Ступінь числа: визначення, позначення, приклади. Ступінь числа: визначення, позначення, приклади ступінь з натуральним показником, квадрат числа, куб числа

«Вищий ступінь» - Жив в одній норі тхір. Н.ф. Розумний + БІЛЬШЕ - розумніший Н.Ф. Розумний + МЕНШ - менш розумний. Роль в реченні. Менш спритні наші собачки Ходять вболівати за мишей на скачки. Муніципальне загальноосвітній заклад «Елгайская основна загальноосвітня школа». Хом'як спритніший, ніж щеня. Якось черевик у нас уволок Менш спритний сусідський щеня.

«Ступінь з натуральним показником» - Ступінь з натуральним і цілим показником. (-1) 2k = 1, (-1) 2k-1 = -1. Властивості степеня з натуральним показником. Визначення ступеня з натуральним показником. 1 в будь-якого ступеня дорівнює 1 1n = 1. Що таке ступінь? Як написати коротше. Множення ступенів з підставами. N доданків. 10n = 100000 ... 0.

«Ступінь з цілим показником» - Обчисліть. Уявіть вираз у вигляді ступеня. Уявіть вираз x-12 у вигляді добутку двох ступенів з підставою x, якщо один множник відомий. Розмістіть в порядку убування. Спростіть. При яких значеннях х вірно рівність.

«Рівняння третього ступеня» - (В третьому випадку - мінімум, в четвертому - максимум). У першому і другому випадках кажуть, що функція монотонна в точці х =. Наша формула дає: «Велике мистецтво». Отже, Тарталья дав умовити себе. Лемма. У третьому і четвертому випадках кажуть, що функція має екстремум в точці х =. Розкриваємо дужки.

«Властивості ступеня» - Узагальнення знань і вмінь щодо застосування властивостей степеня з натуральним показником. Властивості степеня з натуральним показником. Мозковий штурм. Куб якого числа дорівнює 64? Обчислювальна пауза. Властивості степеня з натуральним показником. Розвиток наполегливості, розумової активності і творчої діяльності.

«Корінь n-го ступеня» - Визначення 2: А). Зведено обидві частини рівняння в куб: - подкоренного вираз. Розглянемо рівняння x? = 1. Зведено обидві частини рівняння в четверту ступінь: Побудуємо графіки функцій y = x? і y = 1. Поняття кореня n - го ступеня з дійсного числа. Якщо n - непарне, то один корінь: Побудуємо графіки функцій y = x? і y = 1.

Звертаємо вашу увагу, що в даному розділі розбирається поняття ступеня тільки з натуральним показникомі нулем.

Поняття і властивості ступенів з раціональними показниками (з негативним і дробовим) будуть розглянуті в уроках для 8 класу.

Отже, розберемося, що таке ступінь числа.Для запису твору числа самого на себе кілька разів застосовують скорочене позначення.

Замість твори шести однакових множників 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишуть 4 6 і вимовляють «чотири в шостого ступеня».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Вираз 4 6 називають ступенем числа, де:

• 4 — підставу ступеня;
• 6 — показник ступеня.

У загальному вигляді ступінь з основою «a» і показником «n» записується за допомогою формули:

Запам'ятайте!

Ступенем числа «a» з натуральним показником «n», більшим 1, називається твір «n» однакових множників, кожний з яких дорівнює числу «a».

Запис «a n» читається так: «а в ступені n» або «n -а ступінь числа a».

Виняток становлять записи:

• a 2 - її можна вимовляти як «а в квадраті»;
• a 3 - її можна вимовляти як «а в кубі».

• a 2 - «а в другому ступені»;
• a 3 - «а в третього ступеня».

Особливі випадки виникають, якщо показник ступеня дорівнює одиниці або нулю (n = 1; n = 0).

Запам'ятайте!

Ступенем числа «а» з показником n = 1 є саме це число:
a 1 = a

Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці.
a 0 = 1

Нуль в будь-який натуральної ступеня дорівнює нулю.
0 n = 0

Одиниця в будь-якого ступеня дорівнює 1.
1 n = 1

Вираз 0 0 ( нуль в нульовий ступеня) Вважають позбавленим змістом.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

При вирішенні прикладів потрібно пам'ятати, що зведенням до степеня називається знаходження числового або літерного значення після його зведення в ступінь.

Приклад. Піднести до степеня.

• 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
• ( · = = 81

  256

Піднесення до степеня негативного числа

Підстава ступеня (число, яке зводять до рівня) може бути будь-яким числом - позитивним, негативним або нулем.

Запам'ятайте!

При зведенні в ступінь позитивного числа виходить позитивне число.

При зведенні нуля в натуральну ступінь виходить нуль.

При зведенні в ступінь негативного числа в результаті може вийти як позитивне число, так і негативне число. Це залежить від того парним або непарним числом був показник ступеня.

