Рішення раціональних виразів. Основні відомості про раціональні виразах і їх перетвореннях. Визначення і приклади раціональних дробів

Перетворення раціональних виразів

У цьому уроці попрацюємо з раціональними виразами. на конкретних прикладах розглянемо методи вирішення завдань на перетворення раціональних виразів і доказ пов'язаних з ними тотожності.

Раціональне вираження - вираз, складене з чисел, буквених змінних, арифметичних операцій, зведення в натуральну ступінь, І знаків послідовності цих дій (дужок). Разом зі словосполученням «раціональне вираз» в алгебрі використовують іноді терміни «ціле» або «дробове».

Наприклад, вирази

є і раціональними, і цілими.

вирази

є і раціональними, і дробовими, тому що в знаменнику знаходиться вираз зі змінною.

Не треба забувати, що дріб втрачає сенс, якщо знаменник звертається в нуль.

Основною метою уроку буде набуття досвіду при вирішенні задач на спрощення раціональних виразів.

Спрощення раціональних виразів - це застосування тотожних перетворень, з метою спростити запис виразу (зробити коротше і зручніше для подальшої роботи).

Для перетворення раціональних виразів нам будуть потрібні правила складання (вирахування), множення, ділення і піднесення до степеня алгебраїчних дробів, всі ці дії відбуваються за тими ж правилами, що і дії зі звичайними дробами:

А також формули скороченого множення:

При вирішенні прикладів по перетворенню раціональних виразів слід дотримуватися такого порядку дій: спочатку виконуються дії в дужках, потім твір / поділ (або зведення в ступінь), а потім дії додавання / віднімання.

Отже, розглянемо приклад 1:

необхідно спростити вираз

По-перше, виконуємо дії в дужках.

Наводимо алгебраїчні дроби до спільного знаменника і здійснюємо додавання (віднімання) дробів з однаковими знаменниками за правилами, записаним вище.

Використовуючи формулу скороченого вираження (а саме квадрат різниці), отриманий вираз набуває вигляду:

По-друге, за правилами множення алгебраїчних дробів перемножуємо числители і окремо знаменники:

А потім скорочуємо отриманий вираз:

В результаті проведених перетворень отримуємо простий вислів

Розглянемо більш складний приклад 2 перетворення раціональних виразів: необхідно довести тотожність:

Довести тотожність - це встановити, що при всіх допустимих значеннях змінних його ліва і права частини рівні.

Доведення:

Щоб довести дане тотожність, необхідно перетворити вираз в лівій частині. Для цього слід дотримуватися порядку дій, викладений вище: в першу чергу виконуються дії в дужках, потім множення, а потім вже додавання.

Отже, дія 1:

виконати додавання / віднімання вираження в дужках.

Для цього розкладаємо на множники вирази в знаменниках дробів і наводимо дані дроби до спільного знаменника.

Так в знаменнику першого дробу виносимо за дужки 3, в знаменнику другий - виносимо знак мінус і за формулою скороченого множення розкладаємо на два множники, а в знаменнику третьої дробу виносимо за дужки x.

Спільним знаменником цих трьох дробів буде вираз

Дія 2:

виконати множення дробу

Для цього спочатку варто розкласти на множники чисельник першого дробу і звести цю дріб в ступінь 2.

А при множенні дробів виконати відповідне скорочення.

Дія 3:

Підсумовуємо перший дріб вихідного вираження і вийшла дріб

Для цього спочатку розкладемо на множники чисельник і знаменник першого дробу і скоротимо:

Тепер залишається тільки скласти отримані алгебраїчні дроби з різними знаменниками:

Таким чином, в результаті 3-х дій і спрощення лівій частині тотожності ми отримали вираз з правої його частини, а отже, довели це тотожність. Однак нагадаємо, що тотожність справедливо лише для допустимих значень змінної x. Такими в даному прикладі є будь-які значення x, крім тих, які звертають знаменники дробів в нуль. Значить, допустимими є будь-які значення x, крім тих, при яких виконується хоча б одне з рівності:

Неприпустимими будуть значення:

Отже, на конкретних прикладах ми розглянули рішення задач на перетворення раціональних виразів і доказ пов'язаних з ними тотожності.

Список використаної літератури:

1. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 клас. У 2 ч. Ч.1. Підручник для загально освітніх установ/ А.Г. Мордкович. - 9-е изд., Перераб. - М .: Мнемозина, 2007. - 215с .: іл.
2. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 клас. У 2 ч. Ч.2. задачник для загальноосвітніх установ / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинська .. - 8-е изд., - М .: Мнемозина, 2006 - 239с.
3. Алгебра. 8 клас. Контрольні роботи для учнів освітніх установ Л.А. Александрова під ред. А.Г. Мордкович 2-е изд., Стер. - М.: Мнемозина 2009. - 40с.
4. Алгебра. 8 клас. самостійні роботи для учнів освітніх установ: до підручника А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова під ред. А.Г. Мордкович. 9-е изд., Стер. - М .: Мнемозина 2013. - 112с.

Арифметична дія, яке виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головним».

Тобто, якщо ти підставити замість букв якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дією буде множення - значить, у нас твір (вираз розкладено на множники).

Якщо останньою дією буде додавання чи віднімання, це означає, що вислів не розкладено на множники (а значить, скорочувати не можна).

Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів:

приклади:

рішення:

1. Сподіваюся, ти не кинувся відразу ж скорочувати і? Ще не вистачало «скоротити» одиниці типу такого:

Першою дією повинне бути розкладання на множники:

4. Додавання і віднімання дробів. Зведення дробів до спільного знаменника.

Додавання і віднімання звичайних дробів - операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножаем кожну дріб на бракуючий множник і складаємо / віднімаємо числители.

Давай згадаємо:

відповіді:

1. Знаменники і - взаємно прості, тобто у них немає спільних множників. Отже, НОК цих чисел дорівнює їх добутку. Це і буде спільний знаменник:

2. Тут загальний знаменник дорівнює:

3. Тут насамперед змішані дроби перетворюємо в неправильні, а далі - за звичною схемою:

Зовсім інша справа, якщо дробу містять букви, наприклад:

Почнемо з простого:

a) Знаменники не містять букв

Тут все те ж, що і з звичайними числовими дробом: знаходимо спільний знаменник, домножаем кожну дріб на бракуючий множник і складаємо / віднімаємо числители:

тепер в чисельнику можна приводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:

Спробуй сам:

відповіді:

b) Знаменники містять букви

Давай згадаємо принцип знаходження спільного знаменника без букв:

· В першу чергу ми визначаємо загальні множники;

· Потім виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· І домножаем їх на всі інші множники, не загальні.

Щоб визначити загальні множники знаменників, спершу розкладемо їх на прості множники:

Підкреслимо загальні множники:

Тепер випишемо загальні множники по одному разу і допишемо до них все необщие (непідкресленому) множники:

Це і є спільний знаменник.

Повернемося до букв. Знаменники наводяться по точно такою ж схемою:

· Розкладаємо знаменники на множники;

· Визначаємо загальні (однакові) множники;

· Виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· Домножаем їх на всі інші множники, не загальні.

Отже, по порядку:

1) розкладаємо знаменники на множники:

2) визначаємо загальні (однакові) множники:

3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і домножаем їх на всі інші (неподчеркнутие) множники:

Значить, загальний знаменник тут. Першу дріб потрібно помножити на, другу - на:

До речі, є одна хитрість:

Наприклад:.

Бачимо в знаменниках одні і ті ж множники, тільки все з різними показниками. В спільний знаменник підуть:

у ступені

у ступені

у ступені

у ступені.

Ускладнимо завдання:

Як зробити у дробів однаковий знаменник?

Давай згадаємо основну властивість дробу:

Ніде не сказано, що з чисельника і знаменника дробу можна вичитати (або додавати) одне і те ж число. Тому що це невірно!

Переконайся сам: візьми будь-яку дріб, наприклад, і додай до чисельника і знаменника яке-небудь число, наприклад,. Що повчитися?

Отже, чергове непорушне правило:

Коли приводиш дроби до спільного знаменника, користуйся тільки операцією множення!

Але на що ж треба помножити, щоб отримати?

Ось на і домножай. А домножай на:

Вирази, які неможливо розкласти на множники будемо називати «елементарними множителями».

Наприклад, - це елементарний множник. - теж. А ось - ні: він розкладається на множники.

Що скажеш про вираження? Воно елементарне?

Ні, оскільки його можна розкласти на множники:

(Про розкладанні на множники ти вже читав в темі «»).

Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз з буквами - це аналог простих множників, на які ти розкладаєш числа. І надходити з ними будемо таким же чином.

Бачимо, що в обох знаменниках є множник. Він піде в спільний знаменник в ступеня (пам'ятаєш, чому?).

Множник - елементарний, і він у них не загальний, значить перший дріб на нього доведеться просто помножити:

Ще приклад:

Рішення:

Предже, ніж в паніці перемножать ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють:

Відмінно! тоді:

Ще приклад:

Рішення:

Як завжди, розкладемо знаменники на множники. У першому знаменнику просто виносимо за дужки; у другому - різницю квадратів:

Здавалося б, загальних множників немає. Але якщо придивитися, то і так схожі ... І правда:

Так і напишемо:

Тобто вийшло так: усередині дужки ми поміняли місцями доданки, і при цьому знак перед дробом змінився на протилежний. Візьми на замітку, так поступати доведеться часто.

Тепер приводимо до спільного знаменника:

Засвоїв? Зараз перевіримо.

Завдання для самостійного рішення:

відповіді:

Тут треба згадати ще одну - різниця кубів:

Зверни увагу, що в знаменнику другого дробу не формулою «квадрат суми»! Квадрат суми виглядав би так:.

А - це так званий неповний квадрат суми: другий доданок в ньому - це твір першого і останнього, а не подвійну їх твір. Неповний квадрат суми - це один з множників в розкладанні різниці кубів:

Що робити, якщо дробів аж три штуки?

Так то ж саме! В першу чергу зробимо так, щоб максимальна кількість множників в знаменниках було однаковим:

Зверни увагу: якщо поміняти знаки всередині однієї дужки, знак перед дробом змінюється на протилежний. Коли міняємо знаки в другій скобці, знак перед дробом знову змінюється на протилежний. В результаті він (знак перед дробом) не змінився.

В спільний знаменник випісавием повністю перший знаменник, а потім дописуємо до нього всі прості множники, які ще не написані, з другого, а потім з третього (і так далі, якщо дробів більше). Тобто виходить ось так:

Хм ... З дробом-то зрозуміло що робити. Але ось як бути з двійкою?

