Арифметичні коріння і їх властивості. Визначення кореня n-го ступеня. Інтеграл від статечної функції

Урок і презентація на тему: "Властивості кореня n-го ступеня. Теореми"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Всі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
Інтерактивний посібник для 9-11 класів "Тригонометрія"
Інтерактивний посібник для 10-11 класів "Логарифми"

Властивості кореня n-го ступеня. теореми

Хлопці, ми продовжуємо вивчати коріння n-го ступеня з дійсного числа. Як практично всі математичні об'єкти, коріння n-го ступеня мають деякі властивості, сьогодні ми будемо їх вивчати.
Всі властивості, які ми розглянемо, формулюються і доводяться тільки для невід'ємних значень змінних, що містяться під знаком кореня.
У разі непарного показника кореня вони виконуються і для негативних змінних.

Теорема 1. Корінь n-го ступеня з добутку двох невід'ємних чисел дорівнює добутку коренів n-го ступеня цих чисел: $ \ sqrt [n] (a * b) = \ sqrt [n] (a) * \ sqrt [n] ( b) $.

Давайте доведемо теорему.
Доведення. Хлопці, для доведення теореми давайте введемо нові змінні, позначимо:
$ \ Sqrt [n] (a * b) = x $.
$ \ Sqrt [n] (a) = y $.
$ \ Sqrt [n] (b) = z $.
Нам треба довести, що $ x = y * z $.
Зауважимо, що виконуються і такі тотожності:
$ A * b = x ^ n $.
$ A = y ^ n $.
$ B = z ^ n $.
Тоді виконується і таке тотожність: $ x ^ n = y ^ n * z ^ n = (y * z) ^ n $.
Ступені двох невід'ємних чисел і їх показники дорівнюють, тоді і самі підстави ступенів рівні. Значить $ x = y * z $, що й треба було довести.

Теорема 2. Якщо $ а≥0 $, $ b> 0 $ і n - натуральне число, Яке більше 1, тоді виконується рівність: $ \ sqrt [n] (\ frac (a) (b)) = \ frac (\ sqrt [n] (a)) (\ sqrt [n] (b)) $.

Тобто корінь n-го ступеня приватного дорівнює приватному коренів n-го ступеня.

Доведення.
Для доказу скористаємося спрощеною схемою у вигляді таблиці:

Приклади обчислення кореня n-го ступеня

Приклад.
Обчислити: $ \ sqrt (16 * 81 * 256) $.
Рішення. Скористаємося теоремою 1: $ \ sqrt (16 * 81 * 256) = \ sqrt (16) * \ sqrt (81) * \ sqrt (256) = 2 * 3 * 4 = 24 $.

Приклад.
Обчислити: $ \ sqrt (7 \ frac (19) (32)) $.
Рішення. Уявімо подкоренное вираз у вигляді неправильного дробу: $ 7 \ frac (19) (32) = \ frac (7 * 32 + 19) (32) = \ frac (243) (32) $.
Скористаємося теоремою 2: $ \ sqrt (\ frac (243) (32)) = \ frac (\ sqrt (243)) (\ sqrt (32)) = \ frac (3) (2) = 1 \ frac (1) (2) $.

Приклад.
обчислити:
а) $ \ sqrt (24) * \ sqrt (54) $.
б) $ \ frac (\ sqrt (256)) (\ sqrt (4)) $.
Рішення:
а) $ \ sqrt (24) * \ sqrt (54) = \ sqrt (24 * 54) = \ sqrt (8 * 3 * 2 * 27) = \ sqrt (16 * 81) = \ sqrt (16) * \ sqrt (81) = 2 * 3 = 6 $.
б) $ \ frac (\ sqrt (256)) (\ sqrt (4)) = \ sqrt (\ frac (256) (4)) = \ sqrt (64) = 24 $.

Теорема 3. Якщо $ a≥0 $, k і n - натуральні числа більше 1, то справедливо рівність: $ (\ sqrt [n] (a)) ^ k = \ sqrt [n] (a ^ k) $.

Щоб звести корінь в натуральну ступінь, Досить звести до цього степеня подкоренное вираз.

Доведення.
Давайте розглянемо окремий випадок для $ k = 3 $. Скористаємося теоремою 1.
$ (\ Sqrt [n] (a)) ^ k = \ sqrt [n] (a) * \ sqrt [n] (a) * \ sqrt [n] (a) = \ sqrt [n] (a * a * a) = \ sqrt [n] (a ^ 3) $.
Так само можна довести і для будь-якого іншого випадку. Хлопці, доведіть самі для випадку, коли $ k = 4 $ і $ k = 6 $.

Теорема 4. Якщо $ a≥0 $ b n, k - натуральні числа великі 1, то справедливо рівність: $ \ sqrt [n] (\ sqrt [k] (a)) = \ sqrt (a) $.

Щоб витягти корінь з кореня, досить перемножити показники коріння.

Доведення.
Доведемо знову коротко, використовуючи таблицю. Для доказу скористаємося спрощеною схемою у вигляді таблиці:

Приклад.
$ \ Sqrt (\ sqrt (a)) = \ sqrt (a) $.
$ \ Sqrt (\ sqrt (a)) = \ sqrt (a) $.
$ \ Sqrt (\ sqrt (a)) = \ sqrt (a) $.

