Арифметичні обчислення. Відсотки. Переклад в десяткові дроби. Розрахунок з'їдених цукерок

Середнє арифметичне - статистичний показник, який демонструє середнє значення заданого масиву даних. Такий показник розраховується як дріб, у чисельнику якого стоїть сума всіх значень масиву, а в знаменнику - їх кількість. Середнє арифметичне - важливий коефіцієнт, який застосовується в побутових розрахунках.

сенс коефіцієнта

Середнє арифметичне - елементарний показник для порівняння даних і підрахунку прийнятного значення. Наприклад, в різних магазинах продається банку пива конкретного виробника. Але в одному магазині вона коштує 67 рублів, в іншому - 70 рублів, в третьому - 65 рублів, а в останньому - 62 рубля. Досить великий розбіг цін, тому покупцеві буде цікава середня вартість банки, щоб при купівлі товару він міг порівняти свої витрати. В середньому банку пива по місту має ціну:

Середня ціна = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 рублів.

Знаючи середню ціну, легко визначити де вигідно купувати товар, а де доведеться переплатити.

Середнє арифметичні постійно використовується в статистичних розрахунках у випадках, якщо аналізується однорідний набір даних. В наведеному вище прикладі - це ціна банки пива однієї марки. Однак ми не можемо порівняти ціну на пиво різних виробників або ціни на пиво і лимонад, так як в цьому випадку розкид значень буде більше, середня ціна буде змазана і недостовірна, а сам сенс розрахунків спотвориться до карикатурного «середня температура по лікарні». Для розрахунку різнорідних масивів даних використовується середнє арифметичне зважене, коли кожне значення отримує свій ваговий коефіцієнт.

Підрахунок середнього арифметичного

Формула для обчислень гранично проста:

P = (a1 + a2 + ... an) / n,

де an - значення величини, n - загальна кількість значень.

Для чого може використовуватися даний показник? Перше і очевидне його застосування - це статистика. Практично в кожному статистичному дослідженні використовується показник середнього арифметичного. Це може бути середній віквступу в шлюб в Росії, середня оцінка по предмету у школяра або середні витрати на продукти в день. Як вже говорилося вище, без урахування ваг підрахунок середніх значень може давати дивні або абсурдні значення.

Наприклад, президент Російської Федераціїзробив заяву, що за статистикою, середня зарплата росіянина становить 27 000 рублей. Для більшості жителів Росії такий рівень зарплати здався абсурдним. Не дивно, якщо при розрахунку враховувати розмір доходів олігархів, керівників промислових підприємств, великих банкірів з одного боку і зарплати вчителів, прибиральників і продавців з іншого. Навіть середні зарплати за однією спеціальністю, наприклад, бухгалтера, будуть мати серйозні відмінності в Москві, Костромі і Єкатеринбурзі.

Як рахувати середні для різнорідних даних

У ситуаціях з підрахунком заробітної плати важливо враховувати вагу кожного значення. Це означає, що зарплати олігархів і банкірів отримали б вагу, наприклад, 0,00001, а зарплати продавців - 0,12. Це цифри зі стелі, але вони приблизно ілюструють поширеність олігархів і продавців в російському суспільстві.

Таким чином, для підрахунку середнього середніх або середнього значення в неоднорідному масиві даних, потрібно використовувати середнє арифметичне зважене. Інакше ви отримаєте середню зарплату по Росії на рівні 27 000 рублей. Якщо ж ви хочете дізнатися свою середню оцінку з математики або середня кількість забитих шайб обраного хокеїста, то вам підійде калькулятор середнього арифметичного.

Наша програма являє собою простий і зручний калькулятор для розрахунку середнього арифметичного. Для виконання розрахунків вам знадобиться ввести тільки значення параметрів.

Розглянемо кілька прикладів

Розрахунок середньої оцінки

Багато вчителів використовують метод середнього арифметичного для визначення річної оцінки по предмету. Давайте уявимо, що дитина отримала наступні четвертні позначки з математики: 3, 3, 5, 4. Яку річну оцінку йому поставить вчитель? Скористаємося калькулятором і порахуємо середнє арифметичне. Для початку виберете відповідну кількість полів і введіть значення оцінок в що з'явилися осередки:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Учитель округлити значення на користь учня, і школяр отримає за рік тверду четвірку.

Розрахунок з'їдених цукерок

Давайте проілюструємо деяку абсурдність середнього арифметичного. Уявімо, що у Маші і Вови було 10 цукерок. Маша з'їла 8 цукерок, а Вова - всього 2. Скільки цукерок у середньому з'їв кожна дитина? За допомогою калькулятора легко обчислити, що в середньому діти з'їли по 5 цукерок, що абсолютно не відповідає дійсності і здоровому глузду. Цей приклад показує, що показник середнього арифметичного важливо вважати для осмислених наборів даних.

висновок

Розрахунок середнього арифметичного широко використовується в багатьох наукових сферах. Цей показник популярний не тільки в статистичних розрахунках, а й у фізиці, механіці, економіці, медицині або фінансах. Використовуйте наші калькулятори в якості помічника для вирішення завдань на обчислення середнього арифметичного.

Математичний-Калькулятор-Онлайн v.1.0

Калькулятор виконує наступні операції: додавання, віднімання, множення, ділення, робота з десятковими, добування кореня, піднесення до степеня, обчислення відсотків і ін. Операції.

Рішення:

Як працювати з математичним калькулятором

клавіша	позначення	пояснення
5	цифри 0-9	Арабські цифри. Введення натуральних цілих чисел, нуля. Для отримання негативного цілого числа необхідно натиснути клавішу +/-
.	крапка кома)	Роздільник для позначення десяткового дробу. При відсутності цифри перед точкою (коми) калькулятор автоматично підставить нуль перед точкою. Наприклад: .5 - буде записано 0.5
+	знак плюс	Додавання чисел (цілі, десяткові дроби)
-	знак мінус	Віднімання чисел (цілі, десяткові дроби)
÷	знак ділення	Розподіл чисел (цілі, десяткові дроби)
х	знак множення	Множення чисел (цілі, десяткові дроби)
√	корінь	Витяг кореня з числа. При повторному натискання на кнопку "кореня" проводиться обчислення кореня з результату. Наприклад: корінь з 16 = 4; корінь з 4 = 2
x 2	зведення в квадрат	Зведення числа в квадрат. При повторному натискання на кнопку "зведення в квадрат" проводиться зведення в квадрат результату Наприклад: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16
1 / x	дріб	Висновок в десяткові дроби. У чисельнику 1, в знаменнику вводиться число
%	відсоток	Отримання відсотка від числа. Для роботи необхідно ввести: число з якого буде вираховуватися відсоток, знак (плюс, мінус, ділити, помножити), скільки відсотків в чисельному вигляді, кнопка "%"
(	відкрита дужка	Відкрита дужка для завдання пріоритету обчислення. Обов'язкова наявність закритої дужки. Приклад: (2 + 3) * 2 = 10
)	закрита дужка	Закрита дужка для завдання пріоритету обчислення. Обов'язкова наявність відкритої дужки
±	плюс мінус	Змінює знак на протилежний
=	одно	Виводить результат рішення. Також над калькулятором в поле "Рішення" виводиться проміжні обчислення і результат.
←	видалення символу	Видаляє останній символ
З	скидання	Кнопка скидання. Повністю скидає калькулятор в положення "0"

Алгоритм роботи онлайн-калькулятора на прикладах

Додавання.

додавання цілих натуральних чисел { 5 + 7 = 12 }

Додавання цілих натуральних і негативних чисел (5 + (-2) = 3)

Додавання десяткових дробових чисел (0,3 + 5,2 = 5,5)

Віднімання.

Віднімання цілих натуральних чисел (7 - 5 = 2)

Віднімання цілих натуральних і негативних чисел (5 - (-2) = 7)

Віднімання десяткових дробових чисел (6,5 - 1,2 = 4,3)

Множення.

Твір цілих натуральних чисел (3 * 7 = 21)

Твір цілих натуральних і негативних чисел (5 * (-3) = -15)

Твір десяткових дробових чисел (0,5 * 0,6 = 0,3)

Розподіл.

Розподіл цілих натуральних чисел (27/3 = 9)

Розподіл цілих натуральних і негативних чисел (15 / (-3) = -5)

Розподіл десяткових дробових чисел (6,2 / 2 = 3,1)

Витяг кореня з числа.

Витяг кореня з цілого числа (корінь (9) = 3)

Витяг кореня з десяткових дробів (корінь (2,5) = 1,58)

Витяг кореня з суми чисел (корінь (56 + 25) = 9)

Витяг кореня з різниці чисел (корінь (32 - 7) = 5)

Зведення числа в квадрат.

Зведення в квадрат цілого числа ((3) 2 = 9)

Зведення в квадрат десяткових дробів ((2,2) 2 = 4,84)

Переклад в десяткові дроби.

Обчислення відсотків від числа

Збільшити на 15% число 230 (230 + 230 * 0,15 = 264,5)

Зменшити на 35% число 510 (510 - 510 * 0,35 = 331,5)

18% від числа 140 це (140 * 0,18 = 25,2)

З давніх-давен робота з числами поділялась на дві різні області: Одна стосувалася безпосередньо властивостей чисел, інша була пов'язана з технікою рахунку. Під «арифметикою» у багатьох країнах зазвичай мається на увазі саме ця остання область, яка безсумнівно є найстарішою галуззю математики.

