Уявити числа в тригонометричної формі z i. Тригонометрична і показова форма комплексного числа. Комплексні числа xi

2.3. Тригонометрична форма комплексних чисел

Нехай вектор задається на комплексній площині числом.

Позначимо через φ кут між позитивною полуосью Ox і вектором (кут φ вважається позитивним, якщо він відраховується проти годинникової стрілки, і негативним в іншому випадку).

Позначимо довжину вектора через r. Тоді. позначимо також

Запис відмінного від нуля комплексного числа z у вигляді

називається тригонометричної формою комплексного числа z. Число r називається модулем комплексного числа z, а число φ називається аргументом цього комплексного числа і позначається Arg z.

Тригонометрична форма запису комплексного числа - (формула Ейлера) - показова форма запису комплексного числа:

У комплексного числа z є нескінченно багато аргументів: якщо φ0 - будь-якої аргумент числа z, то всі інші можна знайти за формулою

Для комплексного числа аргумент і тригонометрическая форма не визначаються.

Таким чином, аргументом відмінного від нуля комплексного числа є будь-яке рішення системи рівнянь:

(3)

Значення φ аргументу комплексного числа z, що задовольняє нерівностям, називається головним і позначається arg z.

Аргументи Arg z і arg z пов'язані рівністю

, (4)

Формула (5), є наслідком системи (3), тому всі аргументи комплексного числа задовольняють рівності (5), але не всі рішення φ рівняння (5) є аргументами числа z.

Головне значення аргументу відмінного від нуля комплексного числа перебувати за формулами:

Формули множення і ділення комплексних чисел в тригонометричної формі мають такий вигляд:

. (7)

При зведенні в натуральну ступінь комплексного числа використовується формула Муавра:

При добуванні кореня з комплексного числа використовується формула:

, (9)

де k \u003d 0, 1, 2, ..., n-1.

Завдання 54. Визначте, де.

Уявімо рішення цього виразу в показовою формі записи комплексного числа:.

Якщо то .

тоді, . Тому, тоді і , Де.

відповідь: , При.

Завдання 55. Запишіть комплексні числа в тригонометричної формі:

а); б); в); г); д); е) ; ж).

Так як тригонометрическая форма комплексного числа має вигляд, тоді:

а) У комплексному числі:.

,

Тому

б) , Де,

г) , Де,

е) .

ж) , а , То.

Тому

відповідь: ; 4; ; ; ; ; .

Завдання 56. Знайдіть тригонометричну форму комплексного числа

.

нехай, .

тоді, , .

оскільки і ,, То, а

Отже,, тому

відповідь: , Де.

Завдання 57. Використовуючи тригонометричну форму комплексного числа, зробіть зазначені дії:.

Уявімо числа і в тригонометричної формі.

1), де тоді

Знаходимо значення головного аргументу:

Підставимо значення і у вираз, отримаємо

2) , Де тоді

тоді

3) Знайдемо приватне

Вважаючи k \u003d 0, 1, 2, отримаємо три різних значення шуканого кореня:

Якщо то

якщо то

якщо то .

Відповідь::

:

: .

Завдання 58. Нехай,,, - різні комплексні числа і . Доведіть, що

а) число є дійсним позитивним числом;

б) має місце рівність:

а) Уявімо дані комплексні числа в тригонометричної формі:

Так як .

Припустимо, що . тоді

.

Останній вираз є позитивним числом, так як під знаками синусів стоять числа з інтервалу.

так як число матеріально і позитивно. Дійсно, якщо a і b - комплексні числа і матеріально і більше нуля, то.

Крім того,

отже, потрібне рівність доведено.

Завдання 59. Запишіть в алгебраїчній формі число .

Уявімо число в тригонометричної формі, а потім знайдемо його алгебраїчну форму. маємо . для отримуємо систему:

Звідси випливає рівність: .

Застосовуючи формулу Муавра:,

отримуємо

Знайдена тригонометрическая форма заданого числа.

Запишемо тепер це число в алгебраїчній формі:

.

відповідь: .

Завдання 60. Знайдіть суму,,

Розглянемо суму

Застосовуючи формулу Муавра, знайдемо

Ця сума є сумою n членів геометричної прогресії зі знаменником і першим членом .