Теорема 5. Якщо показники кореня і подкоренного вираження помножити на одне і теж натуральне число, то значення кореня не зміниться: $ \ sqrt (a ^ (kp)) = \ sqrt [n] (a) $.

Доведення.
Принцип докази нашої теореми такий же, як і в інших прикладах. Введемо нові змінні:
$ \ Sqrt (a ^ (k * p)) = x => a ^ (k * p) = x ^ (n * p) $ (за визначенням).
$ \ Sqrt [n] (a ^ k) = y => y ^ n = a ^ k $ (за визначенням).
Остання рівність зведемо в ступінь p
$ (Y ^ n) ^ p = y ^ (n * p) = (a ^ k) ^ p = a ^ (k * p) $.
отримали:
$ Y ^ (n * p) = a ^ (k * p) = x ^ (n * p) => x = y $.
Тобто $ \ sqrt (a ^ (k * p)) = \ sqrt [n] (a ^ k) $, що й треба було довести.

приклади:
$ \ Sqrt (a ^ 5) = \ sqrt (a) $ (розділили показники на 5).
$ \ Sqrt (a ^ (22)) = \ sqrt (a ^ (11)) $ (розділили показники на 2).
$ \ Sqrt (a ^ 4) = \ sqrt (a ^ (12)) $ (помножили показники на 3).

Приклад.
Виконати дії: $ \ sqrt (a) * \ sqrt (a) $.
Рішення.
Показники коренів - це різні числа, тому ми не можемо скористатися теоремою 1, але застосувавши теорему 5, ми можемо отримати рівні показники.
$ \ Sqrt (a) = \ sqrt (a ^ 3) $ (помножили показники на 3).
$ \ Sqrt (a) = \ sqrt (a ^ 4) $ (помножили показники на 4).
$ \ Sqrt (a) * \ sqrt (a) = \ sqrt (a ^ 3) * \ sqrt (a ^ 4) = \ sqrt (a ^ 3 * a ^ 4) = \ sqrt (a ^ 7) $.

Завдання для самостійного рішення

1. Обчислити: $ \ sqrt (32 * 243 * 1024) $.
2. Обчислити: $ \ sqrt (7 \ frac (58) (81)) $.
3. Обчислити:
а) $ \ sqrt (81) * \ sqrt (72) $.
б) $ \ frac (\ sqrt (1215)) (\ sqrt (5)) $.
4. Спростити:
а) $ \ sqrt (\ sqrt (a)) $.
б) $ \ sqrt (\ sqrt (a)) $.
в) $ \ sqrt (\ sqrt (a)) $.
5. Виконати дії: $ \ sqrt (a ^ 2) * \ sqrt (a ^ 4) $.

Вітаю: сьогодні ми будемо розбирати коріння - одну з найбільш мозговиносящіх тим 8-го класу. :)

Багато плутаються в коренях не тому, що вони складні (чого там складного-то - пара визначень і ще пара властивостей), а тому що в більшості шкільних підручників коріння визначаються через такі нетрі, що розібратися в цій писанині можуть хіба що самі автори підручників. Та й то лише з пляшкою хорошого віскі. :)

Тому зараз я дам найправильніше і саме грамотне визначення кореня - єдине, яке вам дійсно слід запам'ятати. А вже потім поясню: навіщо все це потрібно і як це застосовувати на практиці.

Але спочатку запам'ятайте один важливий момент, Про який багато укладачі підручників чомусь «забувають»:

Коріння бувають парному ступеня (наш улюблений $ \ sqrt (a) $, а також всякі $ \ sqrt (a) $ і навіть $ \ sqrt (a) $) і непарної ступеня (всякі $ \ sqrt (a) $, $ \ sqrt (a) $ і т.д.). І визначення кореня непарної ступеня дещо відрізняється від парної.

Ось в цьому гребанний «дещо відрізняється» приховано, мабуть, 95% всіх помилок і непорозумінь, пов'язаного з корінням. Тому давайте раз і назавжди розберемося з термінологією:

Визначення. Корінь парного ступеня nз числа $ a $ - це будь-який невід'ємнечисло $ b $ таке, що $ ((b) ^ (n)) = a $. А корінь непарної ступеня з того ж числа $ a $ - це взагалі будь-яке число $ b $, для якого виконується все той же рівність: $ ((b) ^ (n)) = a $.

У будь-якому випадку корінь позначається ось так:

\ (A) \]

Число $ n $ в такого запису називається показником кореня, а число $ a $ - подкоренное виразом. Зокрема, при $ n = 2 $ отримаємо наш «коханий» квадратний корінь(До речі, це корінь парному ступеня), а при $ n = 3 $ - кубічний (ступінь непарна), який теж часто зустрічається в завданнях і рівняннях.

Приклади. класичні приклади квадратних коренів:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (4) = 2; \\ & \ sqrt (81) = 9; \\ & \ sqrt (256) = 16. \\ \ end (align) \]

До речі, $ \ sqrt (0) = 0 $, а $ \ sqrt (1) = 1 $. Це цілком логічно, оскільки $ ((0) ^ (2)) = 0 $ і $ ((1) ^ (2)) = 1 $.