Мабуть, найбільшу складність у древніх обчислювачів викликала робота з дробом. Про це можна судити по папірусу Ахмеса (званому також папірусом Ринда), давньоєгипетському твору з математики, датується приблизно 1650 до н.е. Все дробу, що згадуються в папірусі, за винятком 2/3, мають числители, рівні 1. Труднощі поводження з дробом помітна і при вивченні давньовавілонських клинописних табличок. І древні єгиптяни, і вавилоняни, мабуть, виробляли обчислення за допомогою деякої різновиди абака. Наука про числах отримала у древніх греків значного розвитку починаючи з Піфагора, близько 530 до н.е. Що ж стосується безпосередньо техніки обчислення, то в цій області греками було зроблено набагато менше.

Що жили пізніше римляни, навпаки, практично не внесли ніякого вкладу в науку про кількість, зате виходячи з потреб швидко розвивалися виробництва і торгівлі вдосконалили абак як рахунковий пристрій. Про зародження індійської арифметики відомо дуже мало. До нас дійшли лише деякі більш пізні роботи про теорію і практику операцій з числами, написані вже після того, як індійська позиційна система була вдосконалена за допомогою включення в неї нуля. Коли в точності це сталося, нам достеменно невідомо, але саме тоді були закладені основи для наших найбільш поширених арифметичних алгоритмів.

Індійська система числення і перші арифметичні алгоритми були запозичені арабами. Самий ранній з дійшли до нас арабських підручників арифметики був написаний аль-Хорезмі близько 825. У ньому широко використовуються і пояснюються індійські цифри. Пізніше цей підручник був переведений на латинь і справив значний вплив на Західну Європу. Спотворений варіант імені аль-Хорезмі дійшов до нас в слові «алгорізм», яке при подальшому змішуванні з грецьким словом арітмосперетворилося в термін «алгоритм».

Індо-арабська арифметика стала відома в Західній Європі в основному завдяки твору Л.Фібоначчі книга абака (Liber abaci, 1202). Метод абацістов пропонував спрощення, подібні використанню нашої позиційної системи, у всякому разі для додавання і множення. Абацістов змінили алгоритміки, які використовували нуль і арабська метод поділу та добування квадратного кореня. Один з перших підручників арифметики, автор якого нам невідомий, вийшов в Тревізо (Італія) в 1478. У ньому йшлося про розрахунки при здійсненні торгових операцій. Цей підручник став попередником багатьох з'явилися згодом підручників арифметики. До початку 17 ст. в Європі було опубліковано більше трьохсот таких підручників. Арифметичні алгоритми за цей час були істотно вдосконалені. У 16-17 вв. з'явилися символи арифметичних операцій, такі як =, +, -, ґ, е і.

Механізація арифметичних обчислень.

З розвитком суспільства росла і потреба в більш швидких і точних обчисленнях. Ця потреба викликала до життя чотири чудових винаходи: індо-арабські числові позначення, десяткові дроби, логарифми і сучасні обчислювальні машини.

Насправді найпростіші лічильні пристрої існували до появи сучасної арифметики, бо в давнину елементарні арифметичні операції проводилися на абаці (в Росії з цією метою використовувалися рахунки). Найпростішим сучасним обчислювальним пристроєм можна вважати логарифмічну лінійку, що представляє собою дві ковзаючі одна вздовж іншої логарифмічні шкали, що дозволяє виробляти множення і ділення, підсумовуючи і віднімаючи відрізки шкал. Винахідником першого механічної підсумовує машини прийнято вважати Б. Паскаля (одна тисяча шістсот сорок два). Пізніше в тому ж столітті Г. Лейбніц (1671) в Німеччині і С.Морленд (1673) в Англії винайшли машини для виконання множення. Ці машини стали попередницями настільних обчислювальних пристроїв (арифмометрів) 20 ст., Які давали можливість швидко і точно проводити операції додавання, віднімання, множення і ділення.

У 1812 англійський математик Ч.Беббідж приступив до створення проекту машини для обчислення математичних таблиць. Хоча робота над проектом тривала довгі роки, вона так і залишилася незавершеною. Проте проект Беббіджа послужив стимулом до створення сучасних електронних обчислювальних машин, перші зразки яких з'явилися близько 1944. Швидкодія цих машин просто вражала: з їх допомогою за хвилини або години вдавалося вирішити завдання, раніше вимагали багатьох років безперервних обчислень навіть із застосуванням арифмометрів.

Цілі позитивні числа.

нехай Aі B- дві кінцевих безлічі, що не мають спільних елементів, і нехай Aмістить nелементів, а Bмістить mелементів. тоді безліч S, Що складається з усіх елементів множин Aі B, Взятих разом, є кінцевим безліччю, що містить, скажімо, sелементів. Наприклад, якщо Аскладається з елементів ( a, b, c), Безліч В- з елементів ( x, y), То безліч S = A + Bі складається з елементів ( a, b, c, x, y). число sназивається сумоючисел nі m, І ми записуємо це так: s = n + m. У цьому записі числа nі mназиваються складовими, Операція знаходження суми - складанням. Символ операції «+» читається як «плюс». безліч P, Що складається з усіх упорядкованих пар, в яких перший елемент вибраний з безлічі A, А другий - з безлічі B, Є кінцевим безліччю, що містить, скажімо, pелементів. Наприклад, якщо, як і раніше, A = {a, b, c}, B = {x, y), То P = AґB = {(a,x), (a,y), (b,x), (b,y), (c,x), (c,y)). число pназивається творомчисел aі b, І ми записуємо це так: p = aґbабо p = aЧb. числа aі bв творі називаються множителями, Операція знаходження твори - множенням. Символ операції ґ читається як «помножене на».

Можна показати, що з цих визначень слідують наведені нижче фундаментальні закони додавання і множення цілих чисел:

- закон коммутативности складання: a + b = b + a;

- закон асоціативності додавання: a + (b + c) = (a + b) + c;

- закон коммутативности множення: aґb = bґa;

- закон асоціативності множення: aґ(bґc) = (aґb)ґc;

- закон дистрибутивности: aґ(b + c)= (aґb) + (aґc).

якщо aі b- два позитивних цілих числа і якщо існує позитивне ціле число c, Таке, що a = b + c, То ми говоримо, що aбільше b(Це записується так: a> b), або що bменше a(Це записується так: b). Для будь-яких двох чисел aі bвиконується одна з трьох співвідношень: або a = b, або a> b, або a.

Перші два фундаментальних закону говорять про те, що сума двох або більшого числадоданків не залежить від того, як вони згруповані і в якому порядку вони розташовані. Аналогічно, з третього і четвертого законів випливає, що добуток двох або більшого числа множників не залежить від того, як згруповані множники і який їхній порядок. Ці факти відомі як «узагальнені закони коммутативности і асоціативності» додавання і множення. З них випливає, що при написанні суми кількох доданків або твори кількох множників порядок доданків і множників несуттєвий і можна опустити дужки.

Зокрема, повторна сума a + a + ... + aз nдоданків дорівнює nґa. повторне твір aґaґ ... ґaз nмножників домовилися позначати a n; число aназивається підставою, А число n – показником повторного твори, Саме повторне твір - n-й ступенем числа a. Ці визначення дозволяють встановити наступні фундаментальні закони для показників ступеня:

Ще один важливий наслідок з визначень: aґ1 = aдля будь-якого цілого числа a, Причому 1 - єдине ціле число, що володіє цією властивістю. Число 1 називається одиницею.

Подільники цілих чисел.

якщо a, b, c- цілі числа і aґb = c, то aі bє дільниками числа c. Так як aґ1 = aдля будь-якого цілого числа a, Ми робимо висновок, що 1 - дільник будь-якого цілого числа і що будь-яке ціле число є дільник самого себе. Будь-дільник цілого числа a, Відмінний від 1 або a, Отримав назву власного подільникачисла a.

Будь-яке ціле число, відмінне від 1 і не має власних дільників, називається простим числом. (Прикладом простого числа може служити число 7.) Ціле число, яке має власні подільники, називається складовим числом. (Наприклад, число 6 складене, так як 2 ділить 6.) Зі сказаного випливає, що безліч всіх цілих чисел поділяється на три класи: одиниця, прості числаі складені числа.

У теорії чисел є дуже важлива теорема, яка стверджує, що «будь-яке ціле число може бути представлено у вигляді добутку простих чисел, і з точністю до порядку множників таке уявлення єдино». Ця теорема відома як «основна теорема арифметики». Вона показує, що прості числа служать тими «цеглинками», з яких за допомогою множення можна побудувати всі цілі числа, відмінні від одиниці.

Якщо задано деякий безліч цілих чисел, то найбільше ціле число, яке є дільником кожного числа, що входить в це безліч, називається найбільшим спільним дільникомданого безлічі чисел; найменше ціле число, делителем якого служить кожне число з даного безлічі, називається найменшим спільним кратнимданого безлічі чисел. Так, найбільший спільний дільник чисел 12, 18 і 30 дорівнює 6. Найменше спільне кратне тих же самих чисел одно 180. Якщо найбільший спільний дільник двох цілих чисел aі bдорівнює 1, то числа aі bназиваються взаємно простими. Наприклад, числа 8 і 9 - взаємно прості, хоча жодна з них не є простим.

Позитивні раціональні числа.

Як ми бачили, цілі числа є абстракціями, що виникають з процесу перерахунку кінцевих наборів предметів. Однак для потреб повсякденному життіцілих чисел виявляється недостатньо. Наприклад, при вимірюванні довжини кришки столу прийнята одиниця вимірювання може виявитися занадто великою і не вкладатися ціле число раз в вимірюваної довжині. Щоб впоратися з подібною трудністю, з допомогою т.зв. дрібних(Тобто, буквально, «поламаних») чисел вводиться менша одиниця довжини. якщо d- деяке ціле число, то дрібна одиниця 1 / dвизначається властивістю dґ1/d= 1, і якщо n- ціле число, то nґ1/dми записуємо просто як n/d. Такі нові числа отримали назву «звичайних» або «простих» дробів. Ціле число nназивається числителемдробу, а число d – знаменником. Знаменник показує, на скільки рівних часток розділили одиницю, а чисельник показує, скільки таких часток взяли. якщо n d, дріб називається правильною; якщо ж n = dабо n> d, То - неправильною. Цілі числа розглядаються як дроби з знаменником, рівним 1; наприклад, 2 = 2/1.

