Як складати коріння з однаковим показником? Квадратний корінь. Дії з квадратним корінням. Модуль. Порівняння квадратних коренів. Дії з корінням: основи

Квадратним коренем у складі x називають число a, яке за множенні саме він дає число x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Як і над будь-якими числами, над квадратним корінням можна виконувати арифметичні операції додавання і віднімання.

Інструкція

1. По-перше, при складанні квадратного корінняспробуйте витягти це коріння. Це буде допустимо, якщо числа під знаком кореня є повними квадратами. Скажімо, нехай задано вираз ?4 + ?9. Перше число 4 – це квадрат числа 2. Друге число 9 – це квадрат числа 3. Таким чином, виходить, що: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Якщо під знаком кореня немає повних квадратів, то спробуйте перенести з під знака кореня множник числа. Скажімо, нехай дано вираз ?24 + ?54. Розкладіть числа на множники: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. У числі 24 є множник 4, який можна перенести з під символу квадратного кореня. У числі 54 – множник 9. Отже, виходить що: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6. У цьому прикладі в результаті винесення множника з під знака кореня вдалося спростити заданий вираз.

3. Нехай сума 2-х квадратних коренів є знаменником дробу, скажімо, A/(?a+?b). І нехай перед вами стоїть завдання «позбутися ірраціональності у знаменнику». Тоді можна користуватися подальшим способом. Помножте чисельник і знаменник дробу на вираз a – b. Таким чином у знаменнику вийде формула скороченого множення: (?a +? b) * (?a -? b) = a - b. За аналогією, якщо в знаменнику дана різниця коренів: ?a - ?b, то чисельник і знаменник дробу потрібно помножити на вираз?a + ?b. Наприклад, нехай даний дроб 4 / (? 3 + ? 5) = 4 * (? 3 - ? 5) / ((? 3 + ? 5) * (? 3 - ? 5)) = 4 * (? 3 - ? 5) / (-2) = 2 * (? 5 - ? 3).

4. Розгляньте більше складний приклад позбавлення від ірраціональності в знаменнику. Нехай дано дріб 12 / (? 2 +? 3 +? 5). Потрібно помножити чисельник і знаменник дробу на вираз? 2 + ? 3 - ? + ?5) * (? 2 + ? 3 - ? 5)) = 12 * (? 2 + ? 3 - ? 5) / (2 * ? 6) = ? 6 * (? 2 + ? 3 - ? 5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 - ?30.

5. І нарешті, якщо вам потрібно лише зразкове значення, то можна порахувати значення квадратних коренів на калькуляторі. Обчисліть значення окремо для всього числа та запишіть з потрібною точністю (скажімо, два знаки пізніше за кому). А після цього здійсніть необхідні арифметичні операції, як з звичайними числами. Скажімо, нехай потрібно дізнатися зразкове значення виразу? 7 +? 5? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Відео на тему

Зверніть увагу!
Квадратне коріння у жодному разі неможливо складати як примітивні числа, тобто. ?3 +? 2? ?5!

Корисна порада
Якщо ви розкладаєте число на множники, щоб перенести квадрат з під знака кореня, то здійсніть зворотну перевірку - перемножте всі множники, що виходять, і отримаєте початкове число.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно не дуже. »
І для тих, хто дуже навіть. »)

У попередньому уроці ми розібралися, що таке квадратне коріння. Настав час розібратися, які існують формули для коріння, які властивості коренів, і що з цим можна робити.

Формули коренів, властивості коренів та правила дій з корінням— це, по суті, те саме. Формул для квадратного коріння на подив небагато. Що, безумовно, тішить! Точніше, понаписати будь-яких формул можна багато, але для практичної та впевненої роботи з корінням достатньо всього трьох. Решта з цих трьох відбувається. Хоча й у трьох формулах коріння багато хто блукає, так.

Почнемо з найпростішої. Ось вона:

Нагадую (з попереднього уроку): а та b — невід'ємні числа! Інакше формула сенсу немає.

Це властивість коренів , як бачите просте, коротке та нешкідливе. Але за допомогою цієї формули коріння можна робити масу корисних речей! Розберемо на прикладахусі ці корисні речі.

Корисна річ перша. Ця формула дозволяє нам множити коріння.

Як множити коріння?

Так, дуже просто. Просто за формулою. Наприклад:

Здавалося б, помножили і що? Чи багато радості? Згоден, небагато. А ось як вам такий приклад?

З множників коріння не витягуються. А з результату - чудово! Вже краще, правда? Про всяк випадок повідомлю, що множників може бути скільки завгодно. Формула множення коренів все одно працює. Наприклад:

Так, з множенням все ясно, навіщо це потрібно властивість коренів- теж зрозуміло.

Корисна річ друга. Внесення числа під знак кореня.

Як внести число під корінь?

Припустимо, що в нас є такий вираз:

Чи можна сховати двійку всередину кореня? Легко! Якщо із двійки зробити корінь, спрацює формула множення коренів. А як із двійки корінь зробити? Та теж не питання! Двійка – це корінь квадратний із чотирьох!

Корінь, між іншим, можна зробити з будь-якого негативного числа! Це буде корінь квадратний із квадрата цього числа. 3 — корінь із 9. 8 — корінь із 64. 11 — корінь із 121. Ну, і так далі.

Звичайно, розписувати так докладно потреби немає. Хіба що для початку. Досить збагнути, будь-яке неотрицательное число, помножене на корінь, можна внести під корінь. Але – не забувайте! — під корінням це число стане квадратомсамого себе. Цю дію - внесення числа під корінь - можна назвати множенням числа на корінь. Загалом можна записати:

Процедура проста, як бачите. А навіщо вона потрібна?

Як і будь-яке перетворення, ця процедура розширює наші можливості. Можливості перетворити жорстоке та незручне вираження на м'яке та пухнасте). Ось вам простенький приклад:

Як бачите, властивість коренів,що дозволяє вносити множник під знак кореня, цілком підходить для спрощення.

Крім того, внесення множника під корінь дозволяє легко і просто порівнювати значення різних коренів. Без жодного їх обчислення та калькулятора! Третя корисна річ.

Як порівнювати коріння?

Це вміння дуже важливе у солідних завданнях, при розкритті модулів та інших крутих речах.

Порівняйте ці висловлювання. Яка з них більша? Без калькулятора! Із калькулятором кожен. е-е-е. коротше, кожен впорається!)

Так одразу й не скажеш. А якщо внести числа під знак кореня?

Запам'ятаємо (раптом, не знали?): якщо число під знаком кореня більше, то й сам корінь більше! Звідси відразу правильна відповідь, без будь-яких складних обчислень та розрахунків:

Здорово, так? Але це ще не все! Згадаємо, що це формули працюють як зліва направо, і справа наліво. Ми поки що формулу множення коренів зліва направо вживали. Давайте запустимо цю властивість коріння навпаки, праворуч наліво. Ось так:

І яка різниця? Хіба це щось дає? Звичайно! Нині самі побачите.