Застосовуючи формулу для суми членів такої прогресії, маємо

Виділяючи уявну частину в останньому виразі, знаходимо

Виділяючи дійсну частину, отримуємо також наступну формулу:,,.

Завдання 61. Знайдіть суму:

а) ; б).

За формулою Ньютона для зведення в ступінь маємо

За формулою Муавра знаходимо:

Прирівнюючи речові і уявні частини отриманих виразів для, маємо:

і .

Ці формули в компактному вигляді можна записати так:

,

, Де - ціла частина числа a.

Завдання 62. Знайдіть все, для яких.

оскільки , То, застосовуючи формулу

, Для вилучення коренів, отримуємо ,

отже, , ,

, .

Точки, що відповідають числам, розташовані в вершинах квадрата, вписаного в коло радіуса 2 з центром в точці (0; 0) (рис. 30).

відповідь: , ,

, .

Завдання 63. Розв'яжіть рівняння , .

За умовою ; тому дане рівняння не має кореня, і, значить, воно рівносильне рівнянню.

Для того щоб число z було коренем даного рівняння, потрібно, щоб число було коренем п-го ступеня з числа 1.

Звідси робимо висновок, що вихідне рівняння має коренів, визначених на підставі рівностей

,

Таким чином,

,

т. е. ,

відповідь: .

Завдання 64. Вирішіть в безлічі комплексних чисел рівняння.

Так як число не є коренем даного рівняння, то при дане рівняння рівносильне рівнянню

Т. е. Рівняння.

Все коріння цього рівняння виходять з формули (див. Задачу 62):

; ; ; ; .

Завдання 65. Зобразіть на комплексній площині безліч точок, що задовольняють нерівностям: . (2-й спосіб розв'язання задачі 45)

нехай .

Комплексним числам, які мають однакові модулі, відповідають точки площині, що лежать на колі з центром на початку координат, тому нерівності задовольняють всі крапки відкритого кільця, обмеженого колами із загальним центром на початку координат і радіусами і (рис. 31). Нехай деяка точка комплексної площини відповідає числу w0. число , Має модуль, в раз менший модуля w0, аргумент, на більший аргументу w0. З геометричної точки зору точку, відповідну w1, можна отримати, використовуючи Гомотетія з центром на початку координат і коефіцієнтом, а також поворот відносно початку координат на кут проти годинникової стрілки. В результаті застосування цих двох перетворень до точок кільця (рис. 31) останнім перейде в кільце, обмежене колами з тим же центром і радіусами 1 і 2 (рис. 32).

перетворення реалізується за допомогою паралельного перенесення на вектор. Переносячи кільце з центром в точці на вказаний вектор, отримаємо кільце такого ж розміру з центром в точці (рис. 22).

Запропонований спосіб, який використовує ідею геометричних перетворень площини, напевно, менш зручний в описі, але дуже витончений і ефективний.

Завдання 66. Знайдіть, якщо .

Нехай, тоді й. Початкове рівність набуде вигляду . З умови рівності двох комплексних чисел одержимо,, звідки,. Таким чином, .

Запишемо число z в тригонометричної формі:

, Де,. Відповідно до формули Муавра, знаходимо.

Відповідь: - 64.

Завдання 67. Для комплексного числа знайдіть всі комплексні числа, такі, що, а .

Уявімо число в тригонометричної формі:

. Звідси,. Для числа отримаємо, може бути дорівнює або.

У першому випадку , у другому

.

Відповідь:, .

Завдання 68. Знайдіть суму таких чисел, що. Вкажіть одне з таких чисел.

Зауважимо, що вже з самого формулювання завдання можна зрозуміти, що сума коренів рівняння можна знайти без обчислення самих коренів. Дійсно, сума коренів рівняння є коефіцієнт при, взятий з протилежним знаком (узагальнена теорема Вієта), тобто

Учнів, шкільну документацію, зробити висновки про ступінь засвоєння даного поняття. Підвести підсумок про дослідження особливостей математичного мислення і процесу формування поняття комплексного числа. Опис методів. Діагностичні: I етап. Бесіда проводилася з учителем математики, яка в 10? Класі викладає алгебру і геометрію. Бесіда відбулася після закінчення деякого часу з початку ...