Так як дріб n/dможна інтерпретувати як результат ділення nодиниць на dрівних часток і взяття однієї з таких часток, дріб можна розглядати як «приватна» або «ставлення» двох цілих чисел nі d, А межу дробу розуміти як знак ділення. Тому дробу (в т.ч. і цілі числа як окремий випадок дробів) зазвичай називають раціональнимичислами (від лат. ratio - відношення).

дві дробу n/dі ( kґn)/(kґd), Де k- ціле число, можна розглядати як рівні; наприклад, 4/6 = 2/3. (Тут n = 2, d= 3 і k= 2.) Ця обставина відомо як «основна властивість дробу»: значення будь дробу не зміниться, якщо чисельник і знаменник дробу помножити (або розділити) на одне і те ж число. Звідси випливає, що будь-яку дріб можна записати як відношення двох взаємно простих чисел.

З запропонованої вище інтерпретації дробу також випливає, що в якості суми двох дробів n/dі m/d, Що мають один і той же знаменник, слід прийняти дріб ( n + m)/d. При додаванні дробів з різними знаменниками потрібно спочатку перетворити їх, користуючись основною властивістю дробу, в еквівалентні дроби з однаковими (загальним) знаменником. наприклад, n 1 /d 1 = (n 1 Ч d 2)/(d 1 Ч d 2) і n 2 /d 2 = (n 2 Ч d 1)/(d 1 Ч d 2), звідки

Можна було б вчинити інакше і спочатку знайти найменше спільне кратне, скажімо, m, знаменників d 1 і d 2. Тоді існують цілі числа k 1 і k 2, такі, що m = k 1 Ч d 1 = k 2 Ч d 2, і ми отримуємо:

При такому способі число mзазвичай називається найменшим спільним знаменникомдвох дробів. Ці два результату еквівалентні за визначенням рівності дробів.

Твір двох дробів n 1 /d 1 і n 2 /d 2 приймається рівним дробу ( n 1 Ч n 2)/(d 1 Ч d 2).

Вісім фундаментальних законів, наведених вище для цілих чисел, справедливі і в тому випадку, якщо під a, b, cрозуміти довільні позитивні раціональні числа. Крім того, якщо дані два позитивних раціональних числа n 1 /d 1 і n 2 /d 2, то ми говоримо, що n 1 /d 1 > n 2 /d 2 тоді і тільки тоді, коли n 1 Ч d 2 > n 2 Ч d 1 .

Позитивні дійсні числа.

Застосування чисел для вимірювання довжин відрізків прямих наводить на думку, що для будь-яких двох даних відрізків прямих ABі CDповинен існувати певний відрізок UV, Можливо, дуже малий, який можна було б відкласти ціле число раз в кожному з відрізків ABі CD. Якщо така загальна одиниця вимірювання довжини UVіснує, то відрізки ABі CDназиваються сумірними. Уже в давнину піфагорійці знали про існування несумірних відрізків прямих. Класичний приклад - сторона квадрата і його діагональ. Якщо стати на бік квадрата за одиницю довжини, то чи не знайдеться такого раціонального числа, яке могло б бути мірою діагоналі цього квадрата. Переконатися в цьому можна, розмірковуючи від протилежного. Дійсно, припустимо, що раціональне число n/dє міра діагоналі. Але тоді відрізок 1 / dможна було б відкласти nраз на діагоналі і dраз на стороні квадрата попри те, що діагональ і сторона квадрата непорівнянні. Отже, незалежно від вибору одиниці довжини не всі відрізки прямих мають довжини, що виражаються раціональними числами. Щоб все відрізки прямої можна було вимірювати за допомогою деякої одиниці довжини, система числення має бути розширена таким чином, щоб вона включала числа, що представляють результати вимірювання довжин відрізків прямих, непорівнянних із обраної одиницею довжини. Ці нові числа називаються позитивними ірраціональнимичислами. Останні разом з позитивними раціональними числами утворюють більш широке безліч чисел, елементи якого називаються позитивними дійснимичислами.

якщо OR- горизонтальна полупрямая, яка виходить із точки O, U- точка на OR, Відмінна від початку координат O, і OUобраний в якості одиничного відрізка, то кожній точці Pна променя ORможна поставити у відповідність єдине позитивне дійсне число p, Що виражає довжину відрізка OP. Таким чином ми встановлюємо взаємно однозначна відповідність між позитивними дійсними числами і точками, відмінними від O, На променя OR. якщо pі q- два позитивних дійсних числа, що відповідають точкам Pі Qна OR, То ми пишемо p> q,p = qабо p в залежності від того, розташована точка Pправоруч від точки Qна OR, Зівпадає з Qабо розташована зліва від Q.

Введення позитивних ірраціональних чисел істотно розширило сферу застосування арифметики. Наприклад, якщо a- будь-яке позитивне дійсне число і n- будь-яке ціле число, то існує єдине позитивне дійсне число b, Таке, що b n = a. це число bназивається коренем n-го ступеня з aі записується як, де символ за своїми контурами нагадує латинську букву r, З якої починається латинське слово radix(Корінь) і називається радикалом. Можна показати, що

Ці співвідношення відомі як основні властивості радикалів.

З практичної точки зору дуже важливо, що будь-яке позитивне ірраціональне число можна як завгодно точно апроксимувати позитивним раціональним числом. Це означає, що якщо r- позитивне ірраціональне число і e- як завгодно мале позитивне раціональне число, то можна знайти позитивні раціональні числа aі b, Такі, що a і b. Наприклад, число ірраціонально. якщо вибрати e= 0,01, то; якщо ж вибрати e= 0,001, то.

Індо-арабська система числення.

Алгоритми, або схеми обчислень, арифметики залежать від використовуваної системи числення. Цілком очевидно, наприклад, що методи обчислень, придумані для римської системи числення, можуть відрізнятися від алгоритмів, винайдених для діючої нині індо-арабської системи. Більш того, деякі системи числення можуть виявитися зовсім невідповідними для побудови арифметичних алгоритмів. Історичні дані свідчать, що до прийняття індо-арабської системи позначення чисел взагалі не існувало будь-яких алгоритмів, які давали можливість досить легко за допомогою «олівця і паперу» виконувати додавання, віднімання, множення і ділення чисел. За довгі роки існування індо-арабської системи були розроблені спеціально до неї пристосовані численні алгоритмічні процедури, так що наші сучасні алгоритми є продуктом цілої епохи розвитку і вдосконалення.

В індо-арабської системі числення кожен запис, що позначає число, являє собою набір з десяти основних символів 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, званих цифрами. Наприклад, індо-арабське позначення числа чотири сотні двадцять три має вигляд послідовності цифр 423. Значення цифри в індо-арабської записи числа визначається її місцем, або позицією, в послідовності цифр, що утворюють цей запис. У наведеному нами прикладі цифра 4 означає чотири сотні, цифра 2 - два десятка і цифра 3 - три одиниці. Дуже важливу роль відіграє цифра 0 (нуль), яка використовується для заповнення порожніх позицій; наприклад, запис 403 означає число чотири сотні зо три, тобто відсутні десятки. якщо a, b, c, d, eозначають окремі цифри, то в індо-арабської системі abcdeозначає скорочений запис цілого числа

Так як кожне ціле число допускає єдине уявлення у вигляді

де n- ціле число, а a 0 , a 1 ,..., a n- цифри, ми робимо висновок, що в даній системі числення кожне ціле число можна представити єдиним способом.

Індо-арабська система числення дозволяє стисло записувати не тільки цілі, але і будь-які позитивні дійсні числа. Введемо позначення 10 - nдля 1/10 n, де n- довільне натуральне число. Тоді, як можна показати, будь-яке позитивне дійсне число представимо, причому єдиним чином, у вигляді

Цей запис можна стиснути, записавши у вигляді послідовності цифр

де знак, званий коми, між a 0 і b 1 вказує, де починаються негативні ступеня числа 10 (в деяких країнах з цією метою використовується точка). Такий спосіб запису позитивного дійсного числа отримав назву десяткового розкладання, а дріб, представлена ​​у вигляді свого десяткового розкладання, - десяткової.

Можна показати, що для позитивного раціонального числа десяткове розкладання після коми або обривається (наприклад, 7/4 = 1,75), або повторюється (наприклад, 6577/1980 = 3,32171717 ...). Якщо число ірраціонально, то його десяткове розпаду невідомі обривається і не повторюється. Якщо десяткове розкладання ірраціонального числа на якомусь знаку після коми обірвати, ми отримаємо його раціональне наближення. Чим далі праворуч від коми розташований знак, на якому ми обриваємо десяткове розкладання, тим краще раціональне наближення (тим менше помилка).

В індо-арабської системі число записується за допомогою десяти основних цифр, значення яких залежить від їх місця, або позиції, в запису числа (значення цифри дорівнює добутку цифри на деяку ступінь числа 10). Тому така система називається десятковою позиційною системою. Позиційні системи числення дуже зручні для побудови арифметичних алгоритмів, і саме цим пояснюється таке широке поширення індо-арабської системи числення в сучасному світі, Хоча в різних країнахдля позначення окремих цифр можуть використовуватися різні символи.

Назви чисел.