Припустимо, нам потрібно витягти (без калькулятора!) Корінь квадратний з числа 6561. Дехто на цьому етапі і впаде в нерівній боротьбі із завданням. Але ми наполегливі, ми не здаємося! Корисна річ четверта.

Як видобувати коріння з великих чисел?

Згадуємо формулу вилучення коренів із твору. Ті, що я трохи вище написав. Але де у нас твір! У нас величезна кількість 6561 і все. Так, твори тут нема. Але якщо нам треба – ми його зробимо! Розкладемо це число на множники. Маємо право.

Спочатку зрозуміємо, на що ділиться це число рівно? Що, не знаєте! Ознаки подільності забули! Даремно. Ідіть до Особливого розділу 555, тема «Дроби», там вони є. На 3 та 9 ділиться це число. Бо сума цифр (6+5+6+1=18) ділиться на ці числа. Це одна з ознак подільності. На три нам ділити ні до чого (зараз зрозумієте, чому), а ось на 9 поділимо. Хоча б і куточком. Отримаємо 729. Ось ми і знайшли два множники! Перший — дев'ятка (це ми самі обрали), а другий — 729 (такий вийшов). Вже можна записати:

Уловлюєте ідею? З числом 729 надійдемо аналогічно. Воно теж ділиться на 3 та 9. На 3 знову не ділимо, ділимо на 9. Отримуємо 81. А це число ми знаємо! Записуємо:

Все вийшло легко та елегантно! Корінь довелося по шматочкам витягати, та й добре. Так можна чинити з будь-якими великими числами. Розкладати їх на множники, і вперед!

До речі, а чому на три ділити не треба було, здогадалися? Та тому, що корінь із трьох рівно не витягується! Має сенс розкладати на такі множники, щоб хоч із одного коріння добре витягувалося. Це 4, 9, 16 ну, і таке інше. Ділить своє величезне число на ці числа по черзі, дивишся, і пощастить!

Але не обов'язково. Може й не поталанити. Скажімо, число 432 при розкладанні на множники та використанні формули коренів для твору дасть такий результат:

Ну і добре. Все одно ми спростили вираз. У математиці прийнято залишати під коренем найменше число можливих. У процесі вирішення все залежить від прикладу (може і без спрощення все зменшується), а ось у відповіді треба дати результат, який вже подальшому спрощенню не піддається.

До речі, знаєте, що ми з вами зараз з коренем із 432 зробили?

Ми винесли множники з-під знаку кореня ! Ось так називається ця операція. А то потрапить завдання — « винести множник з-під знака кореня» а мужики-то і не знають.) Ось вам ще одне застосування властивості коренів.Корисна річ п'ята.

Як винести множник з-під кореня?

Легко. Розкласти підкорене вираз на множники та витягти коріння, яке витягується. Дивимося:

Нічого надприродного. Важливо правильно вибрати множники. Тут ми розклали 72 як 36.2. І все вийшло вдало. А могли розкласти інакше: 72 = 6 · 12. І що!? Ні з шести, ні з 12 корінь не витягується. Що робити?!

Нічого страшного. Або пошукати інші варіанти розкладання, або розкладати все до упору! Ось так:

Як бачимо, все вийшло. Це, до речі, не найшвидший, але найнадійніший спосіб. Розкладати число на найменші множники, а потім збирати в купки однакові. Спосіб успішно застосовується і при перемноженні незручного коріння. Наприклад, треба обчислити:

Перемножувати все - божевільне число вийде! І як потім із нього корінь витягувати?! Знову на множники розкладати? Ні, зайва робота нам ні до чого. Відразу розкладаємо на множники і збираємо однакові за купками:

От і все. Звичайно, розкладати не обов'язково. Все визначається вашими особистими здібностями. Довели приклад до стану, коли вам все ясно,отже, можна вже рахувати. Головне – не помилятися. Чи не людина для математики, а математика для людини!)

Чи застосуємо знання до практики? Почнемо з простенького:

Правило складання квадратного коріння

Властивості квадратного коріння

Досі ми здійснювали над числами п'ять арифметичних операцій: додавання, віднімання, множення, Розподіл і зведення в ступінь, причому при обчисленнях активно використовували різні властивості цих операцій, наприклад, а + b = b + а, а n -b n = (аb) n і т.д.

У цьому розділі запроваджено нову операцію - вилучення квадратного кореня з неотрицательного числа. Щоб успішно її використовувати, потрібно познайомитися з властивостями цієї операції, що ми зробимо в параграфі.

Доведення. Введемо такі позначення:
Нам треба довести, що для не негативних чиселх, у, z виконується рівність х = yz.

Отже, х 2 = ab, 2 = а, z 2 = b. Тоді х 2 = y 2 z 2 тобто х 2 = (yz) 2 .

Якщо квадратидвох невід'ємних чисел рівні, те й самі числа рівні, отже, з рівності х 2 = (yz) 2 випливає, що х = yz, а це потрібно було довести.

Наведемо короткий запис доказу теореми:

Зауваження 1. Теорема залишається справедливою і для випадку, коли підкорене вираз є твір більш ніж двох не негативних множників.

Примітка 2. Теорему 1 можна оформити, використовуючи конструкцію «якщо. , то» (як це прийнято для теорем у математиці). Наведемо відповідне формулювання: якщо а і b - невід'ємні числа, то справедлива рівність .

Наступну теорему саме так і оформимо.

(Коротке формулювання, яке зручніше використовувати на практиці: корінь із дробу дорівнює дробу від коренів або корінь із приватного дорівнює приватному від коренів.)

На цей раз ми наведемо лише короткий запис доказу, а ви спробуйте зробити відповідні коментарі, аналогічні тим, що склали суть доказу теореми 1.

Приклад 1. Обчислити.
Рішення. Скориставшись першою властивістю квадратного коріння(теорема 1), отримуємо

Примітка 3. Звичайно, цей приклад можна вирішити інакше, особливо якщо у вас під рукою мікрокалькулятор: перемножити числа 36, 64, 9, а потім витягти квадратний корінь з отриманого твору. Однак, погодьтеся, запропоноване рішення виглядає більш культурно.

Зауваження 4. При першому способі ми проводили обчислення "в лоб". Другий спосіб витонченіше:
ми застосували формулуа 2 - b 2 = (а - b) (а + b) і скористалися властивістю квадратного коріння.

Примітка 5. Деякі «гарячі голови» пропонують іноді таке «рішення» прикладу 3:

Це, звичайно, не так: ви бачите - результат вийшов не такий, як у нас у прикладі 3. Справа в тому, що немає властивості як немає і властивості Є лише властивості, що стосуються множення та поділу квадратного коріння. Будьте уважні та обережні, не приймайте бажане за дійсне.

Приклад 4. Обчислити: а)
Рішення. Будь-яка формула в алгебрі використовується не лише «праворуч наліво», а й «зліва направо». Так, перше властивість квадратних коренів означає, що у разі потреби можна подати у вигляді , і назад, що можна замінити виразом Те саме відноситься і до другої властивості квадратних коренів. З огляду на це вирішимо запропонований приклад.