Резонанс "(!)), Що включає також оцінку власної поведінки. 4. Критичне оцінювання свого розуміння ситуації (сумніви). 5. Нарешті, використання рекомендацій юридичної психології (облік юристом психологічних аспектів виконуваних професійних дій - професійно-психологічна підготовленість). Розглянемо тепер психологічний аналіз юридичних фактів. ...

Математики тригонометричної підстановки і перевірка ефективності розробленої методики викладання. Етапи роботи: 1. Розробка факультативного курсу на тему: «Застосування тригонометричної підстановки для розв'язання алгебраїчних задач» з учнями класів з поглибленим вивченням математики. 2. Проведення розробленого факультативного курсу. 3. Проведення диагностирующей контрольної ...

Пізнавальні завдання покликані лише доповнити існуючі засоби навчання і повинні знаходитися в доцільному поєднанні з усіма традиційними засобами і елементами навчального процесу. Відмінність навчальних завдань у викладанні гуманітарних наук від точних, від математичних задач полягає лише в тому, що в історичних завданнях відсутні формули, жорсткі алгоритми і т.д., що ускладнює їх рішення. ...

КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА XI

§ 256. Тригонометрична форма комплексних чисел

Нехай комплексному числу а + bi відповідає вектор OA \u003e З координатами ( а, b ) (Див. Рис. 332).

Позначимо довжину цього вектора через r , А кут, який він утворює з віссю х , через φ . За визначенням синуса і косинуса:

a / r \u003d cos φ , b / r \u003d sin φ .

Тому а = r cos φ , b = r sin φ . Але в такому випадку комплексне число а + bi можна записати у вигляді:

а + bi = r cos φ + ir sin φ = r (cos φ + i sin φ ).

Як відомо, квадрат довжини будь-якого вектора дорівнює сумі квадратів його координат. Тому r 2 = a 2 + b 2, звідки r = √a 2 + b 2

Отже, будь-яке комплексне число а + bi можна представити у вигляді :

а + bi = r (cos φ + i sin φ ), (1)

де r = √a 2 + b 2, а кут φ визначається з умови:

Така форма запису комплексних чисел називається тригонометричної.

число r у формулі (1) називається модулем, А кут φ - аргументом, Комплексного числа а + bi .

Якщо комплексне число а + bi не дорівнює нулю, то модуль його позитивний; якщо ж а + bi \u003d 0, то а \u003d b \u003d 0 і тоді r = 0.

Модуль будь-якого комплексного числа визначено однозначно.

Якщо комплексне число а + bi не дорівнює нулю, то аргумент його визначається формулами (2) однозначно з точністю до кута, кратного 2 π . Якщо ж а + bi \u003d 0, то а \u003d b \u003d 0. У цьому випадку r \u003d 0. З формули (1) легко зрозуміти, що в якості аргументу φ в даному випадку можна вибрати будь-який кут: адже при будь-якому φ

0 (cos φ + i sin φ ) = 0.

Тому аргумент нуля не визначений.

Модуль комплексного числа r іноді позначають | z |, А аргумент arg z . Розглянемо кілька прикладів на подання комплексних чисел в тригонометричної формі.

Приклад. 1. 1 + i .

знайдемо модуль r і аргумент φ цього числа.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Отже, sin φ \u003d 1 / √ 2, cos φ \u003d 1 / √ 2, звідки φ = π / 4 + 2nπ .

Таким чином,

1 + i = √ 2 ,

де п - будь-яке ціле число. Зазвичай з нескінченної кількості значень аргументу комплексного числа вибирають те, що укладена між 0 і 2 π . В даному випадку таким значенням є π / 4. Тому

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i sin π / 4)

Приклад 2. Записати в тригонометричної формі комплексне число √ 3 - i . маємо:

r = √ 3 + 1 \u003d 2, cos φ \u003d √ 3/2, sin φ = - 1 / 2

Тому з точністю до кута, кратного 2 π , φ = 11 / 6 π ; отже,

√ 3 - i \u003d 2 (cos 11/6 π + i sin 11/6 π ).

приклад 3 Записати в тригонометричної формі комплексне число i.

комплексному числу i відповідає вектор OA \u003e, Що закінчується в точці А осі у з ординатою 1 (рис. 333). Довжина такого вектора дорівнює 1, а кут, який він утворює з віссю абсцис, дорівнює π / 2. Тому

i \u003d cos π / 2 + i sin π / 2 .