Розглянемо приклади зведення в ступінь негативних чисел.

З розглянутих прикладів видно, що якщо негативне число зводиться в непарну ступінь, то виходить негативне число. Так як твір непарного кількість негативних сомножителей негативно.

Якщо ж негативне число зводиться в парну ступінь, то виходить позитивне число. Так як твір парного кількість негативних сомножителей позитивно.

Запам'ятайте!

Негативне число, зведена в парну ступінь, є число позитивне.

Негативне число, зведена в непарну ступінь, - число від'ємне.

Квадрат будь-якого числа є позитивне число або нуль, тобто:

a 2 ≥ 0 при будь-якому a.

• 2 · (-3) 2 = 2 · (-3) · (-3) = 2 · 9 = 18
• -5 · (-2) 3 = -5 · (-8) = 40

Зверніть увагу!

При вирішенні прикладів на спорудження до рівня часто роблять помилки, забуваючи, що записи (-5) 4 і -5 4 це різні вирази. Результати зведення в ступінь даних виразів будуть різні.

Обчислити (-5) 4 означає знайти значення четвертого ступеня негативного числа.

(-5) 4 = (-5) · (-5) · (-5) · (-5) = 625

У той час як знайти «-5 4» означає, що приклад треба вирішувати в 2 дії:

1. Звести в четверту ступінь позитивне число 5.
   5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Поставити перед отриманим результатом знак «мінус» (тобто виконати дію віднімання).
   −5 4 = −625

Приклад. Обчислити: -6 2 - (-1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. 6 2 = 6 · 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (-1) 4 = (-1) · (-1) · (-1) · (-1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

Порядок дій в прикладах зі ступенями

Обчислення значення називається дією зведення в ступінь. Ця дія третього ступеня.

Запам'ятайте!

У висловлюваннях зі ступенями, що не містять дужки, спочатку виконують вовзведеніе в ступінь, потім множення і ділення, А в кінці додавання і віднімання.

Якщо у виразі є дужки, то спочатку в зазначеному вище порядку виконують дії в дужках, а потім решту кроків в тому ж порядку зліва направо.

Приклад. обчислити:

Для полегшення вирішення прикладів корисно знати і користуватися таблицею ступенів, яку ви можете безкоштовно завантажити на нашому сайті.

Для перевірки своїх результатів ви можете скористатися на нашому сайті калькулятором «

У цій статті ми розберемося, що таке степінь числа. Тут ми дамо визначення ступеня числа, при цьому детально розглянемо всі можливі показники ступеня, починаючи з натурального показника, закінчуючи ірраціональним. У матеріалі Ви знайдете безліч прикладів ступенів, що покривають всі виникаючі тонкощі.

Навігація по сторінці.

Ступінь з натуральним показником, квадрат числа, куб числа

Для початку дамо. Забігаючи наперед, скажемо, що визначення ступеня числа a з натуральним показником n дається для a, яке будемо називати підставою ступеня, І n, яке будемо називати показником ступеня. Також відзначимо, що ступінь з натуральним показником визначається через твір, так що для розуміння викладеного нижче матеріалу потрібно мати уявлення про примноження чисел.

Визначення.

Ступінь числа a з натуральним показником n- це вираз виду a n, значення якого дорівнює добутку n множників, кожний з яких дорівнює a, тобто,.
Зокрема, ступенем числа a з показником 1 називається саме число a, тобто, a 1 = a.

Відразу варто сказати про правила читання ступенів. Універсальний спосіб читання записи a n такий: «a у ступені n». У деяких випадках також допустимі такі варіанти: «a в n-го ступеня» і «n -а ступінь числа a». Для прикладу візьмемо ступінь 8 12, це «вісім в ступеня дванадцять», або «вісім в дванадцятому ступені», або «дванадцята ступінь восьми».

Друга ступінь числа, а також третя ступінь числа мають свої назви. Другий ступінь числа називають квадратом числа, Наприклад, 7 2 читається як «сім в квадраті» або «квадрат числа сім». Третя ступінь числа називається кубом числа, Наприклад, 5 3 можна прочитати як «п'ять в кубі» або сказати «куб числа 5».

Прийшов час привести приклади ступенів з натуральними показниками. Почнемо зі ступеня 5 7, тут 5 - підстава ступеня, а 7 - показник ступеня. Наведемо ще приклад: 4,32 є підставою, а натуральне число 9 - показником ступеня (4,32) 9.

Зверніть увагу, що в останньому прикладі підставу ступеня 4,32 записано в дужках: щоб уникнути різночитань ми будемо брати в дужки всі підстави ступеня, які відмінні від натуральних чисел. Як приклад наведемо наступні ступені з натуральними показниками , Їх підстави не є натуральними числами, тому вони записані в дужках. Ну і для повної ясності в цьому моменті покажемо різницю, укладену в записах виду (-2) 3 і -2 3. Вираз (-2) 3 - це ступінь -2 з натуральним показником 3, а вираз -2 3 (його можна записати як - (2 3)) відповідає числу, значенням ступені 2 3.