Завершуючи параграф, відзначимо ще одну досить просту і водночас важливу властивість:
якщо a > 0 та n - натуральне число, то

Приклад 5.Обчислити , не використовуючи таблицю квадратів чисел та мікрокалькулятор.

Рішення. Розкладемо підкорене число на прості множники:

Примітка 6. Цей приклад можна було вирішити так само, як і аналогічний приклад § 15. Неважко здогадатися, що у відповіді вийде «80 з хвостиком», оскільки 80 2 2 . Знайдемо "хвостик", тобто останню цифру шуканого числа. Поки ми знаємо, що якщо корінь витягується, то у відповіді може вийти 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 або 89. Перевірити треба тільки два числа: 84 і 86, оскільки вони при зведенні в квадрат дадуть в результаті чотиризначнечисло, яке закінчується цифрою 6, тобто. тією ж цифрою, якою закінчується число 7056. Маємо 84 2 = 7056 це те, що потрібно. Значить,

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Навч. для загальноосвіт. установ.- 3-тє вид., доопрацювання. – М.: Мнемозіна, 2001. – 223 с: іл.

Книги, підручники математики скачати, конспект на допомогу вчителю та учням, вчитися онлайн

Якщо ви маєте виправлення або пропозиції до цього уроку, напишіть нам.

Якщо ви хочете побачити інші коригування та побажання до уроків, дивіться тут - Освітній форум.

Як складати квадратне коріння

Квадратним коренем з числа Xназивається число A, яке в процесі множення самого на себе ( A*A) може дати число X.
Тобто. A * A = A 2 = X, і √X = A.

Над квадратним корінням ( √x), як і над іншими числами, можна виконувати такі арифметичні операції, як віднімання та додавання. Для віднімання та складання коренів їх потрібно з'єднати за допомогою знаків, що відповідають цим діям (наприклад √x - √y ).
А потім привести коріння до їх найпростішою формою- якщо між ними виявляться подібні, необхідно зробити приведення. Воно полягає в тому, що беруться коефіцієнти подібних членів зі знаками відповідних членів, далі полягають у дужках та виводиться загальний корінь за дужками множника. Коефіцієнт, який ми отримали, спрощується за звичайними правилами.

Крок 1. Вилучення квадратних коренів

По-перше, для складання квадратного коріння спочатку потрібно це коріння витягти. Це можна буде зробити, якщо числа під знаком кореня будуть повними квадратами. Наприклад візьмемо заданий вираз √4 + √9 . Перше число 4 є квадратом числа 2 . Друге число 9 є квадратом числа 3 . Таким чином, можна отримати таку рівність: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Все, приклад вирішено. Але так просто буває далеко не завжди.

Крок 2. Винесення множника числа з-під кореня

Якщо повних квадратів немає під знаком кореня, можна спробувати винести множник числа під знака кореня. Для прикладу візьмемо вираз √24 + √54 .

Розкладаємо числа на множники:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

В числі 24 ми маємо множник 4 його можна винести з-під знака квадратного кореня. В числі 54 ми маємо множник 9 .

Отримуємо рівність:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Розглядаючи цей приклад, ми отримуємо винос множника з-під знаку кореня, тим самим спрощуючи заданий вираз.

Крок 3. Скорочення знаменника

Розглянемо таку ситуацію: сума двох квадратних коренів – це знаменник дробу, наприклад, A / (√a + √b).
Тепер перед нами стоїть завдання «позбутися ірраціональності у знаменнику».
Скористаємося наступним способом: множимо чисельник і знаменник дробу на вираз √a - √b.

Формулу скороченого множення ми тепер отримуємо у знаменнику:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Аналогічно, якщо у знаменнику є різниця коренів: √a - √b, чисельник і знаменник дробу множимо на вираз √a + √b.

Візьмемо для прикладу дріб:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Приклад складного скорочення знаменника

Тепер будемо розглядати достатньо складний прикладрятування від ірраціональності в знаменнику.

Для прикладу беремо дріб: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Потрібно взяти її чисельник і знаменник і перемножити вираз √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Крок 4. Обчислення приблизного значення на калькуляторі

Якщо потрібно лише приблизне значення, це можна зробити на калькуляторі шляхом підрахунку значення квадратного коріння. Окремо для кожного числа обчислюється значення та записується з необхідною точністю, яка визначається кількістю знаків після коми. Далі відбуваються всі необхідні операції, як із звичайними числами.

Приклад обчислення приблизного значення

Необхідно обчислити приблизне значення цього виразу √7 + √5 .

У результаті отримуємо:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Зверніть увагу: за жодних умов не слід робити додавання квадратних коренів, як простих чисел, Це абсолютно неприпустимо. Тобто, якщо скласти квадратний корінь із п'яти і з трьох, у нас не може вийти квадратний корінь із восьми.

Корисна порада: якщо ви вирішили розкласти число на множники, для того щоб вивести квадрат з-під знака кореня, вам необхідно зробити зворотну перевірку, тобто перемножити всі множники, які вийшли в результаті обчислень, і в кінцевому результаті цього математичного розрахунку має вийти число, яке нам було поставлено спочатку.

Дія з корінням: додавання та віднімання

Вилучення квадрантного кореня з-поміж не єдина операція, яку можна проводити з цим математичним явищем. Так само як і звичайні числа, квадратне коріння складає і віднімає.

Правила складання та віднімання квадратних коренів

Такі дії, як додавання і віднімання квадратного кореня, можливі лише за умови однакового підкореного виразу.

Можна скласти або відняти вирази 2 3 та 6 3, але не 5 6 і 9 4 . Якщо є можливість спростити вираз і привести його до коріння з однаковим підкореним числом, спрощуйте, а потім складайте або віднімайте.

Дії з корінням: основи

6 50 — 2 8 + 5 12

Спростити підкорене вираз. Для цього необхідно розкласти підкорене вираз на 2 множника, один з яких - квадратне число (число, з якого витягується цілий квадратний корінь, наприклад, 25 або 9).
Потім потрібно витягти корінь із квадратного числата записати отримане значення перед знаком кореня. Звертаємо вашу увагу, що другий множник заноситься під знак кореня.
Після процесу спрощення необхідно підкреслити коріння з однаковими підкореними виразами - тільки їх можна складати та віднімати.
У коріння з однаковими підкореними виразами необхідно скласти або відняти множники, які стоять перед знаком кореня. Підкорене вираз залишається без змін. Не можна складати чи віднімати підкорені числа!

Якщо у вас приклад з великою кількістю однакових підкорених виразів, то підкреслюйте такі вирази одинарними, подвійними та потрійними лініями, щоб полегшити процес обчислення.

