Функція y x назву. Функції та їх графіки. Як правильно побудувати координатні осі

1. Дрібно-лінійна функція і її графік

Функція виду y \u003d P (x) / Q (x), де P (x) і Q (x) - многочлени, називається дрібно-раціональної функцією.

З поняттям раціональних чисел ви вже напевно знайомі. аналогічно раціональні функції - це функції, які можна уявити як приватна двох многочленів.

Якщо дрібно-раціональна функція являє собою частку двох лінійних функцій - многочленів першого ступеня, тобто функцію виду

y \u003d (ax + b) / (cx + d), то її називають дрібно-лінійної.

Зауважимо, що у функції y \u003d (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (інакше функція стає лінійної y \u003d ax / d + b / d) і що a / c ≠ b / d (інакше функція константа ). Дрібно-лінійна функція визначена при всіх дійсних числах, крім x \u003d -d / c. Графіки дрібно-лінійних функцій за формою не відрізняються від відомого вам графіка y \u003d 1 / x. Крива, що є графіком функції y \u003d 1 / x, називається гіперболою. При необмеженому збільшенні x по абсолютній величині функція y \u003d 1 / x необмежено зменшується за абсолютною величиною і обидві гілки графіка наближаються до осі абсцис: права наближається зверху, а ліва - знизу. Прямі, до яких наближаються гілки гіперболи, називаються її асимптотами.

Приклад 1.

y \u003d (2x + 1) / (x - 3).

Рішення.

Виділимо цілу частину: (2x + 1) / (x - 3) \u003d 2 + 7 / (x - 3).

Тепер легко бачити, що графік цієї функції виходить з графіка функції y \u003d 1 / x наступними перетвореннями: зрушенням на 3 одиничних відрізка вправо, розтягуванням уздовж осі Oy в 7 разів і зрушенням на 2 одиничних відрізка вгору.

Будь-яку дріб y \u003d (ax + b) / (cx + d) можна записати аналогічним чином, виділивши «цілу частину». Отже, графіки всіх дрібно-лінійних функцій є гіперболи, різним чином зрушені уздовж координатних осей і розтягнуті по осі Oy.

Для побудови графіка який-небудь довільній дробно- лінійної функції зовсім не обов'язково дріб, що задає цю функцію, перетворювати. Оскільки ми знаємо, що графік є гіпербола, буде досить знайти прямі, до яких наближаються її гілки - асимптоти гіперболи x \u003d -d / c і y \u003d a / c.

Приклад 2.

Знайти асимптоти графіка функції y \u003d (3x + 5) / (2x + 2).

Рішення.

Функція не визначена, при x \u003d -1. Значить, пряма x \u003d -1 служить вертикальної асимптотой. Для знаходження горизонтальної асимптоти, з'ясуємо, до чого наближаються значення функції y (x), коли аргумент x зростає за абсолютною величиною.

Для цього розділимо чисельник і знаменник дробу на x:

y \u003d (3 + 5 / x) / (2 + 2 / x).

При x → ∞ дріб буде прагнути до 3/2. Значить, горизонтальна асимптота - це пряма y \u003d 3/2.

Приклад 3.

побудувати графік функції y \u003d (2x + 1) / (x + 1).

Рішення.

Виділимо у дробу «цілу частину»:

(2x + 1) / (x + 1) \u003d (2x + 2 - 1) / (x + 1) \u003d 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) \u003d

2 - 1 / (x + 1).

Тепер легко бачити, що графік цієї функції виходить з графіка функції y \u003d 1 / x наступними перетвореннями: зрушенням на 1 одиницю вліво, симетричним відображенням відносно Ox і зрушенням на 2 одиничних відрізка вгору по осі Oy.

Область визначення D (y) \u003d (-∞; -1) ᴗ (-1; + ∞).

Область значень E (y) \u003d (-∞; 2) ᴗ (2; + ∞).

Точки перетину з осями: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функція зростає на кожному із проміжків області визначення.

Відповідь: малюнок 1.

2. Дрібно-раціональна функція

Розглянемо дрібно-раціональну функцію виду y \u003d P (x) / Q (x), де P (x) і Q (x) - многочлени, ступеня вище першої.

Приклади таких раціональних функцій:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) або y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Якщо функція y \u003d P (x) / Q (x) являє собою частку двох многочленів ступеня вище першої, то її графік буде, як правило, складніше, і побудувати його точно, з усіма деталями буває іноді важко. Однак, часто досить застосувати прийоми, аналогічні тим, з якими ми вже познайомилися вище.

Нехай дріб - правильна (n< m). Известно, что любую несократимую раціональну дріб можна уявити, і до того ж єдиним чином, у вигляді суми кінцевого числа елементарних дробів, вид яких визначається розкладанням знаменника дробу Q (x) в твір дійсних сомножителей:

P (x) / Q (x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + ... +

L 1 / (x - K s) ms + L 2 / (x - K s) ms-1 + ... + L ms / (x - K s) + ... +

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 + ... + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) + ... +

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Очевидно, що графік дрібно-раціональної функції можна отримати як суму графіків елементарних дробів.

Побудова графіків дрібно-раціональних функцій

Розглянемо кілька способів побудови графіків дрібно-раціональної функції.

Приклад 4.

Побудувати графік функції y \u003d 1 / x 2.

Рішення.

Використовуємо графік функції y \u003d x 2 для побудови графіка y \u003d 1 / x 2 і скористаємося прийомом «поділу» графіків.

Область визначення D (y) \u003d (-∞; 0) ᴗ (0; + ∞).

Область значень E (y) \u003d (0; + ∞).

Точок перетину з осями немає. Функція парна. Зростає при все х з інтервалу (-∞; 0), убуває при x від 0 до + ∞.

Відповідь: малюнок 2.

Приклад 5.

Побудувати графік функції y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Рішення.

Область визначення D (y) \u003d (-∞; 3) ᴗ (3; + ∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \u003d -x / 3 + 1/3.

Тут ми використовували прийом розкладання на множники, скорочення і приведення до лінійної функції.

Відповідь: малюнок 3.

Приклад 6.

Побудувати графік функції y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Рішення.

Область визначення D (y) \u003d R. Так як функція парна, то графік симетричний відносно осі ординат. Перш ніж будувати графік, знову перетворимо вираз, виділивши цілу частину:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Зауважимо, що виділення цілої частини у формулі дрібно-раціональної функції є одним з основних при побудові графіків.

Якщо x → ± ∞, то y → 1, тобто пряма y \u003d 1 є горизонтальною асимптотой.