Все просто: ти ж вмієш додавати дроби? Значить, треба зробити так, щоб двійка стала дробом! Згадуємо: дріб - це операція ділення (чисельник ділиться на знаменник, якщо ти раптом забув). І немає нічого простішого, ніж розділити число на. При цьому саме число не зміниться, але перетвориться в дріб:

Те що потрібно!

5. Множення і ділення дробів.

Ну що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:

Порядок дій

Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, вважаючи значення такого виразу:

Порахував?

Має вийти.

Отже, нагадую.

Насамперед обчислюється ступінь.

Другим - множення і ділення. Якщо умножений і поділів одночасно кілька, робити їх можна в будь-якому порядку.

І наостанок виконуємо додавання і віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.

Але: вираз в дужках обчислюється позачергово!

Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз в кожній з дужок, а потім множимо або поділи їх.

А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну давай подумаємо: всередині дужок написано якесь вираження. А при обчисленні виразу в першу чергу треба робити що? Правильно, обчислювати дужки. Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужки, потім все інше.

Отже, порядок дій для вираження вище такої (червоним виділено поточний дествие, тобто дія, яка виконую прямо зараз):

Добре, це все просто.

Але це ж не те ж саме, що вираз з буквами?

Ні, це те ж саме! Тільки замість арифметичних дій треба робити алгебраїчні, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, Складання дробів, скорочення дробів і так далі. Єдиною відмінністю буде дію розкладання многочленів на множники (його ми часто застосовуємо при роботі з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати я або просто виносити загальний множник за дужки.

Зазвичай наша мета - представити вирази у вигляді твору або приватного.

наприклад:

Спростимо вираз.

1) Першим спрощуємо вираз в дужках. Там у нас різниця дробів, а наша мета - представити її як твір або приватне. Значить, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:

Більше цей вислів спростити неможливо, все множники тут - елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це значить?).

2) Отримуємо:

Множення дробів: що може бути простіше.

3) Тепер можна і скоротити:

Ну от і все. Нічого складного, правда?

Ще приклад:

Спрости вираз.

Спочатку спробуй вирішити сам, і вже тільки потім подивися рішення.

Рішення:

Насамперед визначимо порядок дій.

Спочатку виконаємо складання дробів в дужках, вийде замість двох дробів одна.

Потім виконаємо ділення дробів. Ну і результат складемо з останньої дробом.

Схематично пронумерує дії:

Тепер покажу звістку процес, підфарбовуючи поточний дію червоним:

1. Якщо є подібні, їх треба негайно привести. У якій би момент у нас ні утворилися подібні, їх бажано приводити відразу.

2. Те ж саме стосується скорочення дробів: як тільки з'являється можливість скоротити, їй треба скористатися. Виняток становлять дробу, які ти складаєш або вичитаєш: якщо у них зараз однакові знаменники, то скорочення потрібно залишити на потім.

Ось тобі завдання для самостійного рішення:

І обіцяна на самому початку:

відповіді:

Рішення (короткі):

Якщо ти впорався хоча б з першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, освоїв.

Тепер вперед до навчання!

ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИСЛОВІВ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД ТА ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Базові операції спрощення:

• приведення подібних: Щоб скласти (привести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати буквенную частина.
• Розкладання на множники:винесення спільного множника за дужки, застосування і т.д.
• скорочення дробу: Чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на одне і те ж нульове число, від чого величина дробу не змінюється.
  1) чисельник і знаменник розкласти на множники
  2) якщо в чисельнику і знаменнику є загальні множники, їх можна викреслити.

  ВАЖЛИВО: скорочувати можна тільки множники!

• Додавання і віднімання дробів:
  ;
• Множення і ділення дробів:
  ;

Будь-яке дробове вираження (п. 48) можна записати у вигляді, де Р і Q - раціональні вирази, причому Q обов'язково містить змінні. Таку дріб - називають раціональним дробом.

Приклади раціональних дробів:

Основна властивість дробу виражається тотожністю справедливим за умов тут - цілий раціональний вираз. Це означає, що чисельник і знаменник раціонального дробу можна помножити або розділити на одне й те саме відмінне від нуля число, одночлен або многочлен.

Наприклад, властивість дробу може бути використано для зміни знаків у членів дробу. Якщо чисельник і знаменник дробу - помножити на -1, отримаємо Таким чином, значення дробу не зміниться, якщо одночасно змінити знаки у чисельника і знаменника. Якщо ж змінити знак тільки у чисельника або тільки у знаменника, то і дріб змінить свої знак:

наприклад,

60. Скорочення раціональних дробів.

Скоротити дріб - це означає розділити чисельник і знаменник дробу на спільний множник. Можливість такого скорочення обумовлена \u200b\u200bосновною властивістю дробу.

Для того щоб скоротити раціональну дріб, потрібно чисельник і знаменник розкласти на множники. Якщо виявиться, що чисельник і знаменник мають загальні множники, то дріб можна скоротити. Якщо загальних множників немає, то перетворення дроби за допомогою скорочення неможливо.

Приклад. скоротити дріб

Рішення. маємо

Скорочення дробу виконано за умови.

61. Приведення раціональних дробів до спільного знаменника.

