2 · k + 1 якого дорівнює -a, в буквеному вигляді . Об'єднуючи результати для a≥0 і для -a<0 , приходим к следующему выводу: корень нечетной степени 2·k+1 из произвольного действительного числа a есть число b (оно может быть как неотрицательным, так и отрицательным), которое при возведении в степень 2·k+1 равно a , то есть .

Таким чином, в школі розглядають коріння непарних ступенів з будь-яких дійсних чисел і розуміють їх так: .

На закінчення ще раз запишемо два цікавлять нас результату: і .

Чоловік. корешек, шечек, Кореньок · зменшить. корнішка презирливе, корніща збільшувальне, підземна частина будь-якого рослини. У дерев розрізняють становий і бічні корені, а при них корінці і дрібні мочки. вбирають вологу. Корінь буває: цибулинні, ... ... Тлумачний словник Даля

Корінь, рн, мн. рні, рней, чоловік. 1. Підземна частина рослини, що служить для зміцнення його в грунті і всмоктування з неї води і поживних речовин. Головний, бічний, придаткових к. Повітряне коріння (у ліан і недо яких інших растенійвисоко над землею ... Тлумачний словник Ожегова

- (radix), один з основних вегетативних органів листостеблових рослин, службовець для прикріплення до субстрату, поглинання з нього води і питати. речовин. Филогенетически К. виник пізніше, ніж стебло, і, ймовірно, походить від коренеподібні ... ... Біологічний енциклопедичний словник

Див. Початок, причина, походження виривати з коренем, пускати коріння ... Словник російських синонімів і схожих за змістом висловів. під. ред. Н. Абрамова, М .: Російські словники, 1999. корінь початок, причина, походження; радикал; корінець, стрижень, ... ... Словник синонімів

корінь- Корінь, рня, м. 1. Друг, приятель. 2. Чоловічий статевий орган Маленький чоловік зростає в корінь корінь Міцний корінь старий, вірний друг. 1. можл. контамінація з кореш ... Словник російської арго

У математіке..1) корінь ступеня n з числа a всяке число x (позначається, a називається подкоренное виразом), n я ступінь якого дорівнює a (). Дія знаходження кореня називається витяганням корня2)] Корінь рівняння число, яке після ... ...

Первинний корінь зберігається у багатьох хвойних на все життя і розвивається у вигляді потужного стрижневого кореня, від якого відходять бічні. Рідше, як у деяких сосен, первинний корінь недорозвиватися і замінюється бічними. Крім довгих ... ... біологічна енциклопедія

- (математичне), 1) Корінь ступеня n з числа a Число, n я ступінь якого дорівнює заданому числу a (позначається; a називається подкоренное виразом). Дія знаходження кореня називається витяганням кореня. 2) Рішення рівняння значення ... ... сучасна енциклопедія

У біології один з основних органів рослин, службовець для зміцнення в грунті, поглинання води, мінеральних речовин, синтезу органічних сполук, а також для виділення деяких продуктів обміну. Корінь може бути місцем зберігання запасних ... ... Великий Енциклопедичний словник

У лінгвістиці непохідне (проста) основа слова, що не включає ніяких афіксів. Корінь лексичне ядро ​​слова, т. Е. Несе його основний речовий значення ... Великий Енциклопедичний словник

книги

• Корінь усіх зол, Вільямс Р .. Дональд Бейлі - не важко підліток, а просто-напросто нещасливий. Зробивши непоправної вчинок, він втратив довіру друзів, любов матері і власний спокій. Що йому залишилося? Бігти від ...
• Корінь проблеми, Генрі Р. Брандт. Автор цієї книги пропонує дуже просту Біблійну істину позбавлення від усіляких душевних розладів: усвідомлення гріха, як першопричини всіх проблем і каяття в вчинених гріхах. В ...

Глянув ще раз на табличку ... І, поїхали!

Почнемо з простенького:

Мінуууточку. це, а це значить, що ми можемо записати ось так:

Засвоїв? Ось тобі наступний:

Коріння з вийшов чисел рівно не витягаються? Не біда - ось тобі такі приклади:

А що, якщо множників не два, а більше? Теж саме! Формула множення коренів працює з будь-якою кількістю множників:

Тепер повністю самостійно:

відповіді:Молодець! Погодься, все дуже легко, головне знати таблицю множення!

розподіл коренів

З множенням коренів розібралися, тепер приступимо до властивості ділення.

Нагадаю, що формула в загальному вигляді виглядає так:

А значить це, що корінь з приватного дорівнює приватному коренів.

Ну що, давай розбиратися на прикладах:

Ось і вся наука. А ось такий приклад:

Все не так гладко, як в першому прикладі, але, як бачиш, нічого складного немає.

А що, якщо попадеться такий вислів:

Треба просто застосувати формулу в зворотному напрямку:

А ось такий прімерчік:

Ще ти можеш зустріти такий вислів:

Все те ж саме, тільки тут треба згадати, як переводити дробу (якщо не пам'ятаєш, зазирни в тему і повертайся!). Згадав? Тепер вирішуємо!