Назви чисел в індо-арабської системі будуються за певними правилами. Найбільш уживаний спосіб найменування чисел полягає в тому, що число насамперед ділять на групи з трьох цифр справа наліво. Ці групи називаються «періодами». Перший період називається періодом «одиниць», другий - періодом «тисяч», третій - періодом «мільйонів» і т.д., як показано на наступному прикладі:

Кожен період читається так, як якщо б він був тризначним числом. Наприклад, період 962 читається як "дев'ятсот шістдесят два". Щоб прочитати число, що складається з декількох періодів, прочитується група цифр в кожному періоді, починаючи з самого лівого і далі по порядку зліва направо; після кожної групи слід назва періоду. Наприклад, наведене вище число читається як "сімдесят три трильйона вісімсот сорок два мільярда дев'ятсот шістдесят два мільйони п'ятсот тридцять дві тисячі сімсот дев'яносто вісім". Зверніть увагу на те, що при читанні і запису цілих чисел союз «і» зазвичай не використовується. Назва розряду одиниць опускається. За трильйонами слідують квадрильйонів, квінтильйон, секстильйонів, септілліони, октілліони, ноналліони, децілліони. Кожен період має значення, в 1000 разів перевищує значення попереднього.

В індо-арабської системі прийнято дотримуватися наступної процедури читання цифр, що стоять праворуч від десяткової коми. Тут позиції називаються (по порядку зліва направо): «десяті», «соті», «тисячні», «десятитисячні» і т.д. Правильна десяткова дріб читається так, як якщо б цифри після десяткової коми утворювали ціле число, після чого додається назва позиції останньої праворуч цифри. Наприклад, 0,752 читається як «сімсот п'ятдесят дві тисячні». Змішане десяткове число читається шляхом об'єднання правила найменування цілих чисел з правилом найменування правильних десяткових дробів. Наприклад, 632,752 читається як "шістсот тридцять дві цілих сімсот п'ятдесят дві тисячні». Зверніть увагу на слово «цілих», промовлене перед десяткової коми. В останні рокидесяткові числа все частіше читають більше просто, наприклад, 3,782 як «три кома сімсот вісімдесят два".

Додавання.

Тепер ми вже готові до того, щоб проаналізувати арифметичні алгоритми, з якими знайомлять в початковій школі. Ці алгоритми відносяться до дій над позитивними дійсними числами, записаними у вигляді десяткових розкладів. Ми припускаємо, що елементарні таблиці додавання і множення вивчені напам'ять.

Розглянемо задачу на додавання: обчислити 279,8 + 5,632 + 27,54:

Спочатку ми підсумовуємо однакові ступеня числа 10. Число 19Ч10 -1 розбивається по дистрибутивному закону на 9Ч10 -1 і 10Ч10 -1 = 1. Одиницю ми переносимо вліво і додаємо до 21, що дає 22. У свою чергу, число 22 ми розбиваємо на 2 і 20 = 2Ч10. Число 2Ч10 переносимо вліво і додаємо до 9Ч10, що дає 11Ч10. Нарешті, 11Ч10 розбиваємо на 1Ч10 і 10Ч10 = 1Ч10 2, 1Ч10 2 переносимо вліво і додаємо до 2Ч10 2, що дає 3Ч10 2. Остаточна сума виявляється рівною 312,972.

Ясно, що пророблені обчислення можна уявити в більш стислій формі, заодно використавши її як приклад алгоритму складання, якому вчать у школі. Для цього всі три числа ми виписуємо одне під іншим так, щоб десяткові коми виявилися на одній вертикалі:

Почавши справа, знаходимо, що сума коефіцієнтів при 10 -3 дорівнює 2, що і записуємо в відповідному стовпці під рискою. Сума коефіцієнтів при 10 -2 дорівнює 7, що також записуємо в відповідному стовпці під рискою. Сума коефіцієнтів при 10 -1 дорівнює 19. Число 9 ми записуємо під рискою, а 1 переносимо в попередній стовпець, де стоять одиниці. З урахуванням цієї одиниці сума коефіцієнта в цьому стовпці виявляється рівною 22. Ми записуємо одну двійку під рискою, а іншу переносимо в попередній стовпець, де стоять десятки. З урахуванням перенесеної двійки сума коефіцієнтів в цьому стовпці дорівнює 11. Одну одиницю ми записуємо під рискою, а іншу переносимо в попередній стовпець, де стоять сотні. Сума коефіцієнтів в цьому стовпці виявляється рівною 3, що і записуємо під рискою. Необхідна сума дорівнює 312,972.

Віднімання.

Віднімання - це дія, зворотне додаванню. Якщо три позитивних дійсних числа a, b, cпов'язані між собою так, що a + b = c, То ми записуємо a = c - b, Де символ «-» читається як «мінус». знаходження числа aпо відомим числах bі cназивається «відніманням». число cназивається зменшуваним, число b- «від'ємником», а число a- «різницею». Оскільки ми маємо справу з позитивними дійсними числами, повинна виконуватися умова c> b.

Розглянемо приклад на віднімання: обчислити 453,87 - 82,94.

Перш за все, запозичуючи в разі необхідності одиницю зліва, ми перетворимо розкладання зменшуваного так, щоб його коефіцієнт при будь-якого ступеня числа 10 був більше коефіцієнта від'ємника при тій же мірі. З 4Ч10 2 ми запозичуємо 1Ч10 2 = 10Ч10, додаючи останнє число до наступного члену розкладання, що дає 15Ч10; аналогічно ми запозичуємо 1Ч10 0, або 10Ч10 -1, і додаємо це число до передостаннього члену розкладання. Після цього ми отримуємо можливість зробити віднімання коефіцієнтів при однакових ступенях числа 10 і легко знаходимо різницю 370,93.

Запис операцій віднімання можна уявити в більш стислому вигляді і отримати приклад алгоритму віднімання, що вивчається в школі. Запишемо від'ємник під зменшуваним так, щоб їх десяткові коми виявилися на одній вертикалі. Почавши справа, знайдемо, що різниця коефіцієнтів при 10 -2 дорівнює 3, і це число запишемо в тому ж стовпці під рискою. Так як в наступному стовпці зліва ми не можемо відняти 9 з 8, ми змінюємо трійку в положенні одиниць зменшуваного на двійку і розглядаємо число 8 в позиції десятих як 18. Після вирахування 9 з 18 ми отримуємо 9 і т.д., тобто .

Множення.

Розглянемо спочатку т.зв. «Короткий» множення - множення позитивного дійсного числа на одне з однозначних чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, наприклад, 32,67ґ4. Користуючись законом дистрибутивности, а також законами асоціативності і коммутативности множення, ми отримуємо можливість розбивати множники на частини і розміщувати їх більш зручним чином. наприклад,

Ці обчислення можна записати більш компактно наступним чином:

Процес стиснення можна продовжити. Запишемо множник 4 під множимо 32,67, як зазначено:

Так як 4ґ7 = 28, ми записуємо під рисою цифру 8, а 2 поміщаємо над цифрою 6 множимо. Далі, 4ґ6 = 24, що з урахуванням перенесеної з шпальти справа дає 26. Цифру 6 ми записуємо під рискою, а 2 записуємо над цифрою 2 множимо. Потім ми отримуємо 4ґ2 = 8, що в поєднанні з перенесеної двійкою дає 10. Цифру 0 ми підписуємо під рискою, а одиницю - над цифрою 3 множимо. Нарешті, 4ґ3 = 12, що з урахуванням перенесеної одиниці дає 13; число 13 записуємо під рискою. Поставивши десяткову кому, отримуємо відповідь: твір одно 130,68.

«Довге» множення - це просто неодноразово повторене «короткий» множення. Розглянемо, наприклад, множення числа 32,67 на число 72,4. Розташуємо множник під множимо, як зазначено:

Виробляючи справа наліво короткий множення, ми отримуємо перше приватне твір 13,068, друге - 65,34 і третє - 2286,9. Згідно із законом дистрибутивности, твір, яке потрібно знайти, є сума цих приватних творів, або 2365,308. У письмовій записи десяткова кома в приватних творах опускається, але їх потрібно правильно розташовувати «сходинками», щоб потім підсумувати і отримати повне твір. Число знаків після десяткової коми в творі дорівнює сумі числа знаків після коми в множимо і множителе.

Розподіл.

Розподіл - операція, зворотна множенню; подібно до того, як множення замінює неодноразово повторене складання, розподіл замінює неодноразово повторене віднімання. Розглянемо, наприклад, таке питання: скільки разів 3 міститься в 14? Повторюючи операцію віднімання 3 з 14, ми знаходимо, що 3 «входить» в 14 чотири рази, і ще «залишається» число 2, тобто

Число 14 називається діленим, Число 3 - дільником, Число 4 - приватнимі число 2 - залишком. Словами вийшло співвідношення можна виразити так:

ділене = (дільник ґ приватне) + залишок,

0 Ј залишок

Щоб знайти приватне і залишок від ділення 1400 на 3 за допомогою багаторазового віднімання 3, треба було б затратити чимало часу і праці. Процедуру можна було б істотно прискорити, якщо спочатку віднімати з 1400 по 300, потім з залишку по 30 і, нарешті, по 3. Після чотириразового вирахування 300 ми отримали б в залишку 200; після шестиразового вирахування з 200 числа 30 залишок виявився б рівним 20; нарешті, після шестиразового вирахування з 20 числа 3 ми отримаємо залишок 2. Отже,

Приватне і залишок, які потрібно знайти, рівні, відповідно, 466 і 2. Обчислення можна організувати і потім послідовно піддати стисненню наступним чином:

Наведені вище міркування можна застосувати, якщо ділене і дільник - будь-які позитивні дійсні числа, виражені в десяткового системі. Проілюструємо це на прикладі 817,65ё23,7.