Давайте спробуємо вирішити цей приклад:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Для початку необхідно розкласти 50 на 2 множника 25 і 2, потім витягти корінь з 25, який дорівнює 5, а 5 винести з-під кореня. Після цього потрібно помножити 5 на 6 (множник у кореня) і одержати 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Спершу необхідно розкласти 8 на 2 мнодителя: 4 і 2. Потім з 4 витягти корінь, який дорівнює 2, а 2 винести з-під кореня. Після цього потрібно помножити 2 на 2 (мнодій у кореня) і отримати 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Спочатку необхідно розкласти 12 на 2 множники: 4 і 3. Потім витягти з 4 корінь, який дорівнює 2, і винести його з-під кореня. Після цього потрібно помножити 2 на 5 (множник у кореня) і отримати 103.

Результат спрощення: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

У результаті побачили, скільки однакових підкорених виразів міститься у цьому прикладі. А зараз попрактикуємось на інших прикладах.

Спрощуємо (45) . Розкладаємо 45 на множники: (45) = (9 × 5);
Виносимо 3 з-під кореня (9 = 3): 45 = 3 5;
Складаємо множники біля коріння: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
Спрощуємо 6 40 . Розкладаємо 40 на множники: 640 = 6 (4 × 10);
Виносимо 2 з-під кореня (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10;
Перемножуємо множники, які стоять перед коренем: 12 10;
Записуємо вираз у спрощеному вигляді: 12 10 - 3 10 + 5;
Оскільки перші два члени мають однакові підкорені числа, ми можемо їх відняти: (12 — 3) 10 = 9 10 + 5 .

Як ми бачимо, спростити підкорені числа неможливо, тому шукаємо в прикладі члени з однаковими підкореними числами, проводимо математичні дії (складаємо, віднімаємо і т.д.) і записуємо результат:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Поради:

Перед тим, як складати чи віднімати, необхідно обов'язково спростити (якщо це можливо) підкорені вирази.
Складати та віднімати коріння з різними підкореними виразами суворо забороняється.
Не слід підсумовувати чи віднімати ціле число чи корінь: 3 + (2 x) 1/2 .
При виконанні дій з дробами необхідно знайти число, яке ділиться націло на кожен знаменник, потім привести дроби до спільного знаменника, потім скласти чисельники, а знаменники залишити без змін.

Властивості арифметичного квадратного кореня. Властивості арифметичного квадратного кореня

Перетворення арифметичних квадратних коренів. Перетворення арифметичних квадратних коренів

Щоб витягти квадратний корінь із багаточлена, треба обчислити многочлен і з одержаного числа витягти корінь.

Увага!Не можна витягувати корінь з кожного доданку (зменшуваного та віднімається) окремо.

Щоб витягти квадратний корінь з багаточлена, треба обчислити багаточлен і з отриманого числа витягти корінь.

Увага!Не можна витягати корінь з шкірного додатку (зменшуваного та від'ємного) окремо.

Щоб витягти квадратний корінь із твору (приватного), можна обчислити квадратний корінь з кожного множника (діленого і дільника), а отримані значення взяти твором (приватним).

Щоб витягти квадратний корінь з добутку (частки), можна обчислити корінь квадратний з шкірного множника (діленого і дільника), а отримані значення взяти добутком (часткою).

Щоб витягти квадратний корінь із дробу, треба витягти квадратний корінь із чисельника та знаменника окремо, а отримані значення залишити дробом або обчислити як приватне (якщо можливо це за умовою).

Щоб витягти квадратний корінь з дробу, треба витягти квадратний корінь з чисельника і знаменника окремо, а отримані значення залишити дробом або обчислити як частину (якщо це за умовою).

З-під знак кореня можна винести множник і можна внести множник під знак кореня. При винесенні множника з нього витягується корінь, а при внесенні він зводиться у відповідний ступінь.

З-під знака кореня можна винести множник і можна внести множник під знак кореня. При винесенні множника з нього витягується корінь, а при внесенні — він зводиться у відповідну ступінь.

приклади. Приклади

Щоб перетворити суму (різницю) квадратних коренів, потрібно привести підкорені вирази до однієї основи ступеня, якщо це можливо, витягти коріння зі ступенів і записати їх перед знаками коренів, а квадратні коріння, що залишилися, з однаковими підкореними виразами можна скласти, для чого складаються коефіцієнти перед знаком кореня і дописується той самий квадратний корінь.

Щоб перетворити суму (різницю) квадратних коренів, потрібно привести підкоренні вирази до однієї основи ступеня, якщо це можливо, отримати коріння ступенів і записати їх перед знаками коренів, а інші квадратні корені з однаковими підкореними виразами можна скласти, для чого складаються коефіцієнти перед знаком кореня і дописується той самий квадратний корінь.

Наведемо всі підкорені вирази до основи 2.

З парного ступеня корінь витягується повністю, з непарного ступеня корінь основи ступеня 1 залишаємо під знаком кореня.

Наводимо подібні цілі числа та коефіцієнти складаємо з однаковим корінням. Запишемо двочлен як добуток числа та двочлена суми.

Наведемо всі підкорені вирази до основи 2.

З парного ступеня корінь витягується повністю, з непарного ступеня корінь основи у ступеню 1 залишаємо під знаком кореня.

Наводимо подібні цілі числа та коефіцієнти складаємо з однаковим корінням. Запишемо двочлен як добуток числа і двочлена суми.

Наводимо підкорені вирази до найменшої основи або добутку ступенів з найменшими основами. З парних ступенів підкорених виразів витягаємо корінь, залишки у вигляді основи ступеня з показником 1 або добутком таких основ залишаємо під знаком кореня. Наводимо подібні члени (складаємо коефіцієнти однакового коріння).

Наводимо підкорені вирази до найменшої основи або видобутку ступенів з найменшими основами. З парних ступенів підкорених виразів витягаємо корінь, залишки у вигляді основи ступеня з показником 1 або видобутком таких основ залишаємо під знаком кореня. Наводимо подібні члени (складаємо коефіцієнти однакових коренів).

Замінимо поділ дробів на множення (із заміною другого дробу на зворотний). Перемножимо окремо чисельники та знаменники дробів. Під кожним знаком кореня виділимо ступеня. Скоротимо однакові множники у чисельнику та знаменнику. Витягнемо коріння з парних ступенів.

Замінимо ділення дробів на множення (із заміною іншого дробу на зворотний). Перемножимо окремо чисельники та знаменники дробів. Під шкірним знаком кореня виділимо щаблі. Коротко однакові множники в чисельнику та знаменнику. Винесемо коріння з парних щаблів.

Щоб порівняти два квадратні корені, їх підкорені вирази треба навести у ступені з однаковою основою, тоді чим більше показати ступеня підкореного виразу, тим більше значення квадратного кореня.

У цьому прикладі привести до однієї основи підкорені вирази не можна, тому що в першій основі 3, а в другій – 3 та 7.

Другий спосіб порівняння полягає в тому, щоб внести коефіцієнт кореня в підкорене вираз і порівняти числові значення підкорених виразів. У квадратного кореня що більше підкорене вираз, то більше значення кореня.

Щоб порівняти два квадратні корені, їх підкорені вирази треба привести до ступеня з однаковою основою, тоді чим більший показник ступеня підкореневого віразу, тим більше значення квадратного кореня.

