Що таке статечна функція. Основні елементарні функції: їх властивості та графіки. Властивості функції корінь n-ого ступеня, n – парне число
Ви знайомі з функціями y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/xі т. д. Всі ці функції є окремими випадками статечної функції, тобто функції y=x pде p - задане дійсне число.
Властивості та графік статечної функції істотно залежить від властивостей ступеня з дійсним показником, і зокрема від того, за яких значень xі pмає сенс ступінь x p. Перейдемо до такого розгляду різних випадків залежно від
показника ступеня p.
- Показник p=2n-парне натуральне число.
властивостями:
- область визначення - всі дійсні числа, тобто безліч R;
- безліч значень - невід'ємні числа, тобто y більше або 0;
- функція y=x 2nпарна, оскільки x 2n=(- x) 2n
- функція є спадною на проміжку x<0 і зростаючою на проміжку x>0.
2. Показник p=2n-1- непарне натуральне число
У цьому випадку статечна функція y=x 2n-1, де натуральне число, має такі властивості:
- область визначення - множина R;
- безліч значень - безліч R;
- функція y=x 2n-1непарна, тому що (- x) 2n-1=x 2n-1;
- функція є зростаючою на всій дійсній осі.
3.Показник p=-2n, де n -натуральне число.
У цьому випадку статечна функція y=x -2n =1/x 2nмає такі властивості:
- область визначення - множина R, крім x=0;
- безліч значень – позитивні числа y>0;
- функція y =1/x 2nпарна, оскільки 1/(-x) 2n=1/x 2n;
- функція є зростаючою на проміжку x<0 и убывающей на промежутке x>0.
Ступінною називається функція виду y = x n (читається як y дорівнює х у ступеня n), де n - деяке задане число. Приватними випадками статечних функцій є функції виду y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x та багато інших. Розповімо докладніше про кожну з них.
Лінійна функція y=x1 (y=x)
Графік пряма лінія, що проходить через точку (0; 0) з точки 45 градусів до позитивного напрямку осі Ох.
Графік наведено нижче.
Основні властивості лінійної функції:
- Функція зростаюча і визначена на всій числовій осі.
- Не має максимального та мінімального значень.
Квадратична функція y=x2
Графіком квадратичної функції парабола.
Основні властивості квадратичної функції:
- 1. При х = 0, у = 0, і у> 0 при х0
- 2. Мінімальне значення квадратична функція досягає у своїй вершині. Ymin при x=0; Слід також зазначити, що максимального значення функція не існує.
- 3. Функція зменшується на проміжку (-∞;0] і зростає на проміжку та опуклість на проміжку [ 0 , + ∞) ;
- точка перегину має координати (0; 0);
- асимптоти відсутні;
- графік функції при непарних n проходить через точки (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) та (1 ; 1) .
Ступенева функція
Визначення 5Ступенева функція визначається формулою y = x a.
Вигляд графіків та властивості функції залежать від значення показника ступеня.
- коли статечна функція має цілий показник a , то вид графіка статечної функції та її властивості залежать від того, парний чи непарний показник ступеня, а також того, який знак має показник ступеня. Розглянемо всі ці окремі випадки докладніше нижче;
- показник ступеня може бути дробовим чи ірраціональним – залежно від цього також варіюється вид графіків та властивості функції. Ми розберемо окремі випадки, задавши кілька умов: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
- статечна функція може мати нульовий показник, цей випадок також нижче розберемо докладніше.
Розберемо статечну функцію y = x a , коли a – непарне позитивне число, наприклад, a = 1 , 3 , 5 …
Для наочності вкажемо графіки таких статечних функцій: y = x (чорний колір графіка), y = x 3 (синій колір графіка), y = x 5 (червоний колір графіка), y = x7 (зелений колір графіка). Коли a = 1, отримуємо лінійну функцію y = x.
Визначення 6
Властивості статечної функції, коли показник ступеня – непарний позитивний
- функція є зростаючою за x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
- функція має опуклість при x ∈ (- ∞ ; 0 ) і увігнутість при x ∈ [ 0 ; + ∞) (виключаючи лінійну функцію);
- точка перегину має координати (0; 0) (виключаючи лінійну функцію);
- асимптоти відсутні;
- точки проходження функції: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).
Розберемо статечну функцію y = x a коли а – парне позитивне число, наприклад, a = 2 , 4 , 6 …
Для наочності вкажемо графіки таких статечних функцій: y = x 2 (чорний колір графіка), y = x 4 (синій колір графіка), y = x 8 (червоний колір графіка). Коли a = 2 отримуємо квадратичну функцію, графік якої – квадратична парабола.