Зауважимо, що зустрічається позначення ступеня числа a з показником n виду a ^ n. При цьому, якщо n - багатозначне натуральне число, то показник ступеня береться в дужки. Наприклад, 4 ^ 9 - це інша запис ступеня 4 9. А ось ще приклади запису ступенів за допомогою символу «^»: 14 ^ (21), (-2,1) ^ (155). Надалі ми переважно будемо користуватися позначенням ступеня виду a n.

Одним із завдань, зворотної зведенню в ступінь з натуральним показником, є завдання знаходження підстави ступеня за відомим значенням ступеня і відомому показнику. Це завдання призводить до.

Відомо, що безліч раціональних чисел складається з цілих і дробових чисел, причому кожне дробове число може бути представлено у вигляді позитивної або негативної звичайного дробу. Ступінь з цілим показником ми визначили в попередньому пункті, тому, щоб закінчити визначення ступеня з раціональним показником, потрібно надати сенс ступеня числа a з дробовим показником m / n, де m - ціле число, а n - натуральне. Зробимо це.

Розглянемо ступінь з дробовим показником виду. Щоб зберігало силу властивість ступеня в ступеня, має виконуватися рівність . Якщо врахувати отриману рівність і то, як ми визначили, то логічно прийняти за умови, що при даних m, n і a вираз має сенс.

Нескладно перевірити, що при справедливі всі властивості ступеня з цілим показником (це зроблено в розділі властивості ступеня з раціональним показником).

Наведені міркування дозволяють зробити наступний висновок: Якщо при даних m, n і a вираз має сенс, то ступенем числа a з дробовим показником m / n називають корінь n-го ступеня з a в ступеня m.

Це твердження впритул підводить нас до визначення ступеня з дробовим показником. Залишається лише розписати, за яких m, n і a має сенс вираз. Залежно від обмежень, що накладаються на m, n і a існують два основні підходи.

Найпростіше накласти обмеження на a, прийнявши a≥0 для позитивних m і a> 0 для негативних m (так як при m≤0 ступінь 0 m не визначена). Тоді ми отримуємо наступне визначення ступеня з дробовим показником.

Визначення.

Ступенем позитивного числа a з дробовим показником m / n, Де m - ціле, а n - натуральне число, називається корінь n -ої з числа a у ступені m, тобто,.

Також визначається подрібнена ступінь нуля з тією лише застереженням, що показник повинен бути позитивним.

Визначення.

Ступінь нуля з дробовим позитивним показником m / n, Де m - ціле позитивне, а n - натуральне число, визначається як .
При ступінь не визначається, тобто, ступінь числа нуль з дробовим негативним показником не має сенсу.

Слід зазначити, що при такому визначенні ступеня з дробовим показником існує один нюанс: при деяких негативних a і деяких m і n вираз має сенс, а ми відкинули ці випадки, ввівши умова a≥0. Наприклад, мають сенс записи або, а дане вище визначення змушує нас говорити, що ступеня з дробовим показником виду не мають сенсу, так як основа не повинна бути негативним.

Інший підхід до визначення ступеня з дробовим показником m / n полягає в роздільному розгляді парних і непарних показниках кореня. Цей підхід вимагає додаткового умови: ступінь числа a, показником якої є, вважається ступенем числа a, показником якої є відповідна нескоротний дріб (важливість цього умови пояснимо трохи нижче). Тобто, якщо m / n - нескоротний дріб, то для будь-якого натурального числа k ступінь попередньо замінюється на.

При парних n і позитивних m вираз має сенс при будь-якому неотрицательную a (корінь парного степеня з від'ємного числа не має сенсу), при негативних m число a має бути ще відмінним від нуля (інакше буде поділ на нуль). А при непарних n і позитивних m число a може бути будь-яким (корінь непарного степеня визначено для будь-якого дійсного числа), а при негативних m число a має бути відмінним від нуля (щоб не було поділу на нуль).

Наведені міркування приводять нас до такого визначення ступеня з дробовим показником.

Визначення.

Нехай m / n - нескоротний дріб, m - ціле, а n - натуральне число. Для будь-якої сократимостью звичайного дробу ступінь замінюється на. Ступінь числа a з нескоротних дробовим показником m / n - це для



Пояснимо, навіщо ступінь з сократимостью дробовим показником попередньо замінюється ступенем з нескоротних показником. Якби ми просто визначили ступінь як, і не обмовилися про нескоротного дробу m / n, то ми б зіткнулися з ситуаціями, подібними наступною: так як 6/10 = 3/5, то повинно виконуватися рівність , але , А.