Відповідь: малюнок 4.

Приклад 7.

Розглянемо функцію y \u003d x / (x 2 + 1) і спробуємо точно знайти найбільше її значення, тобто саму високу точку правої половини графіка. Щоб точно побудувати цей графік, сьогоднішніх знань недостатньо. Очевидно, що наша крива не може «піднятися» дуже високо, тому що знаменник досить швидко починає «обганяти» чисельник. Подивимося, чи може значення функції дорівнювати 1. Для цього потрібно вирішити рівняння x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Це рівняння не має дійсних коренів. Значить, наше припущення не вірне. Щоб знайти саме велике значення функції, треба дізнатися, при якому найбільшому А рівняння А \u003d x / (x 2 + 1) буде мати рішення. Замінимо вихідне рівняння квадратним: Аx 2 - x + А \u003d 0. Це рівняння має рішення, коли 1 - 4А 2 ≥ 0. Звідси знаходимо найбільше значення А \u003d 1/2.

Відповідь: малюнок 5, max y (x) \u003d ½.

Залишилися питання? Не знаєте, як будувати графіки функцій?
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.
Перший урок - безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Функції та їх графіки - одна з найбільш захоплюючих тем в шкільній математиці. Шкода тільки, що проходить вона ... повз уроків і повз учнів. На неї вічно бракує часу в старших класах. А ті функції, які проходять в 7-му класі, - лінійна функція і парабола - занадто прості і немудрі, щоб показати всю різноманітність цікавих завдань.

Уміння будувати графіки функцій необхідно для вирішення завдань з параметрами на ЄДІ з математики. Це одна з перших тем курсу математичного аналізу в вузі. Це настільки важлива тема, що ми в ЄДІ-Студії проводимо по ній спеціальні інтенсиви для старшокласників і вчителів, в Москві і онлайн. І часто учасники кажуть: «Шкода, що ми не знали цього раніше».

Але це не все. Саме з поняття функції і починається справжня, «доросла» математика. Адже додавання і віднімання, множення і ділення, дробу і пропорції - це все-таки арифметика. Перетворення виразів - це алгебра. А математика - наука не тільки про числа, а й про взаємозв'язки величин. Мова функцій і графіків зрозумілий і фізику, і біологу, і економісту. І, як сказав Галілео Галілей, «Книга природи написана мовою математики».

Точніше, Галілео Галілей сказав так: «Математика є алфавіт, за допомогою якого Господь накреслив Всесвіт».

Теми для повторення:

1. Побудуємо графік функції

Знайома завдання! Такі зустрічалися в варіантах ОГЕ з математики. Там вони вважалися складними. Але складного нічого тут немає.

Спростимо формулу функції:

Графік функції - пряма з виколоти точкою

2. Побудуємо графік функції

Виділимо у формулі функції цілу частину:

Графік функції - гіпербола, зрушена на 3 вправо по x і на 2 вгору по y і розтягнута в 10 разів у порівнянні з графіком функції

Виділення цілої частини - корисний прийом, який застосовується в рішенні нерівностей, побудові графіків і оцінці цілих величин в задачах на числа і їх властивості. Він зустрінеться вам також на першому курсі, коли доведеться брати інтеграли.

3. Побудуємо графік функції

Він виходить з графіка функції розтягуванням в 2 рази, відображенням по вертикалі і зрушенням на 1 вгору по вертикалі

4. Побудуємо графік функції

Головне - правильна послідовність дій. Запишемо формулу функції в більш зручному вигляді:

Діємо по порядку:

1) Графік функції y \u003d sinx зрушимо на вліво;

2) стиснемо в 2 рази по горизонталі,

3) растянем в 3 рази по вертикалі,

4) зрушимо на 1 вгору

Зараз ми побудуємо кілька графіків дрібно-раціональних функцій. Щоб краще зрозуміти, як ми це робимо, читайте статтю «Поведінка функції в нескінченності. Асимптоти ».

5. Побудуємо графік функції

Область визначення функції:

Нулі функції: і

Пряма x \u003d 0 (вісь Y) - вертикальна асимптота функції. асимптота - пряма, до якої нескінченно близько підходить графік функції, але не перетинає її і не зливається з нею (дивись тему «Поведінка функції в нескінченності. Асимптоти»)

Чи є інші асимптоти у нашій функції? Щоб з'ясувати це, подивимося, як веде себе функція, коли x прямує до нескінченності.

Розкриємо дужки у формулі функції:

Якщо x прямує до нескінченності, то прагне до нуля. Пряма є похилій асимптотой до графіка функції.

6. Побудуємо графік функції

Це дрібно-раціональна функція.

Область визначення функції

Нулі функції: точки - 3, 2, 6.

Проміжки знакопостоянства функції визначимо за допомогою методу інтервалів.

Вертикальні асимптоти:

Якщо x прямує до нескінченності, то у прагне до 1. Отже, - горизонтальна асимптота.

Ось ескіз графіка:

Ще один цікавий прийом - складання графіків.

7. Побудуємо графік функції

Якщо x прямує до нескінченності, то і графік функції буде нескінченно наближатися до похилої асимптоти

Якщо x прагне до нуля, то функція поводиться як Це ми і бачимо на графіку:

Ось ми і побудували графік суми функцій. Тепер графік твори!

8. Побудуємо графік функції

Область визначення цієї функції - позитивні числа, оскільки тільки для позитивних x визначено

Значення функції дорівнюють нулю при (коли логарифм дорівнює нулю), а також в точках, де то є при

При, значення (cos x) дорівнює одиниці. Значення функції в цих точках дорівнюватиме

9. Побудуємо графік функції

Функція визначена при Вона парна, оскільки є твором двох непарних функцій і Графік симетричний щодо осі ординат.

Нулі функції - в точках, де то є при

Якщо x прямує до нескінченності, прагне до нуля. Але що ж буде, якщо x прямує до нуля? Адже і x, і sin x будуть ставати менше і менше. Як же буде вести себе приватне?

Виявляється, що якщо x прямує до нуля, то наближається до одиниці. У математиці це твердження носить назву «Першого чудового краю».

А як же похідна? Так, нарешті ми до неї дісталися. Похідна допомагає більш точно будувати графіки функцій. Знаходити точки максимуму і мінімуму, а також значення функції в цих точках.

10. Побудуємо графік функції

Область визначення функції - все дійсні числа, оскільки

Функція непарна. Її графік симетричний відносно початку координат.