Визначення 7
Властивості статечної функції, коли показник ступеня – парний позитивний:
- область визначення: x ∈ (- ∞ ; + ∞);
- спадної при x ∈ (- ∞ ; 0] ;
- функція має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; + ∞);
- окуляри перегину відсутні;
- асимптоти відсутні;
- точки проходження функції: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).
На малюнку нижче наведено приклади графіків статечної функції y = x a , коли a – непарне від'ємне число: y = x – 9 (чорний колір графіка); y = x – 5 (синій колір графіка); y = x – 3 (червоний колір графіка); y = x – 1 (зелений колір графіка). Коли a = - 1 отримуємо зворотну пропорційність, графік якої - гіпербола.
Визначення 8
Властивості статечної функції, коли показник ступеня – непарний негативний:
Коли х = 0 отримуємо розрив другого роду, оскільки lim x → 0 - 0 x a = - ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 1, - 3, - 5, …. Отже, пряма х = 0 – вертикальна асимптота;
- область значень: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
- функція є непарною, оскільки y(-x) = -y(x);
- функція є спадною при x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0; + ∞);
- функція має опуклість при x ∈ (- ∞ ; 0) і увігнутість при x ∈ (0 ; + ∞) ;
- точки перегину відсутні;
k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, коли а = - 1, - 3, - 5,. . . .
- точки проходження функції: (- 1; - 1), (1; 1).
На малюнку нижче наведено приклади графіків статечної функції y = x a , коли a – парне від'ємне число: y = x – 8 (чорний колір графіка); y = x – 4 (синій колір графіка); y = x – 2 (червоний колір графіка).
Визначення 9
Властивості статечної функції, коли показник ступеня – парний негативний:
- область визначення: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
Коли х = 0 отримуємо розрив другого роду, оскільки lim x → 0 - 0 x a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 2, - 4, - 6, …. Отже, пряма х = 0 – вертикальна асимптота;
- функція є парною, оскільки y(-x) = y(x);
- функція є зростаючою при x ∈ (- ∞ ; 0) і спадною при x ∈ 0 ; + ∞;
- функція має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
- точки перегину відсутні;
- горизонтальна асимптота - пряма y = 0, оскільки:
k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , коли a = -2, -4, -6,. . . .
- точки проходження функції: (- 1; 1), (1; 1).
З самого початку зверніть увагу на наступний аспект: у випадку, коли a – позитивний дріб з непарним знаменником, деякі автори приймають за область визначення цієї статечної функції інтервал - ∞; + ∞ , говорячи у своїй, що показник a – нескоротний дріб. На даний момент автори багатьох навчальних видань з алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції, де показник – дріб з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Далі ми дотримаємося саме такої позиції: візьмемо за область визначення статечних функцій з дрібними позитивними показниками ступеня безліч [0; + ∞). Рекомендація для учнів: з'ясувати погляд викладача на цей момент, щоб уникнути розбіжностей.
Отже, розберемо статечну функцію y = x a , коли показник ступеня – раціональне чи ірраціональне число за умови, що 0< a < 1 .
Проілюструємо графіками статечні функції y = x a коли а = 11 12 (чорний колір графіка); a = 5 7 (червоний колір графіка); a = 13 (синій колір графіка); a = 2 5 (зелений колір графіка).
Інші значення показника ступеня a (за умови 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.
Визначення 10
Властивості статечної функції при 0< a < 1:
- область значень: y ∈ [0; + ∞);
- функція є зростаючою при x ∈ [0; + ∞);
- функція має опуклість при x ∈ (0; + ∞);
- точки перегину відсутні;
- асимптоти відсутні;
Розберемо статечну функцію y = x a , коли показник ступеня – неціле раціональне чи ірраціональне число за умови, що a > 1 .
Проілюструємо графіками статечну функцію y = x a у заданих умовах на прикладі таких функцій: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (чорний, червоний, синій, зелений колір графіків відповідно).
Інші значення показника ступеня, а за умови a > 1, дадуть схожий вид графіка.
Визначення 11
Властивості статечної функції при a > 1:
- область визначення: x ∈ [0; + ∞);
- область значень: y ∈ [0; + ∞);
- дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
- функція є зростаючою при x ∈ [0; + ∞);
- функція має увігнутість при x ∈ (0 ; + ∞) (коли 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
- точки перегину відсутні;
- асимптоти відсутні;
- точки проходження функції: (0; 0), (1; 1).