Приклад 4.Записати в тригонометричної формі комплексне число 3.

Комплексному числу 3 відповідає вектор OA > х абсциссой 3 (рис. 334).

Довжина такого вектора дорівнює 3, а кут, який він утворює з віссю абсцис, дорівнює 0. Тому

3 \u003d 3 (cos 0 + i sin 0),

Приклад 5. Записати в тригонометричної формі комплексне число -5.

Комплексного, числу -5 відповідає вектор OA \u003e, Що закінчується в точці осі х з абсцисою -5 (рис. 335). Довжина такого вектора дорівнює 5, а кут, який він утворює з віссю абсцис, дорівнює π . Тому

5 \u003d 5 (cos π + i sin π ).

вправи

2047. Дані комплексні числа записати в тригонометричної формі, визначивши їх модулі і аргументи:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Вказати на площині безлічі точок, що зображують комплексні числа, модулі г і аргументи ф яких задовольняють умовам:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Чи можуть модулем комплексного числа одночасно бути числа r і - r ?

2050. Чи можуть аргументом комплексного числа одночасно бути кути φ і - φ ?

Дані комплексні числа уявити в тригонометричної формі, визначивши їх модулі і аргументи:

2051 *. 1 + cos α + i sin α . 2054 *. 2 (cos 20 ° - i sin 20 °).

2052 *. sin φ + i cos φ . 2055 *. 3 (- cos 15 ° - i sin 15 °).

У цьому параграфі більше мова піде про тригонометричної формі комплексного числа. Показова форма в практичних завданнях зустрічається значно рідше. Рекомендую закачати і по можливості роздрукувати тригонометричні таблиці, Методичний матеріал можна знайти на сторінці Математичні формули і таблиці. Без таблиць далеко не виїхати.

Будь-яке комплексне число (крім нуля) можна записати в тригонометричної формі:

Де це модуль комплексного числа, А - аргумент комплексного числа.

Зобразимо на комплексній площині число. Для визначеності і простоти пояснень розташуємо його в першій координатної чверті, тобто вважаємо, що:

Модулем комплексного числа називається відстань від початку координат до відповідної точки комплексної площини. Попросту кажучи, модуль - це довжина радіус-вектора, який на кресленні позначений червоним кольором.

Модуль комплексного числа стандартно позначають: або

По теоремі Піфагора легко вивести формулу для знаходження модуля комплексного числа:. Дана формула справедлива для будь-яких значень «а» і «бе».

Примітка : Модуль комплексного числа є узагальнення поняття модуля дійсного числа, Як відстані від точки до початку координат.

Аргументом комплексного числа називається кут між позитивної полуосью дійсної осі і радіус-вектором, проведеним з початку координат до відповідного патрубку. Аргумент не визначено для однини :.

Даний принцип практично однаковий з полярними координатами, де полярний радіус і полярний кут однозначно визначають точку.

Аргумент комплексного числа стандартно позначають: або

З геометричних міркувань виходить наступна формула для знаходження аргументу:

. Увага! Дана формула працює тільки в правій півплощині! Якщо комплексне число розташовується не в 1-ій і не 4-ої координатної чверті, то формула буде трохи інший. Ці випадки ми теж розберемо.

Але спочатку розглянемо найпростіші приклади, коли комплексні числа розташовуються на координатних осях.

приклад 7

Уявити в тригонометричної формі комплексні числа: ,,,. Виконаємо креслення:

Насправді завдання усне. Для наочності перепишу тригонометричну форму комплексного числа:

Запам'ятаємо намертво, модуль - довжина (Яка завжди неотрицательна), Аргумент - кут

1) Уявімо в тригонометричної формі число. Знайдемо його модуль і аргумент. Очевидно, що. Формальний розрахунок за формулою :. Очевидно, що (число лежить безпосередньо на дійсній позитивної півосі). Таким чином, число в тригонометричної формі :.

Ясно, як день, зворотне перевірочне дію:

2) Уявімо в тригонометричної формі число. Знайдемо його модуль і аргумент. Очевидно, що. Формальний розрахунок за формулою :. Очевидно, що (або 90 градусів). На кресленні кут позначений червоним кольором. Таким чином, число в тригонометричної формі: .