Кубічні коріння теж часто зустрічаються - не треба їх боятися:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (27) = 3; \\ & \ sqrt (-64) = - 4; \\ & \ sqrt (343) = 7. \\ \ end (align) \]

Ну, і парочка «екзотичних прикладів»:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (81) = 3; \\ & \ sqrt (-32) = - 2. \\ \ end (align) \]

Якщо ви не зрозуміли, в чому різниця між парною і непарною ступенем - перечитайте визначення ще раз. Це дуже важливо!

А ми тим часом розглянемо одну неприємну особливість коренів, через яку нам і треба було вводити роздільне визначення для парних і непарних показників.

Навіщо взагалі потрібні коріння?

Прочитавши визначення, багато учнів запитають: «Що курили математики, коли це придумували?» І справді: навіщо взагалі потрібні всі ці коріння?

Щоб відповісти на це питання, повернемося на хвилинку в початкові класи. Згадайте: у ті далекі часи, коли дерева були зеленішою, а пельмені смачніше, основна наша турбота була в тому, щоб правильно множити числа. Ну, що-небудь в дусі «п'ять на п'ять - двадцять п'ять», ось це ось все. Але ж можна множити цифри не парами, а трійками, четвірками і взагалі цілими комплектами:

\ [\ Begin (align) & 5 \ cdot 5 = 25; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 15 \ 625. \ end (align) \]

Однак суть не в цьому. Фішка в іншому: математики - людці ледачі, тому їм було в лом записувати множення десяти п'ятірок ось так:

Тому вони придумали ступеня. Чому б замість довгої рядки не записати кількість множників у вигляді верхнього індексу? Типу ось такого:

Це ж дуже зручно! Всі обчислення скорочуються в рази, і можна не витрачати купу листів пергаменту блокнотик на запис якого-небудь 5 183. Такий запис назвали ступенем числа, у неї знайшли купу властивостей, але щастя виявилося недовгим.

Після грандіозної пиятики, яку організували якраз з приводу «відкриття» ступенів, якийсь особливо упоротий математик раптом запитав: «А що, якщо нам відома ступінь числа, але невідомо саме число?» Ось, дійсно, якщо нам відомо, що певна кількість $ b $, припустимо, в 5-го ступеня дає 243, то як нам здогадатися, чому дорівнює саме число $ b $?

Проблема ця виявилася набагато більш глобальною, ніж може здатися на перший погляд. Тому що з'ясувалося, що для більшості «готових» ступенів таких «вихідних» чисел немає. Судіть самі:

\ [\ Begin (align) & ((b) ^ (3)) = 27 \ Rightarrow b = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ Rightarrow b = 3; \\ & ((b) ^ (3)) = 64 \ Rightarrow b = 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ Rightarrow b = 4. \\ \ end (align) \]

А, що якщо $ ((b) ^ (3)) = 50 $? Виходить, що потрібно знайти якесь число, яке будучи тричі помножене саме на себе дасть нам 50. Але що це за число? Воно явно більше 3, оскільки 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Тобто це число лежить десь між трійкою і четвіркою, але чому воно дорівнює - фіг зрозумієш.

Саме для цього математики і придумали коріння $ n $ -го степеня. Саме для цього ввели значок радикала $ \ sqrt (*) $. Щоб позначити те саме число $ b $, яке в зазначеній мірі дасть нам заздалегідь відому величину

\ [\ Sqrt [n] (a) = b \ Rightarrow ((b) ^ (n)) = a \]

Не спорю: часто ці коріння легко вважаються - ми бачили кілька таких прикладів вище. Але все-таки в більшості випадків, якщо ви загадаєте довільне число, а потім спробуєте витягти з нього корінь довільного ступеня, вас чекає жорстокий облом.

Так що там! Навіть найпростіший і всім знайомий $ \ sqrt (2) $ можна уявити в звичному нам вигляді - як ціле число або дробушках. А якщо ви вб'є це число в калькулятор, то побачите ось це:

\ [\ Sqrt (2) = 1,414213562 ... \]

Як бачите, після коми йде нескінченна послідовність цифр, які не підкоряються жодній логіці. Можна, звичайно, округлити це число, щоб швидко порівняти з іншими числами. наприклад:

\ [\ Sqrt (2) = 1,4142 ... \ approx 1,4 \ lt 1,5 \]

Або ось ще приклад:

\ [\ Sqrt (3) = 1,73205 ... \ approx 1,7 \ gt 1,5 \]

Але всі ці округлення, по-перше, досить грубі; а по-друге, працювати з зразковими значеннями теж треба вміти, інакше можна зловити купу неочевидних помилок (до речі, навик порівняння і округлення в обов'язковому порядку перевіряють на профільному ЄДІ).

Тому в серйозної математики без коріння не обійтися - вони є такими ж рівноправними представниками безлічі всіх дійсних чисел $ \ mathbb (R) $, як і давно знайомі нам дроби і цілі числа.