Спочатку дільник за допомогою зсуву десяткової коми необхідно перетворити в ціле число. При цьому десяткова кома діленого зсувається на таке ж число десяткових знаків. Дільник і ділене розташовуються, як показано нижче:

Визначимо, скільки разів дільник міститься в тризначному числі 817, першої частини діленого, яку ми ділимо на дільник. Так як за оцінками він міститься три рази, ми множимо 237 на 3 і твір 711 віднімаємо з 817. Різниця 106 менше дільника. Це означає, що число 237 входить в пробне ділене не більше трьох разів. Цифра 3, написана під цифрою 2 дільника нижче горизонтальної риси, - перша цифра приватного, яке потрібно знайти. Після того, як ми знесемо вниз наступну цифру діленого, вийде наступне пробне ділене 1066, і треба визначити, скільки разів дільник 237 укладається в числі 1 066; припустимо, що 4 рази. Множимо дільник на 4 і отримуємо твір 948, яке віднімаємо з 1066; різницю виявляється рівною 118, що означає, що наступна цифра приватного дорівнює 4. Потім ми зносимо наступну цифру діленого і повторюємо всю процедуру, описану вище. На цей раз виявляється, що пробне ділене 1185 точно (без залишку) ділиться на 237 (залишок від ділення нарешті виявляється рівним 0). Відокремивши десяткової коми в приватному стільки ж знаків, скільки їх відокремлено в подільному (нагадаємо, що раніше ми десяткову кому переносили), отримаємо відповідь: приватне одно 34,5.

Дробу.

Обчислення з дробом включають додавання, віднімання, множення і ділення, а також спрощення складних дробів.

Додавання дробів з одним і тим же знаменником проводиться шляхом складання числителей, наприклад,

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

Якщо дроби мають різні знаменники, то попередньо їх необхідно привести до спільного знаменника, тобто перетворити в дроби з однаковими знаменниками. Для цього ми знаходимо найменший спільний знаменник (найменше число, кратне кожному з даних знаменників). Наприклад, при додаванні 2/3, 1/6 і 3/5 найменший спільний знаменник дорівнює 30:

Підсумовуючи, отримуємо

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

Віднімання дробів проводиться так само, як їх складання. Якщо знаменники однакові, то віднімання зводиться до віднімання числителей: 10/13 - 2/13 = 8/13; якщо дроби мають різні знаменники, то попередньо необхідно привести їх до спільного знаменника:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

При множенні дробів їх чисельники і знаменники множаться окремо. наприклад,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

Щоб розділити одну дріб на іншу, необхідно помножити перший дріб (ділене) на дріб, зворотний другий (делителю) (щоб отримати зворотній дріб, треба поміняти місцями чисельник і знаменник вихідної дробу), тобто ( n 1 /d 1) е ( n 2 /d 2) = (n 1 Ч d 2)/(d 1 Ч n 2). наприклад,

3 / 4ё7 / 8 = 3 / 4ґ8 / 7 = 24/28 = 6/7.

Змішане число є сумою (або різницю) цілого числа і дроби, наприклад, 4 + 2/3 або 10 - 1/8. Так як ціле число можна розглядати як дріб з знаменником, рівним 1, змішане число є не що інше, як сума (або різниця) двох дробів. наприклад,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

Складною називається дріб, що має дріб або в чисельнику, або в знаменнику, або в чисельнику і знаменнику. Таку дріб можна перетворити в просту:

Квадратний корінь.

якщо n r, Таке, що r 2 = n. число rназивається квадратним коренемз nі позначається. У школі вчать витягувати квадратний корінь двома способами.

Перший спосіб більш популярний, оскільки він простіше і його легше застосовувати; обчислення за цим методом легко реалізуються на настільному калькуляторі і узагальнюються на випадок кубічних коренів і коренів більш високого ступеня. Заснований метод на тому, що якщо r 1 - наближення до кореня, то r 2 = (1/2)(r 1 + n/r 1) - більш точна апроксимація кореня.

Проілюструємо процедуру на прикладі обчислення квадратного кореня з якогось числа, укладеного між 1 і 100, скажімо, числа 40. Так як 6 2 = 36, а 7 2 = 49, ми робимо висновок, що 6 - найкраще наближення до в цілих числах. Більш точне значення до виходить з 6 наступним чином. Розділивши 40 на 6, отримаємо 6,6 (з округленням до першого після коми парногочисла десятих). Щоб отримати друге наближення до, усереднити два числа 6 і 6,6 і отримаємо 6,3. Повторивши процедуру, отримаємо ще краще наближення. Розділивши 40 на 6,3, знаходимо число 6,350, і третє наближення виявляється рівним (1/2) (6,3 + 6,350) = 6,325. Ще одне повторення дає 40ё6,325 = 6,3241106, і четверта апроксимація виявляється рівною (1/2) (6,325 + 6,3241106) = 6,3245553. Процес може тривати як завгодно довго. У загальному випадку кожне наступне наближення може містити вдвічі більше цифр, Ніж попереднє. Так, в нашому прикладі, оскільки перше наближення, ціле число 6, містить тільки одну цифру, ми можемо утримувати в другому наближенні два знака, в третьому - чотири і в четвертому - вісім.

якщо число nне лежить між 1 і 100, то слід попередньо розділити (або помножити) nна деяку ступінь числа 100, скажімо, на k-у, щоб твір виявився в інтервалі від 1 до 100. Тоді квадратний корінь з добутку буде перебувати в інтервалі від 1 до 10, і після того, як він буде витягнутий, ми, помноживши (або розділивши) отримане число на 10 k, Знайдемо шуканий квадратний корінь. Наприклад, якщо n= 400000, то ми спочатку ділимо 400000 на 100 2 і отримуємо число 40, що лежить в інтервалі від 1 до 100. Як показано вище, приблизно дорівнює 6,3245553. Помножившице число на 10 2, отримуємо 632,45553 як наближеного значення для, а число 0,63245553 служить наближеним значенням для.

Друга зі згаданих вище процедур заснована на алгебраїчному тотожність ( a + b) 2 = a 2 + (2a + b)b. На кожному кроці вже отримана частина квадратного кореня приймається за a, А частина, яку ще потрібно визначити, - за b.

Кубічний корінь.

Для вилучення кубічного кореня з позитивного дійсного числа існують алгоритми, аналогічні алгоритмам вилучення квадратного кореня. Наприклад, щоб знайти кубічний корінь з числа n, Спочатку ми аппроксимируем корінь деяким числом r 1. Потім будуємо більше точне значення r 2 = (1/3)(2r 1 + n/r 1 2), яке в свою чергу поступається місцем ще більш точному наближенню r 3 = (1/3)(2r 2 + n/r 2 + 2) і т.д. Процедура побудови все більш точних наближень кореня може тривати як завгодно довго.

Розглянемо, наприклад, обчислення кубічного кореня з числа, укладеного між 1 і 1000, скажімо, числа 200. Так як 5 3 = 125 і 6 3 = 216, ми робимо висновок, що 6 - найближче до кубічному кореню з 200 ціле число. Отже, вибираємо r 1 = 6 і послідовно обчислюємо r 2 = 5,9, r 3 = 5,85, r 4 = 5,8480. У кожному наближенні, починаючи з третього, дозволяється утримувати число знаків, яке на одиницю менше подвоєного числа знаків в попередньому наближенні. Якщо ж число, з якого потрібно витягти кубічний корінь, не укладена між 1 і 1000, то попередньо його необхідно розділити (або помножити) на деяку, скажімо, k-у, ступінь числа 1000 і тим самим привести в потрібний інтервал чисел. Кубічний корінь з знову отриманого числа лежить в інтервалі від 1 до 10. Після того, як він буде вирахувано, його необхідно помножити (або розділити) на 10 k, Щоб отримати кубічний корінь з вихідного числа.

Другий, більш складний, алгоритм знаходження кубічного кореня з позитивного дійсного числа заснований на використанні алгебраїчного тотожності ( a + b) 3 = a 3 + (3a 2 + 3ab + b 2)b. В даний час алгоритми вилучення кубічних коренів, так само як і коренів більш високих ступенів, в середній школіне вивчають, так як їх легше знаходити за допомогою логарифмів або алгебраїчними методами.

Алгоритм Евкліда.

Цей алгоритм був викладений в засадахЕвкліда (бл. 300 до н.е.). З його допомогою обчислюється найбільший спільний дільник двох цілих чисел. Для випадку позитивних чисел він формулюється у вигляді процедурного правила: «Розділіть більше з двох даних чисел на меншу. Потім розділіть дільник на залишок від ділення і продовжуйте діяти так само, поки останній дільник не розділені остачі на останній залишок. Останній з подільників і буде найбільшим загальним дільником двох даних чисел ».

Як числового прикладу розглянемо два цілих числа 3132 і 7200. Алгоритм в цьому випадку зводиться до наступних дій:

Найбільший спільний дільник збігається з останнім дільником - числом 36. Пояснення просто. У нашому прикладі ми бачимо з останнього рядка, що число 36 ділить число 288. З передостанній рядки слід, що число 36 ділить 324. Так, рухаючись від рядка до рядка вгору, ми переконуємося в тому, що число 36 ділить 936, 3132 і 7200 . Ми стверджуємо тепер, що число 36 є спільний дільник чисел 3132 і 7200. Нехай g- найбільший спільний дільник чисел 3132 і 7200. Так як gділить 3132 і 7200, з першого рядка слід, що gділить 936. З другого рядка ми робимо висновок, що gділить 324. Так, спускаючись від рядка до рядка, ми переконуємося в тому, що gділить 288 і 36. А так як 36 - загальний дільник чисел 3132 і 7200 і ділиться на найбільший спільний їх дільник, ми робимо висновок, що 36 і є цей найбільший спільний дільник.