При x \u003d 0 значення функції дорівнює нулю. При значення функції позитивні, при негативні.

Якщо x прямує до нескінченності, то прагне до нуля.

Знайдемо похідну функції
За формулою похідної приватного,

якщо чи

У точці похідна змінює знак з «мінуса» на «плюс», - точка мінімуму функції.

У точці похідна змінює знак з «плюса» на «мінус», - точка максимуму функції.

Знайдемо значення функції при x \u003d 2 і при x \u003d -2.

Графіки функцій зручно будувати за певним алгоритмом, або схемою. Пам'ятайте, ви вивчали її в школі?

Загальна схема побудови графіка функції:

1. Область визначення функції

2. Область значень функції

3. Парність - непарність (якщо є)

4. Періодичність (якщо є)

5. Нулі функції (точки, в яких графік перетинає осі координат)

6. Проміжки знакопостоянства функції (тобто проміжки, на яких вона строго позитивна або строго негативна).

7. Асимптоти (якщо є).

8. Поведінка функції в нескінченності

9. Похідна функції

10. Проміжки зростання і спадання. Точки максимуму і мінімуму та значення в цих точках.

Основні елементарні функції, властиві їм властивості і відповідні графіки - одні з азів математичних знань, схожих за ступенем важливості з таблицею множення. Елементарні функції є базою, опорою для вивчення всіх теоретичних питань.

Стаття нижче дає ключовий матеріал по темі основних елементарних функцій. Ми введемо терміни, дамо їм визначення; детально вивчимо кожен вид елементарних функцій, розберемо їх властивості.

Виділяють наступні види основних елементарних функцій:

визначення 1

• постійна функція (константа);
• корінь n-го ступеня;
• статечна функція;
• показова функція;
• логарифмічна функція;
• тригонометричні функції;
• братньою тригонометричні функції.

Постійна функція визначається формулою: y \u003d C (C - якесь дійсне число) і має також назву: константа. Ця функція визначає відповідність будь-якого дійсного значення незалежної змінної x одного і того ж значення змінної y - значення C.

Графік константи - це пряма, яка паралельна осі абсцис і проходить через точку, що має координати (0, С). Для наочності наведемо графіки постійних функцій y \u003d 5, y \u003d - 2, y \u003d 3, y \u003d 3 (на кресленні позначений чорним, червоним і синім кольорами відповідно).

визначення 2

Дана елементарна функція визначається формулою y \u003d x n (n - натуральне число більше одиниці).

Розглянемо дві варіації функції.

1. Корінь n-го ступеня, n - парне число

Для наочності зазначимо креслення, на якому зображені графіки таких функцій: y \u003d x, y \u003d x 4 і y \u003d x 8. Ці функції відзначені кольором: чорний, червоний і синій відповідно.

Схожий вид у графіків функції парного степеня при інших значеннях показника.

визначення 3

Властивості функції корінь n-го ступеня, n - парне число

• область визначення - безліч всіх невід'ємних дійсних чисел [0, + ∞);
• коли x \u003d 0, функція y \u003d x n має значення, рівне нулю;
• дана функція-функція загального вигляду (Не є ні парною, ні непарною);
• область значень: [0, + ∞);
• дана функція y \u003d x n при парних показниках кореня зростає на всій області визначення;
• функція має опуклістю з напрямком вгору на всій області визначення;
• відсутні точки перегину;
• асимптоти відсутні;
• графік функції при парних n проходить через точки (0; 0) і (1; 1).

1. Корінь n-го ступеня, n - непарне число

Така функція визначена на всій множині дійсних чисел. Для наочності розглянемо графіки функцій y \u003d x 3, y \u003d x 5 і x 9. На кресленні вони позначені кольорами: чорний, червоний і синій коліра кривих відповідно.

Інші непарні значення показника кореня функції y \u003d x n дадуть графік аналогічного виду.

визначення 4

Властивості функції корінь n-го ступеня, n - непарне число

• область визначення - безліч всіх дійсних чисел;
• дана функція - непарна;
• область значень - безліч всіх дійсних чисел;
• функція y \u003d x n при непарних показниках кореня зростає на всій області визначення;
• функція має увігнутість на проміжку (- ∞; 0] і опуклість на проміжку [0, + ∞);
• точка перегину має координати (0; 0);
• асимптоти відсутні;
• графік функції при непарних n проходить через точки (- 1; - 1), (0; 0) і (1; 1).

Степенева функція

визначення 5

Степенева функція визначається формулою y \u003d x a.

Вид графіків і властивості функції залежать від значення показника ступеня.

• коли статечна функція має цілий показник a, то вид графіка статечної функції і її властивості залежать від того, парний або непарний показник ступеня, а також того, який знак має показник ступеня. Розглянемо всі ці окремі випадки докладніше нижче;
• показник ступеня може бути дробовим або ірраціональним - в залежності від цього також варіюється вид графіків і властивості функції. Ми розберемо окремі випадки, задавши кілька умов: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• статечна функція може мати нульовий показник, цей випадок також нижче розберемо докладніше.

Розберемо ступеневу функцію y \u003d x a, коли a - непарне позитивне число, наприклад, a \u003d 1, 3, 5 ...

Для наочності зазначимо графіки таких статечних функцій: y \u003d x (Чорний колір графіка), y \u003d x 3 (синій колір графіка), y \u003d x 5 (червоний колір графіка), y \u003d x 7 (зелений колір графіка). Коли a \u003d 1, отримуємо лінійну функцію y \u003d x.

визначення 6

Властивості степеневої функції, коли показник ступеня - непарний позитивний

• функція є зростаючою при x ∈ (- ∞; + ∞);
• функція має опуклість при x ∈ (- ∞; 0] і увігнутість при x ∈ [0; + ∞) (виключаючи лінійну функцію);
• точка перегину має координати (0; 0) (виключаючи лінійну функцію);
• асимптоти відсутні;
• точки проходження функції: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Розберемо ступеневу функцію y \u003d x a, коли a - парне позитивне число, наприклад, a \u003d 2, 4, 6 ...

Для наочності зазначимо графіки таких статечних функцій: y \u003d x 2 (чорний колір графіка), y \u003d x 4 (синій колір графіка), y \u003d x 8 (червоний колір графіка). Коли a \u003d 2, отримуємо квадратичну функцію, графік якої - квадратична парабола.

визначення 7

Властивості степеневої функції, коли показник ступеня - парний позитивний:

• область визначення: x ∈ (- ∞; + ∞);
• спадної при x ∈ (- ∞; 0];
• функція має увігнутість при x ∈ (- ∞; + ∞);
• окуляри перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;
• точки проходження функції: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).