У цьому прикладі привести до однієї основи підкорені вирази не можна, тому що в першому основа 3, а в іншому — 3 і 7.

Інший спосіб порівняння полягає в тому, щоб внести коефіцієнт кореня в підкореневий вираз і порівняти числові значення підкорених виразів. У квадратного кореня чим більше підкореневий вираз, тим більше значення кореня.

Використовуючи розподільчий закон множення та правило множення коренів з однаковими показниками (у нашому випадку – квадратних коренів), отримали суму двох квадратних коренів із добутком під знаком кореня. Розкладемо 91 на прості множники і виносимо корінь за дужки із загальними підкореними множниками (13*5).

Ми отримали твір кореня та двочлена, у якого один із одночленів ціле число (1).

Використовуючи розподільний закон множення і правило множення коренів з однаковими показниками (у нашому випадку — квадратних коренів), отримали суму двох квадратних коренів із добутком під знаком кореня. Розкладемо 91 на прості множники і виносимо корінь за дужки із загальними підкореневими множниками (13*5).

Ми отримали добуток кореня і двочлена, у якого один із одночленів ціле число (1).

Приклад 9:

У підкорених виразах виділимо множниками числа, з яких можна витягти цілий квадратний корінь. Виймемо квадратне коріння зі ступенів і поставимо числа коефіцієнтами квадратного коріння.

Члени даного багаточлена мають загальний множник √3, який можна винести за дужки. Наведемо подібні доданки.

У підкореневих виразах виділимо множниками числа, з яких можна отримати цілий квадратний корінь. Винесемо квадратні корені із ступенів і поставимо числа коефіцієнтами квадратних коренів.

У членів цього багаточлена є спільний множник √3, який можна винести за дужки. Наводимо подібні доданки.

Добуток суми та різниці двох однакових підстав(3 і √5) за формулою скороченого множення можна записати як різницю квадратів основ.

Корінь квадратний у квадраті завжди дорівнює підкореному виразу, тому ми позбавимося радикала (знака кореня) у виразі.

Добуток суми і різниці двох однакових основ (3 і √5) із формули скороченого множення можна записати як різницю квадратів основ.

Корінь квадратний у квадраті завжди дорівнює підкореневому віразу, тому ми позбудемося радикала (знака кореня) у виразі.

Знову в школу. Складання коренів

В наш час сучасних електронних обчислювальних машинобчислення кореня з числа не представляється складним завданням. Наприклад, √2704=52, це вам підрахує будь-який калькулятор. На щастя, калькулятор є не тільки в Windows, а й у звичайному, навіть простенькому, телефоні. Правда якщо раптом (з малою часткою ймовірності, обчислення якої, між іншим, включає складення коренів) ви опинитеся без доступних коштів, то, на жаль, доведеться розраховувати тільки на свої мізки.

Тренування розуму ніколи не вміщує. Особливо для тих, хто не так часто працює з цифрами, а тим більше з корінням. Додавання і віднімання коренів — гарна розминка для нудного розуму. А ще я покажу поетапно додавання коренів. Приклади виразів можуть бути такі.

Рівняння, яке потрібно спростити:

Це ірраціональний вираз. Для того, щоб його спростити, потрібно привести всі підкорені вирази до загального вигляду. Робимо поетапно:

Перше число спростити не можна. Переходимо до другого доданку.

3√48 розкладаємо 48 на множники: 48=2×24 або 48=3×16. Квадратний коріньз 24 перестав бути цілочисловим, тобто. має дрібний залишок. Так як нам потрібно точне значення, то приблизне коріння нам не підходить. Квадратний корінь із 16 дорівнює 4, виноси його з-під знака кореня. Отримуємо: 3×4×√3=12×√3

Наступне вираження ми є негативним, тобто. написано зі знаком мінус -4×√(27.) Розкладаємо 27 на множники. Отримуємо 27 = 3×9. Ми не використовуємо дробових множників, тому що з дробів обчислювати квадратний корінь складніше. Виносимо 9 з-під символу, тобто. обчислюємо квадратний корінь. Отримуємо такий вираз: -4×3×√3 = -12×√3

Наступний доданок √128 обчислюємо частину, яку можна винести з-під кореня. 128=64×2, де √64=8. Якщо вам буде легше можна уявити цей вираз так: √128=√(8^2×2)

Переписуємо вираз зі спрощеними доданками:

Тепер складаємо числа одним і тим самим підкореним виразом. Не можна складати чи віднімати вирази з різними підкореними виразами. Додавання коренів вимагає дотримання цього правила.

Відповідь отримуємо таку:

√2=1×√2 — сподіваюся, те, що в алгебрі прийнято опускати подібні елементи, не стане для вас новиною.

Вирази можуть бути представлені не тільки квадратним коренем, але так само з кубічним або коренем n-ного ступеня.

Додавання та віднімання коренів з різними показниками ступеня, але з рівнозначним підкореним виразом, відбувається таким чином:

Якщо ми маємо вираз виду √a+∛b+∜b, то ми можемо спростити цей вираз так:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Ми привели двох подібних членів до загального показника кореня. Тут використовувалося властивість коренів, яке свідчить: якщо число ступеня підкореного виразу і число показника кореня помножити на те саме число, його обчислення залишиться незмінним.

На замітку: показники ступеня складаються лише за множення.

Розглянемо приклад, коли у виразі присутні дроби.

Вирішуватимемо за етапами:

5√8=5*2√2 — ми виносимо з-під кореня частину, що видобувається.

Якщо тіло кореня представлено дробом, то часто цього дробу не змінитися, якщо витягти квадратний корінь з дільника і дільника. У результаті ми отримали описану вище рівність.

Ось і вийшла відповідь.

Головне пам'ятати, що з негативних чисел не вилучається корінь із парним показником ступеня. Якщо парною мірою підкорене вираз є негативним, то вираз є нерозв'язним.

Складання коренів можливе лише при збігу підкорених виразів, оскільки вони є подібними доданками. Те саме відноситься і до різниці.

Додавання коренів з різними числовими показниками ступеня проводиться за допомогою приведення до загального кореневого ступеня обох доданків. Цей закон діє так само як приведення до спільного знаменника при складанні чи відніманні дробів.

Якщо у підкореному вираженні є число, зведене у ступінь, це вираз можна спростити за умови, що між показником кореня і ступеня існує спільний знаменник.

Квадратний корінь із твору та дробу

Квадратним коренем із числа a називають таке число, квадрат якого дорівнює a. Наприклад, числа -5 і 5 є квадратним корінням із числа 25. Тобто, коріння рівняння x^2=25, є квадратним корінням з числа 25. Тепер необхідно навчитися працювати з операцією вилучення квадратного кореня: вивчити його основні властивості.

Квадратний корінь із твору

√(a*b) =√a*√b

Квадратний корінь із твору двох невід'ємних чисел, дорівнює творуквадратних коренів із цих чисел. Наприклад, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Важливо розуміти, що це властивість поширюється і на той випадок, коли підкорене вираз є твір трьох, чотирьох і т.д. невід'ємних множників.