Неможливість уявити корінь у вигляді дробу виду $ \ frac (p) (q) $ означає, що даний корінь не є раціональним числом. Такі числа називаються ірраціональними, і їх не можна точно уявити інакше як за допомогою радикала, або інших спеціально призначених для цього конструкцій (логарифмів, ступенів, меж і т.д.). Але про це - іншим разом.

Розглянемо кілька прикладів, де після всіх обчислень ірраціональні числа все ж залишаться у відповіді.

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (2 + \ sqrt (27)) = \ sqrt (2 + 3) = \ sqrt (5) \ approx 2,236 ... \\ & \ sqrt (\ sqrt (-32 )) = \ sqrt (-2) \ approx -1,2599 ... \\ \ end (align) \]

Природно, за зовнішнім виглядом кореня практично неможливо здогадатися про те, які числа йтимуть після коми. Втім, можна, порахувати на калькуляторі, але навіть найдосконаліший калькулятор дат нам лише кілька перших цифр ірраціонального числа. Тому набагато правильніше записати відповіді у вигляді $ \ sqrt (5) $ і $ \ sqrt (-2) $.

Саме для цього їх і придумали. Щоб зручно записувати відповіді.

Чому потрібні два визначення?

Уважний читач уже напевно помітив, що всі квадратні коріння, наведені в прикладах, витягуються з позитивних чисел. Ну в крайньому випадкуз нуля. А ось кубічні коріння незворушно витягуються абсолютно з будь-якого числа - хоч позитивного, хоч негативного.

Чому так відбувається? Погляньте на графік функції $ y = ((x) ^ (2)) $:

Графік квадратичної функціїдає два кореня: позитивний і негативний

Спробуємо за допомогою цього графіка порахувати $ \ sqrt (4) $. Для цього на графіку проведена горизонтальна лінія $ y = 4 $ (відзначена червоним кольором), яка перетинається з параболою в двох точках: $ ((x) _ (1)) = 2 $ і $ ((x) _ (2)) = -2 $. Це цілком логічно, оскільки

З першим числом все зрозуміло - воно позитивне, тому воно і є корінь:

Але що тоді робити з другою точкою? Типу у четвірки відразу два кореня? Адже якщо звести в квадрат число -2, ми теж отримаємо 4. Чому б тоді не записати $ \ sqrt (4) = - 2 $? І чому вчителі дивляться на подібні записи так, як ніби хочуть вас зжерти? :)

В тому-то й біда, що якщо не накладати ніяких додаткових умов, То квадратних коренів у четвірки буде два - позитивний і негативний. І у будь-якого позитивного числа їх теж буде два. А ось у негативних чисел коренів взагалі не буде - це видно все за тим же графіком, оскільки парабола ніде не опускається нижче осі y, Тобто не приймає негативних значень.

Подібна проблема виникає у всіх коренів з парним показником:

1. Строго кажучи, коренів з парним показником $ n $ у кожного позитивного числа буде відразу дві штуки;
2. З негативних чисел корінь з парним $ n $ взагалі не витягується.

Саме тому у визначенні кореня парному ступеня $ n $ спеціально обмовляється, що відповідь має бути невід'ємним числом. Так ми позбавляємося від неоднозначності.

Зате для непарних $ n $ такої проблеми немає. Щоб переконатися в цьому, давайте поглянемо на графік функції $ y = ((x) ^ (3)) $:

Кубічна парабола приймає будь-які значення, тому кубічний корінь витягується з будь-якого числа

З цього графіка можна зробити два висновки:

1. Гілки кубічної параболи, на відміну від звичайної, йдуть на нескінченність в обидві сторони - і вгору, і вниз. Тому на який би висоті ми не проводили горизонтальну пряму, ця пряма обов'язково перетнеться з нашим графіком. Отже, кубічний корінь можна витягти завжди, абсолютно з будь-якого числа;
2. Крім того, такий перетин завжди буде єдиним, тому не потрібно думати, яке число вважати «правильним» коренем, а на яке - забити. Саме тому визначення коренів для непарної ступеня простіше, ніж для парної (відсутня вимога невід'ємності).

Шкода, що ці прості речі не пояснюють в більшості підручників. Замість цього нам починають парити мозок всякими арифметичними корінням і їх властивостями.

Так, я не сперечаюся: що таке арифметичний корінь - теж треба знати. І я докладно розповім про це в окремому уроці. Сьогодні ми теж поговоримо про нього, оскільки без нього все роздуми про коріння $ n $ -й кратності були б неповними.

Але спочатку треба чітко засвоїти то визначення, яке я дав вище. Інакше через велику кількість термінів в голові почнеться така каша, що в підсумку взагалі нічого не зрозумієте.

А всього-то й потрібно зрозуміти різницю між парними і непарними показниками. Тому ще раз зберемо все, що дійсно потрібно знати про коріння:

1. Корінь парного ступеня існує лише з невід'ємного числа і сам завжди є невід'ємним числом. Для негативних чисел такий корінь невизначеності.
2. А ось корінь непарної ступеня існує з будь-якого числа і сам може бути будь-яким числом: для позитивних чисел він позитивний, а для негативних - як натякає кеп, негативний.

Хіба це складно? Ні, не складно. Зрозуміло? Та взагалі очевидно! Тому зараз ми трохи потренуємося з обчисленнями.