Перевірка.

Арифметичні обчислення вимагають постійної уваги і, отже, чреваті помилками. Тому дуже важливо перевіряти результати обчислень.

1. Додавання стовпця чисел можна перевірити, склавши числа в стовпці спочатку зверху вниз, а потім знизу вгору. Обгрунтуванням такого способу перевірки є узагальнений закон коммутативности і асоціативності складання.

2. Віднімання перевіряється шляхом складання різниці з від'ємником - повинно вийти зменшуване. Обгрунтуванням такого способу перевірки є визначення операції віднімання.

3. Множення можна перевірити, переставивши множимое і множник. Обгрунтуванням такого способу перевірки є закон коммутативности множення. Можна перевірити множення, розбивши множник (або множене) на два доданків, виконавши дві окремі операції множення і склавши отримані твори - повинно вийти вихідне твір.

4. Щоб перевірити розподіл, треба помножити приватне на дільник і до твору додати залишок. Має вийти ділене. Обгрунтуванням такого способу перевірки є визначення операції ділення.

5. Перевірка правильності вилучення квадратного (або кубічного) кореня полягає в зведенні отриманого числа в квадрат (або куб) - повинно вийти вихідне число.

Особливо простим і досить надійним способом перевірки складання або множення цілих чисел служить прийом, який представляє собою перехід до т.зв. «Порівнянь по модулю 9». Назвемо «надлишком» залишок від ділення на 9 суми цифр, якими записано дане число. Тоді щодо «надлишків» можна сформулювати дві теореми: «надлишок суми цілих чисел дорівнює надлишку суми надлишків доданків», і «надлишок твори двох цілих чисел дорівнює надлишку твори їх надлишків». Нижче даються приклади перевірок, заснованих на цій теоремі:

Метод переходу до порівнянь по модулю 9 можна використовувати і при перевірці інших арифметичних алгоритмів. Звичайно, і така перевірка не є непогрішною, так як і робота з «надлишками» схильна до помилок, але така ситуація малоймовірна.

Відсотки.

Відсотком називається дріб, у якої знаменник дорівнює 100; відсотки можна записати трьома способами: як звичайну дріб, як десяткову дріб або за допомогою спеціального позначення відсотків%. Наприклад, 7 відсотків можна записати як 7/100, як 0,07 або як 7%.

Прикладом найпоширенішого типу завдань на відсотки може служити наступна: «Знайти 17% від 82». Щоб вирішити це завдання, потрібно обчислити добуток 0,17ґ82 = 13,94. У творах такого роду 0,17 називається ставкою, 82 - базою, а 13,94 - часткою, вираженої в відсотках. Три згадані величини пов'язані між собою співвідношенням

Ставка ґ база = частка у відсотках.

Якщо будь-які дві величини відомі, третю можна визначити з цього співвідношення. Відповідно ми отримуємо три типи завдань «на відсотки».

приклад 1. Число учнів, що записалися в дану школу, зросла з 351 до 396 осіб. На скільки відсотків зросла це число?

Приріст склав 396 - 351 = 45 осіб. Записуючи дріб 45/351 в процентах, отримуємо 45/351 = 0,128 = 12,8%.

приклад 2. Оголошення в магазині під час розпродажу говорить «Знижка на всі товари 25%». Чого варті під час розпродажу на товар, який зазвичай продається за 3,60 долара?

Зниження ціни 3,60 долара на 25% означає зниження на 0,25ґ3,60 = 0,90 долара; отже, ціна на товар під час розпродажу складе 3,60 - 0,90 = 2,70 долара.

приклад 3. Гроші, покладені в банк під 5% річних, принесли прибуток у 40 доларів за рік. Яка сума була поміщена в банк?

Так як 5% від суми становить 40 доларів, тобто 5/100 ґ сума = 40 доларів, або 1/100 ґ сума = 8 доларів, вся сума становить 800 доларів.

Арифметика наближених чисел.

Багато числа, використовувані в обчисленнях, виникають або з вимірювань, або з оцінок і тому можуть розглядатися лише як наближені. Очевидно, що результатом обчислень, вироблених з наближеними числами, може бути тільки наближене число. Наприклад, припустимо, що вимірювання поверхні прилавка дали наступні результати (з округленням до найближчої десятої метра): ширина 1,2 м, довжина 3,1 м; можна було б сказати, що площа прилавка складає 1,2ґ3,1 = 3,72 м 2. Однак в дійсності інформація далеко не настільки визначена. Так як величина 1,2 м вказує лише на те, що результат вимірювання ширини укладений між 1,15 і 1,25 м, а 3,1 - на те, що результат вимірювання довжини укладений між 3,05 і 3,15 м, про площу прилавка можна лише сказати, що вона повинна бути більше, ніж 1,15ґ3,05 = 3,5075, але менше, ніж 1,25ґ3,15 = 3,9375. Отже, єдиний розумний відповідь на питання про площі прилавка полягає у твердженні, що вона приблизно дорівнює 3,7 м 2.

Розглянемо далі проблему складання результатів наближених вимірювань 3,73 м, 52,1 м і 0,282 м. Проста сума дорівнює 56,112 м. Але, як і в попередній задачі, все, що можна сказати з упевненістю, так це те, що справжня сума повинна бути більше, ніж 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 м і менше, ніж 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 м. Таким чином, єдиний розумний відповідь на питання зводиться до твердження, що сума приблизно дорівнює 56,1 м.

Два наведених вище приклади ілюструють деякі правила, корисні при роботі з наближеними числами. Існують різні способи округлення чисел. Один з них полягає в відкиданні молодших розрядів числа. При цьому якщо перша відкидається цифра більше п'яти, то останній залишився знак треба збільшити на одиницю, якщо менше, то останній знак залишеної частини зберігається незмінним.

Якщо ж перша відкидається цифра в точності дорівнює п'яти, то остання зберігається цифра збільшується на одиницю, якщо вона непарна, і залишається без змін, якщо вона парна. Наприклад, при округленні до сотих числа 3,14159; 17,7682; 28,999; 0,00234; 7,235 і 7,325 переходять в числа 3,14; 17,77; 29,00; 0,00; 7,24 і 7,32.

Інший спосіб округлення пов'язаний з поняттям значущих цифр і використовується при машинної записи числа. Значущими цифрами наближеного числа називаються цифри в його десяткового запису по порядку зліва направо, починаючи з першого відмінній від нуля цифри і закінчуючи тією цифрою, яка стоїть на місці знаку після коми, відповідного помилку. Наприклад, значущими цифрами наближеного числа 12,1 є цифри 1, 2, 1; наближеного числа 0,072 - цифри 7, 2; наближеного числа 82000, записаного з точністю до сотень, - 8, 2, 0.

Тепер ми сформулюємо два згадуваних вище правила дій з наближеними числами.

При додаванні і відніманні наближених чисел округляти кожне число слід до знака, наступного за номером за останнім знаком найменш точного числа, а отриману суму і різницю округляти до такого ж кількості знаків, як у найменш точного числа. При множенні і діленні наближених чисел кожне число слід округляти до знака, наступного за номером за останній значущою цифрою найменш значущого числа, а добуток і частку округляти з тією ж точністю, з якою відомо найменш точне число.

Повертаючись до раніше розглянутим завданням, отримуємо:

1,2ґ3,1 = 3,72 м 2 »3,7 м 2

3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 м 2 »56,1 м,

де знак »означає« приблизно дорівнює ».

У деяких підручниках арифметики наводяться алгоритми для роботи з наближеними числами, що дозволяють уникати при обчисленнях зайвих знаків. Крім того, в них використовується т.зв. запис наближених чисел, тобто будь-яке число представляється у вигляді (число, укладену в інтервалі від 1 до 10) ґ (ступінь числа 10), де в першому множнику містяться тільки значущі цифри числа. Наприклад, 82000 км, округлені до найближчого числа сотень км, запишеться як 8,20ґ10 4 км, а 0,00702 см - як 7,02ґ10 -3 см.

Числа в математичних таблицях, тригонометричних або таблицях логарифмах, - наближені, записані з певним числом знаків. При роботі з такими таблицями слід дотримуватися правил для обчислень з наближеними числами.

Логарифми.

До початку 17 ст. складність прикладних обчислювальних задач зросла настільки, що впоратися з ними «вручну» не представлялося можливим через занадто великих витрат праці і часу. На щастя, вчасно винайдені Дж.Непером на початку 17 ст. логарифми дозволили впоратися з виниклою було проблемою. Так як теорія і додатки логарифмів детально викладені в спеціальній статті логарифм, ми обмежимося лише найнеобхіднішими відомостями.

Можна показати, що якщо n- позитивне дійсне число, то існує єдине позитивне дійсне число x, Таке, що 10 x = n. число xназивається (звичайним або десятковим) логарифмомчисла n; умовно це записується так: x= log n. Таким чином, логарифм - це показник ступеня, і з законів дій з показниками слід, що

Саме цими властивостями логарифмів пояснюється їх широке використання в арифметиці. Перше і друге властивості дозволяють звести будь-яке завдання на множення і ділення до більш простого завдання на додавання і віднімання. Третє і четверте властивості дають можливість звести спорудження до рівня і добування кореня до набагато більш простим дією: множення і ділення.