Звертаємо вашу увагу! Коли a – негативний дріб з непарним знаменником, у роботах деяких авторів зустрічається погляд, що область визначення в даному випадку – інтервал - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) із застереженням, що показник ступеня a – нескоротний дріб. На даний момент автори навчальних матеріалів з алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції з показником у вигляді дробу з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Далі ми дотримуємося саме такого погляду: візьмемо за область визначення статечних функцій з дробовими негативними показниками безліч (0; + ∞). Рекомендація для учнів: уточніть бачення вашого викладача на цей момент, щоб уникнути розбіжностей.
Продовжуємо тему та розбираємо статечну функцію y = x a за умови: - 1< a < 0 .
Наведемо креслення графіків наступних функцій: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (чорний, червоний, синій, зелений колір ліній відповідно).
Визначення 12
Властивості статечної функції при - 1< a < 0:
lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , коли - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;
- область значень: y ∈ 0; + ∞;
- дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
- точки перегину відсутні;
На кресленні нижче наведені графіки статечних функцій y = x - 54, y = x - 53, y = x - 6, y = x - 247 (чорний, червоний, синій, зелений кольори кривих відповідно).
Визначення 13
Властивості статечної функції при a< - 1:
- область визначення: x ∈ 0; + ∞;
lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , коли a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;
- область значень: y ∈ (0; + ∞);
- дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
- функція є спадною при x ∈ 0; + ∞;
- функція має увігнутість при x ∈ 0; + ∞;
- точки перегину відсутні;
- горизонтальна асимптота - пряма y = 0;
- точка проходження функції: (1; 1) .
Коли a = 0 і х ≠ 0 отримаємо функцію y = x 0 = 1 , що визначає пряму, з якої виключена точка (0 ; 1) (умовилися, що виразу 0 0 не надаватиметься жодного значення).
Показова функція має вигляд y = a x , де а > 0 і а ≠ 1 і графік цієї функції виглядає по-різному, виходячи зі значення підстави a . Розглянемо окремі випадки.
Спочатку розберемо ситуацію, коли основа показової функції має значення від нуля до одиниці (0< a < 1) . Наочним прикладом послужать графіки функцій при a = 1 2 (синій колір кривої) та a = 5 6 (червоний колір кривої).
Подібний вигляд матимуть графіки показової функції при інших значеннях підстави за умови 0< a < 1 .
Визначення 14
Властивості показової функції, коли основа менше одиниці:
- область значень: y ∈ (0; + ∞);
- дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
- показова функція, у якої підстава менше одиниці, є спадною по всій області визначення;
- точки перегину відсутні;
- горизонтальна асимптота – пряма y = 0 при змінній x , що прагне + ∞ ;
Тепер розглянемо випадок, коли основа показової функції більша за одиницю (а > 1) .
Проілюструємо цей окремий випадок графіком показових функцій y = 3 2 x (синій колір кривої) та y = e x (червоний колір графіка).
Інші значення основи, великі одиниці, дадуть аналогічний вид графіка показової функції.
Визначення 15
Властивості показової функції, коли основа більше одиниці:
- область визначення - все безліч дійсних чисел;
- область значень: y ∈ (0; + ∞);
- дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
- показова функція, у якої основа більша за одиницю, є зростаючою при x ∈ - ∞ ; + ∞;
- функція має увігнутість при x ∈ - ∞; + ∞;
- точки перегину відсутні;
- горизонтальна асимптота - пряма y = 0 при змінній x, що прагне до - ∞;
- точка проходження функції: (0; 1).
Логарифмічна функція має вигляд y = log a (x) , де a > 0 , a ≠ 1 .
Така функція визначена лише за позитивних значень аргументу: при x ∈ 0 ; + ∞.
Графік логарифмічної функції має різний вигляд, виходячи із значення основи а.
Розглянемо спочатку ситуацію, коли 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).
Інші значення основи, невеликі одиниці, дадуть аналогічний вид графіка.
Визначення 16
Властивості логарифмічної функції, коли основа менша за одиницю:
- область визначення: x ∈ 0; + ∞. Коли х прагне до нуля праворуч, значення функції прагнуть + ∞ ;
- область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
- дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
- логарифмічна
- функція має увігнутість при x ∈ 0; + ∞;
- точки перегину відсутні;
- асимптоти відсутні;
Тепер розберемо окремий випадок, коли основа логарифмічної функції більше одиниці: а > 1 . На кресленні нижче – графіки логарифмічних функцій y = log 3 2 x і y = ln x (синій та червоний кольори графіків відповідно).
Інші значення основи більше одиниці дадуть аналогічний вид графіка.