На малюнку нижче наведені приклади графіків статечної функції y \u003d x a, коли a - непарне негативне число: y \u003d x - 9 (чорний колір графіка); y \u003d x - 5 (синій колір графіка); y \u003d x - 3 (червоний колір графіка); y \u003d x - 1 (зелений колір графіка). Коли a \u003d - 1, отримуємо зворотний пропорційність, графік якої - гіпербола.

визначення 8

Властивості степеневої функції, коли показник ступеня - непарний негативний:

Коли х \u003d 0, отримуємо розрив другого роду, оскільки lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ при a \u003d - 1, - 3, - 5, .... Таким чином, пряма х \u003d 0 - вертикальна асимптота;

• область значень: y ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
• функція є непарною, оскільки y (- x) \u003d - y (x);
• функція є спадною при x ∈ - ∞; 0 ∪ (0; + ∞);
• функція має опуклість при x ∈ (- ∞; 0) і увігнутість при x ∈ (0; + ∞);
• точки перегину відсутні;

k \u003d lim x → ∞ x a x \u003d 0, b \u003d lim x → ∞ (x a - k x) \u003d 0 ⇒ y \u003d k x + b \u003d 0, коли а \u003d - 1, - 3, - 5,. . . .

• точки проходження функції: (- 1; - 1), (1; 1).

На малюнку нижче наведені приклади графіків статечної функції y \u003d x a, коли a - парне негативне число: y \u003d x - 8 (чорний колір графіка); y \u003d x - 4 (синій колір графіка); y \u003d x - 2 (червоний колір графіка).

визначення 9

Властивості степеневої функції, коли показник ступеня - парний негативний:

• область визначення: x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);

Коли х \u003d 0, отримуємо розрив другого роду, оскільки lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ при a \u003d - 2, - 4, - 6, .... Таким чином, пряма х \u003d 0 - вертикальна асимптота;

• функція є парною, оскільки y (- x) \u003d y (x);
• функція є зростаючою при x ∈ (- ∞; 0) і спадної при x ∈ 0; + ∞;
• функція має увігнутість при x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y \u003d 0, оскільки:

k \u003d lim x → ∞ x a x \u003d 0, b \u003d lim x → ∞ (x a - k x) \u003d 0 ⇒ y \u003d k x + b \u003d 0, коли a \u003d - 2, - 4, - 6,. . . .

• точки проходження функції: (- 1; 1), (1; 1).

З самого початку зверніть увагу на такий аспект: у разі, коли a - позитивна дріб з непарним знаменником, деякі автори беруть за область визначення цієї статечної функції інтервал - ∞; + ∞, обумовлюючи при цьому, що показник a - нескоротний дріб. На даний момент автори багатьох навчальних видань з алгебри і початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції, де показник - дріб з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Далі ми притримає саме такої позиції: візьмемо за область визначення статечних функцій з дробовими позитивними показниками ступеня безліч [0; + ∞). Рекомендація для учнів: з'ясувати погляд викладача на цей момент, щоб уникнути розбіжностей.

Отже, розберемо ступеневу функцію y \u003d x a, коли показник ступеня - раціональне або ірраціональне число за умови, що 0< a < 1 .

Проілюструємо графіками статечні функції y \u003d x a, коли a \u003d 11 12 (чорний колір графіка); a \u003d 5 7 (червоний колір графіка); a \u003d 1 3 (синій колір графіка); a \u003d 2 5 (зелений колір графіка).

Інші значення показника ступеня a (за умови 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

визначення 10

Властивості степеневої функції при 0< a < 1:

• область значень: y ∈ [0; + ∞);
• функція є зростаючою при x ∈ [0; + ∞);
• функція має опуклість при x ∈ (0; + ∞);
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;

Розберемо ступеневу функцію y \u003d x a, коли показник ступеня - нецілим раціональне або ірраціональне число за умови, що a\u003e 1.

Проілюструємо графіками ступеневу функцію y \u003d x a в заданих умовах на прикладі таких функцій: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (чорний, червоний, синій, зелений колір графіків відповідно).

Інші значення показника ступеня а за умови a\u003e 1 дадуть схожий вид графіка.

визначення 11

Властивості степеневої функції при a\u003e 1:

• область визначення: x ∈ [0; + ∞);
• область значень: y ∈ [0; + ∞);
• дана функція - функція загального вигляду (не є ні непарною, ні парною);
• функція є зростаючою при x ∈ [0; + ∞);
• функція має увігнутість при x ∈ (0; + ∞) (коли 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;
• точки проходження функції: (0; 0), (1; 1).

Звертаємо вашу увагу! Коли a - негативна дріб з непарним знаменником, в роботах деяких авторів зустрічається погляд, що область визначення в даному випадку - інтервал - ∞; 0 ∪ (0; + ∞) із застереженням, що показник ступеня a - нескоротний дріб. На даний момент автори навчальних матеріалів з алгебри і початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції з показником у вигляді дробу з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Далі ми дотримуємося саме такого погляду: візьмемо за область визначення статечних функцій з дробовими негативними показниками безліч (0; + ∞). Рекомендація для учнів: уточніть бачення вашого викладача на цей момент, щоб уникнути розбіжностей.

Продовжуємо тему і розбираємо ступеневу функцію y \u003d x a за умови: - 1< a < 0 .

Наведемо креслення графіків наступний функцій: y \u003d x - 5 6, y \u003d x - 2, 3, y \u003d x посилання - 1 2 + 2, y \u003d x - 1 | 7 (чорний, червоний, синій, зелений колір ліній відповідно).

визначення 12

Властивості степеневої функції при - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞, коли - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значень: y ∈ 0; + ∞;
• дана функція - функція загального вигляду (не є ні непарною, ні парною);
• точки перегину відсутні;

На кресленні нижче наведені графіки статечних функцій y \u003d x - 5 4, y \u003d x - 5 3, y \u003d x - 6, y \u003d x - 24 7 (чорний, червоний, синій, зелений кольори кривих відповідно).

визначення 13

Властивості степеневої функції при a< - 1:

• область визначення: x ∈ 0; + ∞;

lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞, коли a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значень: y ∈ (0; + ∞);
• дана функція - функція загального вигляду (не є ні непарною, ні парною);
• функція є спадною при x ∈ 0; + ∞;
• функція має увігнутість при x ∈ 0; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y \u003d 0;
• точка проходження функції: (1; 1).