використовуючи , Легко назад отримати алгебраїчну форму числа (заодно виконавши перевірку):

3) Уявімо в тригонометричної формі число. Знайдемо його модуль і

аргумент. Очевидно, що . Формальний розрахунок за формулою:

Очевидно, що (або 180 градусів). На кресленні кут позначений синім кольором. Таким чином, число в тригонометричної формі :.

Перевірка:

4) І четвертий цікавий випадок. Очевидно, що. Формальний розрахунок за формулою :.

Аргумент можна записати двома способами: Перший спосіб: (270 градусів), і, відповідно: . Перевірка:

Однак більш стандартно наступне правило: Якщо кут більше 180 градусів, То його записують зі знаком мінус і протилежної орієнтацією ( «прокруткою») кута: (мінус 90 градусів), на кресленні кут відзначений зеленим кольором. Легко помітити,

що и- це один і той же кут.

Таким чином, запис приймає вигляд:

Увага! Ні в якому разі не можна використовувати парність косинуса, непарність синуса і проводити подальше «спрощення» записи:

До речі, корисно згадати зовнішній вигляд і властивості тригонометричних і зворотних тригонометричних функцій, довідкові матеріали знаходяться в останніх параграфах сторінки Графіки і властивості основних елементарних функцій. І комплексні числа засвояться помітно легше!

В оформленні найпростіших прикладів так і слід записувати : «Очевидно, що модуль дорівнює ... очевидно, що аргумент дорівнює ...». Це дійсно очевидно і легко вирішується усно.

Перейдемо до розгляду більш поширених випадків. C модулем проблем не виникає, завжди слід використовувати формулу. А ось формули для знаходження аргументу будуть різними, це залежить від того, в який координатної чверті лежить число. При цьому можливі три варіанти (їх корисно переписати):

1) Якщо (1-а і 4-а координатні чверті, або права напівплощина), то аргумент потрібно знаходити за формулою.

2) Якщо (2-а координатна чверть), то аргумент потрібно знаходити за формулою .

3) Якщо (3-тя координатна чверть), то аргумент потрібно знаходити за формулою .

приклад 8

Уявити в тригонометричної формі комплексні числа: ,,,.

Коль скоро є готові формули, то креслення виконувати не обов'язково. Але є один момент: коли вам запропоновано завдання представити число у тригонометричної формі, то креслення краще в будь-якому випадку виконати. Справа в тому, що рішення без креслення часто бракують викладачі, відсутність креслення - серйозне підстава для мінуса і незаліку.

Представляємо в комплексній формі числа і, перше і третє числа будуть для самостійного рішення.

Уявімо в тригонометричної формі число. Знайдемо його модуль і аргумент.

Оскільки (випадок 2), то

-ось тут непарні арктангенса скористатися потрібно. На жаль, в таблиці не вказане значення, тому в подібних випадках аргумент доводиться залишати в громіздкому вигляді: - ЧПУ тригонометричної формі.

Уявімо в тригонометричної формі число. Знайдемо його модуль і аргумент.

Оскільки (випадок 1), то (мінус 60 градусів).

Таким чином:

число в тригонометричної формі.

А ось тут, як уже зазначалося, мінуси не чіпаємо.

Крім забавного графічного методу перевірки, існує і перевірка аналітична, яка вже проводилася в Прімері 7. Використовуємо таблицю значень тригонометричних функцій, При цьому враховуємо, що кут - це точно табличний кут (або 300 градусів): - ЧПУ вихідної алгебраїчній формі.

Числа іпредставьте в тригонометричної формі самостійно. Короткий рішення і відповідь в кінці уроку.

В кінці параграфа коротко про показовій формі комплексного числа.

Будь-яке комплексне число (крім нуля) можна записати в показовій формі:

Де - це модуль комплексного числа, а- аргумент комплексного числа.

Що потрібно зробити, щоб представити комплексне число в показовою формі? Майже те ж саме: виконати креслення, знайти модуль і аргумент. І записати число у вигляді.

Наприклад, для числа попереднього прикладу у нас знайдений модуль і аргумент:,. Тоді дане число в показовою формі запишеться наступним чином :.

Число в показовою формі буде виглядати так:

число - так:

Єдина порада - не чіпаємо показник експоненти, там не потрібно переставляти множники, розкривати дужки і т.п. Комплексне число в показовою формі записується строго по формі .