Визначення 17
Властивості логарифмічної функції, коли основа більша за одиницю:
- область визначення: x ∈ 0; + ∞. Коли х прагне нуля справа, значення функції прагнуть до - ∞ ;
- область значень: y ∈ - ∞; + ∞ (все безліч дійсних чисел);
- дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
- логарифмічна функція є зростаючою за x ∈ 0 ; + ∞;
- функція має опуклість при x ∈ 0; + ∞;
- точки перегину відсутні;
- асимптоти відсутні;
- точка проходження функції: (1; 0) .
Тригонометричні функції – це синус, косинус, тангенс та котангенс. Розберемо властивості кожної їх і відповідні графіки.
Загалом всім тригонометричних функцій характерно властивість періодичності, тобто. коли значення функцій повторюються при різних значеннях аргументу, що відрізняються один від одного на величину періоду f(x + T) = f(x) (T – період). Таким чином, у списку властивостей тригонометричних функцій додається пункт найменший позитивний період. Крім цього, будемо вказувати такі значення аргументу, у яких відповідна функція перетворюється на нуль.
- Функція синус: y = sin(х)
Графік цієї функції називається синусоїда.
Визначення 18
Властивості функції синус:
- область визначення: всі множини дійсних чисел x ∈ - ∞ ; + ∞;
- функція перетворюється на нуль, коли x = π · k , де k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
- функція є зростаючою при x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z і спадної при x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
- функція синус має локальні максимуми в точках π 2 + 2 π · k; 1 і локальні мінімуми в точках - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
- функція синус увігнута, коли x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z і опукла, коли x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k, k ∈ Z;
- асимптоти відсутні.
- Функція косинус: y = cos(х)
Графік цієї функції називається косінусоїда.
Визначення 19
Властивості функції косинус:
- область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
- найменший позитивний період: Т = 2 π;
- область значень: y ∈ - 1; 1;
- дана функція – парна, оскільки y(-x) = y(x);
- функція є зростаючою при x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z і спадної при x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k, k ∈ Z;
- функція косинус має локальні максимуми в точках 2 π · k; 1 , k ∈ Z та локальні мінімуми в точках π + 2 π · k ; - 1, k ∈ z;
- функція косинус увігнута, коли x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z і опукла, коли x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
- точки перегину мають координати π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
- асимптоти відсутні.
- Функція тангенс: y = tg(х)
Графік цієї функції називається тангенсоіда.
Визначення 20
Властивості функції тангенс:
- область визначення: x ∈ - π 2 + π · k; π 2 + π · k , де k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
- Поведінка функції тангенс на межі області визначення lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Таким чином, прямі x = π 2 + π · k k ∈ Z – вертикальні асимптоти;
- функція перетворюється на нуль, коли x = π · k при k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
- область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
- дана функція - непарна, оскільки y (- x) = - y (x);
- функція є зростаючою при - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ Z;
- функція тангенс є увігнутою при x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z і опуклої при x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
- точки перегину мають координати π · k; 0, k ∈ Z;
- Функція котангенс: y = c t g (х)
Графік цієї функції називається котангенсоіда .
Визначення 21
Властивості функції котангенс:
- область визначення: x ∈ (π · k ; π + π · k) , де k ∈ Z (Z - безліч цілих чисел);
Поведінка функції котангенс на межі області визначення lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Таким чином, прямі x = π · k k ∈ Z – вертикальні асимптоти;
- найменший позитивний період: Т = π;
- функція перетворюється на нуль, коли x = π 2 + π · k при k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
- область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
- дана функція - непарна, оскільки y (- x) = - y (x);
- функція є спадною при x ∈ π · k; π + π · k, k ∈ Z;
- функція котангенс є увігнутою при x ∈ (π · k ;
- точки перегину мають координати π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
- похилі та горизонтальні асимптоти відсутні.
Зворотні тригонометричні функції – це арксинус, арккосинус, арктангенс та арккотангенс. Найчастіше, у зв'язку з наявністю приставки «арк» у назві, зворотні тригонометричні функції називають аркфункціями .
- Функція арксинус: y = a r c sin (х)
Визначення 22
Властивості функції арксинус:
- дана функція - непарна, оскільки y (- x) = - y (x);
- функція арксинус має увігнутість при x ∈ 0; 1 і опуклість при x ∈ - 1; 0;
- точки перегину мають координати (0; 0), вона ж - нуль функції;
- асимптоти відсутні.