Основні властивості і обмеження

У коренів багато дивних властивостей і обмежень - про це буде окремий урок. Тому зараз ми розглянемо лише найважливішу «фішку», яка відноситься лише до коріння з парним показником. Запишемо це властивість у вигляді формули:

\ [\ Sqrt (((x) ^ (2n))) = \ left | x \ right | \]

Іншими словами, якщо звести число в парну ступінь, а потім з цього витягти корінь тій же мірі, ми отримаємо не вихідне число, а його модуль. Це проста теорема, яка легко доводиться (досить окремо розглянути невід'ємні $ x $, а потім окремо - негативні). Про неї постійно торочать вчителя, її дають в кожному шкільному підручнику. Але як тільки справа доходить до рішення ірраціональних рівнянь (тобто рівнянь, що містять знак радикала), учні дружно забувають цю формулу.

Щоб детально розібратися в питанні, давайте на хвилину забудемо все формули і спробуємо порахувати два числа напролом:

\ [\ Sqrt (((3) ^ (4))) =? \ Quad \ sqrt (((\ left (-3 \ right)) ^ (4))) =? \]

Це дуже прості приклади. Перший приклад вирішить більшість людців, а ось на другому багато залипають. Щоб без проблем вирішити будь-яку подібну хрень, завжди враховуйте порядок дій:

1. Спочатку число зводиться в четверту ступінь. Ну, це як би нескладно. Вийде новий число, яке навіть в таблиці множення можна знайти;
2. І ось вже з цього нового числа необхідно витягти корінь четвертого ступеня. Тобто ніякого «скорочення» коренів і ступенів не відбувається - це послідовні дії.

Раберёмся з першим виразом: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Очевидно, що спочатку треба порахувати вираз, що стоїть під коренем:

\ [((3) ^ (4)) = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81 \]

Потім витягуємо корінь четвертого ступеня з числа 81:

Тепер зробимо те ж саме з другим виразом. Спочатку будуємо число -3 в четверту ступеня, для чого буде потрібно помножити його саме на себе 4 рази:

\ [((\ Left (-3 \ right)) ^ (4)) = \ left (-3 \ right) \ cdot \ left (-3 \ right) \ cdot \ left (-3 \ right) \ cdot \ left (-3 \ right) = 81 \]

Отримали позитивне число, оскільки загальна кількість мінусів в творі - 4 штуки, і вони все взаємно знищиться (адже мінус на мінус дає плюс). Далі знову витягаємо корінь:

В принципі, цей рядок можна було не писати, оскільки і їжаку зрозуміло, що відповідь вийде один і той же. Тобто парний корінь з тієї ж парному ступеня «спалює» мінуси, і в цьому сенсі результат не відрізняється від звичайного модуля:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (((3) ^ (4))) = \ left | 3 \ right | = 3; \\ & \ sqrt (((\ left (-3 \ right)) ^ (4))) = \ left | -3 \ right | = 3. \\ \ end (align) \]

Ці обчислення добре узгоджуються з визначенням кореня парному ступеня: результат завжди неотрицателен, та й під знаком радикала теж завжди стоїть не від'ємне число. В іншому випадку корінь не визначений.

Зауваження з приводу порядку дій

1. Запис $ \ sqrt (((a) ^ (2))) $ означає, що ми спочатку будуємо число $ a $ в квадрат, а потім витягуємо з отриманого значення квадратний корінь. Отже, ми можемо бути впевнені, що під знаком кореня завжди сидить невід'ємне число, оскільки $ ((a) ^ (2)) \ ge 0 $ в будь-якому випадку;
2. А ось запис $ ((\ left (\ sqrt (a) \ right)) ^ (2)) $, навпаки, означає, що ми спочатку витягаємо корінь з певної кількості $ a $ і лише потім зводимо результат в квадрат. Тому число $ a $ ні в якому разі не може бути негативним - це обов'язкова вимога, закладене в визначення.

Таким чином, ні в якому разі не можна бездумно скорочувати коріння і ступеня, тим самим нібито «спрощуючи» вихідне вираз. Тому що якщо під коренем стоїть негативне число, а його показник є парним, ми отримаємо купу проблем.

Втім, всі ці проблеми актуальні лише для парних показників.

Винесення мінуса з-під знака кореня

Природно, у коренів з непарними показниками теж є своя фішка, якої в принципі не буває у парних. А саме:

\ [\ Sqrt (-a) = - \ sqrt (a) \]

Коротше кажучи, можна виносити мінус з-під знака коренів непарної ступеня. Це дуже корисна властивість, яке дозволяє «викинути» всі мінуси назовні:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (-8) = - \ sqrt (8) = - 2; \\ & \ sqrt (-27) \ cdot \ sqrt (-32) = - \ sqrt (27) \ cdot \ left (- \ sqrt (32) \ right) = \\ & = \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (32) = \\ & = 3 \ cdot 2 = 6. \ End (align) \]

Це просте властивість значно спрощує багато обчислення. Тепер не потрібно переживати: раптом під коренем затесалося негативне вираз, а ступінь у кореня виявилася парної? Досить лише «викинути» всі мінуси за межі коренів, після чого їх можна буде множити один на одного, ділити і взагалі робити багато підозрілі речі, які в випадку з «класичними» корінням гарантовано приведуть нас до помилки.