Спільним знаменником декількох раціональних дробів називається цілий раціональний вираз, яке ділиться на знаменник кожного дробу (див. П. 54).

Наприклад, спільним знаменником дробів і служить многочлен так як він ділиться і на і на і многочлен і многочлен і многочлен і т. Д. Зазвичай беруть такий спільний знаменник, що будь-який інший загальний знаменник ділиться на Еибранний. Такий найпростіший знаменник називають іноді найменшим спільним знаменником.

У розглянутому вище прикладі спільний знаменник дорівнює Маємо

Приведення даних дробів до спільного знаменника досягнуто шляхом множення чисельника і знаменника першого дробу на 2. а чисельника і знаменника другого дробу на Багаточлени називаються додатковими множниками відповідно для першої та другої дробу. Додатковий множник для даної дробу дорівнює частці від ділення загального знаменника на знаменник даної дробу.

Щоб кілька раціональних дробів привести до спільного знаменника, потрібно:

1) розкласти знаменник кожного дробу на множники;

2) скласти спільний знаменник, включивши в нього в якості співмножників всі множники одержаних в п. 1) розкладів; якщо деякий множник є в декількох розкладах, то він береться з показником ступеня, рівним найбільшому з наявних;

3) найтн додаткові множники для кожного з дробів (для цього спільний знаменник ділять на знаменник дробу);

4) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на додатковий множник, привести дробове до спільного знаменника.

Приклад. Привести до спільного знаменника дроби

Рішення. Розкладемо знаменники на множники:

В спільний знаменник треба включити наступні множники: і найменше спільне кратне чисел 12, 18, 24, т. Е.. Значить, загальний знаменник має вигляд

Додаткові множники: для першого дробу для другої для третьої Значить, отримуємо:

62. Додавання і віднімання раціональних дробів.

Сума двох (і взагалі будь-якого кінцевого числа) раціональних дробів з однаковими знаменниками тотожно дорівнює дробу з тим же знаменником і з чисельником, рівним сумі числителей складаються дробів:

Аналогічно стан справ у разі віднімання дробів з однаковими знаменниками:

Приклад 1. Спростити вираз

Рішення.

Для додавання або віднімання раціональних дробів з різними знаменниками потрібно перш за все привести дроби до спільного знаменника, а потім виконати операції над отриманими дробом з однаковими знаменниками.

Приклад 2. Спростити вираз

Рішення. маємо

63. Множення і ділення раціональних дробів.

Твір двох (і взагалі будь-якого кінцевого числа) раціональних дробів тотожно дорівнює дробу, числівник якого дорівнює добутку числівників, а знаменник - добутку знаменників перемножуєте дробів:

Частка від ділення двох раціональних дробів тотожно дорівнює дробу, числівник якого дорівнює добутку чисельника першого дробу на знаменник другого дробу, а знаменник - добутку внаменателя першого дробу на числівник другого дробу:

Сформульовані правила множення і ділення поширюються і на випадок множення або ділення на поліном: достатньо записати цей, многочлен у вигляді дробу зі знаменником 1.

З огляду на можливість скорочення раціонального дробу, отриманої в результаті множення або ділення раціональних дробів, зазвичай прагнуть до виконання цих операцій розкласти на множники числители і знаменники вихідних дробів.

Приклад 1. Виконати множення

Рішення. маємо

Використавши правило множення дробів, отримуємо:

Приклад 2. Виконати розподіл

Рішення. маємо

Використавши правило ділення, отримуємо:

64. Зведення раціонального дробу в цілу ступінь.

Щоб звести раціональну дріб - в натуральну ступінь, потрібно звести до цього степеня окремо числівник і знаменник дробу; перший вираз - чисельник, а другий вираз - знаменник результату:

Приклад 1. Перетворити в дріб ступінь 3.

Рішення Рішення.

При зведенні дробу в цілу негативну ступінь використовується тотожність справедливе при всіх значеннях змінних, при яких.

Приклад 2. Перетворити в дріб вираз

65. Перетворення раціональних виразів.

Перетворення будь-якого раціонального виразу зводиться до додавання, віднімання, множення і ділення раціональних дробів, а також до зведення дробу до натурального степеня. Будь-яке раціональне вираз можна перетворити в дріб, чисельник і знаменник якого - цілі раціональні вирази; в цьому, як правило, полягає мета тотожних перетворень раціональних виразів.

Приклад. спростити вираз

66. Найпростіші перетворення арифметичних коренів (радикалів).

При перетворенні арифметичних коріей використовуються їх властивості (див. П. 35).

Розглянемо кілька прикладів на застосування властивостей арифметичних коренів для найпростіших перетворень радикалів. При цьому всі змінні будемо вважати приймають тільки невід'ємні значення.

Приклад 1. Вилучити корінь з добутку

Рішення. Застосувавши властивість 1 °, отримаємо:

Приклад 2. Винести множник з-під знака кореня

Рішення.

Таке перетворення називається винесенням множника з-під знака кореня. Мета перетворення - спростити подкоренное вираз.

Приклад 3. Спростити.

Рішення. По властивості 3 ° маємо Зазвичай намагаються подкоренное вираз спростити, для чого виносять множники за знак Корія. маємо

Приклад 4. Спростити

Рішення. Перетворимо вираз, внісши множник під знак кореня: По властивості 4 ° маємо

Приклад 5. Спростити

Рішення. По властивості 5 ° ми маємо право показник кореня і показник ступеня подкоренного вираження розділити на одне й те саме натуральне число. Якщо в розглянутому, прикладі розділити зазначені показники на 3, то отримаємо.