Іноді зустрічається й інше формулювання цієї властивості. Якщо a і b є невід'ємні числа, то справедлива наступна рівність √(a*b) =√a*√b. Різниці між ними немає абсолютно ніякої, можна використовувати як одне, так і інше формулювання (кому яке зручніше запам'ятати).

Квадратний корінь із дробу

Якщо a>=0 і b>0, то справедлива така рівність:

√(a/b) =√a/√b.

Наприклад, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

У цієї властивості теж існує інше формулювання, на мій погляд, зручніше для запам'ятовування.
Квадратний корінь приватного дорівнює частці від коренів.

Ці формули працюють як зліва направо, так і праворуч наліво. Тобто при необхідності ми можемо твір коренів подати як корінь із твору. Те саме стосується і другої якості.

Як ви могли помітити, ці властивості дуже зручні, і хотілося б мати такі ж властивості для складання та віднімання:

√(a+b) =√a+√b;

√(a-b) =√a-√b;

Але на жаль таких властивостей квадратні коріння не має, і тому так робити при обчисленнях не можна.

13. Проїзд перехресть ПДР 2018 з коментарями онлайн 13.1. При повороті праворуч або ліворуч водій зобов'язаний поступитися дорогою пішоходам та велосипедистам, які перетинають проїжджу частину дороги, на яку він повертає. Ця вказівка діє усім […]
Батьківські збори"Права, обов'язки та відповідальність батьків" Презентація до уроку Завантажити презентацію (536,6 кБ) Увага! Попередній переглядслайдів використовується виключно з ознайомлювальною метою і може не давати уявлення про всіх […]
Регіональний материнський капітал в Орлівській області Регіональний материнський капітал (МК) в Орлі та Орловській області було встановлено у 2011 році. Зараз він є додатковим заходом соціальної підтримки багатодітних сімейу вигляді разової грошової […]
Розмір одноразової допомоги при постановці на облік у ранні терміни у 2018 Запрошену Вами сторінку не знайдено. Можливо, Ви набрали неправильну адресу або сторінку видалено. Для навігації скористайтесь […]
Адвокат з економічних справ Злочини в економічній сфері досить об'ємне поняття. До таких діянь належать шахрайство, незаконне підприємництво, легалізація коштів, одержаних незаконним шляхом, незаконна банківська […]
Прес-служба Центрального банку Російської Федерації(Банк Росії) Прес-служба 107016, Москва, вул. Неглінна, 12www.cbr.ru Про призначення тимчасової адміністрації Департамент зовнішніх та громадських зв'язків Банку Росії повідомляє, що відповідно до пункту 2 […]
Загальна характеристикаі короткий оглядводних шляхів Класифікація водних басейнів Класифікація водних басейнів для плавання прогулянкових (маломірних) суден, піднаглядових ГІМС Росії, здійснюється залежно від переважаючих у цих басейнах […]
Кучерена = адвокат Віктора Цоя А це exclusif: сьогоднішній лист Анатолія Кучерени. Продовження теми. Ніхто цього листа поки що не опублікував. А треба, гадаю. Частина 1 поки що. Скоро оприлюднюю і другу частину, з підписом знаменитого юриста. Чому це важливо? […]

Вітаю, катани! Минулого разу ми докладно розібрали, що таке коріння (якщо не пам'ятаєте, рекомендую почитати). Головний висновок того уроку: існує лише одне універсальне визначення коріння, яке вам потрібно знати. Решта — брехня і марнування часу.

Сьогодні ми йдемо далі. Вчимося множити коріння, вивчимо деякі проблеми, пов'язані з множенням (якщо ці проблеми не вирішити, то на іспиті вони можуть стати фатальними) і як слід потренуємося. Тому запасайтеся попкорном, влаштовуйтесь зручніше - і ми починаємо.

Адже ви теж ще не вкурили?

Урок вийшов досить великим, тому я розділив його на дві частини:

Спочатку ми розберемо правила множення. Кеп начебто натякає: це коли є два корені, між ними стоїть знак «помножити» — і ми хочемо щось із цим зробити.
Потім розберемо зворотну ситуацію: є один великий корінь, а нам закортіло уявити його у вигляді добутку двох коренів простіше. З якого переляку це буває потрібно — окреме питання. Ми розберемо лише алгоритм.

Тим, кому не терпиться одразу перейти до другої частини — ласкаво прошу. З рештою почнемо по порядку.

Основне правило множення

Почнемо з найпростішого — класичного квадратного коріння. Ті самі, які позначаються $\sqrt(a)$ і $\sqrt(b)$. Для них все взагалі очевидно:

Правило множення. Щоб помножити один квадратний корінь на інший, потрібно просто перемножити їх підкорені вирази, а результат записати під загальним радикалом:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Жодних додаткових обмежень на числа, що стоять праворуч чи ліворуч, не накладається: якщо коріння-множники існують, то й твір теж існує.

приклади. Розглянемо відразу чотири приклади з числами:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \ \ \ \ \ sqrt (54) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (54 \ cdot 6) = \ sqrt (324) = 18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Як бачите, основний зміст цього правила - спрощення ірраціональних виразів. І якщо в першому прикладі ми б і самі витягли коріння з 25 і 4 без будь-яких нових правил, то далі починається жерсть: $ \ sqrt (32) $ і $ \ sqrt (2) $ самі по собі не вважаються, але їх добуток виявляється точним квадратом, тому корінь з нього дорівнює раціональному числу.

Окремо хотів би відзначити останній рядок. Там обидва підкорені вирази є дробами. Завдяки твору багато множників скорочуються, а весь вираз перетворюється на адекватне число.

Звичайно, не завжди все буде так гарно. Іноді під корінням стоятиме повна лажа — незрозуміло, що з нею робити і як перетворювати після множення. Трохи пізніше, коли почнете вивчати ірраціональні рівняння та нерівності, там взагалі будуть усілякі змінні та функції. І дуже часто укладачі завдань якраз і розраховують на те, що ви виявите якісь складові або множники, що скорочуються, після чого завдання багаторазово спроститься.

Крім того, зовсім необов'язково перемножувати саме два корені. Можна помножити одразу три, чотири — та хоч десять! Правило від цього не зміниться. Погляньте:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

І знову невелике зауваженняза другим прикладом. Як бачите, у третьому множнику під коренем стоїть десятковий дріб — у процесі обчислень ми замінюємо його звичайним, після чого все легко скорочується. Так ось: дуже рекомендую позбавлятися десяткових дробів у будь-яких ірраціональних виразах (тобто містять хоча б один значок радикала). У майбутньому це заощадить вам купу часу та нервів.

Але це був ліричний відступ. Тепер розглянемо загальніший випадок — коли у показнику кореня стоїть довільне число $n$, а не лише «класична» двійка.