І ось тут на сцену виходить ще одне визначення - то саме, з якого в більшості шкіл і починають вивчення ірраціональних виразів. І без якого наші міркування були б неповними. Зустрічайте!

арифметичний корінь

Давайте припустимо на хвилинку, що під знаком кореня можуть перебувати лише позитивні числа або в крайньому випадку нуль. Заб'ємо на парні / непарні показники, заб'ємо на все визначення, наведені вище - будемо працювати тільки з невід'ємними числами. Що тоді?

А тоді ми отримаємо арифметичний корінь - він частково перетинається з нашими «стандартними» визначеннями, але все ж відрізняється від них.

Визначення. Арифметичним коренем $ n $ -го степеня з невід'ємного числа $ a $ називається таке невід'ємне число $ b $, що $ ((b) ^ (n)) = a $.

Як бачимо, нас більше не цікавить парність. Натомість неї з'явилося нове обмеження: подкоренное вираз тепер завжди неотрицательно, та й сам корінь теж неотрицателен.

Щоб краще зрозуміти, чим арифметичний корінь відрізняється від звичайного, погляньте на вже знайомі нам графіки квадратної і кубічної параболи:

Область пошуку арифметичного кореня - невід'ємні числа

Як бачите, відтепер нас цікавлять лише ті шматки графіків, які розташовані в першій координатної чверті - там, де координати $ x $ і $ y $ позитивні (або хоча б нуль). Більше не потрібно дивитися на показник, щоб зрозуміти: маємо ми право ставити під корінь негативне число чи ні. Тому що негативні числа більше в принципі не розглядаються.

Можливо, ви запитаєте: «Ну і навіщо нам таке кастроване визначення?» Або: «Чому не можна обійтися стандартним визначенням, даним вище?»

Що ж, наведу лише одну властивість, через якого нове визначення стає доцільним. Наприклад, правило піднесення до степеня:

\ [\ Sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]

Зверніть увагу: ми можемо звести подкоренное вираз в будь-яку ступінь і одночасно помножити на цю ж ступінь показник кореня - і в результаті вийде те ж саме число! Ось приклади:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (5) = \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (25) \\ & \ sqrt (2) = \ sqrt (((2) ^ (4))) = \ sqrt (16) \\ \ end (align) \]

Ну і що в цьому такого? Чому ми не могли зробити це раніше? А ось чому. Розглянемо простий вислів: $ \ sqrt (-2) $ - це число цілком нормальне в нашому класичному розумінні, але абсолютно неприпустимо з точки зору арифметичного кореня. Спробуємо перетворити його:

$ \ Begin (align) & \ sqrt (-2) = - \ sqrt (2) = - \ sqrt (((2) ^ (2))) = - \ sqrt (4) \ lt 0; \\ & \ sqrt (-2) = \ sqrt (((\ left (-2 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (4) \ gt 0. \\ \ end (align) $

Як бачите, в першому випадку ми винесли мінус з-під радикала (маємо повне право, тому що показник непарний), а в другому - скористалися зазначеної вище формулою. Тобто з точки зору математики все зроблено за правилами.

WTF ?! Як одне і те ж число може бути і позитивним, і негативним? Ніяк. Просто формула зведення в ступінь, яка прекрасно працює для позитивних чисел і нуля, починає видавати повну єресь у випадку з негативними числами.

Ось для того, щоб позбутися від подібної неоднозначності, і придумали арифметичні корені. Їм присвячений окремий великий урок, де ми детально розглядаємо всі їх властивості. Так що зараз не будемо на них зупинятися - урок і так вийшов занадто затягнутим.

Алгебраїчний корінь: для тих, хто хоче знати більше

Довго думав: виносити цю тему в окремий параграф чи ні. У підсумку вирішив залишити тут. даний матеріалпризначений для тих, хто хоче зрозуміти коріння ще краще - вже не на середньому «шкільному» рівні, а на наближеному до олімпіадних.

Так ось: крім «класичного» визначення кореня $ n $ -го степеня з числа і пов'язаного з ним поділу на парних і непарних показники є більш «доросле» визначення, яке взагалі не залежить від парності і інших тонкощів. Це називається алгебраїчним коренем.

Визначення. Алгебраїчний корінь $ n $ -го степеня з числа будь-якого $ a $ - це безліч всіх чисел $ b $ таких, що $ ((b) ^ (n)) = a $. Для таких коренів немає усталеного позначення, тому просто поставимо риску згори:

\ [\ Overline (\ sqrt [n] (a)) = \ left \ (b \ left | b \ in \ mathbb (R); ((b) ^ (n)) = a \ right. \ Right \) \]

Принципова відмінність від стандартного визначення, наведеного на початку уроку, полягає в тому, що алгебраїчний корінь - це не конкретне число, а безліч. А оскільки ми працюємо з дійсними числами, це безліч буває лише трьох типів:

1. Порожня множина. Виникає в разі, коли потрібно знайти алгебраїчний корінь парному ступеня з негативного числа;
2. Безліч, що складається з одного-єдиного елемента. Все коріння непарних ступенів, а також коріння парних ступенів з нуля потрапляють в цю категорію;
3. Нарешті, безліч може включати два числа - ті самі $ ((x) _ (1)) $ і $ ((x) _ (2)) = - ((x) _ (1)) $, яке ми бачили на графіку квадратичної функції. Відповідно, такий розклад можливий лише при добуванні кореня парному ступеня з позитивного числа.