Коли a \u003d 0 і х ≠ 0, отримаємо функцію y \u003d x 0 \u003d 1, визначальну пряму, з якої виключена точка (0; 1) (умовилися, що висловом 0 0 не надаватиме ніякого значення).

Показова функція має вигляд y \u003d a x, де а\u003e 0 і а ≠ 1, і графік цієї функції виглядає по-різному, виходячи із значення підстави a. Розглянемо окремі випадки.

Спочатку розберемо ситуацію, коли підстава показовою функції має значення від нуля до одиниці (0< a < 1) . Наочним прикладом послужать графіки функцій при a \u003d 1 2 (синій колір кривої) і a \u003d 5 6 (червоний колір кривої).

Подібний же вид матимуть графіки показовою функції при інших значеннях підстави за умови 0< a < 1 .

визначення 14

Властивості показовою функції, коли підстава менше одиниці:

• область значень: y ∈ (0; + ∞);
• дана функція - функція загального вигляду (не є ні непарною, ні парною);
• показова функція, у якій підстава менше одиниці, є спадною на всій області визначення;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y \u003d 0 при змінної x, що прагне до + ∞;

Тепер розглянемо випадок, коли підстава показовою функції більше, ніж одиниця (а\u003e 1).

Проілюструємо цей окремий випадок графіком показових функцій y \u003d 3 2 x (синій колір кривої) і y \u003d e x (червоний колір графіка).

Інші значення підстави, великі одиниці, дадуть аналогічний вид графіка показовою функції.

визначення 15

Властивості показовою функції, коли основа більше одиниці:

• область визначення - все безліч дійсних чисел;
• область значень: y ∈ (0; + ∞);
• дана функція - функція загального вигляду (не є ні непарною, ні парною);
• показова функція, у якій підстава більше одиниці, є зростаючою при x ∈ - ∞; + ∞;
• функція має увігнутість при x ∈ - ∞; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y \u003d 0 при змінної x, що прагне до - ∞;
• точка проходження функції: (0; 1).

Логарифмічна функція має вигляд y \u003d log a (x), де a\u003e 0, a ≠ 1.

Така функція визначена тільки при позитивних значеннях аргументу: при x ∈ 0; + ∞.

Графік логарифмічної функції має різний вигляд, виходячи із значення підстави а.

Розглянемо спочатку ситуацію, коли 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Інші значення підстави, не великі одиниці, дадуть аналогічний вид графіка.

визначення 16

Властивості логарифмічної функції, коли підстава менше одиниці:

• область визначення: x ∈ 0; + ∞. Коли х прагне до нуля справа, значення функції прагнуть до + ∞;
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
• дана функція - функція загального вигляду (не є ні непарною, ні парною);
• логарифмічна
• функція має увігнутість при x ∈ 0; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;

Тепер розберемо окремий випадок, коли підстава логарифмічною функції більше одиниці: а\u003e 1 . На кресленні нижче -Графіка логарифмічних функцій y \u003d log 3 2 x і y \u003d ln x (синій і червоний кольори графіків відповідно).

Інші значення підстави більше одиниці дадуть аналогічний вид графіка.

визначення 17

Властивості логарифмічної функції, коли основа більше одиниці:

• область визначення: x ∈ 0; + ∞. Коли х прагне до нуля справа, значення функції прагнуть до - ∞;
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞ (все безліч дійсних чисел);
• дана функція - функція загального вигляду (не є ні непарною, ні парною);
• логарифмічна функція є зростаючою при x ∈ 0; + ∞;
• функція має опуклість при x ∈ 0; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;
• точка проходження функції: (1; 0).

Тригонометричні функції - це синус, косинус, тангенс і котангенс. Розберемо властивості кожної з них і відповідні графіки.

Загалом для всіх тригонометричних функцій характерно властивість періодичності, тобто коли значення функцій повторюються при різних значеннях аргументу, що відрізняються один від одного на величину періоду f (x + T) \u003d f (x) (T - період). Таким чином, в списку властивостей тригонометричних функцій додається пункт «найменший позитивний період». Крім цього, будемо вказувати такі значення аргументу, при яких відповідна функція звертається в нуль.

1. Функція синус: y \u003d sin (х)

Графік цієї функції називається синусоїда.

визначення 18

Властивості функції синус:

• область визначення: все безліч дійсних чисел x ∈ - ∞; + ∞;
• функція звертається в нуль, коли x \u003d π · k, де k ∈ Z (Z - безліч цілих чисел);
• функція є зростаючою при x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z і спадної при x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• функція синус має локальні максимуми в точках π 2 + 2 π · k; 1 і локальні мінімуми в точках - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• функція синус увігнута, коли x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k, k ∈ Z і опукла, коли x ∈ 2 π · k; π + 2 π · k, k ∈ Z;
• асимптоти відсутні.

1. Функція косинус: y \u003d cos (х)

Графік цієї функції називається косинусоид.

визначення 19

Властивості функції косинус:

• область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
• найменший позитивний період: Т \u003d 2 π;
• область значень: y ∈ - 1; 1;
• дана функція - парна, оскільки y (- x) \u003d y (x);
• функція є зростаючою при x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k, k ∈ Z і спадної при x ∈ 2 π · k; π + 2 π · k, k ∈ Z;
• функція косинус має локальні максимуми в точках 2 π · k; 1, k ∈ Z і локальні мінімуми в точках π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
• функція косинус увігнута, коли x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z і опукла, коли x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• точки перегину мають координати π 2 + π · k; 0, k ∈ Z
• асимптоти відсутні.

1. Функція тангенс: y \u003d t g (х)

Графік цієї функції називається тангенсоіда.

визначення 20

Властивості функції тангенс:

• область визначення: x ∈ - π 2 + π · k; π 2 + π · k, де k ∈ Z (Z - безліч цілих чисел);
• Поведінка функції тангенс на кордоні області визначення lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) \u003d - ∞, lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) \u003d + ∞. Таким чином, прямі x \u003d π 2 + π · k k ∈ Z - вертикальні асимптоти;
• функція звертається в нуль, коли x \u003d π · k при k ∈ Z (Z - безліч цілих чисел);
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
• дана функція - непарна, оскільки y (- x) \u003d - y (x);
• функція є зростаючою при - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• функція тангенс є увігнутою при x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z і опуклою при x ∈ (- π 2 + π · k; π · k], k ∈ Z;
• точки перегину мають координати π · k; 0, k ∈ Z;

1. Функція котангенс: y \u003d c t g (х)

Графік цієї функції називається котангенсоіда .