Приклад 6. Спростити вирази:

Рішення, а) По властивості 1 ° отримуємо, що для перемноження коренів однієї і тієї ж ступеня досить перемножити подкоренное вираження і з отриманого результату витягти корінь тій же мірі. значить,

б) Перш за все ми повинні привести радикали до одного показника. Відповідно до властивості 5 ° ми можемо показник кореня показник ступеня подкоренного вираження помножити на одне і те ж натуральне число. Тому Далі маємо тепер в отриманому результаті раз Делів показники кореня і ступеня подкоренного вираження На 3, отримаємо.

Раціональні вирази і дроби - наріжний пункт всього курсу алгебри. Ті, хто навчаться працювати з такими виразами, спрощувати їх і розкладати на множники, по суті зможуть вирішити будь-яке завдання, оскільки перетворення виразів - невід'ємна частина будь-якого серйозного рівняння, нерівності та навіть текстової задачі.

У цьому відеоуроці ми подивимося, як грамотно застосовувати формули скороченого множення для спрощення раціональних виразів і дробів. Навчимося бачити ці формули там, де, на перший погляд, нічого немає. Заодно повторимо такий нехитрий прийом, як розкладання квадратного тричлена на множники через дискримінант.

Як ви вже напевно здогадалися за формулами за моєю спиною, сьогодні ми будемо вивчати формули скороченого множення, а, точніше, не самі формули, а їх застосування для спрощення і скорочення складних раціональних виразів. Але, перш ніж переходити до вирішення прикладів, давайте познайомимося ближче з цими формулами або згадаємо їх:

1. $ ((A) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) \u003d \\ left (a-b \\ right) \\ left (a + b \\ right) $ - різниця квадратів;
2. $ ((\\ Left (a + b \\ right)) ^ (2)) \u003d ((a) ^ (2)) + 2ab + ((b) ^ (2)) $ - квадрат суми;
3. $ ((\\ Left (a-b \\ right)) ^ (2)) \u003d ((a) ^ (2)) - 2ab + ((b) ^ (2)) $ - квадрат різниці;
4. $ ((A) ^ (3)) + ((b) ^ (3)) \u003d \\ left (a + b \\ right) \\ left (((a) ^ (2)) - ab + ((b) ^ ( 2)) \\ right) $ - сума кубів;
5. $ ((A) ^ (3)) - ((b) ^ (3)) \u003d \\ left (ab \\ right) \\ left (((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ (2) ) \\ right) $ - різниця кубів.

Ще хотів би відзначити, що наша шкільна система освіти влаштована таким чином, що саме з вивченням цієї теми, тобто раціональних виразів, а також коренів, модулів у всіх учнів виникає одна і та ж проблема, яку я зараз поясню.

Справа в тому, що на самому початку вивчення формул скороченого множення і, відповідно, дій по скороченню дробів (це десь 8 клас) вчителі кажуть щось таке: «Якщо вам щось незрозуміло, то ви не переживайте, ми до цій темі ще повернемося неодноразово, в старших класах так точно. Ми це ще розберемо ». Ну а потім на рубежі 9-10 класу ті ж самі вчителі пояснюють тим же самим учням, які так і не знають, як вирішувати раціональні дроби, приблизно наступне: «А де ви були попередні два роки? Це ж вивчалося на алгебрі в 8 класі! Чого тут може бути незрозумілого? Це ж так очевидно! ».

Однак звичайним учням від таких пояснень анітрохи не легше: у них як була каша в голові, так і залишилася, тому прямо зараз ми розберемо два простих прикладу, На підставі яких і подивимося, яким чином в справжніх завданнях виділяти ці вирази, які приведуть нас до формул скороченого множення і як потім застосовувати це для перетворення складних раціональних виразів.

Скорочення простих раціональних дробів

Завдання № 1

\\ [\\ Frac (4x + 3 ((y) ^ (2))) (9 ((y) ^ (4)) - 16 ((x) ^ (2))) \\]

Перше, чого нам потрібно навчитися - виділяти в початкових виразах точні квадрати і більш високі ступені, на підставі яких ми зможемо потім застосовувати формули. Давайте подивимося:

Перепишемо наше вираз з урахуванням цих фактів:

\\ [\\ Frac (4x + 3 ((y) ^ (2))) (((\\ left (3 ((y) ^ (2)) \\ right)) ^ (2)) - ((\\ left (4x \\ right)) ^ (2))) \u003d \\ frac (4x + 3 ((y) ^ (2))) (\\ left (3 ((y) ^ (2)) - 4x \\ right) \\ left (3 ((y) ^ (2)) + 4x \\ right)) \u003d \\ frac (1) (3 ((y) ^ (2)) - 4x) \\]

Відповідь: $ \\ frac (1) (3 ((y) ^ (2)) - 4x) $.

Завдання № 2

Переходимо до другої задачі:

\\ [\\ Frac (8) (((x) ^ (2)) + 5xy-6 ((y) ^ (2))) \\]

Спрощувати тут нічого, бо в чисельнику стоїть константа, але я запропонував цю задачу саме для того, щоб ви навчилися розкладати на множники многочлени, що містять дві змінних. Якби замість нього був написаний нижче многочлен, як би ми розклали його?