Для зручності використання логарифмів були складені їх таблиці. Для складання таблиці десяткових логарифмів досить включити в них тільки логарифми чисел від 1 до 10. Наприклад, так як 247,6 = 10 2 ґ2,476, маємо: log247,6 = log10 2 + log2,476 = 2 + log2,476, а так як 0,02476 = 10 -2 ґ2,476, то log0,02476 = log10 -2 + log2,476 = -2 + log2,476. Зауважимо, що десятковий логарифм числа, укладеного в інтервалі від 1 до 10, лежить в інтервалі від 0 до 1 і може бути записаний у вигляді десяткового дробу. Звідси випливає, що десятковий логарифм будь-якого числа є сума цілого числа, званого характеристикою логарифма, і десяткового дробу, званої мантиссой логарифма. Характеристику логарифма будь-якого числа можна знайти «в умі»; мантиссу ж слід знаходити за таблицями логарифмів. Наприклад, з таблиць ми знаходимо, що log2,476 = 0,39375, звідки log247,63 = 2,39375. Якщо характеристика логарифма негативна (коли число менше одиниці), то її зручно представити у вигляді різниці двох позитивних цілих чисел, наприклад, log0,02476 = -2 + 0,39375 = 8,39375 - 10. Наступні приклади пояснюють цей прийом.

література:

Історія математики з найдавніших часів до початку XIXв., Тт. 1-3. М., 1970-1972.
Серра Ж.-П. курс арифметики. М., 1972
Нечаєв В.І. числові системи. М., 1975
Даан-Дальмедіко А., Пейффер Ж . Шляхи і лабіринти. Нариси з історії математики. М., 1986
Енглер Е. Математика елементарної математики. М., 1987



Робота в середовищі MATLAB може здійснюватися або в програмномурежимі, або в командномурежимі (режимі калькулятора, діалоговомурежимі) за правилом «задав питання, отримав відповідь». Це перетворює MATLAB в надзвичайно потужний калькулятор, який здатний виробляти не тільки звичайні для калькулятора обчислення, а й операції з векторами і матрицями, комплексними числами, рядами і полиномами. Можна майже миттєво задати і вивести графіки різних функцій: від простої синусоїди до складної тривимірної фігури.

Основним елементом командного режиму роботи з системою є головне або командне вікно Command Window. Воно активізується командою View => Desktop Layout => Command Window Onlyосновного меню MATLAB. Структура командного вікна аналогічна структурі Windows- додатків (рис. 2).

Рядок в текстовому полі командного вікна, зазначена символом запрошення >> з миготливим курсором, називається рядком введенняабо командним рядком. Вона призначена для введення з клавіатури команд, чисел, імен змінних і знаків операцій, які становлять вираз. Для того, щоб система MATLAB виконала введену команду або вирахувала заданий вираз, слід натиснути клавішу (Введення).

При введенні курсор може знаходитися в будь-якому місці командного рядка. Введені вирази обчислюються, а результати обчислень і виконання команд з'являються в одній або декількох рядках командного вікна - рядках виведення.

В результаті багаторазових обчислень (натискань клавіші ) В командному вікні автоматично проводиться вертикальна протягання (scrolling): Рядки зсуваються на одну позицію вгору, а внизу з'являється рядок введення з символом запрошення >> . Інформація, яка покинула видиму частину вікна, не зникає. В MATLAB раніше введені рядки команд представляють собою «історію» і запам'ятовуються в стеці команд(Див. Розд. 8).

Для перегляду виконаних команд і результатів обчислень, що не вміщається на екрані, є смуги горизонтальної та вертикальної протягання. Використання смуг протягання нічим не відрізняється від інших Windows- додатків. Можна також здійснювати протяжку командного вікна за допомогою клавіш , , і .

клавіші <> і <↓> , Які в текстових редакторах служать для переміщення вгору або вниз по екрану, в MATLAB працюють інакше. Вони використовуються для повернення в рядок введення раніше виконаних команд з метою їх повторного виконання або редагування. Після першого натискання клавіші<>в рядку введення відобразиться остання введена команда, при другому натисканні - передостання і т. д. Кнопка<↓>здійснює прокручування команд в протилежному напрямку.

Іншими словами, текстове поле вікна Command Windowрозташовується в двох принципово різних зонах: зоні переглядуі зоні редагування. Зона редагування знаходиться в командному рядку, а вся інша інформація видимої частини командного вікна - в зоні перегляду.

Ще не натиснуто , Що вводиться вираз може бути змінено або видалено. У зоні перегляду вже нічого не можна виправити. Якщо помістити в неї курсор і натиснути будь - яку клавішу на клавіатурі, курсор буде автоматично переміщено в рядок введення, розташовану в зоні редагування. У той же час, за допомогою клавіш<←>і<→>можна переміщати курсор в командному рядку.

Неможливість редагування раніше введеної команди простою установкою курсору в потрібний рядок є однією з особливостей системи MATLAB.

Сеанс роботи з системою MATLABназивается сесією. Іншими словами, сесія - це все те, що відображається в командному вікні в процесі роботи з системою. Команди сесії автоматично утворюють список, який виводиться в вікні Command History, А значення змінних зберігаються в вікні Workspase(Рис. 1).

Наприклад, сесія на рис. 2 відображає результати послідовного введення чотирьох команд. Обговоримо ці результати і відзначимо деякі особливості обчислень в системі MATLAB:

Результату виконаної операції не було присвоєно ім'я, тому при виведенні він був автоматично позначений символом ans(Ansver - відповідь). Під цим ім'ям результат обчислень зберігається в пам'яті комп'ютера і його можна використовувати в подальших обчисленнях до тих пір, поки в ході роботи не буде отриманий новий Непойменовані результат. Результат обчислень виводиться в рядках виведення, що не містять знака запрошення >> ;

>> a = 2/3, A = 2 ^ 3; cos (pi), b = exp (1)

В одній командному рядку можна ввести кілька команд, розділяючи їх комами або крапками з комою. Система MATLAB виконує кожну команду, за якою слідує кома, і відображає результат в окремих рядках. Результат виконання команди, за якою слідує символ<; >, На екран не виводиться, але він зберігається в пам'яті і може бути використаний в наступних обчисленнях.

Знаком присвоювання є знак =, А не комбінований знак := , Прийнятий, наприклад, в мові програмування Pascalабо в системі символьної математики Maple.

Після введення цієї командного рядка обчислюються і зберігаються в пам'яті значення виразів a = 2/3 = 0, б667, A = 2 3 = 8, ans = cosp = -1, b = e 1 = e = 2,7183 (e -підставу натурального логарифма). значення змінної A, на відміну від a, ans, b, Не виводиться на екран через символу<; >. при обчисленні cospвикористовувалася системна змінна pi -число p. число eсистемної змінної не є, і для його обчислення використана вбудована елементарна функція exp (1). Функції записуються малими буквами, а їхні аргументи вказуються в круглих дужках. аргумент вбудованої тригонометричної функції cosзаданий в радіанах;

>> disp (A / 2 + ans)

команда disp(Від слова «дисплей») обчислює вираз 2 3 /2+cospі виводить відповідь, але не привласнює його змінної ans, Як при звичайних обчисленнях:

Надалі dispвикористовується для запобігання виведенню зайвої рядки ans =в наочних документах;

>> c = .5 + 3-11 + ...

Іноді потрібно ввести у вікні Command Windowкоманду, яка дуже довга, щоб уміститися на одному рядку. При наближенні до кінця рядка можна ввести … (Три послідовні точки), натиснути клавішу і продовжити набір команди на наступному рядку. При цьому ви не побачите на новому рядку символу запрошення >> .

Сесія на рис.2 містить тільки правильні команди і результати їх виконання. У загальному випадку сесія є результатом проб і помилок. Її текст, поряд з правильними визначеннями, містить повідомлення і попередження про помилки (див. Розд. 8), перевизначення функцій і змінних, використану довідкову інформаціюкоманди help. Якщо сесія сильно «засмічена» зайвою інформацією, діалог користувача з системою ускладнюється.

Команда очищення екрана clc

Ця команда, однак, залишає незмінним вміст вікон Command Historyі Workspase. Тому в «чистому» командному вікні можна користуватися значеннями змінних, отриманих до введення команди clc.

Якщо ж з'явиться необхідність відредагувати або повторити раніше виконану команду, то це легко здійснити за допомогою вікна Command History. Детальніше робота з вікон Command Historyі Workspaseобговорюється в розділах 8 і 9.

змінні- це іменовані об'єкти, що зберігають будь - які дані.

Змінні можуть бути числовими, матричними або символьними, що залежить від типу зберігаються в них даних. Типи змінних заздалегідь не декларуються. Вони визначаються виразом, значення якого присвоюється змінної, тобто користувач не повинен піклуватися про те, які значення буде приймати змінна (комплексні, речові або цілі).

ім'я змінної(її ідентифікатор) Може містити до 31 символу і не повинно збігатися з іменами інших змінних, функцій, команд і системних змінних MATLAB. Ім'я змінної має починатися з літери, може містити цифри і символ підкреслення . Середовищі MATLAB чутлива до регістру букв (змінні aі Aне ідентичні).

В MATLAB існує кілька імен змінних, що є зарезервованими. Змінні з такими іменами називаються системними. Вони задаються після завантаження системи і можуть використовуватися в арифметичних виразах. Системні змінні можуть бути перевизначені, т. Е. При необхідності їм можна присвоїти інші значення.

Нижче перераховані основні системні змінні MATLAB:

ans- результат обчислення останнього не збереженого користувачем вираження;

i, j- уявна одиниця (), яка використовується для завдання уявної частини комплексних чисел;

Inf(Infinity) - позначення машинної нескінченності;

NaN- скорочення від слів Not-a-Number (не числом), прийняте для позначення невизначеного результату (наприклад, 0/0 або Inf / Inf).

pi- число π ( p = +3,141592653589793);

eps- похибка операцій над числами з плаваючою точкою, тобто інтервал між числом 1.0 і наступним найближчим числом з плаваючою точкою дорівнює 2.2204e-16або 2 -52 ;

realmin- мінімальне по модулю дійсне число ( 2.2251e-308або 2 -1022 );

realmax- найбільше за модулем дійсне число ( 1.7977e + 308або 2 1023 ).