визначення 21

Властивості функції котангенс:

• область визначення: x ∈ (π · k; π + π · k), де k ∈ Z (Z - безліч цілих чисел);

Поведінка функції котангенс на кордоні області визначення lim x → π · k + 0 t g (x) \u003d + ∞, lim x → π · k - 0 t g (x) \u003d - ∞. Таким чином, прямі x \u003d π · k k ∈ Z - вертикальні асимптоти;

• найменший позитивний період: Т \u003d π;
• функція звертається в нуль, коли x \u003d π 2 + π · k при k ∈ Z (Z - безліч цілих чисел);
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
• дана функція - непарна, оскільки y (- x) \u003d - y (x);
• функція є спадною при x ∈ π · k; π + π · k, k ∈ Z;
• функція котангенс є увігнутою при x ∈ (π · k; π 2 + π · k], k ∈ Z і опуклою при x ∈ [- π 2 + π · k; π · k), k ∈ Z;
• точки перегину мають координати π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
• похилі і горизонтальні асимптоти відсутні.

Зворотні тригонометричні функції - це арксинус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс. Найчастіше, в зв'язку з наявністю приставки «арк» в назві, зворотні тригонометричні функції називають аркфункцій .

1. Функція арксинус: y \u003d a r c sin (х)

визначення 22

Властивості функції арксинус:

• дана функція - непарна, оскільки y (- x) \u003d - y (x);
• функція арксинус має увігнутість при x ∈ 0; 1 і опуклість при x ∈ - 1; 0;
• точки перегину мають координати (0; 0), вона ж - нуль функції;
• асимптоти відсутні.

1. Функція арккосинус: y \u003d a r c cos (х)

визначення 23

Властивості функції арккосинус:

• область визначення: x ∈ - 1; 1;
• область значень: y ∈ 0; π;
• дана функція - загального вигляду (ні парна, ні непарна);
• функція є спадною на всій області визначення;
• функція арккосинус має увігнутість при x ∈ - 1; 0 і опуклість при x ∈ 0; 1;
• точки перегину мають координати 0; π 2;
• асимптоти відсутні.

1. Функція арктангенс: y \u003d a r c t g (х)

визначення 24

Властивості функції арктангенс:

• область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
• область значень: y ∈ - π 2; π 2;
• дана функція - непарна, оскільки y (- x) \u003d - y (x);
• функція є зростаючою на всій області визначення;
• функція арктангенс має увігнутість при x ∈ (- ∞; 0] і опуклість при x ∈ [0; + ∞);
• точка перегину має координати (0; 0), вона ж - нуль функції;
• горизонтальні асимптоти - прямі y \u003d - π 2 при x → - ∞ і y \u003d π 2 при x → + ∞ (на малюнку асимптоти - це лінії зеленого кольору).

1. Функція арккотангенс: y \u003d a r c c t g (х)

визначення 25

Властивості функції арккотангенс:

• область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
• область значень: y ∈ (0; π);
• дана функція - загального вигляду;
• функція є спадною на всій області визначення;
• функція арккотангенс має увігнутість при x ∈ [0; + ∞) і опуклість при x ∈ (- ∞; 0];
• точка перегину має координати 0; π 2;
• горизонтальні асимптоти - прямі y \u003d π при x → - ∞ (на кресленні - лінія зеленого кольору) і y \u003d 0 при x → + ∞.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Для початку спробуй знайти область визначення функції:

Впорався? Порівняємо відповіді:

Все вірно? Молодець!

Тепер спробуємо знайти область значень функції:

Знайшов? порівнюємо:

Зійшлося? Молодець!

Ще раз попрацюємо з графіками, тільки тепер трохи складніше - знайти і область визначення функції, і область значень функції.

Як знайти і область визначення і область значень функції (просунутий варіант)

Ось що вийшло:

З графіками, я думаю, ти розібрався. Тепер спробуємо відповідно до формулами знайти область визначення функції (якщо ти не знаєш як це зробити, прочитай розділ про):

Впорався? Звіримо відповіді:

1. , Так як подкоренное вираз повинен бути більше або дорівнює нулю.
2. , Так як на нуль ділити не можна і подкоренное вираз не може бути негативним.
3. , Так як, відповідно при всіх.
4. , Так як на нуль ділити не можна.

Однак, у нас залишився ще один не розібраний момент ...

Ще раз повторю визначення і зроблю на ньому акцент:

Помітив? Слово «єдиний» - це дуже-дуже важливий елемент нашого визначення. Постараюся пояснити тобі на пальцях.

Припустимо, у нас є функція, задана прямий. . При, ми підставляємо це значення в наше «правило» і отримуємо, що. Одному значенню відповідає одне значення. Ми навіть можемо скласти таблицю різних значень і побудувати графік даної функції, щоб переконається в цьому.

«Дивись! - скажеш ти, - «» зустрічається два рази! » Так можливо парабола не є функцією? Ні, є!

Те, що «» зустрічається два рази далеко не привід звинувачувати параболу в неоднозначності!

Справа в тому, що, при розрахунку для, ми отримали один ігрек. І при розрахунку з ми отримали один ігрек. Так що все вірно, парабола є функцією. Подивися на графік:

Розібрався? Якщо немає, ось тобі життєвий приклад сооовсем далекий від математики!

Припустимо, у нас є група абітурієнтів, які познайомилися при подачі документів, кожен з яких в розмові розповів, де він живе:

Погодься, цілком реально, що кілька хлопців живуть в одному місті, але неможливо, щоб одна людина жила в декількох містах одночасно. Це як би логічне представлення нашої «параболи» - кільком різним ікс відповідає один і той же ігрек.

Тепер придумаємо приклад, коли залежність не буде функцією. Припустимо, ці ж хлопці розповідали, на які спеціальності вони подали документи:

Тут у нас абсолютно інша ситуація: одна людина може спокійно подати документи як на одне, так і на кілька напрямків. Тобто одному елементу безлічі ставиться у відповідність кілька елементів безлічі. відповідно, це не функція.

Перевіримо твої знання на практиці.

Визнач за малюнками, що є функцією, а що ні:

Розібрався? А ось і відповіді:

• Функцією є - В, Е.
• Функцією не є - А, Б, Г, Д.

Ти запитаєш чому? Так ось чому:

На всіх малюнках крім В) і Е) на один доводиться кілька!