Останній випадок заслуговує більш докладного розгляду. Порахуємо парочку прикладів, щоб зрозуміти різницю.

Приклад. Обчисліть вирази:

\ [\ Overline (\ sqrt (4)); \ quad \ overline (\ sqrt (-27)); \ quad \ overline (\ sqrt (-16)). \]

Рішення. З першим виразом все просто:

\ [\ Overline (\ sqrt (4)) = \ left \ (2; -2 \ right \) \]

Саме два числа входять до складу безлічі. Тому що кожне з них в квадраті дає четвірку.

\ [\ Overline (\ sqrt (-27)) = \ left \ (-3 \ right \) \]

Тут ми бачимо безліч, що складається лише з одного числа. Це цілком логічно, оскільки показник кореня - непарний.

Нарешті, останній вираз:

\ [\ Overline (\ sqrt (-16)) = \ varnothing \]

Отримали порожня множина. Тому що немає жодного дійсного числа, яке при зведенні в четверту (тобто парну!) Ступінь дасть нам негативне число -16.

Фінальне зауваження. Зверніть увагу: я не випадково всюди наголошував, що ми працюємо з дійсними числами. Тому що є ще комплексні числа - там цілком можна порахувати і $ \ sqrt (-16) $, і багато інших дивні речі.

Однак в сучасному шкільному курсіматематики комплексні числа майже не зустрічаються. Їх викреслили з більшості підручників, оскільки наші чиновники вважають цю тему «занадто складною для розуміння».

На цьому все. У наступному уроці ми розглянемо всі ключові властивості коренів і навчимося, нарешті, спрощувати ірраціональні вирази. :)

визначення
Степенева функція з показником ступеня p- це функція f (X) = x p, Значення якої в точці x дорівнює значенню показовою функції з повним правом x в точці p.
Крім цього, f (0) = 0 p = 0при p> 0 .

Для натуральних значень показника, статечна функція є твір n чисел, рівних x:
.
Вона визначена для всіх дійсних.

Для позитивних раціональних значень показника, статечна функція є твір n коренів ступеня m з числа x:
.
Для непарних m, вона визначена для всіх дійсних x. Для парних m, статечна функція визначена для невід'ємних.

Для негативних, статечна функція визначається за формулою:
.
Тому вона не визначена в точці.

Для ірраціональних значень показника p, статечна функція визначається за формулою:
,
де a - довільне позитивне число, рівне одиниці: .
При, вона визначена для.
При, статечна функція визначена для.

безперервність. Степенева функція неперервна на своїй області визначення.

Властивості і формули статечної функції при x ≥ 0

Тут ми розглянемо властивості статечної функції при невід'ємних значеннях аргументу x. Як зазначено вище, при деяких значеннях показника p, статечна функція визначена і для негативних значень x. В цьому випадку, її властивості можна отримати з властивостей при, використовуючи парність або непарність. Ці випадки докладно розглянуті і проілюстровані на сторінці «».

Степенева функція, y = x p, з показником p має такі властивості:
(1.1) визначена і неперервна на множині
при,
при;
(1.2) має безліч значень
при,
при;
(1.3) строго зростає при,
строго убуває при;
(1.4) при;
при;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Доказ властивостей наводиться на сторінці «Степенева функція (доказ безперервності і властивостей)»

Коріння - визначення, формули, властивості

визначення
Корінь з числа x ступеня n- це число, зведення якого в ступінь n дає x:
.
Тут n = 2, 3, 4, ... - натуральне число, більше одиниці.

Також можна сказати, що корінь з числа x ступеня n - це корінь (тобто рішення) рівняння
.
Зауважимо, що функція є оберненою до функції.

Квадратний корінь з числа x- це корінь ступеня 2:.

Кубічний корінь з числа x- це корінь ступеня 3:.

парна ступінь

Для парних ступенів n = 2 m, Корінь визначений при x ≥ 0 . Часто використовується формула, справедлива як для позитивних, так і для негативних x:
.
Для квадратного кореня:
.

Тут важливий порядок, в якому виконуються операції - тобто спочатку проводиться зведення в квадрат, в результаті чого виходить невід'ємне число, а потім з нього витягується корінь (з невід'ємного числа можна витягувати квадратний корінь). Якби ми змінили порядок:, то при негативних x корінь був би не визначений, а разом з ним не визначено і все вираз.

непарна ступінь

Для непарних ступенів, корінь визначений для всіх x:
;
.

Властивості і формули коренів

Корінь з x є ступеневою функцією:
.
При x ≥ 0 мають місце такі формули:
;
;
, ;
.

Ці формули також можуть бути застосовні і при негативних значеннях змінних. Потрібно тільки стежити за тим, щоб подкоренное вираз парних ступенів не було негативним.