Випадок довільного показника

Отже, з квадратним корінням розібралися. А що робити з кубічними? Або взагалі з корінням довільного ступеня $n$? Та все те саме. Правило залишається тим самим:

Щоб перемножити два корені ступеня $n$, достатньо перемножити їх підкорені вирази, після чого результат записати під одним радикалом.

Загалом нічого складного. Хіба що обсяг обчислень може виявитися більшим. Розберемо кілька прикладів:

приклади. Обчислити твори:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

І знову увага друга вираз. Ми перемножуємо кубічні коріння, позбавляємося десяткового дробу і в результаті отримуємо в знаменнику добуток чисел 625 і 25. Це досить велике число - особисто я з ходу не вважаю, чому він рівний.

Тому ми просто виділили точний куб у чисельнику та знаменнику, а потім скористалися однією з ключових властивостей (або, якщо завгодно — визначенням) кореня $n$-го ступеня:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a \right|. \\ \end(align)\]

Подібні «махінації» можуть здорово заощадити вам час на іспиті або контрольної роботитому запам'ятайте:

Не поспішайте перемножувати числа у підкореному вираженні. Спочатку перевірте: раптом там «зашифровано» точний ступінь якогось виразу?

За всієї очевидності цього зауваження має визнати, що більшість непідготовлених учнів не бачать точних ступенів. Натомість вони перемножують все напролом, а потім дивуються: чому це вийшли такі звірячі числа?:)

Втім, все це дитячий белькіт у порівнянні з тим, що ми вивчимо зараз.

Розмноження коренів з різними показниками

Ну гаразд, тепер ми вміємо перемножувати коріння з однаковими показниками. А що якщо показники різні? Скажімо, як помножити звичайний $\sqrt(2)$ на якусь хрень типу $\sqrt(23)$? Чи можна це взагалі робити?

Так звичайно можна. Все робиться ось за цією формулою:

Правило множення коріння. Щоб помножити $\sqrt[n](a)$ на $\sqrt[p](b)$, достатньо виконати таке перетворення:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Однак ця формула працює лише за умови, що підкорені вирази невід'ємні. Це дуже важливе зауваження, до якого ми повернемося трохи згодом.

А поки що розглянемо пару прикладів:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 8) = sqrt (648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \ sqrt (1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \ sqrt (5625). \\ \end(align)\]

Як бачите, нічого складного. Тепер давайте розберемося, звідки взялася вимога невід'ємності, і що буде, якщо ми її порушимо.

Помножувати коріння нескладно

Чому підкорені вирази мають бути невід'ємними?

Звичайно, можна уподібнитись шкільним вчителямта з розумним виглядом процитувати підручник:

Вимога неотрицательности пов'язані з різними визначеннями коренів парного і непарного ступеня (відповідно, області визначення вони теж різні).

Ну що стало зрозуміліше? Особисто я, коли читав це марення у 8-му класі, зрозумів для себе приблизно таке: «Вимога невід'ємності пов'язана з *#&^@(*#@^#)~%» — коротше, я ніхрена того разу не зрозумів. :)

Тому зараз поясню все по-нормальному.

Спочатку з'ясуємо, звідки взагалі береться формула множення, наведена вище. Для цього нагадаю одну важливу властивість кореня:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Іншими словами, ми можемо спокійно зводити підкорене вираз у будь-який натуральний ступінь $k$ - при цьому показник кореня доведеться помножити на цей же ступінь. Отже, ми легко зведемо будь-яке коріння до загального показника, після чого перемножимо. Звідси і береться формула множення:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Але є одна проблема, яка різко обмежує застосування цих формул. Розглянемо таке число:

Згідно з наведеною формулою ми можемо додати будь-який ступінь. Спробуємо додати $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Мінус ми прибрали саме тому, що квадрат спалює мінус (як і будь-який інший парний ступінь). А тепер виконаємо зворотне перетворення: «скоротимо» двійку у показнику та ступені. Адже будь-яку рівність можна читати як зліва-направо, так і праворуч-наліво:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2))) = sqrt (5). \\ \end(align)\]

Але тоді виходить якась хрінь:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Цього не може бути, тому що $\sqrt(-5) \lt 0$, а $\sqrt(5) \gt 0$. Отже, для парних ступенів та негативних чисел наша формула вже не працює. Після чого ми маємо два варіанти:

Вбитись об стіну констатувати, що математика — це безглузда наука, де є якісь правила, але це неточно;
Ввести додаткові обмеження, за яких формула стане робочою на 100%.

У першому варіанті нам доведеться постійно виловлювати "непрацюючі" випадки - це важко, довго і взагалі фу. Тому математики віддали перевагу другому варіанту.:)

Але не переживайте! На практиці це обмеження ніяк не впливає на обчислення, тому що всі ці проблеми стосуються лише коренів непарного ступеня, а з них можна виносити мінуси.

Тому сформулюємо ще одне правило, яке поширюється взагалі на всі дії з корінням:

Перш ніж перемножувати коріння, зробіть так, щоб підкорені вирази були невід'ємними.

приклад. Серед $\sqrt(-5)$ можна винести мінус з-під знака кореня - тоді все буде норм:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Відчуваєте різницю? Якщо залишити мінус під коренем, то при зведенні підкореного виразу в квадрат він зникне і почнеться хрень. А якщо спочатку винести мінус, то можна хоч до посиніння зводити/прибирати квадрат — число залишиться негативним.

Таким чином, найправильніший і найнадійніший спосіб множення коренів наступний:

Забрати всі мінуси з-під радикалів. Мінуси бувають тільки в корінні непарної кратності — їх можна поставити перед коренем і при необхідності скоротити (наприклад, якщо цих мінусів виявиться два).
Виконати множення згідно з правилами, розглянутими вище у сьогоднішньому уроці. Якщо показники коріння однакові, просто перемножуємо підкорені вирази. А якщо різні - використовуємо злісну формулу \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n) )) \].
3.Насолоджуємося результатом і хорошими оцінками.:)

Ну що? Потренуємося?

Приклад 1. Спростіть вираз:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Це найпростіший варіант: показники коріння однакові та непарні, проблема лише в мінусі у другого множника. Виносимо цей мінус нафіг, після чого все легко вважається.

Приклад 2. Спростіть вираз:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( align)\]

Тут багатьох збентежило б те, що на виході вийшло ірраціональне число. Так, так буває: ми не змогли повністю позбутися кореня, але принаймні суттєво спростили вираз.

Приклад 3. Спростіть вираз:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Ось на це завдання хотів би звернути вашу увагу. Тут одразу два моменти:

Під коренем стоїть не конкретне число чи ступінь, а змінна $a$. На перший погляд, це трохи незвично, але насправді при вирішенні математичних завдань найчастіше доведеться мати справу саме зі змінними.
Наприкінці ми примудрилися скоротити показник кореня і ступінь у підкореному вираженні. Таке трапляється досить часто. І це означає, що можна було спростити обчислення, якщо не користуватися основною формулою.

Наприклад, можна було вчинити так:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(align)\]

По суті, усі перетворення виконувалися лише з другим радикалом. І якщо не детально розписувати всі проміжні кроки, то в результаті обсяг обчислень істотно знизиться.

