Графіки тригонометричних функцій кратних кутів. Основні формули тригонометрії Формули суми та різниці тригонометричних функцій

У тригонометрії багато формул легше вивести, ніж визубрити. Косинус подвійного кута чудова формула! Вона дозволяє отримати формули зниження ступеня та формули половинного кута.

Отже, нам потрібні косинус подвійного кута та тригонометрична одиниця:

Вони навіть схожі: у формулі косинуса подвійного кута — різниця квадратів косинуса та синуса, а в тригонометричній одиниці — їхня сума. Якщо з тригонометричної одиниці виразити косинус:

і підставити його в косинус подвійного кута, то отримаємо:

Це ще одна формула косинуса подвійного кута:

Ця формула - ключ до отримання формули зниження ступеня:

Отже, формула зниження ступеня синуса:

Якщо в ній кут альфа замінити на половинний кут альфа навпіл, а подвійний кут два альфа на кут альфа, то отримаємо формулу половинного кута для синуса:

Тепер із тригонометричної одиниці висловимо синус:

Підставимо цей вираз у формулу косинуса подвійного кута:

Отримали ще одну формулу косинуса подвійного кута:

Ця формула є ключем до знаходження формули зниження ступеня косинуса і половинного кута для косинуса.

Таким чином, формула зниження ступеня косинуса:

Якщо замінити α на α/2, а 2α — на α, то отримаємо формулу половинного аргументу для косинуса:

Оскільки тангенс — відношення синуса до косинусу, то формула для тангенсу:

Котангенс – відношення косинуса до синуса. Тому формула для котангенсу:

Звичайно, у процесі спрощення тригонометричних виразів формули половинного кута або зниження ступеня немає сенсу щоразу виводити. Набагато простіше перед собою покласти лист з формулами. І спрощення просунеться швидше, і зорова пам'ять включиться на запам'ятовування.

Але кілька разів вивести ці формули все ж таки варто. Тоді ви будете абсолютно впевнені в тому, що на іспиті, коли немає можливості скористатися шпаргалкою, ви легко їх отримаєте, якщо виникне необхідність.

Співвідношення між основними тригонометричними функціями – синусом, косинусом, тангенсом та котангенсом- задаються тригонометричними формулами. Оскільки зв'язків між тригонометричними функціями досить багато, цим пояснюється і розмаїття тригонометричних формул. Одні формули пов'язують тригонометричні функції однакового кута, інші функції кратного кута, треті дозволяють знизити ступінь, четверті висловити всі функції через тангенс половинного кута, і т.д.

У цій статті ми по порядку перерахуємо всі основні тригонометричні формули, яких достатньо для вирішення більшості задач тригонометрії. Для зручності запам'ятовування та використання групуватимемо їх за призначенням, і заноситимемо в таблиці.

Навігація на сторінці.

Основні тригонометричні тотожності

Основні тригонометричні тотожності задають зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом та котангенсом одного кута. Вони випливають із визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, а також поняття одиничного кола. Вони дозволяють висловити одну тригонометричну функцію через будь-яку іншу.

Детальний опис цих формул тригонометрії, їх виведення та приклади застосування дивіться у статті .

Формули приведення

Формули приведенняслідують з властивостей синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, тобто, вони відображають властивість періодичності тригонометричних функцій, властивість симетричності, і навіть властивість зсуву даний кут. Ці тригонометричні формули дозволяють від роботи з довільними кутами переходити до роботи з кутами в межах від нуля до 90 градусів.

Обгрунтування цих формул, мнемонічне правило їх запам'ятовування і приклади їх застосування можна вивчити у статті .

Формули додавання

Тригонометричні формулидодаванняпоказують, як тригонометричні функції суми чи різниці двох кутів виражаються через тригонометричні функції цих кутів. Ці формули є базою для виведення наступних нижче тригонометричних формул.

Формули подвійного, потрійного тощо. кута

Формули подвійного, потрійного тощо. кута (їх ще називають формулами кратного кута) показують, як тригонометричні функції подвійних, потрійних тощо. кутів () виражаються через тригонометричні функції одинарного кута. Їх висновок виходить з формулах складання.

Більш детальна інформація зібрана у статті формули подвійного, потрійного тощо. кута.

Формули половинного кута

Формули половинного кутапоказують, як тригонометричні функції половинного кута виражаються через косинус цілого кута. Ці тригонометричні формули випливають із формул подвійного кута.

Їх висновок та приклади застосування можна переглянути у статті.