Приватні значення

Корінь 0 дорівнює 0:.
Корінь 1 дорівнює 1:.
Квадратний корінь 0 дорівнює 0:.
Квадратний корінь 1 дорівнює 1:.

Приклад. Корінь з коренів

Розглянемо приклад квадратного кореня з коренів:
.
Перетворимо внутрішній квадратний корінь, застосовуючи наведені вище формули:
.
Тепер перетворимо вихідний корінь:
.
Отже,
.

y = x p при різних значеннях показника p.

Тут наводяться графіки функції при невід'ємних значеннях аргументу x. Графіки статечної функції, визначеної при негативних значеннях x, наводяться на сторінці «Степенева функція, її властивості і графіки»

зворотна функція

Зворотною для статечної функції з показником p є статечна функція з показником 1 / p.

Якщо то .

Похідна статечної функції

Похідна n-го порядку:
;

Висновок формул>>>

Інтеграл від статечної функції

P ≠ - 1 ;
.

Розкладання в статечної ряд

при - 1 < x < 1 має місце наступне розкладання:

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексної змінної z:
f (Z) = z t.
Висловимо комплексну змінну z через модуль r і аргумент φ (r = | z |):
z = r e i φ.
комплексне число t представимо у вигляді дійсної і уявної частин:
t = p + i q.
маємо:

Далі врахуємо, що аргумент φ визначений не однозначно:
,

Розглянемо випадок, коли q = 0 , Тобто показник ступеня - дійсне число, T = p. тоді
.

Якщо p - ціле, то і kp - ціле. Тоді, в силу періодичності тригонометричних функцій:
.
Тобто показова функціяпри цілому показнику ступеня, для заданого z, має тільки одне значення і тому є однозначною.

Якщо p - ірраціональне, то твори kp ні при якому k не дають цілого числа. Оскільки k пробігає нескінченний ряд значень k = 0, 1, 2, 3, ..., То функція z p має нескінченно багато значень. Всякий раз, коли аргумент z нього бере зріст 2 π(Один оборот), ми переходимо на нову гілку функції.

Якщо p - раціональне, то його можна представити у вигляді:
, де m, n- цілі, що не містять спільних дільників. тоді
.
Перші n величин, при k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, Дають n різних значень kp:
.
Проте подальші величини дають значення, що відрізняються від попередніх на ціле число. Наприклад, при k = k 0 + nмаємо:
.
тригонометричні функції, Аргументи яких розрізняються на величини, кратні 2 π, Мають рівні значення. Тому при подальшому збільшенні k ми отримуємо ті ж значення z p, що і для k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Таким чином, показова функція з раціональним показником ступеня є багатозначною і має n значень (гілок). Всякий раз, коли аргумент z нього бере зріст 2 π(Один оборот), ми переходимо на нову гілку функції. Через n таких оборотів ми повертаємося на першу гілку, з якої починався відлік.

Зокрема, корінь ступеня n має n значень. Як приклад розглянемо корінь n - го ступеня дійсного позитивного числа z = x. В цьому випадку φ 0 = 0, z = r = | z | = x, .
.
Так, для квадратного кореня, n = 2 ,
.
Для парних k, (- 1) k = 1. Для непарних k, (- 1) k = - 1.
Тобто квадратний корінь має два значення: + і -.

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяев, Довідник з математики для інженерів і учнів втузів, «Лань», 2009.

формули ступеніввикористовують в процесі скорочення та спрощення складних виразів, в рішенні рівнянь і нерівностей.

число cє n-ної ступенем числа aколи:

Операції зі ступенями.

1. Примножуючи ступеня з однаковим підставоюїх показники складаються:

a m· A n = a m + n.

2. У розподілі ступенів з однаковим підставою їх показники вираховуються:

3. Ступінь твори 2-х або більшого числамножників дорівнює добутку ступенів цих співмножників:

(Abc ...) n = a n · b n · c n ...

4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів діленого і дільника:

(A / b) n = a n / b n.

5. Зводячи ступінь в ступінь, показники ступенів перемножують:

(A m) n = a m n.

Кожна вищенаведена формула вірна в напрямках зліва направо і навпаки.

наприклад. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4.

Операції з корінням.

1. Корінь з твору декількох співмножників дорівнює добутку коренів з цих співмножників:

2. Корінь з відносини дорівнює відношенню діленого і дільника коренів:

3. При зведенні кореня в ступінь досить звести до цього степеня подкоренное число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в nраз і в той же час звести в n-у ступінь подкоренное число, то значення кореня не поміняється:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в nраз і в той же час витягти корінь n-го ступеня з подкоренного числа, то значення кореня не поміняється:

Ступінь з негативним показником.Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, рівним абсолютній величині непозитивним показника:

формулу a m: A n = a m - nможна використовувати не тільки при m> n, Але і при m< n.

наприклад. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

щоб формула a m: A n = a m - nстала справедливою при m = n, Потрібна присутність нульової ступеня.

Ступінь з нульовим показником.Ступінь всякого числа, які не рівного нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці.

наприклад. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Ступінь з дробовим показником.Щоб звести дійсне число ав ступінь m / n, Необхідно витягти корінь n-го ступеня з m-го ступеня цього числа а.