\\ [((X) ^ (2)) + 5x-6 \u003d \\ left (x -... \\ right) \\ left (x -... \\ right) \\]

Давайте вирішимо рівняння і знайдемо $ x $, які ми зможемо поставити замість крапок:

\\ [((X) ^ (2)) + 5x-6 \u003d 0 \\]

\\ [((X) _ (1)) \u003d \\ frac (-5 + 7) (2) \u003d \\ frac (2) (2) \u003d 1 \\]

\\ [((X) _ (2)) \u003d \\ frac (-5-7) (2) \u003d \\ frac (-12) (2) \u003d - 6 \\]

Ми можемо переписати тричлен наступним чином:

\\ [((X) ^ (2)) + 5xy-6 ((y) ^ (2)) \u003d \\ left (x-1 \\ right) \\ left (x + 6 \\ right) \\]

З квадратним тричленної ми працювати навчилися - для цього і потрібно було записати цей відеоурок. А що робити, якщо крім $ x $ і константи присутній ще $ y $? Давайте розглянемо їх як ще одні елементи коефіцієнтів, тобто перепишемо наше вираз наступним чином:

\\ [((X) ^ (2)) + 5y \\ cdot x-6 ((y) ^ (2)) \\]

\\ [((X) _ (1)) \u003d \\ frac (-5y + 7y) (2) \u003d y \\]

\\ [((X) _ (2)) \u003d \\ frac (-5y-7y) (2) \u003d \\ frac (-12y) (2) \u003d - 6y \\]

Запишемо розкладання нашої квадратної конструкції:

\\ [\\ Left (x-y \\ right) \\ left (x + 6y \\ right) \\]

Разом якщо ми повернемося до вихідного виразу і перепишемо його з урахуванням змін, то отримаємо наступне:

\\ [\\ Frac (8) (\\ left (x-y \\ right) \\ left (x + 6y \\ right)) \\]

Що нам дає такий запис? Нічого, тому що його не скоротити, воно ні на що не множиться і не ділиться. Однак як тільки ця дріб виявиться складовою частиною більш складного вираження, подібне розкладання виявиться до речі. Тому як тільки ви бачите квадратний тричлен (неважливо, обтяжений він додатковими параметрами чи ні), завжди намагайтеся розкласти його на множники.

нюанси рішення

Запам'ятайте основні правила перетворення раціональних виразів:

• Все знаменники і числители необхідно розкладати на множники або через формули скороченого множення, або через дискримінант.
• Працювати потрібно за таким алгоритмом: коли ми дивимося і намагаємося виділити формулу скороченого множення, то, перш за все, намагаємося все перевести в максимально можливу ступінь. Після цього виносимо за дужки загальний ступінь.
• Дуже часто будуть зустрічатися вирази з параметром: як коефіцієнтів будуть виникати інші змінні. Їх ми знаходимо за формулою квадратного розкладання.

Таким чином, як тільки ви бачите раціональні дроби, перше, що потрібно зробити - це розкласти і чисельник, і знаменник на множники (на лінійні вираження), при цьому ми використовуємо формули скороченого множення або дискриминант.

Давайте подивимося на пару таких раціональних виразів і спробуємо їх розкласти на множники.

Рішення складніших прикладів

Завдання № 1

\\ [\\ Frac (4 ((x) ^ (2)) - 6xy + 9 ((y) ^ (2))) (2x-3y) \\ cdot \\ frac (9 ((y) ^ (2)) - 4 ((x) ^ (2))) (8 ((x) ^ (3)) + 27 ((y) ^ (3))) \\]

Переписуємо і намагаємося розкласти кожний доданок:

Давайте перепишемо все наше раціональне вираз з урахуванням цих фактів:

\\ [\\ Frac (((\\ left (2x \\ right)) ^ (2)) - 2x \\ cdot 3y + ((\\ left (3y \\ right)) ^ (2))) (2x-3y) \\ cdot \\ frac (((\\ left (3y \\ right)) ^ (2)) - ((\\ left (2x \\ right)) ^ (2))) (((\\ left (2x \\ right)) ^ (3)) + ((\\ left (3y \\ right)) ^ (3))) \u003d \\]

\\ [\u003d \\ Frac (((\\ left (2x \\ right)) ^ (2)) - 2x \\ cdot 3y + ((\\ left (3y \\ right)) ^ (2))) (2x-3y) \\ cdot \\ 2x \\ cdot 3y + ((\\ left (3y \\ right)) ^ (2)) \\ right)) \u003d - 1 \\]

Відповідь: $ -1 $.

Завдання № 2

\\ [\\ Frac (3-6x) (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 8) \\ cdot \\ frac (2x + 1) (((x) ^ (2)) + 4-4x) \\ Давайте розглянемо всі дроби.