Формули зниження ступеня

Тригонометричні формули зниження ступеняпокликані сприяти переходу від натуральних ступенівтригонометричних функцій до синусів і косинусів в першому ступені, але кратних кутів. Іншими словами, вони дозволяють знижувати ступеня тригонометричних функцій до першої.

Формули суми та різниці тригонометричних функцій

Основне призначення формул суми та різниці тригонометричних функційполягає у переході до твору функцій, що дуже корисно при спрощенні тригонометричних виразів. Зазначені формули також широко використовуються при вирішенні тригонометричних рівнянь, так як дозволяють розкладати на множники суму та різницю синусів і косінусів.

Формули твору синусів, косінусів та синуса на косинус

Перехід від твору тригонометричних функцій до суми чи різниці здійснюється за допомогою формул твору синусів, косінусів та синуса на косинус.

Універсальна тригонометрична підстановка

Огляд основних формул тригонометрії завершуємо формулами, що виражають тригонометричні функції через тангенс половинного кута. Така заміна отримала назву універсальною тригонометричної підстановки . Її зручність у тому, що це тригонометричні функції виражаються через тангенс половинного кута раціонально без коріння.

Список літератури.

• Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. З. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 з.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників у технікуми): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Copyright by cleverstudents

Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати у будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.

Тепер ми розглянемо питання, як будувати графіки тригонометричних функцій кратних кутів. ωx, де ω - Деяке позитивне число.

Для побудови графіка функції у = sin ωxпорівняємо цю функцію з вивченою нами функцією у = sin x. Припустимо, що за х = x 0 функція у = sin хприймає значення, що дорівнює 0 . Тоді

у 0 = sin x 0 .

Перетворимо це співвідношення так:

Отже, функція у = sin ωxпри х = x 0 / ω приймає те саме значення у 0 , що і функція у = sin хпри х = x 0 . А це означає, що функція у = sin ωxповторює свої значення в ω раз частіше, ніж функція у = sin x. Тому графік функції у = sin ωxвиходить шляхом "стиснення" графіка функції у = sin xв ω разів уздовж осі х.

Наприклад, графік функції у = sin 2хвиходить шляхом «стиснення» синусоїди у = sin xудвічі вздовж осі абсцис.

Графік функції у = sin x / 2 виходить шляхом «розтягування» синусоїди у = sin х удвічі (або «стиснення» в 1 / 2 рази) вздовж осі х.

Оскільки функція у = sin ωxповторює свої значення в ω раз частіше, ніж функція
у = sin x, то період її ω разів менше періоду функції у = sin x. Наприклад, період функції у = sin 2хдорівнює 2π / 2 = π , а період функції у = sin x / 2 дорівнює π / x / 2 = 4π .

Цікаво провести дослідження поведінки функції у = sin аxна прикладі анімації, яку дуже просто можна створити у програмі Maple:

Аналогічно будуються графіки та інші тригонометричні функції кратних кутів. На малюнку представлено графік функції у = cos 2х, який виходить шляхом «стиснення» косінусоїди у = cos худвічі вздовж осі абсцис.

Графік функції у = cos x / 2 виходить шляхом «розтягування» косінусоїди у = cos худвічі вздовж осі х.

На малюнку ви бачите графік функції у = tg 2x, отриманий «стисненням» тангенсоїди у = tg xудвічі вздовж осі абсцис.

Графік функції у = tg x / 2 , отриманий «розтягуванням» тангенсоїди у = tg xудвічі вздовж осі х.

І, нарешті, анімація, виконана програмою Maple:

Вправи

1. Побудувати графіки даних функцій та вказати координати точок перетину цих графіків з осями координат. Визначити періоди цих функцій.

а). y = sin 4x / 3 г). y = tg 5x / 6 ж). y = cos 2x / 3

б). у = cos 5x / 3 д). у = ctg 5x / 3 з). у = ctg x / 3

в). y = tg 4x / 3 е). у = sin 2x / 3

2. Визначити періоди функцій у = sin (πх)і у = tg (πх / 2).

3. Наведіть два приклади функції, які набувають всіх значень від -1 до +1 (включаючи ці два числа) і періодично змінюються з періодом 10.

4 *. Наведіть два приклади функцій, які приймають усі значення від 0 до 1 (включаючи ці два числа) та періодично змінюються з періодом π/2.

5. Наведіть два приклади функцій, які набувають всіх дійсних значень і періодично змінюються з періодом 1.

6 *. Наведіть два приклади функцій, які приймають всі негативні значення та нуль, але не набувають позитивних значень і періодично змінюються з періодом 5.