пріоритети арифметичних операційсистеми MATLAB в порядку убування наступні:

1. Піднесення до степеня<^ >.

2. Множення<* > І розподіл (зліва направо</ >, Справа наліво<\ >).

3. Складання<+>і віднімання<–>.

Виконання операцій однакового пріоритету відбувається в порядку зліва направо. Для зміни порядку виконання арифметичних операторів слід використовувати круглі дужки. Крім арифметичних операторів, в MATLAB є оператори відносини і логічні оператори.

Повний списокоператорів і довідкову інформацію за допомогою одного з них можна отримати в розділі ops довідкової системи MATLAB, використовуючи команди helpабо doc.

Основу більшості розрахунків складають обчислення значень арифметичних виразів. У них в якості операндів можуть виступати константи, змінні або функції. На відміну від більшості алгоритмічних мов, в MATLAB допускається використання операндів - масивів (див. Розд. 6, 7, 10). У цьому випадку результатом обчислення виразу також може бути масив.

Вирази, укладені між двома апострофами<′ ′ > , Розглядаються як малі і не обчислюються, навіть якщо в них містяться математичні вирази. Найчастіше вони застосовуються для завдання параметрів функцій і їх нечислових значень, вставки тексту в графічні об'єкти, а також для опису символьних змінних і виразів. Так, введення рядка "2+3" призводить до результату

а не 5 .

При виведенні графіків символи, поміщені між апострофами, визначають колір ліній графіка, їх тип і тип маркера, яким метятся лінії.

Відмінною особливістю цього розділу є об'єднання юридичного та економічного підходів до проведення податкових перевірок. Дійсно, податкові перевірки, з одного боку, регламентовані нормативно-правовими актами. Їх результати носять юридично значущий характер і можуть спричинити правові наслідки для особи, щодо якої проводиться конкретна перевірка. З іншого боку, їх суть полягає у встановленні тими чи іншими способами (методами податкового контролю або іншими не забороненими законом способами) відповідності наявних даних про фінансово-господарської діяльності особи, що перевіряється, спрямованої на одержання доходу, фактичним даним. Здійснення цього процесу неможливо без аналізу даних бухгалтерського обліку і звітності (тобто інформації чисто економічного характеру) про господарську діяльність особи, що перевіряється. Перевірка правильності арифметичного підрахунку, виконаного платником податків і представленого у вигляді податкової звітності, перевірка правомірності застосування податкових ставок і пільг, перевірка правильності обчислення податкової бази, а також реалізація методик перевірки облікової документації особи, що перевіряється, аналізу достовірності даних бухгалтерського обліку, правильності обчислення та сплати в бюджет різних видів податків мають на увазі необхідність наявності у перевіряючого особи відповідної економічної підготовки.

Виконання поставленої МНС Росії перед податковими органами завдання в повному обсязі можливе лише на базі створення уніфікованих методик комп'ютерної обробки спеціальній бухгалтерської та податкової звітності з метою виявлення можливої ​​невідповідності окремих показників і звільнення співробітників податкових органів від необхідності рутинної роботи з перевірки правильності арифметичних підрахунків. Розробці таких методик сприяє сам характер перевіряються в ході перевірки документів, що мають уніфіковану форму. Однак широке впровадження комп'ютерних методів перевірки податкової звітності пов'язано з переходом на подання звітної документації на носіях, що допускають машинну обробку.

Перевірка правильності арифметичного підрахунку

Перевірка правильності арифметичних підрахунків полягає в перевірці арифметичних дій - множення цін на кількість (таксування) і підрахунку підсумків.

Надходять до бухгалтерії документи повинні ретельно перевірятися. В першу чергу необхідно встановити наявність в документі необхідних підписів і інших реквізитів, відсутність підчисток, помарок і необумовлених і незавірених виправлень, правильність арифметичних підрахунків. Потім визначають господарську доцільність здійснених операцій, відповідність цих операцій плановим завданням або кошторисних асигнувань, умовами укладених договорів, чинному законодавству, розпорядженням адміністрації і виявляють факти безгосподарності. Таким чином, перевірка документів є засобом контролю за діями оперативних працівників.

В першу чергу інформація, зібрана для аналізу, повинна бути перевірена на доброякісність. Перевірка проводиться з двох сторін. По-перше, аналітик перевіряє, наскільки повними є дані, які містять плани і звіти, чи правильно вони оформлені. Обов'язково перевіряється правильність арифметичних підрахунків. Аналітик повинен звернути увагу і на те, чи узгоджуються показники, наведені в різних таблицях плану або звіту і т.д. Така перевірка носить технічний характер.

Арифметична перевірка або рахункова перевірка проводиться для визначення правильності арифметичних підрахунків (шляхом підрахунку підсумків, перевірки правильності здійснення розрахункових процедур, наприклад, розрахунку розподілу непрямих витрат, нарахування амортизації, визначення накидок, знижок і т.п.).

Правильність висновків, що випливають з аналізу господарської діяльності, багато в чому залежить від достовірності інформації, використовуваної в процесі аналізу. Тому аналізу повинна передувати ретельна на достовірність і точність. Для цього проводиться рахункова перевірка звітності (контролюється правильність арифметичних підрахунків, перевіряється зв'язок між

Надходять до бухгалтерії прибутково-видаткові документи з обліку матеріалів піддаються ретельній обробці перевіряються правильність арифметичних підрахунків, сутність відбулися операцій. Особлива увага приділяється перевірці повноти і правильності проставлення шифру і інших показників, що характеризують ту чи іншу господарську операцію. Після цього первинні документи з обліку матеріалів групують, а отримані при цьому узагальнені дані заносять в регістри бухгалтерського обліку.

Під час ревізії слід перевірити правильність арифметичних підрахунків в документах на нарахування і виплату заробітної плати. Перевіркою правильності підрахунку по вертикалі можуть бути виявлені завищення сум, що підлягають до (списанню в витрата за рахунок зменшення сум утриманих податків, і сум, що підлягають перерахуванню до бюджету. Таке зловживання не вимагає внесення змін до регістрів бухгалтерського обліку. Аналогічної перевіркою по горизонталі можуть бути виявлені випадки утримання грошей з одних працівників у рахунок погашення заборгованості іншими працівниками. Подібним чином можуть бути виявлені і інші невідповідності, які є результатом халатного виконання працівниками своїх обов'язків або зловживання,

У бухгалтерії проводиться приймання звіту шляхом перевірки наявності доданих первинних документів до нього, юридичного їх оформлення і правильності арифметичних підрахунків. Здійснюється контроль за правильністю вказівки вхідного і вихідного залишків товарів, продуктів і тари, надходження і витрати їх за звітний період, а також суми, товарообігу за видами реалізації, готових виробів.

Повинна бути проведена вибіркова арифметична перевірка правильності а) підрахунку підсумків в платіжних відомостях б) ведення касової книги, щоденних оборотів, виведених залишків на кінець дня і ін. На вибірковій основі тестується відповідність прізвищ у розрахунково-платіжних відомостях з іншими документами (заява про прийом на роботу та ін.), правильність видачі грошей за дорученнями (книга видачі довіреностей) і ін.

По-перше, аналітик перевіряє, наскільки повними є дані, які містять плани і звіти, чи правильно вони оформлені. Обов'язково перевіряються правильність арифметичних підрахунків, узгодження показників, наведених в різних таблицях плану або звіту, і т.д. Така перевірка носить технічний характер.

Перевірка підрозділяється на технічну і по суті. При технічній перевірці з'ясовується повнота використовуваних джерел, правильність їх оформлення відсутність помилок в арифметичних підрахунках і підсумки (лічильна перевірка) відповідність одних і тих же показників, наведених в різних залучених джерелах узгодженість показників, що повторюються в декількох формах звітності спадкоємність матеріалів звітного періоду з даними попереднього періоду . При перевірці по суті визначається достовірність матеріалів і відповідність їх об'єктивної дійсності. Це досягається за допомогою деяких перевірочних прийомів логічного контролю інформаційних показників їх зустрічної перевірки перевірки стану обліку взаємної узгодженості пов'язаних між собою показників і ін.

Арифметична перевірка документів дозволяє контролювати арифметичні підрахунки підсумків, правильність відображення кількісних і вартісних показників.

ДОКУМЕНТАЛЬНА ПЕРЕВІРКА - обстеження з метою нагляду, контролю складається з формальної перевірки документів (правильність заповнення всіх реквізитів, наявність необумовлені виправлень, підчисток, дописок в тексті і цифр, справжність підписів посадових і матеріально відповідальних осіб), арифметичної перевірки (правильність підрахунків в первинних документах, облікових регістрах і звітних формах) і перевірки документів по суті (законність і доцільність господарської операції, правильність запису операції по рахунках і включення в статті витрат).

Простий арифметичний підрахунок оборотів і початкових залишків дає можливість вивести дебетове сальдо в загальній сумі 100 000 (700 000 + 100 0000 - 800 000 - 800 000), однак немає впевненості, що воно правильно, для перевірки відкриємо аналітичні

Арифметична перевірка - перевірка правильності підрахунку даних документа.

Арифметичної називається перевірка правильності підрахунку, таксування, виведення підсумків та інших арифметичних дій. Документи, оформлені з порушенням встановлених правил, повертаються виконавцям для дооформлення.

При арифметичній перевірці документів проводиться підрахунок обчислень, з'ясовується правильність зазначених у документі натуральних і