\\ [((X) ^ (2)) + 4-4x \u003d ((x) ^ (2)) - 4x + 2 \u003d ((x) ^ (2)) - 2 \\ cdot 2x + ((2) ^ ( 2)) \u003d ((\\ left (x-2 \\ right)) ^ (2)) \\]

Перепишемо всю конструкцію з урахуванням змін:

\\ [\\ Frac (3 \\ left (1-2x \\ right)) (2 \\ left (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \\ right)) \\ cdot \\ frac ( 2x + 1) (((\\ left (x-2 \\ right)) ^ (2))) \\ cdot \\ frac (\\ left (2x \\ right) \\ left (((2) ^ (2)) + 2x + ((x) ^ (2)) \\ right)) (\\ left (2x-1 \\ right) \\ left (2x + 1 \\ right)) \u003d \\]

\\ [\u003d \\ Frac (3 \\ cdot \\ left (-1 \\ right)) (2 \\ cdot \\ left (x-2 \\ right) \\ cdot \\ left (-1 \\ right)) \u003d \\ frac (3) (2 \\ left (x-2 \\ right)) \\]

Відповідь: $ \\ frac (3) (2 \\ left (x-2 \\ right)) $.

Отже, чому ми тільки що навчилися:

нюанси рішення

Далеко не кожен квадратний тричлен розкладається на множники, зокрема, це відноситься до неповного квадрату суми або різниці, які дуже часто зустрічаються як частини кубів суми або різниці.

• Константи, тобто звичайні числа, які не мають при собі змінних, також можуть виступати активними елементами в процесі розкладання. По-перше, їх можна виносити за дужки, по-друге, самі константи можуть бути представимо у вигляді ступенів.
• Дуже часто після розкладання всіх елементів на множники виникають протилежні конструкції. Скорочувати ці дроби потрібно вкрай акуратно, тому що при з закреслення або зверху, або знизу виникає додатковий множник $ -1 $ - це як раз і є наслідок того, що вони протилежні.
• Рішення складних завдань

\\ [\\ Frac (27 ((a) ^ (3)) - 64 ((b) ^ (3))) (((b) ^ (2)) - 4): \\ frac (9 ((a) ^ (2)) + 12ab + 16 ((b) ^ (2))) (((b) ^ (2)) + 4b + 4) \\]

Розглянемо кожний доданок окремо.

Перша дріб:

\\ [((\\ Left (3a \\ right)) ^ (3)) - ((\\ left (4b \\ right)) ^ (3)) \u003d \\ left (3a-4b \\ right) \\ left (((\\ left (3a \\ right)) ^ (2)) + 3a \\ cdot 4b + ((\\ left (4b \\ right)) ^ (2)) \\ right) \\]

\\ [((B) ^ (2)) - ((2) ^ (2)) \u003d \\ left (b-2 \\ right) \\ left (b + 2 \\ right) \\]

Весь чисельник другого дробу ми можемо переписати таким чином:

\\ [((\\ Left (3a \\ right)) ^ (2)) + 3a \\ cdot 4b + ((\\ left (4b \\ right)) ^ (2)) \\]

Тепер подивимося на знаменник:

\\ [((B) ^ (2)) + 4b + 4 \u003d ((b) ^ (2)) + 2 \\ cdot 2b + ((2) ^ (2)) \u003d ((\\ left (b + 2 \\ right )) ^ (2)) \\]

Давайте перепишемо все раціональне вираз з урахуванням вищевикладених фактів:

\\ [\\ Frac (\\ left (3a-4b \\ right) \\ left (((\\ left (3a \\ right)) ^ (2)) + 3a \\ cdot 4b + ((\\ left (4b \\ right)) ^ (2 )) \\ right)) (\\ left (b-2 \\ right) \\ left (b + 2 \\ right)) \\ cdot \\ frac (((\\ left (b + 2 \\ right)) ^ (2))) ( ((\\ left (3a \\ right)) ^ (2)) + 3a \\ cdot 4b + ((\\ left (4b \\ right)) ^ (2))) \u003d \\]

\\ [\u003d \\ Frac (\\ left (3a-4b \\ right) \\ left (b + 2 \\ right)) (\\ left (b-2 \\ right)) \\]

Відповідь: $ \\ frac (\\ left (3a-4b \\ right) \\ left (b + 2 \\ right)) (\\ left (b-2 \\ right)) $.

нюанси рішення

Як ми ще раз переконалися, неповні квадрати суми або неповні квадрати різниці, які часто зустрічаються в реальних раціональних виразах, проте не варто їх лякатися, тому що після перетворення кожного елемента вони практично завжди скорочуються. Крім того, ні в якому разі не варто боятися великих конструкцій в підсумком відповіді - цілком можливо, що це не ваша помилка (особливо, якщо все розкладено на множники), а це автор задумав таку відповідь.

На закінчення хотілося б розібрати ще один складних приклад, Який вже не відноситься безпосередньо до раціональних дробів, однак він містить все те, що чекає вас на справжніх контрольні й іспити, а саме: розкладання на множники, приведення до спільного знаменника, скорочення подібних. Ось саме цим ми зараз і займемося.