- Функція арккосинус: y = a r c cos (х)
Визначення 23
Властивості функції арккосинус:
- область визначення: x ∈ - 1; 1;
- область значень: y ∈ 0; π;
- дана функція - загального виду (ні парна, ні непарна);
- функція є спадною по всій області визначення;
- функція арккосинус має увігнутість при x ∈ - 1; 0 і опуклість при x ∈ 0; 1;
- точки перегину мають координати 0; π 2;
- асимптоти відсутні.
- Функція арктангенс: y = r c t g (х)
Визначення 24
Властивості функції арктангенс:
- область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
- область значень: y ∈ - π 2; π 2;
- дана функція - непарна, оскільки y (- x) = - y (x);
- функція є зростаючою по всій області визначення;
- функція арктангенс має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; 0 ) і опуклість при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- точка перегину має координати (0; 0), вона ж - нуль функції;
- горизонтальні асимптоти – прямі y = - π 2 за x → - ∞ і y = π 2 за x → + ∞ (на малюнку асимптоти – це лінії зеленого кольору).
- Функція арккотангенс: y = r c c t g (х)
Визначення 25
Властивості функції арккотангенс:
- область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
- область значень: y ∈ (0; π);
- ця функція – загального виду;
- функція є спадною по всій області визначення;
- функція арккотангенс має увігнутість при x ∈ [0; + ∞) і опуклість при x ∈ (- ∞ ; 0];
- точка перегину має координати 0; π 2;
- горизонтальні асимптоти – прямі y = π за x → - ∞ (на кресленні – лінія зеленого кольору) і y = 0 за x → + ∞ .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Функції у = ах, у = ax 2 , у = а/х - є приватними видами статечної функції n = 1, n = 2, n = -1 .
У разі якщо nдробове число p/ qз парним знаменником qта непарним чисельником р, то величина може мати два знаки, а у графіка з'являється ще одна частина внизу осі абсцис х, причому вона симетрична до верхньої частини.
Бачимо графік двозначної функції у = ±2х 1/2, тобто. представлений параболою з горизонтальною віссю.
Графіки функцій у = хnпри n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Ці графіки проходять через точку (1; 1).
Коли n = -1 отримуємо гіперболу. При n < - 1 графік статечної функції розташовується спочатку вище за гіперболу, тобто. між х = 0і х = 1, а потім нижче (при х > 1). Якщо n> -1 графік проходить навпаки. Негативні значень хта дробові значення nаналогічні для позитивних n.
Усі графіки необмежено наближаються як до осі абсцис х,так і до осі ординат у, не стикаючись з ними. Внаслідок схожості з гіперболою ці графіки називають гіперболами. n -гопорядку.
Схожі статті
-
Історія хмарочоса: проектування та будівництво
У найбільшому місті США розташовано понад п'ять тисяч хмарочосів. Лише у Нью-Йорку офісна споруда могла стати історичною пам'яткою. Вигляд американського мегаполісу - гігантські висотки, і ця споруда добре...
-
Емпайр Стейт Білдінг – хмарочос з історією та унікальними характеристиками Основний оглядовий майданчик
Найвідоміший хмарочос Нью-Йорка (New York City) розташований у Середньому Манхеттені (Midtown Manhattan) на перетині - і 34-й Стріт. Емпайр Стейт Білдінг виконаний у стилі Арт-Деко, має 102 поверхи, висота будівлі включаючи шпиль.
-
Емпайр Стейт Білдінг – хмарочос з історією та унікальними характеристиками Історія будівництва емпайр стейт білдинг у нью-йорку
Ви напевно станете одним з мільйонів туристів, які юрбляться у величезних чергах з метою потрапити в Емпайр Стейт Білдінг (Empire State Building). Це не дивно, адже на верхівку будівлі прагнув потрапити Кінг-Конг. У будь-якому куточку...
-
Що таке стежки, і для чого вони використовуються у літературних творах
Невід'ємною частиною будь-якого літературного твору є вони здатні зробити текст неповторним та індивідуально авторським. У літературознавстві такі засоби називаються стежками. Детальніше дізнатися про те, що таке стежки, ви зможете...
-
Прапор нацистів власова став державним у Росії
Дуже суперечлива. Згодом історики не можуть дійти згоди, коли все-таки почала формуватися сама армія, хто такі власівці і яку роль вони відіграли в роки війни. Крім того, що саме формування солдатів вважається, з однієї...
-
Формування російської літературної мови
Літературна мова - це та, якою існує писемність певного народу, а іноді й кількох. Тобто цією мовою відбувається шкільне навчання, письмово-побутове спілкування, створюються офіційно-ділові документи, наукові...