Впевнена, тепер, ти з легкістю відрізниш функцію від не функція, скажеш, що таке аргумент і що таке залежна змінна, а так само визначиш область допустимих значень аргументу і область визначення функції. Приступаємо до наступного розділу - як задати функцію?

Способи завдання функції

Як ти думаєш, що означають слова «Задати функцію»? Правильно, це означає пояснити всім охочим, про яку функції в даному випадку йдеться. Причому пояснити так, щоб кожен зрозумів тебе правильно і намальовані людьми на твою поясненню графіки функцій були однакові.

Як це можна зробити? Як задати функцію? Найпростіший спосіб, який вже не раз застосовувався в цій статті - за допомогою формули. Ми пишемо формулу, і, підставляючи в неї значення, вираховуємо значення. А як ти пам'ятаєш, формула - це закон, правило, за яким нам і іншій людині стає ясно, як ікс перетворюється в ігрек.

Зазвичай, саме так і роблять - в завданнях ми бачимо вже готові функції, задані формулами, однак, існують і інші способи задати функцію, про які всі забувають, в зв'язку з чим питання «як ще можна задати функцію?» ставить у глухий кут. Розберемося у всьому по порядку, а почнемо з аналітичного способу.

Аналітичний спосіб завдання функції

Аналітичний спосіб це і є завдання функції за допомогою формули. Це самий універсальний і вичерпний і однозначний спосіб. Якщо у тебе є формула, то ти знаєш про функції абсолютно все - ти можеш скласти по ній табличку значень, можеш побудувати графік, визначити, де функція зростає, а де убуває, в загальному, досліджувати її по повній програмі.

Розглянемо функцію. Чому дорівнює?

"Що це означає?" - запитаєш ти. Зараз поясню.

Нагадаю, що в запису вираз в дужках називається аргументом. І цей аргумент може бути будь-яким виразом, не обов'язково просто. Відповідно, яким би не був аргумент (вираз в дужках), ми його запишемо замість в вираженні.

У нашому прикладі вийде так:

Розглянемо ще завдання, пов'язане з аналітичним способом завдання функції, яке буде у тебе на іспиті.

Знайдіть значення виразу, при.

Впевнена, що спочатку, ти злякався, побачивши такий вислів, але в ньому немає абсолютно нічого страшного!

Все як і в попередньому випадку: яким би не був аргумент (вираз в дужках), ми його запишемо замість в вираженні. Наприклад, для функції.

Що ж потрібно зробити в нашому прикладі? Замість треба написати, а замість -:

скоротити вийшло вираз:

От і все!

Самостійна робота

Тепер спробуй самостійно знайти значення наступних виразів:

1. , якщо
2. , якщо

Впорався? Порівняємо наші відповіді: Ми звикли, що функція має вигляд

Навіть в наших прикладах ми задаємо функцію саме таким чином, однак аналітично можна задати функцію в неявному вигляді, наприклад.

Спробуй побудувати цю функцію самостійно.

Впорався?

Ось як будувала її я.

Яке рівняння ми в підсумку вивели?

Правильно! Лінійне, а це значить, що графіком буде пряма лінія. Зробимо табличку, щоб визначити, які точки належать нашим прямим:

Ось якраз те, про що ми говорили ... Одному відповідає кілька.

Спробуємо намалювати те, що вийшло:

Чи є то, що у нас вийшло функцією?

Правильно, нема! Чому? Спробуй відповісти на це питання за допомогою малюнка. Що у тебе вийшло?

«Тому що одному значенню відповідає кілька значень!»

Який висновок ми можемо з цього зробити?

Правильно, функція не завжди може бути виражена явно, і не завжди те, що «замасковано» під функцію є функцією!

Табличний спосіб завдання функції

Як випливає з назви, цей спосіб є простою табличку. Так Так. На зразок тієї, якою ми з тобою вже складали. наприклад:

Тут ти відразу помітив закономірність - ігрек в три рази більше ніж ікс. А тепер завдання на «дуже добре подумати»: як ти вважаєш, рівносильна чи функція, задана у вигляді таблиці, функції?

Не будемо довго розмірковувати, а будемо малювати!

Отже. Малюємо функцію, задану шпалерами способами:

Бачиш різницю? Справа зовсім не в зазначених точках! Придивись уважніше:

Тепер побачив? Коли ми задаємо функцію табличним способом, Ми на графіку відображаємо лише ті точки, які є у нас в таблиці і лінія (як в нашому випадку) проходить тільки через них. Коли ми задаємо функцію аналітичним способом, ми можемо взяти будь-які точки, і наша функція ними не обмежується. Ось така ось особливість. Запам'ятовуй!

Графічний спосіб побудови функції

Графічний спосіб побудови функції не менш зручний. Ми малюємо нашу функцію, а інший зацікавлена \u200b\u200bлюдина може знайти чому дорівнює ігрек при певному ікс і так далі. Графічний і аналітичний способи одні з найпоширеніших.

Однак, тут потрібно пам'ятати про що ми з тобою говорили на самому початку - не кожна «закарлюка» намальована в системі координат є функцією! Згадав? Про всяк випадок скопіюють тобі сюди визначення, що функцією є:

Як правило, люди зазвичай називають саме ті три способи завдання функції, які ми розібрали - аналітичний (за допомогою формули), табличний і графічний, геть забуваючи про те, що функцію можна словесно описати. Як це? Та дуже просто!

Словесний опис функції

Як же описати функцію словесно? Візьмемо наш недавній приклад -. дану функцію можна описати «кожному дійсного значення ікс відповідає його потроєною значення». От і все. Нічого складного. Ти, звичайно, заперечиш - «є настільки складні функції, Які словесно задати просто неможливо! » Так, є і такі, але є функції, які описати словесно легше, ніж задати формулою. Наприклад: «кожному натуральному значенням ікс відповідає різниця між цифрами, з яких він складається, при цьому за зменшуване береться найбільше цифра, що містяться в запису числа». Тепер розглянемо, як наше словесне опис функції реалізується на практиці:

Найбільша цифра в даному числі -, відповідно, - зменшуване, тоді:

Основні види функцій

Тепер перейдемо до найцікавішого - розглянемо основні види функцій, з якими ти працював / працюєш і будеш працювати в курсі шкільної та університетської математики, тобто познайомимося з ними, так би мовити і дамо їм коротку характеристику. Більш докладно про кожну функцію читай у відповідному розділі.

лінійна функція

Функція виду, де, - дійсні числа.

Графіком даної функції служить пряма, тому побудова лінійної функції зводиться до знаходження координат двох точок.