Впевнена, що ти з усім, усім впорався, тепер спробуємо зводити коріння в ступеня.

Зведення в ступінь

А що ж буде, якщо квадратний корінь звести в квадрат? Все просто, згадаємо сенс квадратного кореня з числа - це число, квадратний корінь якого дорівнює.

Так ось, якщо ми будуємо число, квадратний корінь якого дорівнює, в квадрат, то що отримуємо?

Ну звичайно, !

Розглянемо на прикладах:

Все просто, правда? А якщо корінь буде в іншій мірі? Нічого страшного!

Дотримуйся тієї ж логіки і пам'ятай властивості і можливі дії зі ступенями.

Почитай теорію по темі «» і тобі все стане гранично ясно.

Ось, наприклад, такий вислів:

У цьому прикладі ступінь парна, а якщо вона буде непарна? Знову ж, застосуй властивості ступеня і розклади все на множники:

З цим начебто все ясно, а як витягти корінь з числа в ступені? Ось, наприклад, таке:

Досить просто, правда? А якщо ступінь більше двох? Прямуємо тією ж логікою, використовуючи властивості ступенів:

Ну як, все зрозуміло? Тоді виріши самостійно приклади:

А ось і відповіді:

Внесення під знак кореня

Що ми тільки не навчилися робити з корінням! Залишилося тільки потренуватися вносити число під знак кореня!

Це зовсім легко!

Припустимо, у нас записано число

Що ми можемо з ним зробити? Ну звичайно, заховати трійку під коренем, пам'ятаючи при цьому, що трійка - корінь квадратний з!

Навіщо нам це потрібно? Так просто, щоб розширити наші можливості при вирішенні прикладів:

Як тобі така властивість коренів? Істотно спрощує життя? Як на мене, так точно! тільки треба пам'ятати, що вносити під знак квадратного кореня ми можемо тільки позитивні числа.

Виріши самостійно ось цей приклад -
Впорався? Давай дивитися, що у тебе повинно вийти:

Молодець! У тебе вийшло внести число під знак кореня! Перейдемо до не менш важливого - розглянемо, як порівнювати числа, що містять квадратний корінь!

порівняння коренів

Навіщо нам вчитися порівнювати числа, що містять квадратний корінь?

Дуже просто. Часто, в великих і дліііінних виразах, що зустрічаються на іспиті, ми отримуємо ірраціональний відповідь (пам'ятаєш, що це таке? Ми з тобою сьогодні про це вже говорили!)

Отримані відповіді нам необхідно розташувати на координатної прямої, наприклад, щоб визначити, який інтервал підходить для вирішення рівняння. І ось тут виникає проблема: калькулятора на іспиті немає, а без нього як уявити яке число більше, а яке менше? Ото ж бо й воно!

Наприклад, визнач, що більше: чи?

Відразу і не скажеш. Ну що, будемо використовувати розібраним властивістю внесення числа під знак кореня?

Тоді вперед:

Ну і, очевидно, що чим більше число під знаком кореня, тим більше сам корінь!

Тобто якщо, значить,.

Звідси твердо робимо висновок, що. І ніхто не переконає нас в зворотному!

Витяг коренів з великих чисел

До цього ми вносили множник під знак кореня, а як його винести? Треба просто розкласти його на множники і витягти те, що витягується!

Можна було піти іншим шляхом і розкласти на інші множники:

Непогано, так? Будь-який з цих підходів вірний, вирішуй як тобі зручно.

Розкладання на множники дуже стане в нагоді при вирішенні таких нестандартних завдань, як ось це:

Чи не лякаємося, а діємо! Розкладемо кожен множник під коренем на окремі множники:

А тепер спробуй самостійно (без калькулятора! Його на іспиті не буде):

Хіба це кінець? Чи не зупиняємося на півдорозі!

Ось і все, не так все і страшно, правда?

Вийшло? Молодець, все правильно!

А тепер спробуй ось такий приклад вирішити:

А приклад-то - міцний горішок, так відразу і не розберешся, як до нього підступитися. Але нам він, звичайно, по зубам.

Ну що, почнемо розкладати на множники? Відразу зауважимо, що можна поділити число на (згадуємо ознаки подільності):

А тепер, спробуй сам (знову ж таки, без калькулятора!):

Ну що, вийшло? Молодець, все правильно!

Підведемо підсумки

1. Квадратним коренем (арифметичним квадратним коренем) з невід'ємного числа називається таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює.
   .
2. Якщо ми просто витягаємо квадратний корінь з чого-небудь, то завжди отримуємо один невід'ємний результат.
3. Властивості арифметичного кореня:
4. При порівнянні квадратних коренів необхідно пам'ятати, що чим більше число під знаком кореня, тим більше сам корінь.

Як тобі квадратний корінь? Все зрозуміло?

Ми постаралися пояснити тобі без води все що потрібно знати на іспиті про квадратний корінь.

Тепер твоя черга. Напиши нам складна це для тебе тема чи ні.

Дізнався ти щось нове або все було і так ясно.

Пиши в коментарях і удачі на іспитах!