Рішення складного завдання на спрощення та перетворення раціональних виразів

\\ [\\ Left (\\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \\ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \\ frac (1) (x-2) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \\ frac (2) (2-x) \\ right) \\]

Спочатку розглянемо і розкриємо першу дужку: в ній ми бачимо три окремих дроби з різними знаменниками тому перше, що нам необхідно зробити - це привести всі три дроби до спільного знаменника, а для цього кожен з них слід розкласти на множники:

\\ [((X) ^ (2)) + 2x + 4 \u003d ((x) ^ (2)) + 2 \\ cdot x + ((2) ^ (2)) \\]

\\ [((X) ^ (2)) - 8 \u003d ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (2)) \u003d \\ left (x-2 \\ right) \\ left (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \\ right) \\]

Перепишемо всю нашу конструкцію наступним чином:

\\ [\\ Frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2))) + \\ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\\ left (x -2 \\ right) \\ left (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \\ right)) - \\ frac (1) (x-2) \u003d \\]

\\ [\u003d \\ Frac (x \\ left (x-2 \\ right) + ((x) ^ (3)) + 8- \\ left (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2 )) \\ right)) (\\ left (x-2 \\ right) \\ left (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \\ right)) \u003d \\]

\\ [\u003d \\ Frac (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\\ left (x-2 \\ right) \\ left (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \\ right)) \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) - 4x-4) (\\ \\ [\u003d \\ Frac (((\\ left (x-2 \\ right)) ^ (2))) (\\ left (x-2 \\ right) \\ left (((x) ^ (2)) + 2x + (( 2) ^ (2)) \\ right)) \u003d \\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \\]

Це результат обчислень з першої дужки.

Розбираємося з другої дужкою:

\\ [((X) ^ (2)) - 4 \u003d ((x) ^ (2)) - ((2) ^ (2)) \u003d \\ left (x-2 \\ right) \\ left (x + 2 \\ Перепишемо другу дужку з урахуванням змін:

\\ [\\ Frac (((x) ^ (2))) (\\ left (x-2 \\ right) \\ left (x + 2 \\ right)) + \\ frac (2) (x-2) \u003d \\ frac ( ((x) ^ (2)) + 2 \\ left (x + 2 \\ right)) (\\ left (x-2 \\ right) \\ left (x + 2 \\ right)) \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\\ left (x-2 \\ right) \\ left (x + 2 \\ right)) \\]

Тепер запишемо всю вихідну конструкцію:

\\ [\\ Frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \\ cdot \\ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\\ left (x-2 \\ right) \\ left (x + 2 \\ right)) \u003d \\ frac (1) (x + 2) \\]

Відповідь: $ \\ frac (1) (x + 2) $.

Як бачите, відповідь вийшла цілком нормальний. Однак зверніть увагу: дуже часто при таких масштабних обчисленнях, коли єдина змінна виявляється лише в знаменнику, учні забувають, що це знаменник і він повинен стояв внизу дроби і пишуть цей вислів в чисельник - це груба помилка.

нюанси рішення

Крім того, хотів би звернути вашу окрему увагу на те, як оформляються такі завдання. У будь-яких складних обчисленнях всі кроки виконуються по діям: спочатку окремо вважаємо першу дужку, потім окремо другу і лише в кінці ми об'єднуємо всі частини і вважаємо результат. Таким чином ми страхуємо себе від дурних помилок, акуратно записуємо все викладки і при цьому аніскільки не витрачаємо зайвого часу, як це може здатися на перший погляд.

готові роботи

ДИПЛОМНІ РОБОТИ

Багато що вже позаду і тепер ти - випускник, якщо, звичайно, вчасно напишеш дипломну роботу. Але життя - така штука, що тільки зараз тобі стає зрозуміло, що, переставши бути студентом, ти втратиш все студентські радості, багато з яких, ти так і не спробував, все відкладаючи і відкладаючи на потім. І тепер, замість того, щоб надолужувати згаяне, ти корп над дипломною роботою? Є чудовий вихід: скачати потрібну тобі дипломну роботу з нашого сайту - і в тебе миттю з'явиться маса вільного часу!

Дипломні роботи успішно захищені в провідних ВУЗах РК.
Вартість роботи від 20 000 тенге
КУРСОВІ РОБОТИ

Курсовий проект - це перша серйозна практична робота. Саме з написання курсової починається підготовка до розробки

дипломних проектів . Якщо студент навчитися правильно викладати зміст теми в курсовому проекті і грамотно його оформляти, то в подальшому у нього не виникне проблем ні з написанням звітів, ні зі складаннямдипломних робіт , Ні з виконанням інших практичних завдань. Щоб надати допомогу студентам у написанні цього типу студентської роботи і роз'яснити виникають по ходу її складання питання, власне кажучи, і був створений даний інформаційний розділ.
Вартість роботи від 2 500 тенге

Магістерська дисертація

В даний час у вищих навчальних закладах Казахстану і країн СНД дуже поширена ступінь вищої професійної освіти, Яка йде після бакалаврату - магістратура. У магістратурі навчаються з метою отримання диплома магістра, яке визнається в більшості країн світу більше, ніж диплом бакалавра, а також визнається зарубіжними роботодавцями. Підсумком навчання в магістратурі є захист магістерської дисертації.
Ми надамо Вам актуальний аналітичний і текстовий матеріал, у вартість включено 2 наукові статті і автореферат.
Вартість роботи від 35 000 тенге

ЗВІТИ З ПРАКТИКИ

Після проходження будь-якого типу студентської практики (навчальної, виробничої, переддипломної) потрібно скласти звіт. Цей документ буде підтвердженням практичної роботи студента і основою формування оцінки за практику. Зазвичай, щоб скласти звіт по практиці, потрібно зібрати і проаналізувати інформацію про підприємство, розглянути структуру і розпорядок роботи організації, в якій проходиться практика, скласти календарний план і описати свою практичну діяльність.
Ми допоможе написати звіт про проходження практики з урахуванням специфіки діяльності конкретного підприємства.