Положення прямої на координатної площини залежить від кутового коефіцієнта.

Область визначення функції (aka область допустимих значень аргументу) -.

Область значень -.

квадратична функція

Функція виду, де

Графіком функції є парабола, при гілки параболи спрямовані вниз, при - вгору.

Багато властивостей квадратичної функції залежать від значення дискриминанта. Дискримінант обчислюється за формулою

Положення параболи на координатній площині щодо значення і коефіцієнта показані на малюнку:

Область визначення

Область значень залежить від екстремуму даної функції (точки вершини параболи) і коефіцієнта (напрямки гілок параболи)

Зворотній пропорційність

Функція, що задається формулою, де

Число називається коефіцієнтом зворотної пропорційності. Залежно від того, яке значення, гілки гіперболи знаходяться в різних квадратах:

Область визначення - .

Область значень -.

КОРОТКИЙ ВИКЛАД ТА ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

1. Функцією називається правило, за яким кожному елементу множини ставиться у відповідність єдиний елемент множини.

• - це формула, що позначає функцію, тобто залежність однієї змінної від іншої;
• - змінна величина, або, аргумент;
• - залежна величина - змінюється при зміні аргументу, тобто відповідно до якої-небудь певної формулі, що відбиває залежність однієї величини від іншої.

2. Допустимі значення аргументу, Або область визначення функції - це те, що пов'язано з можливими, при яких функція має сенс.

3. Область значень функції - це те, які значення приймає, при допустимих значеннях.

4. Існує 4 способи завдання функції:

• аналітичний (за допомогою формул);
• табличний;
• графічний
• словесний опис.

5. Основні види функцій:

• :, Де, - дійсні числа;
• :, Де;
• :, Де.

Лінійною функцією називається функція виду y \u003d kx + b, де x-незалежна змінна, k і b-будь-які числа.
Графіком лінійної функції є пряма.

1. Щоб постороіть графік функції, нам потрібні координати двох точок, що належать графіку функції. Щоб їх знайти, потрібно взяти два значення х, підставити їх в рівняння функції, і по ним обчислити відповідні значення y.

Наприклад, щоб побудувати графік функції y \u003d x + 2, зручно взяти x \u003d 0 і x \u003d 3, тоді ординати ці точок будуть рівні y \u003d 2 і y \u003d 3. Отримаємо точки А (0; 2) і В (3; 3). З'єднаємо їх і отримаємо графік функції y \u003d x + 2:

2. У формулі y \u003d kx + b число k називається коефіцієнтом пропорційності:
якщо k\u003e 0, то функція y \u003d kx + b зростає
якщо k
Коефіцієнт b показує зміщення графіка функції вздовж осі OY:
якщо b\u003e 0, то графік функції y \u003d kx + b виходить з графіка функцііy \u003d kx зрушенням на b одиниць вгору вздовж осі OY
якщо b
На малюнку нижче зображені графіки функцій y \u003d 2x + 3; y \u003d ½ x + 3; y \u003d x + 3

Зауважимо, що у всіх цих функціях коефіцієнт k більше нуля, і функції є зростаючими. Причому, чим більше значення k, тим більше кут нахилу прямої до позитивного напрямку осі OX.

У всіх функціях b \u003d 3 - і ми бачимо, що всі графіки перетинають вісь OY в точці (0; 3)

Тепер розглянемо графіки функцій y \u003d -2x + 3; y \u003d - ½ x + 3; y \u003d -x + 3

На цей раз у всіх функціях коефіцієнт k меньше нуля, і функції зменшуються. Коефіцієнт b \u003d 3, і графіки також як в попередньому випадку перетинають вісь OY в точці (0; 3)

Розглянемо графіки функцій y \u003d 2x + 3; y \u003d 2x; y \u003d 2x-3

Тепер у всіх рівняннях функцій коефіцієнти k рівні 2. І ми отримали три паралельні прямі.

Але коефіцієнти b різні, і ці графіки перетинають вісь OY в різних точках:
Графік функції y \u003d 2x + 3 (b \u003d 3) перетинає вісь OY в точці (0; 3)
Графік функції y \u003d 2x (b \u003d 0) перетинає вісь OY в точці (0; 0) - початку координат.
Графік функції y \u003d 2x-3 (b \u003d -3) перетинає вісь OY в точці (0; -3)

Отже, якщо ми знаємо знаки коефіцієнтів k і b, то можемо відразу уявити, як виглядає графік функції y \u003d kx + b.
якщо k 0

якщо k\u003e 0 і b\u003e 0 , То графік функції y \u003d kx + b має вигляд:

якщо k\u003e 0 і b , То графік функції y \u003d kx + b має вигляд:

якщо k, то графік функції y \u003d kx + b має вигляд:

якщо k \u003d 0 , То функція y \u003d kx + b перетворюється в функцію y \u003d b і її графік має вигляд:

Ординати всіх точок графіка функції y \u003d b рівні b Якщо b \u003d 0 , То графік функції y \u003d kx (пряма пропорційність) проходить через початок координат:

3. Окремо відзначимо графік рівняння x \u003d a. Графік цього рівняння являє собою пряму лінію, паралельний осі OY всі крапки якої мають абсциссу x \u003d a.

Наприклад, графік рівняння x \u003d 3 виглядає так:
Увага! Рівняння x \u003d a не є функцією, так одному значенню аргументу соотвутствующий різні значення функції, що не відповідає визначенню функції.

4. Умова паралельності двох прямих:

Графік функції y \u003d k 1 x + b 1 паралельний графіку функції y \u003d k 2 x + b 2, якщо k 1 \u003d k 2

5. Умова перепендикулярно двох прямих:

Графік функції y \u003d k 1 x + b 1 перепендікулярен графіка функції y \u003d k 2 x + b 2, якщо k 1 * k 2 \u003d -1 або k 1 \u003d -1 / k 2

6. Точки перетину графіка функції y \u003d kx + b з осями координат.

З віссю ОY. Абсциса будь-якої точки, що належить осі ОY дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОY потрібно в рівняння функції замість х підставити нуль. Отримаємо y \u003d b. Тобто точка перетину з віссю OY має координати (0; b).

З віссю ОХ: Ордината будь-якої точки, що належить осі ОХ дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОХ потрібно в рівняння функції замість y підставити нуль. Отримаємо 0 \u003d kx + b. Звідси x \u003d -b / k. Тобто точка перетину з віссю OX має координати (-b / k; 0):