Насправді ми вже стикалися з подібним завданням вище, коли вирішували приклад $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Тепер його можна розписати набагато простіше:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) = sqrt (75). \end(align)\]

Ну що ж, з множенням коріння розібралися. Тепер розглянемо зворотну операцію: що робити, коли під корінням стоїть твір?

Чи потрібно зробити складні розрахунки, а електронного обчислювального пристрою під рукою не виявилося? Скористайтеся онлайн програмою – калькулятором коренів. Вона допоможе:

знайти квадратне або кубічне коріння із заданих чисел;
виконати математичну дію з дробовими ступенями.

Число знаків після коми:

√

Як обчислювати квадратний корінь вручну - методом підбору знаходити відповідні значення. Розглянемо як це робити.

Що таке квадратний корінь

Корінь nступеня натурального числа a- Число, nступінь якого дорівнює a(Підкорене число). Позначається корінь символом √. Його називають радикалом.

Кожна математична дія має протидію: додавання→віднімання, множення→поділ, зведення в ступінь→витяг кореня.

Квадратним коренем з числа aбуде число, квадрат якого дорівнює a. З цього випливає відповідь на питання, як обчислити корінь із числа? Потрібно підібрати число, яке другою мірою дорівнюватиме значенню під коренем.

Зазвичай 2 не пишуть над знаком кореня. Оскільки це найменша ступінь, відповідно якщо немає числа, то мається на увазі показник 2. Вирішуємо: щоб обчислити корінь квадратний з 16, потрібно знайти число, при зведенні якого в другий ступінь вийти 16.

Проводимо розрахунки вручну

Обчислення методом розкладання на прості множники виконується двома способами, залежно від того, яке підкорене число:

1.Ціле, яке можна розкласти на квадратні множники та отримати точну відповідь.

Квадратні числа – числа, з яких можна витягти корінь без залишку. А множники – числа, які при перемноженні дають вихідне число.

Наприклад:

25, 36, 49 - квадратні числа, оскільки:

Виходить, що квадратні множники – множники, які є квадратними числами.

Візьмемо 784 і витягнемо з нього корінь.

Розкладаємо число на квадратні множники. Число 784 кратно 4, значить перший квадратний множник- 4 x 4 = 16. Ділимо 784 на 16 отримуємо 49 - це також квадратне число 7 x 7 = 16.

Застосуємо правило

Виймаємо корінь із кожного квадратного множника, множимо результати та отримуємо відповідь.

Відповідь.

2.Неподільне. Його не можна розкласти на квадратні множники.

Такі приклади зустрічаються частіше, ніж із цілими числами. Їхнє рішення не буде точним, тобто цілим. Воно буде дрібним і приблизним. Спростити завдання допоможе розкладання підкореного числа на квадратний множник та число, з якого витягти квадратний корінь не можна.

Розкладаємо число 252 на квадратний та звичайний множник.
Оцінюємо значення кореня. Для цього підбираємо два квадратні числа, які стоять попереду та ззаду підкореного числа у цифровій лінійці.	Підкорене число - 7. Значить, найближче більше квадратне число буде 8, а менше 4. між 2 та 4.
Оцінюємо значення	Імовірніше √7 ближче до 2. Підбираємо таким чином, щоб при множенні цього числа на себе вийшло 7. 2,7 x 2,7 = 7,2. Не підходить, оскільки 7,2>7, беремо менше 2,6 x 2,6 = 6,76. Залишаємо, адже 6,76-7.
Обчислюємо корінь

Як визначити корінь зі складного числа? Теж методом оцінюючи значення кореня.

При розподілі в стовпчик виходить максимально точна відповідь при вилученні кореня.

Візьміть аркуш паперу і розкресліть його так, щоб вертикальна лінія знаходилася посередині, а горизонтальна була з правого боку і нижче початку.
Розбийте підкорене число на кілька чисел. Десяткові дробиділять так: - цілу частину праворуч наліво; - Число після коми зліва направо.	Приклад: 3459842,825694 → 3 45 98 42, 82 56 94 795,28 → 7 95, 28 Допускається, що спочатку залишається непарне число.
Для першого числа (або пари) підбираємо найбільша кількість n. Його квадрат має бути меншим або дорівнює значенню першого числа (пари чисел). Вийміть із цього числа корінь - √n. Запишіть отриманий результат зверху праворуч, а квадрат цього числа знизу праворуч. У нас перша 7. Найближче квадратне число – 4. Воно менше 7, а 4 =
Відніміть знайдений квадрат числа n з першого числа (пари). Результат запишіть під 7. А верхнє число праворуч подвайте і запишіть праворуч 4_х_=_. Примітка: числа мають бути однаковими.
Підбираємо число для виразу з прочерками. Для цього знайдіть таке число, щоб отриманий твір не був більшим або дорівнював поточному числу зліва. У нашому випадку це 8.
Запишіть знайдене число у верхньому правому куті. Це друге число із шуканого кореня. Знесіть наступну пару чисел та запишіть біля отриманої різниці зліва.
Відніміть отриманий справа твір із ліворуч. Подвоїмо число, яке розташоване праворуч угорі і записуємо вираз із прочерками.
Зносимо до різниці, що вийшла, ще пару чисел. Якщо це числа дробової частини, тобто розташовані за комою, то і у верхньому правому кутку біля останньої цифри квадратного кореня, що шукається, ставимо кому. Заповнюємо прочерки у виразі праворуч, підбираючи число так, щоб отриманий твір був меншим або рівним різниці виразу зліва.
Якщо необхідно більше кількості знаків після коми, то дописуйте біля поточної цифри ліворуч і повторюйте дії: віднімання ліворуч, подвоюючи число у верхньому правому кутку, записуємо вираз прочерками, підбираємо множники для нього і так далі.

Як думаєте, скільки часу ви витратите на такі розрахунки? Складно, довго, заплутано. Тоді чому б не спростити собі завдання? Скористайтеся нашою програмою, яка допоможе зробити швидкі та точні розрахунки.

Алгоритм дій

1. Введіть потрібну кількість знаків після коми.

2. Вкажіть ступінь кореня (якщо він більший за 2).

3. Введіть число, з якого плануєте вийняти корінь.

4. Натисніть кнопку «Вирішити».

Обчислення найскладніших математичних дій з онлайн калькуляторомстане простим!

Формули коріння. Властивості квадратного коріння.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

У попередньому уроці ми розібралися, що таке квадратний корінь. Настав час розібратися, які існують формули для коріння, які властивості коренів, і що з цим можна робити.

Формули коренів, властивості коренів та правила дій з корінням- це, по суті, те саме. Формул для квадратного коріння на подив небагато. Що, безумовно, тішить! Точніше, понаписати будь-яких формул можна багато, але для практичної та впевненої роботи з корінням достатньо всього трьох. Решта з цих трьох відбувається. Хоча й у трьох формулах коріння багато хто блукає, та...